Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biển đổi tích phân hartley fourier và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
ĐỖ THỊ HỒNG ÁNH
TÍCH CHẬP SUY RỘNG VỚI HÀM TRỌNG ĐỐI VỚI
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN HARTLEY
FOURIER SINE VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC
Chun ngành: Tốn ứng dụng
Mã số: 60.46.01.12
Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN MINH KHOA
THÁI NGUN - NĂM 2013
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Mục lục
Một số ký hiệu dùng trong luận văn 3
Lời cảm ơn 4
Lời mở đầu 5
1 Các phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier sine 7
1.1 Phép biến đổi tích phân Fourier sine . . . . . . . . . 7
1.1.1 Định nghĩa phép biến đổi tích phân Fourier
sine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Các tính chất của phép biến đổi Fourier sine 8
1.1.3 Ứng dụng phép biến đổi tích phân Fourier sine
và giải phương trình vi phân đạo hàm riêng . 10
1.2 Phép biến đổi tích phân Hartley . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Định nghĩa các phép biến đổi Hartley . . . . . 12
1.2.2 Các tính chất của các phép biến đổi Hartley . 13
1.3 Phép biến đổi tích phân Fourier cosine . . . . . . . . 15
1.3.1 Định nghĩa phép biến đổi tích phân Fourier
cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 Các tính chất của phép biến đổi Fourier cosine 15

2 Tích chập suy rộng 19
2.1 Định nghĩa tích chập suy rộng . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Các tính chất của tích chập suy rộng . . . . . . . . . 19
2.3 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1
Số hóa bởi trung tâm học liệu />2.3.1 Các bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.2 Một lớp phương trình tích phân dạng chập . . 27
2.3.3 Một lớp hệ phương trình tích phân kiểu đa chập 28
Kết luận 32
Tài liệu tham khảo 32
2
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Một số ký hiệu dùng trong luận
văn
• R
+
là tập số thực dương.
• L(R) là tập các hàm f xác định trên R sao cho

+∞
−∞
|f(x)|dx < +∞
• L(R
+
) là tập các hàm f xác định trên R sao cho

+∞
0
|f(x)|dx < +∞
• f là hàm thực hoặc phức xác định trên R
casx = cos x + sin x

3
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Lời cảm ơn
Hồn thành luận văn, từ đáy lòng mình em xin gửi tới thầy
TS. Nguyễn Minh Khoa sự hàm ơn sâu sắc. Em cũng xin được gửi
lời cảm ơn chân thành đến các thầy cơ giáo trong khoa Tốn, phòng
sau Đại học Đại Học Khoa Học – Đại Học Thái Ngun đã giảng
dạy, tạo điều kiện giúp đỡ em.
Đồng thời xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã tận tình
giúp em hồn thành q trình học tập và viết luận văn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Thái Ngun, ngày 1 tháng 08 năm 2013.
Học viên
Đỗ Thị Hồng Ánh
4
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Cùng với sự phát triển liên tục của các phép biến đổi tích phân,
một hướng rẽ nhánh phát triển mới của các phép biến đổi tích phân
là tích chập của các phép biến đổi tích phân xuất hiện vào khoảng
đầu thế kỷ 20. Ngót một thế kỷ trơi qua kể từ buổi đầu khai sinh
của tích chập ta nhận thấy ban đầu tích chập chỉ được xét đối với
từng phép biến đổi tích phân và phổ biến nhất được ứng dụng rộng
rãi nhất là tích chập của phép biến đổi tích phân Fourier. Thuộc
tính đặc trưng của tích chập loại này là trong đẳng thức nhân tử
hóa chỉ có mặt một phép biến đổi tích phân. Điều này bó hẹp phạm
vi ứng dụng của tích chập. Ngồi trừ tích chập suy rộng đối với hai
phép biến đổi tích phân Fourier Sine, Fourier Cosine được Sneldon
cơng bố năm 1951 [5] thì phải đợi đến gần hai thập kỷ trở lại đây
tích chập suy rộng mới được xây dựng bởi các tác giả Nguyễn Xn
Thảo, Nguyễn Minh Tuấn, Nguyễn Minh Khoa, Yakubovich

Tích chập , tích chập suy rộng có nhiều ứng dụng lý thú trong
một số lĩnh vực của khoa học kỹ thuật và tốn học [2, 5, 9,. . .] Một
số tích chập đã biết được dùng trong ln văn Tích chập của hai
hàm f, g ∈ L(R) đối với phép biến đổi Fourier Cosine [9]
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày định nghĩa, các tính chất của các phép biến đổi tích
phân Fourier Sine, Hartley và nêu các ví dụ áp dụng. Xây dựng và
nghiên cứu tích chập suy rộng mới đối với các phép biến đổi tích
5
Số hóa bởi trung tâm học liệu />phân Fourier Sine, Hartley và ứng dụng để giải phương trình, hệ
phương trình tích phân dạng chập.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các phép biến đổi tích phân, tích chập suy rộng của
các phép biến đổi tích phân Fourier Sine, Hartley và ứng dụng vào
giải phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân dạng chập.
4. Phương pháp nghiên cứu
• Sử dụng các phép biến đổi tích phân, lý thuyết phương trình
tích phân và các kết quả của giải tích, giải tích hàm.
• Sử dụng phương pháp kiến thiết tích chập có hàm trọng của
V.A. Kakichev, Nguyễn Xn Thái và lý thuyết trong các bài
báo của Nguyễn Minh Khoa để xây dựng và nghiên cứu tích
chập và các ứng dụng của chúng.
5. Bố cục luận văn
Ngồi phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm hai chương:
Chương 1: Các phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier
sine.
Nhắc lại định nghĩa và các tính chất cơ bản của các phép biến
đổi tích phân Hartley, Fourier sine và đưa ra một số ví dụ áp dụng.
Chương 2: Tích chập suy rộng.
Xây dựng và nghiên cứu các tính chất của tích chập và đưa ra

ứng dụng giải phương trình, hệ phương trình tích phân dạng chập.
6
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Chương 1
Các phép biến đổi tích phân
Hartley, Fourier sine
1.1 Phép biến đổi tích phân Fourier sine
1.1.1 Định nghĩa phép biến đổi tích phân Fourier sine
Định nghĩa 1.1. Cho f ∈ L(R
+
), hàm F
s
f được xác định bởi
ˆ
f(y) = (F
s
f)(y) =

2
π

+∞
0
f(x) sin yx dx (1.1)
là phép biến đổi Fourier sine của hàm f.
Ta có cơng thức nghịch đảo sau
f(x) = (F
s
ˆ
f)(X) =


2
π

+∞
0
ˆ
f(y) sin yx dy (1.2)
Ví dụ 1.1. Tìm biến đổi Fourier sine của hàm
f(x) = e
−αx
, α > 0
7
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Giải:
(F
s
f)(y) =

2
π

+∞
0
e
−αx
dx
=
1
2i

2

π

+∞
0
[e
−(α−iy)x
− e
−(α+iy)x
]dx
=
1
2i

2
π

1
α −iy
−
1
α + iy

=

2
π

y
α
2

+ y
2

Ví dụ 1.2. Tìm biến đổi Fourier sine của hàm
f(x) =



m, 0 < x < a
0, x > a
Giải:
Ta có
(F
s
f)(y) =

2
π
.m

a
0
sin yxdx
=

2
π
m
1
y

[1 −cos ay]
1.1.2 Các tính chất của phép biến đổi Fourier sine
Tính chất 1.1. (Tính tuyến tính)
Nếu f, g có biến đổi Fourier sine, thì mọi α, β ∈ R ta có
F
s
(αf + βg) = α(F
s
f) + β(F
s
g).
Chứng minh. Với mọi f, g ∈ L(R
+
); ∀α, β ∈ R ta có
F
s
[αf(x) + βg(x)](y) =

2
π

+∞
0
[αf(x) + βg(x)]. sin yxdx
= α

2
π

+∞

0
f(x) sin yx dx
+ β

2
π

+∞
0
g(x) sin yx dx
= α(F
s
f)(y) + β(F
s
g)(y).
8
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Vậy F
s
là tốn tử tuyến tính.
Tính chất 1.2. Với a > 0 đặt f
a
(x) = f(ax), khi đó ta có:
(F
s
f
a
)(y) =
1
a
(F

s
f)

y
a

Chứng minh.
(F
s
f
a
)(y) =

2
π

+∞
0
f(ax)dx
=
1
a

2
π

+∞
0
f(ax) sin


y
a
ax

d(ax)
=
1
a

2
π

+∞
0
f(t) sin

y
a
t

dt (t = ax)
=
1
a
(F
s
f)

y
a


.
Tính chất 1.3. (Biến đổi Fourier sine của đạo hàm)
Giả sử f (x) liên tục và khả tích tuyệt đối trên (0, +∞), f

(x) liên
tục từng khúc trên mọi đoạn hữu hạn và f (x) → 0 khi x → +∞.
Khi đó
F
s
(f

(x))(y) = −y(F cf(x))(y)
Chứng minh. Lấy tích phân từng phần ta có
F
s
(f

) =

2
π

+∞
0
f

(x) sin yxdx
=


2
π
[f(x). sin yx



+∞
0
− y

+∞
0
f(x) cos yxdx]
= −yF
c
f.
Tính chất 1.4. Giả sử các phép biến đổi Fourier sine, Fourier
cosine sau đều tồn tại, khi đó ta có hệ thức:
F
s
(f

) = −y
2
F
s
(f) +

2
π

yf (0).
9
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Chứng minh. Ta có:
F
c
(f

) =

2
π

+∞
0
f

(x)yxdx
=

2
π

f(x). cos yx



+∞
0
+ y


+∞
0
f(x) sin yxdx

= −

2
π
f(0) + yF
s
(f)
Áp dụng tính chất 1.3 ta có:
F
s
(f

) = −yF
c
(f

)
= −y

yF
s
(f) −

2
π
f(0)


Từ đây ta nhận được điều phải chứng minh.
1.1.3 Ứng dụng phép biến đổi tích phân Fourier sine và
giải phương trình vi phân đạo hàm riêng
Bài tốn
Giải phương trình truyền nhiệt một chiều
∂u
∂t
=
∂
2
u
∂x
2
(1.3)
Trong đó u(x, t) xác định trong miền x ≥ 0, t ≥ 0, với các điều
kiện biên
i) u(0, t) = 0
ii) u(x, 0) = P (x), (P (x) là hàm phân bố nhiệt độ ban đầu).
Ở đây ta giả thiết thêm là hàm u cùng với các đạo hàm theo biến x
của nó tiến tới 0 khi x → +∞.
10
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Lời giải bài tốn
Áp dụng biến đổi Fourier sine vào hai vế (1.3) ta có
F
s

∂u
∂t


= F
s

∂
2
u
∂x
2

(1.4)
Vế trái của (1.4) là
F
s

∂u
∂t

=

2
π

+∞
0
∂u
∂t
sin kx dx
=
∂u
∂t



2
π

+∞
0
u(x, t) sin kx dx

=
∂u
∂t
với U (k, t) = F
s
(u(x, t)).
(1.5)
Vế phải của (1.4) là
F
s

∂
2
u
∂x
2

=

2
π


+∞
0
∂
2
u
∂x
2
sin kxdx
=

2
π

+∞
0
sin kx.d

∂u
∂x

=

2
π

sin kx.
∂u
∂x





+∞
0
−

+∞
0
∂u
∂x
d(sin kx)

= −k

2
π

+∞
0
cos kx.
∂u
∂x
dx
= −k

2
π

+∞

0
cos kx.du
= −k

2
π

[cos kx.u]



+∞
0
−

+∞
0
ud(cos kx)

= k

2
π
u(0, t) − k
2

2
π

+∞

0
u sin kx dx
= −k
2
u(k, t), vì u(0, t) = 0
(1.6)
Từ (1.17) và (1.6) ta có:
du(k, t)
dt
= −k
2
u(k, t) (1.7)
11
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Theo lý thuyết phương trình vi phân thường thì phương trình (1.19)
có nghiệm.
u(k, t) = u(k, 0)e
−k
2
t
(1.8)
Trong đó
u(k, 0) = F
s
{u(x, 0)} =

2
π

+∞
0

P (x) sin kx dx.
Vậy phương trình (1.3) có nghiệm
u(x, t) = F
−1
{u(k, t)} =

2
π

+∞
0
u(k, t) sin kx dk.
1.2 Phép biến đổi tích phân Hartley
1.2.1 Định nghĩa các phép biến đổi Hartley
Định nghĩa 1.2. Các phép biến đổi tích phân Hartley của hàm f
được ký hiệu là (H
1
f), (H
2
f) và được xác định tương ứng bởi
(H
1
f)(x) =
1
√
2π

R
f(y)cas(xy)dy (1.9)
(H

2
f)(x) =
1
√
2π

R
f(y)cas(−xy)dy (1.10)
Trong đó f là hàm thực hoặc phức xác định trên R và casx = cos x +
sin x.
Nhận xét 1.1.
(H
1
f)(x) = (H
2
f)(−x)
và
(H
1
f(−y))(x) = (H
2
f(y))(x)
Ví dụ 1.3.
f(x) =



√
2πe
−x

, x > 0
0, x < 0
Ta có :
(H
1
f)(x) =
x + 1
x
2
+ 1
, (H
2
f)(x) =
x − 1
x
2
+ 1
.
12
Số hóa bởi trung tâm học liệu />1.2.2 Các tính chất của các phép biến đổi Hartley
Tính chất 1.5. Nếu f ∈ L(R) thì (H
i
f) ∈ C
0
(R), (i = 1, 2) và
(H
i
f)
∞
≤ f

1
.
Chứng minh.
Vì
|cas(xy)| ≤
√
2
nên
|(H
i
f)(x)| ≤ f
1
, (∀f ∈ L(R), ∀x ∈ R). (1.11)
Mặt khác, do S trù mật trong L(R) nên với mỗi f ∈ L(R) tồn tại
dãy f
n
∈ S sao cho f
n
− f
1
→ 0.
Từ (H
i
f
n
) ∈ S ⊂ C
0
(R) và (1.11) suy ra (H
i
f

n
) hội tụ đều đến
(H
i
f) trên R. Ta được điều phải chứng minh.
Tính chất 1.6. (Định lý ngược)
Các phép biến đổi tích phân Hartley là ánh xạ liên tục, tuyến tính,
1 - 1 từ S vào S và phép biến đổi ngược với nó là chính nó, nghĩa là
H
2
1
= I, H
2
2
= I
Chứng minh. Khi các phép biến đổi tích phân F, F
−1
, H
1
và H
2
cùng
xét trên khơng gian S, ta có
H
1
=
1
2
[F + F
−1

] +
1
2i
[F
−1
− F ]
H
2
=
1
2
[F + F
−1
] −
1
2i
[F
−1
− F ]
(1.12)
Từ tính chất (1.5) suy ra H
1
, H
2
là các ánh xạ liên tục, tuyến tính,
1-1 từ S vào S. Sau cùng ta chứng minh.
H
2
1
= I, H

2
2
= I (1.13)
Sử dụng F
4
= I, F
−1
= F
3
và cơng thức (1.12) ta nhận được cơng
thức (1.13).
13
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Tính chất 1.7. (Định lý ngược) Bencewelr.
Nếu f ∈ L(R), (H
i
f) ∈ L(R) (i = 1, 2) và
f
1
(x) =:
1
√
2π

R
(H
1
f)(y)cas(xy)dy
f
2
(x) :=

1
√
2π

R
(H
2
f)(y)cas(−xy)dy
thì f
i
(x) = f(x) hầu khắp nơi trên R, (i = 1, 2).
Chứng minh. Cho g ∈ S, với giả thiết f, (H
1
f) ∈ L(R) khi đó áp
dụng đinh lý Fubini cho tích phân bội sau

R

R
f(x)g(y)cas(xy)dxdy,
ta nhận được đẳng thức

R
f(x).(H
1
g)(x)dx =

R
g(y)(H
1

f)(y)dy (1.14)
Do g ∈ S nên áp dụng tính chất (1.6) vào vế phải (1.14) và sử dụng
định lý Fubini ta có:

R
f(x).(H
1
g)(x)dx =
1
√
2π

R

R
(H
1
g)(x)(H
1
f)(x).cas(xy)dxdy
=
1
√
2π

R
(H
1
g)(x)dx


R
(H
1
f)(y)cas(xy)dy
=

R
f
1
(x)(H
1
g)(x)dx
Từ tính chất (1.6) và các hàm khả vi vơ hạn trên R với giá compact
D(R) ⊂ S nên

R
(f
1
(x) − f (x))ψ(x)dx = 0, ∀ψ ∈ D(R)
suy ra f
1
(x) = f(x) hầu khắp trên R.
Chứng minh tương tự cho H
2
.
14
Số hóa bởi trung tâm học liệu />1.3 Phép biến đổi tích phân Fourier cosine
1.3.1 Định nghĩa phép biến đổi tích phân Fourier cosine
Định nghĩa 1.3. Cho f ∈ L(R
+

), hàm (F
c
f) xác định bởi
ˆ
f = (F
c
f)(y) =

2
π

+∞
0
f(x) cos(yx)dx, (1.15)
được gọi là biến đổi Fourier cosine của hàm f.
Ta có cơng thúc nghịch đảo
f(x) = (F
c
ˆ
f)(x) =

2
π

+∞
0
ˆ
f(x) cos(xy)dx.
Ví dụ 1.4. Tìm biến đổi Fourier cosine của hàm
f(x) = e

−9x
.
Giải:
(F
s
f)(y) =

2
π

+∞
0
e
−9x
cos yxdx
=
1
2

2
π

+∞
0
[e
−(9−iy)x
− e
−(9+iy)x
]dx
=

1
2

2
π

1
9 − iy
−
1
9 + iy

=

2
π

y
9
2
+ y
2

.
1.3.2 Các tính chất của phép biến đổi Fourier cosine
Tính chất 1.8. Phép biến đổi Fourier cosine là phép biến đổi tuyến
tính
15
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Chứng minh. Với mọi f, g ∈ L(R
+

); ∀α, β ∈ R ta có:
F
c
[αf(x) + βg(x)](y) =

2
π

+∞
0
[αf(x) + βg(x)]. cos yx]dx
= α

2
π

+∞
0
f(x) cos yx dx
+ β

2
π

+∞
0
g(x) cos yx dx
= α(F
c
f)(y) + β(F

c
g)(y).
Vậy F
s
là tốn tử tuyến tính.
Tính chất 1.9. Với a > 0 đặt f
a
(x) = f(ax), khi đó ta có:
(F
c
f
a
)(y) =
1
a
(F
c
f)

y
a

.
Chứng minh.
(F
c
f
a
)(y) =


2
π

+∞
0
f(ax) cos yxdx
=
1
a

2
π

+∞
0
f(ax) cos

y
a
ax

d(ax)
=
1
a

2
π

+∞

0
f(t) cos

y
a
t

dt (t = ax)
=
1
a
(F
c
f)

y
a

.
Định nghĩa 1.4. Cho f, g ∈ L(R
+
). Tích chập với phép biến đổi
Fourier cosine có dạng
(f
∗
F
c
g)(x) =
1
√

2π

+∞
0
f(t)[g(x + t) + g(|x −t|)]dt, x > 0. (1.16)
Tính chất 1.10. Định lý chập đối với phép biến đổi Fourier cosine
Tích chập (1.16) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau
F
c
(f
∗
F
c
g)(y) = (F
c
f)(y).(F
c
g)(y), ∀y > 0. (1.17)
16
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Chứng minh. Ta có
(F
c
f)(y).(F
c
g)(y) =

2
π

+∞

0
f(u) cos yudu.

2
π

+∞
0
g(v) cos yudvdu
=

2
π

+∞
0
f(u)

1
2

2
π

+∞
0
g(v)[cos(u + v)y + cos y(v − u)]dvdu

=
1

π

+∞
0

+∞
0
f(u)g(v) cos y(u + v)dvdu
+
1
π

+∞
0

+∞
0
f(u)g(v) cos y(v − u)dvdu.
Đổi biến t = u + v ta có

+∞
0

+∞
0
f(u)g(v) cos y(u + v)dvdu
=

+∞
0

f(u)

+∞
v
g(|u − t|) cos ytdtdu
=

+∞
0
f(u)

+∞
0
g(|u − t|) cos ytdtdu
−

+∞
0
f(u)

v
0
g(|u − t|) cos ytdtdu.
(1.18)
Đổi biến t = v − u ta có

+∞
0

+∞

0
f(u)g(v) cos y(v − u)dvdu
=

+∞
0
f(u)

+∞
−u
g(|u + t|) cos ytdtdu
=

+∞
0
f(u)

+∞
0
g(|u + t|) cos ytdtdu
−

+∞
0
f(u)

0
−u
g(|u + t|) cos ytdtdu.
(1.19)

Mặt khác ta có

+∞
0
f(u)

0
−u
g(|u+t|) cos ytdtdu =

+∞
0
f(u)

u
0
g(|u−t|) cos ytdtdu.
(1.20)
17
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Từ (1.18), (1.19), (1.20) ta có
(F
c
f)(y).(F
c
g)(y) =
1
π

+∞
0

f(u)

+∞
0
[g(u + t) + y(|u − t|)] cos ydtdu
=

1
π

+∞
0
1
√
2π
f(u)[g(u + t) + y(|u − t|)] cos ydtdu
= F
c
[f
∗
F
c
g](y).
18
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Chương 2
Tích chập suy rộng
Tiếp tục hướng nghiên cứu của Nguyễn Xn Thảo, V.A Ka-
kichev và Vũ Kim Tuấn, Nguyễn Minh Khoa về tích chập suy rộng
đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine, trong
chương này ta tập trung nghiên cứu tích chập suy rộng với hàm trọng

đối với phép biến đổi tích phân Hartley và Fourier sine. Xây dựng
và nghiên cứu các tính chất của tích chập và đưa ra ứng dụng giải
phương trình, hệ phương trình tích phân dạng chập.
2.1 Định nghĩa tích chập suy rộng
Định nghĩa 2.1. Tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = cos(ay)
đối với phép biến đổi tích phân Hartley và fourier sine của các hàm
f, g được xác định bởi
(f
∗
H,F
s
g)(x) =
1
2
√
2π

+∞
0
f(u)[g(x − u − a) − g(x + u + a)
− g(x −u + a) + g(x + u − a)]du, x ∈ R
(2.1)
2.2 Các tính chất của tích chập suy rộng
Định lý 2.1. Giả sử f ∈ L(R
+
), g, H
2
g ∈ L(R). Khi đó tích chập
suy rộng (2.1) của các hàm f, g được xác định và thuộc L(R). Hơn
19

Số hóa bởi trung tâm học liệu />nữa đẳng thức nhân tử hóa sau được thỏa mãn
H
1
(f
γ
∗
H,F
s
g)(y) = cos aysigny.(F
s
f)(|y|)(H
2
g)(y)
∀y ∈ R
(2.2)
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh H
1
(( f ∗ g)
γ
H,F
s
)(x) ∈ L(R).
Thật vậy, ta có

+∞
−∞
|H
1
(f ∗
γ

g)(x)|dx ≤
1
2
√
2π

+∞
0
|f(u)|du

+∞
−∞
[g(x − u − a)|
+ |g(x + u + a)| + |g(x − u + a)|+ |g(x + u − a)|]dx
≤
1
2
√
2π

+∞
0
|f(u)|du

+∞
−∞
|g(x − u − a)|dx
+
1
2

√
2π

+∞
0
|f(u)|du

+∞
−∞
|g(x + u + a)|dx
1
2
√
2π

+∞
0
|f(u)|du

+∞
−∞
|g(x − u + a)|dx
+
1
2
√
2π

+∞
0

|f(u)|du

+∞
−∞
|g(x + u − a)|dx
=

2
π

+∞
0
|f(u)|du

+∞
−∞
|g(t)|dt < +∞
Vậy ta có
H
1
(f
γ
∗
H,F
s
g)(x) ∈ L(R)
Bây giờ ta chứng minh đẳng thức nhân tử hóa (2.2).
Thật vậy, ta có
cos aysigny.(F
s

f)(|y|)(H
2
g)(y)
= cos ay


2
π

+∞
0
f(u) sin uydy

1
√
2π

+∞
−∞
g(v)cas(−yv)dv

=
1
π

+∞
0

+∞
−∞

f(u)g(v) cos ay sin uy cos(−vy)dv
20
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Mặt khác ta có
cos ay sin uycas(−vy) =
1
2
[sin(u + a)y
+ sin(u − a)y][cos vy − sin vy]
=
1
4
[sin(u + v + a)y + sin(u −v + a)y]
+
1
4
[cos(u + v + a)y − cos(u −v + a)y]
+
1
4
[sin(u + v − a)y + sin(u −v − a)y]
+
1
4
[cos(u + v − a)y − cos(u −v − a)y]
=
1
4
[cos(u + v + a)y − cos −(u − v + a)y
+ cos(u + v −a)y − cos −(u − v − a)y]
=

1
4
[cos(u + v + a)y − cos(v − u − a)y
+ cos(u + v −a)y − cos(v − u + a)y]
Do đó
cos aysigny.(F
s
f)(|y|)(H
2
g)(y)
=
1
4π

+∞
0

+∞
−∞
f(u)g(v)[cos(u + v + a)y
− cos(v − u − a)y + cos(u + v − a)y −cos(v − u + a)y]dudy
=
1
4π

+∞
0

+∞
−∞

f(u)[g(x − u − a) − g(x + u + a)
+ g(x −u + a) −g(x + u − a)] cos xydudv
H
1
((f
γ
∗
H,F
s
g))(y)
Định lý được chứng minh.
Để đơn giản ta lý luận chuẩn trong L(R) như sau
f
L(R)
=

2
π

+∞
−∞
|f(x)|dx
21
Số hóa bởi trung tâm học liệu />và chuẩn trong L(R
+
) là
f
L(R
+
)

=

2
π

+∞
0
|f(x)|dx
Hệ quả 2.1. Giả thiết f ∈ L(R
+
) và g ∈ L(R).
Khi đó bất đẳng thức sau được thỏa mãn
(f
γ
∗
H,F
s
g) ≤ f 
L(R
+
)
.g
L(R)
(2.3)
Chứng minh. Từ chứng minh của Định lý (2.1) ta có:

2
π

+∞

−∞
|(f
γ
∗
H,F
s
g)|(x)dx ≤

2
π

+∞
0
|f(u)|du

+∞
−∞
|g(t)|dt
Do đó
(f
γ
∗
H,F
s
g) ≤ f 
L(R
+
)
.g
L(R)

Định lý 2.2. Giả sử f ∈ L(R
+
) và g, h ∈ L(R). Khi đó tích chập
suy rộng (2.1) thường kết hợp và thỏa mãn các đẳng thức sau
a) [(f
γ
∗
H,F
s
g)
∗
H
1
,H
2
,H
3
h](x) = [(f
γ
∗
H,F
s
h)
∗
H
1
,H
2
,H
3

g](x).
b) [(f
γ
∗
H,F
s
g)
∗
H
1
,H
2
,H
3
h](x) = [f
γ
∗
H,F
s
(g
∗
H
1
,H
2
,H
3
h)](x).
Chứng minh.
a) Từ đẳng thức nhân tử hóa (2.2) và (1.10) ta có

H
1
[(f
γ
∗
H,F
s
g)
∗
H
1
,H
2
,H
3
h](y) = H
1
(f
γ
∗
H,F
s
g)(y)(H
2
h)(y)
= cos ay sin ny(F
s
f)(|y|)(H
2
g)(y)(H

2
h)(y)
= H
1
[(f
γ
∗
H,F
s
h)(y)(H
2
g)(y)
= H
1
[(f
γ
∗
H,F
s
h)
∗
H
1
,H
2
,H
3
g](y); y ∈ R
22
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Điều này dẫn tới

[(f
γ
∗
H,F
s
g)
∗
H
1
,H
2
,H
3
h](x) = [(f
γ
∗
H,F
s
h)
∗
H
1
,H
2
,H
3
g](x).
b) Từ đẳng thức nhân tử hóa (2.2) và cơng thức (1.12) ta được
H
1

[(f
γ
∗
H,F
s
g)
∗
H
1
,H
2
,H
3
h](y) = H
1
(f
γ
∗
H,F
s
g)(y)(H
2
h)(y)
= cos aysigny(F
s
f)(|y|)(H
2
g)(y)(H
2
h)(y)

= cos aysigny(F
s
f)(|y|)(H
2
g)(y)(H
2
(g
∗
H,F
s
h)(y)
= [f
γ
∗
H,F
s
(g
∗
H
1
,H
2
,H
3
h)](y)
Do đó ta được
[(f
γ
∗
H,F

s
g)
∗
H
1
,H
2
,H
3
h](x) = [f
γ
∗
H,F
s
(g
∗
H
1
,H
2
,H
3
h)](x)
Định lý được chứng minh.
Định lý 2.3. (Định lý kiểu Titchmarch)
Cho f ∈ L(R
+
) và g ∈ L(R) nếu (f
γ
∗

H,F
s
g)(x) ≡ 0, ∀x ∈ R, khi đó
hoặc f(x) = 0 hoặc g(x) = 0 với mọi x ∈ R.
Chứng minh. Giả thiết (f
γ
∗
H,F
s
g)(x) ≡ 0, ∀x ∈ R dẫn tới
H
1
(f
γ
∗
H,F
s
g)(y) = 0, ∀y ∈ R. Từ định lý 2.2 ta có
cos aysigny.(F
s
f)(|y|)(H
2
g)(y) = 0, ∀y ∈ R,
điều này dẫn đến
(F
s
f)(y)(H
2
g)(y) = 0, ∀y ∈ R,
Vì (F

s
f)(y) và (H
2
g)(y) là giải tích trên R, nên ta có hàm
(F
s
f)(y) = 0, ∀y ∈ R hoặc (H
2
g)(y) = 0, ∀y ∈ R. Điều này dẫn
tới f (x) = 0, ∀x ∈ R hoặc g(x) = 0, ∀x ∈ R.
23
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Định lý 2.4. Với giả thiết f ∈ L(R
+
) và g ∈ L(R), khi đó tốn tử
tích chập suy rộng (2.1) khơng có phần tử đơn vị.
Chứng minh. Giả sử tồn tại phần tử đơn vị e của tốn tử tích chập
suy rộng (2.1)
f(x) = (e
γ
∗
H,F
s
f)(x), ∀x ∈ R,
Khi đó
(H
1
f)(y) = cos aysigny(F
s
e)(|y|)(H
2

f)(y), ∀y ∈ R,
Khi y = (2k + 1)π vế trái triệt tiêu, điều này mâu thuẫn.
Vậy tốn tử tích chập suy rộng (2.1) khơng tồn tại phần tử đơn
vị.
Bổ đề 2.1. Cho f = L
p
(R), 1 ≤ p ≤ 2 và p’ là số mũ liên hợp của
p. Khi đó bất đẳng thức Hausdorff - Young đối với phép biến đổi
Hartley thỏa mãn
h
1
f
L

p
(R)
≤ 2

2
π
f
L
p
(R)
,
h
2
f
L


p
(R)
≤ 2

2
π
f
L
p
(R)
.
Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Hausdorff - Young cho các
phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier sine ta có
h
1
f
L

p
(R)
= (F
c
f) + (F
s
f)
L

p
(R)
(F

c
f)
L

p
(R)
+ (F
s
f)
L

p
(R)
≤

2
π
f
L
p
(R)
+

2
π
f
L
p
(R)
= 2


2
π
f
L
p
(R)
.
Bất đẳng thức 2 chứng minh tương tự.
24
Số hóa bởi trung tâm học liệu />