Phép biến đổi Mellin của hàm Hermite và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Phạm Nam Giang
PHÉP BIẾN ĐỔI MELLIN CỦA HÀM HERMITE
VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Phạm Nam Giang
PHÉP BIẾN ĐỔI MELLIN CỦA HÀM HERMITE
VÀ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán học tính toán
Mã số: 60.46.30
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. NGUYỄN MINH TUẤN
Hà Nội - 2012
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người đã đưa ra đề tài và tận tình
hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu. Đồng thời tôi cũng chân thành
cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự
nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, đã tạo mọi điều kiện cho tôi về tài liệu và thủ
tục hành chính để tôi hoàn thành luận văn này. Qua đây, tôi cũng gửi lời cảm ơn
đến gia đình, bạn bè đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và
thực hiện luận văn này.
Do thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn luận văn không thể tránh
khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình của các thầy
cô và bạn bè đồng nghiệp, xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, năm 2012

Học viên
Phạm Nam Giang
i
Mục lục
Bảng ký hiệu iii
Lời mở đầu v
1 Phép biến đổi tích phân Mellin 1
1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của phép biến đổi Mellin . . . 1
1.2 Phép biến đổi Mellin ngược. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Tính chất toán tử của phép biến đổi Mellin . . . . . . . . . . . . . 11
1.4 Tích chập của phép biến đổi Mellin. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Tích chập suy rộng của phép biến đổi Mellin 16
2.1 Hàm ảnh của hàm Hermite, hàm dạng Hermite qua phép biến đổi
Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1 Biến đổi Mellin của hàm Hermite một biến . . . . . . . . . 17
2.1.2 Biến đổi Mellin của hàm dạng Hermite . . . . . . . . . . . 18
2.2 Tích chập suy rộng của phép biến đổi Mellin . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.2 Phương trình tích phân với nhân là hàm dạng Hermite . . 29
2.3.3 Phương trình tích phân có chứa hàm exp(x) . . . . . . . . 32
Kết luận 38
Tài liệu tham khảo 39
ii
Bảng ký hiệu
H
n
(x): Đa thức Hermite bậc n.
φ
n

(x): Hàm Hermite.
[x]: Hàm phần nguyên [x] = max {n ∈ Z|n ≤ x}.
Mf, M(f), M[f], M{f}: Biến đổi Mellin của hàm f.
Ff Biến đổi Fourier của hàm f.
L
B
f Biến đổi Laplace của hàm f.
Γ(x): Hàm Gamma Γ(x) =

∞
0
t
x−1
e
−t
dt, với Re x > 0.
B(x, y): Hàm Beta B(x, y) =

1
0
t
x−1
t
y−1
dt, với Re x > 0, Re y > 0.
cosh(x): Hàm Cos hypebolic cosh(x) =
e
x
+e
−x

2
.
sinh(x): Hàm Sin hypebolic sinh(x) =
e
x
−e
−x
2
.
H(x): Hàm Heaviside H(x) =







0, nếu x < 0
1, nếu x ≥ 0
.
Sta, b := {s ∈ C : Re s ∈ a, b}.
a, b: có thể là (a, b) hoặc [a, b] hoặc [a, b) hoặc (a, b].
H(St(a, b)) : là không gian các hàm giải tích trên St(a, b).
ψ
n
(x) := φ
n
(ln x), x ∈ R
+
.

L
1
(R
+
) :=

f : R
+
→ C, f =
∞

0
|f(x)|dx < +∞

.
iii
MỤC LỤC
L
1
(R) =

f : R
+
→ C, f =
∞

−∞
|f(x)|dx < +∞

.

L
1
({c} ×iR) := {f : {c} × iR → C, f(c + i·) ∈ L
1
(R)}.
L
1
(St(a, b)) := {f : St(a, b) → C, f ∈ L
1
({c}) ×iR), ∀c ∈ (a, b)}.
K
n,c
:=
+∞

0
|x
c−1
φ
n
(x)|dx > 0, c > 0.
M
n,c
:=
+∞

0
|x
c−1
ψ

n
(x)|dx > 0, c ∈ R.
f
c
:= K
n,c
+∞

0
|x
c−1
f(x)|dx, với x
c−1
f(x) ∈ L
1
(R
+
).
f
1,c
:= M
n,c
+∞

0
|x
c−1
f(x)|dx, với x
c−1
f(x) ∈ L

1
(R
+
).
iv
Lời mở đầu
Phép biến đổi Mellin lần đầu tiên xuất hiện khi Riemann sử dụng nó để nghiên
cứu hàm Zeta nổi tiếng. Tuy nhiên, người đầu tiên đưa ra một cách có hệ thống
về phép biến đổi này là nhà Toán học người Phần Lan R.H Mellin (1854-1933).
Nghiên cứu trên lý thuyết về những hàm đặc biệt, ông đã phát triển các ứng dụng
về việc tìm nghiệm của các phương trình vi phân siêu hình học và phép lấy tích
phân của các khai triển tiệm cận. Đóng góp của Mellin chiếm một vị trí quan
trọng trong lý thuyết về các hàm giải tích, chủ yếu dựa trên định lí Cauchy và
phương pháp thặng dư [11]. Mặc dù có mối liên hệ mật thiết với biến đổi Fourier
và Laplace, nhưng có nhiều ứng dụng cần phải dùng biến đổi Mellin một cách
trực tiếp, đặc biệt là trong lý thuyết hàm phức (tiệm cận của những hàm liên
quan đến hàm Gamma), trong lý thuyết số (hệ số của chuỗi Dirichlet [9], [10]),
trong toán ứng dụng (ước lượng tiệm cận của tích phân). Bên cạnh những ứng
dụng trong toán học, phép biến đổi Mellin còn có nhiều ứng dụng khác trong vật
lý và kĩ thuật. Ứng dụng nổi tiếng nhất có lẽ là việc tính toán nghiệm của bài
toán thế năng trong miền có dạng hình cái chêm, trong đó hàm cần tìm thỏa
mãn phương trình Laplace với điều kiện biên cho trước [4]. Phép biến đổi Mellin
còn được dùng để giải phương trình vi phân tuyến tính trong kỹ thuật điện bằng
thuật toán tương tự như biến đổi Laplace.
Đa thức Hermite là một trong các dãy đa thức trực giao cổ điển khá phổ biến
mang tên nhà toán học nổi tiếng người Pháp Charles Hermite (1822 - 1901). Sự
ra đời và phát triển bắt nguồn từ những ứng dụng quan trọng trong các lĩnh
vực khác là điểm đặc biệt của đa thức này. Hơn nữa, từ dãy các đa thức Hermite
H
n

(x), ta có dãy các hàm số trực giao, đó là dãy hàm Hermite φ
n
(x) = e
−
x
2
2
H
n
(x).
Dãy hàm Hermite là tập hàm giá trị riêng của biến đổi Fourier được đề cập trong
[1]. Với mục đích tìm hiểu về phép biến đổi Mellin, hàm ảnh của hàm Hermite
qua phép biến đổi Mellin, cũng như ứng dụng của phép biến đổi này, chúng tôi
đã lựa chọn đề tài luận văn là "Phép biến đổi Mellin của hàm Hermite và ứng
dụng". Luận văn được chia làm hai chương.
Chương 1. Trình bày các kiến thức cơ bản về phép biến đổi Mellin bao gồm
v
Lời mở đầu
định nghĩa, tính chất, phép biến đổi ngược, mối liên hệ với phép biến đổi Fourier,
Laplace.
Chương 2. Chương này gồm các kết quả nghiên cứu chính của luận văn: hàm
ảnh của hàm Hermite, và hàm dạng Hermite qua phép biến đổi Mellin, xây dựng
một vài tích chập suy rộng của phép biến đổi Mellin với hàm trọng là các hàm
ảnh vừa tìm được, và giải một lớp phương trình tích phân dựa trên những tích
chập vừa xây dựng được.
Mặc dù đã hết sức cố gắng trong quá trình thực hiện nhưng do trình độ và
điều kiện thời gian có hạn nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong
được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn.
Hà Nội, năm 2012
Học viên

Phạm Nam Giang
vi
Chương 1
Phép biến đổi tích phân Mellin
Trong chương này, luận văn sẽ trình bày những kiến thức cơ bản về phép biến
đổi Mellin bao gồm: định nghĩa của phép biến đổi Mellin, mối quan hệ với các
phép biến đổi Fourier, Laplace, tính chất liên tục, tính giải tích, phép biến đổi
Mellin ngược, và tính chất toán tử.
1.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của
phép biến đổi Mellin
Như đã biết, biến đổi Fourier phức được định nghĩa trong tài liệu [4] như sau
(Fg)(k) = G(k) =
1
√
2π
+∞

−∞
e
−ikt
g(t)dt. (1.1.1)
Nếu dùng phép đổi biến e
t
= x và ik = c −s, trong đó c là một hằng số, thì
dt =
dx
x
, k = is − ic, ds = −idk.
Từ (1.1.1) ta thu được
G(is −ic) =

1
√
2π
+∞

0
x
s−c−1
g(ln x)dx. (1.1.2)
Bằng cách đặt
1
√
2π
x
−c
g(ln x) ≡ f (x), G(ip −ic) ≡ F (s),
1
Chương 1. Phép biến đổi tích phân Mellin
ta thu được
F (s) =
+∞

0
x
s−1
f(x)dx.
Từ đây có được định nghĩa về phép biến đổi Mellin như sau.
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử f(x) là hàm số xác định trên (0, +∞), sao cho
f(x)x
s−1

∈ L
1
(R
+
), với s = c + it ∈ C, c ∈ R, t ∈ R. Khi đó, phép biến đổi
Mellin của hàm f(x) được định nghĩa như sau
(Mf)(s) ≡ F (s) :=
+∞

0
f(x)x
s−1
dx. (1.1.3)
Từ khái niệm này ta thấy, nếu f (x)x
c−1
∈ L
1
(R
+
), với c ∈ R thì biến đổi
Mellin (Mf)(s) tồn tại với mọi s = c + it, t ∈ R, và tích phân trong (1.1.3) hội
tụ tuyệt đối. Vì thế, định nghĩa sau cho phép mô tả không gian tồn tại của phép
biến đổi Mellin.
Định nghĩa 1.1.2. Giả sử c là một số thực nào đó, không gian X
c
được định
nghĩa
X
c
:= {f : R

+
−→ C, f(x)x
c−1
∈ L
1
(R
+
)}
với chuẩn
f
X
c
:= f(x)x
c−1

L
1
(R
+
)
=

∞
0
|f(x)x
c−1
|dx.
Và với a, b ∈ R, a < b, không gian X
(a,b)
và X

[a,b]
được định nghĩa
X
(a,b)
:=

c∈(a,b)
X
c
, X
[a,b]
:=

c∈[a,b]
X
c
.
Nhận xét 1.1.3. X
c
là không gian Banach chứa tất cả các hàm f mà Mf = F (s)
tồn tại với mọi t ∈ R và chuẩn .
X
c
thỏa mãn
|F (c + it)| ≤ f
X
c
, t ∈ R.
Tương tự, X
I

, trong đó I = [a, b] hoặc I = (a, b), là không gian chứa tất cả
các hàm f mà Mf tồn tại với mọi t ∈ R và với mọi c ∈ I. Với I = [a, b], do
+∞

0
|f(x)x
c−1
|dx =
1

0
|f(x)x
c−1
|dx +
+∞

1
|f(x)x
c−1
|dx,
2
Chương 1. Phép biến đổi tích phân Mellin
nên f
X
c
≤ f 
X
a
+ f
X

b
, c ∈ [a, b]. Vì vậy, trên X
[a,b]
ta xét chuẩn
f
X
[a,b]
= sup
c∈[a,b]
f
X
c
.
Lúc đó, X
[a,b]
là không gian Banach với chuẩn đã xét ở trên.
Nhận xét 1.1.4. Phép biến đổi Mellin cũng có mối liên hệ chặt chẽ với phép
biến đổi Laplace hai phía
(L
B
f)(s) =
+∞

−∞
f(t)e
−st
dt. (1.1.4)
Thật vậy, bằng phép đổi biến x = e
−t
trong tích phân (1.1.4) thu được

(L
B
f(t))(s) = M[f(−ln x)](s).
Như vậy, phép biến đổi Laplace có thể biễu diễn như phép biến đổi Mellin.
Ngược lại, bằng phép đổi biến tương tự như trên trong tích phân (1.1.3), ta được
M[f(x)](s) = L
B
[f(e
−t
)](s).
Để thuận tiện, kí hiệu St(a, b) := (a, b) ×iR, St[a, b] := [a, b] ×iR. Trước khi
nghiên cứu về tính liên tục cũng như tính giải tích của phép biến đổi Mellin trên
các không gian đã định nghĩa ở trên, ta chứng minh bổ đề.
Bổ đề 1.1.5. ([2]) Cho f ∈ X
(a,b)
, α, β ∈ R, ε > 0, với a < α − ε < α ≤ β <
β + ε < b. Khi đó, với k ∈ N
0
, tồn tại hằng số K(k, ε) > 0 sao cho
+∞

0
|f(u)(ln u)
k
u
s−1
|du ≤ K(k, ε){f
X
α−ε
+ f

X
β+ε
}, s ∈ St[α, β]. (1.1.5)
Trường hợp riêng k = 0, biến đổi Mellin (Mf)(s) bị chặn đều trên St[α, β]
|(Mf)(s)| ≤ f 
X
α
+ f
X
β
, s ∈ St[α, β]. (1.1.6)
Chứng minh. Với mọi ε > 0, tồn tại K(ε) > 0 sao cho
|ln x|x
ε
≤ K, với mọi x ∈ (0, 1],
|ln x|x
−ε
≤ K, với mọi x ∈ [1, +∞).
3
Chương 1. Phép biến đổi tích phân Mellin
Do đó, tồn tại K(k, ε) > 0 sao cho
+∞

0
|f(u)(ln u)
k
u
s−1
|du ≤
1


0
|f(u)(ln u)
k
u
α−1
|du +
+∞

1
|f(u)(ln u)
k
u
β−1
|du
≤ K(k, ε)



1

0
|f(u)u
α−ε−1
|du +
+∞

1
|f(u)u
β+ε−1

|du



≤ K(k, ε){f
X
α−ε
+ f
X
β+ε
}, s ∈ St[α, β].
Trong trường hợp riêng k = 0
|F (s)| ≤
+∞

0
|f(u)u
s−1
|du ≤ f
X
α
+ f
X
β
, s ∈ St[α, β].
Bổ đề được chứng minh.
Dựa trên kết quả của Bổ đề 1.1.5, tính chất liên tục của phép biến đổi Mellin
được trình bày trong định lý sau.
Định lý 1.1.6. ([2]) Cho c ∈ R, (a, b) ⊂ R. Biến đổi Mellin (Mf)(s) liên tục trên
đường thẳng {c}×iR với f ∈ X

c
và (Mf)(s) liên tục trên St(a, b) với f ∈ X
(a,b)
.
Chứng minh. Cho f ∈ X
c
và t ∈ R, khi đó |f (u)u
c+i(t+h)−1
| = |f (u)u
c−1
| ∈ X
c
với
mọi h ∈ R. Do đó
lim
h→0
(Mf)(c + i(t + h)) = lim
h→0
+∞

0
f(u)u
c+i(t+h)−1
du
=
+∞

0
lim
h→0

(f(u)u
c+i(t+h)−1
)du = (Mf )(c + it).
Vậy Mf liên tục trên đường thẳng {c} × iR .
Với f ∈ X
(a,b)
, để chứng minh (Mf)(s) liên tục tại s = c + it, s ∈ St(a, b) bất
kì, cho α, β ∈ R với a < α < c < β < b, và δ := min{c − α, β − c} > 0. Lúc đó,
với mọi h ∈ C sao cho |h| < δ, thì s, s + h ∈ St[α, β] ⊂ St(a, b), và theo Bổ đề
1.1.5 tồn tại K(α, β) sao cho
+∞

0
|f(u)(ln u)u
s−1
|du ≤ K(α, β), |h| < δ.
4
Chương 1. Phép biến đổi tích phân Mellin
Khi đó, với |h| < δ ta được
|(Mf)(s + h) −(Mf )(s)| ≤
+∞

0
|f(u)(u
s+h−1
− u
s−1
)|du
≤ |h|
+∞


0
|f(u)(ln u)u
s−1
|du ≤ |h|K(α, β).
Vì vậy, (Mf )(s) liên tục trên St(a, b) vì s ∈ St(a, b) tùy ý.
Ngoài tính chất liên tục, phép biến đổi Mellin còn thỏa mãn tính chất giới
hạn được trình bày trong định lý dưới đây.
Định lý 1.1.7. ([2]) Nếu f ∈ X
c
, c ∈ R, thì
lim
|t|→+∞
(Mf)(c + it) = 0 (1.1.7)
và nếu f ∈ X
(a,b)
, thì (1.1.7) hội tụ đều trên mọi [α, β] ⊂ (a, b), c ∈ [α, β].
Chứng minh. Đặt h := e
−
π
t
. Với s = c + it, t ∈ R \{0}, ta có
−(Mf)(s) = e
iπ
(Mf)(s) = h
−it
(Mf)(s) = h
−it
+∞


0
u
c+it−1
f(u)du
= h
c
+∞

0
x
c+it−1
f(hx)du = (M[h
c
f(hx)])(s).
Suy ra
2(Mf)(s) = (Mf)(s) −(M[h
c
f(hx)])(s)
= (M[f − h
c
f(hx)])(s) ≤ f − h
c
f(hx)
X
c
.
Do lim
|t|→+∞
h
c

= 1 với mọi c, nên ta được lim
|t|→+∞
(Mf)(c + it) = 0.
Với f ∈ X
(a,b)
và c ∈ [α, β] ⊂ (a, b), và theo Bổ đề 1.1.5, ta có
h
c
f(hx) −f (x)
X
c
≤ |h
c
− 1|f
X
c
+ h
c
f(hx) −f (x)
X
c
≤ |h
c
− 1|

f
X
α
+ f
X

β

+ h
c

f(hx) −f (x)
X
α
+ f(hx) − f (x)
X
β

.
Vì vậy, (Mf )(s) hội tụ đều đến 0 khi |t| → +∞ trên [α, β].
5
Chương 1. Phép biến đổi tích phân Mellin
Tính giải tích của phép biến đổi cũng đã được trình bày trong nghiên cứu [2]
với kết quả sau.
Định lý 1.1.8. Biến đổi Mellin là một ánh xạ từ không gian X
(a,b)
vào không
gian H(St(a, b)), nghĩa là với f ∈ X
(a,b)
, biến đổi Mellin (Mf)(s) là hàm giải
tích trên St(a, b), hơn nữa với r ∈ N,

d
ds

r

(Mf)(s) = (M[f(u)(ln u)
r
])(s), s ∈ St(a, b). (1.1.8)
Chứng minh. Cho  ⊂ St(a, b) là tam giác với biểu diễn tham số
ϕ(y) : [0, 1] → ,
ϕ là hàm khả vi liên tục từng khúc. Khi đó, hàm số (u, y) → f (u)u
ϕ(y)−1
ϕ

(y), u ∈
R
+
, y ∈ [0, 1], là hàm đo được đối với độ đo Lebesgue hai chiều và theo Bổ đề
1.1.5, ta có
1

0



+∞

0
|f(u)u
ϕ(y)−1
ϕ

(y)|du




dx ≤ K(α, β)
1

0
|ϕ

(y)|dy < +∞,
với α, β ∈ R,  ⊂ St[α, β] ⊂ St(a, b). Lúc đó, giả thiết của định lí Fubini thỏa
mãn. Do đó


(Mf)(s)ds =
1

0
((Mf)(ϕ(y))ϕ

(y)dy
=
+∞

0
f(u)



1

0

u
ϕ(y)−1
ϕ

(y)dy



du =
+∞

0
f(u)



u
s−1
ds

du.
Vì u
s−1
là hàm giải tích trên St(a, b) với mọi u > 0, nên theo định lý tích phân
Cauchy, ta có


u
s−1
ds = 0.

Do đó,


(Mf)(s)ds = 0.
Vì  ⊂ St(a, b) là tùy ý, và (Mf ) là hàm liên tục, nên theo định lí Morera (Mf)
là hàm giải tích trên St(a, b).
Tiếp theo, ta chứng minh công thức (1.1.8). Cho s ∈ St(a, b) tùy ý sao cho
đường tròn K
ε
(s) tâm s bán kính ε được chứa trong St[α, β] ⊂ St(a, b). Đặt
6
Chương 1. Phép biến đổi tích phân Mellin
ψ(y) := s + εe
iy
, khi đó theo công thức tích phân Cauchy cho đạo hàm, ta có với
u > 0
(ln u)
r
u
s−1
=

d
ds

r
u
s−1
=
r!

2πi

K
ε
(s)
u
z−1
(z − s)
r+1
dz
=
r!
2πi

2π
0
u
ψ(y)−1
(ψ(y) −s)
r+1
ψ

(y)dy.
Mặt khác, hàm f(u)u
ψ(y)−1
(ψ(y) −s)
−r−1
ψ

(y) là hàm đo được và


2π
0



+∞

0




f(u)
u
ψ(y)−1
(ψ(y) −s)
r+1
ψ

(y)




du



dy ≤ K(α, β)

2π

0




ψ

(y)
(ψ(y) −s)
r+1




dy
≤ K(α, β)2πε
−r
< +∞.
Do đó, theo định lí Fubini, ta được

+∞
0
f(u)(ln u)
r
u
s−1
du =
r!

2πi
2π

0
ψ

(y)
(ψ(y) −s)
r+1



+∞

0
f(u)u
ψ(y)−1
du



dy
=
r!
2πi

K
ε
(s)
1

(z − s)
r+1



+∞

0
f(u)u
z−1
du



dz =

d
ds

r
(Mf)(s).
Định lí được chứng minh.
Sau đây ta khảo sát một vài ví dụ về phép biến đổi Mellin.
Ví dụ 1.1.9. Xét hàm số
f(x) = H(x − a)x
α
, (1.1.9)
trong đó H là hàm Heaviside, a > 0, α ∈ C. Khi đó, theo (1.1.3) ta có
(Mf)(s) =
∞


a
x
α+s−1
dx = −
a
α+s
α + s
(1.1.10)
nếu Re(s) < −Re(α) và hàm F (s) = (Mf )(s) giải tích trên nửa mặt phẳng
St(−∞, −Re α).
Ví dụ 1.1.10. Cho hàm số f(x) = e
−px
, p ∈ R
+
. Theo công thức biến đổi Mellin,
ta có
(Mf)(s) =
∞

0
e
−px
x
s−1
dx = p
−s
∞

0

e
−u
u
s−1
du = p
−s
Γ(s),
trong đó, hàm Γ(s) là hàm giải tích với Re(s) > 0, nên hàm F (s) cũng giải tích
trên nửa mặt phẳng St(0, +∞).
7
Chương 1. Phép biến đổi tích phân Mellin
Ví dụ 1.1.11. Xét hàm số f(x) =
1
x + 1
. Theo công thức biến đổi Mellin, ta có
(Mf)(s) =
∞

0
x
s−1
dx
x + 1
.
Thực hiện phép đổi biến
x + 1 =
1
1 −t
, t =
x

x + 1
, dt =
dx
(x + 1)
2
,
ta thu được
(Mf)(s) =
1

0
t
s−1
(1 −t)
−s
dt = B(s, 1 −s) = Γ(s)Γ(1 − s) =
π
sin πs
với điều kiện 0 < Re(s) < 1.
1.2 Phép biến đổi Mellin ngược.
Một phép biến đổi tích phân sẽ chỉ thực sự hữu ích khi tồn tại phép biến đổi
ngược. Vì vậy, với Mellin ta cũng cần xác định một phép biến đổi M
−1
sao cho
M
−1
[Mf] = f.
Đối với phép biến đổi Fourier, việc xác định biến đổi ngược gần như chỉ đơn
thuần thông qua việc đổi dấu của phép biến đổi thuận. Nếu
(Ff)(t) =

+∞

−∞
f(x)e
−itx
dx,
thì
(F
−1
g)(x) =
1
2π
+∞

−∞
g(t)e
itx
dt.
Trong khi đó, đối với biến đổi Mellin, cách lấy tích phân phải thực hiện trên
đường thẳng song song với trục ảo giống như phép biến đổi Laplace (hai phía )
ngược. Trong mục này, luận văn tập trung nghiên cứu phép biến đổi Mellin ngược
trên X
c
, cũng như trên X
(a,b)
.
8
Chương 1. Phép biến đổi tích phân Mellin
Định nghĩa 1.2.1. Cho F ∈ L
1

({c}× iR). Phép biến đổi Mellin ngược M
−1
c
[F ]
của hàm số F được định nghĩa như sau
M
−1
c
[F ](x) := f (x) =
1
2πi
c+i∞

c−i∞
F (s)x
−s
ds, Re s = c, x ∈ R
+
. (1.2.1)
Định lý 1.2.2. a) Cho F ∈ L
1
({c}× iR), c ∈ R, khi đó tồn tại biến đổi Mellin
ngược M
−1
c
[F ] và thỏa mãn bất đẳng thức
|M
−1
c
[F ](x)| ≤

x
−c
2π
+∞

−∞
|F (c + it)|dt < ∞, x ∈ R
+
. (1.2.2)
b) Cho F ∈ L
1
(St(a, b)) ∩ H(St(a, b)) và
lim
|t|→+∞
F (c + it) = 0 (1.2.3)
hội tụ đều trên mọi [α, β] ⊂ (a, b), với c ∈ [α, β]. Khi đó, biến đổi Mellin
ngược M
−1
c
[F ] không phụ thuộc vào việc chọn c ∈ (a, b), và vì vậy, với c
1
∈
(a, b) bất kì, M
−1
c
1
[F ] tồn tại và
M
−1
c

[F ](x) = M
−1
c
1
[F ](x), x ∈ R
+
.
Hơn nữa, M
−1
[F ] ∈ X
(a,b)
.
Chứng minh. a) Bất đẳng thức (1.2.2) được suy ra trực tiếp từ định nghĩa
|M
−1
c
[F ](x)| =






1
2πi
c+i∞

c−i∞
F (s)x
−s

ds






=






x
−c
2π
+∞

−∞
F (c + it)x
−it
dt






≤

x
−c
2π
+∞

−∞
|F (c + it)|dt < ∞, x ∈ R
+
.
b) Do F là hàm giải tích trên St(a, b), nên biến đổi Mellin ngược M
−1
c
[F (s)](x)
có thể được hiểu như sau
M
−1
c
[F (s)](x) =
1
2πi
c+i∞

c−i∞
F (s)x
−s
ds = lim
R
1
,R
2

→+∞
c+iR
2

c−iR
1
F (s)x
−s
ds.
Để chứng minh biến đổi Mellin ngược không phụ thuộc vào việc chọn c, cho
c
1
∈ (a, b) tùy ý và chọn α, β ∈ R sao cho a < α < c, c
1
< β < b. Với
9
Chương 1. Phép biến đổi tích phân Mellin
R
1
, R
2
> 0, xét hình chữ nhật K ≡ K(R
1
, R
2
) với các đỉnh c − iR
1
, c +
iR
2

, c
1
− iR
1
, c
1
+ iR
2
. Do F (s)x
−s
là hàm giải tích trên St(a, b) với mỗi
x ∈ R
+
, nên theo định lý Cauchy

K
F (s)x
−s
ds = 0, suy ra
c
1
+iR
2

c
1
−iR
1
F (s)x
−s

ds =



c+iR
2

c−iR
1
+
c−iR
1

c
1
−iR
1
−
c+iR
2

c
1
+iR
2



F (s)x
−s

ds. (1.2.4)
Theo giả thiết (1.2.3), với mọi ε > 0, tồn tại T = T (α, β) > 0 sao cho
|F (c + it)| < ε với mọi |t| > T không phụ thuộc vào c.
Do đó, với R ∈ {−R
1
, R
2
}, |R| > T , ta có






c+iR

c
1
+iR
F (s)x
−s
ds






≤







c

c
1
F (u + iR)x
−(u+iR)
du






≤






c

c
1
εx

−u
du






≤ K
x
ε(β − α),
với K
x
= max
u∈[α,β]
x
−u
. Vì vậy, khi R
1
, R
2
→ +∞, ta được
c+i∞

c
1
+i∞
F (s)x
−s
ds = 0,

c−i∞

c
1
−i∞
F (s)x
−s
ds = 0,
Do đó, từ (1.2.4) ta được
1
2πi
c+i∞

c−i∞
F (s)x
−s
ds =
1
2πi
c
1
+i∞

c
1
−i∞
F (s)x
−s
ds.
Vậy biến đổi Mellin ngược M

−1
c
[F ] không phụ thuộc vào việc chọn c ∈ (a, b).
Tiếp theo ta chứng minh M
−1
[F ] ∈ X
(a,b)
. Cho c ∈ (a, b) tùy ý, chọn α, β
sao cho c ∈ [α, β] ⊂ (a, b), theo công thức (1.2.2), ta có
+∞

0
|M
−1
c
[F ](x)x
c−1
|dx =



1

0
+
+∞

1




|M
−1
c
[F ](x)x
c−1
|dx
≤
1
2π
F (α + i·)
L
1
(R)
1

0
x
c−α−1
dx +
1
2π
F (β + i·)
L
1
(R)
+∞

1
x

c−β−1
dx
≤
1
2π(c −α)
F (α + i·)
L
1
(R)
+
1
2π(β − c)
F (β + i·)
L
1
(R)
< ∞.
10
Chương 1. Phép biến đổi tích phân Mellin
Do đó, M
−1
[F ] ∈ X
c
, vì c ∈ (a, b) tùy ý nên M
−1
[F ] ∈ X
(a,b)
.
Định lý được chứng minh.
Nhận xét 1.2.3. Từ những định lý của phép biến đổi Mellin và phép biến đổi

Mellin ngược ta có kết luận sau
a) Nếu f ∈ X
(a,b)
, Mf ∈ L
1
(St(a, b)), thì với x ∈ R
+
f(x) = M
−1
[Mf](x) =
1
2πi
c+i∞

c−i∞
(Mf)(s)x
−s
ds
không phụ thuộc vào việc chọn c ∈ (a, b).
b) Nếu F ∈ H(St(a, b)) ∩ L
1
(St(a, b)) sao cho điều kiện (1.2.3) được thỏa mãn,
thì tồn tại M
−1
F ∈ X
(
a, b) và với mỗi c ∈ (a, b)
M[M
−1
F ](s) = F (s), s ∈ St(a, b).

1.3 Tính chất toán tử của phép biến đổi
Mellin
Cho f, g ∈ X
(a,b)
. Khi đó, phép biến đổi Mellin có những tính chất toán tử cơ
bản sau (xem [4]).
a) Phép biến đổi Mellin M : X
(a,b)
→ H(St(a, b)) là toán tử tuyến tính
i. (M[f + g])(s) = (Mf)(s) + (Mg)(s), s ∈ St(a, b).
ii. (M[αf ])(s) = α(Mf )(s), s ∈ St(a, b), α ∈ C.
b) Phép co giãn
Nếu α ∈ R
+
, thì
(M[f(αx)])(s) = α
−s
(Mf)(s), s ∈ St(a, b). (1.3.1)
c) Phép tịnh tiến
Nếu α ∈ C, thì
(M[x
α
f(x)])(s) = (Mf)(s + α), s ∈ St(a − Re α, b − Re α). (1.3.2)
11
Chương 1. Phép biến đổi tích phân Mellin
d) Nếu α ∈ R
+
, thì
(M[f(x
α

)])(s) = α
−1
(Mf)

s
α

, s ∈ St(αa, αb). (1.3.3)
M

1
x
f

1
x

(s) = (Mf ) (1 − s) , s ∈ St(1 −b, 1 − a). (1.3.4)
e) Phép biến đổi của đạo hàm
Nếu lim
x→0
x
s−r−1
f
(r)
(x) = 0 và lim
x→+∞
x
s−r−1
f

(r)
(x) = 0 với r = 0, n − 1, thì
(M[f
(n)
(x)](s) = (−1)
n
Γ(s)
Γ(s −n)
(Mf)(s −n), s ∈ St(a + n, b + n).
f) Phép biến đổi của tích hỗn tạp
Sử dụng Tính chất tịnh tiến c) và Tính chất e), nếu lim
x→0
x
s+r
f
(r)
(x) = 0 và
lim
x→+∞
x
s+r
f
(r)
(x) = 0 với r = 0, n − 1, thì
M

x
n
f
(n)

(x)

(s) = (−1)
n
Γ(s + n)
Γ(s)
(Mf)(s), s ∈ St(a, b). (1.3.5)
g) Phép biến đổi của toán tử vi phân
Bằng cách sử dụng công thức (1.3.5) ta thu được
M


x
d
dx

2
f(x)

= M

x
2
f

(x) + xf

(x)

= (−1)

2
s
2
(Mf)(s). (1.3.6)
và tổng quát hơn,
M

x
d
dx

n
f(x)

= (−1)
n
s
n
(Mf)(s). (1.3.7)
h) Phép biến đổi của tích phân
M


x

0
f(t)dt


(s) = −

1
s
M[f] (s + 1), s ∈ St(a −1, b − 1). (1.3.8)
i) Công thức Parseval
Nếu F (s) = (Mf )(s), G(s) = (Mg)(s), thì
M[f(x)g(x)] =
1
2πi
c+i∞

c−i∞
F (t)G(s −t)dt. (1.3.9)
12
Chương 1. Phép biến đổi tích phân Mellin
Trường hợp riêng, khi s = 1, ta thu được công thức Parseval cho biến đổi
Mellin
∞

0
f(x)g(x)dx =
1
2πi
c+i∞

c−i∞
F (t)G(1 −t)dt. (1.3.10)
Chứng minh. Theo định nghĩa, ta có
M[f(x)g(x)] =
∞


0
x
s−1
f(x)g(x)dx =
1
2πi
∞

0
x
s−1
g(x)dx
c+i∞

c−i∞
x
−t
F (t)dt
=
1
2πi
c+i∞

c−i∞
F (t)dt
∞

0
x
s−t−1

g(x)dx =
1
2πi
c+i∞

c−i∞
F (t)G(s −t)dt.
Khi s = 1, kết quả trên trở thành kết quả (1.3.10).
1.4 Tích chập của phép biến đổi Mellin.
Định nghĩa 1.4.1. Giả sử f, g là những hàm xác định trên R
+
. Khi đó, tích chập
đối với biến đổi Mellin của hai hàm f, g được định nghĩa như sau
(f ∗ g) =
∞

0
f(y)g

x
y

dy
y
. (1.4.1)
Định lý 1.4.2. (xem [6],[2]) Nếu f, g ∈ X
c
, c ∈ R, thì tích chập f ∗g cũng thuộc
không gian X
c

đồng thời thõa mãn bất đẳng thức chuẩn, và đẳng thức nhân tử hóa
f ∗ g
X
c
≤ f 
X
c
g
X
c
. (1.4.2)
M[f ∗g] = (Mf )(Mg). (1.4.3)
Chứng minh. Vì f, g ∈ X
c
nên
+∞

0


x
c−1
(f ∗ g)(x)


dx ≤
+∞

0
+∞


0




x
c−1
f(y)g

x
y





dy
y
dx
≤
+∞

0
|y
c−1
f(y)|
+∞

0







x
y

c−1
g

x
y






dx
y
dy
≤
+∞

0
|y
c−1
f(y)|dy

+∞

0
|t
c−1
g(t)|dt = f
X
c
g
X
c
.
13
Chương 1. Phép biến đổi tích phân Mellin
Vậy bất đẳng thức (1.4.2) được chứng minh. Từ đây suy ra tích chập (1.4.1) thuộc
không gian X
c
.
M[f ∗ g](s) = M


+∞

0
f(y)g

x
y

dy

y


=
+∞

0
x
s−1
+∞

0
f(y)g

x
y

dy
y
dx
=
+∞

0
f(y)
dy
y
+∞

0

x
s−1
g

x
y

dx =
+∞

0
f(y)
dy
y
+∞

0
(ty)
s−1
g(t)ydt
=
+∞

0
y
s−1
f(y)dy
+∞

0

t
s−1
g(t)dt = (Mf)(s)(Mg)(s).
Định lý được chứng minh.
Một số tính chất của tích chập.
a. Giao hoán: f ∗ g = g ∗ f.
b. Kết hợp: (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h).
c.

x
d
dx

k
(f ∗ g) =


x
d
dx

k
f

∗ g = f ∗


x
d
dx


k
g

.
d. (ln x)(f ∗g) = [(ln x)f] ∗g + f ∗[(ln x)g].
Ví dụ 1.4.3. Cho hai hàm số f(x) = H(x − 2) và g(x) = H(x − 2)x
2
.
Theo ví dụ (1.1.9), ta thấy f ∈ X
(−∞,0)
, và g ∈ X
(−∞,−2)
. Do đó, f, g ∈ X
(−∞,−2)
.
Từ (1.4.1), ta có
(f ∗ g)(x) =
∞

0
f(y)g

x
y

dy
y
(1.4.4)
Vế phải của (1.4.4) chỉ có thể khác không khi

x
y
≥ 2 và y ≥ 2. Vì vậy, với x ≥ 4
(f ∗ g)(x) =
x
2

2
ydy =
x
2
8
− 2.
Suy ra
(f ∗ g)(x) =
1
8
H(x − 4)

x
2
− 16

.
Theo ví dụ (1.1.9), dễ thấy (f ∗ g)(x) ∈ X
(−∞,−2)
.
14
Chương 1. Phép biến đổi tích phân Mellin
Ví dụ 1.4.4. Cho hai hàm số

f(x) =







x , nếu 0 ≤ x ≤ e
0 , nếu x > e.
và
g(x) =







1 , nếu 0 ≤ x ≤ 1
0 , nếu x > 1.
Ta có f, g ∈ X
(0,+∞)
và
(f ∗ g)(x) =
∞

0
f(y)g


x
y

dy
y
(1.4.5)
Vế phải của phương trình trên chỉ khác không khi 0 ≤
x
y
≤ 1 và 0 ≤ y ≤ e. Do
đó, với 0 ≤ x ≤ e, ta có
(f ∗ g)(x) =
e

x
dy = e − x.
Vì vậy
(f ∗ g)(x) =







e −x , nếu 0 ≤ x ≤ e
0 , nếu x > e.
Dễ thấy (f ∗ g)(x) ∈ X
(0,+∞)
và (Mf )(Mg) = M[f ∗g].

15
Chương 2
Tích chập suy rộng của phép biến
đổi Mellin
Trong chương này, luận văn trình bày các kết quả về hàm ảnh của hàm
Hermite, hàm dạng Hermite qua phép biến đổi Mellin, tích chập suy rộng của
phép biến đổi Mellin.
2.1 Hàm ảnh của hàm Hermite, hàm dạng
Hermite qua phép biến đổi Mellin
Đa thức Hermite một biến được định nghĩa bởi công thức sau (xem [3])
H
n
(x) =
[
n
2
]

r=0
(−1)
r
n!
r!(n − 2r)!
(2x)
n−2r
. (2.1.1)
Từ công thức đa thức Hermite một biến bậc n, ta có công thức hàm Hermite
tương ứng
φ
n

(x) = e
−
x
2
2
[
n
2
]

r=0
(−1)
r
n!
r!(n − 2r)!
(2x)
n−2r
. (2.1.2)
Ngoài ra, trong vật lý lượng tử, đa thức Hermite còn được biểu diễn dưới dạng
công thức sau
H
n
(x) = (−1)
n
e
x
2
d
n
dx

n
e
−x
2
. (2.1.3)
16
Chương 2. Tích chập suy rộng của phép biến đổi Mellin
2.1.1 Biến đổi Mellin của hàm Hermite một biến
Định lý 2.1.1. Biến đổi Mellin của hàm Hermite φ
n
(x) là
ϕ
n
(s) := M[φ
n
](s) =
[
n
2
]

r=0
(−1)
r
n!2
3n
2
−3r−1
r!(n − 2r)!
2

s
2
Γ

s + n −2r
2

, (2.1.4)
và ϕ
n
(s) ∈ H(St(0, +∞)) nếu n chẵn, ϕ
n
(s) ∈ H(St(−1, +∞)) nếu n lẻ.
Chứng minh. Nếu n chẵn, thì φ
n
∈ X
(0,+∞)
, suy ra ϕ
n
(s) ∈ H(St(0, +∞)). Nếu
n lẻ, thì φ
n
∈ X
(−1,+∞)
, nên ϕ
n
(s) ∈ H(St(−1, +∞)).
• Trường hợp n = 0, ta có
M[φ
0

](s) =
+∞

0
x
s−1
e
−
1
2
x
2
dx =
+∞

0
(2t)
s
2
−1
e
−t
dt = 2
s
2
−1
Γ

s
2


.
• Trường hợp n = 1, ta có
M[φ
1
](s) =
+∞

0
x
s−1
2xe
−
1
2
x
2
dx = 2
+∞

0
(2t)
s
2
−
1
2
e
−t
dt = 2

s
2
+
1
2
Γ

s
2
+
1
2

.
• Với trường hợp n bất kì, sử dụng công thức (2.1.1) và (1.1.3), ta có
M[φ
n
](s) =
+∞

0
x
s−1
e
−
x
2
2
[
n

2
]

r=0
(−1)
r
n!
r!(n − 2r)!
(2x)
n−2r
dx
=
[
n
2
]

r=0
(−1)
r
n!2
n−2r
r!(n − 2r)!
+∞

0
x
s+n−2r−1
e
−

1
2
x
2
dx
=
[
n
2
]

r=0
(−1)
r
n!2
n−2r
r!(n − 2r)!
+∞

0
(2t)
s+n−2r
2
−1
e
−t
dt
=
[
n

2
]

r=0
(−1)
r
n!2
n−2r
r!(n − 2r)!
2
s+n−2r
2
−1
Γ

s + n −2r
2

=
[
n
2
]

r=0
(−1)
r
n!2
3n
2

−3r−1
r!(n − 2r)!
2
s
2
Γ

s + n −2r
2

.
Do đó, M[φ
n
](s) =
[
n
2
]

r=0
(−1)
r
n!2
3n
2
−3r−1
r!(n−2r)!
2
s
2

Γ

s+n−2r
2

.
Từ đây ta thấy Định lí được chứng minh.
17