SKKN Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN – GTLN của một biểu thức

Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN – GTLN của một biểu thức
Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN), giá trị lớn nhất (GTLN) của một biểu
thức nhiều biến là một bài toán bất đẳng thức và đây là một trong những dạng toán khó
ở chương trình phổ thông. Trong đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng hàng năm, nội
dung này thường xuất hiện ở dạng câu khó nhất. Trong Sách giáo khoa Giải tích 12 thì
chỉ trình bày cách tìm GTNN, GTLN của hàm số (tức biểu thức một biến số). Vì vậy,
một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa một biến trở nên đơn
giản. Tuy nhiên thực tế, hầu hết học sinh là không giải quyết được cho bài toán từ hai
biến trở lên, thậm chí còn có tâm lí không đọc đến.
Qua quá trình giảng dạy lớp chuyên Toán và luyện thi Đại học tôi đã tích lũy
được một số kinh nghiệm cho nội dung này. Các vấn đề trình bày trong sáng kiến kinh
nghiệm là chuyên đề được ứng dụng trong giảng dạy lớp 11T2 chuyên Toán của
trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu và các lớp luyện thi Đại học. Sáng kiến kinh
nghiệm này là sự tổng kết có chọn lọn các chuyên đề của bản thân đã viết ra trong thực
tiễn giảng dạy cùng với sự đóng góp nhiệt tình của quý Thầy, Cô trong Tổ Toán – Tin
trường THPT chuyên Thoại Ngọc Hầu.
Đề tài này xuất phát từ những lí do sau:
• Giúp học sinh có thêm kiến thức và tự tin hơn trong việc giải quyết bài toán khó
này.
• Giúp cho quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp dạy Toán có một tài liệu tham
khảo trong quá trình giảng dạy bộ môn của mình. Và qua chuyên đề này tôi hy
vọng quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp sẽ yêu thích hơn trong việc giảng dạy
chuyên đề này. Thực tế một số Thầy, Cô không thích dạy, và kể cả những Thầy,
Cô nhiều năm luyện thi Đại học cũng không đi sâu lắm về chuyên đề này.
Giáo viên: Trần Phi Thoàn
1
Phần mở
đầu
1. Bối cảnh của đề tài
2. Lý do chọn đề tài
Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN – GTLN của một biểu thức

- Đề tài này có thể áp dụng rộng rãi cho tất cả giáo viên dạy Toán ở các trường trung
học phổ thông tham khảo và các em học sinh lớp 12 ôn thi Đại học, Cao đằng.
- Phạm vi nghiên cứu của đề tài này bao gồm:
+ Nhắc lại cách tìm GTNN, GTLN của hàm số thông qua một vài ví dụ.
+ Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa hai
biến bằng cách thế một biến qua biến còn lại.
+ Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa hai
biến bằng cách đặt ẩn phụ theo tính đối xứng
t x y= +
,
2 2
t x y= +
hoặc
t xy=
.
+ Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa hai
biến bằng cách đặt ẩn phụ theo tính đẳng cấp
x
t
y
=

+ Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa ba
biến bằng cách đặt ẩn phụ hoặc thế hai biến qua một biến còn lại.
Bản thân nghiên cứu đề tài này nhằm mục đích:
- Chia sẻ với quý Thầy, Cô, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh kinh nghiệm để
giải quyết bài toán tìm GTNN, GTLN trong đề thi tuyển sinh Đại học.
- Bản thân nhằm rèn luyện chuyên môn nhằm nâng cao nghiệp vụ sư phạm.
- Hưởng ứng phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm của trường THPT chuyên Thoại
Ngọc Hầu.

Sáng kiến được chia thành ba phần :
Phần mở đầu
Phần nội dung: gồm 3 chương
Chương 1. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
Chương 2. Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN, GTLN của
biểu thức
Chương 3. Một số bài toán trong các đề thi tuyển sinh Đại học
Phần kết luận
Giáo viên: Trần Phi Thoàn
2
3. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu
4. Mục đích nghiên cứu
5. Cấu trúc SKKN
Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN – GTLN của một biểu thức
Chương I
GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT , GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ
Trong mục này chúng tôi trình bày lại một số kiến thức về đạo hàm và một số
công thức về đạo hàm.
1.1 Định lí. Giả sử
D
là một khoảng hay hợp các khoảng.
Nếu hai hàm số
( )
u u x=
và
( )
v v x=
có đạo hàm trên
D
thì

( )
;u v u v
¢
¢ ¢
+ = +
( )
;u v u v
¢
¢ ¢
- = -
( )
;uv u v uv
¢
¢ ¢
= +
( )
;ku ku
¢
¢
=
( )
2
u u v uv
v
v
¢ ¢
-
¢
=
, với

( )
0v x ¹
1.2.Định lý. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp
( )
0c
¢
=
(
c
là hàng số)
( )
1x
¢
=
( )
( )
1n n
x nx x
-
¢
= Î ¡
( )
1n n
u nu u
-
¢
¢
=
( )
2

1 1
x
x
¢
= -
( )
2
1 u
u
u
¢
¢
= -
( )
( )
1
2
0
x
x x
¢
= >
( )
2
u
u
u
¢
¢
=

( )
x x
e e
¢
=
( )
u u
e e u
¢
¢
=
( ) ( )
1
ln 0
x
x x
¢
= >
( )
ln
u
u
u
¢
¢
=
( )
sin cosx x
¢
=

( )
sin cosu u u
¢
¢
=
( )
cos sinx x
¢
= -
( )
cos sinu u u
¢
¢
= -
( ) ( )
2
2
t an 1 tanx x x k
p
p
¢
= + +¹
( )
( )
2
t an 1 tanu u u
¢
¢
= +
( )

( )
( )
2
t 1 cotco x x x k
p
¢
= - + ¹
( )
( )
2
t 1 tco u u co u
¢
¢
= - +
Giáo viên: Trần Phi Thoàn
3
Phần nội dung
I.1. Một số kiến thức cơ sơ về đạo hàm
Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN – GTLN của một biểu thức
1.3 Nhận xét. Đạo hàm của một số hàm phân thức hữu tỉ thường gặp
1. Cho hàm số
ax b
y
cx d
+
=
+
với
. 0, 0a c a d cb-¹ ¹
. Ta có

( )
2
ad cb
cx d
y
-
+
¢
=
.
2. Cho hàm số
2
ax bx c
y
mx n
+ +
=
+
với
. 0a m ¹
. Ta có
( )
2
2
2
b c
amx anx
m n
mx n
y

+ +
+
¢
=
.
3. Cho hàm số
2
2
ax bx c
y
mx nx p
+ +
=
+ +
với
. 0a m ¹
. Ta có
( )
2
2
2
2
a b a c b c
x x
m n m p n p
mx nx p
y
+ +
+ +
¢

=
.
Trong mục này chúng tôi trình bày lại một số kiến thức về bài toán tìm giá trị nhỏ
nhất, giá trị lớn nhất của hàm số.
2.1 Định nghĩa. Giả sử hàm số
f
xác định trên tập hợp
D Ì ¡
.
a) Nếu tồn tại một điểm
0
x DÎ
sao cho
( ) ( )
0
f x f x£
với mọi
x DÎ
thì số
( )
0
M f x=
được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số
f
trên
D
, kí hiệu là
( )
max
x D

M f x
Î
=
.
b) Nếu tồn tại một điểm
0
x DÎ
sao cho
( ) ( )
0
f x f x³
với mọi
x DÎ
thì số
( )
0
m f x=
được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số
f
trên
D
, kí hiệu là
( )
min
x D
m f x
Î
=
.
2.1 Nhận xét. Như vậy, muốn chứng tỏ rằng số

M
(hoặc
m
) là giá trị lớn nhất (hoặc
giá trị nhỏ nhất) của hàm số
f
trên tập hợp
D
cần chỉ rõ :
a)
( )
f x M£
(hoặc
( )
f x m³
) với mọi
x DÎ
;
b) Tồn tại ít nhất một điểm
0
x DÎ
sao cho
( )
0
f x M=
(hoặc
( )
0
f x m=
).

2.2 Nhận xét. Người ta đã chứng minh được rằng hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt
được giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên đoạn đó.
Trong nhiều trường hợp, có thể tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm
số trên một đoạn mà không cần lập bảng biến thiên của nó.
Giáo viên: Trần Phi Thoàn
4
I.2. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN – GTLN của một biểu thức
Quy tắc tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm
f
trên đoạn
;a b
é ù
ë û
như sau :
1. Tìm các điểm
1 2
, , ,
n
x x x
thuộc khoảng
( )
;a b
mà tại đó
f
có đạo hàm bằng 0
hoặc không có đạo hàm.
2. Tính
( ) ( ) ( ) ( )
1 2

, , , ,
n
f x f x f x f a
và
( )
f b
.
3. So sánh các giá trị tìm được.
Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của
f
trên đoạn
;a b
é ù
ë û
, số nhỏ nhất
trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của
f
trên đoạn
;a b
é ù
ë û
.
Trong mục này chúng tôi trình bày một số ví dụ tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn
nhất của hàm số.
Thí dụ 1 ( Đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2003)
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
( )
2
4f x x x= + -
Lời giải. Tập xác định

2;2D
é ù
= -
ë û
,
( )
2
1
4
x
f x
x
¢
= -
-
,
( )
0 2f x x
¢
= =Û
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có
( ) ( )
2;2
min 2 2
x
f x f
é ù
-Î
ë û

= - = -
và
( )
( )
2;2
max 2 2 2
x
f x f
é ù
-Î
ë û
= =
.
Thí dụ 2. (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2004)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
2
ln x
y
x
=
trên đoạn
3
1;e
é ù
ë û
Lời giải. Ta có
( )
2
2 2
1

2 ln . . ln
ln 2 ln
x x x
x x
x
y
x x
-
-
¢
= =
Từ đó có bảng biến thiên :
Giáo viên: Trần Phi Thoàn
5
I.3. Một số thí dụ tìm GTNN, GTLN của hàm số
Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN – GTLN của một biểu thức
Vậy
( )
2
3
2 2
4
1;
max
e
e
y y e x e
é ù
ê ú
ë û

= = =Û
và
( )
3
1;
min 1 0 1
e
y y x
é ù
ê ú
ë û
= = =Û
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số
1)
( )
( )
2
2 2
3
1 2 1f x x x= - + -
2)
( )
5 cos cos 5f x x x= -
với
4 4
x
p p
- ££
3)
( )

4 2 2
2 2
2 1 1 1 3
1 1 1
x x x
f x
x x
- + + + - +
=
+ + - +
Hướng dẫn. Đặt
2 2
1 1t x x= + + -
, với
2 2t£ £
.
Giáo viên: Trần Phi Thoàn
6
Bài tập tương tự
K thut gim bin trong bi toỏn tỡm GTNN GTLN ca mt biu thc
CHNG II
K THUT GIM BIN TRONG BI TON TèM GI TR
NH NHT, GI TR LN NHT CA BIU THC
T kt qu ca Chng I chỳng ta thy rng vic tỡm GTNN, GTLN ca hm
s khỏ n gin. Vic chuyn bi toỏn tỡm GTNN, GTLN ca mt biu thc khụng ớt
hn hai bin sang bi toỏn tỡm GTNN, GTLN ca hm s cha mt bin s giỳp chỳng
ta gi c bi toỏn tỡm GTNN, GTLN ca mt biu thc.
Trong phn ny chỳng tụi trỡnh by mt s dng bi toỏn tỡm GTNN, GTLN ca biu
thc cha hai bin bng cỏch th mt bin qua bin cũn li. T ú xột hm s v tỡm
giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca hm s.

Thớ d 1. Cho
, 0x y >
tha món
5
4
x y+ =
. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
4 1
4
P
x y
= +
Li gii. T gi thit
5
4
x y+ =
ta cú
5
4
y x= -
. Khi ú
4 1
5 4
P
x x
= +
-
.
Xột hm s
( )

4 1
5 4
f x
x x
= +
-
vi
5
0;
4
x
ổ ử
ữ
ỗ
ẻ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
. Ta cú
( )
( )
2 2
4 4
5 4
f x
x
x

Â
= - +
-
.
Bng bin thiờn

T bng bin thiờn ta cú
( ) ( )
5
0;
4
min 1 5
x
f x f
ổ ử
ữ
ỗ
ữ
ẻ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
= =
.
Do ú
min 5P =
t c khi

1
1,
4
x y= =
.
Giỏo viờn: Trn Phi Thon
7
II.1. Tỡm GTNN, GTLN ca biu thc bng phng phỏp th
K thut gim bin trong bi toỏn tỡm GTNN GTLN ca mt biu thc
Thớ d 2. Cho
,x y ẻ Ă
tha món
2
0, 12y x x y+ = +Ê
.
Tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca biu thc
2 17P xy x y= + + +
.
Li gii. T gi thit
2
0, 12y x x y+ = +Ê
ta cú
2
12y x x= + -
v
2
12 0x x+ - Ê
hay
4 3x- ÊÊ
. Khi ú

3 2
3 9 7P x x x= + - -
. Xột hm s
( )
3 2
3 9 7, 4;3f x x x x x
ộ ự
= + - - -ẻ
ở ỷ
. Ta cú
( )
( )
2
' 3 2 3f x x x= + -
.
Ta cú bng bin thiờn
T bng bin thiờn ta cú
( ) ( )
4;3
min 1 12
x
f x f
ộ ự
-ẻ
ở ỷ
= = -
,
( ) ( ) ( )
4;3
max 3 3 20

x
f x f f
ộ ự
-ẻ
ở ỷ
= - = =
.
Do ú
min 12P = -
t c khi
1, 10x y= = -
v
max 20P =
t c khi
3, 6x y= - = -
hoc
3, 0x u= =
.
Thớ d 3. Cho
, 0x y >
tha món
1x y+ =
. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
1 1
x y
P
x y
= +
- -
Li gii. T gi thit

, 0x y >
,
1x y+ =
ta cú
1 , 0 1y x x= - < <
.
Khi ú ta cú
1
1
x x
P
x x
-
= +
-
.
Xột hm s
( )
1
1
x x
f x
x x
-
= +
-
,
( )
( )
2 1

2 1 1 2
x x
f x
x x x x
- +
Â
= -
- -
.
Bng bin thiờn
T bng bin thiờn suy ra
( )
( )
0;1
1
min min 2
2
x
P f x f
ẻ
ổ ử
ữ
ỗ
= = =
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ

t c khi
1
2
x y= =
.
Nhn xột. Qua ba thớ d ny cho ta mt k thut gim bin khi tỡm GTNN, GTLN ca
biu thc hai bin bng cỏch th mt bin qua bin cũn li v s dng cỏc gi thit
ỏnh giỏ bin cũn li. T ú tỡm GTNN, GTLN ca hm s cha mt bin b chn.
Giỏo viờn: Trn Phi Thon
8
Bi tp tng t
K thut gim bin trong bi toỏn tỡm GTNN GTLN ca mt biu thc
1/ Cho
, 3;2x y
ộ ự
-ẻ
ở ỷ
tha món
3 3
2x y+ =
. Tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca
biu thc
2 2
P x y= +
.
2/ Cho
, 0x y
tha món
1x y+ =
. Tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca biu

thc
1 1
x y
P
y x
= +
+ +
3/ Cho
, 0x y >
tha món
1x y+ =
. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
2 2
2 2
1 1
P x y
x y
= + + +
4/ Cho
1x y+ =
. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
( )
( )
3 3 2 2
3 3P x y x y x y= + + - + +
5/ Cho
, , ,a b x y ẻ Ă
tha món
0 , 4a b< Ê
,

7a b+ Ê
v
2 3x yÊ Ê Ê
.
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
( )
2 2
2 2
2 2x y x y
P
xy a b
+ + +
=
+
Hng dn. Tỡm giỏ tr ln nht ca
2 2
Q a b= +
l
M
, xột hm s
( ) ( )
2 2
2 2
,
.
x y x y
g y f x y
xy M
+ + +
= =

vi n
y
v
x
l tham s, tỡm giỏ tr nh nht
ca
( )
g y
l
( )
h x
. Sau ú tỡm giỏ tr nh nht ca hm s
( )
h x
vi
2; 3x
ộ ự
ẻ
ở ỷ
.
6/ Cho
,x y ẻ Ă
tha món
3
x yÊ
. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
2 2
8 16P x y x= + - +
.
Hng dn. Nu

0x >
thỡ
6 2
x yÊ
t ú xột hm s
( )
6 2
8 16f x x x x= + - +
. Nu
0x Ê
thỡ
2 2
8 16 16x y x+ - +
vi mi
3
0,x x yÊ Ê
.
7/ Cho
( )
, 0;1x y ẻ
tha món
1x y+ =
. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
x y
P x y= +
.
Hng dn. Xột hm s
( ) ( )
, 0;1
x

f x x x= ẻ
. Chng minh
( ) ( )
2 2
f x f y
x y
f
ổ ử
+
+
ữ
ỗ

ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
.
Ta cú
( ) ( ) ( )
1
1
1 1 2 2
2
x
x
P x x f x f x f
-

ổ ử
ữ
ỗ
= + - = + - =
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
.
8/ Cho
, 0x y >
tha món
2x y+ =
. Chng minh rng
x y
xy x yÊ
.
Giỏo viờn: Trn Phi Thon
9
Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN – GTLN của một biểu thức
Trong phần này chúng tôi trình bày một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của biểu
thức chứa hai biến mà giả thiết hoặc biểu thức đó thể hiện tính đối xứng. Từ đó bằng
phép đặt ẩn phụ ta chuyển về bài toán tìm G của hàm số.
Thí dụ 1. Cho
2 2
x y x y+ = +
.
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức

3 3 2 2
P x y x y xy= + + +
Lời giải.
Đặt
t x y= +
, từ giả thiết
2 2
x y x y+ = +
ta có
( ) ( )
2
2
2xy x y x y t t= + - + = -

hay
2
2
t t
xy
-
=
. Áp dụng bất đẳng thức
( )
( )
( )
2
2 2
2 2x y x y x y+ + = +£
hay
2

2t t£
suy ra
0 2t£ £
. Khi đó biểu thức
( ) ( )
3
2
2P x y xy x y t= + - + =
. Do đó ta
có
max 4P =
đạt được khi
2t =
hay
2x y+ =
và
1xy =
suy ra
1x =
và
1y =
, ta
có
min 0P =
đạt được khi
0t =
hay
0x y= =
.
Nhận xét. Bài toán này giả thiết và biểu thức

P
được cho dưới dạng đối xứng với hai
biến. Vì vậy, chúng ta nghĩ đến cách đổi biến
t x y= +
. Nhưng để giải bài toán trọn
vẹn thì phải tìm điều kiện của biến
t
. Sau đây là một số bài toán với định hướng tương
tự.
Thí dụ 2. Cho
, 0x y >
thỏa mãn
2 2
1x xy y+ + =
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1
xy
P
x y
=
+ +
Lời giải. Đặt
t x y= +
. Từ giả thiết
, 0x y >
và
2 2
1x xy y+ + =
suy ra

2
1xy t= -
.
Áp dụng bất đẳng thức
( )
2
4x y xy+ ³
suy ra
1
0
3
t< £
.
Khi đó
3 3
1
3
P t
-
= - £
.
Vì vậy
3 3
max
3
P
-
=
đạt được khi
( )

2 1
; ;
3 3
x y
æ ö
÷
ç
= -
÷
ç
÷
÷
ç
è ø
hoặc
( )
1 2
; ;
3 3
x y
æ ö
÷
ç
= -
÷
ç
÷
÷
ç
è ø

.
Thí dụ 3. Cho
,x y Î ¡
thỏa mãn
1x y+ -¹
và
2 2
1x y xy x y+ + = + +
. Tìm giá
trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức
1
xy
P
x y
=
+ +
.
Lời giải. Đặt
t x y= +
. Từ giả thiết
2 2
1x y xy x y+ + = + +
ta có
( ) ( )
2
1x y xy x y+ - = + +
hay
2
1xy t t= - -
.

Giáo viên: Trần Phi Thoàn
10
II.2. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức có tính chất đối xứng
Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN – GTLN của một biểu thức
Áp dụng bất đẳng thức
( )
2
4x y xy+ ³
suy ra
2
3 4 4 0t t- - £
hay
2
2
3
t- ££
. Khi
đó
2
1
1
t t
P
t
- -
=
+
. Xét hàm số
( )
2

1
1
t t
f t
t
- -
=
+
,
( )
( )
2
2
2
1
t t
f t
t
+
¢
=
+
,
( )
0f t
¢
=
0 2t t= = -Û Ú
(loại).
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có
( ) ( )
2
3
;2
min min 0 1
t
P f t f
é ù
-Î
ê ú
ë û
= = = -
đạt được khi
( ) ( )
; 1;1x y = -
hoặc
( ) ( )
; 1; 1x y = -
và
( )
( )
( )
2
3
2
3
;2
1
max max 2

3
t
P f t f f
é ù
-Î
ê ú
ë û
= = - = =

đạt được khi
1
3
x y= = -
hoặc
1x y= =
.
Thí dụ 4. Cho
,x y Î ¡
thỏa mãn
0 , 1x y< £
và
4x y xy+ =
. Tìm giá trị nhỏ nhất,
giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2
P x y xy= + -
.
Đặt
t x y= +
. Từ giả thiết

0 , 1x y< £
và
4x y xy+ =
suy ra
4
t
xy =
và
1 2t£ £
.
Khi đó
( )
2
2
3
3
4
P x y xy t t= + - = -
. Xét hàm số
( )
2
3
4
f t t t= -
,
( )
3
2
4
f t t

¢
= -
,
( )
0f t
¢
=
3
8
t =Û
(loại). Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có
( ) ( )
1;2
1
min min 1
4
t
P f t f
é ù
Î
ë û
= = =
đạt được khi
1
2
x y= =
và
( ) ( )
1;2

5
max max 2
2
t
P f t f
é ù
Î
ë û
= = =
đạt được khi
( )
( )
2 2
2 2
2 2
; ;x y
+
-
=
hoặc
( )
( )
2 2
2 2
2 2
; ;x y
+
-
=
.

Giáo viên: Trần Phi Thoàn
11
K thut gim bin trong bi toỏn tỡm GTNN GTLN ca mt biu thc
Thớ d 5. Cho
,x y ẻ Ă
tha món
, 0x y ạ
v
( )
2 2
2xy x y x y x y+ = + - - +
. Tỡm
giỏ tr ln nht ca biu thc
1 1
P
x y
= +
.
Li gii. t
t x y= +
. T gi thit
( )
2 2
2xy x y x y x y+ = + - - +
hay
( ) ( ) ( )
2
2 2xy x y x y xy x y+ = + - - + +
suy ra
2

2
2
t t
xy
t
- +
=
+
. p dng bt ng
thc
( )
2
4x y xy+
suy ra
3 2
2 4 8
0
2
t t t
t
- + -

+
hay
2 2t t< -
. Khi ú
2
2
2
2

x y t t
P
xy
t t
+ +
= =
- +
. Xột hm s
( )
2
2
2
2
t t
f t
t t
+
=
- +
,
( )
( )
2
2
2
3 4 4
2
t t
f t
t t

- + +
Â
=
- +
,
( )
0f t
Â
=
2
3
2t t= = -
(loi). Bng bin thiờn
T bng bin thiờn ta cú
( ) ( )
2 2
max max 2 2
t t
P f t f
< -
= = =
t c khi
1x y= =
.
Thớ d 6. Cho
, 0x y >
tha món
3xy x y+ + =
.
Chng minh rng

2 2
3 3 3
1 1 2
x y xy
x y
y x x y
+ + + +Ê
+ + +
Li gii. t
t x y= +
. T gi thit
, 0x y >
,
3xy x y+ + =
v ỏp dng bt ng
thc
( )
2
4x y xy+
ta cú
3 , 0xy t t= - >
v
2
4 12 0t t+ -
hay
2t
hoc
6t -Ê
(loi). Khi ú bt ng thc cn chng minh tr thnh
( ) ( )

( )
( )
2
2
3 6 3
3
2
1 2
x y xy x y
xy
x y xy
xy x y x y
+ - + +
+ + - +Ê
+ + + +
hay
2
2 3 2
3 9 18 3 9
2 4 12
4 2
t t t
t t t t t
t
+ - -
+ + - - + -Ê
( )
( )
2
2 6 0t t t- + +

luụn ỳng vi mi
2t
, du bng xy ra khi
2t =
hay
1x y= =
.
Thớ d 7. Cho
, 0x y >
tha món
2 2
1x y+ =
. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc

( ) ( )
1 1
1 1 1 1P x y
y x
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
= + + + + +
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
.

Li gii. t
t x y= +
. T gi thit
, 0x y >
v
2 2
1x y+ =
suy ra
2
1
2
t
xy
-
=
v
1t >
. p dng bt ng thc
( )
( )
2
2 2
2x y x y+ +Ê
suy ra
1 2t< Ê
.
Giỏo viờn: Trn Phi Thon
12
K thut gim bin trong bi toỏn tỡm GTNN GTLN ca mt biu thc
Khi ú

( )
2
1
1
x y t t
P x y xy
xy t
ộ ự
+ +
ộ ự
ờ ỳ
= + + + =
ở ỷ
ờ ỳ
-
ở ỷ
. Xột hm s
( )
2
1
t t
f t
t
+
=
-
,
( )
( )
2

2
2 1
1
t t
f t
t
- -
Â
=
-
,
( )
0 1 2f t t
Â
= =
(loi). Bng bin thiờn
T bng bin thiờn ta cú
(
( )
( )
1; 2
min min 2 4 3 2
t
P f t f
ự
ẻ
ỳ
ỷ
= = = +
t c khi

1
2
x y= =
.
Nhn xột. Qua cỏc thớ d trờn, cho ta mt k thut gim bin ca bi toỏn tỡm GTNN,
GTLN ca biu thc hai bin cú tớnh i xng: Do tớnh i xng nờn ta luụn cú th
bin i a v mt trong cỏc dng t
t x y= +
,
2 2
t x y= +
hoc
t xy=
, t ú a
v tỡm GTNN, GTLN ca hm s.
1/ Cho
, 0x y >
tha món
1 3x y xy+ + =
. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc
( ) ( )
2 2
3 3 1 1
1 1
x y
P
y x x y
x y
= + - -
+ +

2/ Cho
,x y
khụng ng thi bng
0
v tha món
1x y+ =
. Tỡm giỏ tr nh nht ca
biu thc
2 2
2 2 2 2
1
1 1
x y
P
x y y x
= + +
+ + +
3/ Cho
2 2
1x y+ =
. Tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca biu thc
1 1P x y y x= + + +
4/ Cho
2 2
1x y+ =
. Tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca biu thc
1 1
x y
P
y x

= +
+ +
5/ Cho
, 0x y ạ
thay i tha món
( )
2 2
x y xy x y xy+ = + -
. Tỡm giỏ tr ln nht ca
biu thc
3 3
1 1
P
x y
= +
.
6/ Cho
,x y ẻ Ă
tha món
2 2
2x xy y+ + Ê
. Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc
2 2
P x xy y= - +
.
Giỏo viờn: Trn Phi Thon
13
+ Ơ
4 3 2+
Bi tp tng t

Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN – GTLN của một biểu thức
Trong phần này chúng tôi trình bày một số dạng bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị
lớn nhất của biểu thức chứa hai biến mà giả thiết hoặc biểu thức đó thể hiện tính đẳng
cấp. Từ đó xét hàm số và tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số.
Thí dụ 1. Cho
, 0x y >
thỏa mãn
2 2
1x y+ =
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
( )
P y x y= +
.
Lời giải. Đặt
y tx=
. Từ điều kiện
, 0x y >
suy ra
0t >
. Từ giả thiết
2 2
1x y+ =
ta
có
2
2
1
1
x
t

=
+
. Khi đó biểu thức
( )
2
2
2
1
1
t t
P x t t
t
+
= + =
+
. Xét hàm số
( )
2
2
1
t t
f t
t
+
=
+
,
( )
( )
2

2
2
2 1
1
t t
f t
t
- + +
¢
=
+
,
( )
0 2 1 1 2f t t t
¢
= = + = -Û Ú
(loại). Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có
( )
( )
2 1
2
0
max max 2 1
t
P f t f
+
>
= = + =
đạt được khi

( )
( )
2 1
2 1
2 2 2 2
; ;x y
+
-
=
.
Thí dụ 2. Cho
, 0x y ³
và thỏa mãn
2 2
1x y+ =
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
2
4 6 5
2 2 1
x xy
P
xy y
+ -
=
- -
Lời giải.
Nếu
0x =
thì từ giả thiết

2 2
1x y+ =
và
0y ³
suy ra
1y =
. Khi đó
5
3
P =
.
Nếu
0x ¹
thì đặt
y tx=
. Từ giả thiết
, 0x y ³
và
2 2
1x y+ =
suy ra
0t ³
và
2
2
1
1
x
t
=

+
. Khi đó
( )
( )
2
2
2 2 2
4 6 5
5 6 1
2 2 1 3 2 1
x t
t t
P
x t t t t
+ -
- +
= =
- - - +
. Xét hàm số
( )
2
2
5 6 1
3 2 1
t t
f t
t t
- +
=
- +

,
( )
( )
2
2
2
8 4 4
3 2 1
t t
f t
t t
+ -
¢
=
- +
,
( )
1
0 1
2
f t t t
¢
= = = -Û Ú
(loại).
Bảng biến thiên
Giáo viên: Trần Phi Thoàn
14
II.3. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức có tính đẳng cấp
Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN – GTLN của một biểu thức
Từ bảng biến thiên ta có

( )
5
, 0
3
f t t< " ³
và
( )
( )
1
2
0
min min 1
t
P f t f
³
= = = -
đạt
được khi
2
5
x =
và
1
5
y =
. Vì vậy
5
max
3
P =

đạt được khi
( ) ( )
; 0;1x y =
và
min 1P = -
đạt được khi
( )
( )
2 1
5 5
; ;x y =
.
Thí dụ 2. Cho
, 0x y >
. Chứng minh rằng
( )
2
3
2 2
4 1
8
4
xy
x x y
£
+ +
Lời giải. Đặt
x
t
y

=
. Từ giả thiết
, 0x y >
suy ra
0t >
. Khi đó bất đẳng thức cần
chứng minh tương đương với
( )
3
2
4 1
8
4
t
t t
£
+ +
hay
( )
3
2
4 2t t t+ - £
. Xét hàm
số
( )
( )
3
2
4f t t t t= + -
,

( )
( )
( ) ( ) ( )
3 3
2 2 2
3
2
2 2
3 4 4 4 3
4
4 4
t t t t t t t
f t t t
t t
+ - + - + -
¢
= + - - =
+ +
,
( )
2
2
0f t t
¢
= =Û
. Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có
( )
( )
2

2
0
max 2
t
f t f
>
= =
hay
( )
3
2
4 2t t t+ - £
dấu bằng
xảy ra khi
2
2
t =
hay
2y x=
.
Giáo viên: Trần Phi Thoàn
15
K thut gim bin trong bi toỏn tỡm GTNN GTLN ca mt biu thc
1/ Cho
, 0x y >
tha món
1xy y -Ê
. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
2 3
2 3

9
x y
P
y x
= +
2/ Cho
, 0x y
. Chng minh rng
3 3 2
3 7 9x y xy+
.
3/ Cho
, 0x y
. Chng minh rng
4 4 3 3
x y x y xy+ +
.
4/ Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
2 2
2 2
3 8
x y x y
P
y x
y x
ổ ử
ổ ử
ữ
ữỗ
ỗ

ữ
= + - +
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố ứ
ố ứ
vi
, 0x y ạ
.
Trong phn ny chỳng tụi trỡnh by mt s dng bi toỏn tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr
ln nht ca biu thc cha ba bin bng cỏch t n ph hoc th hai bin qua mt
bin cũn li. T ú, chuyn c bi toỏn v bi toỏn tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln
nht ca hm s.
Thớ d 1. Cho
, , 0x y z >
tha món
1x y z+ + =
. Chng minh rng
1 1
16
xz yz
+

Li gii. t
t x y= +
. T gi thit ta cú
( )
1 1z x y t= - + = -
v
0 1t< <
.
p dng bt ng thc
( )
2
4x y xy+
hay
2
4
t
xy Ê
.
Khi ú
( )
2
1 1 4
1
t
P
xz yz xy t
t t
= + =
-
- +

.
Xột hm s
( )
2
4
f t
t t
=
- +
,
( )
( )
( )
2
2
4 2 1t
f t
t t
-
Â
=
- +
,
( )
1
0
2
f t t
Â
= =

.
Ta cú bng bin thiờn
Giỏo viờn: Trn Phi Thon
16
Bi tp tng t
II.4. Tỡm GTNN, GTLN ca biu thc ba bin
K thut gim bin trong bi toỏn tỡm GTNN GTLN ca mt biu thc
T bng bin thiờn ta cú
( )
( )
( )
1
2
0;1
min 16
t
f t f
ẻ
= =
t c khi
1 1
4 2
,x y z= = =
.
Vỡ vy
1 1
16
xz yz
+
.

Thớ d 2. Cho
2 2 2
1x y z+ + =
. Tỡm giỏ tr nh nht, giỏ tr ln nht ca biu thc
P x y z xy yz zx= + + + + +
Li gii. t
t x y z= + +
. p dng bt ng thc Cauchy Schwarz ta cú
( )
( )
2
2 2 2
3x y z x y z+ + + +Ê
suy ra
3 3t- ÊÊ
. Khi ú
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
1 1
2 1
2 2
P x y z x y z x y z t t
ộ ự
= + + + + + - + + = + -
ờ ỳ
ở ỷ
Xột hm s
( )

( )
2
1
2 1
2
f t t t= + -
,
( )
2 2f t t
Â
= +
,
( )
0 1f t t
Â
= = -
.
Ta cú bng bin thiờn
T bng bin thiờn ta cú
( ) ( )
3; 3
min min 1 1
t
P f t f
ộ ự
-ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
= = - = -
t c khi

1t = -

hay
( ) ( )
; ; 1;0; 0x y z = -
v cỏc hoỏn v ca nú;
( )
( )
3; 3
max max 3 1 3
t
P f t f
ộ ự
-ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
= = = +
t c khi
3t =
hay
( )
( )
1 1 1
3 3 3
; ; ; ;x y z =
.
Thớ d 3. Cho
, , 0x y z
tha món
1x y z+ + =

.
Chng minh rng
3 3 3
15 1
4 4
x y z xyz+ + +
Li gii. Do vai trũ ca
, ,x y z
bỡnh ng nờn ta luụn gi s c
{ }
min , ,x x y z=
. T
gi thit
, , 0x y z
,
1x y z+ + =
ta cú
1
0
3
xÊ Ê
v
1y z x+ = -
. p dng bt
ng thc
( )
2
4
y z
yz

+
Ê
v
27
3 0
4
x
- <
. Khi ú biu thc
( ) ( )
3
3 3 3 3
15 15
3
4 4
P x y z xyz x y z y z y z xyz= + + + = + + - + +
( ) ( ) ( )
3 3
3 3
15 27
3 1 3
4 4
x x
x y z yz y z x x yz
ộ ự ổ ử
ữ
ỗ
ờ ỳ
= + + + - + = + - + -
ữ

ỗ
ữ
ữ
ỗ
ờ ỳ
ố ứ
ở ỷ
Giỏo viờn: Trn Phi Thon
17
K thut gim bin trong bi toỏn tỡm GTNN GTLN ca mt biu thc
( )
( )
( )
2
3
3 3 2
27 1
1 3 27 18 3 4
4 4 16
y z
x
x x x x x
ổ ử
+
ữ
ỗ
+ - + - = - + +
ữ
ỗ
ữ

ữ
ỗ
ố ứ
Xột hm s
( )
( )
3 2
1
27 18 3 4
16
f x x x x= - + +
,
( )
( )
2
1
81 36 3
16
f x x x
Â
= - +
,
( )
1
0
9
f x x
Â
= =
1

3
x =
. Bng bin thiờn
T bng bin thiờn ta cú
( ) ( )
( )
1
3
1
3
0;
1
max 0
4
x
f x f f
ộ ự
ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
= = =
. Do ú
1
4
P
. Du bng xy
ra khi
( )
( )
1 1 1

3 3 3
; ; ; ;x y z =
hoc
( )
( )
1 1
2 2
; ; 0; ;x y z =
v cỏc hoỏn v ca nú.
Thớ d 4. Cho
( )
, , 0;1x y z ẻ
tha món
1xy yz zx+ + =
.
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
2 2 2
1 1 1
x y z
P
x y z
= + +
- - -
.
Li gii. Ta cú
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2
1 1 1
x y z

P
x x y y z z
= + +
- - -
. Xột hm s
( )
( )
2
1
1
f t
t t
=
-

vi
0 1t< <
,
( )
( )
2
2
2 2
3 1
1
t
f t
t t
-
Â

=
-
,
( )
1
3
1
0
3
f t t t
Â
= = = -
(loi).
Ta cú Bng bin thiờn
T bng bin thiờn ta cú
( )
( )
2
1 3 3
0;1
2
1
t
t t
" ẻ
-
.
Vỡ vy
( )
( )

2 2 2
3 3 3 3 3 3
2 2 2
P x y z xy yz zx+ + + + =
Do ú
3 3
min
2
P =
t c khi
1
3
x y z= = =
.
Giỏo viờn: Trn Phi Thon
18
K thut gim bin trong bi toỏn tỡm GTNN GTLN ca mt biu thc
Chng III
MT S BI TON TRONG CC THI I HC
Bi 1 ( thi tuyn sinh i hc A 2011)
Cho
, ,x y z
l ba s thc thuc on
1;4
ộ ự
ở ỷ
v
,x y x z
. Tỡm giỏ tr nh nht ca
biu thc

2 3
x y z
P
x y y z z x
= + +
+ + +
Li gii. Trc ht ta chng minh :
1 1 2
1 1
1
a b
ab
+
+ +
+
(*), vi
a
v
b
dng
v
1ab
. Tht vy,
( ) ( )
( )
( ) ( )
* 2 1 2 1 1a b ab a b+ + + + +
( )
2 2a b ab ab a b ab+ + + +
( ) ( )

2
1 0ab a b- -
, luụn ỳng vi
,a b
dng v
1ab
. Du bng xy ra, khi v ch khi :
a b=
hoc
1ab =
.
p dng (*), vi
x
v
y
thuc on
1;4
ộ ự
ở ỷ
v
x y
, ta cú:
1 1 1 2
2 3 3
1 1 2
1
x
P
x y z x y
x

y z x
y
= + + +
+
+ + +
+
Du bng xy ra, khi v ch khi :
z x
y z
=
hoc
1
x
y
=
(1)
t
, 1;2
x
t t
y
ộ ự
= ẻ
ở ỷ
. Khi ú:
2
2
2
1
2 3

t
P
t
t
+
+
+
. Xột hm s :
( )
2
2
2
, 1;2
1
2 3
t
f t t
t
t
ộ ự
= + ẻ
ở ỷ
+
+
,
( )
( ) ( )
( )
( )
3

2
2
2
2 4 3 3 2 1 9
0
2 3 1
t t t t
f t
t t
ộ ự
- - + - +
ờ ỳ
ở ỷ
Â
= <
+ +
,

( ) ( )
34
2
33
f t f =ị
.
Du bng xy ra, khi v ch khi
2t =
4 4, 1
x
x y
y

= = =
(2). Suy ra
34
33
P
.
T (1) v (2) suy ra du bng xy ra, khi v ch khi :
4, 1x y= =
v
2z =
.
Vy, giỏ tr nh nht ca
P
bng
34
33
, khi
4, 1, 2x y z= = =
.
Giỏo viờn: Trn Phi Thon
19
K thut gim bin trong bi toỏn tỡm GTNN GTLN ca mt biu thc
Bi 2 ( thi tuyn sinh i hc B 2011)
Cho
a
v
b
l cỏc s thc dng tha món
( )
( ) ( )

2 2
2 2a b ab a b ab+ + = + +
.
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
3 3 2 2
3 3 2 2
4 9
a b a b
P
b a b a
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
= + - +
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
Li gii. Vi
,a b
dng, ta cú:
( )
( ) ( )
2 2
2 2a b ab a b ab+ + = + +
( )
( )

2 2 2 2
2 2a b ab a b ab a b+ + = + + +
( )
1 1
2 1 2
a b
a b
b a a b
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
+ + = + + +
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
.
M
( ) ( )
1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
a b
a b a b
a b a b b a
ổ ử ổ ử ổ ử
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
+ + + + + = + +

ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ữ ữ ữ
ữ ữ ữ
ỗ ỗ ỗ
ố ứ ố ứ ố ứ
, suy ra:

5
2 1 2 2 2
2
a b a b a b
b a b a b a
ổ ử ổ ử
ữ ữ
ỗ ỗ
+ + + + + ị
ữ ữ
ỗ ỗ
ữ ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ
.
t
5
,
2
a b
t t

b a
= +
, suy ra :
( ) ( )
3 2 3 2
4 3 9 2 4 9 12 18P t t t t t t= - - - = - - +
Xột hm s
( )
3 2
4 9 12 18f t t t t= - - +
, vi
5
2
t
Ta cú
( )
( )
2
6 2 3 2 0f t t t
Â
= - - >
, suy ra :
)
( )
5
2
;
5 23
min
2 4

f t f
ộ
+ Ơ
ờ
ở
ổ ử
ữ
ỗ
= = -
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
.
Vy,
23
min
4
P = -
t khi v ch khi :
5
2
a b
b a
+ =
v
1 1
2a b

a b
ổ ử
ữ
ỗ
+ = +
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
( ) ( )
; 2;1a b =
hoc
( ) ( )
; 1;2a b =
Bi 3 ( thi tuyn sinh i hc khi B-2010)
Cho cỏc s thc khụng õm
, ,a b c
thon món
1a b c+ + =
. Tỡm giỏ tr nh nht ca
biu thc
( )
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 2M a b b c c a ab bc ca a b c= + + + + + + + +
Li gii. Ta cú:
( ) ( ) ( )
2

3 2 1 2M ab bc ca ab bc ca ab bc ca+ + + + + + - + +
t
t ab bc ca= + +
, ta cú :
( )
2
1
0
3 3
a b c
t
+ +
=Ê Ê
.
Xột hm s
( )
2
3 2 1 2f t t t t= + + -
trờn
1
0;
2
ộ ử
ữ
ờ
ữ
ữ
ữ
ờ
ứ

ở
, ta cú :
( )
2
2 3
1 2
f t t
t
Â
= + -
-
Giỏo viờn: Trn Phi Thon
20
K thut gim bin trong bi toỏn tỡm GTNN GTLN ca mt biu thc
( )
( )
3
2
2 0
1 2
f t
t
ÂÂ
= - Ê
-
, du bng ch xy ra ti
0t =
, suy ra
( )
f t

Â
nghch bin.
Xột trờn on
1
0;
3
ộ ự
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ
ta cú :
( )
1 11
2 3 0
3 3
f t f
ổ ử
ữ
ỗ
 Â
= - >
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố ứ
, suy ra
( )
f t

ng bin. Do
ú :
( ) ( )
1
0 2, 0;
3
f t f t
ộ ự
ờ ỳ
= " ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
.
Vỡ th :
( )
1
2, 0;
3
M f t t
ộ ự
ờ ỳ
" ẻ
ờ ỳ
ở ỷ
.
2 , 1M ab bc ca ab bc ca= = = + + =
v
1a b c+ + =
( )
; ;a b c

l mt trong cỏc b s :
( ) ( ) ( )
1;0;0 , 0;1;0 , 0; 0;1
Do ú giỏ tr nh nht ca
M
l 2.
Bi 4. ( thi tuyn sinh i hc khi B 2009)
Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
( ) ( )
4 4 2 2 2 2
3 2 1A x y x y x y= + + - + +
vi
,x y
l
cỏc s tha món
( )
3
4 2x y xy+ +
.
Li gii. Da vo bt ng thc hin nhiờn :
( )
2
4x y xy+
nờn
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 2 3
4 2 4 2x y xy x y x y x y xy+ + + + + + +ị
( ) ( )
3 2
2 0x y x y+ + + -ị

( ) ( ) ( )
2
1 2 0x y x y x y
ộ ự
ộ ự
+ - + + + +ị
ờ ỳ
ở ỷ
ở ỷ
(1)
Do
( ) ( ) ( )
2
2
1 7
2 0
2 4
x y x y x y
ộ ự
ờ ỳ
+ + + + = + + + >
ờ ỳ
ở ỷ
v t (1) suy ra :
1x y+
.
Vy nu cp
( )
;x y
tha món yờu cu bi thỡ

1x y+
(2).
Ta bin i
A
nh sau:
( ) ( )
4 4 2 2 2 2
3 2 1A x y x y x y= + + - + +
( ) ( ) ( )
2
2 2 4 4 2 2
3 3
2 1
2 2
x y x y x y= + + + - + +
(3)
Do
( )
2
2 2
4 4
2
x y
x y
+
+
nờn t (3) suy ra :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 3 9
2 1 2 1
2 4 4
A x y x y x y x y x y+ + + - + + = + - + +
Giỏo viờn: Trn Phi Thon
21
K thut gim bin trong bi toỏn tỡm GTNN GTLN ca mt biu thc
Vỡ
( )
2
2 2
2
x y
x y
+
+
nờn t (2) ta cú :
2 2
1
2
x y+
.
t
( )
2
9
2 1
4
f t t t= - +
vi

2 2
1
2
t x y= +
. Ta cú :
( )
9 1
2 0,
2 2
f t t t
Â
= - > "
.
Suy ra :
( )
1
2
1 9
min
2 16
t
f t f

ổ ử
ữ
ỗ
= =
ữ
ỗ
ữ

ữ
ỗ
ố ứ
(4)
T (4) suy ra
9
16
A
. Mt khỏc d thy khi
1
2
x y= =
thỡ
9
16
A =
.
Vy
9
min
16
A =
khi
1
2
x y= =
.
Bi 5. ( thi tuyn sinh i hc khi D 2009)
Cho
, 0x y

v
1x y+ =
. Tỡm giỏ tr ln nht v nh nht ca biu thc :
( ) ( )
2 2
4 3 4 3 25S x y y x xy= + + +
Li gii. Ta cú :
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 3 3
4 3 4 3 25 16 12 34S x y y x xy x y x y xy= + + + = + + +
( )
( )
2 2 2 2
16 12 34x y x y x xy y xy= + + - + +
( )
2
2 2
16 12 3 34x y x y xy xy
ộ ự
= + + - +
ờ ỳ
ở ỷ
2 2
16 2 12x y xy= - +
(1) (do
1x y+ =
).
t
xy t=
. Vi

0, 0x y
, ta cú :
( )
2
1 1
0 0
4 4 4
x y
xy t
+
=Ê Ê ị Ê Ê
Xột hm s
( )
2
16 2 12f t t t= - +
vi
1
0
4
tÊ Ê
. Ta cú :
( )
32 2f t t
Â
= -
.
Bng bin thiờn
Suy ra
( )
( )

1
4
1
16
0;
191
min
16
f t f
ộ ự
ờ ỳ
ở ỷ
= =
v
( )
( )
1
4
1
4
0;
25
max
2
f t f
ộ ự
ờ ỳ
ở ỷ
= =
.

Vy: Giỏ tr nh nht ca
S
t c
2 3 2 3
1
;
1
4 4
1
16
2 3 2 3
;
16
4 4
x y
x y
t
xy
x y
ộ
+ -
ỡ
ờ
+ =
ù
= =
ù
ờ
ù
=

ờ
ớ
ù
ờ
- +
=
ù
= =
ờù
ợ
ờ
ở
Giỏ tr ln nht ca
S
t c
Giỏo viờn: Trn Phi Thon
22
Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN – GTLN của một biểu thức
1
1 1
1
4 2
4
x y
t x y
xy
ì
+ =
ï
ï

ï
= = =Û Û Û
í
ï
=
ï
ï
î
Sáng kiến này đã đạt được một số kết quả sau :
+ Nhắc lại cách tìm GTNN, GTLN của hàm số thông qua một vài ví dụ.
+ Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa hai biến
bằng cách thế một biến qua biến còn lại.
+ Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa hai biến
bằng cách đặt ẩn phụ theo tính đối xứng
t x y= +
,
2 2
t x y= +
hoặc
t xy=
.
+ Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa hai biến
bằng cách đặt ẩn phụ theo tính đẳng cấp
x
t
y
=

+ Hệ thống một số dạng bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa ba biến
bằng cách đặt ẩn phụ hoặc thế hai biến qua một biến còn lại.

Qua thực tế giảng dạy chúng tôi thấy rằng vấn đề nào dù khó mà giáo viên quan tâm
và truyền thụ cho học sinh bằng lòng say mê và nhiệt tình của mình thì sẽ cuốn hút các
em vào con đường nghiên cứu. Bài toán tìm GTNN, GTLN của một biểu thức không
phải là một vấn đề mới, nhưng thực tế cho thấy còn nhiều Thầy, Cô chưa quan tâm
đúng mức vần đề này.
Giáo viên: Trần Phi Thoàn
23
Phần kết
luận
2. Bài học kinh nghiệm
3. Ý nghĩa của SKKN
1. Kết quả đạt được
Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm GTNN – GTLN của một biểu thức
Với sáng kiến kinh nghiệm này hy vọng góp thêm một tài liệu cho quý Thầy, Cô và
các bạn đồng nghiệp ; giúp các em học sinh có thêm những kinh nghiệm cho loại toán
này, từ đó tự tin hơn khi thi Đại học.
Sáng kiến kinh nghiệm này có thể triển khai như một chuyên đề để bồi dưỡng học sinh
giỏi ; cũng như dùng để giảng dạy cho các em học sinh ôn tập thi đại học, nhằm giúp
các em học sinh có thể vượt qua trở ngại tâm lí từ trước tới nay cho loại bài toán này.
1. Sách Giáo khoa Giải tích 12, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam.
2. Tuyển tập Tạp chí Toán học và tuổi trẻ năm 2008, 2009, 2010 ; và Tạp chí Toán học
và tuổi trẻ hàng tháng.
3. Nguồn Internet : , …
Giáo viên: Trần Phi Thoàn
24
4. Khả năng ứng dụng và triển khai
Tài liệu tham khảo