Phương trình toán tử đơn điệu nghiệm hiệu chỉnh và tốc độ .pdf

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ VÂN

PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU
NGHIỆM HIỆU CHỈNH VÀ TỐC ĐỘ
HỘI TỤ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

THÁI NGUN – 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ VÂN

PHƯƠNG TRÌNH TỐN TỬ ĐƠN ĐIỆU
NGHIỆM HIỆU CHỈNH VÀ TỐC ĐỘ
HỘI TỤ
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60. 46. 36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS NGUYỄN THỊ THU THỦY

THÁI NGUYÊN - 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




non

1


Mục lục

Mở đầu

5

Chương 1.

Bài toán đặt không chỉnh và phương trình toán tử đơn

điệu

1.1

8

Bài toán đặt không chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

. . . . . . . . .

8

. . . . . . . . . . .

9

. . . . . . . . . . . .

13

. . . . . . . . . . . . . . . .

16

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

. . . . . . . . . . . .

18

. . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.1.1. Kh¸i niƯm về bài toán đặt không chỉnh

1.1.2. Một số kiến thức của giải tích hàm

1.1.3. Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh

1.2

Phương trình toán tử đơn điệu
1.2.1. Toán tử đơn điệu

1.2.2. Phương trình với toán tử đơn điệu

1.2.3. Phương pháp hiệu chỉnh

Chương 2.

2.1

Nghiệm hiệu chỉnh và tốc độ hội tụ

Hiệu chỉnh phương trình toán tử đơn điệu

22

. . . . . . . . . .

22

. . . . . . .

22

. . . . . . . . . .

26

Tèc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh . . . . . . . . . . . . .

28

2.1.1. Hiệu chỉnh trong trường hợp nhiễu vế phải

2.1.2. Hiệu chỉnh trong trường hợp tổng quát

2.2

2.2.1. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh trong trường hợp
nhiễu vế phải

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

28


2.2.2. Tèc ®é héi tơ cđa nghiƯm hiƯu chØnh trong tr­êng hỵp

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

KÕt qu¶ sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

tổng quát

2.3

Kết luận

36

Tài liệu tham khảo

37

Phụ lục

38

3


Lời cảm ơn
Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại Học Khoa học, Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Tiến Sỹ Nguyễn Thị

Thu Thủy. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô.
Trong quá trình học tập và làm luận văn, thông qua các bài giảng, tác
giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và những ý kiến đóng gãp q b¸u
cđa c¸c gi¸o s­ cđa ViƯn To¸n häc, Viện Công nghệ Thông tin thuộc viện
Khoa học và Công nghệ Việt Nam, của các thầy cô giáo trong Đại học Thái
Nguyên. Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các
Thầy Cô.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa
học và Quan hệ Quốc tế, Khoa Toán-Tin Trường Đại học Khoa học, Đại
học Thái Nguyên đà quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học
tập tại Trường.
Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đÃ
luôn theo sát động viên tôi vượt qua những khó khăn trong cuộc sống để
có được điều kiện tốt nhất khi nghiên cứu.
Thái Nguyên, tháng

10 năm 2009

Tác giả

Nguyễn Thị Vân

4


Mở đầu
Rất nhiều bài toán của thực tiễn, khoa học, công nghệ dẫn tới bài toán
đặt không chỉnh (ill-posed) theo nghĩa Hadamard, nghĩa là bài toán (khi
dữ kiện thay đổi nhỏ) hoặc không tồn tại nghiệm, hoặc nghiệm không duy
nhất, hoặc nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu. Do tính

không ổn định này của bài toán đặt không chỉnh nên việc giải số của nó
gặp khó khăn. Lý do là một sai số nhỏ trong dữ kiện của bài toán có thể
dẫn đến một sai số bất kỳ trong lời giải. Vì thế nảy sinh vấn đề tìm các
phương pháp giải ổn định cho các bài toán đặt không chỉnh sao cho khi sai
số của dữ kiện đầu vào càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần tới
nghiệm đúng của bài toán ban đầu.
Mục đích của đề tài nhằm nghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh cho bài
toán đặt không chỉnh dưới dạng phương trình toán tử

Ax = f
trong đó

A : X X

gian Banach phản xạ

X

(0.1)

là một toán tử đơn điệu đơn trị
vào không gian liên hợp

X

h-liên tục từ không

của

X.

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, nội
dung của đề tài được trình bày trong hai chương. Chương 1 giới thiệu một
số kiến thức cơ bản nhất về bài toán đặt không chỉnh, phương trình toán tử
đơn điệu, các định nghĩa, định lý và các bổ đề quan trọng của giải tích hàm
có liên quan đến nội dung nghiên cứu của đề tài. Đồng thời cũng trình bày
khái niệm về toán tử hiệu chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh trong trường
hợp tổng quát.
Trong chương 2 sẽ nghiên cứu sự hội tụ và tốc độ hội tụ của nghiÖm

5


hiệu chỉnh cho phương trình toán tử đặt không chỉnh (0.1) trong hai trường
hợp: nhiễu vế phải

f

và nhiễu cả toán tử

A

và vế phải

f.

ở phần cuối của

chương là hai ví dụ và kết quả số giải hệ phương trình đại số tuyến tính và
phương trình tích phân Fredholm loại I.

6


Một số ký hiệu và chữ viết tắt
X

không gian Banach thực

X

không gian liên hợp của

Rn

không gian Euclide



tập rỗng

x := y

x được định nghĩa bằng y

x

với mọi

x

tồn tại

I

ánh xạ đơn vị

AT

ma trận chuyển vị của ma trận

ab

a tương đương với b

A

toán tử liên hợp của toán tử

D(A)

miền xác định của toán tử

R(A)

miền giá trị của toán tử

xk x

dÃy

{xk } hội tơ m¹nh tíi x

xk * x

d·y

{xk } héi tơ u tíi x

X

n chiỊu

x

x

7

A

A

A

A


Chương 1

Bài toán đặt không chỉnh và phương trình
toán tử đơn điệu
1.1

Bài toán đặt không chỉnh

1.1.1. Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh

Chúng tôi trình bày khái niệm về bài toán đặt không chỉnh trên cơ sở
xét một bài toán ở dạng phương trình toán tử

A(x) = f,
ở đây

A:XY

Banach

Y,f

(1.1)

là một toán tử từ không gian Banach

là phần tử thuộc

X

vào không gian

Y . Sau đây là một định nghĩa của Hadamard

(xem [1] và tài liệu dẫn):

Định nghĩa 1.1.1.

Cho

A

là một toán tử từ không gian

X

vào không gian

Y . Bài toán (1.1) được gọi là bài toán đặt chỉnh (well-posed) nếu
1) phương trình

A(x) = f

có nghiệm với mọi

f Y;

2) nghiệm này duy nhất;
3) và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.
Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên không thoả mÃn thì bài toán
(1.1) được gọi là bài toán đặt không chỉnh (ill-posed). Đối với các bài toán
phi tuyến thì điều kiện thứ hai hầu như không thoả m·n. Do vËy hÇu hÕt

8


các bài toán phi tuyến đều là bài toán đặt không chỉnh. Hơn nữa điều kiện
cuối cùng cũng khó thực hiện được, vì vậy ta có định nghĩa sau đây.

Định nghĩa 1.1.2.

Y.

Cho

A

là một toán tử từ không gian

X

vào không gian

Bài toán (1.1) được gọi là bài toán đặt không chỉnh nếu nghiệm của

phương trình (1.1) không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu.
Chú ý 1.1.1. Bài toán tìm nghiệm

R(f ),

x phụ thuộc vào dữ kiện f , nghĩa là x =

được gọi là ổn định trên cặp không gian

tồn tại một số

(X, Y )

nếu với mỗi

>0

() > 0 sao cho tõ ρY (f1 , f2 ) ≤ δ(ε) cho ta X (x1 , x2 ) ,

ở đây

xi = R(fi ), xi ∈ X, fi ∈ Y, i = 1, 2.
Chú ý 1.1.2. Một bài toán có thể đặt chỉnh trên cặp không gian này nhưng

lại đặt không chỉnh trên cặp không gian khác.
Trong nhiều ứng dụng thì vế phải của (1.1) thường được cho bởi đo
đạc, nghĩa là thay cho giá trị chính xác
mÃn

kf f k .

Giả sử

x

thiết rằng nghiệm tồn tại). Khi
không chỉnh thì

x

f , ta chỉ biết xấp xỉ f

là nghiệm của (1.1) với

0

thì

f f

nói chung không hội tụ đến

f

của nó thoả

thay bởi

f

(giả

nhưng với bài toán đặt

x.

1.1.2. Một số kiến thức của giải tích hàm

Trước khi trình bày một số ví dụ về bài toán đặt không chỉnh, trong
mục này chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản của giải tích hàm có
liên quan đến nội dung nghiên cứu của đề tài. Các khái niệm này được tham
khảo trong các tài liệu [1], [2], [3] và [7].

ã Không gian Banach:

9


X

Không gian định chuẩn là không gian tuyến tính
mỗi phần tử

xX

ta có một số

trong đó ứng với

kxk gọi là chuẩn của x, thỏa mÃn các điều

kiện sau:
1)

kxk > 0, x 6= 0, kxk = 0 ⇔ x = 0;

2)

kx + yk ≤ kxk + kyk, ∀x, y ∈ X; (BÊt đẳng thức tam giác)

3)

kxk = ||.kxk, x X, R.

Không gian định chuẩn đầy đủ gọi là không gian Banach.
VÝ dơ 1.1.1.

Kh«ng gian

Lp [a, b] víi 1 ≤ p < là không gian Banach với

chuẩn

kk =

Z

b
p

|(x)| dx

 p1

,

Lp [a, b].

a

ã Sự hội tụ trong không gian Banach:
DÃy các phần tử
phần tử

x0 X

khi

xn

trong không gian Banach

n ,

nếu

X

kxn x0 k 0

được gọi là hội tụ đến

khi

n ,

ký hiệu là

xn x0 . Sự hội tụ theo chuẩn được gọi là hội tụ mạnh.
{xn } X

DÃy
nếu với

được gọi là hội tụ yếu đến

f X -không

gian liên hợp của

x0 X , ký hiƯu lµ xn * x0 ,

X,

ta cã

f (xn ) f (x0 ),

khi

n .
Từ định nghĩa trên ta cã tÝnh chÊt sau:
TÝnh chÊt 1.1.1.

i) Tõ sù héi tơ m¹nh cđa mét d·y

{xn } suy ra sù héi tụ yếu của dÃy đó.

ii) Giới hạn yếu của một dÃy nếu có là duy nhất.
iii) Nếu

xn * x thì sup kxn k < ∞ vµ kxk ≤ limn→∞ kxn k.
1≤n<∞

NhËn xÐt 1.1.1. Mét sè tr­êng hỵp tõ héi tơ yếu có thể suy ra hội tụ mạnh

là:

10


X

i)
ii)

là không gian hữu hạn chiều.

{xn } M

với

M

là một tập compact trong

X.

ã Không gian phản xạ:
Giả sử
của

X

X

và gọi

là không gian định chuẩn trên

X = L(X , R)

cho tương ứng với mỗi

X

xX

R, X

là không gian liên hợp

là không gian liên hợp thứ hai của

một phiếm hàm tuyến tính liên tục

X.

x

Ta

trên

nhờ hệ thức



ở đây

hf, xi




x , f = f, x , ∀f ∈ X ∗∗ ,

lµ kí hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục

x X . Ta có kxk = kx k. Đặt h(x) = x∗∗ , nÕu h : X → X
thì không gian

Ví dụ 1.1.2.

X

f X

tại

là toàn ánh

được gọi là không gian phản xạ.

Không gian

Lp [0, 1], p > 1 là không gian phản xạ. Mọi không

gian định chuẩn hữu hạn chiều đều phản xạ.

Định lý 1.1.1.

(xem [2]) Nếu

X

là không gian Banach thì các khẳng định

sau là tương đương:
1)

X

phản xạ;

2) Mọi dÃy giới nội là compact yếu, nghĩa là

{xn } ⊂ X : kxn k ≤

K ⇒ ∃ {xnk }, xnk * x X ;
3) Hình cầu đơn vị đóng trong

X

là compact yếu;

4) Mỗi tập bị chặn đóng yếu trong
5) Mỗi tập lồi đóng bị chặn trong

X

X

là compact yếu;
là compact yếu.

ã Đạo hàm Fréchet:
Với ánh xạ

r : X → Y,

ta sÏ viÕt lµ

r(x) = o(kxk), x → 0

r(x)/kxk → 0 khi x → 0. Gi¶ sư A : X Y

11

nếu

là một toán tử từ không gian


X

Banach
tại

xX

vào không gian Banach

Y . Toán tử A được gọi là khả vi Fréchet

nếu tồn tại một toán tử tuyến tÝnh liªn tơc

A(x + h) = A(x) + T h + o(khk),
h thuộc

với mọi

lân cận của điểm không. Nếu

đạo hàm Fréchet của

T :XY

sao cho

h0

T

tồn tại thì nó được gọi là

R.

Một tích vô hướng trong

A tại x và kí hiệu là
A0 (x) = T.

ã Không gian Hilbert:
Cho

X

X

là một không gian tuyến tính trên

h., .i : X ì X R thoả mÃn các điều kiện sau:

là một ánh xạ

hx, xi > 0, ∀x 6= 0; hx, xi = 0 ⇔ x = 0;

i)

hx, yi = hy, xi, ∀x, y ∈ X ;

ii)
iii)

hαx, yi = αhx, yi, ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ R;

iv)

hx + y, zi = hx, zi + hy, zi, ∀x, y, z ∈ X .

Kh«ng gian tuyÕn tÝnh

X cùng với tích vô hướng h., .i được gọi là không

gian tiền Hilbert. Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian
Hilbert.

Ví dụ 1.1.3.

Các không gian

Rn , L2 [a, b] là các không gian Hilbert với tích

vô hướng được xác định tương ứng là

hx, yi =

n
X

i i , x = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ), y = (η1 , η2 , ..., ηn ) ∈ Rn

i=1
b

Z
hϕ, i =

(x)(x)dx, , L2 [a, b].

a

ã Không gian lồi chặt:
Không gian Banach

X

được gọi là lồi chặt nếu mặt cầu đơn vị

12

S =


S(X) = {x ∈ X : kxk = 1} cña X

là lồi chặt, tức là từ

x, y S

kéo theo

kx + yk < 2. Do đó mọi mặt cầu khác cũng lồi chặt.
Ví dụ 1.1.4.

Không gian

Lp [a, b] là không gian lồi chặt.

ã Không gian E-S (Ephimov Stechkin):
Không gian Banach

X

được gọi là không gian Ephimov Stechkin (hay

không gian có tính chất E-S) nếu
phần tử
tụ mạnh

(xn * x)

X

phản xạ và trong

(kxn k → kxk)

vµ sù héi tơ chn

X

sù héi tơ u các

luôn kéo theo sự hội

(kxn xk 0).

Ví dụ 1.1.5.

Kh«ng gian Hilbert cã tÝnh chÊt E-S.

1.1.3. VÝ dơ vỊ bài toán đặt không chỉnh

Sau đây ta sẽ chỉ ra một vài ví dụ về toán tử

A mà (1.1) là bài toán đặt

không chỉnh.

Định nghĩa 1.1.3.

(xem [7]) Toán tử (phi tuyến)

A

được gọi là liên tục

mạnh, nếu nó ánh xạ mọi dÃy hội tụ yếu thành dÃy hội tụ mạnh tức là nếu

xn * x suy ra Axn Ax.
Mệnh đề 1.1.1.

(xem [7]) Cho

X

và

Y

là các không gian Banach thực. Nếu

A là toán tử tuyến tính compact thì A liên tục mạnh.
Ví dụ 1.1.6.

Nếu

A là toán tử liên tục mạnh thì bài toán (1.1) (vô hạn chiều)

nói chung là bài toán đặt không chỉnh.
Thật vậy, giả sử
và

{xn } là một dÃy chỉ héi tơ u ®Õn x, xn * x, xn 6→ x

yn = A(xn ), y = A(x).

yn → y

Khi ®ã, do tính liên tục mạnh của

và nghiệm của phương trình

A(x) = f

vào dữ kiện ban đầu.

13

A

suy ra

không phụ thuộc liên tôc


Tuy nhiên, cũng có một vài trường hợp đặc biệt cho phương trình toán
tử với toán tử liên tục mạnh. Chẳng hạn, nếu miền xác định
toán tử

A

D(A)

của

là hữu hạn chiều thì mọi dÃy hội tụ yếu đều hội tụ mạnh, do đó

chứng minh trên không áp dụng được. Và nếu ta xét một toán tử tuyến tính
compact với miền ảnh

R(A) hữu hạn chiều thì toán tử ngược A1 nói chung

là liên tục và khi đó bài toán giải phương trình

A(x) = f

là bài toán đặt

chỉnh.

Ví dụ 1.1.7.

(xem [1]) Xét phương trình tích phân Fredholm loại I

Z

b

K(x, s)(s)ds = f0 (x),

x [a, b],

(1.2)

a

(x), vế phải f0 (x) là một hàm cho trước, K(x, s)
K(x, s)
là hạch của tích phân. Giả thiết hạch K(x, s) cùng với
liên tục
x
trên hình vuông [a, b] ì [a, b]. Ta xét hai trường hợp sau:
ở đây nghiệm là một hàm

ã Trường hợp 1
A:

C[a, b] L2 [a, b]
Z
ϕ(x) 7→ f0 (x) =

b

K(x, s)ϕ(s)ds.
a

Sù thay ®ỉi của vế phải được đo bằng độ lệch trong không gian

L2 [a, b], tøc

f0 (x) vµ f1 (x) trong L2 [a, b] được cho bởi
Z b
 21
2

L2 [a,b] (f0 , f1 ) =
|f0 (x) f1 (x)| dx .

là khoảng cách giữa hai hàm

a
Giả sử phương trình (1.2) có nghiệm là

Z
f1 (x) = f0 (x) + N

0 (x). Khi đó với vế phải

b

K(x, s)sin(s)ds
a

thì phương trình này có nghiệm

1 (x) = ϕ0 (x) + N sin(ωx).

14


Với

N

bất kì và

không gian



đủ lớn thì khoảng cách giữa hai hµm

f0

vµ

f1

trong

L2 [a, b] lµ

Z bZ b
2  21
ρL2 [a,b] (f0 , f1 ) = |N |
K(x, s)sin(ωs)ds dx
a

a

cã thĨ lµm nhỏ tuỳ ý. Thật vậy, đặt

Kmax =

|K(x, s)|,

max
x[a,b],s[a,b]

ta tính được

Z
L2 [a,b] (f0 , f1 ) |N |

d

c


ở đây

c0


b
1
Kmax cos(ωs)
a


 12

2
dx

|N |Kmax c0
,


là một hằng số dương. Ta chọn

N

và



lớn tuỳ ý nhưng

N/

lại

nhỏ. Trong khi đó

C[a,b] (0 , 1 ) = max |ϕ0 (x) − ϕ1 (x)| = |N |
x∈[a,b]

cã thể lớn bất kì.

ã Trường hợp 2
A:

L2 [a, b] L2 [a, b]
Z

ϕ(x) 7→ f0 (x) =

b

K(x, s)ϕ(s)ds.
a

T­¬ng tù, ta cũng chỉ ra khoảng cách giữa hai nghiệm

0 và 1 trong không

L2 [a, b] có thể lớn bất kì. Thật vËy,
Z b
 12
Z b
 21
sin2 (ωx)dx
ρL2 [a,b] (ϕ0 , ϕ1 ) =
|ϕ0 (x) − ϕ1 (x)|2 dx = |N |
a
a
r
b−a
1
= |N |
−
sin(ω(b − a))cos(ω(b + a)).
2
2ω
DƠ dµng nhËn thÊy r»ng hai sè N vµ ω cã thĨ chän sao cho ρL2 [a,b] (f0 , f1 )

gian

rÊt nhá nh­ng

ρL2 [a,b] (ϕ0 , ϕ1 ) l¹i rÊt lín.

15


Vì tính không duy nhất của nghiệm của bài toán (1.1), nªn ng­êi ta
th­êng cã mét tiªu chuÈn cho sù lùa chän cđa nghiƯm.
nghiƯm

x0

cã

Ta sÏ sư dơng

x∗ - chn nhá nhất, nghĩa là ta tìm nghiệm thoả mÃn
A(x0 ) = f,

vµ

kx0 − x∗ k = min{kx − x∗ k : A(x) = f }.
x , ta có thể có được nghiệm mà ta muốn xấp xỉ.

Bằng cách chọn

1.2

Phương trình toán tử đơn điệu

1.2.1. Toán tử đơn điệu

Cho

X

là không gian Banach thực,

miền xác định là

D(A) = X

A : D(A) X

và miền ảnh

R(A)

là một toán tử với

nằm trong

X .

Các khái

niệm trong mục này được tham khảo trong các tài liệu [1], [3] và [7].

ã Toán tử đơn điệu: Toán tử A được gọi là đơn điệu (monotone) nếu
hA(x) A(y), x yi 0, x, y D(A).
Toán tử

A

(1.3)

được gọi là đơn điệu chặt (strictly monotone) nếu dấu bằng chỉ

x = y.

xảy ra khi

Trong trường hợp

A

là toán tử tuyến tính thì tính đơn

điệu tương đương với tính không âm của toán tử.
Toán tử

A

được gọi là đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm không âm

không giảm với

(t)

t 0, δ(t) = 0 vµ



hA(x) − A(y), x − yi ≥ δ kx − yk , ∀x, y ∈ D(A).
NÕu

δ(t) = cA t2

với

cA

là một hằng số dương thì toán tử

điệu mạnh.

16

A được gọi là đơn


VÝ dơ 1.2.1.

A : R M → RM

To¸n tư tun tính

được xác định bởi

A = B T B,
với

ã

B

là một ma trận vuông cấp

Toán tử

h-liên

continuous) trên

A

được gọi là

tục,

X

d-liên

nếu

d-liên

M , là một toán tử đơn điệu.

tục: Toán tử

A

A(x + ty) * Ax

được gọi là

khi

t0

tục (demicontinuous) trên

X

h-liên

với mọi

nếu từ

tục (hemi-

x, y X

xn → x

vµ

suy ra

Axn * Ax khi n → ∞.
VÝ dơ 1.2.2.

Hàm hai biến

liên tục theo từng biến tại

(x, y) = xy 2 (x2 + y 4 )1 không liên tục, nhưng
(0, 0) do đó nó h-liên tục tại (0, 0).

ã Toán tử bức: Toán tử A được gọi là toán tö bøc (coercive) nÕu



Ax, x
lim
= +∞, ∀x ∈ X.
||x||→+∞ ||x||
Sù tồn tại nghiệm của phương trình toán tử (1.1) được cho trong định
lý sau.

Định lý 1.2.1.

(xem [1]) Cho

A là một toán tử h-liên tục, đơn điệu và bức

từ không gian Banach phản xạ
có nghiệm với mọi

X

vào

X .

Khi đó phương trình

A(x) = f

f X .

ã ánh xạ đối ngẫu: ánh xạ U s : X X

được định nghĩa bëi




U s (x) = {x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x = ||x∗ ||s−1 ||x|| = ||x||s }, s 2
được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của
viết là

U

X.

Trong trường hợp

và gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của

(1.4)

s=2

ta

X.

Tính đơn trị của ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc được cho trong mệnh đề
sau.

17


Mệnh đề 1.2.1.

(xem [7]) Giả sử

X

là một không gian Banach. Khi đó,

1)

U (x) là tập lồi, U (x) = U (x) với mọi R;

2)

U

là ánh xạ đơn trị khi và chỉ khi

trường hợp

X

là không gian Hilbert thì

X

là không gian lồi chặt. Trong

U = I -toán tử đơn vị trong X .

ánh xạ đối ngẫu là một trong những ví dụ về toán tử đơn điệu, nó tồn
tại trong mọi không gian Banach.

Định lý 1.2.2.

(xem [7]) Nếu

đối ngẫu chuẩn tắc
Hơn nữa, nếu

X

X

là không gian Banach lồi chặt thì ánh xạ

U : X X

là toán tử đơn điệu, bức và

là không gian Banach lồi chặt thì

U

d-liên

tục.

là toán tử đơn điệu

chặt.
Sau đây là một kết quả của lý thuyết toán tử đơn điệu được sử dụng
trong phần sau.

Bổ đề 1.2.1.

thực,

f X

(xem [1] và tài liệu dẫn) Cho
và

là một không gian Banach

A là một toán tử h-liên tục từ X
hA(x) f, x x0 i 0,

thì

X

vào

X . Khi đó, nếu

x X

A(x0 ) = f.
Nếu

A là một toán tử đơn điệu trên X

thì điều kiện trên tương ®­¬ng víi

hA(x0 ) − f, x − x0 i ≥ 0,

x X.

Bổ đề 1.2.1 có tên là bổ đề Minty, tên một nhà toán học Mỹ, người đà chứng

minh kết quả trên trong trường hợp không gian Hilbert và sau này chính
ông và Browder đà chứng minh một cách độc lập trong không gian Banach.

1.2.2. Phương trình với toán tử đơn điệu

18