Đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier và ứng dụng

Số hóa bởi trung tâm học liệu
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
–––––––––––––––––



TRẦN VĂN HƯNG



ĐA CHẬP ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH
PHÂN HARTLEY, FOURIER VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số : 60.46.01.12



LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC









Thái Nguyên, năm 2013
Mục lục

Một số ký hiệu dùng trong luận văn 3
Lời cảm ơn 4
Lời mở đầu 5
1 Các phép biến đổi tích phân Hartley,Fourier cosine,
Fourier sine 8
1.1 Phép biến đổi tích phân Hartley . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1 Định nghĩa các phép biến đổi Hartley . . . . . 8
1.1.2 Các tính chất của các phép biến đổi Hartley . 9
1.2 Phép biến đổi tích phân Fourier cosine . . . . . . . . 11
1.2.1 Định nghĩa phép biến đổi tích phân Fourier
cosine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Các tính chất của phép biến đổi Fourier cosine 12
1.3 Phép biến đổi tích phân Fourier sine . . . . . . . . . 15
1.3.1 Định nghĩa phép biến đổi tích phân Fourier
sine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.2 Các tính chất của phép biến đổi Fourier sine 16
1.3.3 Ứng dụng phép biến đổi tích phân Fourier sine
và giải phương trình vi phân đạo hàm riêng . 18
2 Đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Hartley,
Fourier cosine và Fourier sine 21
2.1 Định nghĩa đa chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1
Số hóa bởi trung tâm học liệu />2.2 Các tính chất của đa chập . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Tính chất 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2 Tính chất 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.3 Tính chất 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Ứng dụng giải phương trình, hệ phương trình tích
phân kiểu đa chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.1 Phương trình tích phân kiểu đa chập . . . . . 30
2.3.2 Hệ phương trình tích phân dạng đa chập . . . 33

Kết luận 37
Tài liệu tham khảo 37
2
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Một số ký hiệu dùng trong luận
văn
• R
+
là tập số thực dương.
• L(R) là tập các hàm f xác định trên R sao cho

+∞
−∞
|f(x)|dx < +∞
• L(R
+
) là tập các hàm f xác định trên R sao cho

+∞
0
|f(x)|dx < +∞
• L
α,β,γ
p
(R), α > −1, β > 0, γ > 0, p > 1 là tập hợp các hàm f:

+∞
−∞
|x|
α
e

−β|x|
p
|f(x)|
p
dx < ∞
3
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện và hồn thành tại trường Đại học
Khoa học - Đại học Thái Ngun. Qua đây tác giả xin gửi lời cảm
ơn tới các thầy cơ giáo Khoa Tốn ứng dụng, Ban Giám hiệu, Phòng
Đào nhà trường đã trang bị kiến thức cơ bản và tạo điều kiện tốt
nhất cho tác giả trong q trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới TS
Nguyễn Minh Khoa, người đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp
đỡ tác giả có thêm nhiều kiến thức, khả năng nghiên cứu, tổng hợp
tài liệu để hồn thành luận văn.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng
nghiệp đã động viên, giúp đỡ tác giả q trình học tập của mình.
Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên luận văn khơng tránh
khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các
thầy cơ để luận văn được hồn thiện hơn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Thái Ngun, ngày 05 tháng 08 năm 2013.
Tác giả
Trần Văn Hưng
4
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Lời mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Trong bài báo [5], Kakichev đưa ra khái niệm đa chập, như là
sự mở rộng tổng qt hơn nữa của tích chập suy rộng. Kakichev đã

đưa ra phương pháp kiến thiết đa chập của n + 1 phép biến đổi tích
phân K, K
1
, K
2
, , K
n
với hàm trọng γ(x) của n hàm f
1
, f
2
, , f
n
mà đối với nó có đẳng thức nhân tử hóa then chốt sau
K[γ(f
1
, f
2
, , f
n
)](y) = γ(y).(K
1
f
1
)(y) (K
n
f
n
)(y) (1)
Trên cơ sở của bài báo này đa chập đầu tiên đối với các phép biến

đổi tích phân Hilbert, Stieltjes và Fousier cosine đã được cơng bố
bởi tác giả Nguyễn Xn Thảo năm 1999. Trong vài năm trở lại đây
tác giả Nguyễn Minh Khoa cũng đã cơng bố một số đa chập đối
với chùm 3 phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine và Fourier
cosine. Sự mở rộng tích chập, tích chập suy rộng sang đa chập là một
bước phát triển mới, nó mở rộng khơng chỉ phạm vi của lý thuyết
các phép biến đổi tích phân mà còn mở rộng sự ứng dụng cho lớp
các phương trình, hệ phương trình vi tích phân mới phức tạp hơn.
Chính vì lẽ đó đề tài về đa chập của các phép biến đổi tích phân
ln lơi cuốn và có tính khoa học cao. Vì vậy tơi đã chọn hướng
nghiên cứu của luận văn là Đa chập đối với các phép biến đổi
tích phân Hartley, Fourier cosine và Fourier sine.
Các tích chập đã biết dùng trong luận văn.
Tích chập của hai hàm f, g ∈ L
1
(R) đối với phép biến đổi tích
5
Số hóa bởi trung tâm học liệu />phân Fourier[6]
(f ∗ g)
F
(x) =
1
√
2π

+∞
−∞
f(x − y)g(y)dy, x ∈ R (2)
với đẳng thức nhân tử hóa
F (f ∗ g)

F
(y) = (F f)(y).(F g)(y), ∀y ∈ R (3)
Tích chập đối với phép biến đổi tích phân Fourier cosine [8] F
c
của
hai hàm f và g được xác định như sau
F (f ∗ g)
F
c
(x) =
1
√
2π

+∞
0
f(y)[g(|x + y|) + g(x + y)]dy, x > 0 (4)
và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
F
c
(f ∗ g)
F
c
(y) = (F
c
f)(y).(F
c
g)(y), ∀y > 0 (5)
Năm 1951 Sneddon đã xây dựng được tích chập suy rộng đầu tiên
đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine [8]

cho hai hàm f, g ∈ L(R)
(f ∗ g)
1
(x) =
1
√
2π

+∞
0
f(t)[g(|x −t|) − g(n + t)]dt, x > 0 (6)
với đẳng thức nhân tử hóa
F
s
(f ∗ g)
1
(y) = (F
s
f)(y).(F
c
g)(y), ∀y > 0 (7)
Tích chập suy rộng đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine,
Fourier cosine
(f
∗
2
g)(x) =
1
√
2π


∞
0
f(y)[sign(y −x)g(|y −x|) + g(y + x)]dx, x > 0
(8)
Với đẳng thức nhân tử hóa
F
c
(f
∗
2
g)(y) = (F
s
f)(y).(F
s
g)(y), ∀y > 0 (9)
6
Số hóa bởi trung tâm học liệu />2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về các phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier sine,
Fourier cosine. Xây dựng và nghiên cứu đa chập suy rộng với hàm
trọng đối với các phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier sine đồng
thời đưa ra úng dụng giải phương trình và hệ phương trình tích phân
dạng đa chập.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu tích chập có hàm trọng đối với các phép biến đổi
tích phân Hartley, Fourier sine, Fourier cosine và ứng dụng vào giải
phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân đa chập.
4. Phương pháp nghiên cứu
• Sử dụng các phép biến đổi tích phân, lý thuyết phương trình
tích phân và các kết quả của giải tích, giải tích hàm.

• Sử dụng phương pháp kiến thiết tích chập có hàm trọng của
V.A. Kakichev, Nguyễn Xn Thảo và kỹ thuật trong các bài
báo của Nguyễn Minh Khoa để xây dựng và nghiên cứu đa chập
và các ứng dụng của chúng.
5. Bố cục luận văn
Ngồi phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm hai chương:
Chương 1: Các phép biến đổi tích phân Hartley, Fourier
cosine và Fourier sine.
Nhắc lại định nghĩa và các tính chất cơ bản của các phép biến
đổi tích phân Hartley, Fourier cosine, Fourier sine và đưa ra một số
ví dụ áp dụng.
Chương 2: Đa chập đối với các phép biến đổi tích phân
Hartley, Fourier cosine và Fourier sine.
Xây dựng và nghiên cứu các tính chất của đa chập và đưa ra ứng
dụng giải phương trình, hệ phương trình tích phân đa chập.
7
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Chương 1
Các phép biến đổi tích phân
Hartley,Fourier cosine, Fourier
sine
1.1 Phép biến đổi tích phân Hartley
1.1.1 Định nghĩa các phép biến đổi Hartley
Định nghĩa 1.1. Các phép biến đổi tích phân Hartley của hàm f
được ký hiệu là (H
1
f), (H
2
f) và được xác định tương ứng bởi
(H
1

f)(x) =
1
√
2π

R
f(y) cas(xy)dy, (1.1)
(H
2
f)(x) =
1
√
2π

R
f(y) cas(−xy)dy, (1.2)
Trong đó f là hàm thực hoặc phức xác định trên R và casx = cos x +
sin x.
Nhận xét 1.1.
(H
1
f)(x) = (H
2
f)(−x),
và
(H
1
f(−y))(x) = (H
2
f(y))(x).

Ví dụ 1.1.
f(x) =



√
2πe
−x
, x > 0
0, x < 0,
8
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Ta có :
(H
1
f)(x) =
x + 1
x
2
+ 1
, (H
2
f)(x) =
x − 1
x
2
+ 1
.
1.1.2 Các tính chất của các phép biến đổi Hartley
Tính chất 1.1. Nếu f ∈ L(R) thì (H
i

f) ∈ C
0
(R), (i = 1, 2) và
(H
i
f)
∞
≤ f
1
.
Chứng minh.
Vì
|cas(xy)| ≤
√
2,
nên
|(H
i
f)(x)| ≤ f
1
, (∀f ∈ L(R), ∀x ∈ R). (1.3)
Mặt khác, do S trù mật trong L(R) nên với mỗi f ∈ L(R) tồn tại
dãy f
n
∈ S sao cho f
n
− f
1
→ 0.
Từ (H

i
f
n
) ∈ S ⊂ C
0
(R) và (1.3) suy ra (H
i
f
n
) hội tụ đều đến
(H
i
f) trên R. Ta được điều phải chứng minh.
Tính chất 1.2. (Định lý ngược) Bencewelr.
Nếu f ∈ L(R), (H
i
f) ∈ L(R) (i = 1, 2) và
f
1
(x) =:
1
√
2π

R
(H
1
f)(y)cas(xy)dy,
f
2

(x) :=
1
√
2π

R
(H
2
f)(y)cas(−xy)dy.
thì f
i
(x) = f(x) hầu khắp nơi trên R, (i = 1, 2).
Chứng minh. Cho g ∈ S, với giả thiết f, (H
1
f) ∈ L(R) khi đó áp
dụng đinh lý Fubini cho tích phân bội sau

R

R
f(x)g(y)cas(xy)dxdy,
ta nhận được đẳng thức

R
f(x).(H
1
g)(x)dx =

R
g(y)(H

1
f)(y)dy. (1.4)
9
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Do g ∈ S nên áp dụng tính chất (1.3) vào vế phải (1.4) và sử dụng
định lý Fubini ta có:

R
f(x).(H
1
g)(x)dx =
1
√
2π

R

R
(H
1
g)(x)(H
1
f)(x).cas(xy)dxdy
=
1
√
2π

R
(H
1

g)(x)dx

R
(H
1
f)(y)cas(xy)dy
=

R
f
1
(x)(H
1
g)(x)dx.
Từ tính chất (1.3) và các hàm khả vi vơ hạn trên R với giá compact
D(R) ⊂ S nên

R
(f
1
(x) − f(x))ψ(x)dx = 0, ∀ψ ∈ D(R),
suy ra f
1
(x) = f(x) hầu khắp trên R.
Chứng minh tương tự cho H
2
.
Tính chất 1.3. (Định lý ngược)
Các phép biến đổi tích phân Hartley là ánh xạ liên tục, tuyến tính,
1 - 1 từ S vào S và phép biến đổi ngược với nó là chính nó, nghĩa là

H
2
1
= I, H
2
2
= I.
Chứng minh. Khi các phép biến đổi tích phân F, F
−1
, H
1
và H
2
cùng
xét trên khơng gian S, ta có
H
1
=
1
2
[F + F
−1
] +
1
2i
[F
−1
− F ]
H
2

=
1
2
[F + F
−1
] −
1
2i
[F
−1
− F ].
(1.5)
Từ tính chất (1.1) suy ra H
1
, H
2
là các ánh xạ liên tục, tuyến tính,
1-1 từ S vào S. Sau cùng ta chứng minh.
H
2
1
= I, H
2
2
= I. (1.6)
Sử dụng F
4
= I, F
−1
= F

3
và cơng thức (1.5) ta nhận được cơng
thức (1.6).
10
Số hóa bởi trung tâm học liệu />1.2 Phép biến đổi tích phân Fourier cosine
1.2.1 Định nghĩa phép biến đổi tích phân Fourier cosine
Định nghĩa 1.2. Cho f ∈ L(R
+
), hàm (F
c
f) xác định bởi
ˆ
f = (F
c
f)(y) =

2
π

+∞
0
f(x) cos(yx)dx, (1.7)
được gọi là biến đổi Fourier cosine của hàm f.
Ta có cơng thúc nghịch đảo
f(x) = (F
c
ˆ
f)(x) =

2

π

+∞
0
ˆ
f(x) cos(xy)dx.
Ví dụ 1.2. Tìm biến đổi Fourier cosine của hàm
f(x) = e
−αx
, α > 0.
Giải:
(F
s
f)(y) =

2
π

+∞
0
e
−αx
cos yxdx
=
1
2

2
π


+∞
0
[e
−(α−iy)x
− e
−(α+iy)x
]dx
=
1
2

2
π

1
α − iy
−
1
α + iy

=

2
π

y
α
2
+ y
2


.
Ví dụ 1.3. Tìm biến đổi Fourier cosin của hàm
f(x) =



x, 0 < x < a
0, x > a.
11
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Giải:
Ta có
(F
c
f)(y) =

2
π
.

a
0
x cos yxdx
=

2
π

x
y

sin yx



a
0
−
1
y

a
0
sin yxdx

=

2
π

x
y
sin yx



a
0
+
1
y

2
cos yx



a
0

=

2
π

x
y
sin ax −
1
y
2
+
1
y
2
cos ay

.
1.2.2 Các tính chất của phép biến đổi Fourier cosine
Tính chất 1.4. Phép biến đổi Fourier cosine là phép biến đổi tuyến
tính
Chứng minh. Với mọi f, g ∈ L(R

+
); ∀α, β ∈ R ta có:
F
c
[αf(x) + βg(x)](y) =

2
π

+∞
0
[αf(x) + βg(x)]. cos yx]dx
= α

2
π

+∞
0
f(x) cos yx dx
+ β

2
π

+∞
0
g(x) cos yx dx
= α(F
c

f)(y) + β(F
c
g)(y).
Vậy F
s
là tốn tử tuyến tính.
Tính chất 1.5. Với a > 0 đặt f
a
(x) = f(ax), khi đó ta có:
(F
c
f
a
)(y) =
1
a
(F
c
f)

y
a

.
12
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Chứng minh.
(F
c
f
a

)(y) =

2
π

+∞
0
f(ax) cos yxdx
=
1
a

2
π

+∞
0
f(ax) cos

y
a
ax

d(ax)
=
1
a

2
π


+∞
0
f(t) cos

y
a
t

dt (t = ax)
=
1
a
(F
c
f)

y
a

.
Định nghĩa 1.3. Cho f, g ∈ L(R
+
). Tích chập với phép biến đổi
Fourier cosine có dạng
(f
∗
F
c
g)(x) =

1
√
2π

+∞
0
f(t)[g(x + t) + g(|x −t|)]dt, x > 0. (1.8)
Tính chất 1.6. Định lý chập đối với phép biến đổi Fourier cosine
Tích chập (1.8) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau
F
c
(f
∗
F
c
g)(y) = (F
c
f)(y).(F
c
g)(y), ∀y > 0. (1.9)
Chứng minh. Ta có
(F
c
f)(y).(F
c
g)(y) =

2
π


+∞
0
f(u) cos yudu.

2
π

+∞
0
g(v) cos yudvdu
=

2
π

+∞
0
f(u)

1
2

2
π

+∞
0
g(v)[cos(u + v)y + cos y(v − u)]dvdu

=

1
π

+∞
0

+∞
0
f(u)g(v) cos y(u + v)dvdu
+
1
π

+∞
0

+∞
0
f(u)g(v) cos y(v − u)dvdu.
13
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Đổi biến t = u + v ta có

+∞
0

+∞
0
f(u)g(v) cos y(u + v)dvdu
=


+∞
0
f(u)

+∞
v
g(|u −t|) cos ytdtdu
=

+∞
0
f(u)

+∞
0
g(|u −t|) cos ytdtdu
−

+∞
0
f(u)

v
0
g(|u −t|) cos ytdtdu.
(1.10)
Đổi biến t = v − u ta có

+∞
0


+∞
0
f(u)g(v) cos y(v − u)dvdu
=

+∞
0
f(u)

+∞
−u
g(|u + t|) cos ytdtdu
=

+∞
0
f(u)

+∞
0
g(|u + t|) cos ytdtdu
−

+∞
0
f(u)

0
−u

g(|u + t|) cos ytdtdu.
(1.11)
Mặt khác ta có

+∞
0
f(u)

0
−u
g(|u+t|) cos ytdtdu =

+∞
0
f(u)

u
0
g(|u−t|) cos ytdtdu.
(1.12)
Từ (1.10), (1.19), (1.20) ta có
(F
c
f)(y).(F
c
g)(y) =
1
π

+∞

0
f(u)

+∞
0
[g(u + t) + y(|u − t|)] cos ydtdu
=

1
π

+∞
0
1
√
2π
f(u)[g(u + t) + y(|u −t|)] cos ydtdu
= F
c
[f
∗
F
c
g](y).
14
Số hóa bởi trung tâm học liệu />1.3 Phép biến đổi tích phân Fourier sine
1.3.1 Định nghĩa phép biến đổi tích phân Fourier sine
Định nghĩa 1.4. Cho f ∈ L(R
+
), hàm F

s
f được xác định bởi
ˆ
f(y) = (F
s
f)(y) =

2
π

+∞
0
f(x) sin yx dx, (1.13)
là phép biến đổi Fourier sine của hàm f.
Ta có cơng thức nghịch đảo sau
f(x) = (F
s
ˆ
f)(X) =

2
π

+∞
0
ˆ
f(y) sin yx dy, (1.14)
Ví dụ 1.4. Tìm biến đổi Fourier của hàm
f(x) = e
−x

Giải:
Ta có
F
c
(e
−x
) =

2
π
.

∞
0
e
−x
cos vxdx
=

2
π
.
e
−x
1 + v
2
.

− cos vx + v sin vx





∞
0
=

2
π
.
1
1 + v
2
Ví dụ 1.5. Tìm biến đổi Fourier sine của hàm
f(x) =



x, 0 < x < a
0, x > a.
15
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Giải:
Ta có
(F
s
f)(y) =

2
π
.


a
0
x sin yxdx
= −

2
π

x
y
cos yx



a
0
−
1
y

a
0
cos yxdx

= −

2
π


x
y
cos yx



a
0
−
1
y
2
sin yx



a
0

= −

2
π

x
y
cos ax −
a
y
−

1
y
2
sin ay

.
Ví dụ 1.6. Tìm biến đổi Fourier sine của hàm
f(x) = e
−2x
.
Giải:
(F
s
f)(y) =

2
π

+∞
0
e
−2x
sin yxdx
=
1
2i

2
π


+∞
0
[e
−(2−iy)x
− e
−(2+iy)x
]dx
=
1
2i

2
π

1
2 − iy
−
1
2 + iy

=

2
π

y
2
2
+ y
2


.
1.3.2 Các tính chất của phép biến đổi Fourier sine
Tính chất 1.7. Với a > 0 đặt f
a
(x) = f(ax), khi đó ta có:
(F
s
f
a
)(y) =
1
a
(F
s
f)

y
a

.
16
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Chứng minh.
(F
s
f
a
)(y) =

2

π

+∞
0
f(ax)dx
=
1
a

2
π

+∞
0
f(ax) sin

y
a
ax

d(ax)
=
1
a

2
π

+∞
0

f(t) sin

y
a
t

dt (t = ax)
=
1
a
(F
s
f)

y
a

.
Tính chất 1.8. (Tính tuyến tính)
Nếu f, g có biến đổi Fourier sine, thì mọi α, β ∈ R ta có
F
s
(αf + βg) = α(F
s
f) + β(F
s
g).
Chứng minh. Với mọi f, g ∈ L(R
+
); ∀α, β ∈ R ta có

F
s
[αf(x) + βg(x)](y) =

2
π

+∞
0
[αf(x) + βg(x)]. sin yxdx
= α

2
π

+∞
0
f(x) sin yx dx
+ β

2
π

+∞
0
g(x) sin yx dx
= α(F
s
f)(y) + β(F
s

g)(y).
Vậy F
s
là tốn tử tuyến tính.
Tính chất 1.9. (Biến đổi Fourier sine của đạo hàm)
Giả sử f(x) liên tục và khả tích tuyệt đối trên (0, +∞), f

(x) liên
tục từng khúc trên mọi đoạn hữu hạn và f(x) → 0 khi x → +∞.
Khi đó
F
s
(f

(x))(y) = −y(F cf(x))(y).
17
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Chứng minh. Lấy tích phân từng phần ta có
F
s
(f

) =

2
π

+∞
0
f


(x) sin yxdx
=

2
π
[f(x). sin yx



+∞
0
− y

+∞
0
f(x) cos yxdx]
= −yF
c
f.
Tính chất 1.10. Giả sử các phép biến đổi Fourier sine, Fourier
cosine sau đều tồn tại, khi đó ta có hệ thức:
F
s
(f

) = −y
2
F
s
(f) +


2
π
yf(0).
Chứng minh. Ta có:
F
c
(f

) =

2
π

+∞
0
f

(x)yxdx
=

2
π

f(x). cos yx



+∞
0

+ y

+∞
0
f(x) sin yxdx

= −

2
π
f(0) + yF
s
(f).
Áp dụng tính chất 1.9 ta có:
F
s
(f

) = −yF
c
(f

)
= −y

yF
s
(f) −

2

π
f(0)

.
Từ đây ta nhận được điều phải chứng minh.
1.3.3 Ứng dụng phép biến đổi tích phân Fourier sine và
giải phương trình vi phân đạo hàm riêng
Bài tốn
Giải phương trình truyền nhiệt một chiều
∂u
∂t
=
∂
2
u
∂x
2
, (1.15)
18
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Trong đó u(x, t) xác định trong miền x ≥ 0, t ≥ 0, với các điều
kiện biên
i) u(0, t) = 0.
ii) u(x, 0) = P (x), (P(x) là hàm phân bố nhiệt độ ban đầu).
Ở đây ta giả thiết thêm là hàm u cùng với các đạo hàm theo biến x
của nó tiến tới 0 khi x → +∞.
Lời giải bài tốn
Áp dụng biến đổi Fourier sine vào hai vế (1.15) ta có
F
s


∂u
∂t

= F
s

∂
2
u
∂x
2

, (1.16)
Vế trái của (1.16) là
F
s

∂u
∂t

=

2
π

+∞
0
∂u
∂t
sin kx dx

=
∂u
∂t


2
π

+∞
0
u(x, t) sin kx dx

=
∂u
∂t
với U(k, t) = F
s
(u(x, t)).
(1.17)
19
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Vế phải của (1.16) là
F
s

∂
2
u
∂x
2


=

2
π

+∞
0
∂
2
u
∂x
2
sin kxdx
=

2
π

+∞
0
sin kx.d

∂u
∂x

=

2
π


sin kx.
∂u
∂x




+∞
0
−

+∞
0
∂u
∂x
d(sin kx)

= −k

2
π

+∞
0
cos kx.
∂u
∂x
dx
= −k


2
π

+∞
0
cos kx.du
= −k

2
π

[cos kx.u]



+∞
0
−

+∞
0
ud(cos kx)

= k

2
π
u(0, t) − k
2


2
π

+∞
0
u sin kx dx
= −k
2
u(k, t), vì u(0, t) = 0.
(1.18)
Từ (1.17) và (1.18) ta có:
du(k, t)
dt
= −k
2
u(k, t), (1.19)
Theo lý thuyết phương trình vi phân thường thì phương trình (1.19)
có nghiệm.
u(k, t) = u(k, 0)e
−k
2
t
. (1.20)
Trong đó
u(k, 0) = F
s
{u(x, 0)} =

2
π


+∞
0
P (x) sin kx dx.
Vậy phương trình (1.15) có nghiệm
u(x, t) = F
−1
{u(k, t)} =

2
π

+∞
0
u(k, t) sin kx dk.
20
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Chương 2
Đa chập đối với các phép biến đổi
tích phân Hartley, Fourier cosine
và Fourier sine
2.1 Định nghĩa đa chập
Định nghĩa 2.1. Đa chập đối với các phép biến đổi tích phân Hart-
ley, Fourier cosine và Fourier sine của các hàm f, g và h được xác
định bởi
∗(f, g, h)(x) =
1
2π

+∞
0


+∞
0
f(u)g(v)θ(x, u, v)dudv, x ∈ R, (2.1)
trong đó
θ(x, u, v) = h(x + u−v) −h(x +u + v) + h(x −u −v) −h(x −u + v).
2.2 Các tính chất của đa chập
2.2.1 Tính chất 1
Định lý 2.1. Giả sử f, g ∈ L
1
(R
+
) và h ∈ L
1
(R
+
). Khi đó đa chập
(2.1) thuộc L
1
(R
+
) khi đó chuẩn của nó cũng thuộc L
1
(R
+
) và được
biểu diễn dưới dạng sau
 ∗ (f, g, h)
L
1

(R)
 ≤
2
π
f
L
1
(R
+
)
.g
L
1
(R
+
)
.h
L
1
(R
+
)
. (2.2)
21
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Bên cạnh đó nó còn thỏa mãn các đẳng thức nhân tử hóa sau
H
1
[∗(f, g, h)](y) = signy.(F
c
f)(|y|).(F

s
g)(|y|).(H
2
h)(y), ∀y ∈ R,
(2.3)
H
2
[∗(f, g, h)](y) = −signy.(F
c
f)(|y|).(F
s
g)(|y|).(H
1
h)(y), ∀y ∈ R,
(2.4)
Hơn nữa, trong trường hợp h ∈ L
2
(R) ∩ L
1
(R) thỏa mãn đẳng
thức Parseval sau đây
∗(f, g, h)(x) =
1
√
2π

+∞
−∞
signy.(F
c

f)(|y|).(F
s
g)(|y|)
.(H
2
h)(y)cas(xy)dy.
(2.5)
∗(f, g, h)(x) = −
1
√
2π

+∞
−∞
signy.(F
c
f)(|y|).(F
s
g)(|y|)
.(H
2
h)(y)cas(−xy)dy.
(2.6)
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh ∗(f, g, h)(x) ∈ L
1
(R). Thật
vậy

+∞
−∞

| ∗ (f, g, h)(x)|dx
≤
1
2π

+∞
0

+∞
0

+∞
−∞
|f(u)||g(v)||h(x + u − v)|dxdudv
+
1
2π

+∞
0

+∞
0

+∞
−∞
|f(u)||g(v)||h(x + u + v)|dxdudv
+
1
2π


+∞
0

+∞
0

+∞
−∞
|f(u)||g(v)||h(x −u − v)|dxdudv
+
1
2π

+∞
0

+∞
0

+∞
−∞
|f(u)||g(v)||h(x −u + v)|dxdudv.
Sử dụng phép thế phù hợp, ta có

+∞
−∞
| ∗ (f, g, h)(x)|dx ≤
1
2π


+∞
0

+∞
0

+∞
−∞
|f(u)||g(v)||h(t)|dtdudv
=
2
π


+∞
0
|f(u)|du

.


+∞
0
|g(v)|dv

.


+∞

−∞
|h(t)|dt

< ∞.
22
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Vậy, ∗(f, g, h)(x) ∈ L
1
(R) và ta cũng thu được đẳng thức (2.2).
Bây giờ, ta chứng minh tính chất (2.3). Ta có
signy.(F
c
f)(|y|).(F
s
g)(|y|).(H
2
h)(y)
=
2
π
√
2π

+∞
0

+∞
0

+∞
−∞

f(u)g(v)h(t) cos(uy) sin(vy)
cas(−ty)dtdudv, ∀y ∈ R.
Sử dụng biến đổi lượng giác, ta có
cos(uy) sin(vy)cas(−ty) =
1
4
{cas[(t + u + v)y] − cas[(t − u −v)y]
− cas[(t + u −v)y] + cas[t −u + v)y]}.
Vì vậy
signy(F
c
f)(|y|).(F
s
g)(|y|).(H
2
h)(y)
=
2π
π
√
2π

+∞
0

+∞
0

+∞
−∞

f(u)g(v)h(t)cas[(t + u + v)y]dtdudv
−
2π
π
√
2π

+∞
0

+∞
0

+∞
−∞
f(u)g(v)h(t)cas[(t −u − v)y]dtdudv
−
2π
π
√
2π

+∞
0

+∞
0

+∞
−∞

f(u)g(v)h(t)cas[(t + u − v)y]dtdudv
+
2π
π
√
2π

+∞
0

+∞
0

+∞
−∞
f(u)g(v)h(t)cas[(t −u + v)y]dtdudv.
Với mỗi tích phân nhỏ trong biểu thức trên ta sử dụng các phép thế
tương ứng như sau: t + u + v = x, t − u − v = x, t + u − v = x và
t − u + v = x khi đó ta có
signy(F
c
f)(y).(F
s
g)(|y|).(H
2
h)(y)
=
2π
π
√

2π

+∞
0

+∞
0

+∞
−∞
f(u)g(v).[h(x −u − v) −h(x + u + v)
− h(x − u + v) + h(x + u − v)].cas(xy)dxdvdu
=
1
π
√
2π

+∞
−∞

1
2π

+∞
0

+∞
0
f(u)g(v)θ(x, u, v)dudv


cas(xy)dx
=
1
π
√
2π

+∞
−∞
(∗(f, g, h)(x)).cas(xy)dx
= H
1
(∗(f, g, h)(x)), ∀y ∈ R.
23
Số hóa bởi trung tâm học liệu />Đến đây ta suy ra (2.3), thay y = -y ta thu được cơng thức (2.4).
Tiếp theo ta chứng minh tính chất Parseval (2.5) và (2.6). Thật vậy,
từ giả thiết h ∈ L
2
(R) ∩ L
1
(R) và áp dụng định lý Fubini ta có
H
2
[signy.(F
c
(|y|)).(F
s
(|y|)).(H
1

h(y))]
= −
1
2π

+∞
0

+∞
0
f(u)g(v)[H
1
(H
1
h)(x + u−) − H
1
(H
1
h)
(x + u + v) + H
1
(H
1
h)(x − u − v) − H
1
(H
1
h)(x − u + v)]dudv
= −(∗(f, g, h))(x), ∀x ∈ R.
2.2.2 Tính chất 2

Định lý 2.2. Cho f, g ∈ L
1
(R
+
) và h ∈ L
1
(R). Khi đó tích chập
suy rộng với hàm trọng (2.1) thỏa mãn đẳng thức sau
∗(f, g, h) = −i(f
γ
∗
3
g)
∗
F
h,
Chứng minh. Sử dụng khai triển tích phân Fourier ta thu được
Re[(F f)(y)] =
1
2
[H
1
f + H
2
f](y)
Im[F f)(y)] =
1
2
[H
2

f − H
1
f](y), ∀y ∈ R.
Như vậy, ta có thể biểu diễn phép biến đổi Fourier dưới dạng
(F f)(y) = Re[(F f)(y)] + iIm[(Ff)(y)]
=
1 − i
2
(H
1
f)(y) +
1 + i
2
(H
2
f)(y), ∀y ∈ R.
(2.7)
Từ các đẳng thức nhân tử hóa (2.3), (2.4) ta nhận được
1 − i
2
H
1
[∗(f, g, h)](y) +
1 + i
2
H
2
[∗(f, g, h)](y)
= signy.(F
c

f)(|y|).(F
s
g)(|y|).

1 − i
2
(H
2
h)(y) −
1 + i
2
(H
1
h)(y)

= −isigny.(F
c
f)(|y|).(F
s
g)(|y|).

1 − i
2
(H
2
h)(y) −
1 + i
2
(H
1

h)(y)

.
24
Số hóa bởi trung tâm học liệu />