Phương trình toán tử ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Trần Thị Kim Thanh
PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60.46.15
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
GS.TSKH.Đặng Hùng Thắng
i
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.Các khái niệm cơ bản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.Toán tử ngẫu nhiên và điểm bất động ngẫu nhiên
6
Chương 2. Các kết quả về sự tồn tại điểm bất động và lời
giải của phương trình toán tử ngẫu nhiên 11
2.1.Sự tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên của toán tử
ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.Phương trình toán tử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . 19
2.2.1. Phương trình toán tử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2. Phương trình toán tử ngẫu nhiên có nhiễu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Chương 3. Áp dụng phương pháp lặp để tìm điểm bất
động và giải phương trình toán tử ngẫu nhiên
29
3.1.Quy trình lặp ngẫu nhiên. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
ii
3.2.Sự hội tụ của thuật toán lặp. . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3.Áp dụng phương pháp lặp để tìm điểm bất động
và giải phương trình toán tử ngẫu nhiên . . . . . 39

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
iii
MỞ ĐẦU
Định lí điểm bất động của Banach đối với ánh xạ co trên
không gian mêtric đủ là một kết quả kinh điển của Toán học.
Sau Banach, lý thuyết điểm bất động là một trong những vấn đề
thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà Toán học trên
thế giới và từ đó đã có các ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh
vực khác như: Giải tích, Phương trình vi tích phân, Lý thuyết tối
ưu, Các bao hàm thức vi phân, Vật lí, Việc nghiên cứu điểm
bất động là cơ sở cho lý thuyết phương trình toán tử ngẫu nhiên.
Các công trình về điểm bất động cho ánh xạ co ngẫu nhiên của
O.Hans và A.Spacek trong những năm 1950 là sự khởi đầu cho
hướng nghiên cứu này. Các bài viết đặc sắc của A. T. Bharucha -
Ried năm 1976 thực sự là bước tiến nhảy vọt cho mảng lý thuyết
phương trình toán tử ngẫu nhiên. Ngày nay, phương trình toán
tử ngẫu nhiên trở thành trung tâm nghiên cứu của Giải tích phi
tuyến và Lý thuyết xác suất. Đến nay, trên thế giới đã có nhiều
công trình nghiên cứu rất phong phú về phương trình toán tử
ngẫu nhiên cho nhiều kiểu toán tử và trên nhiều loại không gian
khác nhau, từ đó cho thấy sự tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên
của toán tử đơn trị và đa trị.
Với mong muốn tìm hiểu một cách chi tiết và hệ thống về
hướng lý thuyết này, tôi đã lựa chọn đề tài: Phương trình toán
tử ngẫu nhiên dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH Đặng Hùng
Thắng. Luận văn của tôi gồm 3 chương.
1
Chương 1: trình bày các kiến thức chuẩn bị bao gồm các
khái niệm được sử dụng và một số kết quả không chứng minh

khác.
Chương 2: trình bày các kết quả về sự tồn tại điểm bất
động và giải phương trình toán tử ngẫu nhiên. Ở đây, chúng tôi
nghiên cứu nghiệm của phương trình toán tử ngẫu nhiên tổng
quát và phương trình toán tử ngẫu nhiên có nhiễu trên không
gian Banach tách được.
Chương 3: trình bày phương pháp lặp để tìm điểm bất động
và giải phương trình toán tử ngẫu nhiên. Chúng tôi giới thiệu hai
sơ đồ lặp tổng quát để giải phương trình toán tử ngẫu nhiên, đó
là sơ đồ lặp Mann và sơ đồ lặp Ishikawa. Sau đó, chúng tôi trình
bày điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ của sơ đồ lặp ngẫu nhiên để
tìm điểm bất động của phương trình toán tử tiệm cận tựa - không
giãn trên không gian Banach. Từ những lý thuyết trên, chúng tôi
nghiên cứu mối quan hệ giữa điểm bất động ngẫu nhiên(ở đây
dãy lặp được xây dựng hội tụ về điểm bất động ngẫu nhiên) và
nghiệm của phương trình toán tử ngẫu nhiên.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.
TSKH Đặng Hùng Thắng. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
và chân thành tới GS. TSKH Đặng Hùng Thắng, Thầy đã quan
tâm hướng dẫn và động viên tôi trong quá trình tôi hoàn thành
luận văn.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy, cô giáo
2
khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học tự nhiên
luôn quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình
học tập và nghiên cứu tại trường.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thành viên seminar Toán tử
ngẫu nhiên do GS. TSKH Đặng Hùng Thắng chủ trì đã giúp tôi
nhiều kinh nghiệm học tập và nghiên cứu khoa hoc.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các cấp lãnh đạo, các đồng nghiệp

trong trường ĐH Kinh tế - Kỹ thuật công nghiệp, gia đình và
người thân tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này.
Cuối cùng, tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp quý
báu của các thầy, cô giáo và các bạn học viên để luận văn được
hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, ngày 02 tháng 12 năm 2011
Tác giả
Trần Thị Kim Thanh
3
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này trích dẫn những khái niệm cơ bản và một số
kết quả (không chứng minh) trên không gian Banach mà chúng
tôi sử dụng trong các chương sau.
1.1. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.1.1. Cho Ω là tập khác ∅ được gọi là không gian
mẫu. Gọi A là σ - đại số các tập con của Ω. Mỗi phần tử của σ -
đại số A được gọi là một tập đo được. Bộ hai (Ω, A) gọi là một
không gian đo. Ánh xạ P : A → [0, 1] được gọi là độ đo xác suất
nếu thỏa mãn P(∅) = 0, P(Ω) = 1 và P(

∞
n=1
A
n
) =

∞
n=1

P(A
n
)
với mọi A
n
∈ A sao cho A
n

A
m
= ∅, m = n. Với mỗi A ∈ A,
P(A) được gọi là xác suất của tập A. Bộ ba (Ω, A, P) gọi là
không gian xác suất
Định nghĩa 1.1.2. Không gian Banach X gọi là thỏa mãn điều
4
kiện Opial nếu một dãy {x
n
} trong X hội tụ yếu đến x ∈ X và
x = y thì:
lim inf
n
 x
n
− y > lim inf
n
 x
n
− x 
Định nghĩa 1.1.3. Không gian Banach X được gọi là lồi đều
nếu δ

X
(ε) > 0, ∀ε > 0 trong đó:
δ
X
(ε) = inf {1 −
x+y
2
: x = y = 1,  x − y = ε}
được gọi là môđun lồi của không gian X.
Chúng ta cần các bổ đề sau để chỉ ra các tính chất đặc
trưng của không gian Banach lồi đều.
Bổ đề 1.1.4. Cho p > 1 và r > 1 là hai số thực cố định, không
gian Banach X gọi là lồi đều khi và chỉ khi tồn tại hàm lồi, tăng
chặt, liên tục g: [0, ∞) → [0, ∞) với g(0) = 0 sao cho ∀x, y ∈
B(0, r), λ ∈ [0, 1] và w
p
(λ) = λ · (1 − λ)
p
+ λ
p
· (1 − λ) :
 λx + (1 − λ)y 
p
≤ λ  x 
p
+(1 − λ)  y 
p
−w
p
(λ)g( x − y )

Bổ đề 1.1.5. Giả thiết rằng X là không gian Banach lồi đều,
0 < p ≤ λ
n
≤ q < 1∀n = 1, 2, · · · và {x
n
}, {y
n
} là hai dãy trên
không gian X sao cho r ≥ 0:
lim sup
n→∞
 x
n
≤ r;
lim sup
n→∞
 y
n
≤ r;
lim
n→∞
 λ
n
x
n
+ (1 − λ
n
)y
n
= r;

thì lim
n→∞
 x
n
− y
n
= 0
Bổ đề 1.1.6. Cho các dãy số không âm {α
n
}, {β
n
} và {γ
n
}
5
thoả mãn: α
n+1
≤ (1 + γ
n
)α
n
+ β
n
∀n = 1, 2, 3, và

∞
n=1
β
n
<

∞,

∞
n=1
γ
n
< ∞ thì
1) Tồn tại lim
n→∞
α
n
2) Hơn nữa nếu lim inf
n→∞
α
n
= 0 thì lim
n→∞
α
n
= 0
1.2. Toán tử ngẫu nhiên và điểm bất động
ngẫu nhiên
Cho F là tập con khác ∅ trên không gian Banach tách
được X.
Định nghĩa 1.2.1. Ánh xạ T : Ω × F → F được gọi là toán tử
ngẫu nhiên nếu mỗi x ∈ F , T( . , x) là đo được.
Ánh xạ T : Ω × F → F được gọi là toán tử liên tục nếu
∀ω ∈ Ω, ánh xạ T (ω, .) : F → F là liên tục.
Ký hiệu n lần lặp lại của T: T (ω, T (ω, T (ω, , T(ω, x))) là
T

n
(ω, x), khi đó ánh xạ ngẫu nhiên I : Ω × F → F xác định bởi
I(x, ω) = x và T
0
= I
Định nghĩa 1.2.2. Toán tử ngẫu nhiên T : Ω × F → F được
gọi là
a) toán tử ngẫu nhiên k(ω) - co nếu ∀x, y ∈ F và ω ∈ Ω ta có
 T (ω, x) − T(ω, y) ≤ k(ω)  x − y 
trong đó k : Ω → [0, 1] là ánh xạ đo được.
Nếu k(ω) = 1∀ω ∈ Ω thì T được gọi là toán tử ngẫu nhiên
không giãn.
6
b) toán tử ngẫu nhiên co nếu ∀x, y ∈ F và ω ∈ Ω ta có
 T (ω, x) − T(ω, y) < x − y .
c) toán tử ngẫu nhiên giãn nếu ∀x, y ∈ F và x = y ta có
 T (ω, x) − T(ω, y) > x − y  với mỗi ω ∈ Ω
d) toán tử ngẫu nhiên tựa - không giãn nếu G(ω) = {x ∈ F :
x = T (ω, x)} = ∅, ω ∈ Ω, và bất kỳ x ∈ F, y ∈ G(ω), ta có
 T (ω, x) − y ≤ x − y  với mỗi ω ∈ Ω.
e) toán tử ngẫu nhiên tiệm cận co nếu ∃x
0
∈ F
lim
x→∞
sup
x∈F
T (ω,x)−T (ω,x
0
)

x−x
0

< 1.
f) toán tử ngẫu nhiên tiệm cận không giãn nếu ∃{k
n
}(phụ thuộc
ω) trong [1, ∞) với lim
n→∞
k
n
= 1 khi n ∈ N sao cho ∀x, y ∈
F, ∀ω ∈ Ω
 T
n
(ω, x) − T
n
(ω, y) ≤ k
n
 x − y 
Lấy k
n
= 1 và n = 1 ta có khái niệm toán tử ngẫu
nhiên không giãn
g) toán tử ngẫu nhiên tiệm cận tựa - không giãn nếu với mỗi
ω ∈ Ω : G(ω) = {x ∈ F : x = T (ω, x)} = ∅ và ∃{k
n
} (phụ
thuộc ω) trong [0, ∞) với lim
n→∞

k
n
= 0 khi n ∈ N sao cho
x ∈ F và y ∈ G(ω) thì
 T
n
(ω, x) − y ≤ (1 + k
n
)  x − y  ∀ω ∈ Ω
h) toán tử ngẫu nhiên liên tục đủ nếu dãy {x
n
} trong F hội tụ
yếu đến x
0
kéo theo {T (ω, x
n
)} hội tụ mạnh tới T(ω, x
0
) với
mỗi ω ∈ Ω.
7
i) toán tử ngẫu nhiên giả co nếu bất kỳ ánh xạ đo được r :
Ω → (0, ∞) và bất kỳ x, y ∈ F , ∀ω ∈ Ω ta có:
 x−y ≤ (1+r(ω))(x−y)−r(ω)(T (ω, x)−T (ω, y)) 
Lớp các toán tử ngẫu nhiên giả co là tổng quát hơn các toán
tử ngẫu nhiên không giãn.
k) toán tử ngẫu nhiên k(ω) - giả co mạnh cho ánh xạ đo được
k : Ω → (0, 1) nếu bất kỳ ánh xạ đo được r : Ω → (0, ∞) và
mỗi x ∈ F , với mỗi ω ∈ Ω, y ∈ F ta có
 x−y ≤ k(ω)  1+r(ω)(x−y)−r(ω)(T (ω, x)−T (ω, y)) .

l) toán tử ngẫu nhiên L - Lipsichz đều nếu với bất kỳ x, y ∈ F
ta có
 T
n
(ω, x) − T
n
(ω, y) ≤ L  x − y 
với ∀n = 1, 2, 3, và L là hằng số dương. Nếu lấy n = 1
thì ta có định nghĩa toán tử ngẫu nhiên L - Lipsichz. Toán
tử ngẫu nhiên tiệm cận không giãn là toán tử ngẫu nhiên
L - Lipsichz đều với L ≥ 1.
m) toán tử ngẫu nhiên (k − α) - Lipsichz đều nếu bất kỳ x, y ∈
F ta có:
 T
n
(ω, x) − T
n
(ω, y) ≤ k  x − y 
α
với mỗi ω ∈ Ω, ∀n = 1, 2, 3, là hằng số dương và α > 0.
Định nghĩa 1.2.3. Cho F là tập con khác ∅ trên không gian
Banach X. Toán tử ngẫu nhiên T : Ω × F → F được gọi là toán
tử ngẫu nhiên (k, n) - quay với k < n nếu mỗi ω ∈ Ω:
8
 x − T
n
(ω, x) ≤ k  x − T (ω, x) (x ∈ F, n ∈ N).
Chú ý 1.2.4. Cho T : Ω × F → F là toán tử ngẫu nhiên k(ω) -
co với F là tập con đóng của không gian Banach X với n > 1 và
∀x ∈ F , mỗi ω ∈ Ω ta có:

 x − T
n
(ω, x) ≤

n
k=1
 T
k−1
(ω, k) − T
k
(ω, x) 
≤ (1+ k(ω) +(k(ω))
2
+ + (k(ω))
n−1
)  x − T (ω, x) 
< n  x − T (ω, x) .
Khi đó, T là toán tử ngẫu nhiên quay.
Định nghĩa 1.2.5. Cho F là tập con khác ∅, lồi và bị chặn trên
không gian Banach X. Ánh xạ T : F → X được gọi là nửa đóng
đối với điểm y ∈ X nếu mỗi dãy {x
n
} trong F sao cho dãy {x
n
}
hội tụ yếu đến x ∈ X và dãy {T x
n
} hội tụ mạnh tới y kéo theo
x ∈ F và T(x) = y.
Toán tử ngẫu nhiên T : Ω × F → F được gọi là nửa đóng

nếu T (ω, .) là nửa đóng với mỗi ω ∈ Ω.
Chú ý 1.2.6. Cho F là tập con khác ∅, compăc yếu, lồi của không
gian Banach X thoả mãn điều kiện Opial. Khi đó, f : F → X là
ánh xạ không giãn thì I - f là nửa đóng.
Bổ đề 1.2.7. Cho F là tập con lồi đóng khác ∅ và bị chặn trên
không gian Banach lồi đều, tách được X thoả mãn điều kiện Opial.
Nếu T là ánh xạ tiệm cận không giãn từ F vào chính nó thì I - T
là nửa đóng đối với điểm 0.
9
Định nghĩa 1.2.8. Ánh xạ đo được ξ : Ω → F là điểm bất động
ngẫu nhiên của toán tử ngẫu nhiên T : Ω × F → F khi và chỉ khi
T (ω, ξ(ω)) = ξ(ω)∀ω ∈ Ω. Ký hiệu tập các điểm bất động của T
là RF (T ).
Nếu ánh xạ T : Ω × F → F có điểm bất động ngẫu nhiên
thì với mỗi ω ∈ Ω, T (ω, .) có điểm bất động ngẫu nhiên trong F.
Chúng tôi nêu một số kết quả đã biết về điểm bất động
ngẫu nhiên.
Định lí 1.2.9. [12] Cho F là tập compăc và lồi của không gian
Banach X. Nếu toán tử T : Ω × F → F là toán tử ngẫu nhiên
liên tục thì T có một điểm bất động ngẫu nhiên.
Định lí 1.2.10. [12] Cho X là không gian Banach tách được và
T : Ω × X → X là toán tử ngẫu nhiên k(ω) - co thì tồn tại một
ánh xạ đo được ξ : Ω → X là điểm bất động duy nhất của T.
10
Chương 2
Các kết quả về sự tồn tại
điểm bất động và lời giải
của phương trình toán tử
ngẫu nhiên
2.1. Sự tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên của

toán tử ngẫu nhiên
Định lí 2.1.1. Cho X là không gian Banach tách được, T :
Ω × X → X là toán tử ngẫu nhiên co và ξ
0
: Ω → X là ánh xạ
đo được sao cho dãy {T
n
(ω, ξ
0
(ω))} có dãy con hội tụ với mọi
ω ∈ Ω. Khi đó, T có điểm bất động ngẫu nhiên duy nhất.
Chứng minh. Cho {T
n
i
(ω, ξ
0
(ω))} là dãy con của dãy {T
n
(ω, ξ
0
(ω))}
11
với {T
n
i
(ω, ξ
0
(ω))} → ξ(ω) khi n
i
→ ∞ với mỗi ω ∈ Ω và {n

i
}
là dãy các số nguyên dương tăng chặt. Ánh xạ ξ : Ω → X là
giới hạn theo từng điểm của dãy các ánh xạ đo được nên đo
được. Định nghĩa một dãy các ánh xạ đo được ξ
n
i
: Ω → X với
ξ
n
i
(ω) = T
n
i
(ω, ξ
0
(ω)). Cho  > 0, tồn tại một số nguyên n
0
sao
cho
d(ξ
n
i
(ω), ξ(ω)) <

4
với n
i
≥ n
0

và ω ∈ Ω.
Ta xét d(ξ
n
i
+1
(ω), T (ω, ξ(ω))) = d(T (ω, ξ
n
i
(ω)), T (ω, ξ(ω)))
< d(ξ
n
i
(ω), ξ(ω)) <

4
∀ω ∈ Ω.
Khi đó
d(ξ(ω), T (ω, ξ(ω))) ≤ d(ξ
n
i
+1
(ω), T (ω, ξ(ω))) + d(ξ
n
i
+1
(ω), ξ(ω))
<

4
+


4
=

2
Vậy ξ là điểm bất động ngẫu nhiên của T.
Bây giờ ta chứng minh ξ là điểm bất động ngẫu nhiên duy
nhất của ánh xạ T.
Thật vậy, Xét ánh xạ η : Ω → X sao cho η(ω) = T (ω, ξ(ω)) suy
ra η đo được. Giả sử η(ω) = ξ(ω) (1) với ω ∈ Ω nào đó . Vì T là
toán tử ngẫu nhiên co nên ∀ω ∈ Ω và (1) ta có
d(T (ω, ξ(ω)), T (ω, η(ω))) < d(ξ(ω), η(ω))
Xét h : Ω × X
2
→ R sao cho h(ω, x, y) =
d(T (ω,x),T (ω,y))
d(x,y)
với
x = y ∈ X, ∀ω ∈ Ω thì h(ω, ., .) là liên tục tại (ξ(ω), η(ω))∀ω ∈ Ω
mà thỏa mãn (1).
Lấy 0 < α < 1 thì tồn tại δ > 0 sao cho x
ω
∈ B(ξ(ω), δ),
y
ω
∈ B(η(ω), δ) và
12
d(T (ω, x
ω
), T (ω, y

ω
)) < αd(x
ω
, y
ω
)
Vì ∀ω ∈ Ω : lim
r→∞
T (ω, ξ
r
(ω)) = T (ω, ξ(ω)) = η(ω) nên ∃n
1
≥
n
0
sao cho
d(ξ
r
(ω), ξ(ω)) < δ và d(T (ω, ξ
r
(ω)), η(ω)) < δ.
Với r ≥ n
1
≥ n
0
và ω ∈ Ω
d(T (ω, ξ
r
(ω)), T (ω, T (ω, ξ
r

(ω)))) < αd(ξ
r
(ω), T (ω, ξ
r
(ω))) (2)
Do đó
d(ξ
r
(ω), T (ω, ξ
r
(ω))) ≤ d(ξ
r
(ω), ξ(ω)) + d(ξ(ω), T (ω, ξ(ω)))
+d(T (ω, ξ(ω)), T (ω, ξ
r
(ω)))
<

4
+

2
+

4
=  (3)
Từ (2) và (3) ta có
d(T (ω, ξ
r
(ω)), T (ω, T (ω, ξ

r
(ω)))) < αd(ξ
r
(ω), T (ω, ξ
r
(ω)))
< d(ξ
r
(ω), T (ω, ξ
r
(ω))) <  với r ≥ n
1
Vì T là toán tử ngẫu nhiên co với r ≥ n
1
ta có
d(T (ω, ξ
r
(ω)), T (ω, T (ω, ξ
r
(ω)))) < d(ξ
r
(ω), T (ω, ξ
r
(ω))) <

α
nên d(ξ
r+1
(ω), T (ω, ξ
r+1

(ω))) <

α
Do đó d(ξ
s
(ω), T (ω, ξ
s
(ω))) < α
s−r
Với ω ∈ Ω thỏa mãn (1)
d(ξ(ω), η(ω)) ≤ d(ξ(ω), ξ
s
(ω)) + d(ξ
s
(ω), T (ω, ξ
s
(ω)))
+ d(T (ω, ξ
s
(ω)), η(ω)) −→ 0 khi s → ∞
Điều này mâu thuẫn. Vậy ξ là điểm bất động ngẫu nhiên duy
nhất của ánh xạ T.
Định lí 2.1.2. Cho F là tập con khác ∅, lồi đóng trên không gian
Banach tách được X và T : Ω × F → F là toán tử ngẫu nhiên
13
quay và không giãn. Khi đó, T có điểm bất động ngẫu nhiên.
Chứng minh. Gọi ξ là ánh xạ đo được bất kì từ Ω vào F. Với
0 < α < 1, xác định T
α
: Ω × F → F như sau

T
α
(ω, x) = (1 − α)ξ(ω) + αT (ω, x)
trong đó, với mỗi α thì toán tử ngẫu nhiên T
α
là Lipschitz với
hằng số α. Áp dụng Định lý 1.2.10, ta thu được dãy {ξ
α
} các
điểm bất động ngẫu nhiên. Lấy ánh xạ đo được bất kì η từ Ω vào
F, xác định F
α
: Ω × F → F sao cho F
α
(ω, η(ω))) = ξ
α
(ω). Từ
đó, ta có
F
α
(ω, ξ(ω)) = (1 − α)ξ(ω) + αT (ω, F
α
(ω, ξ(ω)))
Dễ dàng kiểm tra được F
α
là toán tử ngẫu nhiên không giãn.
Bằng lặp F
α
k lần với k ∈ N ta thu được
F

k
α
(ω, ξ(ω)) = (1 − α)F
k−1
α
(ω, ξ(ω)) + αT (ω, F
k
α
(ω, ξ(ω)))(4)
Chú ý rằng
(1−α)F
α
(ω, ξ(ω)) = (1−α)ξ(ω)+αT (ω, F
α
(ω, ξ(ω)))−αF
α
(ω, ξ(ω))
= (1 − α)ξ(ω) + α(T (ω, F
α
(ω, ξ(ω))) − F
α
(ω, ξ(ω)))
Do đó
(1−α)(ξ(ω)−F
α
(ω, ξ(ω))) = α(F
α
(ω, ξ(ω))−T (ω, F
α
(ω, ξ(ω))))(5)

Mà T là toán tử (a, n) - quay nên
 ξ(ω) − T
n
(ω, ξ(ω)) ≤ a  ξ(ω) − T (ω, ξ(ω)) , với mỗi ω ∈ Ω
Ta có
 F
α
(ω, ξ(ω)) − F
2
α
(ω, ξ(ω)) =
= (1 − α)ξ(ω) + αT (ω, F
α
(ω, ξ(ω))) − (1 − α)F
α
(ω, ξ(ω))
− αT (ω, F
2
α
(ω, ξ(ω))) 
14
= (1 − α)(ξ(ω) − F
α
(ω, ξ(ω))) + αT (ω, F
α
(ω, ξ(ω)))
− αT (ω, F
2
α
(ω, ξ(ω))) 

= α(F
α
(ω, ξ(ω)) − T (ω, F
α
(ω, ξ(ω)))) + αT (ω, F
α
(ω, ξ(ω)))
− αT (ω, F
2
α
(ω, ξ(ω))) 
= α  F
α
(ω, ξ(ω)) − T (ω, F
2
α
(ω, ξ(ω))) 
≤ α  F
α
(ω, ξ(ω)) − T
n
(ω, F
α
(ω, ξ(ω)))  +
+ α  T
n
(ω, F
α
(ω, ξ(ω))) − T (ω, F
2

α
(ω, ξ(ω))) 
≤ αa  F
α
(ω, ξ(ω)) − T (ω, F
α
(ω, ξ(ω)))  +
+ α  T
n−1
(ω, F
α
(ω, ξ(ω))) − F
2
α
(ω, ξ(ω)) 
= (1 − α)a  F
α
(ω, ξ(ω)) − ξ(ω)  +
+ α  T
n−1
(ω, F
α
(ω, ξ(ω))) − F
2
α
(ω, ξ(ω)) 
với mỗi ω ∈ Ω. Ta cần chứng minh với mỗi ω ∈ Ω và m > 2
α  T
m−1
(ω, F

α
(ω, ξ(ω))) − F
2
α
(ω, ξ(ω)) 
≤ (m − 1) − mα + α
m
 ξ(ω) − F
α
(ω, ξ(ω)) 
+ α
m
 F
α
(ω, ξ(ω)) − F
2
α
(ω, ξ(ω))  (*)
Thật vậy, Ta có
α  T (ω, F
α
(ω, ξ(ω))) − F
2
α
(ω, ξ(ω)) 
= α  T (ω, F
α
(ω, ξ(ω))) − (1 − α)F
α
(ω, ξ(ω))

− αT (ω, F
2
α
(ω, ξ(ω))) 
= α  (1 − α)(T (ω, F
α
(ω, ξ(ω))) − F
α
(ω, ξ(ω)))
− α(T (ω, F
2
α
(ω, ξ(ω))) − T (ω, F
α
(ω, ξ(ω)))) 
≤ (1 − α)  α(T (ω, F
α
(ω, ξ(ω))) − F
α
(ω, ξ(ω))) 
+ α
2
 T (ω, F
2
α
(ω, ξ(ω)) − T (ω, F
α
(ω, ξ(ω))) 
= (1 − α)
2

 ξ(ω) − F
α
(ω, ξ(ω)) 
15
+ α
2
 T (ω, F
2
α
(ω, ξ(ω))) − T (ω, F
α
(ω, ξ(ω))) 
≤ (1 − α)
2
 ξ(ω) − F
α
(ω, ξ(ω)) 
+ α
2
 F
2
α
(ω, ξ(ω)) − F
α
(ω, ξ(ω)) 
Chứng minh (*) bằng quy nạp.
• m = 2: điều này là đúng ∀ω ∈ Ω
• giả sử (*) đúng với m = j và với ∀ω ∈ Ω. Ta xét
α  T
j

(ω, F
α
(ω, ξ(ω))) − F
2
α
(ω, ξ(ω)) 
= α  T
j
(ω, F
α
(ω, ξ(ω))) − (1 − α)F
α
(ω, ξ(ω))
− αT (ω, F
2
α
(ω, ξ(ω))) 
= α  (1 − α)(T
j
(ω, F
α
(ω, ξ(ω))) − F
α
(ω, ξ(ω)))
+ α(T
j
(ω, F
α
(ω, ξ(ω)))
− T (ω, F

2
α
(ω, ξ(ω))) 
≤ α(1 − α)  T
j
(ω, F
α
(ω, ξ(ω))) − F
α
(ω, ξ(ω)) 
+ α
2
 T
j
(ω, F
α
(ω, ξ(ω))) − T (ω, F
2
α
(ω, ξ(ω)) 
≤ jα(1 − α)  F
α
(ω, ξ(ω)) − T (ω, F
α
(ω, ξ(ω))) 
+ α
2
 T
j−1
(ω, F

α
(ω, ξ(ω))) − F
2
α
(ω, ξ(ω)) 
≤ jα(1 − α)  F
α
(ω, ξ(ω)) − T (ω, F
α
(ω, ξ(ω))  +α[(j −
1) − jα + α
j
]  ξ(ω) − F
α
(ω, ξ(ω))  +α
j+1
 F
α
(ω, ξ(ω)) −
F
2
α
(ω, ξ(ω)) 
≤ j(1 − α)
2
+ α[(j − 1) − jα + α
j
]  ξ(ω) − F
α
(ω, ξ(ω)) 

+ α
j+1
 F
α
(ω, ξ(ω)) − F
2
α
(ω, ξ(ω)) 
≤ [j − (j + 1)α + α
j+1
]  ξ(ω) − F
α
(ω, ξ(ω)) 
+ α
j+1
 F
α
(ω, ξ(ω)) − F
2
α
(ω, ξ(ω)) 
Từ đó ta có bất đẳng thức (*).
16
Ta có
 F
α
(ω, ξ(ω)) − F
2
α
(ω, ξ(ω)) ≤ (1 − α)a  F

α
(ω, ξ(ω)) − ξ(ω)  +
+ α  T
m−1
(ω, F
α
(ω, ξ(ω)) − F
2
α
(ω, ξ(ω)) 
≤ (1 − α)a  F
α
(ω, ξ(ω)) − ξ(ω)  +[(n − 1) − nα + α
n
]  ξ(ω) −
F
α
(ω, ξ(ω))  +α
n
 F
α
(ω, ξ(ω)) − F
2
α
(ω, ξ(ω)) 
Hơn nữa
(1 − α
n
)  F
α

(ω, ξ(ω)) − F
2
α
(ω, ξ(ω)) 
≤ [(1 − α)a + (n − 1) − nα + α
n
]  ξ(ω) − F
α
(ω, ξ(ω)) 
Do đó
 F
α
(ω, ξ(ω)) − F
2
α
(ω, ξ(ω)) 
≤ (1 − α
n
)
−1
[(1 − α)a + (n − 1) − nα + α
n
]  ξ(ω) − F
α
(ω, ξ(ω)) 
≤ (a + n)(1 − α)(1 − α
n
)
−1
−  ξ(ω) − F

α
(ω, ξ(ω)) 
= (a + n)(Σ
n−1
i=0
α
i
)
−1
−  ξ(ω) − F
α
(ω, ξ(ω)) 
= g(α)  ξ(ω) − F
α
(ω, ξ(ω)) 
với mỗi ω ∈ Ω. Vì g liên tục và giảm với α ∈ (0, 1] trong đó g(1) =
a
n
< 1 nên ∃b ∈ (0, 1] sao cho g(1) < 1 với α ∈ (b, 1]. Với mỗi α,
dãy các ánh xạ đo được xác định bởi η
n
(ω) = F
n
α
(ω, ξ(ω)) → η(ω)
với mỗi ω ∈ Ω, η : Ω → F là giới hạn của dãy ánh xạ đo được nên
cũng đo được, do đó η là điểm bất động ngẫu nhiên của T.
Định lí 2.1.3. Cho F là tập con khác ∅, lồi đóng trên không gian
Banach tách được X và T : Ω × F → F là toán tử ngẫu nhiên
co và tiệm cận không giãn với T(ω, .)F ⊆ F và T(ω, .) là compăc

với mỗi ω ∈ Ω. Khi đó, T có điểm bất động ngẫu nhiên.
Chứng minh. Lấy {t
n
} là dãy các số thực trên (0, 1) với giới hạn
17
0 và x
0
∈ F . Với mỗi n, định nghĩa ánh xạ T
n
: Ω × F → F với
T
n
(ω, x) = t
n
x
0
+(1 − t
n
)T (ω, x). Vì T (ω, .)F ⊆ F và tính lồi của
F nên T
n
(ω, .)F ⊆ F với mỗi n. Ta có
 T
n
(ω, x) − T
n
(ω, y) = (1 − t
n
)(T (ω, x) − T(ω, y) 
≤ (1 − t

n
)  x − y 
Vì T
n
(ω, .) là ánh xạ co với tỉ số (1 − t
n
) nên với mỗi n, T
n
có
điểm bất động ngẫu nhiên ξ
n
(theo định lý 1.2.10). Ta chứng
minh{ξ
n
(ω)} là dãy bị chặn với mỗi ω ∈ Ω.
Thật vậy, Giả sử ngược lại {ξ
n
(ω)} là dãy không bị chặn với mỗi
ω ∈ Ω, có thể lấy  ξ
n
(ω) → ∞. Lấy α ∈ (0, 1) và β > 0 sao cho
với mỗi ω ∈ Ω:
T (ω,x)−T (ω,x
0
)
x−x
0

≤ α và x ∈ F với  x ≥ β. Với n
đủ lớn, ta có

 ξ
n
(ω) = T
n
(ω, ξ
n
(ω)) 
= t
n
x
0
+ (1 − t
n
)T (ω, ξ
n
(ω)) 
= t
n
x
0
+ (1 − t
n
)T (ω, x
0
) + (1 − t
n
)[T (ω, ξ
n
(ω)) − T(ω, x
0

)] 
≤ t
n
 x
0
 +(1 − t
n
)[ T (ω, x
0
)  +  T (ω, ξ
n
(ω)) − T (ω, x
0
) ]
≤ t
n
 x
0
 +(1 − t
n
)[ T (ω, x
0
)  +α  ξ
n
(ω) − x
0
]
Chia hai vế cho  ξ
n
(ω)  và lấy giới hạn khi n → ∞ dẫn đến

mâu thuẫn với 1 ≤ α
Vậy {ξ
n
(ω)} là dãy bị chặn và ta có
 T (ω, ξ
n
(ω))−ξ
n
(ω) = t
n
 T (ω, ξ
n
(ω))−x
0
−→ 0 khi n → ∞
Vì T là toán tử ngẫu nhiên compăc và {ξ
n
(ω)} là dãy bị chặn nên
với mỗi n, ta định nghĩa G
n
: Ω → C(F ) với G
n
(ω) = cl{ξ
i
(ω) :
i ≥ n}. Đặt G : Ω → C(F ) trong đó G(ω) = ∩
∞
n=1
G
n

(ω) suy ra
18
G có ánh xạ đo được ξ. Với ω ∈ Ω bất kỳ cố định, giả sử tồn tại
dãy con {ξ
n
j
(ω)} của dãy {ξ
n
(ω)} sao cho ξ
n
j
(ω) → ξ(ω). Vì T là
toán tử ngẫu nhiên liên tục nên T(ω, ξ(ω)) = ξ(ω) hay ξ là điểm
bất động ngẫu nhiên của T.
2.2. Phương trình toán tử ngẫu nhiên
Mục này, chúng tôi đưa ra một số điều kiện đủ để phương
trình toán tử ngẫu nhiên và phương trình toán tử ngẫu nhiên có
nhiễu có nghiệm.
2.2.1. Phương trình toán tử ngẫu nhiên
Cho (Ω, A, P ) là không gian xác suất và X, Y là không
gian Banach tách được. Ánh xạ ξ : Ω → X là biến ngẫu nhiên X
- giá trị nếu ξ là (A, B) - đo được với B là σ - đại số Borel.
Định nghĩa 2.2.1. Cho T là ánh xạ ngẫu nhiên từ X vào Y và
η(ω) là biến ngẫu nhiên Y - giá trị. Ánh xạ ξ(ω) ∈ L
X
0
được gọi
là nghiệm của phương trình toán tử ngẫu nhiên T (ω, x) = η(ω)
nếu T (ω, ξ(ω)) = η(ω)
Định lí 2.2.2. Cho r = r(ω, t) là hàm trên Ω × R đến R sao cho

r(ω, .) là liên tục và lim
t→+∞
r(ω, t) = +∞. Giả sử X là không
gian Hilbert tách được hữu hạn chiều và T là ánh xạ ngẫu nhiên
liên tục trên X sao cho với mỗi x ∈ X
T (ω, x), x ≥ r(ω,  x )  x  (6)
19
Khi đó, với bất kỳ η ∈ L
X
0
(Ω), phương trình toán tử ngẫu
nhiên T (ω, x) = η(ω) có nghiệm
Chứng minh. Từ tính tách được của X suy ra tồn tại tập con
đếm được X
0
trù mật X và tập xác suất Ω
0
sao cho (6) thỏa mãn
∀x ∈ X
0
, ∀ω ∈ Ω
0
. Từ tính trù mật của X
0
trong X, tính liên tục
của T (ω, ·), r(ω, ·) bất đẳng thức (6) thỏa mãn ∀x ∈ X, ∀ω ∈ Ω
0
do đó không giảm tổng quát, ta có thể giả sử bất đẳng thức (6)
đúng ∀x ∈ X, ∀ω ∈ Ω.
• η(ω) = 0∀ω ∈ Ω. Với bất kỳ ω ∈ Ω cố định ánh xạ x −→

T (ω, x) xác định như trên ∃x(ω) sao cho T (ω, x(ω)) = 0. Xét
F : Ω → 2
X
là ánh xạ xác định F (ω) = {x | T (ω, x) = 0}.
Từ tính liên tục của ánh xạ x −→ T (ω, x), F là hàm đơn trị
đóng kín các giá trị. Lấy B = {0} thì B là tập đóng của X
và F (ω) = {x | T (ω, x) ∈ B}. Từ đó suy ra F đo được và
tồn tại biến ngẫu nhiên X - giá trị sao cho ξ(ω) ∈ F(ω) mà
T (ω, ξ(ω)) = 0.
• Với bất kỳ biến ngẫu nhiên η(ω) tùy ý
Ta xét ánh xạ ngẫu nhiên S xác định bởi S(ω, x) = T (ω, x)−
η(ω). Ta có
S(ω, x), x = T (ω, x), x − η(ω), x
≥ [r(ω,  x )−  η(ω) ]  x = s(ω,  x )  x 
với lim
t→+∞
s(ω, t) = lim
t→+∞
r(ω, t)−  η(ω) = +∞
Do đó S có tính chất giống T . Theo chứng minh trước tồn
tại biến ngẫu nhiên X - giá trị sao cho ξ(ω) ∈ F (ω) mà
20
S(ω, ξ(ω)) = 0. Từ đó, ta có T (ω, x) = η(ω)
Lấy r(ω, t) = k(ω)t
p−1
với p > 1 và k(ω) là biến số ngẫu
nhiên nhận giá trị dương, ta có hệ quả sau:
Hệ quả 2.2.3. Cho X là không gian Hilbert tách được hữu hạn
chiều và T là ánh xạ ngẫu nhiên liên tục trên X sao cho
T (ω, x), x ≥ k(ω)  x 

p
∀x ∈ X, k(ω) là biến ngẫu nhiên nhận giá trị dương và p >1.
Khi đó, với bất kỳ η ∈ L
X
0
(Ω), phương trình toán tử ngẫu nhiên
T (ω, x) = η(ω) có nghiệm.
Định lí 2.2.4. Cho X là không gian Hilbert tách được và T là
ánh xạ ngẫu nhiên liên tục trên X, đơn điệu mạnh và tồn tại biến
ngẫu nhiên nhận giá trị thực dương m(ω) sao cho ∀x
1
, x
2
∈ X ta
có
T (ω, x
1
) − T (ω, x
2
), x
1
− x
2
 ≥ m(ω)  x
1
− x
2

2
(7)

Khi đó với bất kỳ η ∈ L
X
0
(Ω), phương trình toán tử ngẫu nhiên
T (ω, x) = η(ω) có nghiệm duy nhất.
Chứng minh. Ta có thể giả sử rằng bất đẳng thức (7) đúng ∀x ∈
X và ω ∈ Ω. Với ω ∈ Ω bất kỳ, từ (7) suy ra ánh xạ x −→
T (ω, x) là ánh xạ đơn điệu mạnh trên X, do đó tồn tại ánh xạ
ngược liên tục x −→ T
−1
(ω, x). Đặt ξ(ω) = T
−1
(ω, η(ω)), ta
có T (ω, x) = η(ω) với mỗi ω ∈ Ω. Từ tính liên tục của ánh
21
xạ x −→ T
−1
(ω, x) xác định ánh xạ (ω, x) −→ T
−1
(ω, x) liên
tục nên ξ(ω) = T
−1
(ω, η(ω)) là biến ngẫu nhiên X - giá trị với
bất kỳ η ∈ L
X
0
(Ω). Tính duy nhất nghiệm của phương trình
T (ω, x) = η(ω) được suy ra từ sự tồn tại của T
−1
.

2.2.2. Phương trình toán tử ngẫu nhiên có nhiễu
Trong phần này, ta xét phương trình toán tử ngẫu nhiên
có nhiễu dạng
T (ω, x) + k(ω)x = η(ω)
trong đó k(ω) là biến số ngẫu nhiên nhận giá trị thực dương.
Ta nói ánh xạ f trên không gian Hilbert X được gọi là
compăc nếu f là liên tục và nó ánh xạ mỗi tập con bị chặn của
X thành tập con tiền compăc mạnh của X. Ánh xạ ngẫu nhiên
T được gọi là compăc nếu với mỗi ω ∈ Ω, ánh xạ x → T (ω, x) là
compăc.
Định lí 2.2.5. Cho X là không gian Hilbert tách được, T là ánh
xạ ngẫu nhiên compăc trên X, k(ω) là biến số ngẫu nhiên nhận
giá trị thực dương và r = r(ω, t) là hàm từ Ω × R → R sao cho
r(ω, ·) là liên tục và lim
t→+∞
r(ω, t) = +∞. Giả sử với mỗi x ∈ X
ta có
T (ω, x), x ≥ r(ω,  x )  x  −k(ω)  x 
2
(8)
Khi đó, phương trình toán tử ngẫu nhiên T (ω, x) + k(ω)x = η(ω)
có nghiệm với mỗi η ∈ L
X
0
(Ω).
22