dl dao ve dấu tam nthức bậ 2

B¶ng xÐt dÊu tam thøc bËc hai
∆ < 0
DÊu cña biÖt thøc ∆ DÊu cña f(x)
af(x) > 0, ∀x ∈ R
af(x) ≥ 0, ∀x∆ = 0
∆ > 0
Ph­¬ng tr×nh f(x) = 0
cã hai nghiÖm x
1
< x
2
af(x) > 0, ∀x ∈ (-∞; x
1
) ∪ (x
2
; +∞)
af(x) < 0, ∀x ∈(

x
1
;x
2
)
∈ R

t5 Định lý đảo về dấu tam thức bậc hai
I. Định lý đảo về dấu tam thức bậc hai
II. So sánh một số với các nghiệm của một
tam thức bậc hai

định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax


+ bx + c (a

0),



R.
I - Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai
* f(x) có hai nghiệm phân biệt x

, x

(x

<x

)
1) Định lí:
* x

<

< x

.
Chứng minh.

Giả sử ta có: 0
a f (

) < 0
, khi đó theo bảng xét dấu của tam thức f(x)
Ta có : a.f(x) 0 , x R. Nên a.f(

) 0 ,

R (trái giả thiết)

Giả sử

(x
1
;x
2
)

(- ; x
1
] U [x
2
; +) a.f(

) 0, vô lý !
( p \ c )
Vậy
> 0 . f(x) có hai nghiệm phân biệt x

, x

Do đó
x

<

< x

.

HÖ qu¶ 1.
Cho tam thøc bËc hai f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
f(x) = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt x
1
, x
2
(x
1
< x
2
) ⇔ ∃α : a.f(α) < 0
VÝ dô1: Chøng minh r»ng víi mäi m, ph­¬ng tr×nh sau lu«n
cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x
2
- (2m
2

+1+ 2m
2
+1) x+2m
2
= 0
- 2m
2
+1
⇒ a.f(1) < 0 víi mäi m ⇒ Theo hÖ qu¶ 1 ph­¬ng tr×nh lu«n
cã hai nghiÖm ph©n biÖt.
f(1) =
Ta cã a = 1Gi¶i:
1- (2m
2
+1+ 2m
2
+1) +2m
2
=

Hệ quả 2.
Cho f(x) = ax
2
+ bx + c = 0 (a 0). Và hai số ,

R ( < ).
Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm,
f().f() < 0 (1)
Chứng minh.
f()f() < 0

af() . af() < 0 ( 1)
Ta có với a 0 :

a.f() < 0
a.f() > 0
a.f() > 0
a.f() < 0
Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm x
1
< x
2

Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm x
1
< x
2


1nghiệm thuộc (, ), nghiệm kia
nằm ngoài đoạn [, ]
*Theo định lý đảo:
* Ngược lại : Nếu xảy ra khả năng (2) hoặc (3) .Thì:
af() . af() < 0
Vậy : f()f() < 0 (đpcm)
và x
1
< < x
2
(2)<
x

1
< < x
2
(3) <