Phép biến đổi tích phân dạng fourier và ứng dụng giải một số phương trình vi phân và tích phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
− − −  − − −
PHAN ĐỨC TUẤN
PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG
FOURIER VÀ ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội-2012
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
− − −  − − −
PHAN ĐỨC TUẤN
PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN DẠNG
FOURIER VÀ ỨNG DỤNG GIẢI MỘT SỐ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ TÍCH PHÂN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 62 46 01 01
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. NGUYỄN MINH TUẤN
Hà Nội-2012
MỤC LỤC
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Danh mục các ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Chương 1. Phép biến đổi Hartley 13
1.1. Phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.1. Phép biến đổi Fourier trên R
d

. . . . . . . . . . . . 13
1.1.2. Phép biến đổi Fourier trên đoạn hữu hạn . . . . . . 16
1.2. Phép biến đổi Hartley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.1. Phép biến đổi Hartley trên R
d
. . . . . . . . . . . . 20
1.2.2. Phép biến đổi Hartley trên đoạn hữu hạn . . . . . . 38
Chương 2. Phép biến đổi tích phân dạng Fourier đối xứng 49
2.1. Định nghĩa và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2. Nguyên lý bất định Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . 66
Chương 3. Ứng dụng giải một số phương trình vi phân và
tích phân 74
3.1. Giải phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.1.1. Giải phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . 74
3.1.2. Giải phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . . . 79
3.2. Giải phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.2.1. Phương trình tích phân dạng chập với nhân Hermite 86
3.2.2. Phương trình tích phân với nhân Toeplitz - Hankel 92
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan
đến luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
d : Số nguyên dương cho trước.
N : tập hợp các số tự nhiên.
Z : tập hợp các số nguyên.
Z
∗

: tập hợp Z \ {0}.
α : đa chỉ số xác định bởi
α = (α
1
, . . . , α
d
) ∈ N
d
, và
|α| = α
1
+ ···+ α
d
, D
α
x
:=
∂
|α|
∂x
α
1
1
. . . ∂x
α
d
d
.
xy : tích vô hướng của x và y, xác định bởi
xy = x

1
y
1
+ ···+ x
d
y
d
, x, y ∈ R
d
, và
|x|
2
= x
2
1
+ ···+ x
2
d
, x
α
= x
α
1
1
. . . x
α
d
d
S : không gian các hàm f khả vi vô hạn trên R
d

thỏa mãn
sup
|α|≤m
sup
x∈R
d
(1 + |x|
2
)
m
|(D
α
x
f)(x)| < ∞, (m = 0, 1, 2, . . . ).
L
1
(E) : không gian các hàm f khả tích Lebesgue trên E,
với chuẩn f
1
=

E
|f(x)|dx.
L
2
(E) : không gian các hàm f bình phương khả tích Lebesgue trên E,
với chuẩn f
2
2
=


E
|f(x)|
2
dx, và f, g =

E
f(x)g(x)dx.
C
0
(R
d
) : không gian các hàm f liên tục trên R
d
và triệt tiêu tại vô cùng
với chuẩn f
∞
= sup
x∈R
d
|f(x)|.
l
2
(Z) : không gian các dãy số a = {a
n
}
n∈Z
thỏa mãn

n∈Z

|a
n
|
2
< +∞ với chuẩn a =

n∈Z
|a
n
|
2
.
c
0
(Z) : không gian các dãy số bị chặn a = {a
n
}
n∈Z
thỏa mãn
lim
|n|→∞
a
n
= 0 với chuẩn a = sup
n∈Z
|a
n
|.
5
H

α
(x) : đa thức Hermite xác định bởi
H
α
(x) = (−1)
|α|
e
|x|
2
D
α
x
e
−|x|
2
.
Φ
α
(x) : hàm Hermite được xác định bởi
Φ
α
(x) = (−1)
|α|
e
1
2
|x|
2
D
α

x
e
−|x|
2
.
cas(x) : hàm Hartley xác định bởi
cas x = cos x + sin x
[x] : hàm phần nguyên của x.
6
MỞ ĐẦU
1. Lịch sử vấn đề và lí do lựa chọn đề tài
Nhiều vấn đề trong khoa học và công nghệ đưa đến việc giải một
phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng, hoặc phương
trình tích phân. Chẳng hạn, trong bài toán tính độ lệch đứng của một
dầm vô hạn dẫn đến giải một phương trình vi phân thường sau (xem [15])
EI
d
4
u
dx
4
+ k
du
dx
= W (x), −∞ < x < ∞. (0.1)
Khi nghiên cứu các dao động của dây, màng mỏng, sóng âm, sóng tạo
ra do thủy triều, sóng đàn hồi, sóng điện trường, dẫn đến giải phương
trình truyền sóng sau (xem [10, 15, 47])
∂
2

u
∂t
2
− a
2
∂
2
u
∂x
2
= 0. (0.2)
Trong cơ học lượng tử, xung lượng của các hạt cơ bản được biểu diễn qua
phương trình tích phân Fredholm sau (xem [1, 12])
ϕ(x) =

Ω
K(x, y)ϕ(y)dy. (0.3)
Một vấn đề đặt ra là đi tìm lời giải cho các phương trình vi phân, tích
phân do các vấn đề của khoa học và công nghệ đưa đến. Có rất nhiều
hướng tiếp cận dựa trên nhiều lý thuyết toán học khác nhau trong việc
giải quyết vấn đề trên như: chỉ ra điều kiện tồn tại và duy nhất nghiệm,
sự ổn định nghiệm; giải tìm nghiệm đúng, nghiệm gần đúng, nghiệm suy
rộng, v.v. Trong số đó, việc sử dụng các biến đổi tích phân để giải các
phương trình kể trên ra đời rất sớm và liên tục phát triển cho đến tận
ngày nay. Có vai trò đặc biệt quan trọng trong lý thuyết này phải kể đến
trước hết là biến đổi Fourier, Fourier sine, Fourier cosine, Hartley, tiếp
theo là biến đổi Laplace, biến đổi Mellin, sau đó là các biến đổi Hankel,
Kontorovich-Lebedev, Stieltjes, Cùng với lý thuyết phép biến đổi tích
phân, lý thuyết chập liên kết với các biến đổi tích phân cũng xuất hiện
vào khoảng đầu thế kỉ XX. Tuy nhiên, cho đến trước những năm 50 của

7
thế kỉ trước, không có nhiều chập liên kết với các biến đổi tích phân
được xây dựng. Cho đến khi những kết quả của Kakichev V.A. (1967)
và Kakichev V.A., Thao N. X. (1998) công bố (xem [31, 33]) về phương
pháp kiến thiết xây dựng chập suy rộng thì một loạt các chập suy rộng
mới liên kết với các biến đổi tích phân khác nhau ra đời. Những năm
gần đây, có khá nhiều bài báo và sách về các ứng dụng của các biến đổi
tích phân, chập liên kết với các biến đổi tích phân được công bố (xem
[9, 11, 19, 21, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 32, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 41, 42,
44, 45, 46, 47, 50, 51, 53, 54]).
Đáng chú ý là biến đổi Fourier rất hữu dụng trong việc giải phương
trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân vì những lý do sau (xem
[15]): trước tiên, các phương trình đó được thay thế bởi các phương trình
đại số đơn giản, cho phép chúng ta tìm nghiệm là các biến đổi Fourier
của hàm. Nghiệm của phương trình ban đầu sẽ thu được thông qua biến
đổi Fourier ngược. Thứ hai, biến đổi Fourier là nguồn gốc ban đầu để xác
định nghiệm cơ bản, minh họa cho ý tưởng xây dựng hàm Green sau này.
Thứ ba, biến đổi Fourier của nghiệm kết hợp với định lý chập cung cấp
một cách biểu diễn nghiệm tường minh cho bài toán biên ban đầu.
Các biến đổi Fourier cosine, Fourier sine trên R
d
, Fourier, Fourier
ngược và các biến đổi Hartley lần lượt được định nghĩa trong không
gian L
1
(R
d
) như sau (xem [6, 7, 39, 41, 47]):
(T
c

f)(x) :=
1
(2π)
d
2

R
d
f(y) cos(xy)dy,
(T
s
f)(x) :=
1
(2π)
d
2

R
d
f(y) sin(xy)dy,
(F f)(x) :=
1
(2π)
d
2

R
d
f(y)e
−ixy

dy,
(F
−1
f)(x) :=
1
(2π)
d
2

R
d
f(y)e
ixy
dy, (0.4)
(H
1
f)(x) :=
1
(2π)
d
2

R
d
f(y) cas(xy)dy,
(H
2
f)(x) :=
1
(2π)

d
2

R
d
f(y) cas(−xy)dy,
trong đó, cas u := cos u + sin u. Theo công thức Euler thì các biến đổi
Fourier, Fourier ngược và Hartley được biểu diễn tuyến tính qua hai biến
8
đổi Fourier cosine và Fourier sine trên R
d
là
F = T
c
− iT
s
, F
−1
= T
c
+ iT
s
,
H
1
= T
c
+ T
s
, H

2
= T
c
− T
s
.
Điều này đã đưa đến cho chúng tôi ý tưởng xét các biến đổi tích phân
T
a,b
= aT
c
+ bT
s
, a, b ∈ C,
gọi là các biến đổi tích phân dạng Fourier. Trong số này, các biến đổi
Hartley có một số ưu điểm nhất định như: Chúng đóng vai trò quan trọng
trong xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, xử lý âm thanh (xem [6, 7, 8, 28, 37, 52]).
Khi tính toán số với hàm nhận giá trị thực thì các biến đổi Hartley nhanh
hơn biến đổi Fourier vì biến đổi Hartley của một hàm nhận giá trị thực
là một hàm nhận giá trị thực, trong khi biến đổi Fourier của một hàm
nhận giá trị thực có thể là một hàm nhận giá trị phức. Theo Ví dụ 1.2,
thì với hàm nhận giá trị thực
f(x) =



√
2π e
−x
nếu x > 0,

0 nếu x < 0,
nhưng ảnh Fourier của f là một hàm nhận giá trị phức
(F f)(x) =
1
1 + ix
,
trong khi các ảnh Hartley của f là các hàm nhận giá trị thực
(H
1
f)(x) =
x + 1
x
2
+ 1
, (H
2
f)(x) =
x −1
x
2
+ 1
.
So với các biến đổi Fourier cosine, Fourier sine thì các biến đổi Hartley là
khả nghịch trong khi các biến đổi Fourier cosine, Fourier sine lại không
khả nghịch. Trong cuốn sách về phép biến đổi tích phân của mình (xem
[39]), Olejniczak K. J. đã viết: "có lẽ một trong những đóng góp giá trị
nhất của Hartley là một biến đổi tích phân đối xứng được phát triển khởi
đầu từ những vấn đề truyền tải sóng điện thoại. Mặc dù biến đổi này bị
lãng quên gần 40 năm, nhưng nay nó đã được nghiên cứu lại trong thập
kỷ qua bởi hai nhà toán học Wang và Bracewell - những người đã tạo ra

lý thuyết hấp dẫn về đề tài này".
9
Với những lí do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài "Phép biến đổi tích
phân dạng Fourier và ứng dụng giải một số phương trình vi phân và tích
phân".
2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Mục đích của luận án là đi nghiên cứu những tính chất toán tử, xây
dựng chập suy rộng liên kết với các biến đổi Hartley cùng với hàm trọng
Hermite và không có hàm trọng. Sử dụng chúng để giải một số phương
trình vi phân và tích phân trên miền vô hạn. Song song với các phương
trình xác định trên miền vô hạn là các phương trình xác định trên miền
hữu hạn. Do đó, luận án đưa ra hai biến đổi Hartley hữu hạn và xây dựng
chập liên kết với các biến đổi này để giải các phương trình trên miền hữu
hạn. Ngoài ra, luận án còn xét một biến đổi tích phân dạng Fourier mới
(T f)(x) =
1
√
2π

R
f(y)[2 cos(xy) + sin(xy)]dy,
nghiên cứu các đặc trưng đại số, xây dựng chập liên kết với biến đổi này
và nguyên lý bất định Heisenberg.
3. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu các đặc trưng đại số của các biến đổi tích phân. Từ đó,
tìm ra biến đổi ngược và đi ngược từ đẳng thức nhân tử hóa để xây dựng
chập, chập suy rộng liên kết với các biến đổi tích phân. Đối với mỗi biến
đổi tích phân chúng tôi xây dựng bộ bốn chập mà nhân của chúng có
dạng
[f(x + y) + f(x −y) + f(−x + y) −f(−x − y)]g(y),

[f(x + y) + f(x −y) − f(−x + y) + f(−x − y)]g(y),
[f(x + y) − f(x −y) + f(−x + y) + f(−x − y)]g(y),
[−f(x + y) + f(x −y) + f(−x + y) + f(−x − y)]g(y).
Do đó, các tích phân có dạng

f(±x ±y)g(y)dy,
đều biểu diễn được qua các chập trên. Nhờ vậy, chúng tôi đã đưa phương
trình tích phân với nhân Toeplitz-Hankel về hệ phương trình tuyến tính.
Từ kết quả của đại số tuyến tính và biến đổi ngược, chúng tôi đưa ra điều
kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm và công thức nghiệm tường
minh.
10
4. Cấu trúc luận án và các kết quả
Luận án gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận và phụ lục:
Chương 1 trình bày một số tích chất cơ bản của biến đổi Fourier trên R
d
và biến đổi Fourier trên đoạn hữu hạn. Xây dựng chập, chập suy rộng
liên kết với các biến đổi Hartley cùng với hàm trọng Hermite và không
có hàm trọng. Định nghĩa các biến đổi Hartley trên đoạn hữu hạn và xây
dựng chập, chập suy rộng liên kết với các biến đổi tích phân này.
Chương 2 đưa ra một biến đổi tích phân dạng Fourier mới T . Chứng minh
một số đặc trưng đại số của nó như:
+ T là biến đổi đối xứng và không unita.
+ T có đa thức đặc trưng là P
T
(t) = t
4
− 5t
2
+ 4.

+ T không thỏa mãn đẳng thức Parseval.
+ T thỏa mãn hệ thức bất định Heisenberg.
+ T biến một hàm nhận giá trị thực thành một hàm nhận giá trị thực.
+ T là toán tử khả nghịch với toán tử ngược
(T
−1
g)(y) =
1
√
2π

R
g(ξ)[
1
2
cos(yξ) + sin(yξ)]dξ.
Xây dựng chập suy rộng liên kết với các biến đổi Hartley, T cùng với hàm
trọng Hermite và không có hàm trọng.
Chương 3 sử dụng các kết quả thu được ở Chương 1 và Chương 2 vào giải
một số phương trình vi phân và tích phân như: phương trình xác định độ
lệch đứng của dầm, phương trình xác định độ võng tĩnh của dầm, phương
trình truyền sóng, phương trình khuếch tán, phương trình Schr¨odinger,
phương trình tích phân dạng chập với nhân Toeplitz - Hankel, nhân chứa
các hàm Hermite. Bên cạnh đó, chúng tôi còn sử dụng phần mềm Maple
để giải nghiệm tường minh cho một số phương trình đã xét. Đặc biệt, với
công cụ là chập suy rộng liên kết với các biến đổi Hartley hữu hạn mà
một lớp phương trình tích phân Toeplitz-Hankel sau (xem [48])
λϕ(x) +
1
π


b
a
[p(x −y) + q(x + y)]ϕ(y)dy = f(x), (0.5)
có thể giải và thu được nghiệm ở dạng chuỗi. Phương trình này có rất
nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như lý thuyết tán xạ, lý
11
thuyết động lực học chất lỏng, lý thuyết lọc tuyến tính, trong nghiên cứu
các va chạm đàn hồi, tán xạ khí quyển, động lực học khí loãng, (xem
[1, 2, 5, 12, 17, 18, 30, 39, 47, 48]). Ngoại trừ một số trường hợp đặc biệt
đối với nhân Toeplitz p và nhân Hankel q, bài toán tìm nghiệm đóng cho
phương trình (0.5) tổng quát cho đến nay vẫn là bài toán mở.
5. Ý nghĩa của các kết quả
Luận án đưa ra một cách tiếp cận khác trong việc nghiên cứu các biến
đổi tích phân. Đó là dựa vào các đặc trưng đại số của các biến đổi tích
phân. Theo cách tiếp cận này thì các biến đổi tích phân được phân loại
dựa theo đặc trưng đại số của nó. Nhờ đó, luận án đã đưa ra một biến
đổi tích phân mới T có một số đặc trưng đại số khác với các biến đổi tích
phân đã biết. Hy vọng, chúng ta sẽ tìm được các ứng dụng mới cho biến
đổi này. Với chập liên kết với các biến đổi Hartley hữu hạn, luận án đã
trả lời được một phần của bài toán mở (0.5). Các kết quả của luận án
góp phần làm phong phú thêm lí thuyết về phép biến đổi tích phân và
phương trình tích phân.
Nội dung chính của luận án dựa trên các công trình khoa học đã công
bố, liệt kê ở mục "Danh mục công trình khoa học của tác giả liên
quan đến luận án", các kết quả này đã được báo cáo tại:
+ Seminar Giải tích-Đại số, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại
học Quốc Gia Hà Nội.
+ Seminar bộ môn Giải tích, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại
học Quốc Gia Hà Nội.

+ Seminar bộ môn Toán học tính toán, Trường Đại học Khoa học Tự
nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội.
12
Chương 1
PHÉP BIẾN ĐỔI HARTLEY
1.1. Phép biến đổi Fourier
Trong mục này, luận án trình bày lại một số kết quả liên quan của
biến đổi Fourier. Các kết quả này đã được chứng minh chi tiết trong các
tài liệu trích dẫn. Bởi vậy, luận án chỉ nêu kết quả mà không trình bày
chứng minh.
1.1.1. Phép biến đổi Fourier trên R
d
Định nghĩa 1.1 ([41, 47]). Biến đổi Fourier của hàm f được ký hiệu
(F f) và được xác định như sau:
(F f)(x) =
1
(2π)
d
2

R
d
f(y)e
−ixy
dy, (1.1)
trong đó, f là hàm thực hoặc phức xác định trên R
d
.
Điều kiện đủ để tích phân (1.1) tồn tại là hàm f thuộc L
1

(R
d
) và khi
đó ảnh Fourier của hàm f được miêu tả thông qua định lý sau.
Định lý 1.1 ([41, 47]). Nếu f ∈ L
1
(R
d
) thì (F f) ∈ C
0
(R
d
) và
(F f)
∞
≤
1
(2π)
d
2
f
1
.
Ví dụ sau chỉ ra rằng ảnh Fourier của một hàm thuộc L
1
(R) có thể
không thuộc L
1
(R).
Ví dụ 1.1. Xét hàm

f(x) =



1 nếu |x| ≤ 1,
0 nếu |x| > 1,
13
rõ ràng f thuộc L
1
(R), nhưng ảnh Fourier của hàm f
(F f)(x) =
1
√
2π

R
f(x)e
−ixy
dy
=
1
√
2π

1
−1
e
−ixy
dy =


2
π
sin x
x
,
là hàm không thuộc không gian L
1
(R) mà chỉ thuộc không gian C
0
(R).
Khi xét biến đổi Fourier trong không gian S thì nó là ánh xạ liên tục
từ S vào S và có ánh xạ ngược được chỉ ra trong định lý dưới đây.
Định lý 1.2 ([41, 47]). (i) Nếu g ∈ S thì
g(x) =
1
(2π)
d
2

R
d
(F g)(y)e
ixy
dy := (F
−1
(F g))(x), (x ∈ R
d
).
(ii) Biến đổi Fourier là ánh xạ tuyến tính, liên tục, 1 − 1 từ S lên S,
F

4
= I và ánh xạ ngược của nó cũng liên tục.
Trong không gian L
1
(R
d
), không phải biến đổi Fourier của hàm f nào
cũng tồn tại biến đổi ngược. Định lý 1.3 dưới đây sẽ đưa ra điều kiện tồn
tại biến đổi ngược đối với biến đổi Fourier của một hàm trong L
1
(R
d
).
Định lý 1.3 ([41, 47]). Nếu f ∈ L
1
(R
d
), (F f) ∈ L
1
(R
d
) và
f
0
(x) =
1
(2π)
d
2


R
d
(F f)(y)e
ixy
dy, (x ∈ R
d
),
thì f
0
(x) = f(x) hầu khắp nơi trên R
d
.
Biến đổi tích phân
1
(2π)
d
2

R
d
g(y)e
ixy
dy := (F
−1
g)(x),
gọi là biến đổi Fourier ngược của hàm g.
Định lý 1.4 ([41, 47]). Nếu f, g ∈ L
1
(R
d

) thì biến đổi tích phân (1.2)
xác định chập liên kết với biến đổi Fourier và thỏa mãn đẳng thức nhân
tử hóa (1.3)
(f ∗ g)(x) =
1
(2π)
d
2

R
d
f(x −u)g(u)du, (1.2)
F (f ∗ g)(x) = (F f)(x)(F g)(x). (1.3)
14
Nhận xét 1.1. Ta biết tập các hàm Hermite {Φ
α
} là cơ sở trực giao của
L
2
(R
d
), và S trù mật trong L
2
(R
d
). Những điều này và Định lý 1.2 gợi ý
cho việc mở rộng biến đổi Fourier lên L
2
(R
d

), và vấn đề được thực hiện
ở Định lý 1.5 sau đây.
Định lý 1.5 ([41, 47]). Tồn tại duy nhất một đẳng cự tuyến tính F :
L
2
(R
d
) → L
2
(R
d
) thỏa mãn (F f) = (F f) với mọi f ∈ S.
Phép mở rộng F được gọi là biến đổi Fourier của f ∈ L
2
(R
d
) và ký
hiệu (F f) vẫn được dùng để thay thế cho (F f). Nhờ tính duy nhất của
toán tử mở rộng F nên ta có thể phát biểu lại định lý Plancherel một
cách rõ ràng hơn như sau:
Hệ quả 1.1 ([47]). Giả sử f là hàm thực hoặc phức thuộc không gian
L
2
(R
d
) và
F (x, k) =
1
(2π)
d

2

|y|≤k
f(y)e
−ixy
dy.
Khi đó, khi k → +∞, F (x, k) hội tụ theo chuẩn tới hàm (F f)(x) của
L
2
(R
d
) và tương ứng ta cũng có
f(x, k) =
1
(2π)
d
2

|y|≤k
(F f)(y)e
ixy
dy,
hội tụ theo chuẩn tới f(x).
Sau đây là một số tính chất cơ bản của biến đổi Fourier.
Tính chất 1.1 ([41, 47]). Biến đổi Fourier của các hàm Hermite Φ
α
(x)
là (−i)
|α|
Φ

α
(x), nghĩa là
(F Φ
α
)(x) = (−i)
|α|
Φ
α
(x).
Tính chất 1.2 ([4, 41]). Nếu f ∈ L
1
(R
d
) và D
α
x
f ∈ L
1
(R
d
) thì
(F D
α
x
)(x) = i
|α|
x
α
(F f)(x).
Tính chất 1.3 (đẳng thức Parseval, [15, 41]). Nếu (F f)(x) = F(x) và

(F g)(x) = G(x) thì

R
d
f(t)g(t)dt =

R
d
F (x)G(x)dx.
Nhận xét 1.2. Từ đẳng thức Parseval suy ra F là toán tử unita. F có
trị riêng ảo (theo Tính chất 1.1) nên F là toán tử không đối xứng trong
không gian Hilbert L
2
(R
d
).
15
1.1.2. Phép biến đổi Fourier trên đoạn hữu hạn
Mục này sẽ trình bày khái niệm và một số tính chất liên quan của biến
đổi Fourier trên đoạn hữu hạn. Đây là một công cụ để tìm nghiệm của
các bài toán biên ban đầu xác định trên miền hữu hạn. Biến đổi Fourier
sine hữu hạn được đưa ra bởi Doetsch (1935). Sau đó, một số tác giả
đã quan tâm và trình bày một cách tổng quát hơn như Kneitz (1938),
Koschmieder (1941), Brown (1944) và Roettinger (1947) (xem [15]).
Định nghĩa 1.2 (biến đổi Fourier hữu hạn, [3, 15, 43]). Biến đổi Fourier
hữu hạn của hàm f(x) được ký hiệu F{f(x)} và xác định bởi
F{f(x)}(n) =
1
2π


π
−π
f(x)e
−inx
dx :=
ˆ
f(n), n ∈ Z, (1.4)
và tổng vô hạn
(F
f
)(x) :=
∞

n=−∞
ˆ
f(n)e
inx
,
gọi là chuỗi Fourier của hàm f trên [−π, π],
ˆ
f(n) gọi là hệ số Fourier thứ
n của hàm f.
Đặt
a
n
=
1
π

π

−π
f(x) cos(nx)dx, n = 0, 1, 2, . . . ,
b
n
=
1
π

π
−π
f(x) sin(nx)dx, n = 1, 2, 3, . . . ,
theo công thức Euler thì chuỗi Fourier của hàm f được viết lại dưới dạng
(F
f
)(x) =
a
0
2
+
∞

n=1
[a
n
cos(nx) + b
n
sin(nx)].
Điều kiện đủ để tích phân (1.4) tồn tại là f ∈ L
1
[−π, π]. Theo bổ

đề Lebesgue - Riemann thì ảnh Fourier hữu hạn của hàm f được mô tả
thông qua định lý sau đây.
Định lý 1.6 (bổ đề Lebesgue - Riemann, [3, 15, 43]). Nếu f ∈ L
1
[−π, π]
thì
ˆ
f(n) ∈ c
0
(Z).
16
Ta biết các hàm

1
√
2π
e
−inx
: n ∈ Z

,
là cơ sở trực chuẩn của L
2
[−π, π] nên nếu f ∈ L
2
[−π, π] thì chuỗi Fourier
của hàm f hội tụ về hàm f trong L
2
[−π.π] ([3, 15, 43]). Nhưng khi
f ∈ L

1
[−π, π] thì không phải lúc nào chuỗi Fourier của hàm f cũng hội
tụ và khi hội tụ cũng chưa hẳn hội tụ về hàm f.
Định lý 1.7 ([3, trang 88]). Cho f ∈ L
1
[−π, π] và σ
n
(f) là tổng Cesàro
của chuỗi Fourier của hàm f. Khi đó
lim
n→∞
f − σ
n
(f)
1
= 0,
trong đó
σ
n
(f) =
1
n
n−1

k=0
S
k
(f) với S
n
(f) =

n

k=−n
ˆ
f(k)e
ikx
.
Hệ quả sau suy trực tiếp từ Định lý 1.7.
Hệ quả 1.2 (tính duy nhất). Nếu f ∈ L
1
[−π, π] và
ˆ
f(n) = 0 với mọi
n ∈ Z thì f = 0 trong L
1
[−π, π].
Khi f là hàm trơn từng khúc thì định lý Dirichlet dưới đây cho ta mối
liên hệ giữa hàm f và chuỗi Fourier của nó.
Định lý 1.8 ([3, định lý Dirichlet]). Giả sử f là hàm tuần hoàn với chu
kỳ 2π và trơn từng khúc trên đoạn [−π, π] thì chuỗi Fourier của hàm f
hội tụ đến
1
2
[f(x+) + f(x−)].
Định lý 1.9 (chập Fourier hữu hạn, [3]). Giả sử hàm f, g xác định trên
R và tuần hoàn với chu kỳ 2π. Nếu f, g khả tích Lebesgue trên [−π, π]
thì biến đổi tích phân (1.5) là chập liên kết với biến đổi Fourier hữu hạn
cùng với bất đẳng thức chuẩn và đẳng thức nhân tử hóa
(f ∗
F

g)(x) =
1
2π

π
−π
f(x −u)g(u)du, (1.5)
f ∗
F
g
1
≤ f
1
g
1
; F{(f ∗
F
g)(x)}(n) =
ˆ
f(n)ˆg(n).
17
Khi f là hàm chẵn thì
ˆ
f(n) =
1
2π

π
−π
f(x)[cos(nx) −i sin(nx)]dx =

1
π

π
0
f(x) cos(nx)dx,
và chuỗi Fourier của hàm f được viết lại dưới dạng
(F
f
)(x) =
ˆ
f(0) + 2
∞

n=1
ˆ
f(n) cos(nx).
Tương tự, khi f là hàm lẻ thì chuỗi Fourier của hàm f được viết lại dưới
dạng
(F
f
)(x) = 2
∞

n=1
ˆ
f(n) sin(nx),
trong đó
ˆ
f(n) =

1
π

π
0
f(x) sin(nx)dx.
Hai trường hợp trên của hàm f đã gợi ý cho việc đưa ra hai biến đổi
Fourier cosine và sine hữu hạn như sau:
Định nghĩa 1.3 ([15, trang 408]). Cho f là hàm khả tích Lebesgue trên
[0, π]. Khi đó
(i) Biến đổi Fourier cosine hữu hạn của hàm f được ký hiệu F
c
{f(x)}
và xác định bởi
F
c
{f(x)}(n) =
2
π

π
0
f(x) cos(nx)dx :=
ˆ
f
c
(n), n = 0, 1, 2, . . .
(ii) Tổng vô hạn
1
2

ˆ
f
c
(0) +
∞

n=1
ˆ
f
c
(n) cos(nx),
gọi là chuỗi Fourier cosine của hàm f trên [0, π].
Định nghĩa 1.4 ([15, trang 408]). Cho f là hàm khả tích Lebesgue trên
[0, π]. Khi đó
(i) Biến đổi Fourier sine hữu hạn của hàm f được ký hiệu F
s
{f(x)} và
xác định bởi
F
s
{f(x)}(n) =
2
π

π
0
f(x) sin(nx)dx :=
ˆ
f
s

(n), n = 1, 2, 3 . . .
18
(ii) Tổng vô hạn
∞

n=1
ˆ
f
s
(n) sin(nx),
gọi là chuỗi Fourier sine của hàm f trên [0, π].
Mệnh đề 1.1 ([15, trang 410]). Cho hàm f có đạo hàm đến cấp hai khả
tích Lebesgue trên đoạn [0, π]. Khi đó
F
s
{f

(x)}(n) = −n
ˆ
f
c
(n),
F
s
{f

(x)}(n) = −n
2
ˆ
f

s
(n) +
2n
π
[f(0) + (−1)
n+1
f(π)],
F
c
{f

(x)}(n) = n
ˆ
f
s
(n) +
2
π
[(−1)
n
f(π) − f(0)],
F
c
{f

(x)}(n) = −n
2
ˆ
f
c

(n) +
2
π
[(−1)
n
f(π) − f(0)].
Chập trong Định lý 1.9 xác định với f, g là hai hàm tuần hoàn với chu
kỳ 2π. Do đó, ta đưa ra hai mở rộng tuần hoàn với chu kỳ 2π cho một
hàm xác định trên 0 < x < π như sau:
Định nghĩa 1.5 ([15, trang 411]). Hàm f
1
(x) gọi là mở rộng tuần hoàn
lẻ của hàm f(x) với chu kỳ 2π nếu
f
1
(x) = f(x), 0 < x < π; f
1
(−x) = −f
1
(x),
và
f
1
(x + 2π) = f
1
(x), với mọi x ∈ R.
Tương tự, hàm mở rộng tuần hoàn chẵn f
2
(x) của hàm f(x) xác định bởi
f

2
(x) = f(x), 0 < x < π; f
2
(−x) = f
2
(x),
và
f
2
(x + 2π) = f
2
(x), với mọi x ∈ R.
Định lý 1.10 ([15, trang 413]). Nếu f
1
, g
1
là hai mở rộng tuần hoàn lẻ
và f
2
, g
2
là mở rộng tuần hoàn chẵn của f, g trên 0 < x < π thì
F
c
{f
1
∗
F
g
1

)(x)}(n) = −
1
2
ˆ
f
s
(n)ˆg
s
(n),
F
c
{f
2
∗
F
g
2
)(x)}(n) =
1
2
ˆ
f
c
(n)ˆg
c
(n),
19
F
s
{f

1
∗
F
g
2
)(x)}(n) =
1
2
ˆ
f
s
(n)ˆg
c
(n),
F
s
{f
2
∗
F
g
1
)(x)}(n) =
1
2
ˆ
f
c
(n)ˆg
s

(n).
Nhận xét 1.3. Hệ số Fourier của một hàm nhận giá trị thực có thể là
dãy số phức trong khi hệ số Fourier cosine, Fourier sine của một hàm
nhận giá trị thực là một dãy số thực. Do đó, khi cần tính toán số thì ta
sử dụng chuỗi Fourier cosine, Fourier sine sẽ thuận lợi hơn. Tuy nhiên,
khi sử dụng chập hữu hạn thì các biến đổi Fourier cosine, Fourier sine
phải dựa trên các hàm mở rộng tuần hoàn. Nên việc sử dụng biến đổi
Fourier hữu hạn hoặc các biến đổi Fourier cosine, Fourier sine hữu hạn là
tùy vào từng bài toán.
1.2. Phép biến đổi Hartley
1.2.1. Phép biến đổi Hartley trên R
d
Định nghĩa 1.6 ([6, 28]). Các biến đổi Hartley của hàm f được ký hiệu
(H
1
f), (H
2
f) và được xác định tương ứng bởi
(H
1
f)(x) =
1
(2π)
d
2

R
d
f(y) cas(xy)dy, (1.6)
(H

2
f)(x) =
1
(2π)
d
2

R
d
f(y) cas(−xy)dy, (1.7)
trong đó f là hàm thực hoặc phức xác định trên R
d
và cas x = cos x+sin x.
Rõ ràng
(H
1
f)(x) = (H
2
f)(−x) và (H
1
f(−y))(x) = (H
2
f(y))(x). (1.8)
Ví dụ 1.2. Xét hàm
f(x) =



√
2π e

−x
nếu x > 0,
0 nếu x < 0.
Ta có
(F f)(x) =
1
1 + ix
; (H
1
f)(x) =
x + 1
x
2
+ 1
; (H
2
f)(x) =
x −1
x
2
+ 1
.
20
x
54321
2.5
0
2
1.5
-1

1
0.5
-2
0
Hình 1.1: f(x)
1
0.8
0.6
0.2
x
-0.2
100-10
1.2
0.4
155-5
0
-15
(H1f)(x)
(H2f)(x)
Hình 1.2: (H
1
f)(x), (H
2
f)(x)
Nhận xét 1.4. Khi f là hàm nhận giá trị thực thì ảnh Hartley của nó là
hàm nhận giá trị thực. Trong khi, ảnh Fourier của f có thể là hàm nhận
giá trị phức.
Cũng như biến đổi Fourier, điều kiện đủ để các tích phân (1.6), (1.7)
tồn tại là hàm f thuộc L
1

(R
d
) và ta có kết quả tương tự với Định lý 1.1
như sau:
Định lý 1.11. Nếu f ∈ L
1
(R
d
) thì (H
i
f) ∈ C
0
(R
d
), (i = 1, 2) và
(H
i
f)
∞
≤ f
1
.
Chứng minh. Từ |cas(xy)| ≤
√
2, suy ra với mọi f ∈ L
1
(R
d
)
|(H

i
f)(x)| ≤ f
1
, ( với mọi x ∈ R
d
). (1.9)
Mặt khác, do S trù mật trong L
1
(R
d
) nên với mỗi f ∈ L
1
(R
d
) tồn tại dãy
f
n
∈ S sao cho f
n
− f
1
→ 0. Từ (H
i
f
n
) ∈ S ⊂ C
0
(R
d
) và (1.9) suy ra

(H
i
f
n
) hội tụ đều đến (H
i
f) trên R
d
. Định lý đã được chứng minh.
Trong không gian S các biến đổi Hartley cũng nhận kết quả tương tự
trong Định lý 1.2 của biến đổi Fourier.
Định lý 1.12 (định lý ngược). Các biến đổi Hartley là ánh xạ tuyến tính,
liên tục, 1 − 1 từ S lên S và biến đổi ngược của nó là chính nó, nghĩa là
H
2
1
= I, H
2
2
= I.
21
Chứng minh. Khi các biến đổi F, F
−1
, H
1
và H
2
cùng xét trên không gian
S, ta có
H

1
=
1
2
[F + F
−1
] +
1
2i
[F
−1
− F],
H
2
=
1
2
[F + F
−1
] −
1
2i
[F
−1
− F]. (1.10)
Từ Định lý 1.2 và (1.10) suy ra H
1
, H
2
là các ánh xạ tuyến tính, liên tục,

1 −1 từ S vào S. Cuối cùng, ta đi chứng minh
H
2
1
= I, H
2
2
= I. (1.11)
Sử dụng F
4
= I, F
−1
= F
3
và (1.10), ta thu được (1.11).
Định lý 1.13 (định lý ngược, [7, 49]). Nếu f ∈ L
1
(R
d
), (H
i
f) ∈ L
1
(R
d
),
(i = 1, 2) và
f
1
(x) :=

1
(2π)
d
2

R
d
(H
1
f)(y) cas(xy)dy,
f
2
(x) :=
1
(2π)
d
2

R
d
(H
2
f)(y) cas(−xy)dy,
thì f
i
(x) = f(x) hầu khắp nơi trên R
d
, (i = 1, 2).
Chứng minh. Cho g ∈ S, với giả thiết f, (H
1

f) ∈ L
1
(R
d
) nên áp dụng
định lý Fubini cho tích phân sau

R
d

R
d
f(x)g(y) cas(xy)dxdy,
ta nhận được đẳng thức

R
d
f(x)(H
1
g)(x)dx =

R
d
g(y)(H
1
f)(y)dy. (1.12)
Do g ∈ S nên áp dụng Định lý 1.12 vào vế phải (1.12) và sử dụng định lý
Fubini, ta có

R

d
f(x)(H
1
g)(x)dx =
1
(2π)
d
2

R
d

R
d
(H
1
g)(x)(H
1
f)(y) cas(xy)dxdy
=
1
(2π)
d
2

R
d
(H
1
g)(x)dx


R
d
(H
1
f)(y) cas(xy)dy
=

R
d
f
1
(x)(H
1
g)(x)dx.
22
Từ Định lý 1.12, ta có

R
d
(f
1
(x) −f(x))Ψ(x)dx = 0, với mọi Ψ ∈ S.
Mà S trù mật trong L
1
(R
d
) nên f
1
(x) = f(x) hầu khắp nơi trên R

d
. Chứng
minh hoàn toàn tương tự cho H
2
. Định lý đã được chứng minh.
Hệ quả 1.3 (tính duy nhất). Nếu f ∈ L
1
(R
d
) và (H
1
f) = 0 hoặc
(H
2
f) = 0 trong L
1
(R
d
) thì f = 0 trong L
1
(R
d
).
Định lý 1.14. Nếu f, g ∈ L
1
(R
d
) thì mỗi biến đổi tích phân (1.13),
(1.14), (1.15), (1.16) là chập, chập suy rộng liên kết với các biến đổi
Hartley và thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa tương ứng

(f ∗
H
1
g)(x) =
1
2(2π)
d
2

R
d

f(x + y) + f(x −y)
+ f(−x + y) −f(−x −y)

g(y)dy, (1.13)
H
1
(f ∗
H
1
g)(x) = (H
1
f)(x)(H
1
g)(x).
(f ∗
H
1
,H

2
,H
2
g)(x) =
1
2(2π)
d
2

R
d

f(x + y) − f(x −y)
+ f(−x + y) + f(−x −y)

g(y)dy, (1.14)
H
1
(f ∗
H
1
,H
2
,H
2
g)(x) = (H
2
f)(x)(H
2
g)(x).

(f ∗
H
1
,H
2
,H
1
g)(x) =
1
2(2π)
d
2

R
d

− f(x + y) + f(x − y)
+ f(−x + y) + f(−x −y)

g(y)dy, (1.15)
H
1
(f ∗
H
1
,H
2
,H
1
g)(x) = (H

2
f)(x)(H
1
g)(x).
(f ∗
H
1
,H
1
,H
2
g)(x) =
1
2(2π)
d
2

R
d

f(x + y) + f(x −y)
− f(−x + y) + f(−x −y)

g(y)dy, (1.16)
H
1
(f ∗
H
1
,H

1
,H
2
g)(x) = (H
1
f)(x)(H
2
g)(x).
23
Chứng minh. Trước tiên, ta đi chứng minh chập (1.13). Ta chỉ ra
(f ∗
H
1
g)(x) ∈ L
1
(R
d
).
Thật vậy

R
d
|(f ∗
H
1
g)(x)|dx
=
1
2(2π)
d

2

R
d




R
d

f(x −y) + f(x + y)
+ f(−x + y) −f(−x −y)

g(y)dy



dx
≤
1
2(2π)
d
2

R
d
|g(y)|dy



R
d
|f(x −y)|dx +

R
d
|f(x + y)|dx
+

R
d
|f(−x + y)|dx +

R
d
|f(−x −y)|dx

≤
2
(2π)
d
2

R
d
|g(y)|dy

R
d
|f(x)|dx < +∞.

Bây giờ ta đi chứng minh đẳng thức nhân tử hóa. Ta có
(H
1
f)(x)(H
1
g)(x)
=
1
(2π)
d

R
d

R
d
cas(xu) cas(xv)f(u)g(v)dudv
=
1
2(2π)
d

R
d

R
d

cas x(u + v) + cas x(u −v)
+ cas x(−u + v) −cas x(−u −v)


f(u)g(v)dudv
=
1
2(2π)
d

R
d

R
d
cas(xt)

f(t + v) + f(t −v)
+ f(−t + v) −f(−t −v)

g(v)dvdt
=
1
(2π)
d
2

R
d
cas(xt)(f ∗
H
1
g)(t)dt

=H
1
(f ∗
H
1
g)(x).
Chứng minh phần đầu của các chập (1.14), (1.15), (1.16) tương tự với
phép chứng minh chập (1.13). Ta chỉ cần chứng minh đẳng thức nhân tử
hóa.
Chứng minh chập (1.14). Ta có
(H
2
f)(x)(H
2
g)(x)
24
=
1
(2π)
d

R
d

R
d
cas(−xu) cas(−xv)f(u)g(v)dudv
=
1
2(2π)

d

R
d

R
d

− cas x(u + v) + cas x(u −v)
+ cas x(−u + v) + cas x(−u −v)

f(u)g(v)dudv
=
1
2(2π)
d

R
d

R
d
cas(xt)

f(t + v) − f(t −v)
+ f(−t + v) + f(−t −v)

g(v)dvdt
=
1

(2π)
d
2

R
d
cas(xt)(f ∗
H
1
,H
2
,H
2
g)(t)dt
=H
1
(f ∗
H
1
,H
2
,H
2
g)(x).
Chứng minh chập (1.15). Ta có
(H
2
f)(x)(H
1
g)(x)

=
1
(2π)
d

R
d

R
d
cas(−xu) cas(xv)f(u)g(v)dudv
=
1
2(2π)
d

R
d

R
d

cas x(u + v) −cas x(u −v)
+ cas x(−u + v) + cas x(−u −v)

f(u)g(v)dudv
=
1
2(2π)
d


R
d

R
d
cas(xt)

− f(t + v) + f(t −v)
+ f(−t + v) + f(−t −v)

g(v)dvdt
=
1
(2π)
d
2

R
d
cas(xt)(f ∗
H
1
,H
2
,H
1
g)(t)dt
=H
1

(f ∗
H
1
,H
2
,H
1
g)(x).
Chứng minh chập (1.16). Ta có
(H
1
f)(x)(H
2
g)(x)
=
1
(2π)
d

R
d

R
d
cas(xu) cas(−xv)f(u)g(v)dudv
=
1
2(2π)
d


R
d

R
d

cas x(u + v) + cas x(u −v)
− cas x(−u + v) + cas x(−u −v)

f(u)g(v)dudv
25
=
1
2(2π)
d

R
d

R
d
cas(xt)

f(t + v) + f(t −v)
− f(−t + v) + f(−t −v)

g(v)dvdt
=
1
(2π)

d
2

R
d
cas(xt)(f ∗
H
1
,H
1
,H
2
g)(t)dt
=H
1
(f ∗
H
1
,H
1
,H
2
g)(x).
Định lý đã được chứng minh.
Ví dụ 1.3. Xét các hàm
f(x) =



e

−x
nếu x > 0,
0 nếu x ≤ 0,
g(x) =



e
−2x
nếu x > 0,
0 nếu x ≤ 0.
Ta có
(f ∗
H
1
g)(x) =



1
3
(4e
−x
− 2e
−2x
) nếu x > 0,
1
3
(4e
2x

− 2e
x
) nếu x ≤ 0,
(f ∗
H
1
,H
2
,H
2
g)(x) =



1
3
(4e
−2x
− 2e
−x
) nếu x > 0,
1
3
(4e
x
− 2e
−2x
) nếu x ≤ 0.
0-2-4
x

2
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
4
Hình 1.3: (f ∗
H
1
g)(x)
0-2
x
-4 2
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
4
Hình 1.4: (f ∗
H
1
,H
2
,H

2
g)(x)
Hệ quả 1.4. Nếu f, g ∈ L
1
(R
d
) thì mỗi biến đổi tích phân (1.17), (1.18),
(1.19), (1.20) là chập, chập suy rộng liên kết với các biến đổi Hartley và
26