l10 dấu nhị thức bậc nhất và dấu tam thức bậc 2 t1,2015

x
∞−
1 2
∞+

2x-2 - 0 + +
x-2 - - 0 +
f(x) + 0 - // +
Toán BD 10 GV: Nguyễn Thị Nga
§3 Dấu của nhị thức bậc nhất
1. Định nghĩa:
Nhị thức bậc nhất là biểu thức dạng f(x) = ax+b (a
)0≠
2. Định lý :
Bên trái nghiệm số trái dấu với a, bên phải nghiệm số cùng dấu với a.
x
∞−

a
b
−

∞+
f(x) traùi daáu a 0 cuøng daáu a
* Ví dụ : xét dấu f(x) = 2x+3
Giải
Đặt f(x)=0  2x+3= 0  x =
2
3
−

x
∞−

2
3
−

∞+
f(x) 0 +
3/ Xét dấu biểu thức dạng tích hoặc thương các nhị thức bậc nhất
Phương pháp: ta xét dấu từng nhị thức bậc nhất trên cùng một bảng xét
dấu,sau đó tổng hợp dấu lại ta được dấu của biểu thức.
* Ví dụ 1: Xét dấu biểu thức A=(x-2)(5-3x)
Giải
Đặt x-2=0 x= 2
5-3x= 0
3
5
=x
Lập bảng xét dấu:
x
∞−

35
2
∞+
x-2 - - 0 +
5-3x + 0 - -
A - 0 + 0 -
Vậy A < 0 

);2()
3
5
;( +∞∪−∞∈x
; A > 0 
)2;
3
5
(∈x
;
A= 0 ⇔ x=2; 5/3
* Ví dụ 2: xét dấu biểu thức B =
174
)3)(12(
−
−−
x
xx

4/ Giải bất phương trình (có ẩn ở mẫu số) quy về tích, thương các nhị
thứ bậc nhất
Để giải phương trình dạng này ta xét dấu biểu thức dạng tích hoặc
thương các nhị thức bậc nhất đó. Sau đó kết hợp với chiều củ bất phương
trình ta sẽ tìm được tập nghiệm củ bất phương trình đó. ( phần nào không
lấy thì gạch bỏ)
Ví dụ : Giải cácbất phương trình sau
a)
1
2
43

>
−
−
x
x
b)
xx −
<
+
−
2
3
13
4

Giải
a) Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho

1
2
43
>
−
−
x
x

0
2
22

01
2
43
>
−
−
⇔>−
−
−
x
x
x
x
Đặt 2x-2 = 0  x=1
x-2 = 0  x = 2
Xét dấu biểu thức f(x)=
2
22
−
−
x
x

Vậy S=
);2()1;( +∞∪−∞
b) Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho

xx −
<
+

−
2
3
13
4

0
2
3
13
4
<
−
−
+
−
xx

0
)2)(13(
115
<
−+
−−
xx
x

Xét dấu biểu thức f(x)=
)2)(13(
115

xx
x
−+
−−


Vậy S =
)2;
3
1
()
15
11
;(
−∪−−∞
Cố gắng là tất cả những gì chúng ta phải làm, cho dù kết quả cuối cùng là thành công hay thất bại!
1
Toán BD 10 GV: Nguyễn Thị Nga
5/ Phương trình, bất phương trình chứa trị tuyệt đối
1. Định nghĩa: là phương trình chứa biểu thức trị tuyệt đối của biến x
trong phương trình
2. Phương pháp: ta sử dụng định nghĩa để giải phương trình. Nếu có
từ hai biểu thức trị tuyệt đối trở lên ta phải lập bảng xét từng biểu thức
trên cùng một bảng, sau đó căn cứ vào bảng xét dấu để giải.
* Chú ý 1: Các dạng cơ bản của bpt chứa trị tuyệt đối

| ( ) | | ( ) | ( (x) g(x) )( f(x) g(x) ) 0
( ) ( )
|f(x)| g(x)
( ) ( )

f(x)> g(x)
|f(x) | g(x)
f(x) g(x)
f x g x f
f x g x
f x g x
< ⇔ − + <
<

< ⇔

> −


> ⇔

< −

3. Ví dụ
3.1 Ví dụ 1: giải phương trình
| x-1| + | 2x-4 | = 3 (1)
Giải
Ta xét dấu các biểu thức x-1;2x-4

x
∞−
1 2
∞+

x-1 - 0 + +

2x-4 - - 0 +
* Nếu x
)1;(−∞∈
thì (1) -(x-1)-(2x-4)=3
-3x = -2  x =
3
2
(nhận)
* Nếu x
)2;1[∈
thì (1) x-1-(2x-4) = 3
 x = 0
)2;1[∉
(loại)
* Nếu x
);2[ +∞∈
thì (1) x-1+2x-4 = 3
 3x=8 x =
3
8
(nhận)
Vậy S =






3
8

;
3
2

3.2 Ví dụ 2: giải các bất phương trình sau:
a) | x-2 | > x+1 b) | 2x+1 | < x
Tóm tắt lý thuyết
1. Giải và biện luận PT bậc nhất dạng ax + b >0ax > -b (1)
Biện luận: + Nếu a = 0 thì (1) 0.x > -b
- nếu b > 0 thì bất phương trình có vô số nghiệm.
- nếu b
≤
0 thì bất phương trình vô nghiệm.
+ Nếu a > 0 thì bpt có nghiệm x >
a
b
−
.
+ Nếu a < 0 thì bpt có nghiệm x
a
b
−<
.
Kết luận
2. Xét dấu nhị thức bậc nhất f(x) = ax+b (a
≠
0)
x -
∞
-b/a +

∞
f(x) Trái dấu a 0 Cùng dấu a
* Chú ý : Xét biểu thức dạng tích hoặc thương các nhị thức bậc nhất
( ví dụ : (ax+b)(cx+d)…(fx+k);
))((
)) ()((
mkxhgx
fexdcxbax
++
+++
…) ta xét dấu
tất cả các nhị thứ bậc nhất trên cùng một bảng xét dấu.
* Các bước xét dấu biểu thức :
B1 : Đưa biểu thức đã cho về dạng ax+b hoặc dạng tích hoặc
thương các nhị thức bậc nhất.
B2 : Tìm nghiệm các nhị thức bậc nhất.
B3 : Xét dấu tất cả các nhị thức trên cùng một bảng xét dấu.
B4 : Tổng hợp => kết luận.
3. Giải bất phương trình bậc nhất
B1 : Đưa bpt về f(x)>0 hoặc f(x)<0 hoặc f(x)
≥
0 hoặc f(x)
≤
0.
B2 : Xét dấu biểu thức f(x).
B3 : Kết hợp với chiều của bất phương trình => tập nghiệm.
4. Giải hệ gồm 2 bất phương trình bậc nhất dạng







(2) pt Baát
(1) pt Baát
(I)
B1 : Giải bất phương trình (1) => Tập nghiệm S
1
.
B2 : Giải bất phương trình (2) => Tập nghiệm S
2
.
B3 : Tập nghiệm S của hệ (I) là S = S
1
∩
S
2
.
Cố gắng là tất cả những gì chúng ta phải làm, cho dù kết quả cuối cùng là thành công hay thất bại!
2
Toán BD 10 GV: Nguyễn Thị Nga
BÀI TẬP 1
B1/ Xét dấu các biểu thức sau:
a) f(x)= (2x−1)(x+3) b)f(x)= (−3x−3)(x+2)(x+3)
c) f(x)=
4 3
3 1 2x x
−
−
+ −

d) f(x)= 4x
2
−1
B2/ Giải các bất phương trình sau
2
2
2
2 5 1 1
) b)
1 2 1 1
( 1)
1 2 3 3 1
) d) 1
4 3
1
a
x x x
x
x x
c
x x x
x
≤ <
− − +
−
− +
+ < <
+ +
−
Đáp số: a) S=(1/2;1) ∪[3;+∞) b) S= (−∞;−1) ∪ (0;1) ∪ (1;3)

c) S= (−12;−4) ∪ (−3;0) d) S= (−∞;−5) ∪ (−1;1) ∪ (1;+∞)
B3/ Giải bất phương trình
a) |5x−4|≥ 6 b)
5 10
2 1x x
−
<
+ −
c) |2x−1|≤ x+2 c) |x−1|≤ 2+−x−4|+x−2
Đáp số: a) S= (−∞;−2/5) ∪ [2;+∞) b) S= (−∞;−5) ∪ (−1;1) ∪ (1;+∞)
c) S= [−1/3;3] d) S= [−5/4; +∞)
B4/ Xét dấu các biểu thức sau
a) f(x)= (−2x+3)(x−2)(x+4) b) f(x)=
2 1
( 1)( 2)
x
x x
+
− +
c) f(x)=
3 1
2 1 2x x
−
− +
d) f(x)= (4x−1)(x+2)(3x−5)(−2x+7)
B5/ Giải các bất phương trình sau
a)
3
1
2 x

<
−
b)
2
2
3
1
4
x x
x
+ −
≥
−
c)
1 1 1
1 2 2x x x
+ >
− + −
d) |x−3| > −1
e) |5−8x|≤ 11 f) |x+2|+|−2x+1| ≤ x+1
Đáp số: a) S= (−∞;−1) ∪ (2;+∞) b) S= (−2;−1] ∪ (2;+∞)
c) S= (−2;0) ∪ (1;2) ∪ (4;+∞) d) S= R
e) S= [−3/4;2] f) Vô nghiệm
B6*/ Lập bảng xét dấu các biểu thức sau
2
2
2 2
4 3 2
B=1 ( 2) (3 )
2 1 3 2

( 3)
D= 6 F= 2x (2 3) 3
( 5)(1 )
x x
A C x x x
x x
x x
E x x x
x x
− −
= − = − −
+ −
−
= − + + − + +
− −
G=(3x−1)(x+2) H=
2 3
5 1
x
x
−
−
K= (−x+1)(x+2)(3x+1)
L=
2
2
3 2
x
x
+

−
−
M= 9x
2
−1 N= −x
3
+7x−6
O= x
3
+x
2
−5x+3 P=x
2
−x−
2 2
Q=
1 1
3 3x x
−
− +
R=
2
2
6 8
8 9
x x
x x
− +
+ −
S=

2
4 2
4 4
2
x x
x x
+ +
−
T=
2
| 1| 1
1
x
x x
+ −
+ +
B7/ Giải các bất phương trình sau
(3 )( 2) 3 5
) 0 b)
1 1 2 1
) | 2 2 | | 2 | 3 2 d) | ( 2 3) 1| 2 3
x x
a
x x x
c x x x x
− −
≤ ≥
+ − +
− + − > − − + ≤ +
e) (

2−
x+2)(x+1)(2x−3)>0 f)
4 1
3
3 1
x
x
− +
≤ −
+
Đáp số: a) S=(−1;2] ∪ [3;+∞) b) S=(−∞;−1/2) ∪ [2/11;1)
c) S= (−∞;1) d) [−5−2
6 3 2;+ +
5+2
6 3 2+ +
]
e) S=(−∞;−1) ∪(
2
;3/2) f) S=[−4/5;−1/3)
8/ Giải và biện luận bất phương trình
a) mx+4>2x+m
2
b) 2mx+1≥ x+4m
2
d) x(m
2
−1) < m
4
−1 e) 2(m+1)x ≤ (m+1)
2

(x−1)
9/ Giải các bất phương trình sau
3 2
) ( 3 2)( 1)(4 5) 0 b) 0
(3 1)( 4)
3 1 2 2
) 2 d)
2 1 3 1 2 1
x
a x x x
x x
x x x
c
x x x
−
− + + − > <
− −
− + + −
≤ − ≤
+ + −
B10/ Giải hệ bất phương trình
Cố gắng là tất cả những gì chúng ta phải làm, cho dù kết quả cuối cùng là thành công hay thất bại!
3
Toán BD 10 GV: Nguyễn Thị Nga
2 1
( 3)( 2 ) 0
) b)
2 1 3
4 3
3

| | 1
2
x x
a
x x
x
x
x


− − >
≤
 
− −
 
−
< +
 
<


Đáp số: a) S= (
2
;3) b) S=(−1;1/2)
B11/ Tìm nghiệm nguyên của hệ bất phương trình
5 1
6 4 7 15 2 2
7 3
) b)
8 3 3 14

2 25 2( 4)
2 2
x x x x
a
x x
x x
 
+ > + − > +
 
 
 
+ −
 
< + − <
 
 
Đáp số: a) S={4;5;6;7;8;9;10;11} b) S={1}
B12/ Giải các phương trình và bất phương trình sau
a) |x+1|+|x−1|=4 b)
| 2 1| 1
( 1)( 2) 2
x
x x
−
>
+ −
c) |5+x|+|x−3|=8
d) |x
2
−5x+6|=x

2
−5x+6e) |2x−1|= x+2 f) |x+2|+|x−1|=5
g) |3x−5|<2 h)
2
2
1
x
x
−
≥
+
k) |x−2|>2x−3
Đáp số: a) S={−2;2} b) S= (−4;−1)∪(2;5) c) S=[−5;3]
d) S= x≤2 hoặc x>3 e) S={−1/3;3} f) S={−3;2}
g) S=(1;7/3) h) S=(−4;−1)∪(−1;0] k) S=(−∞;5/3)
13. GBPT:
1
23
4
/;62634/
;1245/;4752/;021/
2
2
2
2
≥
++
−
−<−+−
−>−−≥+<−−

xx
xx
exxxxd
xxcxxbxxa
14. GBPT :
132/4223/;25/
;23131/;524/;218/
222
2
+<−−−−≥+−−>−
>−−−≥−<+
xxxfxxxexxd
xxcxxbxxa
15/* Giải và biện luận phương trình
a) (2x−
2
)(x−m)>0 b)
3
0
2 1
x
x m
−
≤
− +
BÀI TẬP 3
1/ Giải và biện luận các bất phương trình sau
a) (m +1)
2
x > 2mx + m b) (m

2
+m)x - m
2
- 2m
≥
0
c) (m+1)x
≤
2m(x+1)+2+x. d) m
2
x-1 > x+m
e)
1m
1mx
1-m
1mx
+
−
>
+
m
1±≠
f)
2)x(m
1m
1x
1m
1-x
x +−
+

+
>
+
+
m
≠
-1.
2/ Giải bất phương trình
a) 2x
2
- 5x + 2 > 0 b) (x-2)
2
(x-4) < 0 c) -4 + x
2

≤
0
d) 25(x+10)(-x+1)
≤
0 e) 16x
2
+ 40x + 25 < 0 f)
0
)1(
10
>
+xx
g)
9
15

3
4
3
2
2
−
−
≤
+
+
−
x
x
xx
h)
1
9
12
18
1
≤
+−
+
+
xx
k)
0
)23)(2(
25
<

−−+−
−
xx
l)
12
2
1
1
−
>
− xx
m)
0
1
3
2
2
3
2
1
≤
−
+
+−
x
x
; n)
1
23
2

1
≤
+−
−
xx
x
3/ Giải các hệ bất phương trình sau
a)





+<+
+≥+
19234
7213
xx
xx
b)







≤
−
−+

≥
−
+
0
1
)42)(2(
1
1
32
x
xx
x
x

c)







−≥+
≥
+
+
4
1
2
0

12
1
2
xxx
x
x
d)





−<−
−
>
+
22
)23()195(
2
1
2
1
xx
xx

e)








+
+
≤
+
+
+
+
>
+
+
52
23
23
52
4
3
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x
f)








≥
−
+−+
>+++
0
2
)2)(23)(1(
0)5)(3)(2(
2
x
xxx
xxx

Đáp số: a) S = [6 ; 8),b) S =(-
∞
; -4]
∪
(1;2] c) S = (-
∞
;-1]
∪
(-
2

1
;+
∞
)
d) S = (-1;2) e) S = (- 4; -
2
5
) f) S = (-2;-
3
)
∪
[-1;
2
)
∪
[
2
3
;+
∞
)

Cố gắng là tất cả những gì chúng ta phải làm, cho dù kết quả cuối cùng là thành công hay thất bại!
4
Toán BD 10 GV: Nguyễn Thị Nga
§4 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
I/ Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Định nghĩa: là những bất phương trình có dạng ax+by+c > 0 ;
ax+by+c < 0 ,trong đó a,b,c
R∈

, a
2
+b
2
0
≠
.
2. Cách giải : để giải bpt ax+by+c > 0 ta vẽ đồ thị của đường thẳng
ax+by+c = 0. Khi đó:
+ Nếu đường thẳng không đi qua gốc toạ độ thì ta thay góc toạ độ
(0;0) vào vế trái bất phương trình để xác định miền nghiệm.
+ Nếu đường thẳng đi qua góc toạ độ thì ta lấy một điểm bất kì trong
mặt phẳng thay vào vế trái bất phương trình để xác định miền nghiệm.
* Ví dụ: Giải các bất phưng trình sau:
a) x-3y < -3  x-3y+3 < 0 (1)
Vẽ đường thẳng x-3y+3= 0
x
0
y
x-3y+3=0
1
-3
Thay O(0;0) vào (1)⇒ 3<0 ⇒ O(0;0) không thỏa (1) ⇒ ta
gạch bỏ phần chứa gốc toạ độ. Miền không gạch là miền nghiệm .
b) x-2y > 0
vẽ đồ thị đường thẳ x-2y = 0 , thay (0;1) vào vế trái
ta được VT= -2 > 0 (!) => miền chứa (0;1) không phải là miền nghiệm.

x
y

0
1
1/2
II. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
1. Định nghĩa: là hệ có từ hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn trở
lên.
2. Cách giải: để giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ta giải từng
bất phương trình trong hệ rồi biểu diễn chúng lên cùng một hệ trục toạ độ,
miền còn trống là miền nghiệm của hệ bất phương trình.
Ví dụ 1: giải hệ





>+
−<−
>−
(3) 5
(2) 33
(1) 0
yx
yx
yx

Giải
Ta vẽ các đường thẳng
(d1): x-y= 0 (d2): x-3y+3= 0 (d3): x+y-5= 0
I
x

(d3)
(d1)
(d2)
-3
5
5
0
1
1
Miền I là miền nghiệm.
Cố gắng là tất cả những gì chúng ta phải làm, cho dù kết quả cuối cùng là thành công hay thất bại!
5
Toán BD 10 GV: Nguyễn Thị Nga
BÀI TẬP
Bài 1: Giải các bất phương trình bậc nhất hai ẩn
a) x+3 +2(2y+5) < 2(1-x) b) 4(x-1) + 5(y-3) > 2x-9
c) 2x-y≤ 3 d) 3+2y >0
e) 2x-1<0 f) x-5y < 2
g) 2x+y> 1 h) -3x+y+2 ≤ 0
k) 2x-3y+5 ≥ 0
Bài 2: Giải các hệ bất phương trình hai ẩn
a)





>+
−<−
>−

5
33
0
yx
yx
yx
b)









≥
≤+−
≥−+
0
4
2
3
)1(2
01
32
x
y
x
yx

d)







≤
−≥
−≥
≥+
6
82
3
93
y
xy
yx
yx
e)
{
3 0
2 3 1 0
y
x y
− <
− + >
Bài 3: Gọi S là tập hợp các điểm trong mặt phẳng toạ độ Oxy có toạ độ

thoả mãn hệ bất phương trình:








≥
≤+
≤−
−≤+−
0
5
22
22
x
yx
yx
yx
.Tìm các điểm của S làm cho biểu thức F = y-x
đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4: Gọi S là tập hợp các điểm trong mặt phẳng toạ độ Oxy có toạ độ
thoả mãn hệ bất phương trình:

2 0
1 0
2 1 0
x y

x y
x y
+ + ≤


− − ≤


− + ≥

.Tìm các điểm của S làm cho biểu thức F =2x+3y
đạt giá trị max, min.
Cố gắng là tất cả những gì chúng ta phải làm, cho dù kết quả cuối cùng là thành công hay thất bại!
6
Tốn BD 10 GV: Nguyễn Thị Nga
§5 DẤU TAM THỨC BẬC HAI
I/ Tam thức bậc hai
1. Định nghĩa: Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng f(x) = ax
2
+bx+c
(a
≠
0).
2. Định lý (về dấu tam thức bậc hai)
Cho tam thức bậc hai f(x)= ax
2
+bx+c (a
≠
0) và
∆

= b
2
-4ac
+ Nếu
∆
< 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x.
+ Nếu
∆
= 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với
a
b
2
−≠∀
.
+ Nếu
∆
> 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x
1
,x
2
( giả sử x
1
< x
2
) :
x
0
Cùng dấu
hệ số a
-

∞
x1 x2 +
∞
Dấu của
f(x)
Cùng dấu
hệ số a
Trái dấu
hệ số a
0
* Chú ý : ta có thể thay
∆
bởi
'∆
Ví dụ 1: xét dấu các tam thức sau
a) f(x) = 3x
2
-2x+1 b) f(x) = -4x
2
+12x-9 c) f(x) =
x
2
-4x-5
Giải
a) cho f(x) = 0  3x
2
-2x+1 = 0. tính
'∆
= -2 < 0
vậy f(x) > 0

∀
x.
b) cho f(x) = 0  -4x
2
+12x-9 = 0. tính
'∆
= 0
vậy f(x) < 0
2
3
≠∀x
.
c) cho f(x)= 0 x
2
-4x-5 = 0. tính
'∆
= 9
=> x
1
=-1 ;x
2
= 5
x
0
+
-
∞
-1 5 +
∞
f(x)

+
_
0
vậy f(x) > 0
);5()1;( +∞∪−−∞∈∀x

f(x) < 0
)5;1(−∈∀x
f(x) = 0 khi x= -1 , x = 5
Ví dụ 2: Xét dấu các biểu thức sau
a) A = (2x
2
+9x+7)(x
2
+x-6)
b) B =
2
2
2 5 7
3 10
x x
x x
− − +
− − +

Giải
a) Đặt 2x
2
+9x+7 = 0 





−=
−=
2
7
1
2
1
x
x
x
2
+x-6 = 0 



−=
=
3
2
2
1
x
x

+ - + - +
A
x

2
+9x+7 + 0 - - + +
x
0
-
∞
-
2
7
-3 -1 2 +
∞
0
0
0
0
0
0
x
2
+x-6 + + - - +
II/ Bất phương trình bậc hai
1. Định nghĩa: Bất phương trình bậc hai là bất phương trình có một
trong các dạng sau:
ax
2
+bx+c > 0 ; ax
2
+bx+c < 0 ; ax
2
+bx+c

≤
0 ax
2
+bx+c
≥
0
( a
≠
0).
2 .Cách giải: Để giải bất phương trình bậc hai ta xét dấu tam thức bậc
hai đó , kết hợp với chiều của bất phương trình ta sẽ tìm được nghiệm của
bất phương trình.
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau
a) 3x
2
+2x+5 > 0 S=R
b) -2x
2
+3x+5> 0 S=(-1;5/2)
c) -3x
2
+7x-4 < 0 S=(-∞;1) ∪(4/3;+∞)
d) 4x
2
-3x+1<0 Vơ nghiệm
e) 9x
2
-24x+16 < 0 S=R\{4/3}
Ví dụ 2 . Giải các bất phương trình sau
Cố gắng là tất cả những gì chúng ta phải làm, cho dù kết quả cuối cùng là thành cơng hay thất bại!

7
Toán BD 10 GV: Nguyễn Thị Nga
a) A = (2x
2
+9x+7)(x
2
+x-6) > 0 b) B =
2
2
2 5 7
3 10
x x
x x
− − +
− − +
< 0
Ví dụ 3. Xác định m để phương trình x
2
+2(m+2)x-2m-1=0 có
nghiệm
HD:
'∆
=m
2
+6m+5≥ 0 ⇔ m≤−5 hoặc m≥−1
* Chú ý: Bài toán tìm m để f(x)= ax
2
+bx+c không đổi dấu (>0, <0,
≥0, ≤0) trên R
+ Xét trường hợp a=0 (nếu a chứa tham số)

+ Nếu a≠0 thì:
0 0
( ) 0, ; ( ) 0,
0 0
a a
f x x R f x x R
> <
 
≥ ∀ ∈ ⇔ ≤ ∀ ∈ ⇔
 
∆ ≤ ∆ ≤
 
III/ Hệ bất phương trình bậc hai (10NC)
1. Định nghĩa : Là hệ gồm từ hai bất phương trình bậc hai trở lên.
2. Cách giải:
- Giải bất phương trình (1) tìm được S
1
- Giải bất phương trình (2) tìm được S
2

- Giải bất phương trình (n) tìm được S
n

Khi đó tập nghiệm của hệ là: S = S
1
∩
S
2
∩
…

∩
S
n

Ví dụ 1. Giải các hệ bất phương trình sau
a)





<−+
>++
06
0792
2
2
xx
xx
Giải
Giải bpt(1) được S1 =
);1()
2
7
;( +∞−∪−−∞
; Giải bpt(2)
dược S2 = (-3;2)
Vậy nghiệm của hệ là S = S1
∩
S2= (-1;2)

b)





<+−
>+−
01811
0452
2
2
xx
xx
Ví dụ 2. Tìm m thì bpt phương trình sau (2m+1)x
2
+3(m+1)x+m+1 < 0
(*) vô nghiệm.
Giải
+ với a = 0 m=
2
1
−
⇒ (*) 
3
1
0
2
1
2

3
−<⇔<+ xx
. vậy m =
2
1
−
không thoả
+ với a
≠
0  m
≠
2
1
−
khi đó phương trình đã cho vô nghiệm




≤++−+
>+
⇔



≤∆
>
0)1)(12(4)1(9
012
0

0
2
mmm
m
a

φ
=⇒





−≤≤−
−>
S
m
m
15
2
1

vậy không có giá trị nào của m để phương trình vô nghiệm.
Cố gắng là tất cả những gì chúng ta phải làm, cho dù kết quả cuối cùng là thành công hay thất bại!
8
Toán BD 10 GV: Nguyễn Thị Nga
* Chú ý: Bài toán tìm m để f(x)= ax
2
+bx+c không đổi dấu (>0, <0, ≥0, ≤0)
trên R

+ Xét trường hợp a=0 (nếu a chứa tham số)
+ Nếu a≠0 thì:

0
( ) 0,
0
0
( ) 0,
0
a
f x x R
a
f x x R
>

∀ ∈ ⇔

∆

<

∀ ∈ ⇔

∆

≥
≤
≤
≤
* Xét dấu các nghiệm phương trình bậc hai

Giả sử phương trình bậc hai có hai nghiệm x
1
,x
2
thì:
x
1
< 0 < x
2
 P < 0 (hai nghiệm trái dấu)
x
1
≤
x
2
< 0 





<
≥∆
>
0
0
0
S
P
( hai cùng âm)

0 < x
1
≤
x
2






>
≥∆
>
0
0
0
S
P
(hai cùng dương)
BÀI TẬP 1
1/ Xét dấu các tam thức bậc hai sau
a) 2x
2

+5x+2 b) 4x
2

−3x−1 c) −3x
2

+5x+1 d) 3x
2
+x+5
2/ Giải các bất phương trình sau
a) x
2

−2x+3>0 b) x
2

+9>6x c) 6x
2

−x−2≥0 d)
1
3
x
2
+3x+6<0
e)
2
2
9 14
0
9 14
x x
x x
− +
≥

+ +
f)
2
2
1
0
3 10
x
x x
+
<
+ −
g)
2
10 1
2
5
x
x
−
>
+
h)
1 1
2
1
x x
x x
+ −
+ >

−
i)
1 2 3
1 3 2x x x
+ <
+ + +
Đáp số: a)
e) S=(−∞;−7)∪(−2;2]∪[7;+∞)
3/ Cho phương trình mx
2
−2(m−1)x+4m−1=0. Tìm m để phương trình có:
a) Hai nghiệm phân biệt.
b) Hai nghiệm trái dấu.
c) Hai nghiệm dương.
d) Hai nghiệm âm.
HD: ∆' =
− − +
12 m
2
4 m 4
=0
⇔

1 13
3
m
− ±
=
4/ Tìm m để các phương trình sau nghiệm đúng với mọi x
a) mx

2
−4(m−1)x+m−5≤ 0 ∆=
− + 12 m
2
12 m 16
b) 5x
2
−x+m> 0 ∆= −20m+1
c) mx
2
−10x−5<0 ∆= 5m+25
d)
2
2
2
1
3 4
x mx
x x
− −
> −
− +
Vì
2
3 4x x− +
>0 với mọi x
nên qui dồng bỏ mẫu
∆=
+ −
m

2
6 m 7
e) m(m+2)x
2
+2mx+2>0
∆
=
−
4m
2
−
16m
Đáp số: a) không có m b) m> 1/20 c) m< −5 d) −7<m<1
e) m<−4 hoặc m≥0
5/ Tìm m để các phương trình sau vô nghiệm
a) 5x
2
−x+m ≤0 mx
2
−10x−5≥0
6/ Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt
a) (m
2
+m+1)x
2
+(2m−3)x+m−5=0
b) x
2
−6mx+2−2m+9m
2

=0
Đáp số: a) không có m b) 0<m<1
BÀI TẬP 2
Bài 1: Xét dấu các tam thức bậc hai
a) 3x
2
-2x+1 b) -x
2
+4x+5
Cố gắng là tất cả những gì chúng ta phải làm, cho dù kết quả cuối cùng là thành công hay thất bại!
9
Toán BD 10 GV: Nguyễn Thị Nga
c) -4x
2
+12x-9 d) 3x
2
-2x-8.
Bài 2: Giải các bất phương trình sau
a) 2x
2
-5x+2 < 0 b) -5x
2
+4x+12 < 0
c) 16x
2
+40x+25 > 0 d) -2x
2
+3x-7 > 0
e) 3x
2

-4x+4
≥
0 f) x
2
-x-6
≤
0.
Bài 3: Tìm các giá trị của m để các phương trình sau có nghiệm
a) (m-5)x
2
-4mx+m-2 = 0
b) (m-2)x
2
+2(2m-3)x+5m-6 = 0
c) (3-m)x
2
-2(m+3)x+m+2 = 0.
Bài 4: Xác định m để các tam thức sau dương với mọi x
a) 3x
2
+2(m-1)x+m+4 ∆=
− − 4 m
2
20 m 44
=0
⇔
m=
, +
5
2

69
2
−
5
2
69
2
b) x
2
+(m+1)x+2m+7 ∆=
− − m
2
6 m 27
=0
⇔
m=9;
−
3
c) 2x
2
+(m-2)x-m+4. ∆=
+ − m
2
4 m 28
=0
⇔
m=
,− + 2 4 2 − − 2 4 2
Bài 5: Giải các bất phương trình sau
a)

1 5
1
2 2x x
+ >
− +
; Kq
2
: −2<x<2
b)
2
3
1
1x x
≥
− +
; Kq
2
: −1≤x≤2
Bài 6: Tìm m để
a) (m+2)x
2
−2(m−1)x+m−2<0, ∀ x ∈ R
∆= −8m+20
b) (m
2
−m−6)x
2
+2(m+2)x+1>0, ∀ x ∈ R
∆= 20m+40
BÀI TẬP THÊM

Bài 1 : Giải các phương trình sau :
a) x
2
-
011 =−−x
; x = 1 ; -2.
b) | -3x
2
+ 4x + 4 | = | 4 -x
2
| ; x = -1; 0 ; 2.
c) | -2x + 3| - |-4x + 3 | = 3 - | 2x + 3 | ; x = 0 hoặc x
≥
3/2.
d) | x-1 | + | x - 2 | = 3 ; x = 0 ; 3.
e) | 3|x-2| - 3 | = 3 ; x = 0 ; 2 ; 4.
f) | 3x - 2 | + x = 11 ; x = 13/4 ; -9/2.
g) | x | - | x - 2 | = 2 ; x
≥
2.
h) | x - 3 | + 2| x - 1 | = 4 ; x = 3 ; 1/3.
i) 3 | x
2
- 4x + 2 | = 5x +16 ; x =
6
40917 ±
j)
xx 3632 =++
; x = 3.
k)

xxx −=++ 242
2
; x = -1 ; -2.
l)
2
2
24 −=−+ xxx
; x = 3.
m)
6315 =−+− xx
; x = -1.
n)
265123 =+−+ xx
; x = -1.
o)
16244 +=−++ xxx
; x = -4 ; 0.
p)
4462 −=+−+ xxx
; x = 5.
q)
1413 =+−+ xx
; x = 5.
r)
2111 =−−− xx
; x = 2.
Bài 2 : Giải các bất phương trình sau :
a) | 1 - x
2
|

≤
(1+x)
2
; x = -1 hoặc x
≥
0 .
b) | x
2
- x +1 |
≤
| 3x - 4 - x
2
| ; x
≤
3/2.
c) | x
2
-3x+2 | > | x
2
+ 3x + 2 | ; x < 0.
d) | x
2
+ 6x -7 | < x + 6 ; S = (
2
775
;
2
537 +−+−
).
e) 2 | x+1 | > x + 4 ; x < -2 hoặc x > 2.

f) | x
2
+ x | - 5 < 0 ; S =(
2
211
;
2
211 +−−−
).
g) x
2
- | 5x + 8 | > 0 ; S=
);
2
575
()
2
575
;(
+∞
+
∪
−
−∞
.
h) x
2
+ 4
≥
| 3x + 2 | - 7x ; S =

);22[]195;(
+∞+−∪−−−∞
.
Cố gắng là tất cả những gì chúng ta phải làm, cho dù kết quả cuối cùng là thành công hay thất bại!
10
Toán BD 10 GV: Nguyễn Thị Nga
i)
1
2
|3|
>
+
++
x
xx
; S = (-5 ; -2 )
∪
(-1 ; +
∞
) .
j) | x +1 | + | x - 4 | > 7 ; x < -2 hoặc x > 5.
k)
126
2
+>+− xxx
; x < 1/8.
l)
112
2
+<−+ xxx

; S = (-169/25 ; -1]
∪
[0;+
∞
).
m)
xxx −<−− 712
2
; x
≤
-3 hoặc 4 < x < 61/13.
n)
2103
2
−≥+− xxx
; S = R.
o)
2
2
12 +<− xx
;
5/41 −<≤− x
hoặc 0 < x
≤
1.
p)
1241 +<− xx
; 0 < x < 1/4 .
q)
322

2
−>− xxx
; x > 3 .
r)
211 −+−<+ xxx
; S = (
+∞
+
;
3
722
).
s)
xxx −<−−−− 2237
; x < -2.
t)
195 >−−− xx
;
9
2
714
≤<
+
x
.
Bài 3 : Giải các phương trình,bất phương trình sau ( Đặt ẩn số phụ )
a) x
2
- 4x =
6128

2
2 −+− xx
; x = 2 .
b)
782
2
3152
2
3 =+−++− xxxx
; x = 1 ; -1/3.
c)
193
2
32
2
7
2
++=+++++ xxxxxx
; x = -2;1.
d) (x + 1)(x + 4) - 3
25
2
++ xx
= 6 ; x = -7 ; 2.
e) x
2
+ 2
43113
2
+≤+− xxx

; x
∈
[1;2].
f) (x + 5)(x - 2) + 3
)3( +xx
> 0 ; x < -4 hoặc x >1.
g)
125
2
375
2
3 ≥++−++ xxxx
; x
∈
[-2;-1]
∪
[-
2/3;1/3].
Cố gắng là tất cả những gì chúng ta phải làm, cho dù kết quả cuối cùng là thành công hay thất bại!
11
Toán BD 10 GV: Nguyễn Thị Nga
Cố gắng là tất cả những gì chúng ta phải làm, cho dù kết quả cuối cùng là thành công hay thất bại!
12