Bài toán ổn định ngoài giới hạn đàn hồi theo lý thuyết quá trình đàn dẻo

TRUÒNG DAI HOC TONG HQP HA NOI
Khoa Toan - Co - Tin hoc

3D SLC5

V^aXlL

imOJTL^

BAI TOAN ON D I l HGOAI GIOÌ HAN
DAN

H6I

THEO Li

TMÌT

QUA TRÌNH DAN

Chuyén ngành: Co hoc vat ran bièn dang
: 1-02.21
Ma so

Luàn én Phó tièn si khoa hoc Toàn - It

Co và:a khoa hoc :
Giào sii, Tien si

ha no

'Dio Huy

Bich


- 2 -

Bài toàn on dinh cùa càc vàt ran bièn dang là mot
trong nhUng van de duoc nhiéu tao già quan tàm. Trong thUc tè
nhiéu linh v\ic khoa hoc T i g dyng càc phUdng phàp va kèt qua
:n
cùa ly thuyet on dinh càc he dàn boi va dàn - dèo. Nhiéu kèt
cau cịng trình trong xày dUng dàn dung,
giao thóng,
cóng
nghiép va quoc phịng co dang càc kèt cau he thanh, ban, vo,
chàng han nhU mài nhà boi trUÒng,
rap chièu bóng,
nhà ga,
cung vàn boa,
mài san bay, càc bè chùa, he thịng ịng dan,
d~iịng ngàm,
vó tàu bien v.v... Nghién cùu do ben va òn dinh
cùa càc kè't cau này khòng chi co y nghla ly thuyèt ma con co
y nghla thUc tièn to lòn.
Nhisu nhà khoa hoc dà nghién c - u vàn de này va dà thu
ii
dUdc càc ket qua qiaan trong nhU:
Ole,
Càcman,

Bùtnịp,
Galorkin,
Timósenkó, Rabotnop, Iliusin, Senli, Grigóliuc,
Volmir, Cachanop, Prage, Gutz, Khiusnhicóp, Oghibalịp v.v...
trong do dà su dung càc ly thuyet va phUdng phàp khàc nhau.
De nghién c\lu òn dinh cùa he dkn - dèo nguói ta dua ra
càc tiéu chuàn sau;
Tiéu chuàn dong dUa trén khài niém òn dinh cua
Liapunov.
Tiéu chuàn tinh xét trang thài càn bang lan càn vói
trang thài xuàt phàt (càn bang ed bàn) . Ve màt toàn ^ hoc
chinh là bài toàn tim dièm re nhành cua phUdng trinh vi pbàn.
Tiéu chuàn nàng lUOng àp dung cho càc he bao tồn.
Giai qiat bài tồn ịn dinh dàn boi là di tim già tri
nho nhàt cua tai trgng khi he bi kich dong bé càn bang chuyèn
tu dang ban dàu duy nhàt va òn dinh sang càc dang càn bang
khàc. Bài tồn ịn dinh dàn boi da duOc nghién cùu sàu sac va
càc kèt qua dà dUOc ùng dung nhiéu trong thUc tièn [2,6,7
29].
Tuy nhién càc kèt qua thUc nghiém vk thUc tè cho thày
rkng cac kèt qua xst theo òn cinh dàn boi chi cung trong ni6t
paarn vi nko
dò. Bòi vi kèt càu khcng oh± ^ÙSÌ: vièc "Drong
giai doan cìkn hịi ma con l i i vièc tro.ag ce.c g ' a doan tièp
àr
..i
thso nUa va khi lUc tao dung vào -/àt the v : c qua giói han
:;t
dàn bịi thi càu truc chun sang trc^n-; t-hai dèo. Do vày
ngUÒi ta phai nghién cUu bài tồn ịn G irih r < ; a . ^ ò ìirxn dàn

i?oi -ii


hoi. Co nhiéu ly thuyèt dèo khàc nhau va cac
tiéu chuàn òn
dinh khàc nhau [2, 3, 5, 12, 15, 18, 19, 38, 39, 40, . . . ] .
Khi nghién cùu bài tồn on dinh dàn dèo tht ngU ịn dinh
co nghia khàc vói on dinh dàn boi, bịi vi ngay cà khi dị léch
nhị so vói vi tri càn bang thi cung gay nén trong vàt thè
dàn - dèo sU bien dang khóng thn nghich. Cho nén trong
trng bop này ta se hié'u lUc tói han là già tri nhò nhàt ma
khi dat den già tri dò do bi kich dong bé he co thè xuàt hién
càc dang bang làn càn. Do vày nghién cùu bài tồn ịn dinh dàn
- dèo sé phùc tap hdn nhiéu. Hdn nùa khi vàt thè chiù tàc
dung l ; c thi trong nò se xuàt hién càc mién dàn bòi,
il
mién
dèo, vùng dàt tal, vùng cat tài, nén ngUòi ta phai xày dUng
càc he thùc mó ta dUdc càc dàc trUng này.
Mot trong nhùng hng nghién cùu ịn dinh dàn - dèo là
su dung tiéu chuàn re nhành trang thài càn bang.
Nghién cùu dàu tién bài tồn ịn dinh cua he dàn - deo
là Càcman (nàm 1906),
trong do tàc già dUa vào tiéu chuàn
Ole de nghién cùu òn dinh cua thanh. Ong xem rang trc
thịi dièm màt ịn dinh thanh van thàng va sU chuyèn tièp tu
trang thài thanh thàng dèn trang thài thanh bi vóng xày ra
vói già tri lUc nén khong dịi. Sau dò xuàt bièn càc nghién
cùu cua Senli, Rabòpnòp tim lUc tói han sao cho thanh co thè
cong vói diéu kién lUc nén tàng (tuo là tài tièp tue) va

khóng co sU cat tài. Ve sau nguòi ta dà su dung khài nièm
tài tièp tue de nghién cùu òn dinh cùa bàn,
vó. Tuy nhién
càc kèt qua dugc dành già nhàt là do Iliusin va trng phài
cùa ịng [3, 4, 5, 13, 14, 15, 26]. Càc tàc già dà xày dUng
càc he thùc òn dinh dàn - dèo cho bàn va vó vói vièc xem den
qua trình dàt tài va cat tài trong kè't cau,
sau do giai mot
so bài toàn nén bàn mot va hai hng, bàn trUdt [22, 27, 28].
Dịi vói vo mong ékn - deo nhị cung dUdc nghién cùu trong càc
cịng trinh cùa Grigóliuc [4, 5 ] , va càc tàc già khàc [2, 3.
13, 25].
Theo buóng ly thuyet chày [35,
38] cung thu duOc mot
ioat kèt qua. Theo ly thut chày tài ben dang hng co càc
cịng trinh cùa Prage,
Handelman [38] Pearson [40], Hopkins
[39]- Nghién cùu òn dinh cùa bàn theo phUOng phàp nòduu cau
tuyèn cua Gerard [37],
Bang cach dUa vào khài niém rè nhành qua trii/n
Kliusnhicòp [18, 13] aa xét su òn dinh cùa né dàn - d-?o, - - c
rA


_ 4 già chi ra rang dịi vói vàt thè dàn - dèo thi do là sU pbàn
nhành qua trinh.
Tuy nhién càc kèt qua vùa trinh bay ò trén hàu nhU
chi xét den qua trinh dàt tài là ddn giàn. Vi vày van de dàt
ra là khi vàt the chiù qua trinh tài phùc tap thi hién tUdng
mat òn dinh xay ra nhU thè nào,

co nhùng hiéu ùng gi mói do
qua trinh dàt tài phùc tap sinh ra. Giài quyèt vàn de này
co y nghia ve màt ly thuyèt cung nhU ùng dung,
day là mot
hng nghién cùu mang tinh thịi s l va co trièn vong. Luàn àn
u
nhàm giài quyét vàn de vùa néu. Trong luàn àn trinh bay cac
kèt qua nghién cùu ve sU òn dinh cùa bàn chù nhàt va vo tru
theo ly thuyèt qua trinh bièn dang dàn - deo [11,
12] co dị
cong trung bình. Tiéu chn òn dinh là su dung tiéu chuàn rè
nhành trang thài càn bang. SU màt òn dinh cua kèt càu bièu
hién nhU sau, vói già tri t = t* nào day, lUc ngồi dat già
tri dkc biét,
ùng vói lUc này trong kèt càu tòn tal tUdng
ùng trang thài ùng suàt
^ij va trang thài bièn dang ^ij
sao cho d giai doan trUÓc va cho dèn tàn trang thài này qua
trình bièn dang con xàc dinh ddn tri mot - mgt, nhUng sau do
xuàt hién nhùng trang thài làn càn,
tue là xuàt hién sU rè
nhành cùa ckc trang thài càn bang. Mot trong nhùng muc dich
chinh cua bài tồn ịn dinh là xàc dinh già tri t=^ này. Già
tri t* dUdc goi là già tri tói han cùa tbam so tài va lUc
ngồi tUdng ùng là lUc tói han.
Khó khan chù yèu khi nghién cùu bài tồn là d cho
phUdng trình vàt ly cho duói dang phi tuyen. Do vày ta sé su
dung phUdng phàp tham so tài [12,
34] de xàc dinh ckc lUc
tói han,

dong thịi xày dUng tht tồn tinh bang so càc già
tri này.
Nói dung luàn àn góm ba chUdng,
phàn md dàu va ket

luàn.
Phàn md dàu giói thiéu nhùng net chung nhat ve van de
òn dinh he dàn - dèo. Phàn tich càc quan diem khàc nhau
nghién cùu on dinh,
khang dinh sU can thiet va thòi sU cùa
van de can i^iep tuo ngnien cUu.
qua
càc
chi
bòn

ChUdng mot tr-inh bay eoe he thùc ed bàn cùa ly thuyet
trình bien dang dàn - dèo co dị cong trung bình. DUa ra
phUdng trinh on dinh c l bàn va ve mòng dàn - dèo. Dà
-a
ra dòi vói bàn dàn ve mot phucng T-rình dao hàm rién^ c-^.-p
dèi vói già so do vong,
con dei vói vó tru nhàn duòc h -


hai phUdng

trình dao

hàm riéng

cap bịn

dịi vói

già so dị

vong va hàm lUc.
ChUdng hai: DUa vào càc he thùc òn dinh cùa ban mong,
xày dUng phUdng phàp chung xàc dinh lUc tÓi han khi bàn chiù
qua trình tài phùc taP- Trén od sd dị khào sàt càc bài tồn
bàn bi nén theo mot phUdng, bi nén dong thòi hai phUdng, dUa
ra phUdng phàp so xàc dinh lUc tói han,
so sành vói càc ly
thuyet khàc va rùt ra càc ket luàn càn thiet. Sau dò xày
dung phUdng phàp bien phàn de tinh lUc tói han khi trang
thài trc tói han là khóng thn nhàt.
ChUdng ba:
nghién cùu vàn de ịn dinh cùa vó tru. Xày
dUng phUdng phàp chung xàc dinh lUc tÓi han. Sau dị giai càc
bài tồn vị tru bi nén dgc dUdng sinh,
vó tru chiù àp lUc
ngồi, vó chiù xoan hai dàu, vị bi nén doc dng sinh va àp
lUc ngồi. Xày dilng phUdng phàp so va tinh kèt qua bang so
cho trng hdp vó tru dai chiù nén doc dng sinh va àp lUc
ngồi. So sành vói càc ly thut khàc,
rùt ra càc nhàn xét
càn thièt co y nghia cho thày ành hUdng cùa qua trinh dàt
tai phùc tap lén sU òn dinh cua kèt cau.
Phàn kèt luàn néu lén nhùng kèt qua chinh ma luàn àn

dà dat duoc va phUdng hUÓng co thè tièp tue nghién cùu.
Càc kèt qua ed ban cua luàn àn dà dugc bào cào d
xémina bò món Cd hoc Khoa Tồn - Co - Tin hoc.
Dai hgc Tòng
hdp Ha noi va xémina lién ngành Cd hoc Vàt ran bièn dang,
bào cào d càc Hòi nghi khoa hoc, Hoi nghi Cd hoc. Mot so kèt
qua luàn àn dà dUdc trinh bay trong [41, 42, 43, 44, 45, 46].
Ln àn dUdc hồn thành tai bị món Cd hoc thc Khoa
Toan - Cd - Tin hoc, Trng Dai hoc Tong hdp Ha noi. Tàc già
chàn thành càm dn thày giao, giào sU tien si Dào Huy Bich dà
hUÓng dan va tao dièu kién giùp dd rat nhièu trong qua trinh
hoàn thành luàn àn này. Tàc già xin càm dn Giào sU Le Minh
Khanh,
giào sU Nguyen Vàn Phó, Tien si Nguyen Dang Bich va
càc thành vién tham già de tài nhà nUÓc KT,04.2.2.4. dà
cho nhièu y kién quy bau trong qua trình viét bàn luàn àn
này. Tàc già cung chàn thành càm on Ban Giàm hiéu Trng
Dai hQc Tịng hdp Ha nói,
Phịng Dào "cao,
Khoa Tồn - Cd Tin hoc,
Bg món Cd hoc cùng càc thày giào càc ban dong
nghiép,
càc Cd quan ban dà quan tàm giùp cP tàc già hoàn
thành cóng viéc nghién cùu cua minh.


-

CHXJONC5

b

I

CÀC È THÙC CO BÀN

qua
càc
hoi
41,

Trong chUdng này trinh bay càc he thùc ed bàn mị ta
trình bien dang vói dị cong trung bình [11] va xày dUng
he thùc Cd bàn cho bài tồn ịn dinh ngồi giói han dàn
cùa bàn va vị mong khi chiù qua trình tài phùc tap [12,
43].
$1. LY THUYET MO TA QUA TRINH BIEN DANG DAN - DEO
VĨI DỊ CONG TRUNG B Ì N H

Ly thut dèo là mot ngành quan trgng cua ed hgc nói
chung va ed hgc vàt ran nói riéng. Mgt ngi dung quan trgng
cùa nị là xày dUng mói lién he giùa ùng suàt va bièn dang
trong mièn bièn dang dàn - dèo khi dàt tài phùc tap. Càn cu
vào thUc nghiém,
ngUÒi ta dà dua ra càc già thièt khàc nhau
de xày dung mị hình dèo. Hién nay co hai hng phàt trièn
chinh: Ly thuyèt chày dèo dua trén dinh de Drucker [35, 36]
va ly thuyèt càc qua trinh bièn dang dàn - dèo dUa trèn dinh
de dang hUÓng Iliusin.A.A [15,16]. Trong còng trinh cùa
minh Iliusin dà phàn tich sU khàc bièt ed bàn cùa càch dàt

tai ddn gian va dàt tài phùc tap,
dUa ra càc khài nièm véc
td Ung suat,
vec td bien dang va quy dao bièn dang. Day là
Cd sd de xày dung "dg phùc tap" cùa qua trình bien dang.
Vièc phàn tich càc qua trình do dan den viéc phàn ehia tinh
chat Cd hgc cùa vàt thè ra làm hai loai:
tinh chat vị hng
va tinh chat véc td. Trong phàn này trình bay ly thuyei: mị
tà qua trình dkn - dèo theo hUÓng thù hai này.
Xuàt phàt tu dinh de dang hUÓng cùa Iliusin ta co
—^

cos e,^ Pn

n = 1, 5

(1.1.1)

trong dò 6 là véc td ùng suat,
{^r^} n ^ TTò là he rèpe tu
nhién cua quy oao bièn dang, e^ là góc dinh hng cùa véc tị
ùng st 6 -Ma-r, "^'n, o^ là cng dị ùng suat. 0 day can chù y
rang cac d^.ì lUongS',_,, y ^ i^ phiem hàm cùa dò cong., cb x c n - r .
^
.:^e^
(n = 1,5) va dò dai cung s


7 cùa quy dao bien dang, cùa bien dang trung bình £, cùa nhiét

dị T, cùa àp suat trung bình P va càc tham so vàt ly khàc.
Càc dai lUOng này bàt bien doi vói phép quay va phép chièu.
NhU vày ve màt toàn hgc ta co moi lién bé phièm hàm sau

^m(S-), e, T, P,

S' = s
0^=6^

>^m(S'), e, T, P,
S' = So

(1.1.2)
trong do S^ là dg dai cung tue thòi gian cùa quy dao bièn
dang S. Càc he thùc này càn dUdc xày dUng bang cà ly thuyet
va thUc nghiém.
Ngoài ra tu nguyen ly chàm tre chi ra rang sU dinh
hUÓng cùa véc td ùng suàt tai mgt dièm trén quy dao bièn
dang phu thugc vào càc dàc trUng hình hgc cua ehi mgt phàn
hùu han quy dao bièn dang trc dièm dude xét,
dièu dị bị
sung thém mgt so han che vào he thùc (1.1.2).
Tuy nhién vièc nghién cùu càu trùc cùng nhU càc phUdng
phàp xàc dinh càc dai lUOng tham già trong (1.1.2) rat khó
khan vi nhU da nói d trén do mịi lién he giùa ùng st va
bièn dang là phièm hàm. Do vày càn phai tim càc nguyen ly bị
sung de ddn giàn hồ mị hình va thièt làp mot so dang ly
thuyèt dèo phù hdP vói thUc nghiém va eó khà nàng ùng dung
dUdc. Mgt trong nhùng con duòng nhU vày là dUa vào già thièt
xàc dinh dia phUdng [8, 21]. Thuyèt này khàng dinh rang: già

so cùa véc td ùng suàt dgc theo quy dao bièn dang phu thugc
vào véc td ùng suàt tue thịi va càc dàc trUng hình hgc cua
doan quy dao bièn dang tièp theo.
Khi dò chùng ta sé nhàn duoe càc lién he (1.1.2) di
dang hàm (chù khóng phai phièm hàm) nhU là nghigm cùa he
phUdng trinh vi phàn thuòng phi tuyèn sau day:
dGi

= fi(ei^, 3em;S), S)
dS

i = TTs"
(1-1.3)


- 8
d

^x:i

^ V (Oj^, >^m(S), S)
dS
trong do

càc

hàm

fi

^

va

dUdc xày dUng trén ed sd thUe

nghiém.
Trén day dà mò tà mgt càch
con duòng

xày dUng

bièn dang dàn dUng dUdc:

he thùc

dèo. Theo

ngàn ggn va dai cUdng nhàt

vàt ly

cùa ly thut qua tr ình

phUdng phàp

này ngi

ta dà xày

ly thuyèt bièn dang dàn - deo nho (trong pham vi

dat tai ddn gian) [15], ly thuyèt qua trình dàn - deo vói dị
cong nho [1,

2 3 ] , ly thut qua trình dàn ~ deo dịi vói hai

doan gap khùc [24]. Sau
ta qua trinh bièn dang
trình này véc

day trình bay càc he thùc
vói dg cong trung bình

td ùng st nam

ed ban mị

[11]. Vói qua

trong màt phàng màt

tièp cua

quy dao bièn dang, nén tu (1,1.1) ta co:
( =
5

^ X A ( C O S e ipi + cos ^2^2)

S -

S^

hồc là:
(cos e ^ ± sin 052)

(1,1.4)

trong dị 0 = 0i là càc góc tièp càn, Oi - arecos
Góc dinh hng 0 va cng dg ùng suat

6 ^ dUdc xàc dinh
'

bịi

phUdng trình (1.1.3) viet cho trng hdp này co dang [34]
de
= f(0, S) T >^
dS

(1.1.5)

d 6^
= y (G, S)
dS
d day * € là dg cong cùa
>

quy dao bièn dang,

dUdc xày dUng trén ed sd thUc nghigm.

càc hàm

f va V

De dUa ra dang lién bé

giùa ùng suàt va bièn dang, ta co:
1
P2 = ±

—>
(

Bine
va vi phàn (1.1.4) theo
dUdc:

COS e pi)
^ TJ.
S,

sau mgt vài phép bien

doi nhàn

- 9
de

dG

1

(

± ae ) cotg e +
^xa

dS

dS

€x
^A
sin e
Thay (1.1.5) vào day ta ;

± ^ )TÌ
dS

^xAf(e,S)

d6^
*

dS

dO

(

d5

d ^A
x

d3
cos G j

( — -

dS
A'

6'„

sin e

'

dS

^ (e,S)
y

dS

6^f((),s)'

^

hoac viet di dang khac
Sx;if(e,S)
d^

6d^
.6*

d^ +
sin 0

in 0

cos 0

j

6
.

(1.1,6)
Vói già thièt dong phàng cùa véc td ùng suàt, già so ùng
suàt va già so bièn dang,
bé thùc (1.1.6) cùng dùng cho quy
dao nhiéu chiéu. Lién bé (1-1.6) trong trUÒng hdp quy dao
bièn dang co dg cong trung bình sé co dang tuyén tinh doi

vói càc già so. Qua vày vói qua trinh này góc tièp càn khóng
lón hdn n/8 [11] cho nén eó thè xem sin 0 - 0; cos - 1-0 /2.
'
DUa vào càc so ligu thi nghiém trong [9,
20] dà xày dUng
dUdc càc bièu thùc giài tich cùa càc hàm f va ^ìf cho tr*ùịng
hdp tịng qt. Trng hdp qua trinh dg cong trung bình
dang [11].

e
f(e,S) - - k(S) sin e ^ - k(S).0 S
4' 3 (Ì'(S) cos e - (Ì'(S) (1
:

(1.1.7)

trong dị (Jì(S) là hàm pho dung cho tùng vàt liéu.
^

Thay
/

A'

A"

cac bieu
,

thUc này

vào (1.1.6)

ta duóc h? thùc

A'

Ung suat - bien dang cho
duói dang ten xd là:

qua trinh

co dị

cong trung bình


10
Sitideiti

dSij

= (tll'(S)

Sij

)

+

deLj

s

3

S
(1.1.8)

hoàc lièn he ngUdc lai giùa bièn dang va ùng suàt là:
dSij
+

deij =

^^/S

2

1

3
—

2

SitidSiti

)

(i

Su

u/S

^x.

(1.1.9)
Day là lièn hg tuyèn tinh giùa già so ùng suàt va già so
bièn dang, do vày nị nhièu thn Idi khi xét bài tồn bièn
cua ly thut dèo.
De nghién cùu bài tồn ịn dinh dàn - dèo cùa bàn va
vó mong ta chuyèn (1.1.8) (1.1.9) ve dang khàc nhU sau. Già
thièt vàt liéu khóng nén dUdc va trang thài ùng suàt phàng
suy rgng, ta eó:
de i 0 ;
r

dei.-5 = dCtj ;

Sij :: ^^^
:

- ^ f^^

1
^

( ^11+

^22) ;

Skidei^i : ^icid^i^i
=

3
(i,j - 1,2

; k,l = 1, 2, 3)

(1.1.10)

Lien he vat ly (1.1.8) va (1,1.9) eó dang sau
2
d e-ij r
:

N(S,e^o)(dClJ+ 5'ij

trong dò

iemm) +

N(S, ^XA)

lt'-N(S,

eTx^)

S*
IJ

(1.1.11)
Bieu dien ngUOc lai ta co:
3

r

1

3

d^id =

(d e-^j- 5*ijd5' ) +
M(S,^^a)

1
(

2

)
li'

N(S, 6 ^
-)

bmndSmm

Z

( ^i.J -

5'^lj)

(1.1-12)


- 11
Ta sé su dung

he thùc (1.1.11)

va (1.1.12) vào

bài toàn ị

dinh chung cùa ban va vo mong ngồi giĨi han dàn hịi.

$2- BÀI TỒN ỊN DINH DAN ~ DEO CUA DAN MONG
1_ càch dàt bài toàn on dinh:
xét bàn mong chù nhàt canh a,

b, chièu day h. DUa vàc

he truc toa dị de càc vng góc oxiyiz sao cho truc oxi,

0x2

nàm trong màt phàng trung bình cua ban, truc oz vng góc vói
màt phàng này. Già

su kèt càu

chiù tàc dung

càc lUe này thè xem nhU phu thugc

cùa lUc ngồi,

tuy y vào mgt tham so t

nào day.
2.

Cào-iifì thfic tim trang thài trilịc tói han
y

A'

A*

f

(trUde khi mat on dinh)
Già sU ban mong

chiù tai phùc tap- Tal

mgt thòi dièm

t tòn tai trang thài ùng suàt màng
^11,

^22,

^12 con

^13=

^33 - 0 ;

^23=

1
^ =

( ^11 +

^22) ;

^xA - ( ^11.

+ ^22 - ^11 ^ 2 2 + 3

^tz)

(1.2.1)
Xem vàt liéu là khòng nén duOc ta co:

£33 = -

(Gli + £22)

2
_

^u

2.

Lièn he vàt ly theo ly thuyet
tài phùc tap eó dang:
o
/.

^1^ =

z

a
-

1/2.

(^11 + C22 + eiiC22 + £12)

qua trình dàn dèo

r

N(S, ^xA)(£tJ+ < ' J èmm) +
5i

- 5 mn,
1
mn

khi dàt
*
£
*
-

mr\

(J)'-N(S,^^

3
(1-2.3)
hoàc bièu thi ngUdc lai


- 12

( ^ij

Si,

- ^i-^è

) + — (

N(S, s ^
:)

2
Smm

)

fi'

N(S, S^)

^ mn
( ^±à

^±ó)

- ^

{1.2.A)

<

PhUdng trình xàc dinh dg dai cung cùa quy dao bièn dang
dS

•i

.i
*2.
1/2
(£ll + ^22 + ^11^22 + £12)

dt

is"

(1.2.5)

PhUdng t r i n h c à n bang
àSTi,
0

(1-2-6)

àx.
He day du càc phUdng trinh trén cùng vói dièu kién
bièn cho phép xàc dinh trang thài ùng suàt bièn dang cùa bàn
.

.
•

A'

A*

*

trong giai doan trUdc khi mat on dinh.
3- Càc phng trình on dinh
a) Thiet làp chinh xàc bà-j tồn on dinh:
nhị

Khi ban bi vong,
bièn dang nhàn thém già so vó cùng
0£ij, theo già thièt phàp tuyèn thang ta co:
òCij = (fCij - z ^ ^ i j
(1.2.7)

trong dò
o^ij là càc già so bien dang vị cùng nhị cùa màt
giùa, o%xó là càc già so vó cùng nhị cùa dị cong va dg xoan,
chùng co dang:

1

Sz\,

^(

2
Càc già so

ò^uj
+

àxj

è 5W
);

5Xi,^ =

àxi

<5'ui, < " là hàm cùa toa
5W

àxi àxj
dg xi va

(1.2.8)
X2


13
TUdng ùng vói già so bièn dang là già so ùng
xàc dinh nhò hg thùc cùa ly thuyèt dèo (1.2.3).
2

suàt duOc

STj^i ^ e ^ i

<5*6'ij zz

N( 5 c i j + <5"ij Se^^^) + ((i' _ N)
3

6-^^
^v.
(1.2.9)

Bay già co thè de dang tinh già so cua lUc
cua mò men.
h/2

h/2

è&ijdz

5Nij =

dàn va già so

;

6 M ij

-

z

5^6"! jdz

(1.2.10)

h/2

h/2

Càc dai lUdng này thoa man càc phUdng trinh càn bang
à^Nid
(1.2-11)

0
^^xj

a

5MIJ

+ Nlj <^^ld = 0
:

(1.2,12)

3xi3xj
Diéu kién tUdng thich trong trUÒng hdp này co dang
2

3

r- ^

r *
3 2 ịt'^2

2

d

ịr. 12

0

ỊCii
rfXl

3xi3x2

<^X2

De giài bài tồn càn biét càc diéu kién bien
a) Ban ngàm chat, chàng han dgc xi - a thi
5W = 0 ;

= 0

khi XI = a

9x1
b) Bàn co canh xi = a tUa bàn le thi

(1.2.13)


- 14 5W = 0 ;

5Mii - 0 khi xi = a
:

e) Ban eó canh tU do, chàng han canh xi = a thi
3 ^Mi2
<5"Mii = 0 ;
é"Qii +
= 0
3x2
trong dị

(1.2.13)a

<5'Qii là lUe cat tai canh vng góc vói truc xi-

Sau day phàn tich ehi tièt hién tUdng òn dinh cùa bàn va
xày dUng càc hg thùc dà néu mgt càch tng minh hdn. Trc
hèt nhàn xét rang, dịi vói càc ban m.ong dàn - deo, khi chuyèn
tièp tu trang thài phàng sang trang thài bi vòng da gay ra
nén tièp mién này dong thòi dan tièp mién kiaBan sé bi phàn ehia thành hai mién theo bé day:
mién
dàt tai va mièn cat tai.
Trong mièn dàt tai lién hg giùa già so ùng suàt va
A'

A

A*

già so bien dang theo quy luat (1.2.9)
Trong mién cat tài chùng tuàn theo qui luàt Hooke tue
là:
3
1
6"Sii = SSxx
'^6'22 - 3G 5 £ i i

2
3

2
1
5S22 - ^^22

2

^^XX

- 3G ^£22

2
^Si2 = 2G ^ei2

(1.2.14)

Trong mién dàt tài, già so còng lUc trong 5W^> 0, trong mién
cat tài già so còng này
5w^ < 0. Bién phàn ehia z = Zo giùa
hai mién này xàc dinh tu diéu kién

St^^

Thay
_

theo (1.2.4) vào day va dàt
^1.

G
Ta dUdc

_

_


15
6x( - z%) - 0
^Ae
vày phUdng trình xàc dinh bién phàn ehia Zo la
Zo ~

'^
Su dung càc he thùc (1.2.7) (1.2.9),
dàn va mómen.
2
Bi( ^ e i j

+ ^^id cTekk)

B2(<5"Xid +
3

3
+

(Pi-Bi)e -

^ij

(P2--B2)X

2

2

r:

(SMÌJ

tinh

2

= —

(1.2.15)
càc già so lUc

B2( <^eid + ^ i d

^Cuk)

B3(^^iJ

3

+ <5"id ^ X k H )

4

3
+

(P2-B2)C - (P3-B3)X.

^1
^id

(1-2.16)
trong

dò
h/2

h/2

(i- (S)zm-l dz

Pm =

m-~ .
1

N(S, e^}z

; Bm

dz

1

-h/2

-h/2

Trù hai bièu thùc cùa (1.2.16) cho
lién he giùa 5Nid va cSMid nhU sau:
Ba
Shxó

=

; 2
5Nid +
3

^id

{

B3)

{S-X^^+

5~ij 5"Xkk) +

r
l(Pi

B:
+

nhàn duoe moi

Bi
B2

+

nhau,

B2
(

Bi

(m ~ 1, 2, 3)

( P 2 - B2)e: -

- Bi)€

-

L
(P3 " B 3 ) X

(P2 -

B2)X

4-

J
}

(1-2.17)


16 _
Màt khàc dàt ^xó

Sid
^^ nhàn hai ve phUdng trinh dàu cua

(1.2.16) vói Smn dong thịi cugn chi so theo i, à ta nhàn dUdc
3
PiC - P s X

"Sid 5'Nid
2

(1.2-18)

Ket hdp vói (1.2.15) ta dUdc phUdng trình xàc dinh bién
giùa mién bién dang chù dgng va bi dgng Zo

3

"sId «5'Nid

2

^

PlZo - P2 =
Bieu dien e qua X nhò
,r

hg thùc

(1-2.19)

(1.2.18) khi

do (1.2.17)

A
^

dan ve
B2
5Mid

2
5Nid +

Bi

+ ^id

(
3

BI
(Bs

Bs) (SXid+

3
P3)X +

Pi

5 i SXkk) +

"d

Bi

PI
+

Bi

Ba

P2

B2

(
2

)^iJ 5Nid
Pi

Bi
(1.2.20)

NhU vày càc he thùc (1.2.16) va (1.2.20) cho ta moi lièn
he giùa càc thành phànSNid, 5Mid vói do cong va dò xoan (tue
là qua dg vong
5W). Do vày nèu thay chùng vào càc pbUdng
trình càn bang (1.2.11), (1.2.12) ta nhàn dudc phUdng trình
doi vói

5W va <5Nid, kè't hOP vói (1.2.13) nhàn duOc hg bon
phUdng trinh dao hàm riéng de tim bịn àn dà néu. Giai qut
bài tồn theo càch dàt chinh xàc nhU vày vó cùng phùc tap ve
màt tồn hgc. Do vày Iliusin da dUa ra già thièt de ddn gian
hoà hg dà néu. PhUdng phàp này cho phép nhàn dUdc hg phUdng
trình ịn dinh di dang ddn giàn hdn.
b) Càch dàt bài toàn on dinh theo già thiet Tliusin
Chap nhàn già thiet là 5Nid ^ 0,
khi dò tu (1,2,19)
d% dang suy ra


- 17 2]':^•^^^^":M

r^tjc-r-x
IfiUK^^Ti' -y-'C

Z ' M ^ ^

]

P2
Zo

(1.2.21)

Pi
Màt khàc sau khi tinh tich phàn ta
h/2

h/2

Zo
m-1

fll"(S)z

3Gz

h

m-l

(K(S)z

dz +

h/2

-b/2

n
ill'(S)

)

(

—

h/2

•

)

m
Zo

h/2

Zo

N(S, ^xa)z'"

m

2

2

m

dz

Zo

,

m

3G Zo

Bm

(

m-l

dz

m-l

m-l

dz

3Gz

dz -1

N(S, &u)z

dz -

•h/2

•h/2

+ N

3G Z o

(

)

m
Za

(1.2.22)

m
22.

thi sau khi thay Pi, P2 vào

Cho nén nèu dàt Zo

(1.2.21) ta tim dUdc phUdng trinh xàc dinh Zo nhU sau
TÌ(3G - (i') + 2z*o (3G + é") + (3G - ti-') = 0
PhUdng trình này co nghiém vói diéu kign !Zoi ^ 1 là
(S)
Zo

43G

+ i é'
Mi;u;^ù

(1.2.23)

- 18 Càc già so mó men (1.2.20) khi dị co dang
2

2

B2

6Mld

B3) ( 5X±:) - 5 i 5Xkk) +
! "d
-

(
3

Bi

BI
+

(Bs

^id

hz.
) - (Ps - P2

Bi

2
(1,2-24)

Ky hiéu

BI

Gh

3

^

B3

H' N

B;
Gh

hzo

Ps

P2

4
Thay Pm va Bm (1,2.22) vào day tim dudc bièu thùc xàc dinh

y N v a ^^ ti
3
1

^N

+ *PN +

H'^

(1-^H)''(1-Z'O)"^

4

1 r

1+^N+(1-
(Ì-'CN)Z.

i -»- <r>t + — ( 1

- *Pt)z'o

2

(l-(Pt)'z

2

à

N
VN

—

= --

^t

-

3G

3G
Bieu dien

(1-2.25)

6Mid q u a V N , ^ t ,

SW n h à n 'dUdc

Gh
5M i d

'y N ( S w , i d + 5'id 5 w , k 3 0 +
6id

+ (^N -

f^)

^kl
^W,k;

(1.2.26)


19
Thay bieu thùc này vào phUdng trinh càn bang (1.2.12)
nhàn dUde phUdng trinh ed bàn cùa bài tồn ịn dinh ban mong.
3
^ik

^id

ò

^ki


/ 1

5ji

( 1

-)

Z

4

J

^XA

ò x i dxd òx

3 Gij

^ 0
Gh^ T H

(i,d,k,l 3 1,2)
:

ịxi ịxd

(1.2.27)
thè tim 6^1ịc

Kèt hdp vói diéu kign bién (l,2-13)a ta
nghiém cua tùng bài toàn cu thè.

NHAN XET
a) Nèu vàt thè là dàn hoi tue là *PN = 1 ,

*^t = 1 khi do
4 ^ :: 1, 4 t ~ 1 phUdng trình (1.2.27) trd ve hg thUc
* =
^
ịn dinh dàn boi [2].
b) Nèu qua trình dàt tài là
quy luàt dàn dèo nho khi do

1
(PN

ddn giàn,

^^

=

(Ì^(£^)
,

3G

£a
x

ta nhàn dUdc hg thùc mó tà
[14,15]-

vàt the tn theo

^>x,

-•

,

3G
bài tồn òn dinh dàn - dèo nhò

c) Nèu khóng xét den qua trình cat tài tue là Zo = -1,
khi do %^ = ^N,' Ht = * t . Hg (1.2.27) trung vói hg thùc dà
',
P:
xày dUng trong [2].
d) Nèu khóng xét den sU xuat hign mién cat tài va N - E
(módun dàn boi), ta nhàn dUdc hg thùc cùa ly thuyet chày tài
ben dang hUÓng [17].


- 20 $3. BÀI TOÀN ON DINH D À N - DEO CUA vÓ TRU
1- Càc he thùc co bàn doi vói trang thài tTiióo khi
màt on dinhXét vo tru bàn kinh R, chiéu day h, dg dai L chiù tài
phùc tap. Chgn hg tryc toa dg (x, y - E ) , z) sao cho truc x
^
nam dgc theo dng sinh cùa tru,
truc z hng theo phàp
tun cùa vó. Già thiet vàt liéu là khòng nén dUdc,
trang
thài ùng suàt là phàng suy rgng. Khi dò hg thùc vàt ly xàc
dinh theo (1.2.3), dg dai cung (1.2.5) phUdng trình càn bang

(1.2.6), He day du càc phUdng trình này cùng vói diéu kign
bién cho phép ta xàc dinh dUde trang thài ùng suat bién dang
cua vó trc khi màt ịn dinh- Sau này ta xem nhU bài toàn
này dà giài dUde. Trén ed sd trang thài này ta se di xét bài
tồn ịn dinh theo tiéu chn rè nhành trang thài càn bang
cua vo.
2. Càc PhUdng trình nn dinh
De thièt làp càc phUdng trình on dinh cùa vó, su dung
già thièt phàp tuyén thang cùa Kiéc bop,
khòng xét sU xuat
hién mién cat tài, Khi dò càc thành phan già so bién dang tai
dièm bàt ky là:
*
SCid - z

^^id =

5Xid

(1.3-1)

t r o n g dò c à c t h à n h phàn g i à so b i é n dang màt g i ù a
r

'^ Su

^

à t jtx

a Sv

*

=

;

o£ y y

—

—

3x

ay

1
r

*

xy

=

a

èV

(

2

a

R

5u
)

-I-

ax

Sw

ay

(1.3.2)

Cac g i à so éò cong

3^5w

a^<^w

2

'^^

ay

2

a^5w
a xay
(1-3.3)


21
Lién he vàt ly giùa ùng suat

va bién dang cho

qua trình

dàn - deo phùc tap co dang
^km

^^id

=: ( ( i ' - N)

oCkm

2

^

+

N ( <5£id + ^±ó

5"ekk)
(1.3.4)

. ir

B i e u d i e n ngUde

lai

1

St±

3

1

( S e ' i j -
Càc d a i l U d n g

2

5Nid,

Smm '-' »-)mn
)mm -^S

(

L N
(i,j

1
)

(i'

2

(^iJ-^iJ^

N
(1.3.5)

= 1,2; m,n = 1 , 2 , 3 )
5Mid c h o b ò i

h/2
^ k m O^km

^N I d

^^iddz

= h

((Ì"-N)

±d +

h/2

+ —

H( ^ e l d

+ ^x^

-^Ckk)
(1.3.6)

h/2
G'km SW,km
Mid =
=

zSS'ijdz

- —

((i'-N)

-

6'.i j

•+

12
•h/2

+

N( 5 W , i d + ^ i d

5W,kk)

3

(1.3.7)
(i,j,k,m

He c à c p h U d n g
móng c o d a n g
»

y

t r i n h v i phàn

= x,y)
cùa b à i tồn

on d i n h

vị

)


- 22
a

<5Nid
0

(1.3.8)

axd
a^<5Mid

1
+ Nid

SW,id

+

5N22

axiaxd

=

0

R

(1.3.9)

PhUdng trình tUdng thich dang nhU sau:
3

5€>«c

a

Styy

2

3

cSCxy

-1

3^

2

ay

SVÌ

. 2

3X

a xa y

p a x
(1-3.10)

He day dù càc phUdng trình trén cùng vói càc dièu kién
bién cho ta giai bài tồn ịn dinh cua vo tru.
Sau day dUa ra mot càch tng minh bé phUdng trình
trén cho trng hdP trang thài trc tói han khóng phu thugc
vào X va y, Tre hèt dàt
2

2

2

aV

a ((>

a ip

Ser^ =

,
ay

^^yy =

,

2

aX

^^:«y =

2

a x3 y
(1-3-11)

khi dò (1.3.8) se thoa man dong nhàt.
V

^

Hàm V duOc xàc dinh tu

A'

phUdng trinh tUdng thich bien dang (1.3.11).
TrUÓc hét tu (1.3.5)
1
SÊôô

=

3%

va

1 3 %

(

Styy

ay

(

) +

N

ax

S-^^, - C
A.TT(Sld, <5Sld)

"
^

2

2

suy ra

9

ã
2

N

(1.3.11)

2

2.

ax"

ay

2

4

) +

s.

A.TT(Sld, 5 S l d )

4

'

2

G^


-

3

5t

1

a (p

>ty

+

jcy

2

trong

23

N

A n ( S i d , 5"Sid)
(1.3.12)

axay

dị
1

1

A

;

d"
Thay

• n ( S i d , f^'Sid ) = S i d <5"S±d

N

(1.3.12)

vào

(1.3.10)

nhàn

dUdc phUdng

trình

xàc

d i n h tp nhU s a u :
1

1

3

2 ^xx-

5^TT(Sid, ( f S i d )

^yy

4

N

4

tr

N

^xa

3

1
(-

1

2 6 - y y - 6-:^^;^.

4

(i

N

+

^y
ò T(Sid,
I

<5"Slj)

à x'

9

1

1

^^y

ò TT(Sid, ^ S i d )

1

2

(i

N

^x.

a xa y

R

a" ^w

3x
(1.3-13)

Tièp theo,
càch thay

t a tim

(1.3.7)

vào

phUdng t r ì n h d e

(1.3.9),

s a u mgt

xàc dinh

SW b a n g

v à i phép t i n h

doi

n h à n dUde
3

(i "

<^ik S ' j ^

(1
4

fi^km

G'id

)

SW, I d i ^ m

N

e*,.
1

2

(

^id Sw,id

+

"

0

R

h N
(i,j,k,m = x,y)

a (p

a
(1.3.14)


- 24 NhU vày bài toàn ve sU on dinh cùa vó chinh là bài
tồn tim nghigm khàc khịng cùa (1.3.13) va (1.3.14) cùng vói
diéu kign bién dà cho (l-2.13)a.
NHÀN XKT
a) Nèu vàt the là dàn hoi,
iì' ^ 3G; N = 3G thi (1.3.13)
(1.3.14) trd ve càc phUdng trinh òn dinh dàn hòi [2].
b) Nèu qua trinh là dàt tài
trén trd ve càc phUdng trinh
dang dàn dèo nho [2, 3 ] .

ddn giàn thi càc phildng trình
ịn dinh theo ly thuyèt bièn

Càc chUdng tièp theo sé sU dung ly thuyèt chung vùa
xày dUng de giài càc bài tồn ịn dinh dàn dèo cùa bàn va vó
mong.


25 CHXJONG

1

X X

1

1

ÒN DINH CÀN BANG CUA BAN HONG CHI) NliAT

A'

Viéc nghién cùu

ón dinh nói

chung,

dàc biét là
Jf

A'

on
•
'

dinh dàn - dèo cùa bàn móng co y nghia thUc tien rat IdnDoi vói bài tồn on dinh dàn boi cùa bàn móng dà nhièu
cóng trinh nghién éu [2,
25, 29]. Càc ket qua dà dUdc ùng
dung nhiéu trong thUc té. Hién nay ngi ta tiép tue nghién
cùu càc bài tồn on dinh dàn boi phi tuyen [6, 7 ] . Tuy nhién

trong nhiéu cau trùc hign dai, hign tUdng mat on dinh thng
xày ra ngồi giói han dàn boi. Nhiéu nhà ed hgc nói tièng dà
quan tàm nghién cùu van de này. Trong dò càc kèt qua dUdc
chù y nhiéu nhat là do Iliusin bat dàu tu nàm 1944 [14, 15].
Tàc già dà xày dUng hg càc phUdng trinh on dinh cho cà qua
trinh dàt tài va cat tài trong càch dàt chinh xàc bài toàn
c n dinh dàn - dèo, dà dUa ra phUdng phàp gan dùng de nghién
^
cùu.
Tiép sau là mgt Ioat càc nghién cùu khàc dịi vói ly
thuyet bién dang dàn - dèo nhó [2, 22, 27, 28]- Theo huóng ly
thuyet chày cùng eó càc ket qua cùa [17, 38, 39, 40]. Trong
[18,
19,
30] bang càch dUa vào khài niém rè nhành qua trình
dà md ra mgt hng trién vgng, Tuy nhién càc kèt qua tran
chù yéu xét vói qua trình dàt tai là ddn gian. Cho nén van
de dàt ra là dịi vói qua trình dàt tài phùc tap thi bièn
tUdng mat ón dinh sé xày ra nhu thè nào. Day là vàn de khịng
chi y nghia ly thuyèt va thUe tien ma con niang tinh thòi
sU. Trén ed sd de xuàt ve phUdng phàp tham so tài [12] de
xàc dinh lUc tói han. ChUdng này xày dUng cịng thùc chung
xàc dinh lUc tói han,
khao sàt bài toàn ban bi nén mot
phUdng,
dUa ra bièu thùc hièn tinh lUc tÓi han cho vàt ligu
tài ben tuyèn tinh. Sau dị xét bài tồn bàn dong thịi bi nén
hai phUdng bòi qua trinh tài phùc tap,
xày dUng phUdng phàp
so xàc dinh lUe tói han tu dị rùt ra càc nhàn xét mò tà ành

hUdng cùa dàt tài phùc tap dèn sU òn dinh cùa vàt thè. Tièp
theo xày dUng pbUdng phàp bièn phàn giai bài tồn ịn dinh
khi trang thài tre khi màt ịn dinh là khịng thn nhàt
[42, 44].