Phương trình toán tử đơn điệu nghiệm hiệu chỉnh và tốc độ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC






NGUYỄN THỊ VÂN






PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU
NGHIỆM HIỆU CHỈNH VÀ TỐC ĐỘ
HỘI TỤ








LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC






NGUYỄN THỊ VÂN






PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU
NGHIỆM HIỆU CHỈNH VÀ TỐC ĐỘ
HỘI TỤ

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60. 46. 36



LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC




Người hướng dẫn khoa học:
TS NGUYỄN THỊ THU THỦY





THÁI NGUYÊN - 2009
♥♦♥
✶
▼ô❝ ❧ô❝
▼ë ➤➬✉ ✺
❈❤➢➡♥❣ ✶✳ ❇➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✈➭ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tö ➤➡♥
➤✐Ö✉ ✽
✶✳✶ ❇➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽
✶✳✶✳✶✳ ❑❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈Ò ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽
✶✳✶✳✷✳ ▼ét sè ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ❝ñ❛ ❣✐➯✐ tÝ❝❤ ❤➭♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾
✶✳✶✳✸✳ ❱Ý ❞ô ✈Ò ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✸
✶✳✷ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻
✶✳✷✳✶✳ ❚♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻

✶✳✷✳✷✳ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈í✐ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽
✶✳✷✳✸✳ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵
❈❤➢➡♥❣ ✷✳ ◆❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✈➭ tè❝ ➤é ❤é✐ tô ✷✷
✷✳✶ ❍✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tö ➤➡♥ ➤✐Ö✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷
✷✳✶✳✶✳ ❍✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ♥❤✐Ô✉ ✈Õ ♣❤➯✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷
✷✳✶✳✷✳ ❍✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ tæ♥❣ q✉➳t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✻
✷✳✷ ❚è❝ ➤é ❤é✐ tô ❝ñ❛ ♥❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽
✷✳✷✳✶✳ ❚è❝ ➤é ❤é✐ tô ❝ñ❛ ♥❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣
♥❤✐Ô✉ ✈Õ ♣❤➯✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽
✷
✷✳✷✳✷✳ ❚è❝ ➤é ❤é✐ tô ❝ñ❛ ♥❣❤✐Ö♠ ❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣
tæ♥❣ q✉➳t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✵
✷✳✸ ❑Õt q✉➯ sè ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✷
❑Õt ❧✉❐♥ ✸✻
❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ✸✼
P❤ô ❧ô❝ ✸✽
✸
▲ê✐ ❝➯♠ ➡♥
▲✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ t➵✐ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❍ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝✱ ➜➵✐ ❤ä❝
❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t❐♥ t×♥❤ ❝ñ❛ ❝➠ ❣✐➳♦ ❚✐Õ♥ ❙ü ◆❣✉②Ô♥ ❚❤Þ
❚❤✉ ❚❤ñ②✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ tí✐ ❈➠✳
❚r♦♥❣ q✉➳ tr×♥❤ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ❧➭♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥✱ t❤➠♥❣ q✉❛ ❝➳❝ ❜➭✐ ❣✐➯♥❣✱ t➳❝
❣✐➯ ❧✉➠♥ ♥❤❐♥ ➤➢î❝ sù q✉❛♥ t➞♠ ❣✐ó♣ ➤ì ✈➭ ♥❤÷♥❣ ý ❦✐Õ♥ ➤ã♥❣ ❣ã♣ q✉ý ❜➳✉
❝ñ❛ ❝➳❝ ❣✐➳♦ s➢ ❝ñ❛ ❱✐Ö♥ ❚♦➳♥ ❤ä❝✱ ❱✐Ö♥ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ö ❚❤➠♥❣ t✐♥ t❤✉é❝ ✈✐Ö♥
❑❤♦❛ ❤ä❝ ✈➭ ❈➠♥❣ ♥❣❤Ö ❱✐Öt ◆❛♠✱ ❝ñ❛ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ❣✐➳♦ tr♦♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❚❤➳✐
◆❣✉②➟♥✳ ❚õ ➤➳② ❧ß♥❣ ♠×♥❤✱ t➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❜➭② tá ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ ➤Õ♥ ❝➳❝
❚❤➬② ❈➠✳
❚➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❇❛♥ ❣✐➳♠ ❤✐Ö✉✱ ♣❤ß♥❣ ➜➭♦ t➵♦ ❑❤♦❛
❤ä❝ ✈➭ ◗✉❛♥ ❤Ö ◗✉è❝ tÕ✱ ❑❤♦❛ ❚♦➳♥✲❚✐♥ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❤ä❝✱ ➜➵✐
❤ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ➤➲ q✉❛♥ t➞♠ ✈➭ ❣✐ó♣ ➤ì t➳❝ ❣✐➯ tr♦♥❣ s✉èt t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤ä❝

t❐♣ t➵✐ ❚r➢ê♥❣✳
❈✉è✐ ❝ï♥❣✱ t➠✐ ①✐♥ ❣ö✐ ❧ê✐ ❝➯♠ ➡♥ tí✐ ❣✐❛ ➤×♥❤✱ ❜➵♥ ❜❒✱ ➤å♥❣ ♥❣❤✐Ö♣ ➤➲
❧✉➠♥ t❤❡♦ s➳t ➤é♥❣ ✈✐➟♥ t➠✐ ✈➢ît q✉❛ ♥❤÷♥❣ ❦❤ã ❦❤➝♥ tr♦♥❣ ❝✉é❝ sè♥❣ ➤Ó
❝ã ➤➢î❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ tèt ♥❤✃t ❦❤✐ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉✳
❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ t❤➳♥❣ 10 ♥➝♠ 2009
❚➳❝ ❣✐➯
◆❣✉②Ô♥ ❚❤Þ ❱➞♥
✹
ở
t ề t ủ tự tễ ọ ệ tớ t
t ỉ s t ĩ r ĩ t
ữ ệ t ổ ỏ tồ t ệ ệ
t ệ ụ tộ tụ ữ ệ tí
ổ ị ủ t t ỉ ệ số ủ ó
ó ý ột s số ỏ tr ữ ệ ủ t ó tể
ế ột s số t ỳ tr ờ ì tế s ề tì
ổ ị t t ỉ s s
số ủ ữ ệ ỏ tì ệ ỉ tì ợ tớ
ệ ú ủ t
ụ í ủ ề t ứ ệ ỉ
t t ỉ ớ trì t tử
Ax = f
tr ó A : X X

ột t tử ệ trị h tụ từ
X ợ X

ủ X
ở ết ụ t ệ t ộ
ủ ề t ợ trì tr ớ tệ ột

số ế tứ t ề t t ỉ trì t tử
ệ ị ĩ ị ý ổ ề q trọ ủ tí
ó q ế ộ ứ ủ ề t ồ tờ ũ trì
ệ ề t tử ệ ỉ ệ ỉ tr trờ
ợ tổ qt
r sẽ ứ sự ộ tụ tố ộ ộ tụ ủ ệ

❤✐Ö✉ ❝❤Ø♥❤ ❝❤♦ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ tö ➤➷t ❦❤➠♥❣ ❝❤Ø♥❤ ✭✵✳✶✮ tr♦♥❣ ❤❛✐ tr➢ê♥❣
❤î♣✿ ♥❤✐Ô✉ ✈Õ ♣❤➯✐ f ✈➭ ♥❤✐Ô✉ ❝➯ t♦➳♥ tö A ✈➭ ✈Õ ♣❤➯✐ f✳ ë ♣❤➬♥ ❝✉è✐ ❝ñ❛
❝❤➢➡♥❣ ❧➭ ❤❛✐ ✈Ý ❞ô ✈➭ ❦Õt q✉➯ sè ❣✐➯✐ ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➵✐ sè t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✈➭
♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ tÝ❝❤ ♣❤➞♥ ❋r❡❞❤♦❧♠ ❧♦➵✐ ■✳
✻
▼ét sè ❦ý ❤✐Ö✉ ✈➭ ❝❤÷ ✈✐Õt t➽t
X ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ù❝
X
∗
❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧✐➟♥ ❤î♣ ❝ñ❛ X
R
n
❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❊✉❝❧✐❞❡ n ❝❤✐Ò✉
∅ t❐♣ rç♥❣
x := y x ➤➢î❝ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❜➺♥❣ y
∀x ✈í✐ ♠ä✐ x
∃x tå♥ t➵✐ x
I ➳♥❤ ①➵ ➤➡♥ ✈Þ
A
T
♠❛ tr❐♥ ❝❤✉②Ó♥ ✈Þ ❝ñ❛ ♠❛ tr❐♥ A
a ∼ b a t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ b
A

∗
t♦➳♥ tö ❧✐➟♥ ❤î♣ ❝ñ❛ t♦➳♥ tö A
D(A) ♠✐Ò♥ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❝ñ❛ t♦➳♥ tö A
R(A) ♠✐Ò♥ ❣✐➳ trÞ ❝ñ❛ t♦➳♥ tö A
x
k
→ x ❞➲② {x
k
} ❤é✐ tô ♠➵♥❤ tí✐ x
x
k
 x ❞➲② {x
k
} ❤é✐ tô ②Õ✉ tí✐ x
✼

t t ỉ trì
t tử ệ
t t ỉ
ệ ề t t ỉ
ú t trì ệ ề t t ỉ tr sở
ét ột t ở trì t tử
A(x) = f,
ở A : X Y ột t tử từ X
Y f tử tộ Y ột ị ĩ ủ r
t ệ
ị ĩ A ột t tử từ X
Y t ợ ọ t t ỉ s ế
trì A(x) = f ó ệ ớ ọ f Y
ệ t

ệ ụ tộ tụ ữ ệ
ế ít t ột tr ề ệ tr t tì t
ợ ọ t t ỉ s ố ớ t
tế tì ề ệ tứ t ết

t tế ề t t ỉ ữ ề ệ
ố ù ũ ó tự ệ ợ ì t ó ị ĩ s
ị ĩ A ột t tử từ X
Y t ợ ọ t t ỉ ế ệ ủ
trì ụ tộ tụ ữ ệ
ú ý t tì ệ x ụ tộ ữ ệ f ĩ x =
R(f) ợ ọ ổ ị tr (X, Y ) ế ớ ỗ > 0
tồ t ột số () > 0 s từ
Y
(f
1
, f
2
) () t
X
(x
1
, x
2
)
ở
x
i
= R(f
i

), x
i
X, f
i
Y, i = 1, 2.
ú ý ột t ó tể t ỉ tr
t ỉ tr
r ề ứ ụ tì ế ủ tờ ợ ở
ĩ t trị í f t ỉ ết ỉ f

ủ ó t
f

f sử x

ệ ủ ớ f t ở f


tết r ệ tồ t 0 tì f

f ớ t t
ỉ tì x

ó ộ tụ ế x
ột số ế tứ ủ tí
rớ trì ột số í ụ ề t t ỉ tr
ụ ú t ột số ệ ủ tí ó
q ế ộ ứ ủ ề t ệ ợ t
tr t ệ

ị tế tí X tr ó ứ ớ
ỗ tử x X t ó ột số x ọ ủ x tỏ ề
ệ s
x > 0, x = 0 x = 0 x = 0;
x + y x + y, x, y X; t tứ t
x = ||.x, x X, R.
ị ủ ọ
í ụ L
p
[a, b] ớ 1 p < ớ

=


b
a
|(x)|
p
dx

1
p
, L
p
[a, b].
ự ộ tụ tr
tử x
n
tr X ợ ọ ộ tụ ế

tử x
0
X n ế x
n
x
0
0 n ý ệ
x
n
x
0
ự ộ tụ t ợ ọ ộ tụ
{x
n
} X ợ ọ ộ tụ ế ế x
0
X ý ệ x
n
x
0

ế ớ f X

ợ ủ X t ó f(x
n
) f(x
0
)
n
ừ ị ĩ tr t ó tí t s

í t
ừ sự ộ tụ ủ ột {x
n
} s r sự ộ tụ ế ủ ó
ớ ế ủ ột ế ó t
ế x
n
x tì sup
1n<
x
n
< x lim
n
x
n
.
ét ột số trờ ợ từ ộ tụ ế ó tể s r ộ tụ


X ữ ề
{x
n
} M ớ M ột t t tr X

sử X ị tr R X

ợ
ủ X ọ X

= L(X

, R) ợ tứ ủ X
t ứ ớ ỗ x X ột ế tế tí tụ x

tr
X

ờ ệ tứ

x

, f

=

f, x

, f X

,
ở f, x í ệ trị ế tế tí tụ f X

t
x X ó x = x

. t h(x) = x

ế h : X X

t

tì X ợ ọ
í ụ L
p
[0, 1], p > 1 ọ
ị ữ ề ề
ị ý ế X tì ị
s t
X
ọ ớ ộ t ế ĩ {x
n
} X : x
n

K {x
n
k
}, x
n
k
x X
ì ị ó tr X t ế
ỗ t ị ó ế tr X t ế
ỗ t ồ ó ị tr X t ế
rét
ớ r : X Y t sẽ ết r(x) = o(x), x 0 ế
r(x)/x 0 x 0 sử A : X Y ột t tử từ

❇❛♥❛❝❤ X ✈➭♦ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ Y ✳ ❚♦➳♥ tö A ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❦❤➯ ✈✐ ❋rÐ❝❤❡t
t➵✐ x ∈ X ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ♠ét t♦➳♥ tö t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ❧✐➟♥ tô❝ T : X → Y s❛♦ ❝❤♦
A(x + h) = A(x) + T h + o(h), h → 0

✈í✐ ♠ä✐ h t❤✉é❝ ❧➞♥ ❝❐♥ ❝ñ❛ ➤✐Ó♠ ❦❤➠♥❣✳ ◆Õ✉ T tå♥ t➵✐ t❤× ♥ã ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭
➤➵♦ ❤➭♠ ❋rÐ❝❤❡t ❝ñ❛ A t➵✐ x ✈➭ ❦Ý ❤✐Ö✉ ❧➭
A

(x) = T.
• ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✿
❈❤♦ X ❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ tr➟♥ R✳ ▼ét tÝ❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣ tr♦♥❣
X ❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ ., . : X × X → R t❤♦➯ ♠➲♥ ❝➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ s❛✉✿
✐✮ x, x > 0, ∀x = 0; x, x = 0 ⇔ x = 0❀
✐✐✮ x, y = y, x, ∀x, y ∈ X❀
✐✐✐✮ αx, y = αx, y, ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ R❀
✐✈✮ x + y, z = x, z + y, z, ∀x, y, z ∈ X✳
❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ X ❝ï♥❣ ✈í✐ tÝ❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣ ., . ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❦❤➠♥❣
❣✐❛♥ t✐Ò♥ ❍✐❧❜❡rt✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ t✐Ò♥ ❍✐❧❜❡rt ➤➬② ➤ñ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥
❍✐❧❜❡rt✳
❱Ý ❞ô ✶✳✶✳✸✳ ❈➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ R
n
✱ L
2
[a, b] ❧➭ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ✈í✐ tÝ❝❤
✈➠ ❤➢í♥❣ ➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ t➢➡♥❣ ø♥❣ ❧➭
x, y =
n

i=1
ξ
i
η
i
, x = (ξ

1
, ξ
2
, ..., ξ
n
), y = (η
1
, η
2
, ..., η
n
) ∈ R
n
ϕ, ψ =

b
a
ϕ(x)ψ(x)dx, ϕ, ψ ∈ L
2
[a, b].
• ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❧å✐ ❝❤➷t✿
❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ X ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❧å✐ ❝❤➷t ♥Õ✉ ♠➷t ❝➬✉ ➤➡♥ ✈Þ S =
✶✷
S(X) = {x X : x = 1} ủ X ồ t tứ từ x, y S é t
x + y < 2 ó ọ t ũ ồ t
í ụ L
p
[a, b] ồ t
t
X ợ ọ t

ó tí t ế X tr X sự ộ tụ ế
tử (x
n
x) sự ộ tụ (x
n
x) é t sự ộ
tụ (x
n
x 0)
í ụ rt ó tí t
í ụ ề t t ỉ
t sẽ ỉ r ột í ụ ề t tử A t t
ỉ
ị ĩ tử tế A ợ ọ tụ
ế ó ọ ộ tụ ế t ộ tụ tứ ế
x
n
x s r Ax
n
Ax.
ệ ề X Y tự ế
A t tử tế tí t tì A tụ
í ụ ế A t tử tụ tì t ề
ó t t ỉ
t sử {x
n
} ột ỉ ộ tụ ế ế x x
n
x x
n

x
y
n
= A(x
n
) y = A(x) ó tí tụ ủ A s r
y
n
y ệ ủ trì A(x) = f ụ tộ tụ
ữ ệ

ũ ó ột trờ ợ ệt trì t
tử ớ t tử tụ ế ề ị D(A) ủ
t tử A ữ ề tì ọ ộ tụ ế ề ộ tụ ó
ứ tr ụ ợ ế t ét ột t tử tế tí
t ớ ề R(A) ữ ề tì t tử ợ A
1
ó
tụ ó t trì A(x) = f t t
ỉ
í ụ ét trì tí r

b
a
K(x, s)(s)ds = f
0
(x), x [a, b],
ở ệ ột (x) ế f
0
(x) ột trớ K(x, s)

ủ tí tết K(x, s) ù ớ
K(x, s)
x
tụ
tr ì [a, b] ì [a, b] ét trờ ợ s
rờ ợ
A : C[a, b] L
2
[a, b]
(x) f
0
(x) =

b
a
K(x, s)(s)ds.
ự t ổ ủ ế ợ ộ ệ tr L
2
[a, b] tứ
ữ f
0
(x) f
1
(x) tr L
2
[a, b] ợ ở

L
2
[a,b]

(f
0
, f
1
) =


b
a
|f
0
(x) f
1
(x)|
2
dx

1
2
.
sử trì ó ệ
0
(x) ó ớ ế
f
1
(x) = f
0
(x) + N

b

a
K(x, s)sin(s)ds
tì trì ó ệ

1
(x) =
0
(x) + Nsin(x).

❱í✐ N ❜✃t ❦× ✈➭ ω ➤ñ ❧í♥ t❤× ❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤ ❣✐÷❛ ❤❛✐ ❤➭♠ f
0
✈➭ f
1
tr♦♥❣
❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ L
2
[a, b] ❧➭
ρ
L
2
[a,b]
(f
0
, f
1
) = |N|


b
a



b
a
K(x, s)sin(ωs)ds

2
dx

1
2
❝ã t❤Ó ❧➭♠ ♥❤á t✉ú ý✳ ❚❤❐t ✈❐②✱ ➤➷t
K
max
= max
x∈[a,b],s∈[a,b]
|K(x, s)|,
t❛ tÝ♥❤ ➤➢î❝
ρ
L
2
[a,b]
(f
0
, f
1
) ≤ |N|


d

c

K
max
1
ω
cos(ωs)


b
a

2
dx

1
2
≤
|N|K
max
c
0
ω
,
ë ➤➞② c
0
❧➭ ♠ét ❤➺♥❣ sè ❞➢➡♥❣✳ ❚❛ ❝❤ä♥ N ✈➭ ω ❧í♥ t✉ú ý ♥❤➢♥❣ N/ω ❧➵✐
♥❤á✳ ❚r♦♥❣ ❦❤✐ ➤ã
ρ
C[a,b]

(ϕ
0
, ϕ
1
) = max
x∈[a,b]
|ϕ
0
(x) − ϕ
1
(x)| = |N|
❝ã t❤Ó ❧í♥ ❜✃t ❦×✳
• ❚r➢ê♥❣ ❤î♣ ✷
A : L
2
[a, b] → L
2
[a, b]
ϕ(x) → f
0
(x) =

b
a
K(x, s)ϕ(s)ds.
❚➢➡♥❣ tù✱ t❛ ❝ò♥❣ ❝❤Ø r❛ ❦❤♦➯♥❣ ❝➳❝❤ ❣✐÷❛ ❤❛✐ ♥❣❤✐Ö♠ ϕ
0
✈➭ ϕ
1
tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣

❣✐❛♥ L
2
[a, b] ❝ã t❤Ó ❧í♥ ❜✃t ❦×✳ ❚❤❐t ✈❐②✱
ρ
L
2
[a,b]
(ϕ
0
, ϕ
1
) =


b
a
|ϕ
0
(x) − ϕ
1
(x)|
2
dx

1
2
= |N|


b

a
sin
2
(ωx)dx

1
2
= |N|

b − a
2
−
1
2ω
sin(ω(b − a))cos(ω(b + a)).
❉Ô ❞➭♥❣ ♥❤❐♥ t❤✃② r➺♥❣ ❤❛✐ sè N ✈➭ ω ❝ã t❤Ó ❝❤ä♥ s❛♦ ❝❤♦ ρ
L
2
[a,b]
(f
0
, f
1
)
r✃t ♥❤á ♥❤➢♥❣ ρ
L
2
[a,b]
(ϕ
0

, ϕ
1
) ❧➵✐ r✃t ❧í♥✳
✶✺