Phân tích số liệu của một số công trình xây dựng bằng thống kê toán học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN





ĐẶNG THỊ PHƯƠNG MAI






PHÂN TÍCH SỐ LIỆU
CỦA MỘT SỐ CÔNG TRÌNH XÂY DỰNG
BẰNG THỐNG KÊ TOÁN HỌC






LUẬN VĂN THẠC SĨ
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Hà Nội - 2012


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN





ĐẶNG THỊ PHƯƠNG MAI




PHÂN TÍCH SỐ LIỆU
CỦA MỘT SỐ CÔNG TRÌNH XÂY DỰNG
BẰNG THỐNG KÊ TOÁN HỌC




LUẬN VĂN THẠC SĨ
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số:60 46 15

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Hồ Đăng Phúc






Hà Nội - 2012
MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn……………………………………………………………………………
Lời mở đầu………………………………………………………………………… 1
Chương 1. Mô hình tuyến tính tổng quát……………………………………… 2
1.1. Giới thiệu mô hình tuyến tính tổng quát………………………………………2
1.1.1. Mục đích của hồi quy bội………………………………………………… …2
1.1.2. Những tính toán để giải phương trình hồi quy bội…………………… … …3
1.1.3. Mở rộng của mô hình hồi quy bội thành mô hình tuyến tính tổng quát …….6
1.2. Một số ví dụ về mô hình tuyến tính tổng quát……………………………… 9
1.2.1. Lập phương trình dạng ma trận…………………………………………… 11
1.2.2. Ước lượng tham số………………………………………………………… 12
1.2.3. Quan điểm hình học………………………………………………… …… 16
1.3. Mô hình tuyến tính tổng quát đa biến ………………………………….……18
1.3.1. Ước lượng bình phương bé nhất cho mô hình tuyến tính tổng quát……… 18
1.3.2. Tính chất của ma trận sai số…… …………… ……………… …….…….20
1.3.3. Tính chất của ma trận hệ số hồi quy……… …………… ……………… 21
1.3.4. Tổng các bình phương và tích chéo ứng với giả thuyết và ứng với sai số… 21

1.3.5. Thống kê kiểm định giả thuyết tuyến tính tổng quát đa biến……… …… 22
1.4. Phân phối phần dư trong mô hình tuyến tính tổng quát… ……………… 24
1.4.1. Phần dư đơn biến………………………… …………… …………… 29
1.4.2. Phân phối đồng thời của phần dư đơn biến………………………… 33
1.4.3. Phân phối đồng thời của phần dư đa biến………………………… 35
1.4.4. Phân phối đồng thời cho trường hợp đặc biệt của phần dư đa biến… 40
Chương 2. Phân tích số liệu kiểm toán của một số công trình xây dựng…… 43
2.1. Mô tả số liệu………………………………………………………………… 43
2.1.1. Địa điểm thi công……………………………………………………….… 44
2.1.2. Loại công trình phân theo đặc tính kỹ thuật…………………………….… 47
2.1.3. Loại công trình phân theo chức năng sử dụng………………………….… 48
2.1.4. Cỡ công trình…………………………………………………………….… 51
2.2. Phân tích mức ảnh hưởng của các nhân tố đến tỷ lệ sai phạm…………… 54
2.2.1. Phân tích phương sai cho 4 nhân tố …………………………………….… 54
2.2.2. Mô hình hồi quy tuyến tính tổng quát………………………………… … 55
Kết luận và kiến nghị…………………………………………………………… 61
Tài liệu tham khảo……………………………………………………………… 62









LỜI CẢM ƠN
Lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất của tôi xin dành tặng cho PGS. TS. Hồ
Đăng Phúc. Chính nhờ sự hướng dẫn tận tình của thầy mà tôi mới thực hiện và hoàn
thành được luận văn này. Bên cạnh đó, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban

Giám đốc cùng các nhân viên phòng Kiểm toán đầu tư xây dựng của công ty Hợp
danh kiểm toán Việt Nam (CPA Việt Nam) vì đã cung cấp cho tôi những số liệu
chính xác, có giá trị thống kê của các công trình xây dựng mà công ty đã thực hiện
kiểm toán. Nhờ những số liệu này mà tôi đã thực hiện được phần phân tích ở
chương 2 của luận văn. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm khoa, các
giảng viên trong Khoa Toán – Cơ – Tin học và các học viên của lớp Cao học Toán
2007 – 2009 trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã động
viên, khuyến khích, chia sẻ kinh nghiệm, kiến thức và hướng dẫn tôi trong suốt quá
trình học tập vừa qua.
Trong quá trình làm luận văn chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót,
tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và bạn bè đồng nghiệp.













1
LỜI MỞ ĐẦU
Mô hình tuyến tính tổng quát đã được nhiều nhà khoa học nghiên cứu và ứng
dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học và đời sống khác nhau. Trong luận văn này, tôi
trình bày các cơ sở lý thuyết của mô hình tuyến tính tổng quát và ứng dụng của nó
trong việc phân tích các kết quả kiểm toán của một số công trình xây dựng. Luận

văn được chia thành 2 chương.
Chương đầu tiên là những giới thiệu về mô hình tuyến tính tổng quát. Trong
chương này, tôi đưa ra sự mở rộng của mô hình hồi quy bội thành mô hình tuyến
tính tổng quát. Sau đó là một vài ví dụ về mô hình tuyến tính tổng quát như mô hình
hồi quy tuyến tính, mô hình so sánh hai mẫu bằng phép kiểm định t, mô hình
ANOVA một nhân tố… Tiếp theo là phương trình của mô hình tuyến tính đa biến
và các tính chất của ước lượng tổng bình phương bé nhất, tính chất của ma trận sai
số, tính chất của ma trận hệ số hồi quy,… Phần cuối của chương 1 là nội dung trình
bày về phân phối phần dư trong mô hình tuyến tính tổng quát. Trong đó, chúng ta
xem xét các định nghĩa, định lí của phần dư đơn biến, phân phối đồng thời của phần
dư đơn biến, phân phối đồng thời của phần dư đa biến và phân phối đồng thời cho
trường hợp đặc biệt của phần dư đơn biến.
Chương thứ hai giới thiệu kết quả ứng dụng mô hình tuyến tính tổng quát vào
việc nghiên cứu số liệu kiểm toán của 129 công trình xây dựng đã được công ty
CPA Việt Nam thực hiện công tác kiểm toán trong thời gian gần đây. Chương này
tìm hiểu, xem xét các yếu tố của công trình như địa điểm, đặc điểm, chức năng sử
dụng và cỡ công trình ảnh hưởng như thế nào đối với khả năng xảy ra sai sót trong
công tác quyết toán tài chính đối với mỗi công trình. Thông qua việc áp dụng mô
hình tuyến tính tổng quát, chương này chỉ ra trong các yếu tố trên thì yếu tố nào tác
động một cách có ý nghĩa lên tỷ lệ sai phạm của các các công trình khi quyết toán
(so với kiểm toán). Từ đó có thể rút ra được một số kết luận có ý nghĩa thực tế.



2
CHƯƠNG 1: MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT

1.1. GIỚI THIỆU MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT
Mô hình tuyến tính tổng quát có thể xem là mở rộng của hồi quy tuyến tính bội.
Hiểu rõ về mô hình hồi quy bội là bước chuẩn bị để tìm hiểu về mô hình tuyến tính

tổng quát. Vì vậy chúng ta sẽ xem xét mục đích của hồi quy bội, các thuật toán tính
toán được sử dụng để giải quyết vấn đề hồi quy và làm thế nào để mở rộng mô hình
hồi quy bội thành mô hình tuyến tính tổng quát.
1.1.1. Mục đích của hồi quy bội
Mục đích chung của hồi quy bội là định lượng mối quan hệ giữa một vài biến
độc lập (còn gọi là biến dự báo) và một biến phụ thuộc (biến đáp ứng). Ví dụ, một
đại lý bất động sản có thể dựa trên kích thước của mỗi căn nhà, số lượng phòng ngủ,
thu nhập trung bình trong khu phố tương ứng theo số liệu điều tra dân số để đánh
giá chủ quan về giá bán của căn nhà. Sau khi thông tin này được tổng hợp lại nó sẽ
cho ta biết xem liệu yếu tố nào liên quan và ảnh hưởng như thế nào đến mức giá mà
một ngôi nhà được bán. Ví dụ, người ta có thể thấy rằng số lượng phòng ngủ có vai
trò dự báo tốt hơn về giá mà một ngôi nhà bán tại một khu phố cụ thể so với yếu tố
”nhà đẹp” (đánh giá chủ quan).
Các nhà quản lý nhân sự thường sử dụng phương pháp hồi quy bội để xác định
mức lương thích hợp cho nhân viên được tuyển dụng. Họ có thể xác định một số
yếu tố như "khả năng đáp ứng" (KNDU) hoặc “số người cần giám sát" (No_GS) là
một trong những đóng góp vào giá trị của công việc. Các nhà phân tích thường tiến
hành một cuộc khảo sát lương so sánh giữa các công ty trên thị trường, ghi mức
lương và những đặc điểm tương ứng (ví dụ, mức độ công việc) cho các vị trí khác
nhau. Thông tin này có thể được sử dụng trong một phân tích hồi quy bội để xây
dựng một phương trình hồi quy có dạng:
Mức lương = 0,5 * KNDU + 0.8 * No_GS


3
Khi phương trình hồi quy đã được xác định, các nhà phân tích bây giờ có thể dễ
dàng xây dựng một biểu đồ của mức lương dự kiến (dự đoán) và tiền lương thực tế
của những người đang đương chức trong công ty của họ. Vì vậy, các nhà phân tích
có thể xác định các vị trí đã trả lương thấp (dưới đường hồi quy) hoặc trả quá nhiều
(ở trên đường hồi quy), hoặc trả lương công bằng.

Trong xã hội và khoa học tự nhiên, phương pháp hồi quy bội được sử dụng rất
rộng rãi trong nghiên cứu. Nói chung, hồi quy bội cho phép các nhà nghiên cứu đặt
ra câu hỏi (và hy vọng câu trả lời) về những vấn đề tổng quát "dự báo tốt nhất về …
là gì". Ví dụ, các nhà nghiên cứu giáo dục có thể muốn tìm hiểu các yếu tố dự đoán
tốt nhất về kết quả học tập ở trường trung học là gì. Xã hội học có thể muốn tìm ra
nhiều chỉ số xã hội dự đoán tốt nhất về việc nhóm người nhập cư mới có thích ứng
và được hoà nhập vào xã hội hay không,
1.1.2. Những tính toán để giải phương trình hồi quy bội
Không gian con một chiều trong không gian hai chiều là một đường thẳng được
định nghĩa bởi phương trình
01
YX
bb
=+
. Theo phương trình này, biến Y có thể
được biểu diễn như một hàm của hằng số (
0
) và tích của hệ số (
1
) với biến X.
Hằng số 
0
cũng được gọi là hệ số chặn, còn 
1
được gọi là hệ số dốc hay hệ số hồi
quy. Ví dụ, điểm trung bình các môn học của học sinh được dự đoán bằng công
thức 1 + 0,02 * IQ. Vì vậy, khi biết rằng một học sinh có chỉ số IQ là 130, chúng ta
sẽ dự đoán rằng điểm trung bình các môn học của học sinh đó sẽ là 3,6.
Trong trường hợp hồi quy bội, khi có nhiều biến dự báo, không gian con hồi quy
thường không được hình dung trong một không gian hai chiều, nhưng tính toán là

một sự mở rộng trực tiếp của các tính toán trong trường hợp dự báo đơn biến. Ví dụ,
nếu ngoài các yếu tố IQ chúng ta có thêm vài yếu tố để dự đoán (ví dụ: Động lực, ý
thức kỷ luật), chúng ta có thể xây dựng một phương trình tuyến tính có chứa tất cả
các biến đó. Nói chung, các phương pháp hồi quy bội sẽ ước lượng một phương
trình tuyến tính có dạng:


4
01122

kk
YXXX
bbbb
=++++

với k là số các yếu tố dự báo. Lưu ý rằng trong phương trình này, các hệ số hồi quy
(
1
, , 
k
) đại diện cho những đóng góp độc lập của mỗi biến dự báo vào giá trị của
biến phụ thuộc. Nói cách khác thì đó chính là sự tương quan của biến X
i
với biến Y,
sau khi kiểm soát tác động của tất cả các biến độc lập khác. Loại tương quan này
cũng được gọi là tương quan riêng phần. Ví dụ sau sẽ làm rõ vấn đề này.
Bình thường người ta có thể thấy sự tương quan có ý nghĩa giữa chiều dài tóc và
chiều cao con người (người thấp có mái tóc dài hơn). Tuy nhiên, nếu chúng ta thêm
biến Giới tính vào phương trình hồi quy bội, sự tương quan này sẽ biến mất. Điều
này là do tính trung bình thì phụ nữ có mái tóc dài hơn nhưng cũng thấp hơn so với

nam giới. Như vậy, sau khi chúng ta loại bỏ sự khác biệt giới tính bằng cách đưa
biến giới tính vào phương trình, mối quan hệ giữa chiều dài tóc và chiều cao biến
mất bởi vì chiều dài tóc không có tác động đặc biệt nào cho các dự báo chiều cao.
Nói một cách khác, sau khi kiểm soát biến giới tính, sự tương quan giữa chiều dài
tóc và chiều cao là không có ý nghĩa.
Không gian con hồi quy (một đường thẳng trong hồi quy đơn, một phẳng hoặc
không gian con có số chiều cao hơn trong hồi quy bội) là dự đoán tốt nhất của biến
phụ thuộc Y, được đưa ra bởi các biến độc lập X. Tuy nhiên, thực tế là rất hiếm khi
chúng ta hoàn toàn dự đoán được chính xác giá trị của Y và thường có sự sai lệch
giữa những điểm quan sát được so với không gian con hồi quy thích hợp. Độ lệch
của một điểm cụ thể từ điểm tương ứng gần nhất trên không gian con hồi quy dự
đoán (dự đoán giá trị của nó) được gọi là phần dư. Vì mục tiêu của các phương pháp
hồi quy tuyến tính là đưa ra một không gian con là một hàm tuyến tính của các biến
X nhằm quan sát biến Y càng gần càng tốt, các giá trị dư cho những điểm quan sát
có thể được sử dụng để đưa ra một tiêu chuẩn "phù hợp nhất". Cụ thể, trong bài toán
hồi quy, không gian con được tính sao cho tổng các bình phương độ lệch của các
điểm quan sát được so với không gian con đó là nhỏ nhất. Như vậy, phương pháp
chung gọi là ước lượng bình phương bé nhất.


5
Các tính toán thực tế liên quan đến việc giải quyết các bài toán hồi quy có thể
được biểu diễn gọn gàng và tiện lợi bằng cách sử dụng ma trận. Giả sử rằng n giá trị
quan sát của Y và n giá trị quan sát cho k biến X khác nhau. Sau đó Y
i
, X
ik
và 
i
có

thể đại diện tương ứng cho các quan sát thứ i của biến Y, các quan sát thứ i của các
biến X, và giá trị phần dư chưa biết. Tập hợp những số hạng này đưa vào ma trận, ta
có
111
11
1
1

, ,

1
k
nnnkn
XX
Y
YX
YXX
e
e
e
éù
éùéù
êú
êúêú
êú
êúêú
êú
êúêú
===
êú

êúêú
êú
êúêú
êú
êúêú
ëûëû
ëû
LLL
MMMMMMMM
MMMMMMMM
MMMMMMMM
LLL
.
Mô hình hồi quy bội theo ký hiệu ma trận có thể được biểu diễn như sau
YX
be
=+

trong đó  là một vector cột của các hệ số cần ước lượng, bao gồm hệ số chặn và k
hệ số hồi quy chưa biết. Vì mục tiêu của hồi quy bội là tổng bình phương độ lệch
nhỏ nhất nên hệ số hồi quy cần tìm thoả mãn phương trình chuẩn tắc
''
XXXY
b
=
.
Khi các biến X là độc lập tuyến tính thì phương trình trên có một nghiệm duy nhất.
Khi nhân cả hai vế của phương trình với nghịch đảo của X'X ta được
(
)

(
)
11
''''
XXXXXXXY
b

=
hay
(
)
1
''
XXXY
b
-
= .
Kết quả này đưa ra lời giải cho phương trình hồi quy trong đó chỉ có 2 ma trận X
và Y với 3 phép toán cơ bản của ma trận là: (1) chuyển vị ma trận bao gồm việc đổi
chỗ các phần tử của hàng và của cột trong một ma trận, (2) phép nhân ma trận,


6
trong đó bao gồm việc tìm tổng các tích của các phần tử cho mỗi tổ hợp hàng và cột
của hai hoặc nhiều ma trận, và (3) nghịch đảo ma trận, trong đó bao gồm việc tìm
ma trận có tính chất giống với số nghịch đảo, nghĩa là ma trận thỏa mãn
1
AAAA
-
=

cho một ma trận A.
Tuy nhiên mô hình hồi quy bội còn có những hạn chế cần chú ý là (1) nó được
sử dụng để phân tích duy nhất một biến phụ thuộc, (2) nó không thể cung cấp một
lời giải cho các hệ số hồi quy khi các biến X là không độc lập tuyến tính và do đó
nghịch đảo của X'X không tồn tại. Khi khắc phục những hạn chế này thì mô hình
hồi quy bội được chuyển thành mô hình tuyến tính tổng quát.
1.1.3. Mở rộng của mô hình hồi quy bội thành mô hình tuyến tính tổng quát
Một trong những điểm mà mô hình tuyến tính tổng quát khác với mô hình hồi
quy bội là số lượng của các biến phụ thuộc có thể được phân tích. Véc tơ Y của n
quan sát của một biến Y duy nhất có thể được thay thế bằng một ma trận Y gồm n
quan sát của m biến Y khác nhau. Tương tự, vector  của hệ số hồi quy cho một
biến Y duy nhất có thể được thay thế bởi ma trận B của hệ số hồi quy, với một véc
tơ của hệ số B cho mỗi biến trong số m biến phụ thuộc. Những thay thế đó cho phép
mô hình được gọi là mô hình hồi quy đa biến, nhưng cần nhấn mạnh rằng các công
thức ma trận của mô hình hồi quy bội và đa biến là giống hệt nhau, ngoại trừ số
lượng các cột trong ma trận Y và B. Phương pháp giải các hệ số B cũng giống nhau,
đó là, tập m các hệ số hồi quy khác nhau được xác định riêng rẽ cho m biến phụ
thuộc khác nhau trong mô hình hồi quy đa biến.
Mô hình tuyến tính tổng quát tiến một bước vượt lên trên mô hình hồi quy đa
biến bằng cách chấp nhận các phép biến đổi tuyến tính hoặc tổ hợp tuyến tính của
nhiều biến phụ thuộc. Sự mở rộng này mang lại cho mô hình tuyến tính tổng quát
nhiều lợi thế quan trọng hơn mô hình hồi quy bội và mô hình hồi quy đa biến. Một
lợi thế đầu tiên là các kiểm định đa biến có thể được áp dụng trên một tập nhiều


7
biến phụ thuộc có liên quan. Các phép kiểm định riêng rẽ về ý nghĩa của các biến
phụ thuộc liên quan là không độc lập với nhau và có thể không thích hợp. Các phép
kiểm định đa biến của các tổ hợp tuyến tính độc lập của các biến phụ thuộc có thể

giúp thấy rõ những tổ hợp nào của các biến độc lập liên quan đến các biến dự báo,
tổ hợp nào không liên quan. Một lợi thế khác là khả năng phân tích ảnh hưởng của
các nhân tố được đo lặp lại. Các thiết kế phép đo lặp lại hoặc các thiết kế nội đối
tượng thường được phân tích bằng cách sử dụng kỹ thuật phân tích phương sai
ANOVA. Các tổ hợp tuyến tính của các biến đáp ứng phản ánh hiệu quả của phép
đo lặp (biến độc lập được đo dưới những điều kiện khác nhau) có thể được thiết kế
và kiểm định ý nghĩa bằng cách tiếp cận đơn biến hoặc đa biến để phân tích các
phép đo lặp trong mô hình tuyến tính tổng quát.
Một điều quan trọng thứ hai mà mô hình tuyến tính tổng quát khác với mô hình
hồi quy bội là nó có thể cung cấp một lời giải cho các phương trình chuẩn tắc khi
các biến X không độc lập tuyến tính và nghịch đảo của X'X không tồn tại. Sự dư
thừa của các biến X có thể là không thực chất (ví dụ, có thể xảy ra hai biến dự báo
hoàn toàn tương quan trong một tập dữ liệu nhỏ), là ngẫu nhiên (ví dụ, hai bản sao
của cùng một biến có thể vô tình được sử dụng trong một phân tích) hoặc có chủ
định (ví dụ, biến chỉ thị với các giá trị đối nhau có thể được sử dụng trong phân tích,
như khi cả hai biến dự báo Nam và Nữ được sử dụng trong việc thể hiện giới tính).
Tìm nghịch đảo chính quy của một ma trận có hạng không đầy đủ cũng giống như
việc tìm nghịch đảo của số 0 trong số học thông thường. Không có nghịch đảo bởi
vì không được phép chia cho số 0. Vấn đề này được giải quyết trong mô hình tuyến
tính tổng quát bằng cách sử dụng một nghịch đảo suy rộng của ma trận X'X trong
việc giải các phương trình chuẩn tắc. Một nghịch đảo suy rộng cho một ma trận A là
ma trận
A
-
bất kỳ thỏa mãn
AAAA
-
=
.
Ma trận nghịch đảo suy rộng là không duy nhất và chỉ duy nhất khi ma trận A có

hạng đầy đủ. Khi đó, nó chính là ma trận nghịch đảo chính quy. Ma trận nghịch đảo


8
suy rộng của một ma trận có hạng không đầy đủ có thể được tính bằng cách đơn
giản bằng cách thay các phần tử 0 vào các hàng và cột dư của ma trận. Giả sử rằng
có một ma trận X'X với r-cột độc lập tuyến tính (với r là hạng của X’X) thì ta phân
chia như sau
1112
2122

'

AA
XX
AA
éù
=
êú
ëû

với A
11
là ma trận vuông cấp r. Sau đó, nghịch đảo chính quy của A
11
tồn tại và một
nghịch đảo tổng quát của X'X là
( )
1
1112

2122
0
'
0 0
A
XX
-
-
éù
=
êú
ëû

với mỗi ma trận 0 (không) gồm các số 0 và có số chiều giống như ma trận A tương
ứng.
Tuy nhiên trong thực tế, một nghịch đảo tổng quát đặc biệt của X'X để tìm một
lời giải cho các phương trình chuẩn tắc thường được tính bằng cách sử dụng toán tử
quét. Nghịch đảo suy rộng này, được gọi là nghịch đảo g2, có hai tính chất quan
trọng. Một là việc gán các phần tử 0 trong các hàng và các cột dư là không cần thiết.
Hai là sự phân vùng hoặc sắp xếp lại các cột của X'X là không cần thiết, vì vậy ma
trận có thể tự nghịch đảo “tại chỗ”.
Có vô số nghịch đảo tổng quát của một ma trận X'X không có hạng đầy đủ, do
đó có vô số nghiệm của các phương trình chuẩn tắc. Điều này có thể gây ra sự khó
hiểu về bản chất của mối quan hệ của các biến dự báo và biến phụ thuộc, bởi vì các
hệ số hồi quy có thể thay đổi tùy thuộc vào nghịch đảo suy rộng cụ thể được chọn
để giải các phương trình chuẩn tắc. Tuy nhiên, điều đó không đáng ngại vì tính chất
bất biến quan trọng của nhiều kết quả có thể thu được bằng cách sử dụng mô hình
tuyến tính tổng quát.
Sau đây là một ví dụ đơn giản để minh họa các tính chất bất biến quan trọng
nhất của việc sử dụng nghịch đảo suy rộng trong mô hình tuyến tính tổng quát. Nếu

9
cả hai biến dự báo Nam và Nữ với giá trị đối nhau được sử dụng trong một phân
tích giới tính, tùy vào từng trường hợp mà biến dự báo được coi là phần dư thừa (ví
dụ, biến Nam có thể được coi là phần dư thừa với biến Nữ, hoặc ngược lại). Bất kỳ
biến dự báo nào được coi là phần dư thừa, bất kỳ nghịch đảo suy rộng tương ứng
nào được sử dụng trong việc giải các phương trình chuẩn tắc, và bất kỳ kết quả
phương trình hồi quy nào được sử dụng để tính toán các giá trị dự đoán về các biến
phụ thuộc, các giá trị dự đoán và các phần dư tương ứng cho nam và nữ sẽ không
thay đổi. Trong việc sử dụng mô hình tuyến tính tổng quát, người ta phải nhớ rằng
việc tìm kiếm một nghiệm cụ thể của các phương trình chuẩn tắc chỉ là một bước
trung gian để xác định giá trị đáp ứng của các biến phụ thuộc.
Không giống như mô hình hồi quy bội thường được áp dụng cho trường hợp các
biến X liên tục, mô hình tuyến tính tổng quát hay sử dụng để phân tích cho một mô
hình phân tích phương sai ANOVA hoặc MANOVA với các biến dự báo rời rạc
hoặc với cả hai loại biến dự báo rời rạc và liên tục, cũng như mô hình hồi quy bội
hay đa biến với các biến dự báo liên tục. Ví dụ, giới tính rõ ràng là một biến độc lập
rời rạc. Có hai phương pháp cơ bản mà giới tính có thể được mã hoá thành một hay
nhiều biến dự báo và được phân tích bằng cách sử dụng mô hình tuyến tính tổng
quát.

1.2. MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT
Giả thiết rằng chúng ta sẽ tiến hành một thí nghiệm trong đó chúng ta sẽ quan
sát một biến đáp ứng hay biến phụ thuộc Y
j
, trong đó j = 1,…,J là các chỉ số của
quan sát. Y
j
là một biến ngẫu nhiên. Chúng ta cũng giả thiết rằng với mỗi một quan

sát chúng ta có một tập gồm K (K < J) biến giải thích hay biến độc lập x
jk
(được đo
đạc mà không có sai số), với k = 1,…,K là chỉ số của các biến độc lập (hay biến giải
thích). Các biến độc lập có thể là các hiệp biến liên tục hoặc rời rạc, các hàm của
các hiệp biến, hoặc chúng có thể là các biến hình thức chỉ thị các mức độ của một
nhân tố thực nghiệm.


10
Một mô hình tuyến tính tổng quát biểu diễn các biến đáp ứng Y
j
theo các số hạng
của một tổ hợp tuyến tính của các biến độc lập cộng với phần sai số,
11

jjjkkjKKj
Yxxx
bbbe
=+++++
. (1.1)
Ở đây β
k
là các tham số (chưa biết) tương ứng với mỗi một tập hợp K các biến
giải thích x
jk
. Các sai số ε
j
là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố chuẩn giống
nhau với trung bình 0 và phương sai σ

2
, được viết là
( )
2
0,
iid
j
es
N:
. Các mô hình
tuyến tính với các phân bố sai số khác là các mô hình tuyến tính tổng quát hóa,
thường được ký hiệu là GLM.
Nhiều phương pháp thống kê tham số cổ điển là các trường hợp riêng của mô
hình tuyến tính tổng quát. Chúng ta sẽ minh họa điểm này bằng việc xem xét các
phương trình của hai mô hình nổi tiếng sau.
a. Mô hình hồi quy tuyến tính.
Một ví dụ đơn giản là hồi quy tuyến tính trong đó chỉ một biến độc lập liên tục
duy nhất x
j
được quan sát (không có sai số) trong mỗi quan sát j = 1,…,J. Mô hình
thường được viết như sau
jjj
Yx
mbe
=++
.
Trong đó các tham số chưa biết là µ, một hằng số trong mô hình, hệ số hồi quy β
và sai số
( )
2

0,
iid
j
es
N:
. Biểu thức này có thể được viết lại theo dạng mô hình tuyến
tính tổng quát bằng việc sử dụng một biến hình thức lấy giá trị x
j1
= 1 cho mọi j,
122
jjjj
Yxx
mbe
=++

mà đó là một dạng của phương trình (1.1) khi thay thế β
1
bằng µ.
b. Mô hình so sánh hai mẫu bằng phép kiểm định t.
Mô hình so sánh hai mẫu là một trường hợp đặc biệt của một mô hình tuyến tính
tổng quát, trong đó giả thiết rằng Y
j1
và Y
j2
là hai nhóm độc lập của các biến ngẫu


11
nhiên, phép so sánh
( )

2
,
iid
qjq
Y
ms
N:
, với q = 1, 2, và đánh giá giả thuyết H: µ
1
= µ
2
.
Chỉ số j đánh số các điểm dữ liệu trong cả hai nhóm. Phương pháp biểu diễn mô
hình thống kê theo quy chuẩn như sau
qjqqj
Y
me
=+
.
Chỉ số q ở µ
q
chỉ ra rằng có hai mức đối với hiệu ứng nhóm, µ
1
và µ
2
. Ở đây
( )
2
0,
iid

qj
es
N:
. Biểu thức này có thể được viết lại sử dụng các biến hình thức x
qj1
và
x
qj2
như sau
1122
qjqjqjqj
Yxx
mme
=++
. (1.2)
Phương trình (1.2) có dạng của phương trình (1.1) sau khi đánh số lại cho qj. Ở
đây các biến hình thức cho biết nó là thành viên của nhóm nào, trong đó x
qj1
chỉ ra
khi nào quan sát Y
qj
ở nhóm thứ nhất, trong trường hợp đó nó có giá trị 1 khi q = 1,
và 0 khi q = 2. Tương tự như vậy
2
0
1
qj
x
ì
=

í
î

1.2.1. Lập phương trình dạng ma trận
Mô hình tuyến tính tổng quát có thể được biểu diễn một cách ngắn gọn bằng
cách sử dụng ký kiệu ma trận. Viết lại phương trình (1.1) ở dạng đầy đủ cho mỗi
quan sát j cho ta một tập hợp các phương trình sau
1111111
11
11





kkKK
jjjkkjKKj
JJJkkJKKJ
Yxxx
Yxxx
Yxxx
bbbe
bbbe
bbbe
=+++++
=+++++
=+++++
M
M

Hệ trên có dạng ma trận tương đương như sau
nếu q = 1
n
ếu
q

= 2
.



12
1111
111
1
1


kK
jjjkjKkj
K
JJJkJKJ
xxx
Y
Yxxx
Yxxx
be
be
b
e

ổửổửổử
ổử
ỗữỗữỗữ
ỗữ
ỗữỗữỗữ
ỗữ
ỗữỗữỗữ
ỗữ
=+
ỗữỗữỗữ
ỗữ
ỗữỗữỗữ
ỗữ
ỗữỗữỗữ
ỗữ
ốứ
ốứốứốứ
LL
MMOMOMMM
LL
M
MMOMOMM
LL
,
cú th c vit di dng ma trn
YX
be
=+
,
trong ú Y l vector ct ca cỏc quan sỏt, l vector ct ca cỏc s hng sai s, l

vector ct ca cỏc tham s
[
]
1
,,,,
T
kK
bbbb
=ẳẳ . Ma trn X cú cp J x K, vi
phn t th jk l x
jk
, c gi l ma trn thit k. Ma trn ny cú mt dũng cho mi
quan sỏt, v mt ct (bin gii thớch) cho mi tham s ca mụ hỡnh. im quan
trng v ma trn thit k ú l nú l mt mụ t gn hon chnh mụ hỡnh vi phn d
ca mụ hỡnh l cỏc s hng sai s.
1.2.2. c lng tham s
Khi mt thc nghim ó c hon tt, chỳng ta cú cỏc quan sỏt ca cỏc bin
ngu nhiờn Y
j
, c ký hiu l y
j
. Thụng thng cỏc phng trỡnh ca h biu din
mụ hỡnh tuyn tớnh tng quỏt (vi = 0) khụng th gii c vỡ s lng K cỏc tham
s thng c chn nh hn s lng J ca cỏc quan sỏt. Do ú mt s phng
phỏp c lng tham s ũi hi d liu thớch hp nht cn phi c s dng.
iu ny t c bng cỏch s dng phng phỏp bỡnh phng bộ nht thụng
thng.
Ký hiu mt tp cỏc giỏ tr c lng tham s bi

1
,,
T
K
bbb
ộự
=
ởỷ
K
. Cỏc tham
s ú dn n cỏc giỏ tr tng ng




1
,,
T
J
YYYX
b
ộự
==
ởỷ
K
, cho cỏc sai s phn d
[
]

1
,,
T
J
eeeYYYX
b
==-=-
K
. Tng bỡnh phng phn d
2
1
J
T
j
j
Seee
=
==
ồ

l tng ca cỏc bỡnh phng hiu s gia cỏc giỏ tr tớnh toỏn v giỏ tr thc, v do


13
đó đo đạc mức độ phù hợp của mô hình với các ước lượng đó của các tham số. Các
ước lượng bình phương bé nhất là các ước lượng tham số làm nhỏ nhất tổng bình
phương các phần dư, với dạng đầy đủ là
°
°

( )
2
11
1
J
K
jjjK
j
SYxx
bb
=
=
å
K
.
Giá trị này nhỏ nhất khi
°
( )
°
°
( )
11
1
20
J
K
jkjjjK
j
k
S

xYxx
bb
b
=
¶
= =
¶
å
K
.
Phương trình này là dòng thứ k của
(
)
°
TT
XYXX
b
=
. Do đó các ước lượng
bình phương bé nhất, ký hiệu bởi
µ
b
thỏa mãn phương trình:
(
)
µ
TT
XYXX
b
=

Đối với mô hình tuyến tính tổng quát, các ước lượng bình phương bé nhất là các
ước lượng vững, và là các ước lượng không chệch tuyến tính tốt nhất. Đó là vì, liên
quan đến tất cả các ước lượng tham số tuyến tính xây dựng nên từ kết hợp tuyến
tính của dữ liệu được quan sát có kỳ vọng là giá trị đúng của các tham biến, ước
lượng bình phương bé nhất có phương sai bé nhất.
Nếu (X
T
X) khả nghịch, mà thực tế nó sẽ là như vậy nếu và chỉ nếu ma trận tính
toán X có hạng đầy đủ, thì các ước lượng bình phương bé nhất sẽ là
µ
(
)
1
.
TT
XXXY
b
-
=
(1.3)
a. Các mô hình không có lời giải duy nhất
Nếu X có các cột phụ thuộc tuyến tính, nó sẽ là ma trận có hạng không đầy đủ,
khi đó (X
T
X) suy biến và không khả nghịch. Trong trường hợp này mô hình được
gọi là tham số hóa dư thừa: có vô hạn các tập hợp tham số mô tả cùng một mô hình.


14

Tương ứng, sẽ có vô hạn các ước lượng bình phương bé nhất
µ
b
thỏa mãn các
phương trình.
b. Mô hình ANOVA một nhân tố
Một ví dụ đơn giản về một mô hình như vậy là mô hình phân tích phương sai
một nhân tố cổ điển (ANOVA). Một cách tổng quát, một mô hình ANOVA xác
định biến thiên của một biến đáp ứng được quan sát chịu các ảnh hưởng của các
mức tác nhân. Phần biến thiên không giải thích còn lại được sử dụng để đánh giá
mức ý nghĩa của các tác động. Mô hình ANOVA một nhân tố được viết như sau:
qjqqj
Y
mae
=++

Trong đó Y
qj
là quan sát thứ j trong nhóm q = 1,…,Q. Các tham số của mô hình
này rõ ràng không xác định duy nhất với bất kỳ µ và α
q
nào, các tham số µ’ = µ + d
và α
q
’ = α
q
– d cho một mô hình tương đương với bất kỳ hằng số d nào. Đó chính là
mô hình là không xác định cho đến mức của một hằng số cộng giữa biểu thức hằng
số µ và các tác động nhóm α
q

. Có thể lập luận tương tự như trên cho bất kỳ tập các
ước lượng bình phương bé nhất
µ
¶
,
q
ma
nào. Ở đây có một bậc vô định trong mô
hình, điều đó làm cho ma trận tính toán có hạng Q nhỏ hơn số các tham số (số các
cột của ma trận X). Nếu vector dữ liệu Y có các quan sát được sắp xếp theo nhóm,
khi đó trong trường hợp 3 nhóm (Q = 3), ma trận tính toán và các vector tham số là:
1
2
3
1 1 0 0

1 1 0 0
1 0 1 0
; =
1 0 1 0
1 0 0 1

1 0 0 1
X
m
a
b
a
a
éù

êú
êú
êú
éù
êú
êú
êú
êú
êú
=
êú
êú
êú
êú
ëû
êú
êú
êú
êú
ëû
MMMM
MMMM
MMMM



15
Rõ ràng rằng ma trận này có hạng không đầy đủ: cột đầu tiên là tổng của các cột
khác. Do đó trong mô hình này, người ta không thể kiểm tra trong mô hình này tác
động của một hay nhiều nhóm. Tuy nhiên lưu ý rằng việc cộng vào hằng số µ

không tác động đến các hiệu số tương đối giữa các cặp của các tác động nhóm. Do
đó các hiệu số trong các tác động nhóm được ước lược duy nhất mà không cần xét
đến tập cụ thể của các ước lượng tham số được sử dụng. Nói cách khác, thậm chí
nếu mô hình là tham số hóa dư thừa, vẫn có các tổ hợp tuyến tính có ích của các
tham số (chính là các hiệu số giữa các cặp của các tác động nhóm).
c. Ràng buộc nghịch đảo suy rộng
Trong mô hình với tham số không xác định duy nhất, một tập các ước lượng
bình phương bé nhất có thể được xác định bằng việc đưa vào các ràng buộc đối với
các ước lượng hoặc bằng việc sử dụng cho (X
T
X). Trong trường hợp nào thì cũng
cần chú ý rằng các ước lượng thực sự thu nhận được phụ thuộc vào ràng buộc cụ thể
hoặc phụ thuộc vào phương pháp lấy nghịch đảo suy rộng được lựa chọn.
Có một số ràng buộc cụ thể dựa trên việc loại bỏ các cột từ ma trận tính toán.
Trong ví dụ ANOVA một nhân tố, người ta có thể loại bỏ biểu thức hằng số để xây
dựng một ma trận tính toán có các cột là độc lập tuyến tính. Với các tính toán phức
tạp hơn, dạng của ma trận tính toán có thể thay đổi rất nhiều làm cho mô hình ban
đầu trở nên khó nhận biết.
Một cách khác là phương pháp lấy nghịch đảo suy rộng ma trận có thể được sử
dụng. Đặt
(
)
T
XX
-
ký hiệu cho một ma trận nghịch đảo suy rộng của (X
T
X). Khi đó
chúng ta có thể sử dụng
(

)
T
XX
-
thay vì
(
)
1
T
XX
-
trong phương trình (1.3). Một
tập các ước lượng bình phương bé nhất được cho bởi
µ
(
)
TT
XXXYXY
b
-
-
==
.
Điều đó cho các ước lượng tham số bình phương bé nhất với tổng các bình phương
là bé nhất (cực tiểu L
2
theo chuẩn
µ
2
||||

b
). Ví dụ, với mô hình ANOVA một nhân tố,
phương pháp này cho các ước lượng tham số
µ
(
)
(
)
1
1
Q
q
q
YQ
m
·
=
=+
å
và


16
µ
µ
q
q
Y
am
·

=-
. Chúng ta sử dụng
q
Y
·
để ký kiệu giá trị trung bình của Y trong quan
sát chỉ số j, chính là trung bình của dữ liệu trong nhóm q.
Sử dụng nghịch đảo suy rộng trong ước lượng tham số ở các mô hình với tham
số không xác định duy nhất là một giải pháp thường được sử dụng. Như đã được
giới thiệu ở trên, phương pháp này vẫn không cho phép kiểm tra các tổ hợp tuyến
tính của các tác động mà có một số lượng vô hạn các ước lượng tham số. Chú ý
rằng ràng buộc giả nghịch đảo cho ta giữ nguyên tất cả các cột của ma trận X.
1.2.3. Quan điểm hình học
Đối với một số người, quan điểm hình học cung cấp một cảm nhận trực quan
cho phương pháp phân tích.
Vector của các giá trị quan sát Y định nghĩa một điểm đơn trong không gian
J
Â
, không gian Euclide J chiều.
°
X
b
là một tổ hợp tuyến tính của các cột của ma
trận tính toán X. Các cột của ma trận X là các vector J do đó
°
X
b
với một
°
b

cho
trước định nghĩa một điểm trong không gian
J
Â
. Điểm này nằm trong không gian
con của
J
Â
được xây dựng nên bởi các cột của ma trận tính toán, không gian X.
Chiều của không gian con là rank(X). Nhắc lại rằng không gian được xây dựng nên
từ các cột của X là một tập các điểm Xc với mọi c thuộc không gian
J
Â
. Phần dư
tổng các bình phương cho các ước lượng tham số
°
b
là khoảng cách từ
°
X
b
đến Y.
Do vậy các ước lượng bình phương bé nhất
µ
b
tương ứng với điểm trong không
gian xây dựng bởi các cột của X mà gần nhất với dữ liệu Y. Đường vuông góc từ Y
vào không gian X giao với không gian đó tại điểm
µ
µ

YX
b
=
. Bây giờ sẽ rõ ràng là
tại sao không có các ước lượng bình phương bé nhất duy nhất nếu không gian X có
hạng không đầy đủ; khi đó bất kỳ điểm nào trong không gian X có thể nhận được
bằng các tổ hợp tuyến tính vô hạn các cột của X, chính là nghiệm tồn tại trên một
siêu mặt và không phải là một điểm.


17
Nếu X có hạng đầy đủ, khi đó định nghĩa ma trận của phép chiếu là
(
)
1
TT
X
PXXXX
-
= . Khi đó
µ
X
YPY
=
, và
X
P
về mặt hình học là một phép chiếu
vào không gian X. Tương tự như vậy ma trận của các phần dư là
(

)
JX
RIP
=-
,
trong đó I
J
là ma trận đơn vị có hạng J. Như vậy RY = e, và R là một phép chiếu ma
trận vào không gian trực giao với không gian X.
Sau đây là một ví dụ có liên quan mật thiết, xem xét một hồi quy tuyến tính chỉ
với ba quan sát. Dữ liệu được quan sát là
[
]
123
,,
T
yyyy
= định nghĩa một điểm
trong không gian Euclide ba chiều
3
Â
. Mô hình dẫn đến ma trận tính toán
1
2
3
1
1
1
x
Xx

x
éù
êú
=
êú
êú
ëû
.
Cho trước các giá trị x
j
khác nhau, các cột của X hình thành nên một không gian con
hai chiều trong
3
Â
, một mặt phẳng (Hình 1.1).

Hình 1.1


18
1.3. MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT ĐA BIẾN
Mô hình tuyến tính tổng quát đa biến là sự mở rộng của các trường hợp đơn
biến. Thay vì có một biến phụ thuộc trong một cột của vectơ y, chúng ta có một tập
p biến phụ thuộc trong một số cột của ma trận Y. Do đó mô hình này là
$
$
$
$$ $
$$ $
11121

01020
111*
11121
212*
21222
1*
12


1

1



1

p
p
k
k
p
nnk
nnnp
yyy
xx
xx
yyy
xx
yyy

bbb
bbb
éù
éù
êú
êú
êú
êú
=
êú
êú
êú
êú
êú
ëû
êú
ëû
*1*2*


p
kkkp
bbb
éù
êú
êú
êú
êú
êú
ëû

Ta thấy rằng số lượng các cột của ma trận B phù hợp với số lượng các cột của
ma trận Y. Mô hình có thể trình bày lại như sau
$
$
$
.1.2. .1.2.

p
p
yyyX
bbb
éù
éù
=
ëû
ëû

với mỗi cột Y đưa vào một phương trình hồi quy với các cột tương ứng của B coi
như là các vector hệ số. Ta có thể diễn tả mô hình một cách ngắn gọn nhất bằng
cách sử dụng
µ
YXB
=

Tiếp theo, chúng ta định nghĩa sai số của ma trận dự đoán cấp n x p là ε với
µ
YY
e
=-

, do đó
YXB
e
=+
(1.4)
1.3.1. Ước lượng bình phương bé nhất cho mô hình tuyến tính tổng quát
Làm thế nào để ước lượng được các giá trị chưa biết trong ma trận B? Khi sai số
ε của Y chỉ là một vectơ, ta có thể chọn hàm mục tiêu là
'
ee
. Mặt khác ma trận
'
ee

không là một đại lượng vô hướng mà là một tổng bình phương và tích chéo của ma
trận cấp p x p. Trong trường hợp này ta sẽ làm vết của
'
ee
đạt giá trị nhỏ nhất.
Hàm mục tiêu sẽ là


19
[']
fTr
ee
=

có thể mở rộng (theo phương trình (1.4)) thành
(

)
(
)
'
fTrYXBYXB
=é ù
ëû

Tách các thừa số ta được
[
]
''''''
fTrYYYXBBXYBXXB
= +

Lưu ý rằng vết của một tổng tương đương với tổng của các vết, do đó ta có
(')(')('')('')
fTrYYTrYXBTrBXYTrBXXB
= +

Cần lưu ý rằng
(
)
(
)
’’’
TrBXYTrYXB
=
và
(

)
’
TrYXB
tương đương với Tr(BY’X).
Chúng ta có thể viết lại phương trình trên một cách đơn giản là
(')2(')('')
fTrYYTrBYXTrBXXB
=-+

Để làm cho f nhỏ nhất có thể, ta cần tìm
fB
¶¶
. Ta có
2'['(')']
f
XYXXXXB
B
¶
=-++
¶

Nhưng vì X’X đối xứng, ta có thể đơn giản hóa hơn một chút và có
2'2'
f
XYXXB
B
¶
=-+
¶

Để đạo hàm
0
fB
¶¶=
ta có
''
XXBXY
=

do đó
µ
1
(')'
BXXXY
-
=
(1.5)
Mỗi cột của
µ
B
có công thức tương tự như mô hình đơn biến, ví dụ:
µ
1
.
.
(')'
j
j
BXXXy
-

=



20
1.3.2. Các tính chất của ma trận sai số
Để nói về sự phân phối của ma trận sai số ε, chúng ta sẽ phải sắp xếp lại nó một
chút bằng cách sử dụng toán tử Vec(.) được định nghĩa như sau:
Cho ma trận A cấp m x n với các hàng a
1
’,…, a
m
’, ta định nghĩa
'
1.
'
'''
2.
1.2
'
.
() .

m
m
a
a
vecAvecaaa
a
éù

êú
êú
éù
==
ëû
êú
êú
êú
ëû

Như vậy, toán tử Vec tiến hành ghép các hàng của ma trận A với nhau để được một
vectơ hàng có độ dài m x n.
Chúng ta giả sử, trong một mô hình đa biến tương tự đối với các giả thiết Gauss
Markov rằng phân phối của ma trận ε cỡ n x p là
(
)
x 1 x
()0,
npnpp
VecI
e
NÄå:

Trong đó tích Kronecker của các ma trận, đôi khi được gọi là tích trực tiếp ,
được định nghĩa như sau:
{
}
x x x mpnqmnpqij
CABaB
=Ä=

Ví dụ

11111112
11
11111211211122
21212221112112
21
21212122





abab
aB
abbabab
abbabab
aB
abab
éù
éù
êú
éùéù
êú
êú
Ä==
êúêú
êú
êú

ëûëû
êú
êú
ëû
ëû
L
Các ma trận hiệp phương sai cho Vec(ε) là ma trận cấp np x np. Ma trận hiệp
phương sai đó có một cấu trúc đặc biệt. Nó gợi nhớ tới cấu trúc trong trường hợp
đơn biến là
22
.
II
ss
= . Thay vào đó chúng ta có ma trận phân vùng như sau