Tính toán kết cấu ngoài giới hạn đàn hồi

TIỂU LUẬN MÔN HỌC: PHÂN TÍCH KẾT CẦU NGOÀI GIỚI HẠN ĐÀN HỒI

NHIỆM VỤ
XÁC ĐỊNH TTGH CỦA KẾT CẤU DẠNG TẤM CHỊU UỐN
I. Khái quát chung về TTGH của kết cấu:
1. Khái niệm chung.
Trong những bài toán mà ta nghiên cứu thì việc tính toán độ bền là căn cứ vào
ứng suất lớn nhất xuất hiện trong thanh phải nhỏ hơn giá trị ứng suất cho phép [σ ] mà
chúng ta xây dựng trước đây.
Ví dụ các bài toán về kéo, nén, uốn và xoắn thuần túy, ta có điều kiện bền là:
max σ ≤ [σ ] =
max τ ≤ [τ ] =

σo
n

τo
n

Trong đó: - σo, τo là những giới hạn nguy hiểm (có thể là giới hạn chảy đối với
vật liệu dẻo và giới hạn bền với vật liệu giòn).
- n là hệ số an toàn.
Nếu thanh làm việc ở trạng thái chịu lực phức tạp thì phải tính giá trị ứng suất
tương
đương theo một thuyết bền nào đó rồi so sánh với ứng suất cho phép [σ ] . Tính toán như
thế gọi là tính toán độ bền theo ứng suất cho phép. Như vậy với cách tính này thì chỉ
cần một điểm, một số điểm hoặc một mặt cắt nào đó mà ứng suất của nó đạt đến giới
hạn nguy hiểm σo thì coi như kết cấu đã nguy hiểm và không còn sử dụng được nữa.
Cách tính theo ứng suất cho phép như vậy là đặt điều kiện vật liệu làm việc trong miền
đàn hồi cho nên người ta còn gọi nó là phương pháp tính trong đàn hồi. Thế nhưng
trong thực tế những kết cấu làm bằng vật liệu dẻo thì trong trường hợp tuy tất cả các

điểm trên một hoặc một vài mặt cắt ứng suất đạt tới giới hạn chảy, kết cấu vẫn còn khả
năng chịu lực thêm, do vậy tính theo ứng suất cho phép ở trên là không phù hợp với

HVTH: Tống Thị Như Hiển - Lớp CHXD1 - 2010

1


TIỂU LUẬN MÔN HỌC: PHÂN TÍCH KẾT CẦU NGOÀI GIỚI HẠN ĐÀN HỒI

nhiều bài toán thực tế và nó không tính hết khả năng chịu lực của kết cấu, không tiết
kiệm được vật liệu.
Với cách nhìn như vậy, song song với phương pháp ứng suất cho phép người ta
đưa ra phương pháp tính theo trạng thái giới hạn hay tải trọng phá hủy.
2. Phương pháp tính theo trạng thái giới hạn
Tính theo trạng thái giới hạn là phân tích sự làm việc của kết cấu cho đến khi phá
hủy hoàn toàn hay bị biến hình toàn bộ kết cấu không còn có thể chịu tải được nữa. Rõ
ràng là với phương pháp này ta tận dụng hết khả năng của vật liệu và dĩ nhiên là rất tiết
kiệm. Song với việc tính theo trạng thái giới hạn (TTGH) đôi khi đưa đến những biến
dạng quá lớn (vật làm việc ngoài miền đàn hồi), vượt quá giới hạn cho phép. Do đó
trong khi sử dụng phương pháp TTGH người ta chú trọng đặc biệt đến biến dạng. Và
đối với các chi tiết máy yêu cầu biến dạng nhỏ thì không dùng phương pháp TTGH mà
phải sử dụng phương pháp ứng suất cho phép như trên. Ngoài ra đối với những bài toán
ứng suất thay đổi theo thời gian cũng không dùng phương pháp TTGH này được.
Điều kiện bền theo phương pháp TTGH được đánh giá thông qua sự so sánh hệ
số an toàn và hệ số an toàn cho phép n =

Pgh
P

≥ [ n]

Trong đó: - n là hệ số an toàn; Pgh là giá trị lớn nhất mà kết cấu chịu được; P là tải
trọng thực tế tác dụng lên hệ kết cấu; [ n] là hệ số an toàn cho phép, phụ thuộc vào nhiều
yếu tố và được xác định trước (thường được cho trong các sổ tay kĩ thuật.
Cơ sở của cách tính theo TTGH là giả thiết về đồ thị quan hệ ứng suất và biến
dạng. Căn cứ vào biểu đồ thí nghiệm về kéo vật liệu dẻo, từ biểu đồ này người ta coi
như lí tưởng hóa từ khi xuất hiện giới hạn chảy thì vật liệu làm việc ứng với thời kì
chảy dẻo kéo dài mà không có thời kì củng cố nữa, đồng thời xem giới hạn chảy và giới
hạn tỉ lệ trùng nhau.

HVTH: Tống Thị Như Hiển - Lớp CHXD1 - 2010

2


TIỂU LUẬN MÔN HỌC: PHÂN TÍCH KẾT CẦU NGOÀI GIỚI HẠN ĐÀN HỒI
σ
σ
σ

σ

σ

σ
σ

ch

ch

th

th

ε

ε

ε

Sự lí tưởng hóa này cũng có cơ sở thực tế vì giai đoạn chảy rất lớn thường gấp
10÷20 lần so với giai đoạn tỉ lệ. Biểu đồ này được gọi là biểu đồ đàn dẻo lí tưởng, thép
tương đối phù hợp với biểu đồ này là sơ đồ prant.
Theo sơ đồ này: ở giai đoạn đầu ứng suất nhỏ hơn giới hạn chảy σch thì vật liệu
làm việc hoàn toàn đàn hồi, quan hệ ứng suất và biến dạng tuân theo định luật Hook và
kết thúc tại điểm A(σch, εch). Sau đó thì vật liệu chuyển sang chảy dẻo, ứng suất tăng và
giữ là hằng số, đồng thời biến dạng ở nơi nguy hiểm nhất của kết cấu sẽ tăng lên, hiện
tượng này sẽ xuất hiện ở một nơi và cứ thế lan dần ra các nơi khác của kết cấu cho đến
khi kết cấu bị phá hủy hoàn toàn hoặc bị biến hình toàn cục. Khi đó ta nói kết cấu đã tới
trạng thái giới hạn. Tải trọng ứng với trạng thái giới hạn này của kết cấu được gọi là tải
trọng giới hạn và kí hiệu là Pgh. Đôi khi người ta bỏ qua cả giai đoạn đàn hồi, tức là xem
giai đoạn này quá ngắn so với giai đoạn chảy dẻo. Biểu đồ này là biểu đồ cứng dẻo lí
tưởng. Trong việc tính theo TTGH ngoài việc sử dụng biểu thức trên người ta cũng có
thể sử dụng cách so sánh khác:
Pmax ≤ [ P ] =

Pgh
n

[ P] gọi là tải trọng cho phép
II. Cách xác định cận dưới của tải trọng giới hạn:
Đường lối chung:
Theo nguyên lý chung của định lý tĩnh ta có: Trạng thái ứng suất khả dĩ tĩnh luôn
thỏa mãn điều kiện cân bằng và nằm trong hoặc trên mặt (đường) giới hạn (chảy dẻo).

HVTH: Tống Thị Như Hiển - Lớp CHXD1 - 2010

3


TIỂU LUẬN MÔN HỌC: PHÂN TÍCH KẾT CẦU NGOÀI GIỚI HẠN ĐÀN HỒI

Do đó, để xác định tải trọng giới hạn, ta dùng ngay điều kiện cân bằng, điều kiện dẻo
dạng (3) và (4):
Điều kiện cân bằng: Øi (Q1, Q2, …) = 0 (3)
Điều kiện dẻo: fi (Q1, Q2, …) = C

(4)

C – Hằng số thực nghiệm

Để minh hoạ cho ý tưởng nêu trên, xét bài toán vỏ tròn xoay có chiều dày h
không đổi chịu tải trọng đối xứng trục.

Xét cân bằng của một phân tố được tách ra khỏi vỏ bởi hai mặt phẳng kinh tuyến
và hai mặt phẳng vĩ tuyến gần sát nhau (Như hình vẽ trên), ta nhận được 3 phương trình
cân bằng là:
d

( N ϕ' R ) − N θ R1Cosϕ − RQϕ + R1 RY = 0
dϕ
d
N ϕ R + N θ R1 Sinϕ +
(Qϕ R ) + R1 RZ = 0
dϕ
d
( M ϕ R ) − M θ R1Cosϕ − Qϕ R1 R = 0
dϕ

HVTH: Tống Thị Như Hiển - Lớp CHXD1 - 2010

(10)

4


TIỂU LUẬN MÔN HỌC: PHÂN TÍCH KẾT CẦU NGOÀI GIỚI HẠN ĐÀN HỒI

Trong đó: Y, Z là cường độ của tải trọng ngoài tác dụng trong mặt phẳng kinh
tuyến song song với các trục tọa độ. R 1, R2 là các bán kính cong của các đường cong
chính.
Từ điều kiện dẻo Mises ta có:
1
12
( N ϕ2 − N ϕ N θ + N ϕ2 ) + 4 ( M ϕ2 − M ϕ M θ + M θ2 ) = σ ch2
2
h
h

(11)

Khi các thành phần ứng lực trong vỏ nêu trên thỏa mãn điều kiện (11) thì xuất
hiện một miền dọc theo đường vĩ tuyến mà ở đó vật liệu bị chảy dẻo hoàn toàn. Điều
kiện (11) cho phép ta dùng để xác định cận dưới của tải trọng giới hạn. Thực tế thì lúc
này, kết cấu hầu như hết khả năng chịu lực. Do đó, với kết cấu phức tạp dạng tấm vỏ thì
việc xác định cận dưới của tải trọng giới hạn cũng được coi như việc xác định tải trọng
ứng với trường hợp kết cấu hoàn toàn hết khả năng chịu lực. Điều này hoàn toàn phù
hợp với thực tế.
Bài toán xác định tải trọng giới hạn của kết cấu tấm vỏ là bài toán phức tạp. Bài
toán này không có thuật toán chung mà phải tùy từng kết cấu cụ thể.
Thông thường, ta đặt thêm hàm phụ f (ψ ) (với ψ : phụ thuộc vào điều kiện biên)
biểu thị sự quan hệ giữa các thành phần ứng lực với nhau. Dùng phương trình cân bằng
và điều kiện biên về ứng lực có thể xác định được các hàm phụ được chọn. Các hàm
phụ này phải chọn sao cho điều kiện dẻo được thỏa mãn.
III. Ví dụ minh họa:
Tấm chữ nhật 4 biên tựa khớp chịu tải trọng tập trung tại điểm 14. Tìm những vị
trí tấm bị “chảy dẻo” hoàn toàn theo bề dày ứng với cận dưới của trạng thái giới hạn.
Các thông số tính toán như sau:
- Tấm kích thước: 18i x 12i (m)
- Môđun đàn hồi: E = 2,0.1011 (N/m2)
- Chiều dài đoạn chia: i = 0,5 (m)
- Chiều dày tấm: h = 0,01 (m)

HVTH: Tống Thị Như Hiển - Lớp CHXD1 - 2010

5


TIỂU LUẬN MÔN HỌC: PHÂN TÍCH KẾT CẦU NGOÀI GIỚI HẠN ĐÀN HỒI

- Hệ số poission: ν = 0,25
- Ứng suất chảy của vật liệu: σch = 3,0.108 (N/m2)
Chịu tải trọng tập trung P= 105 N tại vị trí 14 ứng với xo=7i; yo=3i

i

2i

3i

4i

5i

6i

7i

8i

9i

10i

x

i
2i
3i

4i
5i
6i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

7i

y

Bài làm:
Xét tấm chữ nhật bốn biên tựa khớp chịu tải trọng tập trung P tại điểm bất kỳ có tọa độ

xo; yo như hình vẽ

HVTH: Tống Thị Như Hiển - Lớp CHXD1 - 2010

6


TIỂU LUẬN MÔN HỌC: PHÂN TÍCH KẾT CẦU NGOÀI GIỚI HẠN ĐÀN HỒI

x
Yo=
3i

P
Xo=7i
14

y
Trong trường hợp này ta thay lực bằng tải trọng phân bố trên diện tích vô cùng bé dxdy:
P=q.dxdy

P

=> q = dx.dy

Khi tính hệ số qmn theo công thức
qmn

4 ab
mπ x

nπ y
=
∫ ∫ q ( x, y ).sin
.sin
.dxdy
ab 0 0
a
a

(1)

hàm số q(x,y) bằng không ở khắp mọi nơi, trừ điểm có tọa độ x=xo; y=yo.
đặt phần chuỗi trong công thức:
ab

K= 0∫ 0∫ q( x, y).sin

mπ x
nπ y
.sin
.dxdy
a
a

Với trường hợp trường hợp tải tập trung:
K = P.sin

mπ xo
nπ yo
.sin

a
b

Ta tính được:

HVTH: Tống Thị Như Hiển - Lớp CHXD1 - 2010

7


TIỂU LUẬN MÔN HỌC: PHÂN TÍCH KẾT CẦU NGOÀI GIỚI HẠN ĐÀN HỒI
mπ xo
nπ yo
sin
a
b
Amn =
2
2 2
m
n 
Π 4 Dab  2 + 2 ÷
b 
a
4 P.sin

Phương trình độ võng:
4P
w= 4
ΣΣ

Π Dab

sin

mπ xo
nπ yo
sin
a
b sin mπ x sin nπ y
2
a
b
 m2 n2 
+
 2
÷
b2 
a

Từ phương trình độ võng ta thay vào công thức tính mô men uốn và xoắn:
 ∂2w
∂2w 
M x = − D  2 +ν
÷;
∂y 2 
 ∂x

 ∂2w
∂2w 
M y = − D  2 + ν 2 ÷;

∂x 
 ∂y

M xy = − D.(1 −ν )

∂2w
∂x∂y

Với ν là hệ số Poison
D=

Eh3
là độ cứng trụ của tấm
12(1 −ν 2 )

Suy ra:

Mx =

My =

4P ∞ ∞
Σ Σ
Π 2 ab m =1 n =1

4P ∞ ∞
Σ Σ
Π 2 ab m =1 n =1

sin

sin

mπ xo
nπ yo  m 2
n2 
sin
+
ν

÷
a
b  a2
b2 
mπ x
nπ y
sin
sin
2
2 2
a
b ;
m
n 
 2 + 2÷
b 
a
 n2
m2 
+

ν
 2
÷
a2 
mπ x
nπ y
b
sin
sin
2
a
b ;
 m2 n2 
 2 + 2÷
b 
a

mπ xo
nπ yo
sin
a
b

HVTH: Tống Thị Như Hiển - Lớp CHXD1 - 2010

8


TIỂU LUẬN MÔN HỌC: PHÂN TÍCH KẾT CẦU NGOÀI GIỚI HẠN ĐÀN HỒI

M xy =

4 P (1 −ν )
Σ Σ
Π 2 a 2b 2 m =1 n =1
∞

∞

sin

mπ xo
nπ yo
sin
a
b cos mπ x cos nπ y
2
a
b ;
 m2 n2 
 2 + 2÷
b 
a

Điều kiện cận dưới của TTGH:
Mx2 + My2 – MxMy + 3Mxy2 = Md2 = (σch.h2/4)2 = σch2.h4/16

(*)

Thực hiện tính toán số bằng sự trợ giúp của phần mềm Visual basic như sau:

my
Function my(a, b, xo, yo, v, sovong, x, y)
Dim m, n, k1, k2 As Integer
my = 0
For k1 = 1 To sovong
m = k1 + 1
For k2 = 1 To sovong
n = k2 + 1
my = my + (Sin(m * 3.14 * xo / a) * Sin(n * 3.14 * yo / b)) * ((n ^ 2) / (b ^ 2) + v *
(m ^ 2) / (a ^ 2)) * (Sin(m * 3.14 * x / a) * Sin(n * 3.14 * y / b)) / ((m ^ 2) / (a ^ 2) + (n
^ 2) / (b ^ 2)) ^ 2
Next k2
Next k1
End Function
mxy
Function mxy(a, b, sovong, x, y)
Dim m, n, k1, k2 As Integer
mxy = 0
For k1 = 1 To sovong
m = k1 + 1
For k2 = 1 To sovong
n = k2 + 1
mxy = mxy + (Cos(m * 3.14 * x / a) * Cos(n * 3.14 * y / b)) / ((m ^ 2) / (a ^ 2) + (n ^
2) / (b ^ 2)) ^ 2

HVTH: Tống Thị Như Hiển - Lớp CHXD1 - 2010

9

TIỂU LUẬN MÔN HỌC: PHÂN TÍCH KẾT CẦU NGOÀI GIỚI HẠN ĐÀN HỒI

Next k2
Next k1
End Function
mx
Function mx(a, b, xo, yo, v, sovong, x, y)
Dim m, n, k1, k2 As Integer
mx = 0
For k1 = 1 To sovong
m = k1 + 1
For k2 = 1 To sovong
n = k2 + 1
mx = mx + (Sin(m * 3.14 * xo / a) * Sin(n * 3.14 * yo / b)) * ((m ^ 2) / (a ^ 2) + v *
(n ^ 2) / (b ^ 2)) * (Sin(m * 3.14 * x / a) * Sin(n * 3.14 * y / b)) / ((m ^ 2) / (a ^ 2) + (n ^
2) / (b ^ 2)) ^ 2
Next k2
Next k1
End Function

HVTH: Tống Thị Như Hiển - Lớp CHXD1 - 2010

10