Mối quan hệ giữa đạo hàm với tích phân và ứng dụng trong chương trình toán phổ thông

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐÀO HUY NAM

MỐI QUAN HỆ
GIỮA ĐẠO HÀM VỚI TÍCH PHÂN
VÀ ỨNG DỤNG TRONG
CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Hà Nội - Năm 2013


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐÀO HUY NAM

MỐI QUAN HỆ
GIỮA ĐẠO HÀM VỚI TÍCH PHÂN
VÀ ỨNG DỤNG TRONG
CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG
Chun ngành: Phương pháp toán sơ cấp.
Mã số: 60460113.

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TS. NGUYỄN ĐÌNH SANG

Hà Nội - Năm 2013


LỜI CẢM ƠN
Để hồn thành khóa học, lời đầu tiên tôi xin trân trọng cảm ơn đến
các thầy cô giáo cơng tác tại khoa Tốn - Cơ - Tin học trường Đại học
Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, những người đã giảng dạy
và cung cấp những kiến thức khoa học quý báu trong suốt những năm học
vừa qua để tơi có nền tảng kiến thức để thực hiện luận văn này.
Tiếp theo tôi xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn
là PGS. TS Nguyễn Đình Sang, người đã tận tình chỉ bảo giúp đỡ và
tạo điều kiện về nhiều mặt để tơi có thể hồn thành luận văn này.
Cuối cùng tơi xin chân thành cảm ơn Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội và
ban giám hiệu trường THPT Mỹ Đức A - Hà Nội đã tạo điều kiện tối đa
để tơi có thời gian học tập tốt nhất và hồn thành khóa học của mình.
Hà Nội, ngày 15 tháng 10 năm 2013.
Học viên

Đào Huy Nam.

1


Mục lục

LỜI CẢM ƠN

1

1

5

Kiến thức chuẩn bị
1.1

Cơng thức tính đạo hàm của hàm số hợp . . . . . . . . . .

5

1.2

Các cơng thức tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.1

Các quy tắc tính đạo hàm

5

1.2.2

Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

1.2.3

Đạo hàm của các hàm lượng giác

. . . . . . . . . . . . . .

5

. . . . . . . . . .

6

1.2.4

Đạo hàm của các hàm mũ và logarit . . . . . . . . .

6

1.2.5

Đạo hàm của hàm số ngược . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.6
1.3

. . . . . .

Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Các cơng thức tính tích phân bất định

. . . . . . . . . . .

7

1.3.1

Tính chất của tích phân bất định

. . . . . . . . . .

7

1.3.2

Sự tồn tại của nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3.3

Bảng tích phân bất định của một số hàm số thường
gặp

1.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Các định lý và các công thức khác . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.1

Định lý Rolle

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.2

Định lý Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.4.3

Công thức Euler trên trường số phức . . . . . . . . . 10

1.4.4

Công thức khai triển Taylor

2

. . . . . . . . . . . . . 10


2

Mối quan hệ giữa đạo hàm và
tích phân

11

2.1
2.2

Tích phân các hàm số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3

Tích phân các hàm số vô tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.4

Tích phân các hàm mũ và các hàm logarit . . . . . . . . . . 52

2.5
3

Tích phân các hàm phân thức hữu tỷ . . . . . . . . . . . . 11

Tích phân của các hàm số ngược.

. . . . . . . . . . . . . . 71

Đạo hàm và tích phân với tổng hữu hạn. Một số ứng dụng. 74
3.1

Đạo hàm và tích phân với tổng hữu hạn . . . . . . . . . . . 74
3.1.1

Một số vấn đề lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . 74

3.1.2

Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.2

Ứng dụng trong các bài toán phương trình, bất phương trình. 89

3.3

Ứng dụng vào tính giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.3.1

Định nghĩa tích phân xác định . . . . . . . . . . . . 94

3.3.2

Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Kết luận

100

Tài liệu tham khảo

101

3


MỞ ĐẦU
Đạo hàm và tích phân khơng xác định là hai phép toán ngược nhau,
chúng thuộc lĩnh vực toán cao cấp nhưng lại liên quan mật thiết và giúp
giải quyết nhiều bài tốn sơ cấp.
Trước hết việc tìm ngun hàm cơ bản được chứng minh bằng đạo hàm,
sau đó để tìm ngun hàm ta thường dùng các cơng thức hoặc biến đổi
đưa về nguyên hàm cơ bản. Có rất nhiều cách để tìm nguyên hàm của
một hàm số như dùng bảng nguyên hàm cơ bản, đổi biến số ... Tuy nhiên
trong một số trường hợp ta có thể dùng đạo hàm để kiểm chứng nhanh
hơn dùng các phương pháp khác.
√
∫
dx
Ví dụ: √
= ln x2 + a + x + C
x2 + a
vì
)′
(√

2+a+x
( √
)′
x
1
ln x2 + a + x = √
=√
x2 + a + x
x2 + a
giải quyết bài toán này nhanh hơn phương pháp đổi biến.
Với lý do đó, luận văn này muốn khai thác một ý tưởng chính là dùng
đạo hàm để giải bài tốn tích phân cũng như dùng đạo hàm để giải bài
toán tổng rời rạc (hữu hạn hoặc vơ hạn) và từ đó cho ta những ứng dụng
khác nhau đối với một số bài toán sơ cấp. Nội dung chính của luận văn:

⋄ Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này sẽ nhắc lại các
kiến thức cần thiết cũng như các cơng thức tính đạo hàm và nguyên
hàm cơ bản, công thức Euler trong trường số phức, công thức khai
triển Taylor của đa thức tại 1 điểm.
4


⋄ Chương 2: Mối quan hệ giữa đạo hàm và tích phân. Chương này
chủ đạo là nghiên cứu cách tính tích phân bằng đạo hàm. Các tích
phân được chia thành các dạng riêng biệt và được viết dưới dạng các
bài tốn. Mỗi bài tốn đều có các ví dụ cụ thể minh hoạ cho bài tốn
đó.

⋄ Chương 3: Đạo hàm và tích phân với tổng hữu hạn. Một số
ứng dụng. Chương này đưa ra một số ứng dụng của đạo hàm và tích

phân cho bài tốn tổng rời rạc, phương trình, bất phương trình, giới
hạn ...
Mặc dù đã rất cố gắng trong tìm tịi các bài tốn tích phân có thể tính
được nhờ đạo hàm cũng như các ứng dụng của nó. Nhưng kiến thức là vơ
tận nên luận văn khơng tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Rất mong
nhận được những góp ý và sự chỉ bảo của các thầy cơ giáo để luận văn có
giá trị khoa học cao hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

5


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1

Cơng thức tính đạo hàm của hàm số hợp

Cho y là hàm số theo u và u là hàm số theo x thì ta có

y ′x = y ′u .u′x

1.2
1.2.1

Các cơng thức tính đạo hàm
Các quy tắc tính đạo hàm

Với u, v là các hàm số của biến x. Ta có:

(u + v)′ = u′ + v ′ ;

(u.v)′ = u′ .v + u.v ′
( u )′ u′ v − uv ′
=
v
v2

(u − v)′ = u′ − v ′ ;
1.2.2

Đạo hàm của một số hàm số thường gặp
(k.u)′ = k.u′

(uα )′ = α.uα−1 .u′

( )′
√ ′
1
u′
u′
= − 2 , (u ̸= 0) ( u) = √ , (u > 0)
u
u
2 u

6


1.2.3

Đạo hàm của các hàm lượng giác
(sin u)′ = u′ . cos u

(cos u)′ = −u′ . sin u

u′
(tan u) =
cos2 u

u′
(cot u) = − 2
sin u

′

′

u′
(arcsin u)′ = √
1 − u2

(arcsin x)′ = √

1
1 − x2

1
u′
′

(arccosx) = − √
(arccosu) = − √
1 − x2
1 − u2
′

(arctanx)′ =

1
1 + x2

(arccotu)′ = −

1.2.4

(arctanu)′ =

u′
1 + u2

u′
1 + u2

(arccotx)′ = −

1
1 + x2

Đạo hàm của các hàm mũ và logarit
(ax )′ = ax . ln a

(au )′ = au .u′ . ln a

(eu )′ = u′ .eu

(loga u)′ =

u′
u. ln a

u′
(ln |u|) =
u
′

(loga x)′ =

1
x. ln a

(ln |x|)′ =

1
x

(
)
u′
(u ) = uv v ′ ln u + v
u

v ′

7


1.2.5

Đạo hàm của hàm số ngược

Định lý 1.1. Nếu một hàm số liên tục y = f (x) có hàm ngược x = f −1 (y)
thì hàm số ngược đó cũng liên tục.
′
Định lý 1.2. Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm yx ̸= 0 và có hàm số

ngược x = f −1 (y) thì hàm số ngược cũng có đạo hàm x′y và

x′y =
1.2.6

1
y ′x

Vi phân
y = f (x) ⇒ dy = d (f (x)) = f ′ (x) dx

1.3

Các cơng thức tính tích phân bất định

1.3.1

Tính chất của tích phân bất định

∫
′
• ( f (x) dx) = f (x)

•
•
•

∫
∫
∫

kf (x) dx = k

∫

f (x) dx

[f (x) + g (x)] dx =
[f (x) − g (x)] dx =

∫
∫

f (x) dx +
f (x) dx −

∫
∫

g (x) dx
g (x) dx

∫
• d ( f (x) dx) = f (x) dx

1.3.2

Sự tồn tại của nguyên hàm

Mọi hàm số liên tục trên đoạn [a; b] đều có nguyên hàm trên đoạn [a; b].

8


1.3.3

Bảng tích phân bất định của một số hàm số thường gặp
∫

du = u + C

∫

uα du =

∫ du

= ln |u| + C (u ̸= 0)
u
∫

∫

∫
∫

∫

au
a du =
+C
ln a
u

∫

sin udu = − cos u + C
∫

du
= − cot u + C
sin2 u

∫

tan xdx = − ln |cos x| + C

∫

∫

∫

∫

du
√
= arcsin u + C
1 − u2

∫
∫

cos udu = sin u + C
du
= tan u + C
cos2 u

du
= arctan u + C
1 + u2
cot xdx = ln |sin x| + C

∫

thxdx = ln (chx) + C

(x π )
∫ dx
= ln tan
+
+C
cos x
2 4
∫

chxdx = shx + C

∫

shxdx = chx + C

∫ dx
= − coth x + C
sh2 x

eu du = eu + C

dx
1
x−a
=
ln
+C
x2 − a2
2a
x+a

xdx
1
= ln x2 − a2 + C
2 − a2
x
2
∫ dx
x
= ln tan + C
sin x
2

1
uα+1 + C(α ̸= −1)
α+1

9

√
xdx
√
= x2 + a + C
x2 + a
cothxdx = ln (shx) + C
∫ dx
= thx + C
ch2 x

•

∫

√

√
dx
= ln x2 + a + x + C
x2 + a

√
∫√
x√ 2
a2
2 − a2 dx =
2−
•
x
x −a
ln x + x2 − a2 + C
2
2
√
∫√
x√ 2
a2
2 + a2 dx =
2+
•

x
x +a
ln x + x2 + a2 + C
2
2
Nhận xét: Các công thức trên đây được chứng minh bằng tính chất:
∫
f (x)dx = G (x) + C ⇔ G′ (x) = f (x)

1.4
1.4.1

Các định lý và các công thức khác
Định lý Rolle

Giả sử hàm số f : [a; b] → R có các tính chất:
a. f (x) là hàm liên tục trên [a; b].
b. f (x) khả vi trên (a; b)
c. f (a) = f (b)
Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f ′ (c) = 0.

1.4.2

Định lý Lagrange

Giả sử hàm số f : [a; b] → R có các tính chất:
a. f (x) là hàm liên tục trên [a; b].
b. f (x) khả vi trên (a; b)
Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho

f (b) − f (a) = f ′ (c)(b − a).

10


1.4.3

Công thức Euler trên trường số phức
e−ix = cos x − i sin x

eix = cos x + i sin x;
eix + e−ix
Từ đó suy ra cos x =
;
2
Tổng quát: cos nx =

1.4.4

eix − e−ix
sin x =
2i

einx + e−inx
einx − e−inx
; sin nx =
2
2i

Công thức khai triển Taylor

Cho f (x) là hàm số xác định và có đạo hàm tới cấp n + 1 tại a.

f ′′ (a)
f ′ (a)
(x − a) +
(x − a)2 + ...+
f (x) = f (a) +
1!
2!
(n)
f (a)
f (n+1) (a)
n
+
(x − a) +
(x − a)n+1
n!
(n + 1)!
a là một số nằm giữa x và a.

11


Chương 2
Mối quan hệ giữa đạo hàm và
tích phân
2.1

Tích phân các hàm phân thức hữu tỷ

Bài toán 2.1. Với điều kiện nào thì tích phân sau là một hàm hữu tỷ ?
∫
ax2 + bx + c
dx
x3 (x − 1)2
Lời giải.

ax2 + bx + c
A
B C
E
F
Phân tích
+
2 = 3 + 2 +
2 +
x
x
x (x − 1)
x−1
x3 (x − 1)
⇔ ax2 + bx + c = A(x − 1)2 + Bx(x − 1)2 + Cx2 (x − 1)2 +
+ Ex3 + F x3 (x − 1)
đồng nhất hệ số 2 vế ta có

 A = c; C + F = 0





 −2C + E + B − F = 0

 A − 2B + C = a






−2A + B = b
Khi đó
∫

ax2 + bx + c
dx =
x3 (x − 1)2

∫ (

⇔


 A = c; B = b + 2c




 C = a + 2b + 3c


 E =a+b+c






F = −a − 2b − 3c

)
B C
E
A
F
+
+ +
+
dx
x3 x2
x (x − 1)2 x − 1
12


E
−A B
− + C ln |x| −
+ F ln |x − 1| + C0 .
2
2x
x

x−1
để tích phân đã cho trở thành hàm hữu tỷ thì C = F = 0
=

hay a + 2b + 3c = 0.
Ví dụ 2.1. Tính

∫

−5x2 + x + 1
dx
x3 (x − 1)2
Lời giải.

Phân tích
∫
−5x2 + x + 1

x3 (x − 1)2

dx =

Ax2 + Bx + C
+ D ln |x| + E ln |x − 1| + C0
x2 (x − 1)

Lấy đạo hàm 2 vế ta được

(
) (

)
−5x2 + x + 1 (2Ax + B) x2 − x − Ax2 + Bx + C (3x − 2)
=
x3 (x − 1)2
x3 (x − 1)2
D
E
+ +
x
x−1

quy đồng vế phải và đồng nhất 2 vế ta được

5
1
A = 0; B = ; C = ; D = E = 0
2
2
Vậy

∫

Ví dụ 2.2. Tính

−5x2 + x + 1
5x + 1
+ C0 .
2 dx =
2x2 (x − 1)
x3 (x − 1)

∫

x
dx
x3 − 3x + 2
Lời giải.

Phân tích
∫
∫
x
x
dx =
dx =
x3 − 3x + 2
(x − 1)2 (x + 2)
A
+ B ln |x − 1| + C ln |x + 2| + C0
=
x−1
13


Lấy đạo hàm 2 vế ta được

A
C
x
B
=−

+
+
(x − 1)2 (x + 2)
(x − 1)2 x − 1 x + 2
quy đồng và áp dụng hệ số bất định


 B+C =0
 A = −1




3
−A + B − 2C = 1 ⇔





 B = 2; C = −2
−2A − 2B + C = 0
9
9
Vậy

∫

x
1

2
x−1
dx = −
+ ln
+ C0 .
x3 − 3x + 2
3 (x − 1) 9
x+2

Ví dụ 2.3. Tính

∫

I=

x
dx
(x + 1) (x − 1)2
3

Lời giải.

Ax2 + Bx + C
Phân tích: I =
+ D ln |x − 1| + E ln |x + 1| + C0
(x + 1)2 (x − 1)
lấy đạo hàm 2 vế:
(
) (
)

(2Ax + B) x2 − 1 − Ax2 + Bx + C (3x − 1)
x
=
(x + 1)3 (x − 1)2
(x + 1)3 (x − 1)2
D
E
+
+
x−1 x+1
đồng nhất hệ số 2 vế ta được

 D + E = 0; −A + 2D = 0




 A − 2B − 2E = 0










 A = B = −1




8

1
⇔ C=−

4

−2A + B − 3C − 2D = 1


 D = −E = − 1
16
−B + C − D + E = 0

Như vậy
∫

1
x
−x2 − x − 2
x+1
−
dx =
ln
+ C0 .
x−1
(x + 1)3 (x − 1)2
8(x + 1)2 (x − 1) 16

14


Ví dụ 2.4. Tính

∫

dx
(x3 + 1)2
Lời giải.

Phân tích
∫

dx
Ax2 + Bx + C
=
+D
x3 + 1
(x3 + 1)2

∫

dx
+
x+1

∫

Ex + F

dx
x2 − x + 1

Lấy đạo hàm 2 vế

(
) (
)
(2Ax + B) x3 + 1 − Ax2 + Bx + C .3x2
1
=
+
(x3 + 1)2
(x3 + 1)2
D
Ex + F
+
+ 2
x+1 x −x+1

quy đồng và áp dụng hệ số bất định ta có


 D+E =0

A=C=0





 −A − D + E + F = 0








B=1




 −2B + D + F = 0

3


⇔
 −3C + D + E = 0
 D = −E = 2






9







 2A − D + E + F = 0






F =4



9
B+D+F =1
Như vậy
∫

∫

2x − 4
dx
x2 − x + 1
)
(
1
∫

d x−
x
2
1
1
2
2
=
+ ln |x + 1| − ln x − x + 1 +
(
)2
3 (x3 + 1) 9
9
3
1
3
x−
+
2
4
x
2
1
2
2x − 1
=
+ ln |x + 1| − ln x2 − x + 1 + √ arctan √
+ C0 .
3 (x3 + 1) 9
9

3 3
3
x
2
1
dx
=
+ ln |x + 1| −
3 (x3 + 1) 9
9
(x3 + 1)2

15


Ví dụ 2.5. Tính

∫

x2 dx
(x2 + 2x + 2)2
Lời giải.

Phân tích

∫

x2 dx
Ax + B
+

= 2
x + 2x + 2
(x2 + 2x + 2)2

∫

Cx + D
dx
x2 + 2x + 2

Lấy đạo hàm 2 vế được
(
)
A x2 + 2x + 2 − (Ax + B) (2x + 2)
x2
Cx + D
=
+ 2
x + 2x + 2
(x2 + 2x + 2)2
(x2 + 2x + 2)2
sử dụng hệ số bất định, đồng nhất 2 vế ta được


C=0
A=0









 −A + 2C + D = 1
B=1


⇔
 −B + C + D = 0
C=0












A−B+D =0
D=1
∫

⇒

1

x2 dx
= 2
+
x + 2x + 2
(x2 + 2x + 2)2

1
= 2
+
x + 2x + 2
Ví dụ 2.6. Tính

∫

∫

1
dx =
x2 + 2x + 2

dx
1
= 2
+ arctan (x + 1) + C0 .
(x + 1)2 + 1 x + 2x + 2
∫

dx
(x4 + 1)2
Lời giải.

Phân tích
∫
dx

Ax3 + Bx2 + Cx + D
=
+
x4 + 1
(x4 + 1)2
16

∫

Ex3 + F x2 + Gx + H
dx
x4 + 1


Lấy đạo hàm 2 vế được và đồng nhất hệ số ta được

1
3
A = B = D = E = F = 0; C = ; H =
4
4
Như vậy

∫

dx
x
3
=
+
4 (x4 + 1) 4
(x4 + 1)2

∫

dx
x4 + 1

Bây giờ ta tính
∫
∫
∫
dx
ax + b
cx + m
√
√
I=
=
dx +
dx
x4 + 1
x2 + x 2 + 1
x2 − x 2 + 1
lấy đạo hàm 2 vế:

1
ax + b
cx + m
√
√
=
+
x4 + 1 x2 + x 2 + 1 x2 − x 2 + 1
quy đồng và đồng nhất hệ số 2 vế ta có

 a+c=0



1

 a = −c = √
√
√


 −a 2 + b + c 2 + m = 0



2 2
⇔
√
√



 a−b 2+c+m 2=0


b=m= 1




2

b+m=1
√
√
∫
∫
∫
dx
2x + 2 2
1
2x − 2 2
1
√
√
⇒
dx − √
dx
= √
x4 + 1 4 2 x2 + x 2 + 1

4 2 x2 − x 2 + 1
√
∫
∫
dx
2x + 2
1
1
√
dx +
−
= √
(
√ )2
4
4 2 x2 + x 2 + 1
2
1
x+
+
2
2
√
∫
∫
1
2x − 2
1
dx
√

− √
dx +
(
√ )2
4
4 2 x2 − x 2 + 1
1
2
+
x−
2
2

√
1
x2 + x 2 + 1
√
= √ ln
+
4 2
x2 − x 2 + 1
√ (
)
( √
))
( √
2
+
arctan x 2 + 1 + arctan x 2 − 1 + C0
4

17


Vậy
∫

√
dx
x
3
x2 + x 2 + 1
√
=
+ √ ln
+
4 (x4 + 1) 16 2
x2 − x 2 + 1
(x4 + 1)2
√
( √
)
( √
))
3 2(
arctan x 2 + 1 + arctan x 2 − 1 + C0 .
+
16

Bài tốn 2.2. Lập cơng thức truy hồi, tính tích phân:
∫

dx
; n = 1, 2...
In =
(x2 + a)n
Lời giải.
Bằng phương pháp từng phần, ta đặt


2nx
1
 du = −
u=


dx
n
(x2 + a) →
(x2 + a)n+1




dv = dx
v=x
∫
∫
dx
x
x2 dx
In =

= 2
+ 2n
(x2 + a)n
(x + a)n
(x2 + a)n+1

x
In = 2
+ 2n
(x + a)n
=

∫

x2 + a
dx − 2na
(x2 + a)n+1

∫

dx
(x2 + a)n+1

x
+ 2nIn − 2naIn+1
(x2 + a)n

Vậy với a ̸= 0 ta có

In+1 =

x
1
2n − 1
. 2
In
n +
2na (x + a)
2na

đây là cơng thức truy hồi cho phép tính các tích phân I2 , I3 , ...sau khi biết
∫
dx
I1 =
x2 + a

18


Ví dụ 2.7. Tính

∫

I2 =

dx
(x2 + 9)2

Lời giải.
Áp dụng cơng thức truy hồi trên ta có

∫
dx
1
x
1
I2 =
= . 2
+ I1
18 x + 9 18
(x2 + 9)2
(
)
x
1
x
1
+ arctan
+C
= .
18 x2 + 9 3
3
Bài tốn 2.3. Lập cơng thức truy hồi, tính tích phân:
∫
dx
In =
; n = 1, 2..., a ̸= 0
(ax2 + bx + c)n
Lời giải.
Đưa tam thức bậc hai về dạng chính tắc
[(

]
)2
2
[
]
b
4ac − b
ax2 + bx + c = a x +
+
= a t2 + δ
2a
4a2

4ac − b2
b
t = x + ;δ =
2a
4a2
∫
∫
dx
1
dt
In =
n = n
(ax2 + bx + c)
a
(t2 + δ)n

trong đó

khi đó

4ac − b2
• nếu δ =
= 0 thì
4a2
∫
1
1
dt
In = n
= n
+C
a
t2n
a (1 − 2n) t2n−1
• nếu δ =

Jn =

∫

4ac − b2
̸= 0 thì áp dụng bài tốn 2.2 cho tích phân
4a2
∫
dt
Jn =
(t2 + δ)n

dt
t
2n − 3
1
.
+
Jn−1
n =
(t2 + δ)
2 (n − 1) δ (t2 + δ)n−1 2 (n − 1) δ
19


mà In−1 =
nên Jn =
và In =

∫

1 ∫
an−1

dt
1
n−1
In−1
n−1 = n−1 Jn−1 → Jn−1 = a
2 + δ)
a
(t

dt
1
t
2n − 3 n−1
.
a In−1
n =
n−1 +
(t2 + δ)
2 (n − 1) δ (t2 + δ)
2 (n − 1) δ

1
t
2n − 3
Jn =
In−1
n−1 +
an
2a (n − 1) δ
2an (n − 1) δ(t2 + δ)

Đây là cơng thức truy hồi cho phép tính các tích phân I2 , I3 , ...sau khi
biết

∫

I1 =
Ví dụ 2.8. Tính

∫

dx
ax2 + bx + c
dx
(x2 + 6x + 10)3

I3 =

Lời giải.
Ta có

∫

I3 =

dx
=
(x2 + 6x + 10)3

∫
[

dx

]3
(x + 3) + 1
2

Áp dụng công thức truy hồi trên với n = 3; t = x + 3; δ = 1

I3 =

3
x+3
x+3
+
2 + I2 =
4
4(x2 + 6x + 10)
4(x2 + 6x + 10)2
]
[
3
x+3
1
+
+ I1
4 2 (x2 + 6x + 10) 2

trong đó

∫

I1 =

dx
=
(x2 + 6x + 10)

∫

dx
= arctan (x + 3) + C
(x + 3)2 + 1

Vậy

I3 =

x+3
3 (x + 3)
3
+
+ arctan (x + 3) + C.
4(x2 + 6x + 10)2 8 (x2 + 6x + 10) 8
20


Ví dụ 2.9. Tính:

∫

2x + 5
dx
(x2 − 4x − 5)4
Lời giải.

Phân tích

∫

2x + 5
dx =
(x2 − 4x − 5)4

∫

2x − 4
dx + 9
(x2 − 4x − 5)4
=−

Ta có:

∫

I4 =

[

∫

dx

]4 =
2
(x − 2) − 9

∫

dx
(x2 − 4x − 5)4

1
+ 9I4
3(x2 − 4x − 5)3

dt
(t2 − 9)4

với t = x − 2. Áp dụng bài toán 2.2 với n = 3, a = −9 ta được:

I4 = −

5
1
t
− I3 =
.
54 (t2 − 9)3 54
)
(
5
5
1
t
t
t
5

− .
+
=− .
. 2
+
I1
54 (t2 − 9)3 36 (t2 − 9)2 216 t − 9 216

Trong đó I1 =

∫

dt
1
t−3
= ln
+ C.
t2 − 9 6
t+3

Bài tốn 2.4. Tính tích phân:
∫
I=

Pn (x)
dx
(x − a)n+1

trong đó Pn (x) là đa thức bậc n của x.
Lời giải.

Áp dụng khai triển Taylor cho đa thức Pn (x) tại x = a:

Pn (x) =

n
∑ Pn (k) (a)

k!

k=0

21

(x − a)k


Khi đó
∫

∑ Pn (k) (a)
Pn (x)
dx =
k!
(x − a)n+1
k=0
n

I=

=−

n−1
∑
k=0

∫

dx
(x − a)n−k+1

Pn (n) (a)
+
ln |x − a| + C
n!
k! (n − k) (x − a)n−k
Pn (k) (a)

Ví dụ 2.10. Tính

∫

I=

2x5 − 6x4 + 3
dx
(x − 2)6
Lời giải.

Áp dụng khai triển Taylor cho đa thức P5 (x) = 2x5 − 6x4 + 3 tại x = 2
ta được

Pn (x) = −29 − 32 (x − 2) + 16(x − 2)2 + 32(x − 2)3 +
+14(x − 2)4 + 2(x − 2)5
∫

I = −29

dx
− 32
(x − 2)6
∫

+32
=

∫

dx
+ 16
(x − 2)5

dx
+ 14
(x − 2)3

∫

∫

dx

+2
(x − 2)2

dx
+
(x − 2)4
∫

dx
(x − 2)

8
16
16
14
29
+
5 +
4 −
3 −
2 −
(x − 2)
5(x − 2)
(x − 2)
3(x − 2)
(x − 2)
+2 ln |x − 2| + C.

22

2.2

Tích phân các hàm số lượng giác

Bài tốn 2.5. Đặt In =

∫

sinn xdx, (n ∈ N ∗ )

1. Chứng minh rằng

In =

−sinn−1 x cos x n − 1
+
In−2
n
n

2. Từ đó suy ra
∫
(
)
sinn xdx = cos x a1 sinn−1 x + a2 sinn−3 x + a3 sinn−5 x + ... + C
trong đó a1 , a2 , ... là các hệ số bất định.
Chứng minh:
1. Lấy đạo hàm 2 vế ta có
(∫

)′ (
)′
∫
−sinn−1 x cos x n − 1
sinn xdx =
sinn−2 xdx
+
n
n

− (n − 1) sinn−2 xcos2 x + sinn x n − 1 n−2
+
sin x
⇔ sin x =
n
n
⇔ sinn x = sinn x đúng.
n

2. Theo câu 1):

−sinn−1 x cos x n − 1
+
In−2
In =
n
n
−sinn−1 x cos x n − 1
⇔ In =
+

n
n

(

−sinn−3 x cos x n − 3
+
In−4
n−2
n−2

)

tiếp tục phân tích ta được
∫
(
)
sinn xdx = cos x a1 sinn−1 x + a2 sinn−3 x + a3 sinn−5 x + ... + C.
23