Tích phân ngẫu nhiên ITO và toán tử ngẫu nhiên trong không gian Banach tt

Mục lục
Lờicamđoan 1
Lờicảmơn 2
Mụclục 3
Mởđầu 5
1 Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss v tích phân ngẫu nhiên Wiener
vô hạn chiều 11
1.1 Biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach . . . . 12
1.2 Độ đo véc tơ v tích phân của hm nhận giá trị toán tử đối với
độđovéctơ 14
1.2.1 Độđovéctơ 14
1.2.2 TíchphânBochner 16
1.2.3 Tích phân của một hm nhận giá trị toán tử đối với
mộtđộđovéctơ 16
1.3 Độ đo véc tơ ngẫu nhiên v tích phân ngẫu nhiên của hm tất
địnhđốivớiđộđovéctơngẫunhiên 18
1.4 ĐộđovéctơngẫunhiênGauss 20
1.5 Tích phân ngẫu nhiên Wiener đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên
Gaussđốixứng 24
1.6 Martingale nhận giá trị trong không gian Banach . . . . . . 25
3
2 Tích phân ngẫu nhiên Ito vô hạn chiều v công thức Ito 27
2.1 Tích phân ngẫu nhiên của hm ngẫu nhiên nhận giá trị toán
tửđốivớiđộđovéctơngẫunhiênGauss 27
2.2 Biến phân bình phơng của độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss
đốixứng 41
2.3 QuátrìnhItovcôngthứcIto 46
3 Toán tử ngẫu nhiên giữa các không gian Banach 58
3.1 Khái niệm của toán tử ngẫu nhiên bị chặn, ví dụ v các tính
chấttổngquát 58
3.2 Các điều kiện để một toán tử ngẫu nhiên l bị chặn . . . . . 65

3.3 Nguyên lý bị chặn đều không có hiệu lực cho toán tử ngẫu
nhiênbịchặn 71
3.4 Tháctriểncủatoántửngẫunhiênbịchặn 75
Về các nghiên cứu tiếp theo 83
Kếtluận 93
Tiliệuthamkhảo 96
Phụlục 100
4
Mở đầu
Trong hơn ba thế kỷ qua, với công lao đóng góp của nhiều thế hệ các nh
toán học, giải tích toán học đã trở thnh một lĩnh vực toán học lớn với những
chuyên ngnh nh: phép tính vi tích phân, phơng trình vi phân, phơng trình
đạo hm riêng, lý thuyết các toán tử tuyến tính, Nó cung cấp cho nhiều
ngnh khoa học v kỹ thuật một công cụ hết sức đắc lực để xử lý v tính toán
các mô hình tất định.
Tuy nhiên, chúng ta đang sống trong một thế giới chịu nhiều tác động của
nhân tố ngẫu nhiên. Phần lớn các hệ động lực, các quá trình trong tự nhiên
l các hệ động lực ngẫu nhiên v quá trình ngẫu nhiên. Thnh thử để phản
ánh thực tế đúng đắn hơn, ngoi việc nghiên cứu các mô hình tất định, việc
nghiên cứu các mô hình ngẫu nhiên l một tất yếu v cần thiết.
Trong vi chục năm gần đây, một mặt do nhu cầu phát triển nội tại của
toán học, mặt khác nhằm cung cấp một ngôn ngữ, một công cụ cho phép mô
tả, phân tích, dự báo v điều khiển các mô hình ngẫu nhiên, giải tích ngẫu
nhiên (giải tích trong môi trờng ngẫu nhiên) đã ra đời với các lý thuyết về
độ đo ngẫu nhiên, tích phân ngẫu nhiên, phơng trình vi phân ngẫu nhiên,
toán tử ngẫu nhiên, điểm bất động ngẫu nhiên, hệ động lực ngẫu nhiên
Trong các hớng nghiên cứu của giải tích ngẫu nhiên, việc nghiên cứu giải
tích ngẫu nhiên vô hạn chiều cũng đợc nhiều tác giả quan tâm do sự phát
triển nội tại của giải tích ngẫu nhiên cũng nh do sự xuất hiện của nhiều bi
toán thực tiễn đòi hỏi cách tiếp cận vô hạn chiều. Cần chú ý rằng để nghiên

cứu giải tích ngẫu nhiên trên không gian vô hạn chiều, ngời ta cần phải có
những phơng pháp mới v dụng cụ mới khác so với việc nghiên cứu giải tích
ngẫu nhiên hữu hạn chiều. Bởi lẽ rằng những phơng pháp v dụng cụ cơ bản
của xác suất trên không gian hữu hạn chiều khi mở rộng sang không gian vô
hạn chiều thì không còn hiệu lực nữa (xem [21, 22, 43] v các th mục ở đó).
5
Về mặt lịch sử, tích phân ngẫu nhiên đầu tiên trong lý thuyết xác suất l
tích phân của một hm tất định đối với chuyển động Brown do Wiener đa
ra [44] vo năm 1923. Tích phân ny đợc gọi l tích phân Wiener. Tích
phân Wiener có thể nhìn nhận nh l tích phân của một hm tất định thực
đối với độ đo ngẫu nhiên Wiener - một độ đo ngẫu nhiên giá trị thực sinh bởi
chuyển động Brown. T tởng về độ đo ngẫu nhiên giá trị thực lần đầu tiên
xuất hiện trong công trình của Bochner [6]. Tích phân ngẫu nhiên của hm
tất định đối với độ đo ngẫu nhiên giá trị thực đợc nghiên cứu bởi Urbanik v
Woyczynski [42]. Sự mở rộng cho trờng hợp vô hạn chiều đợc thực hiện
bởi Hoffman-Jorgensen [16], Okazaki [25], Rosinski [27]. Một hớng mở
rộng khác của tích phân Wiener đợc Đ.H.Thắng đề cập trong [36, 41]: Đó l
xét tích phân của các hm tất định thực đối với các độ đo véc tơ ngẫu nhiên
Gauss v độ đo véc tơ ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều.
Chơng 1 của luận án có tiêu đề "Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss v tích
phân ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều". Chơng ny sẽ trình by một cách
tóm lợc nhất để lm quen với định nghĩa, các kết quả cơ bản về độ đo véc tơ
ngẫu nhiên, độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss đối xứng với giá trị trong không
gian Banach vô hạn chiều v tích phân của hm tất định thực đối với chúng,
trong đó tập trung vo các tính chất các độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss đối
xứng. Các kết quả ny sẽ đợc sử dụng đến ở chơng 2.
Nhu cầu của toán học cũng nh thực tiễn đòi hỏi phải thực hiện quá trình
lấy tích phân không chỉ cho các hm tất định m cả cho các hm ngẫu nhiên.
Năm 1942 nh toán học Ito [18] đã xây dựng quá trình tích phân cho một hm
ngẫu nhiên phù hợp đối với chuyển động Brown. Tích phân ny đợc gọi l

tích phân ngẫu nhiên Ito. Tích phân Ito v công thức Ito đóng một vai trò đặc
biệt quan trọng trong giải tích ngẫu nhiên tơng tự nh tích phân Riemann v
công thức Newton-Leibniz trong giải tích cổ điển. Giải tích cổ điển nghiên
cứu vi tích phân trong không gian hữu hạn chiều, giải tích ngẫu nhiên nghiên
6
cứu phép tính vi tích phân ngẫu nhiên. Sự khác nhau cơ bản giữa giải tích cổ
điển v giải tích ngẫu nhiên thực chất nằm ở sự khác nhau của công thức đạo
hm hm số hợp, trong môi trờng ngẫu nhiên công thức ny mang tên Ito.
Vi tích phân ngẫu nhiên Ito ngy cng đóng vai trò quan trọng, mô tả ngy
cng đúng v sát nhiều mô hình trong thực tế v có nhiều ứng dụng thiết thực.
Một trong những ứng dụng đáng chú ý của nó gần đây có thể kể đến đó l nó
trở thnh công cụ quan trọng trong nghiên cứu toán ti chính (xem [15, 31]
v các th mục ở đó), ví dụ nh việc định nghĩa v nghiên cứu các mô hình
Black-Scholes, Merton, Hull and White,
Có nhiều hớng nghiên cứu mở rộng tích phân Ito. Một số tác giả muốn
xây dựng loại tích phân ngẫu nhiên m không cần giả thiết phù hợp, nh tích
phân Ogawa, tích phân Stratonovich, tích phân Skorokhod (xem [3, 24, 29]
v các th mục ở đó). Một hớng mở rộng khác l xây dựng tích phân của
hm ngẫu nhiên đối với các quá trình ngẫu nhiên tổng quát hơn. Chẳng hạn lý
thuyết về tích phân ngẫu nhiên của các hm ngẫu nhiên khả đoán đối với một
semimartingale đã đợc nhiều tác giả ở Mỹ v Pháp quan tâm (xem [5, 20]
v các th mục ở đó); lý thuyết về tích phân ngẫu nhiên đối với các quá trình
Brown phân thứ đợc một số tác giả quan tâm vì những dụng mới của nó
trong toán ti chính (xem [31]).
Chơng 2 có tiêu đề "Tích phân ngẫu nhiên Ito vô hạn chiều v công thức
Ito". Chơng ny dnh cho việc xây dựng tích phân Ito của hm ngẫu nhiên
giá trị toán tử đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss, xây dựng một quá trình
ngẫu nhiên vô hạn chiều X
t
, kiểu Ito rất tổng quát v thiết lập công thức Ito

tơng ứng.
Giả sử X,Y l các không gian Banach. Cho trớc Z l độ đo ngẫu
nhiên Gauss đối xứng X-giá trị với độ đo covariance Q (đợc định nghĩa bởi
Đ.H.Thắng trong [41]). Chúng tôi định nghĩa quá trình ngẫu nhiên X
t
Y -giá
7
trị có dạng
X
t
= X
0
+

t
0
a(s, ) ds+

t
0
b(s, )ãdQ
s
+

t
0
c(s, )ãdZ
s
, (0 t T )
v gọi đó l quá trình Ito Y -giá trị đối với độ đo ngẫu nhiên Z.Đểđịnh

nghĩa đợc quá trình ny chúng tôi đã phải xây dựng khái niệm tích phân
ngẫu nhiên của một hm ngẫu nhiên L(X, Y )-giá trị đối với độ đo Z. Kết
quả quan trọng trong chơng ny l việ c chứng minh công thức Ito vô hạn
chiều (Định lý 2.3.2). Để chuẩn bị cho việc thiết lập công thức ny, luận án
đã sử dụng công cụ tích tensor để lm rõ tác động của một toán tử song tuyến
tính lên một toán tử hạch v nghiên cứu biến phân ton phơng của độ đo Z.
Công thức biến phân ton phơng ny viết một cách hình thức có dạng
dZ

dZ = dQ.
Trong trờng hợp Z l độ đo Wiener X-giá trị v các không gian X, Y l hữu
hạn chiều ta thu đợc công thức Ito hữu hạn chiều (Hệ quả 2.3.4). Chú ý rằng
công thức ny cũng l mới vì cho tới nay ngời ta mới xét trờng hợp công
thức Ito hữu hạn chiều với quá trình Wiener nhiều chiều với các thnh phần
độc lập (tức l với độ đo ngẫu nhiên Wiener với độ đo covariance Q dạng
dQ = Rdt, trong đó R l ma trận đơn vị).
Trong giải tích cổ điển (không ngẫu nhiên) ta đã biết tích phân l một loại
toán tử tuyến tính đặc biệt v rất quan trọng. Lý thuyết toán tử tuyến tính
(tất định) đã đợc phát triển thnh một lý thuyết đồ sộ trong giải tích hm v
đã đợc áp dụng rất hiệu quả để nghiên cứu trong lý thuyết phơng trình vi
phân v phơng trình đạo hm riêng. Tơng tự nh vậy, tích phân ngẫu nhiên
l một loại toán tử ngẫu nhiên đặc biệt v rất quan trọng. Một toán tử ngẫu
nhiên A từ X vo Y l một phép tơng ứng mỗi x X một biến ngẫu nhiên
Ax nhận giá trị trong Y . Phép tơng ứng ny thoả mãn điều kiện tuyến tính
v liên tục theo một nghĩa xác suất no đó. Nh vậy khái niệm toán tử ngẫu
8
nhiên l một sự mở rộng "ngẫu nhiên" (hay sự ngẫu nhiên hoá) một cách rất
tự nhiên của khái niệm toán tử tuyến tính tất định. Toán tử ngẫu nhiên giữa
các không gian Hilbert đợc nghiên cứu hệ thống đầu tiên bởi Skorokhod
[30] v đợc phát triển bởi Đ.H.Thắng [33, 34, 35, 37, 39]. Theo sự hiểu biết

của chúng tôi thì lý thuyết về toán tử ngẫu nhiên mới đang ở giai đoạn đầu
của sự phát triển v còn nhiều vấn đề bỏ ngỏ. Nếu nh lý thuyết toán tử tuyến
tính (tất định) đã trở thnh một lâu đi đồ sộ, honh tráng trong giải tích, có
rất nhiều ứng dụng trong toán học cũng nh thực tiễn thì có cơ sở để hy vọng
v tin tởng rằng trong tơng lai lý thuyết toán tử ngẫu nhiên cũng sẽ có một
hình hi, vị trí xứng đáng v tầm quan trọng lớn lao trong giải tích ngẫu nhiên.
Chơng 3 có tiêu đề "Toán tử ngẫu nhiên giữa các không gian Banach".
Trong chơng ny chúng tôi dnh sự quan tâm cho lớp các toán tử ngẫu nhiên
bị chặn. Đó l một lớp con của lớp các toán tử ngẫu nhiên bị chặn nhng lại l
sự mở rộng rất gần gũi các toán tử tuyến tính tất định. Chúng tôi đã thiết lập
các điều kiện để một toán tử ngẫu nhiên l bị chặn. Một trong những kết quả
chính khá thú vị trong chơng ny l chỉ ra rằng nguyên lý bị chặn đều (Định
lý Banach-Steinhaus) cho họ các toán tử tuyến tính tất định vẫn đúng cho họ
các toán tử ngẫu nhiên (bị chặn theo xác suất) nhng đã không còn đúng cho
họ các toán tử ngẫu nhiên bị chặn (bị chặn h.c.c.) (xem ví dụ 3.3.3 của luận
án). Nếu nhìn tích phân Wiener nh một toán tử ngẫu nhiên thì tích phân Ito,
tích phân Ogawa, tích phân Stratonovich v tích phân Skorokhod đều có thể
xem nh l một cố gắng để thác triển miền xác định của tích phân Wiener từ
tập các hm tất định bình phơng khả tích lên một lớp no đó các hm ngẫu
nhiên có quỹ đạo bình phơng khả tích. Chúng tôi đa ra một kiểu thác triển
v chứng minh đợc rằng một toán tử ngẫu nhiên bị chặn từ X sang Y (v chỉ
có nó) mới có thể thác triển miền xác định của nó lên ton bộ các biến ngẫu
nhiên nhận giá trị trong X đồng thời bảo ton các tính chất tuyến tính v liên
tục của nó (Định lý 3.4.5). Một hệ quả thú vị của định lý ny l: không thể
9
thác triển miền xác định của tích phân Wiener từ tập các hm tất định bình
phơng khả tích lên tất cả các hm ngẫu nhiên có quỹ đạo bình phơng khả
tích.
Lớp các toán tử ngẫu nhiên bị chặn l một lớp đặc biệt của lớp toán tử
ngẫu nhiên, nó đợc nghiên cứu trong Chơng 3 khá hệ thống. Một vấn đề

đợc đặt ra một cách tự nhiên l nghiên cứu các loại toán tử ngẫu nhiên tổng
quát hơn. Trong quá trình nghiên cứu hon thnh luận án, ngoi những kết
quả đã công bố, chúng tôi cũng tìm ra một số kết quả thú vị khác về toán tử
ngẫu nhiên tổng quát (không nhất thiết bị chặn). Nhng những kết quả đó
nói chung khá rời rạc, cha thnh một hệ thống hon chỉnh v mạch lạc nên
chúng tôi chỉ mới trình by ở những buổi seminar nhỏ. Phần phụ lục nhỏ cuối
luận án có tiêu đề "Về các nghiên cứu tiếp theo". Trong phần ny, chúng tôi
nêu ra một số vấn đề m chúng tôi cha giải quyết hon chỉnh v kèm theo
một số kết quả đã đạt đợc. Chúng tôi sẽ dnh những vấn đề đó cho nghiên
cứu sau luận án.
Các kết quả chủ yếu của luận án đã đợc báo cáo trong các hội nghị:
1. Hội nghị Khoa học của trờng Đông về Xác suất-Thống kê, Vinh (2003),
2. Hội nghị nghiên cứu Khoa học Trờng Đại học Khoa học Tự nhiên
(2004),
3. Hội nghị Ton quốc về Xác suất Thống kê tại Ba Vì (2005).
V đã đợc công bố trong các tạp chí
1. Proceedings of the International Conference Abstract and Applied Anal-
ysis World Scientific (2004),
2. Kyushu J.Math (2004),
3. Vietnam J. Math 38:2(2005).
10
Chơng 1
Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss v tích
phân ngẫu nhiên Wiener vô hạn chiều
Việc nghiên cứu tích phân ngẫu nhiên Ito cho hm ngẫu nhiên nhận giá
trị toán tử đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss nhận giá trị trong không
gian Banach m chúng tôi đề cập đến trong chơng 2 có thể xem nh l sự
mở rộng vô hạn chiều cho tích phân Ito, do đó nó cần sự hỗ trợ từ rất nhiều
các kết quả khá trừu tợng trong không gian Banach. Mặt khác đây cũng l
việc mở rộng việc lấy tích phân hm tất định đối với độ đo ngẫu nhiên Gauss

(tích phân Wiener vô hạn chiều) đợc xét trong [41, Đ.H.Thắng] cho lấy tích
phân cho các hm ngẫu nhiên đối với độ đo ngẫu nhiên Gauss. Nh l một sự
chuẩn bị, chơng ny nhằm mục đích tóm tắt sơ lợc các kiến thức v các kết
quả liên quan m chúng sẽ đợc sử dụng sau ny, nh l: độ đo véc tơ, tích
phân đối với độ đo véc tơ, độ đo véc tơ ngẫu nhiên v tích phân ngẫu nhiên
của hm tất định đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss. Đặc biệt chúng tôi
trình by kỹ về độ đo ngẫu nhiên Gauss v tích phân Wiener vô hạn chiều
(tích phân của hm tất định đối với độ đo ngẫu nhiên Gauss). Các kiến thức
về toán tử hạch, tích tensor của 2 không gian Banach, hình học trong không
gian Banach, độ đo véc tơ Gauss trên không gian Banach sẽ đợc giới thiệu
11
trong phần phụ lục sau luận án.
1.1 Biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach
Các kiến thức trong phần ny ngời đọc có thể tìm đọc kỹ hơn trong [43].
Giả sử T l một không gian khác rỗng bất kỳ. Họ các tập con của T đợc
gọi l một trờng (hay đại số) các tập con của T nếu nó chứa tập rỗng, đóng
đối với phép lấy hợp v giao hữu hạn v đóng đối với phép lấy phần bù.
đợc gọi l một -trờng (hay -đại số) các tập con của T nếu nó l một
trờng v đóng đối với phép lấy hợp v giao đếm đợc v phép lấy phần bù.
Trong trờng hợp ny cặp (T,) đợc gọi l không gian đo đợc.
Cho (T,) v (X, B) l các không gian đo đợc. Một ánh xạ : T X đợc
gọi l (, B)-đo đợc hay đơn giản l đo đợc nếu nghịch ảnh
1
(B)
với mỗi B B.NếuX l không gian tôpô thì -trờng nhỏ nhất chứa tất
cả các tập mở của X đợc gọi l -trờng Borel v đợc ký hiệu l B(X).
Các tập B B(X) đợc gọi l các tập Borel. Nếu ánh xạ : T X l
(, B(X))-đo đợc thì ta còn gọi l l đo đợc Borel hay đơn giản l đo
đợc.
Cho (T,) l một không gian đo đợc, X l một không gian metric. Một

hm : T X đợc gọi l đơn giản (tơng ứng bậc thang) nếu (T) l hữu
hạn (tơng ứng đếm đợc) v
1
(x) với mọi x X. Rõ rng hm đơn
giản v hm bậc thang thì đo đợc. : T X đợc gọi l đo đợc mạnh nếu
nó l giới hạn điểm của một dãy hm đơn giản v đợc gọi l đo đợc yếu
nếu với mọi x

X thì x

():T R l hm đo đợc mạnh. Mệnh đề sau
đây cho ta mối liên hệ giữa đo đợc, đo đợc mạnh, đo đợc yếu.
Mệnh đề 1.1.1. Với ánh xạ : T X, những phát biểu sau tơng đơng
12
1. đo đợc mạnh.
2. đo đợc v miền giá trị của nó khả ly.
3. l giới hạn đều của một dãy hm bậc thang.
4. l giới hạn điểm của một dãy hm đơn giản.
Giả sử (, F) l một không gian đo đợc. Một hm cộng tính đếm đợc
: F [0, +) đợc gọi l độ đo (không âm) trên F (nhiều lúc ta nói
l độ đo trên (, F), hay đơn giản l độ đo trên ). đợc gọi l độ đo xác
suất nếu () = 1, đợc gọi l độ đo hữu hạn nếu () < v đợc gọi
l độ đo -hữu hạn nếu có phân hoạch =

n=1
A
n
, A
n
F,thoảmãn

(A
n
) < với mọi n N.
Nếu l độ đo trên (, F) thì bộ ba (, F,) đợc gọi l một không gian đo.
Nếu l độ đo xác suất thì bộ ba (, F,) đợc gọi l một không gian xác
suất. Độ đo xác suất trên không gian xác suất ta thờng ký hiệu l P.Từnay
trở đi nếu không có gì thay đổi ta sẽ luôn ngầm định không gian xác suất cơ
sở l (, F, P).
Giả sử X l một không gian Banach. Một ánh xạ : X đợc gọi l
biến ngẫu nhiên X-giá trị (hay véc tơ ngẫu nhiên) nếu l đo đợc mạnh
(-trờng trên X l B(X)).
Giả sử (
n
), l các biến ngẫu nhiên X-giá trị.
n
đợc gọi l hội tụ theo xác
suất tới v ký hiệu l
n
P
nếu
lim
n
P


n
>

=0 với mọi >0.

n
đợc gọi l hội tụ hầu chắc chắn (h.c.c.) tới v ký hiệu l
n
h.c.c.
hay

n
(h.c.c) nếu tồn tại một tập A F sao cho P(A)=1v với mọi
thì
n
() ().
13
Hai biến ngẫu nhiên v đợc gọi l bằng nhau h.c.c. v ký hiệu l =
h.c.c. nếu P{ = } =1. Quan hệ bằng nhau h.c.c. trong không gian các
biến ngẫu nhiên X-giá trị l một quan hệ tơng đơng, tập các lớp tơng
đơng đợc ký hiệu l L
X
0
(, F, P) hay đơn giản l L
X
0
(). L
X
0
() l một
không gian Frechet với chuẩn Frechet của L
X
0
() đợc xác định l

0
=


()
1+()
dP()
v L
X
0
() l một không gian véc tơ tô pô với một cơ sở địa phơng l họ các
tập có dạng
V
,
= { L
X
0
() : P{>} <},,>0.
Ta có
n
P
khi v chỉ khi
n

0
0.
Ký hiệu L
X
p
(, F, P) (hay L

X
p
())(p 1) l tập tất cả các biến ngẫu nhiên
L
X
0
() sao cho

()
p
dP() < , lúc đó L
X
p
() l không gian
Banach với chuẩn l

p
=


()
p
dP()

1/p
, L
X
p
().
1.2 Độ đo véc tơ v tích phân của hm nhận giá trị toán tử

đối với độ đo véc tơ
Các kiến thức trong phần ny ngời đọc có thể tìm đọc kỹ hơn trong
[9, 10].
1.2.1 Độ đo véc tơ
Giả sử l một trờng các tập con của tập T .
14
Định nghĩa 1.2.1. Một hm F từ vo một không gian Banach X đợc gọi
l độ đo véc tơ cộng tính hữu hạn hay đơn giản l độ đo véc tơ nếu nó thoả
mãn
F (E
1
E
2
)=F (E
1
)+F (E
2
)
với mọi E
1
,E
2
l các tập rời nhau trong .
Hơn nữa nếu
F (

n=1
E
n
)=

n=1
F (E
n
) trong chuẩn của X
với mọi E
i
l các tập rời nhau trong thoả mãn

n=1
E
n
thì F đợc gọi
l độ đo véc tơ cộng tính đếm đợc.
Định nghĩa 1.2.2. Giả sử F : X l một độ đo véc tơ. Biến phân của F
l một hm không âm |F | xác định trên sao cho với mỗi E thì
|F |(E)=sup
n

i=1
F (E
i
),
trong đó {E
i
}
n
i=1
l một phân hoạch của E v supremum lấy trên tất cả

các phân hoạch hữu hạn có thể của E.
Nếu |F | (T ) < thì F đợc gọi l độ đo với biến phân giới nội
Mệnh đề 1.2.3. Một độ đo véc tơ với biến phân giới nội l cộng tính đếm
đợc khi v chỉ khi biến phân của nó l cộng tính đếm đợc
Định lý 1.2.4 (Pettis).
Giả sử l một -trờng, F : X l một độ đo véc tơ cộng tính đếm
đợc v l độ đo không âm hữu hạn trên . Lúc đó F l -liên tục, tức l
lim
(E) 0
F (E)=0
khivchỉkhigiátrịcủaF trên những tập có độ đo bằng 0 thì bằng 0.
15
1.2.2 Tích phân Bochner
Cho (T,,) l một không gian đo hữu hạn.
Nếu f : T X l một hm đơn giản có dạng
f =
n

i=1
x
i
1
E
i
,
trong đó E
i
l các tập rời nhau trong , x
i
X,thìvớiE ta định nghĩa

E
fd=
n

i=1
x
i
(E
i
E).
Định nghĩa 1.2.5. Một hm -đo đợc f : T X đợc gọi l khả tích
Bochner nếu tồn tại một dãy hm đơn giản (f
n
) sao cho
lim
n

T
f
n
fd =0. (1.1)
Trong trờng hợp ny, với mọi E sẽ tồn tại giới hạn lim
n

E
f
n
d,giới
hạn ny không phụ thuộc vo cách chọn dãy đơn giản (f

n
) (thoả mãn điều
kiện (1.1)) v ta đặt

E
fd= lim
n

E
f
n
d.
Định lý sau đây cho ta một đặc trng của hm khả tích Bochner.
Định lý 1.2.6. Một hm f : X l khả tích Bochner nếu v chỉ nếu

fd < .
1.2.3 Tích phân của một hm nhận giá trị toán tử đối với một độ đo véc
tơ
Giả sử (T,) l một không gian đo, F : X l một độ đo véc tơ cộng
tính đếm đợc với biến phân |F | hữu hạn, do đó theo Mệnh đề 1.2.3 ta nhận
16
đợc không gian đo hữu hạn (T,, |F |).
Nếu f : T L(X, Y ) l một hm đơn giản có dạng
f =
n

i=1
h
i
1

E
i
, (1.2)
trong đó E
i
l các tập rời nhau trong , h
i
L(X, Y ),thìvớiE ta định
nghĩa

E
fdF =
n

i=1
h
i
(F (E
i
E)).
Chú ý rằng trong công thức trên thì h
i
(F (E
i
E)) l giá trị của hm
h
i
L(X, Y ) tại điểm F (E
i
E) X.

Định nghĩa 1.2.7. Một hm |F |-đo đợc f : T L(X, Y ) đợc gọi l
F -khả tích nếu tồn tại một dãy hm đơn giản L(X, Y )-giá trị (f
n
) sao cho
lim
n

T
f
n
fd|F | =0. (1.3)
Ta chứng minh đợc rằng với dãy (f
n
) nh trong Định nghĩa 1.2.7 v với
mọi E thì sẽ tồn tại giới hạn lim
n

E
f
n
dF v giới hạn ny không phụ
thuộc vo cách chọn dãy đơn giản (f
n
) (thoả mãn điều kiện (1.3)). Lúc đó ta
đặtgiớihạnnyl

E
fdF.
Định lý 1.2.8. Giả sử F : X l một độ đo véc tơ v f : T L(X, Y )
l một hm |F |-đo đợc. Lúc đó ta có 3 mệnh đề sau đây tơng đơng.

1. f l F khả tích.
2. f l |F | khả tích (theo nghĩa Bochner).
3. |f| l |F | khả tích.
17
1.3 Độ đo véc tơ ngẫu nhiên v tích phân ngẫu nhiên của
hm tất định đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.3.1.
Một hm F : L
X
0
(, F, P) đợc gọi l một độ đo ngẫu nhiên đối
xứng X-giá trị nếu
1. Với mỗi dãy (A
n
) các tập rời nhau trong thì các biến ngẫu nhiên
F (A
1
), F(A
2
), , F (A
n
) l độc lập v đối xứng;
2. Với mỗi dãy (A
n
) các tập rời nhau trong thì
F



n=1

A
n

=


n=1
F (A
n
) h.c.c.
Độ đo không âm trên đợc gọi l độ đo điều khiển của F nếu thoả
mãn (A)=0dẫn đến F (A)=0v đợc ký hiệu l F .Từđây
chúng ta chỉ xét đến độ đo véc tơ ngẫu nhiên đối xứng có độ đo điều
khiển.
Một họ {F
s
,s S} các độ đo ngẫu nhiên đợc gọi l -cộng tính đều
nếu mỗi dãy (A
n
) các tập rời nhau của thì
p lim
n


m=n
F
s
(A
m
)=0đều theo s S.

Việc định nghĩa tích phân của một hm tất định thực đối với độ đo véc tơ
ngẫu nhiên đối xứng đợc thực hiện theo trình tự nh sau.
Nếu f l một hm thực đơn giản trên T có dạng f =
n

i=1

i
1
A
i
,với(A
i
)
l các tập rời nhau trong , lúc đó ta định nghĩa tích phân của f đối với F l

A
fdF =
n

i=1

i
F (A
i
A).
18
Một hm thực f xác định trên T đợc gọi l khả tích đối với F nếu tồn
tại dãy hm đơn giản (f
n

) sao cho
1. f
n
f (-h.c.c)
2. Với mỗi A thì dãy {

A
f
n
dF } hội tụ theo xác suất.
Nếu f l F -khả tích thì ta đặt

A
fdF = p lim
n

A
f
n
dF

fdF :=

T
fdF
Để chứng minh tính đúng đắn của định nghĩa trên ta cần phải chứng minh
rằng tích phân

fdF không phụ thuộc vo cách chọn dãy xấp xỉ (f
n

).Để
chứng minh điều ny ta sử dụng định lý quan trọng sau.
Định lý 1.3.2 (Ngẫu nhiên hoá của định lý Vitaly-Hahn-Saks).
Cho (F
n
) l một dãy độ đo ngẫu nhiên X-giá trị v chúng có cùng một độ đo
điều khiển . Ngoi ra với mỗi A thì tồn tại p lim F
n
(A). Khi đó ta
có các khẳng định sau.
1. (F
n
) l -liên tục đều.
2. Hm F : L
X
0
() xác định bởi
F (A)=p lim
n
F
n
(A)
l độ đo ngẫu nhiên đối xứng X-giá trị với độ đo điều khiển .
Nhận xét. Hon ton tơng tự ta cũng định nghĩa đợc tích phân của một hm
đo đợc X-giá trị đối với độ đo ngẫu nhiên đối xứng thực.
Các tính chất của tích phân loại ny ngời đọc có thể tìm xem trong [41].
19
1.4 Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss
Một độ đo ngẫu nhiên đối xứng X-giá trị Z đợc gọi l Gauss nếu với mỗi
A thì Z(A) l biến ngẫu nhiên có phân bố Gauss đối xứng.

Chú ý rằng nếu dãy (A
i
) rời nhau v A =


i=1
A
i
thì
n

i=1
Z(A
i
) hội tụ
h.c.c. tới Z(A) khi n , nhng (Z(A
i
)),Z(A) l các biến ngẫu nhiên
Gauss độc lập nên
n

i=1
Z(A
i
) cũng hội tụ tới Z(A) trong L
2
X
() khi n .
Định nghĩa 1.4.1. Giả sử Z l độ đo ngẫu nhiên đối xứng Gauss X-giá trị.
Hm tập Q xác định trên đợc gọi l độ đo đặc trng (độ đo covariance)

của Z nếu Q(A) l toán tử covariance của Z(A).
Trớc khi đa ra các tính chất đặc trng của độ đo Q, ta sẽ lm quen với
các khái niệm v tính chất cơ bản của một loại tích vô hớng của 2 biến ngẫu
nhiên thuộc L
X
2
(), toán tử hạch v toán tử covariance.
Trong Chơng 1 ta đã nêu định nghĩa của không gian hạch N(X, Y ),bây
giờ ta quan tâm đến không gian hạch N(X

,X). Ta nhắc lại rằng toán tử
T L(X

,X) đợc gọi l toán tử hạch nếu tồn tại 2 dãy {x
n
}X

v
{y
n
}X sao cho


n=1
x
n
y
n
< v Ta =

n=1
a, x
n
y
n
a X

. (1.4)
Nếu T l toán tử hạch thì ta định nghĩa chuẩn hạch của T nh sau:
T
nuc
:= inf


n=1
x
n
y
n
.
Trong đó infimum đợc lấy trên tất cả các dãy (x
n
) X

, (y
n
) X thoả
mãnđiềukiện(1.4).
Tập các toán tử hạch thuộc L(X

,X) với chuẩn hạch lập thnh một không
20
gian Banach v ta kí hiệu l N(X

,X).
T L(X

,X) đợc gọi l không âm nếu

Ta,a

0 với mọi a X

v tập
các toán tử thuộc L(X

,X) không âm đợc kí hiệu l L
+
(X

,X). Tập hợp
các toán tử hạch N(X

,X) không âm đợc kí hiệu l N
+
(X

,X).
Với , L

X
2
() ta định nghĩa tích vô hớng [,] L(X

,X) nh sau:
[,](a)=


()

(),a

dP() a X

. (1.5)
trong đó tích phân (1.5) l tích phân Bochner.
Định lý 1.4.2. Cho , l 2 biến ngẫu nhiên thuộc L
X
2
(). Ta có các khẳng
định sau:
1. [,] l toán tử hạch trong không gian hạch N(X

,X) v
[,]
nuc

L
2

L
2
. (1.6)
2. [,]=[,]

,
[,
1
+
2
]=[,
1
]+[,
2
],
[
1
+
2
,]=[
1
,]+[
2
,],
[t,]=t[,] t R,
3. [,] L
+
(X

,X) v [,]

nuc

2
L
2
.
4. Nếu X l không gian Banach loại 2 thì tồn tại một hằng số C chỉ phụ
thuộc vo không gian X sao cho

2
L
2
C[,]
nuc
,
với l biến ngẫu nhiên Gauss.
5. Nếu lim
n

n
= v lim
n

n
= trong L
2
X
() thì
lim
n

[
n
,
n
]=[,] trong N(X

,X).
21
Ta gọi [,] l toán tử covariancecủa biến ngẫu nhiên X-giá trị L
2
X
().
Do đó nếu Q l độ đo covariance của độ đo ngẫu nhiên Gaussian đối xứng
X-giá trị, Z,thì
Q(A)=[Z(A),Z(A)].
Từ Định lý 1.4.2 ta có ngay định lý sau.
Định lý 1.4.3. Nếu X l không gian Banach loại 2 thì tồn tại một hằng số C
chỉ phụ thuộc vo không gian X sao cho với mỗi độ đo ngẫu nhiên Gauss đối
xứng X-giá trị Z ta có
EZ(A)
2
CQ(A) C|Q|(A)
trong đó Q l độ đo covariance v |Q| l biến phân của độ đo véc tơ Q.
Đặt G(X) l tập tất cả các toán tử covariance của biến ngẫu nhiên đối
xứng Gauss X-giá trị. Theo định lý 1.4.2 thì G(X) N
+
(X

,X). Hơn nữa
ta có đẳng thức G(X)=N

+
(X

,X) đúng khi v chỉ khi X l không gian
loại 2.
Định lý 1.4.4. Độ đo đặc trng Q của độ đo ngẫu nhiên đối xứng Gauss Z có
các tính chất sau đây:
1. [Z(A),Z(B)] = Q(AB) với mọi A, B ,
2. Q l -cộng tính trong chuẩn hạch ,
3. Q l không âm theo nghĩa : với mọi dãy (A
k
)
n
k=1
v (a
k
)
n
k=1
X

thì ta có
n

i=1
n

j=1

Q(A

i
A
j
)a
i
,a
j

0.
22
Ta biết rằng một độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss X-giá trị sẽ xác định
một độ đo đặc trng nhận giá trị trong tập G(X) l tập con của không gian
N(X

,X), ngợc lại định lý sau đây cho ta biết điều kiện cần v đủ để hm
tập từ vo G(X) l một độ đo đặc trng của một độ đo ngẫu nhiên Gauss
đối xứng X-giá trị.
Định lý 1.4.5. Cho Q l một hm từ vo G(X) N(X

,X). Các mệnh
đề sau đây l tơng đơng.
1. Q l độ đo đặc trng của một độ đo ngẫu nhiên Gauss đối xứng X-giá
trị.
2. Q xác định không âm v -cộng tính trong chuẩn hạch.
3. Q xác định không âm v -cộng tính yếu theo nghĩa sau: Với mỗi a X

v mỗi dãy (A
n
) các tập rời nhau của thì ta có

Q



n=1
A
n

a, a

=


n=1

Q(A
n
)a, a

.
Ví dụ 1.4.6. Cho H : T L
+
(X

,X) l một hm số trên T với giá trị trên
L
+
(X

,X) sao cho H l khả tích yếu đối với một độ đo hữu hạn dơng trên

(T,) theo nghĩa sau: với mỗi A , tồn tại một toán tử H
A
L
+
(X

,X)
sao cho

H
A
a, a

=

A

H(t)a, a

d a X

.
Nếu H
T
G(X),đặtQ(A)=H
A
, ta kiểm tra đợc Q xác định không âm v
-cộng tính yếu nên theo Định lý 1.4.5, tồn tại độ đo ngẫu nhiên Gauss đối
xứng X-giá trị Z nhận Q lm độ đo đặc trng.
Ví dụ 1.4.7 (Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Wiener).

Cho trớc một toán tử R G(X). Ta xác định hm H bởi H(t)=R, t T.
23
Rõ rng H l khả tích yếu v H
A
= (A)R G(X).DođótheoVídụ
1.4.6 tồn tại một độ đo ngẫu nhiên Gauss đối xứng X-giá trị W sao cho mỗi
A ,toántửcovariancecủaW (A) l (A)R. Chúng ta gọi W l độ đo
ngẫu nhiên Wiener X-giá trị với tham số (, R).
1.5 Tích phân ngẫu nhiên Wiener đối với độ đo véc tơ ngẫu
nhiên Gauss đối xứng
Cho Z l độ đo ngẫu nhiên Gauss đối xứng X-giá trị với độ đo đặc trng
Q.Nếuf l hm thực thì tích phân

fdZ đợc gọi l tích phân Wiener
X-giá trị hay tích phân Wiener vô hạn chiều.
Định lý 1.5.1.
1. Nếu f v g đều F -khả tích thì fg l Q-khả tích v với mỗi A ta có


A
fdZ,

A
fdZ

=

A
fgdQ.
2. Một hm f l Z-khả tích nếu v chỉ nếu f

2
l Q-khả tích v

|f|
2
dQ G(X).
Hệ quả 1.5.2. Giả sử X l không gian loại 2. Lúc đó
1. Một hm f l Z-khả tích khi v chỉ khi | f|
2
l Q-khả tích.
2. Ta có bao hm thức L
2
(T,, |Q|) L
X
(Z) (L
X
(Z) l ký hiệu tập các
hm thực Z-khả tích). Hơn nữa, tồn tại một hằng số K sao cho
E




fdZ



2
K

|f|
2
d|Q|
với mọi f L
2
(T,, |Q|) v |Q| l biến phân của độ đo véc tơ Q.
24
1.6 Martingale nhận giá trị trong không gian Banach
(, F, P) l một không gian xác suất. Xét lọc F =(F
t
)
tR
+
l một họ tăng
dần các -đại số con của F. Một quá trình ngẫu nhiên thực X =(X
t
)
tR
+
đợc gọi l phù hợp với lọc F nếu với mỗi t R
+
thì X
t
F
t
.
Quá trình (X
t
) phù hợp với lọc F đợc gọi l
1. Một submartingale nếu với mỗi t, h R

+
thì
E(X
t
)
+
< v E(X
t+h
|F
t
) X
t
.
2. Một supermartingale nếu với mỗi t, h R
+
thì
E(X
t
)

< v E(X
t+h
|F
t
) X
t
.
3. Một martingale nếu với mỗi t, h R
+
thì

E|X
t
| < v E(X
t+h
|F
t
)=X
t
.
Chú ý X
+
=sup{X, 0}, X

=sup{X, 0}.
Định lý 1.6.1 (Kolmogorov). Giả sử (X
n
) l submartingale (giá trị thực),
>0.Đặt
X
n
=sup
kn
X
+
k
. Lúc đó
1. P{
X
n
>}

1

E(X
+
n
1

X
n

)
1

E(X
+
n
).
2. Nếu X
t
dơng v X
t
L
p
() (p 1)thì

X
n

p

p
p 1
X
n

p
.
Tơng tự ta định nghĩa martingale với giá trị trong không gian Banach nh
sau: quá trình (X
t
) nhận giá trị trong không gian Banach X phù hợp với lọc
F đợc gọi l martingale nếu với mỗi t, h R
+
thì
EX
t
< v E(X
t+h
|F
t
)=X
t
.
25
Nhận xét rằng nếu (X
t
) l martingale nhận giá trị trong không gian Banach
thì X
t
l submartingale thực, do đó Định lý Kolmogorov thoả mãn. Chú ý

rằng nếu X =(X
t
) l quá trình cad-lag (liên tục bên phải v có giới hạn bên
trái) thì sup
st
X
t
=sup
st,sQ
X
t
. Do đó ta cũng có định lý tơng tự
nh trong trờng hợp thực nh sau.
Định lý 1.6.2. Cho X =(X
t
) l một quá trình cad-lag martingale giá trị
trong không gian Banach, >0 v p>1.KýhiệuX

t
=sup
st
X
s
.Lúc
đó ta có các bất đẳng thức sau:
P(X

t
)
1

p
E(X
t

p
),
X

t

p

p
p 1
X
t

p
.
26
Chơng 2
Tích phân ngẫu nhiên Ito vô hạn chiều v
công thức Ito
2.1 Tích phân ngẫu nhiên của hm ngẫu nhiên nhận giá trị
toán tử đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss
Đặt S l khoảng thực [0,T], l -đại số các tập Borel của S. Trong suốt
luận án ny, ta luôn giả sử rằng Z l một độ đo ngẫu nhiên Gauss đối xứng
X-giá trị trên S với độ đo covariance Q v độ đo Q có biến phân |Q| giới nội.
Đặt L(X, Y ) l không gian các hm tuyến tính liên tục từ X vo Y .Tasẽxây

dựng tích phân ngẫu nhiên Ito dạng

f ã dZ,vớif l một hm ngẫu nhiên
L(X, Y )-giá trị phù hợp.
Từ độ đo Z ta xác định một họ tăng dần các -đại số F
t
F nh sau: F
t
l
-đại số sinh bởi các biến ngẫu nhiên X-giá trị Z(A) với A F [0,t].
Giả sử E l một không gian Banach no đó. Đặt M
1
(S, Z, E) l tập các hm
ngẫu nhiên xác định trên S, E-giá trị, f(t, ) thoả mãn:
1. f(t, ) phù hợp đối với Z,tứclf(t, ) l biến ngẫu nhiên F
t
-đo đợc
với mỗi t S.
27