Tính ổn định của phương trình động lực ẩn trên thang thời gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN





NGUYỄN CHÍ LIÊM



TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG
LỰC ẨN TRÊN THANG THỜI GIAN






LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2012


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN





NGUYỄN CHÍ LIÊM



TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC
ẨN TRÊN THANG THỜI GIAN




Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số : 62 46 01 01




LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1. GS. TS. Nguyễn Hữu Dư
2. PGS. TS. Vũ Hoàng Linh







HÀ NỘI - 2012
Mục lục
Lờicamđoan i
Lờicảmơn ii
Danh sách các ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
Mở đầu 1
1
Kiến thức chuẩn bị 6
1.1 Định nghĩa và ví dụ về thang thời gian . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Tínhkhảvi 10
1.3 Tínhkhảtích 11
1.4 Tínhhồiquy 15
1.5 Hàm mũ trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6 Phơng trình động lực tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.7 Tính ổn định mũ của phơng trình động lực thờng trên
thangthờigian 19
1.7.1 Khái niệm về ổn định mũ . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.7.2 Tính ổn định mũ của phơng trình động lực tuyến
tínhhệsốhằng 22
2
Bài toán Cauchy cho phơng trình động lực ẩn

trên thang thời gian 26
2.1 Phơng trình động lực ẩn tuyến tính . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1 Chỉ số của phơng trình động lực ẩn tuyến tính . . . 28
2.1.2 Cách giải bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 31
iv
2.1.3 Cách giải phơng trình động lực ẩn tuyến tính thuần
nhất có các hệ số là hằng số . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2 Phơng trình động lực ẩn tuyến tính với nhiễu phi tuyến
thỏa mãn điều kiện Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.1 Cáchgiải 40
2.2.2 Mô tả không gian nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Phơng trình động lực ẩn tựa tuyến tính . . . . . . . . . . . 44
2.4 Kết luận của Chơng 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3
Tính ổn định của phơng trình động lực ẩn
trên thang thời gian 49
3.1 Xét tính ổn định của phơng trình động lực ẩn bằng phơng
pháp hàm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.1 Các định nghĩa về ổn định của phơng trình động lực
ẩn 50
3.1.2 Các mệnh đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.3 Sử dụng phơng pháp hàm Lyapunov xét tính ổn
định của phơng trình động lực ẩn . . . . . . . . . . . 54
3.1.4 Phơng pháp hàm Lyapunov áp dụng cho phơng
trình động lực ẩn với phần tuyến tính có hệ số hằng . 63
3.2 Bán kính ổn định của phơng trình động lực ẩn tuyến tính
hệ số hằng trên thang thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2.1 Phổ của phơng trình động lực ẩn tuyến tính . . . . 71
3.2.2 Khái niệm về bán kính ổn định . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.3 Sự bằng nhau của bán kính ổn định thực và phức . . 74

3.3 Kết luận của Chơng 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4
Các phép biến đổi Lyapunov và định lý Floquet
cho phơng trình động lực ẩn tuyến tính 85
4.1 Thang thời gian tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
v
4.2 Các phép biến đổi Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3 Định lý Floquet cho các phơng trình động lực ẩn tuyến tính 92
4.4 Kết luận của Chơng 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Kết quả và bàn luận 103
Kết luận và những nghiên cứu tiếp theo . . . . . . . . . . . . . . 103
Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 105
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
vi
Danh sách các ký hiệu
C = Tập tất cả các số phức.
C(X, Y )=
Tập tất cả các hàm liên tục từ X vào Y.
C
rd
(T,X)=Tập tất cả các hàm : T X là rd-liên tục.
C
1
rd
(T,X)=Tập tất cả các hàm : T
k
X là khả vi rd-liên tục.
C
rd
R(T,X)=Tập tất cả các hàm : T X là rd-liên tục và hồi quy.

C
1
N
(T
k
, R
m
)=

x(ã) C
rd
(T
k
, R
m
):P
(t)
x(t) khả vi tại mỗi t T
k

.
C
1
N,rd
(T
k
, R
mìm
)={L
ã

C
rd
(T
k
, R
mìm
):P
(t)
L
t
là khả vi rd-liên tục trên T
k
}.
det A =
Định thức của ma trận A.
GL(R
m
)=Tập các tự đẳng cấu tuyến tính của không gian R
m
.
inf = infimum.
=
Phần ảo của số phức .
im A =
Miền giá trị của toán tử A.
K = R
hay C.
K
mìn
= Tập tất cả các m ì nma trận có các phần tử thuộc K.

ker A = Hạch của toán tử A.
L(X)=
Tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X.
Ln =
Nhánh chính của logarithm phức với miền giá trị là [i, i).
D()=
Miền xác định của hàm .
vii
R(T
k
,X)=Tập tất cả các hàm hồi quy, xác định trên T
và nhận giá trị trong X.
R
+
(T
k
, R)=Tập tất cả các hàm hồi quy dơng, xác định trên T
và nhận giá trị trong R.
R
+
= Tập tất cả các số thực không âm.
S = S(T)=
Miền ổn định mũ đều của thang thời gian T.
N =
Tập tất cả các số tự nhiên.
N
0
= Tập tất cả các số tự nhiên khác 0.
S =
Biên của tập S.

Q =
Tập tất cả các số hữu tỷ.
R =
Tập tất cả các số thực.
rank A =
Hạng của ma trận A.
=
Phần thực của số phức .
(C, D)=
Bán kính phổ của cặp ma trận {C, D}.
(A)=
Tập tất cả các giá trị riêng của ma trận A.
(A, B)=
Tập tất cả các nghiệm của phơng trình det(A B)=0.
S(T)=
Miền ổn định mũ của thang thời gian T.
sup =
suprimum.
T =
Thang thời gian.
T
k
= T \{M} nếu T có phần tử lớn nhất M là điểm cô lập trái;
bằng T trong các trờng hợp còn lại.
T

= {t T : t }.
Z =
Tập tất cả các số nguyên.
viii

Mở đầu
Lý thuyết về thang thời gian (time scale), lần đầu tiên đợc trình bày
bởi Stefan Hilger trong luận án tiến sĩ của ông vào năm 1988 (với sự
hớng dẫn của Bernd Aulbach, xem [49]) nhằm thống nhất giải tích liên
tục và rời rạc. Việc nghiên cứu lý thuyết về các thang thời gian đã dẫn
đến một số áp dụng quan trọng, chẳng hạn trong nghiên cứu về mô hình
mật độ của côn trùng, về hệ thần kinh, về quá trình biến đổi nhiệt, về cơ
học lợng tử và về mô hình bệnh dịch.
Việc phát triển lý thuyết về "phơng trình động lực" trên thang thời
gian, dẫn đến các kết quả tổng quát và khi đó có thể áp dụng cho các
thang thời gian hỗn hợp của các trờng hợp liên tục và rời rạc.
Ta biết rằng, có nhiều kết quả của phơng trình vi phân đợc thực hiện
khá dễ dàng và tự nhiên cho phơng trình sai phân. Tuy nhiên, có những
kết quả dễ dàng trình bày cho phơng trình vi phân lại không hề đơn giản
cho sai phân và ngợc lại. Việc nghiên cứu phơng trình động lực trên
thang thời gian cho ta một cái nhìn sáng sủa để khắc phục tính không
nhất quán này giữa phơng trình vi phân liên tục và phơng trình sai
phân rời rạc. Ngoài ra, điều đó cũng tránh đợc việc một kết quả đợc
chứng minh hai lần, một lần cho phơng trình vi phân và một lần khác
cho phơng trình sai phân.
Ta có thể lấy thang thời gian là tập các số thực, kết quả tổng quát thu
đợc sẽ tơng tự với kết quả trong phơng trình vi phân thờng. Nếu lấy
thang thời gian là tập các số nguyên, kết quả tổng quát thu đợc sẽ tơng
tự với kết quả trong phơng trình sai phân. Tuy nhiên, các thang thời
gian có cấu trúc phong phú nên kết quả thu đợc là tổng quát và hay hơn
1
nhiều kết quả trên tập các số thực và trên tập các số nguyên. Do vậy, đặc
trng cơ bản của các thang thời gian đó là thống nhất và mở rộng.
Cho đến nay đã có hàng chục quyển sách và hàng ngàn bài báo viết về
thang thời gian. Các yếu tố giải tích trên thang thời gian đã đợc các tác

giả nghiên cứu một cách sâu rộng và tơng đối đầy đủ. Và từ đó nhiều
kết quả quen thuộc trong trờng hợp liên tục và rời rạc đã đợc "chuyển
dịch" sang thang thời gian. Chẳng hạn, về hệ động lực thờng trên thang
thời gian, đã có những kết quả rất sâu sắc về sự ổn định, tính dao động,
bài toán giá trị biên,
Mặt khác, trong những năm gần đây các phơng trình vi phân đại số
đợc quan tâm một cách rộng rãi cả về phơng diện lý thuyết lẫn thực tế.
Dạng tổng quát của các phơng trình vi phân đại số là
f(t, x

(t),x(t))=0, (1)
và phơng trình tuyến tính hóa của nó có dạng
A
t
x

(t)=B
t
x(t)+q
t
, (2)
ở đây A
.
and B
.
là các hàm ma trận cho trớc. Các phơng trình (1) và (2)
xuất hiện trong nhiều bài toán thực tế, chẳng hạn nh trong mạch điện,
các phản ứng hóa học, hệ thống giao thông, thiết kế robot,
Nếu ma trận
A

t
là khả nghịch với mọi t R, ta có thể nhân phía trớc
cả hai vế của (2) với
A
1
t
để đợc một phơng trình vi phân thờng. Tuy
nhiên, nếu có ít nhất một
t
0
để A
t
0
là suy biến thì một vài giả thiết cần
phải đợc đặt ra. Một trong các cách để giải (2) là đa ra khái niệm chỉ số
của phơng trình. Dựa trên khái niệm này, ta có thể nghiên cứu phơng
trình (2) bằng cách phân tích nó thành một phơng trình vi phân thờng
và một quan hệ đại số. Về cách giải của bài toán Cauchy đối với phơng
trình (2) ta có thể tham khảo trong [46].
Cùng với lý thuyết về các phơng trình vi phân đại số, có một sự quan
tâm khác đến các phơng trình sai phân đại số vì sự xuất hiện của chúng
trong nhiều lĩnh vực thực tế, nh mô hình động lực Leontiev, mô hình
tăng trởng dân số Leslie, các bài toán điều khiển tối u suy biến (xem
2
[26, 32]). Ngoài ra, các phơng trình sai phân đại số xuất hiện một cách tự
nhiên khi sử dụng kỹ thuật rời rạc hóa để giải các phơng trình vi phân
đại số và các phơng trình vi phân đại số từng phần, Vấn đề này đã đợc
sự quan tâm lớn của các nhà nghiên cứu [26, 46, 58].
Khái niệm chỉ số của các phơng trình sai phân ẩn tuyến tính có hệ số
biến thiên

A
n
x(n +1)=B
n
x(n)+q
n
(3)
đợc giới thiệu trong [39, 64] và cách giải của bài toán giá trị ban đầu
cũng nh bài toán giá trị biên nhiều điểm đợc nghiên cứu trong [9, 11].
Sau đó, khái niệm chỉ số đã đợc mở rộng cho trờng hợp phi tuyến [8]
f(n, x(n +1),x(n))=0. (4)
Có mối quan hệ gần gũi giữa các phơng trình sai phân đại số tuyến tính
và các phơng trình vi phân đại số tuyến tính, cụ thể là, phơng pháp
Euler khi áp dụng cho các phơng trình vi phân đại số tuyến tính có chỉ
số 1 sẽ dẫn đến một phơng trình sai phân đại số tuyến tính có chỉ số 1
(xem [9, 11]) và nghiệm duy nhất của bài toán giá trị ban đầu cũng nh
bài toán giá trị biên đợc rời rạc hóa hội tụ về nghiệm của bài toán liên
tục tơng ứng.
Sử dụng các khái niệm của giải tích trên thang thời gian, ta viết lại các
phơng trình (2) và (3) dới dạng
A
t
x

(t)=B
t
x(t)+q
t
, (5)
hay với dạng tổng quát

f(t, x

(t),x(t))=0, (6)
với
t thuộc thang thời gian T và là toán tử đạo hàm trên T.
Một cách tự nhiên, câu hỏi đợc đặt ra là: Liệu các kết quả đã biết đối với
các phơng trình (2) hay phơng trình (3); phơng trình (1) hay phơng
trình (4) có thể đợc mở rộng và thống nhất lần lợt cho các phơng trình
động lực ẩn có dạng (5); (6) hay không? Đây cũng là lý do để chúng tôi
3
định hớng vấn đề mà luận án cần nghiên cứu, và mục tiêu của luận án
là phải giải quyết đợc một phần của câu hỏi vừa nêu.
Trong khuôn khổ của luận án, chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu cách
giải bài toán Cauchy, bên cạnh đó là tính ổn định của một lớp các phơng
trình động lực ẩn trên thang thời gian. Nội dung của luận án là tổng hợp
các nghiên cứu của tác giả, đợc trình bày trong các bài báo đã đợc đăng
[41, 43, 60] và các bài đã gửi đăng [42, 62], và đã đợc báo cáo toàn bộ hay
từng phần tại các Hội nghị Khoa học và các Seminar sau:
- Seminar của Bộ môn Giải tích, Trờng Đại học Khoa học Tự nhiên,
ĐHQG Hà Nội.
- Seminar của Bộ môn Toán Sinh, Trờng Đại học Khoa học Tự nhiên,
ĐHQG Hà Nội.
- Hội nghị Khoa học-50 năm thành lập khoa Toán-Cơ-Tin học, Trờng
Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội, Hà Nội, 10-2006.
- Hội nghị Toán học toàn quốc lần thứ 7, Quy Nhơn, 8-2008.
- Hội nghị Khoa học, Trờng Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà
Nội, Hà Nội, 2010.
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận án bao gồm 4 chơng:
Chơng 1 trình bày các khái niệm cơ bản nhất về thang thời gian
cũng nh một số kết quả về tính ổn định của phơng trình động lực

thờng trên thang thời gian.
Chơng 2 nghiên cứu cách giải bài toán Cauchy cho các phơng trình
động lực ẩn tuyến tính và cho một số lớp các phơng trình động lực
ẩn phi tuyến trên thang thời gian.
Chơng 3 nghiên cứu tính ổn định của các phơng trình động lực ẩn.
Phần đầu của chơng sẽ đi xét tính ổn định của các phơng trình
động lực ẩn bằng phơng pháp hàm Lyapunov. Phần sau đợc dành
để nói về bán kính ổn định của các phơng trình động lực ẩn tuyến
4
tính với hệ số là hằng số, ở đây chúng tôi sẽ đa ra một số điều kiện
để bán kính ổn định là dơng, bên cạnh đó là một số điều kiện để bán
kính ổn định thực và bán kính ổn định phức là bằng nhau.
Chơng 4 trình bày các phép biến đổi Lyapunov và định lý Floquet
áp dụng cho các phơng trình động lực ẩn tuyến tính thuần nhất.
Vì thời gian và khả năng còn nhiều hạn chế nên luận án không tránh khỏi
những thiếu sót và tính cha hoàn thiện của vấn đề đặt ra, mặc dù bản
thân tôi đã cố gắng rất nhiều trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành
luận án. Tôi xin tiếp thu mọi ý kiến nhận xét và trao đổi của các nhà toán
học, độc giả và những ngời quan tâm đến vấn đề này.
5
Chơng 1
Kiến thức chuẩn bị
Chơng này trình bày các khái niệm cơ bản nhất về thang thời gian;
đạo hàm và tích phân của một hàm xác định trên thang thời gian
đợc giới thiệu. Các kết quả về
đạo hàm và tích phân sẽ không
đợc trình bày trong luận án, tuy nhiên ta có thể tham khảo trong nhiều
tài liệu, chẳng hạn trong [21, 22].
Bên cạnh đó là các phép biến đổi trụ và các phép biến đổi trụ nghịch
đảo đợc giới thiệu. Sử dụng phép biến đổi trụ để đa ra khái niệm hàm

mũ suy rộng trên thang thời gian, nó đợc chứng minh là nghiệm của bài
toán giá trị ban đầu của phơng trình động lực cấp một. Các tính chất
của hàm mũ trên thang thời gian đợc liệt kê. Nghiệm của phơng trình
tuyến tính không thuần nhất đợc thiết lập bằng cách sử dụng công thức
biến thiên hằng số suy rộng.
Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cũng đợc trình bày và hàm mũ ma
trận trên thang thời gian cũng đợc giới thiệu. Một số tính chất của hàm
mũ ma trận đợc phát biểu.
Trong phần cuối của chơng, khái niệm về ổn định mũ của phơng
trình động lực thờng trên thang thời gian đợc nhắc lại. Cho đến nay,
về sự ổn định mũ trên thang thời gian có nhiều định nghĩa khác nhau,
nhng chủ yếu các tác giả sử dụng hai định nghĩa: Định nghĩa thứ nhất
dựa vào hàm mũ trên thang thời gian, định nghĩa thứ hai dựa vào hàm
mũ thông thờng. Tuy nhiên, chúng tôi đã chứng minh đợc (xem [60]):
6
Nếu thang thời gian có hàm hạt bị chặn thì hai định nghĩa này là tơng
đơng. Trong cả luận án sẽ chỉ sử dụng định nghĩa ổn định mũ theo quan
điểm thứ nhất tức là dựa vào hàm mũ trên thang thời gian.
Nh ta biết, tính ổn định của một hệ vi phân hay sai phân tuyến tính
autonom đợc đặc trng bởi miền giá trị riêng của ma trận của hệ. Điều
này nói chung không còn đúng trên các thang thời gian tổng quát, vì ở đây
miền giá trị riêng của ma trận của hệ chỉ đặc trng cho tính ổn định đều.
Trong chơng này một số kết quả về sự ổn định mũ của các phơng trình
tuyến tính với hệ số hằng đợc phát biểu lại, đó là một phần các kết quả
trong bài báo rất nổi tiếng của C. P

otzsche, S. Siegmund và F. Wirth [73].
Những định nghĩa và định lý dới đây xem nh một giới thiệu tổng
quan về thang thời gian, hầu hết trong số đó ta có thể tìm thấy trong [21],
một trong những tác phẩm sâu sắc và đầy đủ nhất về phơng trình động

lực trên thang thời gian. Vì vậy ta sẽ không nêu lại nguồn trích dẫn, ngoại
trừ những kết quả ở trong tài liệu dẫn khác.
1.1 Định nghĩa và ví dụ về thang thời gian
Định nghĩa 1.1.1. Thang thời gian là một tập con đóng tùy ý khác rỗng
của tập các số thực
R, ký hiệu T. Ta giả sử xuyên suốt rằng thang thời
gian
T có một tôpô mà nó đợc cảm sinh từ tôpô trên tập các số thực R với
tôpô tiêu chuẩn.
Định nghĩa 1.1.2. Cho
T là một thang thời gian, với mỗi t T, ta định
nghĩa toán tử nhảy tiến (forward jump) và toán tử nhảy lùi (backward
jump) nh sau:
1. Toán tử nhảy tiến:
: T T,(t) := inf{s T : s>t},
2. Toán tử nhảy lùi:
: T T,(t) := sup{s T : s<t}.
Ta quy ớc: Nếu
t = max T thì (t)=t; nếu t = min T thì (t)=t.
Định nghĩa 1.1.3. Điểm t T gọi là điểm cô lập phải (right-scattered)
nếu
(t) >t, trù mật phải (right-dense) nếu t<sup T và (t)=t,
7
cô lập trái (left-scattered) nếu (t) <t, trù mật trái (left-dense) nếu
t>inf T và (t)=t. Điểm vừa là cô lập phải vừa là cô lập trái gọi là điểm
cô lập (isolated), điểm vừa là trù mật phải vừa là trù mật trái gọi là điểm
trù mật (dense).
Định nghĩa 1.1.4. Hàm số
à : T R
+

xác định bởi à(t):=(t) t, t T
gọi là hàm hạt (graininess) của thang thời gian T.
Ký hiệu (a, b)
T
= {t T : a<t<b}. Để cho đơn giản, ngoại trừ những
trờng hợp cần nhấn mạnh, từ đây trở đi ta viết
(a, b); (a, b]; [a, b); [a, b]
thay cho (a, b)
T
;(a, b]
T
;[a, b)
T
;[a, b]
T
.
Nếu thang thời gian T có phần tử lớn nhất M là điểm cô lập trái thì ta
đặt
T
k
= T \{M}; và T
k
= T trong các trờng hợp còn lại. Chẳng hạn,
[a, b]
k
=[a, b] nếu b là điểm trù mật trái và [a, b]
k
=[a, b)=[a, (b)] nếu b là
cô lập trái.
Sau đây ta phát biểu một định lý, gọi là Nguyên lý quy nạp, đó là một

công cụ cơ bản đợc áp dụng trong rất nhiều các chứng minh trên thang
thời gian.
Định lý 1.1.5. Với
t
0
T. Giả sử
{S(t): t [t
0
, )}
là một họ các khẳng định thoả mãn:
1. Khẳng định
S(t
0
) là đúng,
2. Nếu t [t
0
, ) là điểm cô lập phải và S(t) là đúng thì S((t)) cũng
đúng,
3. Nếu
t [t
0
, ) là điểm trù mật phải và S(t) là đúng thì tồn tại một
lân cận
U của t sao cho S(s) là đúng với mọi s U (t, ),
4. Nếu
t (t
0
, ) là điểm trù mật trái và S(s) là đúng với mọi s [t
0
,t)

thì S(t) là đúng.
Khi đó,
S(t) là đúng với mọi t [t
0
, ).
8
Ví dụ 1.1.6. Khi T = R thì (t)=t = (t) và à(t) 0; T = Z thì
(t)=t +1,(t)=t 1 và à(t) 1.
Ví dụ 1.1.7. Cho
h>0 là một số cố định, xác định thang thời gian hZ nh
sau:
hZ = {hn : n Z} = {ã ã ã , 3h, 2h, h, 0,h,2h, 3h, ããã}.
Ta có (t)=t + h, (t)=t h và à(t) h.
Ví dụ 1.1.8. Cho
a, b > 0 là các số thực cố định. Xác định thang thời gian
P
a,b
bởi
P
a,b
=

k=0
[k(a + b),k(a + b)+a].
Ta tính đợc
(t)=



t

nếu t

k=0
[k(a + b),k(a + b)+a),
t + b
nếu t

k=0
{k(a + b)+a},
(t)=



t
nếu t

k=0
(k(a + b),k(a + b)+a],
t b
nếu t

k=1
{k(a + b)},
và
à(t)=



0
nếu t

k=0
[k(a + b),k(a + b)+a),
b
nếu t

k=0
{k(a + b)+a}.
Ví dụ 1.1.9. Cho q>1 là một số cố định, xác định thang thời gian q
Z
nh
sau:
q
Z
= {q
n
: n Z} = {ã ã ã ,q
3
,q
2
,q
1
, 1,q,q
2
,q
3
, ããã}.
Ta có (t)=qt,(t)=
t
q

và à(t)=(q 1)t. Cũng có thể định nghĩa một
thang thời gian tơng tự
q
Z
:= q
Z
{0}.
Chú ý rằng, mỗi điểm khác 0 của q
Z
đều là điểm cô lập trong khi 0 là điểm
trù mật phải.
9
Ví dụ 1.1.10. Cho n N
0
, các số điều hòa H
n
đợc xác định nh sau:
H
0
=0,H
n
=
n

k=1
1
k
.
Khi đó,
H = {H

n
: n N
0
}
là một thang thời gian. Ta có (H
n
)=

n+1
k=1
1
k
,
(H
n
)=




n1
k=1
1
k
nếu n 2,
0
nếu n {0, 1},
và à(H
n
)=

1
n+1
.
1.2 Tính khả vi
Định nghĩa 1.2.1. Xét hàm số f : T R. đạo hàm (còn gọi là đạo
hàm Hilger) của
f tại t T
k
là một số (nếu nó tồn tại), ký hiệu f

(t), nếu
với mọi
>0 cho trớc tồn tại lân cận U của t sao cho
|[f((t)) f(s)] f

(t)[(t) s]| |(t) s|,
với mọi s U.
Hàm f đợc gọi là khả vi (nói ngắn gọn là khả vi) trên T
k
nếu f

(t)
tồn tại với mọi t T
k
.
Định lý 1.2.2. Xét hàm số f:
T R và t T
k
. Khi đó ta có:
1. Nếu

f khả vi tại t thì f liên tục tại t.
2. Nếu f liên tục tại t và t là điểm cô lập phải thì f là khả vi tại t và
f

(t)=
f((t)) f(t)
à(t)
.
3. Nếu t là điểm trù mật phải thì f là khả vi tại t khi và chỉ khi giới hạn
lim
st
f(t) f(s)
t s
tồn tại (hữu hạn) và khi đó f

(t) = lim
st
f(t) f(s)
t s
.
10
4. Nếu f là khả vi tại t thì f((t)) = f(t)+à(t)f

(t).
Nhận xét 1.2.3. Ta xét hai trờng hợp
T = R và T = Z.
1. Nếu
T = R thì f: R R là khả vi tại t T
k
= T khi và chỉ

khi giới hạn lim
st
f(t) f(s)
t s
tồn tại, tức là f khả vi (theo nghĩa thông
thờng) tại
t. Trờng hợp này ta có f

(t)=f

(t) = lim
st
f(t) f(s)
t s
.
2. Nếu T = Z thì mọi hàm f xác định trên Z đều là khả vi tại
t T
k
= T và f

(t)=f(t)=f(t +1) f(t),ởđây là toán tử sai
phân tiến thông thờng.
Định lý 1.2.4. Cho
f và g: T R là các hàm khả vi tại t T
k
. Khi đó:
1. Hàm tổng
f + g: T R khả vi tại t và (f + g)

(t)=f

(t)+g

(t).
2. Với hằng số
tuỳ ý, hàm f: T R khả vi tại t và (f)

(t)=f

(t).
3. Hàm tích fg: T R khả vi tại t và
(fg)

(t)=f

(t)g(t)+f((t))g

(t)=f(t)g

(t)+f

(t)g((t)).
4. Nếu f(t)f((t)) =0thì
1
f
khả vi tại t và (
1
f
)

(t)=
f

(t)
f(t)f((t))
.
5. Nếu g(t)g((t)) =0thì
f
g
khả vi tại t và (
f
g
)

(t)=
f

(t)g (t) f (t)g

(t)
g(t) g((t))
.
1.3 Tính khả tích
Về vấn đề xây dựng định nghĩa và các tính chất của tích phân
Riemann; khái niệm độ đo Lebesgue và tích phân Lebesgue trên thang
thời gian cũng nh mối quan hệ giữa hai loại tích phân này đợc trình
bày rất đầy đủ trong [21]. Đồng thời những kết quả rất sâu sắc cho ta
quan hệ giữa độ đo Lebesgue trên thang thời gian và độ đo Lebesgue trên
R, giữa tích phân trên thang thời gian và tích phân thông thờng (trên R)
có thể tìm thấy trong [25]. Tuy nhiên, sau đây ta chỉ đa ra một số định

nghĩa và tính chất cơ bản nhất về tích phân trên thang thời gian.
11
Định nghĩa 1.3.1.
1. Một hàm
f : T R gọi là chính quy (regulated) nếu tồn tại giới hạn
bên phải (hữu hạn) tại tất cả các điểm trù mật phải trong
T và tồn tại
giới hạn bên trái (hữu hạn) tại tất cả các điểm trù mật trái trong
T.
2. Một hàm
f : T R gọi là rd-liên tục (right-dense continuous) nếu
nó liên tục tại các điểm trù mật phải và giới hạn bên trái là tồn tại
(hữu hạn) tại các điểm trù mật trái trong
T.
3. Một m ì nma trận A(ã) xác định trên thang thời gian T gọi là rd-liên
tục nếu mỗi phần tử của
A(ã) là rd-liên tục.
4. Cho
X là một không gian Banach, ánh xạ
f : T
k
ì X X
(t, x) f(t, x)
gọi là rd-liên tục nếu thoả mãn các điều kiện sau:
(a)
f liên tục tại mỗi điểm (t, x) với t là trù mật phải hay t = max T,
(b) Các giới hạn f(t

,x) := lim
(s,y)(t,x ),s<t

f(s, y) và lim
yx
f(t, y) tồn tại tại
mỗi điểm
(t, x) với t là trù mật trái.
Sau đây ta ký hiệu:
C
rd
(T, R)={f : T R : f là rd-liên tục}.
C
1
rd
(T, R)={f : T R : f là khả vi và f

là rd-liên tục}.
Định lý 1.3.2. Xét hàm f : T R, ta có:
1. Nếu
f liên tục thì f là rd-liên tục.
2. Nếu
f là rd-liên tục thì f là chính quy.
3. Toán tử nhảy tiến
là rd-liên tục.
4. Nếu
f là chính quy (rd-liên tục) thì f

:= f

cũng là chính quy
(rd-liên tục).
12

5. Cho f là liên tục. Nếu g : T R là chính quy (rd-liên tục) thì fg
cũng là chính quy (rd-liên tục).
Định nghĩa 1.3.3. Một hàm liên tục f : T R gọi là tiền khả vi (pre-
differentiable) với miền khả vi
D nếu các điều kiện sau đồng thời đợc
thỏa mãn:
a)
D T
k
,
b)
T
k
\ D là không quá đếm đợc và không chứa điểm cô lập phải nào
của
T,
c)
f khả vi tại mỗi t D.
Định lý 1.3.4 (Định lý giá trị trung bình). Cho f và g là các hàm nhận
giá trị thực, xác định trên
T và là tiền khả vi với miền khả vi D. Khi đó,
nếu
|f

(t)| g

(t), với mọi t D
thì
|f(s) f(r)| g(s) g(r), với mọi r, s T,r s.
Định lý 1.3.5. Cho f là một hàm chính quy. Khi đó tồn tại một hàm tiền

khả vi
F với miền khả vi D sao cho F

(t)=f(t), với mọi t D.
Định nghĩa 1.3.6.
1. Ta gọi hàm F trong Định lý 1.3.5 là một tiền nguyên hàm (pre-
antiderivative) của hàm chính quy
f.
2. Tích phân bất định của một hàm chính quy
f là

f(t)t := F (t)+C,
ở đây
C là một hằng số tuỳ ý và F là một tiền nguyên hàm của hàm f.
3. Tích phân xác định của một hàm chính quy
f là
s

r
f(t)t := F (s) F(r)(r, s T),
với F là một tiền nguyên hàm của hàm f.
13
4. Một hàm F : T R gọi là một nguyên hàm (antiderivative) của
f : T R nếu F

(t)=f(t), với mọi t T
k
.
Định nghĩa 1.3.7. Cho a T, sup T = và f là rd-liên tục trên [a, ).
Tích phân suy rộng của hàm

f trên [a, ) đợc định nghĩa nh sau :


a
f(t)t := lim
b
b

a
f(t)t.
Ví dụ 1.3.8. Ta xét một số trờng hợp đặc biệt:
1. Khi
T = R thì
b

a
f(t)t =
b

a
f(t) dt,
ở đây f là hàm liên tục.
2. Khi T = Z thì
b

a
f(t)t =

b1
t=a
f(t) nếu a<b,
0
nếu a = b,


a1
t=b
f(t) nếu a>b,
với f là một hàm tuỳ ý: Z R.
3. Khi
T = hZ thì
b

a
f(t)t =

b
h
1
k=
a
h
f(kh)h nếu a<b,
0
nếu a = b,


a
h
1
k=
b
h
f(kh)h nếu a>b,
với f là một hàm tuỳ ý: hZ R.
Định lý 1.3.9 ([72]). Cho V : T ì R
m
R và g : T R
m
là khả vi liên
tục. Khi đó,
V (ã,g(ã)) : T R là khả vi và ta có

V

(t, g(t)) = V

t
(t, g(t)) +

1
0

V

x
((t),g(t)+hà(t)g

(t)),g

(t)

dh
= V

t
(t, g((t))) +

1
0

V

x
(t, g(t)+hà(t)g

(t)),g

(t)

dh, (1.1)
14
ở đây V

x
là đạo hàm (theo biến thứ hai của hàm V = V (t, x))vàã , ã là
tích vô hớng theo nghĩa thông thờng.
1.4 Tính hồi quy
Cho K là trờng số thực hay phức.
Định nghĩa 1.4.1. Hàm
p: T K đợc gọi là hồi quy (regressive) nếu
1+à(t)p(t) =0với mọi t T
k
.
Định lý 1.4.2. Tập hợp R = R(T, K) gồm tất cả các hàm hồi quy trên T
cùng với phép toán đợc xác định bởi (pq)(t):=p(t)+q(t)+à(t)p(t)q(t)
lập thành một nhóm Abel. Phần tử nghịch đảo của phần tử q của nhóm
này đợc ký hiệu là
(q)(t):=
q(t)
1+à(t)q( t)
.
Ta gọi R = R(T, K) là nhóm hồi quy.

Chú ý rằng, ta hiểu (p q)(t) chính là (p q)(t). Vì thế
(p q)(t)=
p(t) q(t)
1+à(t)q(t)
,
với mọi p, q R.
Hệ quả 1.4.3. Tập các phần tử hồi quy dơng của R(T, R), đợc xác định
bởi
R
+
= R
+
(T, R)={p R(T, R): 1+à(t)p(t) > 0, với mọi t T
k
},
là một nhóm con của R(T, R).
Nhận xét rằng, nếu p, q Rthì p, q, p q,p q R.
Định nghĩa 1.4.4. Hàm p: T K đợc gọi là hồi quy đều (uniformly
regressive) nếu tồn tại một hằng số dơng
sao cho |1+à(t)p(t)| với
mọi
t T
k
.
Định nghĩa 1.4.5. Một mìmma trận A(ã) xác định trên thang thời gian
T gọi là hồi quy nếu
I + à(t)A(t) là khả nghịch với mọi t T
k
15
với I = I

m
là ma trận đơn vị của K
mìm
. Lớp tất cả các ma trận nh thế
đợc ký hiệu bởi
R(T, K
mìm
).
Bổ đề 1.4.6. Một m ì mma trận A(ã) là hồi quy khi và chỉ khi các giá trị
riêng

i
(t) của A(t) là hồi quy với mọi 1 i m.
Định nghĩa 1.4.7. Với các m ì mma trận A(ã),B(ã) là hồi quy, ta xác
định các toán tử sau đây:
(A B)(t)=A(t)+B(t)+à(t)A(t)B(t),
A(t)=[I + à(t)A(t)]
1
A(t)=A(t)[I + à(t)A(t)]
1
,
và
(A B)(t)=(A (B))(t),
với mọi t T
k
.
Định lý 1.4.8.

R(T, K
mìm

),

là một nhóm.
Từ định lý này ta thấy rằng, nếu A, B R(T, K
mìm
) thì A B
R(T, K
mìm
).
1.5 Hàm mũ trên thang thời gian
Ta sẽ áp dụng phép biến đổi trụ, đợc định nghĩa ở phía dới để định
nghĩa hàm mũ suy rộng trên thang thời gian.
Định nghĩa 1.5.1. Với
h>0, ta định nghĩa tập các số phức Hilger C
h
và
dải
Z
h
nh sau:
C
h
:=

z C : z =
1
h

,
Z

h
:= {z C :

h
< (z)

h
},
và với h =0ta đặt C
0
:= C, Z
0
:= C.
16
Định nghĩa 1.5.2. Với mỗi h 0, ta định nghĩa phép biến đổi trụ

h
: C
h
Z
h
bởi

h
(z)=



Ln(1+hz)
h

nếu h>0,
z
nếu h =0,
ở đây Ln là nhánh chính của logarithm phức với miền giá trị là [i, i).
Chú ý rằng, phép biến đổi trụ nghịch đảo
1
h
: Z
h
C
h
, đợc xác định
bởi

1
h
(z)=



exp(zh)1
h
nếu h>0,
z
nếu h =0.
Định nghĩa 1.5.3. Nếu p(ã) là rd-liên tục và hồi quy thì ta định nghĩa
hàm mũ bởi
e
p
(t, t

0
) = exp

t

t
0

à(s)
(p(s)) s

, với t, t
0
T, (1.2)
trong đó

h
(z) là phép biến đổi trụ đợc định nghĩa ở trên.
Bổ đề 1.5.4. Nếu
p(ã) là rd-liên tục và hồi quy thì ta có tính chất nửa
nhóm
e
p
(t, r)e
p
(r, s)=e
p
(t, s), với mọi r, s, t T.
Định lý 1.5.5. Nếu p(ã) là rd-liên tục và hồi quy thì với mỗi t
0

T
k
cố
định,
e
p
(ã,t
0
) là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu
x

= p(t)x, x(t
0
)=1 (1.3)
trên
T.
Định lý 1.5.6. Nếu p(ã) là rd-liên tục và hồi quy thì phơng trình (1.3) có
nghiệm duy nhất cho bởi
e
p
(ã,t
0
).
Định lý 1.5.7. Với p(ã),q(ã) C
rd
R(T, C) và s, t tuỳ ý thuộc T ta có:
1.
e
p
(t, t)=1,e

0
(t, s)=1.
2. e
p
((t),s)=(1+à(t)p(t))e
p
(t, s).
17
3. e
p
(t, s)e
q
(t, s)=e
pq
(t, s).
4.
e
p
(t, s)
e
q
(t, s)
= e
pq
(t, s).
5. e
p
(t, s)=
1
e

p
(s, t)
= e
p
(s, t).
6. Nếu p(ã),q(ã) R
+
và p q thì e
p
(t, t
0
) e
q
(t, t
0
) với mọi t t
0
.
7. Nếu p(ã) R
+
thì e
p
(t, t
0
) > 0 với mọi t T.
8. Nếu tồn tại T sao cho 1+à()p() < 0 thì e
p
(,t
0
)e

p
(( ),t
0
) < 0.
Ví dụ 1.5.8. Ta xét hai trờng hợp đặc biệt của hàm mũ:
1. Khi
T = R thì e
p
(t, s)=e
t

s
p( )d
, và nếu p là hàm hằng thì e
p
(t, s)=
e
p(ts)
.
2. Khi T = hZ với h>0 thì e
p
(t, s)=

t1
=s
(1 + hp()), và nếu p là hàm
hằng thì
e
p
(t, s)=(1+hp)

ts
h
.
1.6 Phơng trình động lực tuyến tính
Định lý 1.6.1 ([50]). Cho A(ã) là hàm m ì mma trận rd-liên tục. Khi
đó, với mỗi
t
0
T
k
, bài toán giá trị ban đầu
x

= A(t)x, x(t
0
)=x
0
(1.4)
có nghiệm duy nhất
x(ã) xác định trên t t
0
. Ngoài ra, nếu A(ã) là hồi quy
thì nghiệm này xác định trên
t T
k
.
Nghiệm của phơng trình ma trận tơng ứng:
X

= A(t)X, X(t

0
)=I,
gọi là toán tử Cauchy (còn gọi là hàm mũ ma trận hay ma trận chuyển)
của phơng trình (1.4) và đợc ký hiệu

A
(t, t
0
). Chú ý rằng,
A
(t, t
0
) luôn
tồn tại với mọi
t t
0
, thậm chí A(ã) không là ma trận hồi quy. Nếu giả
sử thêm rằng
A(ã) là hồi quy thì toán tử Cauchy
A
(t, t
0
) xác định với mọi
t, t
0
T
k
(xem [50, 74]).
18