SKKN Rèn luyện và phát triển năng lực tư duy giải toán hình học 9 thông qua bài tập SGK

Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa
Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông
qua bài tập sách giáo khoa
I. Đặt vấn đề.
1. Vị trí môn học trong chơng trình toán THCS.
Hình học là môn khoa học cơ bản trong chơng trình phổ thông, nó trớc hình
thành từ những năm đầu của chơng trình tiểu học. Môn hình học nó đợc gắn liền với
thực tiển cuộc sống. Bởi vậy giải toán hình học là vấn đề trọng tâm của ngời dạy
cũng nh ngời học, môn hình học kích thích sự sáng tạo, sự phán đoán của con ngời
bên cạnh đó nó rèn luyện tính kiên trì, nhẫn nại của ngời học.
2. Thực trạng học hình học hiện nay của học sinh THCS .
Hiện nay số học sinh sợ môn toán đặc biệt là môn hình học rất cao đối với
học sinh lời học đã đành. Còn đối với những học sinh "chăm học" mặc dù thuộc lí
thuyết vẩn không giải đợc . Thậm chí có những bài chỉ là tơng tự bài đã giải hay chỉ
là một khía cạnh của bài đã giải, hoặc bài toán ngợc lại của bài đã giải mà học sinh
vẫn không giải quyết đợc. Nguyên nhân cơ bản dẫn đến tình trạng đó là:
- Học sinh lời học, lời suy nghĩ, không nắm đợc phơng pháp
- Học sinh học thụ động, thiếu sáng tạo
- Không liên hệ trợc giữa các " Bài toán gốc" đã giãi với các bài toán trớc suy
ra từ "bài toán gốc" hay nói cách khác không biết nghiên cứu lời giải của một bài
toán
Những tồn tại trên không những do ngời học mà còn do cả ngời dạy. Ngời
dạy thờng chú trọng hớng dẫn các em giải, hoặc giải các bài toán độc lập mà không
chú trọng hệ thống, xâu chuổi, phát triển các bài toán từ các " bài toán gốc" nhờ
việc nghiên cứu kỹ lời giải mỗi bài toán,thông qua hình vẽ, nhần xét, thay đổi giả
thiết các bài toán. Lật ngợc vấn đề
Đối với học sinh không có gì đáng nhớ hơn bằng tự bản thân các em, tìm
kiếm phát hiện ra những vấn đề xung quanh bài toán gốc SGK đa ra, các em sẽ nhớ
lâu khi gặp một bài toán các em biết liên hệ giữa bài toán phải giải với bài toán cũ
đã giải mà các em đã đợc biết và nó sẽ giúp các em biết bất kỳ một bài toán nào
cũng xuất phát từ những bài toán đơn giản.

Để giúp các em có phơng pháp học tập tốt hơn môn hình học trong quá trình
giảng dạy tôi thờng tìm tòi các cách khác nhau để tiếp cận một vấn đề, giải kỹ các
phơng pháp khác nhau những bài toán cơ bản trọng tâm, và phát triển các bài toán
đó dới các hình thức khác nhau. Thông qua các nhận xét, liên hệ giữa cái mới vừa
tìm đợc để tạo ra cái mới.
1
Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa
II. Biện pháp đã thực hiện.
Thực hiện với phơng châm:
Cho học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản tại lớp
Giãi kỹ các cách khác nhau các bài toán cơ bản
Xuất phát từ những vấn đề đã giải quyết. Thông qua những nhận xét
để đề xuất vấn đề mới.
Các ví dụ:
Ví dụ 1:
Bài toán I: Bài 30 SGK toán 9. Tập 1:
Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB. Ax, By là các đờng thẳng vuông góc với AB
tại A và B. M là điểm thuộc nửa đờng tròn. Tiếp tuyến tại M cắt Ax, By theo thứ tự ở
C và D. Chứng minh rằng:
1).

COD
=90
0

2). CD = AC + BD
3). AC . BD không đổi khi M chạy trên nửa đờng tròn.
Giải:
1. Để chứng minh

COD
= 90
0
ta có nhiều cách chứng minh sau đây là một cách.
Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau.
Ta có: OC là phân giác

AOM
.
OD là phân giác

BOM

Mà

AOM
và

BOM
là hai góc kề bù
nên OC OD hay

COD
=90
0
.
2. Cũng theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau ta có:
CM = CA; DM = DB nên ta có: CD = CM

+ MB

= CA +BD.
3. AC. BD = CM .MD ( Do CM = CA; DM =DB).
Mà

COD vuông tại O có đờng cao OM nên
CM.MD = OM
2
=R
2
. ( R là bán kính đờng tròn(O))
Khai thác bài toán:
Nhận xét 1: Theo giả thiết CA AB, DB AB

ABCD là hình vuông.
M là điểm trên nửa đờng tròn nên khi M là điểm chính giữa của cung AB thì
CD = AB. Ta có câu hỏi tiếp.
2
Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa
4. Tìm vị trí điểm M trên nửa đờng tròn sao cho tứ giác ABDC có chu vi nhỏ
nhất.
Giải: Chu vi hình thang ABCD bằng AB +BD +DC+CA = AB +2CD
Chu vi ABCD nhỏ nhất

2CD nhỏ nhất

CD nhỏ nhất

CD vuông góc
với tiếp tuyến tại M

CD =AB

M là điểm chính giữa của cung AB.
Nhận xét 2: ABCD là hình thang vuông nên diện tích sẽ là .
S =

2
AB
BDAC +
Ta có có thể đặt câu hỏi tiếp.
5. Tìm vị trí điểm M trên cung AB sao cho diện tích tứ giác ABCD nhỏ nhất.
Giải: Lập luận tơng tự ta có nhỏ nhất

M là điểm chính giữa cung AB.
Nhận xét 3: Ta thấy

AMB vuông M,

COD vuông ở O
OC AM; OD BM. Ta đặt câu hỏi tiếp.
6. Gọi giao điểm AM với OC là P, BM và OD là Q.
Chứng minh tứ giác OPMQ là hình chữ nhật
Giải: Dựa vào nhận xét 3 ta dễ dàng chứng minh đợc tứ giác OPMQ là hình
chữ nhật
Nhận xét 4: Do AC // BD . Ta đặt câu hỏi tiếp.
7. Gọi giao điểm AD và BC là H . Chứng minh MH AB
Giải: Do CA // BD
HB
CH
BD

CA
=
mà CA = CM
BD =DM
Nên
=
HB
CH
MD
CM
MH //BD( đ/l đảo định lý ta let)

MH AB ( Do DB AB).


Nhận xét 5: H là giao điểm 2 đờng chéo của hình thang ABDC mà
MH// (AC// BD) ta đặt câu hỏi tiếp.
8. Gọi giao điểm AD và BC là H, MH cắt AB ở K.
Chứng minh HM = HK
3
Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa
Giải: Theo câu 7

HK // AC

BC
BH
AC
HK
=

AC//BD


DA
DH
BC
BH
=
MH// CA


CA
MH
DA
DH
=
Từ các đẳng thức trên
MHHK
CA
MH
AC
HK
==
.
Nhận xét 6:
H là trung điểm MK; P là trung điểm AM; Q là trung điểm BM ta đặt câu hỏi
tiếp theo.
9. Chứng minh rằng P, H, Q thẳng hàng
P là giao điểm AM với OC, H là giao điểm AD và BC, Q là giao điểm MB và OD
Giải: Dựa vào nhận xét 6 . ta dễ dàng chứng minh đợc P,H ,Q thẳng hàng.

Nhận xét 7: ABDC là hình thang vuông có O là trung điểm cạnh bên AB ta
liên tởng đến trung điểm cạnh bên CD.Nên ta có thể đặt câu hỏi tiếp.
10. Chứng minh rằng.
AB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp

COD.
Giải: Gọi I là trung điểm CD


IC = ID =IO(

COD vuông có OI là trung tuyến ứng với cạnh huyền)
O là trung điểm AB ,I là trung điểm CD

IO là đờng trung bình hình thang ABDC

IO // BD
Mà DB AB

IO AB tại O

AB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp

COD
Ta sẽ tiếp tục khai thác bài toán theo hớng khác :
Nhận xét 8:
Khi M nằm trên nửa đờng tròn (O). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến Ax,By tại C và D
hay CD là tiếp tuyến của đờng tròn tại M thì

COD

= 90
0
đều ngợc lại còn đúng
không?
Ta có bài toán sau:
4
Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa
Bài toán 1.I: Cho nửa đờng tròn (()) đờng kính AB, Ax, By là các tiếp tuyến tại A và
B, trên Ax lấy điểm C tùy ý . Vẽ tam giac vuông COD, D By và cùng nằm trên
nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C .
Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của (O) .
Giải : ta có:

2
1

= OD
cùng phụ
1

O
;
==

BA
90
0
(gt)

DOB ~

OCA ( g.g)

CA
OB
OC
OD
=
mà OB = OA nên
AC
OA
OC
OD
=
;
Mặt khác

CAD
=

COD
= 90
0



COD ~

CAO ( c.g.c)



= DCOACO
hay CD là phân giác của góc

ACD
.
Từ O vẽ OM CD ( M CD ) ; CO là phân giác

ACM
OA AC

OM = OA(Điểm nằm trên phân giác cách đều hai cạnh của góc) . Vậy
CD là tiếp tuyến của (O) tại M.
Nhận xét 9: Theo câu 2. Bài I thì: AC +BD =CD ta hãy đặt vấn đề ngợc lại
của câu 2. Bài toán I.
Bài toán 2.I: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB . hai tiếp tuyến Ax và By trên 2
tiếp tuyến đó lấy 2 điểm C và D sao cho CD = AC + BD chứng minh

COD
=90
0
và
CD là tiếp tuyến của (O).
Giải: Qua O kẻ đờng thẳng vuông góc với AB cắt
CD tại I ta có I là trung điểm của CD

IO là đờng trung bình của hình thang
ABCD nên
IO =
CDBDAC .
2
1
)(
2
1
=+
( do AC +BD = CD)


COD vuông ở O.
theo bài toán 2 thì CD là tiếp tuyến của (O)
Nhận xét 10: Tiếp tục khai thác bài toán bằng cách thay đổi điều kiện của bài
toán: Chẳng hạn điểm O đợc thay bởi điểm O
'
bất kỳ thuộc đoạn AB, lúc này
CD không còn là tiếp tuyến nửa mà trở thành cát tuyến, bây giờ

DCO'
bằng
bao nhiêu?.
5
Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa
Bài toán 3.I: Cho điểm M nằm trên nửa đờng tròn đờng kính AB, O
'
là điểm bất kỳ
nằm trong đoạn AB, đờng thẳng vuông góc với MO

'
tại M cắt tiếp tuyến Ax, By tại
C và D . Chứng minh
0
90' =

DCO
.
Giải: Do O
'
bất kỳ thuộc AB nên O
'
trùng O ; hoặc O
'
trùng A hoặc O
'
trùng B.
+/ Nếu O
'
trùng O Thì bài toán 3.I trở thành bài toán I.
+/ Nếu O
'
trùng A

D trùng B, khi đó
0
90' ==

CABDCO
+/ Nếu O

'
trùng B

C trùng A khi đó
0
90' ==

DBADCO
Xét O
'
không trùng O ; O
'
không trùng A; O
'
không trùng B.
Ta có : AO
'
MC nội tiếp


=
1
'
1
MO
cùng chắn
Cung CA
BO
'
MD nội tiếp

=
2
'
2
MO


Do
0
90=

AMB
(gt) nên
0
21
90=+

MM

0
2
'
1
'
90=+

OO
0

90' =

DCO
.
Nhận xét 11: Khi O
'
nằm trên đờng thẳng AB thì bài toán 3.I còn đúng nửa
không. Ta có bài toán sau:
Bài toán 4.1: Cho điểm M nằm trên nửa đờng tròn đờng AB, O
'
là điểm bất kỳ trên
đờng thẳng AB nhng ở phía ngoài đoạn AB, đờng thẳng vuông góc O
'
M tại M cắt
các tiếp tuyến Ax, By tại C và D. Chứng minh
0
90' =

DCO

Giải ( Tóm tắt).
+) CMAO
'
nội tiếp


= MABCMO'
cùng bù

'MAO

+) DBMO
'
nội tiếp


= BMODMO ''
cùng chắn cung
MO
'
mà
0
90' =+

BMOMAB
nên
0
90'' =+

DMOCMO
0
90' =

DCO
(Tổng 3 góc trong tam giác).


Nhận xét 12: Qua bài toán 4 và 4.1 ta có bài toán tổng quát sau:
Cho nửa đờng tròn đờng kính AB, M là điểm bất kỳ trên nửa đờng tròn đó ( M A,
M B) O là điểm bất kỳ trên đờng thẳng AB, đờng thẳng vuông góc với OM tại M
cắt tiếp tuyến Ax và By tại C và D. Chứng minh rằng OC OD.

Ví dụ 2: (Dựa vào bài tập 95 SGK .Toán 9 . Tập 2).
Bài toán II: Cho

ABC nhọn trực tâm H các đờng cao AM, BN, CP
6
Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa
Chứng minh: Các tứ giác APHN; BPNC nội tiếp đợc
Giải: ( Tóm tắt).
+/
0
90=

APH
;
=+=

00
18090 ANHAPHANH

APHN nội tiếp
+/
==

0
90BNCBPC
BPNC nội tiếp
Nhận xét 1: Hình vẽ gợi cho ta một số tứ giác nội tiếp.
Ta đặt thêm câu hỏi.
1. Trên hình vẽ có bao nhiêu tứ giác nội tiếp
Có 6 tứ giác nội tiếp: APHN; BPHM; CMHN; ANMB; BPNC; APMC.

Nhận xét 2: Với

BHC có A là trực tâm,

AHC có B là trực tâm ta đặt câu hỏi tiếp
theo.
2. Chứng tỏ rằng mỗi đỉnh của đã cho là trực tâm của tam giác tạo thành
bởi 2 đỉnh còn lại và trực tâm H của
ABC
.
Nhận xét 3: Từ các tứ giác nội tiếp đã tìm đợc ta thấy:

====
21211111
;; MMMCCBBM
ta có câu hỏi tiếp theo.
3. Chứng minh rằng H là tâm đờng tròn nội tiếp
MNP

.
Giải: ( Dựa vào nhận xét 3 . Ta dễ dàng chứng minh đợc)
Nhận xét 4: ta có NH là phân giác

PNM
NA

NH(gt)

NA là phân giác góc ngoài đỉnh N của
MNP

. Nên A là tâm đờng
tròn bàng tiếp của
.MNP

Ta có câu hỏi tiếp theo.
4. Chứng minh rằng mỗi đỉnh của
ABC

là tâm đờng tròn bàng tiếp các
góc tơng ứng của
MNP
.
Giải: ( Dựa vào nhận xét 4)
Nhận xét 5: Dựa vào 4 Thì NA là phân giác ngoài đỉnh N của
MNP

, NH là phân
giác trong nên ta có câu hỏi tiếp.
5. Gọi G,K,I lần lợt là giao điểm của AH với PN, BH với PM, CH với
MN . Chứng minh rằng.
HP
IH
CP
CI
HN
KH
BN
BK
HM

HG
AM
AG
=== ;;
Giải: Dựa vào nhận xét 5. Sử dụng tính chất đờng phân giác ta có điều phải chứng
minh.
7
Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa
Nhận xét 6: Lấy H
1
đối xứng với H qua AB Ta thấy

== AHBBAHABHBAH
11
mà
0
180; =+=

NCMNHMNHMAHB
tứ giác NHMC nội tiếp

0
1
180=+

ACBBAH
nên
tứ giác AH
1
BC nội tiếp dợc ta đặt câu hỏi tiếp.

6. Gọi H
1
,H
2
,H
3
là điểm đối xứng với H
qua các cạnh AB, BC, CA của
ABC

.
Chứng minh rằng . 6 điểm A,H
1
, B, H
2
, C, H
3

cùng thuộc một đờng tròn.
Giải:Dựa vào nhận xét 6 ta dễ dàng chứng minh đợc.
Nhận xét 7: Theo nhận xét 6 thì
BAH
1

=
AHB
và đối xứng nhau qua AB

đờng
tròn (AH

1
B) = đờng tròn( AHB)= đờng tròn(ABC), từ đó ta có câu hỏi tiếp.
7. Gọi R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp
ABC
. Chứng minh rằng: đờng tròn
(AHB) = đờng tròn(AHC) = đờng tròn(BHC) cùng có đờng kính 2R.
Giải: Dựa vào câu 6 và nhận xét 7 ta chứng minh đợc.
Nhận xét 8: Ta thấy. S
APN
=
SinAAPAN
2
1
S
ABC
=
SinAACAB
2
1
ACosCosACosA
AC
AP
AB
AN
ACAB
APAN
S
S
ABC
APN

2

.
.
====
Tơng tự:
CCos
S
S
BCos
S
S
ABC
CMN
ABC
BPM
22
; ==
từ đó ta đặt câu hỏi tiếp.
8. CMR:
)(1
222
CCosBCosACos
S
S
ABC
MNP
++=

Giải: Dựa vào nhận xét 8 ta có:

S
APN
= S
ABC.
.Cos
2
A; S
BPM
= S
ABC
. Cos
2
B

S
CMN
= S
ABC
. Cos
2
C


S
MNP
= S
ABC
- S
ABC
( Cos

2
A+ Cos
2
B +Cos
2
C)
= S
ABC
( 1- ( Cos
2
A + Cos
2
B + Cos
2
C)
8
Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa
)(1
222
CCosBCosACos
S
S
ABC
MNP
++=

Nhận xét 9:
Theo câu 6 . Thì A,H
1
, B, H

2
, C, H
3
cùng thuộc 1 đờng tròn


cung AH
1
= cung AH
3


A là điểm chính giửa của cung
H
1
AH
3
ta đặt câu hỏi tiếp theo.
9. Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp
ABC
chứng minh:
AO

PN ; CO

MN ; BO

PM
Giải: ( có nhiều cách giải) Xin nêu một cách.
Ta có:

=
11
CB
( cùng phụ

)BAC


=
31
AHAH

A là điểm chính giửa cung

31
AHH
AO


H
1
H
3

Tứ giác BPNC nội tiếp

=
21
BP

(cùng chắn cung NC) ;

= CHHB
132
( cùng chắn
cung H
3
C)
=

CHHP
131
PN // H
1
H
3
mà
AO

H
1
H
3
suy ra
PN

OA
Chứng minh tơng tự ta đợc CO

NM; BO

PM.
Nhận xét 10: Kẻ đờng kính AI của đờng tròn ngoại tiếp
ABC
ta có IC // BH
( Cùng vuông góc với AC)
H
2
I // BC ( H
2
là điểm đối xứng với H qua BC)
Ta đặt câu hỏi tiếp.
10. Kẻ đờng kính AI, Gọi H
2
là điểm đối xứng với H qua BC. Chứng minh rằng:
+Tứ giác BHCI là hình bình hành
+Tứ giác BCIH
2
là hình thang cân
Nhận xét 11: Theo trên thì BPNC nội tiếp, AO

PN vấn đề ngợc lại có đúng
không? Tức là PN

AO

BPNC nội tiếp . Ta có bài toán sau:
Bài toán 1.II : Cho
ABC
nhọn nội tiếp (O) đờng kính AI, d là đờng thẳng vuông

góc với AI cắt AB, AC tại M và N. Chứng minh BPNC nội tiếp đợc.
Giải: Do d bất kỳ nên: d có thể đi qua A, B, C.
+Khi d đi qua A

M A; N A


BMNC trở thành
ABC
9
Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa
+Khi d đi qua B

M B

BMNC trở thành
MNC
+Khi d đi qua C

N C

BMNC trở thành
BMC

+Khi d cắt AI không đi qua các đỉnh của
ABC

Để chứng minh đợc BMNC nội tiếp
Ta chứng minh
0

180=+

NB
.
Gọi T là giao điểm của d với AI
Ta có: ITNC nội tiếp đợc <
>==

00
90;90 ITNICN



0
180=+

NI
mà

= BI
cùng chắn
cung AC

0
180=+

NB

Tứ giác BMNC nội tiếp.
Nếu d cắt các đờng thẳng chứa cạnh AB, AC
tại M và N ( M, N không thuộc cạnh AB, AC
của
ABC

.
Ta có:
0
1
90=+

AN
mà

=
1
1
BA
cùng chắn
cung IC

0
1
90=+

BN
mặt khác

IBM

= 90
0
nên
0
1
180=++

IBMBN
hay
0
180=+

MBCN


Tứ giác MBCN
nội tiếp đợc.
Nhận xét 12:
Theo câu 4. Thì 3 đỉnh của
ABC


lần lợt là tâm đờng tròn bàng tiếp các
góc tơng ứng M, N, P của
MNP

.
Gọi I, K lần lợt là tiếp điểm của
đờng tròn ( B) và ( C) với đơng thẳng PN
Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau ta có:

2 NI = Chu vi
MNP

( hai tiếp tuyến của (B) cắt nhau tại N
2PK = Chu vi
MNP

(hai tiếp tuyến của (C) cắt nhau tại P
2(NI + PK) = 2 Chu vi
MNP

10
Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa

Chu vi
MNP

= NI + PK.
Hay MN +NP + PM = IP + PN + PN + NK
= (IP +PN + NK) + PN
Hay MN + MP = IK
Ta có bài toán sau:
Bài toán 2.II: Cho
ABC

nhọn các đờng cao AM, BN, CP
Gọi I, K là hình chiếu của B và C lên đờng thẳng PN . Chứng minh rằng:
MP + MN = IK
Chứng minh: Dựa vào nhận xét 12 ta chứng minh đợc
Nhận xét 13: Ta có Chu vi

MNP

= MP + PN +MN
Ta gọi M
1
, M
2
lần lợt là các điểm đối xứng với
M qua AB và AC. Khi đó ta có:
PM = PM
1
; NM = NM
2
và M
1
, M
2
thuộc
đờng thẳng PN khi đó: M
1
P+ PN + NM
2
= M
1
M
2
= MP + PN +MN
= Chu vi
MNP
trong trờng hợp này Chu vi

MNP
nhỏ nhất.
Từ đó ta đề xuất bài toán sau:
Bài toán 3.II : Cho
ABC
nhọn. Hãy tìm trên các cạnh của
ABC
các điểm M, N, P
sao cho Chu vi
MNP
nhỏ nhất.
Giải: Giải sử M

BC, N

AC, P

AB
Lấy điểm M
1
, M
2
Là các điểm đối xứng với M
qua các cạnh AB, AC ta có AM
1
=AM = AM
2

các
2121

;; AMMMAMMAM
là các tam giác cân tại A
MAM
1

cân tại A



AMM
1
=2

BAM
MAM
2

cân tại A



= CAMAMM 2
2


21
AMM
=

AMM

1
+

AMM
2
= 2(

BAM
+

CAM
) = 2

BAC
mà
21
AMM
cân tại A và


21
AMM
=2

BAC
không đổi
Chu vi
MNP

= MP + PN +MN= M

1
P +PN + NM
2


Chu vi
MNP

nhỏ nhất khi
M
1
, P, N, M
2
thẳng hàng và M
1
M
2
nhỏ nhất.
11
Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa
Do
21
AMM
cân tại A, có


21
AMM
không đổi nên M
1

M
2
nhỏ nhất khi AM nhỏ
nhất, AM nhỏ nhất khi AM

BC

M là chân đờng cao hạ từ đỉnhA của
ABC
.
Do vai trò của M, N, P nh nhau nên lập luận tơng tự ta có:
BN

AC, CP

AB

N, P là chân các đờng cao hạ từ B và C của
ABC
.
Nhận xét 14: Theo câu 3. ta có H là tâm đờng tròn nội tiếp
MNP
S
PNM
= S
PNH
+ S
PHM
+ S
NHM

=
(
2
r
MP + PN +MN) ( r là tâm đờng tròn nội tiếp
MNP

).
Nhng theo câu 9: AO

PN, BO

PM, CO

NM
Nên các tứ giác APON, PBMO, CNOM là các tứ giác có 2 đờng chéo vuông góc
và tổng diện tích 3 tứ giác này bằng diện tích tam giác ABC.
S
ABC
= S
APON
+ S
BPMO
+ S
CNOM
=
NM
CO
PM
OB

PN
OA
.
2
.
2
.
2
++
=
2
R
(MP + PN +MN). R là
bán kính đờng tròn ngoại tiếp
ABC


Ta đề xuất bài toán sau:
Bài toán 4.II: Cho
ABC

nhọn nội tiếp (O,R) các đờng cao AM, BN, CP gọi r là
bán kính đờng tròn nội tiếp
MNP

.
Chứng minh rằng:
R
r
S

S
ABC
MNP
=
Chứng minh: Dựa vào nhận xét trên ta chứng minh đợc.
Nhận xét 15: theo bài toán 4.II thì
R
r
S
S
ABC
MNP
=
Còn theo câu 8. thì
)(1
222
CCosBCosACos
S
S
ABC
MNP
++=
Ta lại đề xuất bài toán sau:
Bài toán 5.II : Cho
ABC
nhọn nội tiếp (O,R) , M, N, P lân lợt là chân đờng cao của
tam giác, r là bán kính đờng tròn nội tiếp
MNP
. Chứng minh rằng:

(1=
R
r
)
222
CCosBCosACos ++
Chứng minh: Dựa vào nhận xét trên ta chứng minh đợc:
Nhận xét 16: Từ câu 7.
R là bán kính đờng tròn ngoại
tiếp
ABC

thì đờng tròn (AHB)
12
Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa
= đờng tròn(AHC) = đờng tròn(BHC)
Cùng có đờng kính 2R.
Ta lại đề xuất bài toán sau:
Bài toán 6.II:
Cho
ABC

nhọn, trực tâm H nội tiếp đờng tròn(O,R) Gọi O
1
, O
2
, O
3
lần lợt là
tâm đờng tròn ngoại tiếp các tam giác AHB, AHC, và BHC chứng minh rằng tam

giác O
1
O
2
O
3
bằng tam giác ABC.
Chứng minh: Theo câu 7. Các đờng tròn ngoại tiếp các
ABCBHCAHCAHB ,,,
bằng nhau nên ta có.
OA = OB = O
1
A = O
1
B = R

AOBO
1
là hình thoi

AO //BO
1
Tơng tự AOCO
2
là hình thoi

AO // CO
2

BO

1
// CO
2
và BO
1
= CO
2


BO
1
O
2
C là hình bình hành

O
1
O
2
= BC
Do O
1
,O
2
, O
3
ta chứng minh hoàn toàn tơng tự
Ta có: O
2
O

3
= AB; O
1
O
3
= AC
Vậy
CABOOO =
321
Nhận xét 17: Theo câu 10. Thì BHCI là hình bình hành. Gọi giao điểm 2 đơng chéo
là T. Ta có: OT =
AH
2
1
hay AH = 2OT (đờng trung bình tam giác AHI)
Và HB + HC = IB + IC Khi đó
HA +HB + HC = HA + IB +IC
Nếu cố định BC

OT không đổi

AH = 2OT không đổi


Tổng HA +HB + HC
chỉ phụ thuộc vào vị trí điểm I .
Ta đề xuất bài toán:
Bài toán 7.II: Cho đờng tròn (O) và dây BC không đi qua O, A là điểm đi trên đờng
tròn sao cho
ABC

nhọn, Gọi H là trực tâm
ABC

. Tìm vị trí điểm A sao cho tổng
khoảng cách HA +HB + HC lớn nhất .
Lời giải: ( Tóm tắt )
13
Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa
Vẽ đờng kính AI, Gọi T là giao điểm HI và BC. Theo câu 10 thì BHCI là hình
bình hành

T là trung điểm HI

HB + HC =BI + IC. Mà O là trung điểm AI .
Nên TO =
AH
2
1
( đờng trung bình
)AHI


AH = 2OT
Do BC cố định, O cố định

OT không đổi

AH không đổi.
Do đó: HA +HB + HC lớn nhất khi BI + IC lớn nhất. Mặt khác vì

ABC

nhọn nên
A chỉ chuyển động trên cung H
1
H
2
. Khi A chuyển động trên cung H
1
H
2
thì I
chuyển động trên cung nhỏ BC nên IB

+ IC lớn nhất khi I là điểm chính giữa cung
BC

A là điểm chính giữa cung lớn BC. ( A ở vị trí A
1
; I ở vị trí I
1
)
Nhận xét 18: Theo câu 6 thì H
1
, H
2
, H
3
thuộc đờng tròn tâm (O) ngoại tiếp tam
giác ABC, ta nhận ra rằng A là điểm chính giữa

cung H
1
H
3


A thuộc phân giác góc H
1
H
2
H
3

ta đề xuất bài toán.
Bài toán 8.II: Dựng tam giác nhọn ABC biết
3 điểm phân biệt H
1
, H
2
, H
3
là các điểm đối
xứng với trực tâm H lần lợt qua AB, BC, AC
Giải: (Vắn tắt) Dựa vào nhận xét trên ta dễ dàng dựng đợc theo trình tự
- Dựng đờng tròn tâm (O) ngoại tiếp tam giác H
1
H
2
H
3

Dựng phân giác các góc H
1
H
2
H
3
; H
1
H
3
H
2
; H
3
H
1
H
2
các giao điểm phân giác các
góc này với đờng tròn tâm (O) là các đỉnh A,B,C của tam giác ABC cần dựng
Từ bài toán I,II bằng cách nghiên cứu kỹ lời giải của từng câu đặc biệt chú ý đến
đặc điểm các yếu tố ta có thể đề xuất các bài toán sau:
Bài toán 1: I. Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R ;M là điểm di động
trên nửa đờng tròn đó ( M khác A, M khác B) vẽ đờng tròn tâm M tiếp xúc với AB
tại H, từ A và B vẽ 2 tiếp tuyến AC và BD với đờng tròn tâm M
a. Chứng minh 3 điểm C,M, D cùng nằm trên tiếp tuyến của đờng tròn tâm
(O) tại điểm M.
b. Giả sử CD cắt AB ở K. Chứng minh OA
2
= OB

2
= OA.OK
Bài toán 2: I. Cho đờng tròn (O) đờng kính AB= 2 R, tiếp tuyến tại điểm M
bất kỳ trên đờng tròn cắt các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại A và B lần lợt ở C và
D
a. Xác định vị trí điểm M sao cho chu vi tam giác COD nhỏ nhất
b. Gọi I, J lần lợt giao điểm của OC với AM và OD với BM xác định vị trí điểm M
14
Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa
để đờng tròn ngoại tiếp tứ giác CIJD có bán kính nhỏ nhất.
Bài toán 3: II. Cho tam giác ABC trực tâm H, trọng tâm G, O là tâm đờng tròn
ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng.
a. Khoảng cách từ H đến A gấp 2 lần khoảng cách từ O đến BC
b. Ba điểm H, G, O thẳng hàng.
Bài toán 4: II. Cho đờng tròn tâm O (O) và dây BC cố điịnh không đi qua tâm, A
là điểm di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn
a. Tìm quỹ tích điểm H
b. Tìm vị trí điểm A sao cho diện tích tam giác ABC lớn nhất.

III. Kết luận.
Trên đây là những việc làm nhỏ nhoi của bản thân trong quá trình dạy học.
Khảo sát cho thấy với cách làm này các em hứng thú học tập hơn, các em khá, giỏi
không coi thờng các bài tập SGK đa ra tởng chừng đơn giản mà các em đã biết đào
sâu suy nghĩ , tìm kiếm phát hiện ra những vấn đề rất thụ vị, những h/s "hơi khá" đã
biết tổng hợp các bài tập cùng dạy, xâu chuổi các kiến thức để ôn tập một cách khoa
học.
Tôi nhận ra rằng những việc làm của tôi mới chỉ đáp ứng đợc một chút kiến
thức trong kho tàng kiến thức mà tác giả SGK muốn gửi gắm tới ngời học, Thông
qua ngời dạy bởi vậy tôi cần phải học hỏi nhiều, rất nhiều ở đồng nghiệp ở tài liệu
hy vọng đợc sự dìu dắt của đồng nghiệp để. Tôi càng hoàn thiện hơn trong nghề dạy

học./.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tháng 04 năm 2006
15
Mục lục kinh nghiệm
I. Đặt vấn đề
1. Vị trí môn học
2. Thực trạng học hình học hiện nay của học sinh THCS
II. Biện pháp đã thực hiện
III. Kết luận
Tài liệu tham khảo
1. Sách giáo khoa, sách bài tập toán 9
2. Sách nâng cao và phát triển toán 9.
3. Các chuyên đề hình học 9
Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa
I. Đặt vấn đề.
iải toán là việc làm thờng xuyên của ngời học toán, thông qua giải toán học
sinh không những cũng cố và khắc sâu các kiến thức đã học, mà còn có vai trò
rất quan trọng trong việc rèn luyện năng lực t duy sáng tạo cho học sinh thông qua
việc giải toán học sinh rèn luyện, phát triển nhiều kỹ năng nh: Kỹ năng phân tích,
kỹ năng lập luận, kỹ năng phán đoán, kỹ năng vận dụngthực tiễn dạy học cho thấy
học sinh rất máy móc khi vận dụng các kiến thức đã học vào việc giải bài tập. Do
vậy không phát triển đợc năng lực t duy sáng tạo và các kỹ năng cho học sinh. Khi
gặp các bài toán không vận dụng trực tiếp các kiến thức đã học thì rất nhiều học
sinh lúng túng không tìm đợc phơng pháp giải bài toán đó nh thế nào. Đặc biệt là
trong môn hình học với những giả thiết mà bài toán cho nếu không có tính sáng tạo
học sinh không thể giải quyết đợc bài toán đó. Do vậy khi gặp các bài toán này học
sinh phải suy nghĩ để vẽ thêm các đờng phụ, điểm phụ từ đó giúp học sinh giải
G
16

Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa
quyết bài toán một cách dễ dàng và thuận lợi hơn. Tuy nhiên vấn đề đặt ra là: khi
gặp một bài toán học sinh không biết vẽ đờng phụ nh thế nào do đó rất nhiều học
sinh " mò mẫm" để vẽ các đờng phụ nhằm tìm ra lời giải cho bài toán và đa số là
thất bại kết quả bài tóan không đợc giải quyết, một số em khá tìm ra đợc cách kẽ đ-
ờng phụ nhng không hợp lý dẫn đến lời giải dài dòng phức tạp. Với học sinh lớp 7
thì vấn đề trên càng gặp nhiều khó khăn khi các em mới làm quen với phơng pháp
suy luận, phơng pháp chứng minh bài toán hình học. Việc các em vận dụng các
kiến thức đã học vào việc lập luận, chứng minh bài toán hình học đã khó cha nói
đến việc các em phải suy nghĩ tìm cách kẽ đờng phụ rồi mới vận dụng đợc các kiến
thức đã học vào để giải quyết bài toán đó. Đứng trớc khó khăn chung của học sinh
trong quá trình giảng dạy hình học lớp 7 tôi đã cố gắng hớng dẫn các em tìm ra một
số phơng pháp " kẻ đờng phụ" trong giải toán. Việc làm đó đã góp phần rất lớn
trong việc rèn luyện kỹ năng cho học sinh, giúp các em rèn luyện đợc năng lực t
duy sáng tạo khi giải các bài toán hình học. Do đó việc" rèn luện kỹ năng kẻ đờng
phụ trong việc giải toán hình học" là việc làm hết sức khó khăn nhng không thể
thiếu của giáo viên. Với lý
do trên tôi mạnh dạn trình bày chuyên đề " Rèn luện kỹ năng kẽ đờng phụ cho học
sinh trong giải toán hình học lớp 7"
II. Giải quyết vấn đề
I. Các bài toán: Chứng minh hai góc bằng nhau.
1. Một số gợi ý để đi đến chứng minh đợc hai góc bằng nhau.
Sử dụng hai góc cùng số đo
Sử dụng góc thứ ba làm trung gian, 2 góc cùng phụ hoặc cùng bù với một góc
Hai góc cùng bằng tổng, hiệu của hai góc tơng ứng bằng nhau.
Sử dụng tính chất tia phân giác của 1 góc, góc đối đỉnh, tính chất 2 đờng
thẳng song song
Góc có cạnh tơng ứng vuông góc song song , góc của tam giác đặc biệt
2 góc tơng của hai tam giác bằng nhau.
2. Một số bài toán.

Bài toán 1: Cho tam giác ABC cân tại A có
0
20=

A
. Trên cạnh BC lấy điểm D sao
cho AD = BC. Tính

ACD
.
17
Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa
Nhận xét:
0
80==

CB
do đó
000
602080 ==

AB
là 1 góc của tam giác đều. Do
đó ta có thể suy nghĩ đến phơng pháp để vẽ đờng phụ nh sau:
Cách vẽ 1: Dựng điểm I nằm trong tam giác sao cho tam giác BIC là tam giác
đều. ( Hình vẽ 1)
Giải: Ta có
ABIABI =
( c.c.c)

0
10==

CAIBAI
(1)
Mặt khác
CIAADC =
( c.g.c)

= CAIACD
Từ (1), (2)

ACD
=10
0
.
Nh vậy việc kẻ đờng phụ là một việc làm rất quan trọng trong giải toán hình học.
Kẻ đờng phụ đúng giúp chúng ta gikải quyết bài toán một cách nhanh và gọn
gàng hơn rất nhiều. Điều quan trọng nửa là nếu không kẻ đợc đờng phụ thì rất
nhiều bài toán không giải quyết đợc. Sau khi tìm đợc

ACD
= 10
0
bằng cách dựng
tam giác đều BIC giáo viên có thế hớng học sinh dựng các tam giác đều khác
xem thứ có tìm đợc đáp số hay không?.
- Cách vẽ 2: Dựng tam giác đều ADM ( M và C khác phía so với AB) ( Hình vẻ
2)
Ta có:

0
20) ( ==

ACMcgcCAMABC
và CM = AC
Từ đó ta có :
0
0
10
2
20
) ( ====

MCDACDcccMDCADC
Cách vẽ 3: Dựng tam giác đều CAN ( B; N khác phía so với AC)
Ta có :
) ( cgcNADABC =

NDAC
=
và
0
20=

AND
Xét
DNC

ta có ND = NC ( cùng bằng AC)
CND

cân tại N mà
0000
40206060 ===

ANDCND
0000
00
10607070
2
40180
===

=

ACDNCD
Cách vẽ 4: Dựng tam giác đều ABK ( K; C cùng phía so với AB ) ( Hình vẽ 4)
Ta có
ACK
cân tại A mà
000
402060 ==

CAK
0
00
70
2
40180
=

=

AKC
18
Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa
Mặt khác:
000
106070) ( ====

BKCACDcgcBCKADC
Bài toán 2: Cho tam giác ABC cân tại A,
0
80=

A
. Điểm D thuộc miền trong tam
giác sao cho
00
30;10 ==

DCBDBC
. Tính

ADB
Nhận xét: ĐÂy là bài toán khó bới h/s khó nhận ra mối quan hệ giữa giả thiết và
kết luận để tìm cách giải quyết bài toán. Ta có:
0
60=+

DBCABC

là một góc của
tam giác đều. Từ đó giáo viên có thể hớng dẫn học sinh cách vẽ để tạo ra tam
giác đều theo các hớng sau:
Cách 1: Dựng tam giác đều BCM ( A; M cùng phía so với BC).
Ta có:
) ( cccACMABM =
0
30==

AMCAMB
Xét
ABM
và
DBC
có







==
==
=


0
10
30

DBCABM
DCMAMB
BCBM
ABDDBABgcgDBCABM == ) (
cân tại B
0
00
70
2
40180
=

=

ADB
Cách 2: Dựng tam giác đều ABE ( C và E cùng phía so với AB)
Ta có:
ACE

cân tại C, mà
=

==

0
00
0
80
2
40180

20 ACECAE
BADBABEBDgcgBECBDCBCE =====

) (305080
000
cân tại B
0
00
70
2
40180
=

=

ADB
Cách 3: Dựng tam giác đều ACK ( B; K cùng phía so với AC)
Ta có
ABK
cân tại K, mà
00
8020 ==

ABKBAK
) (305080
000
gcgCKBBDCCBK ===

ABDCKBD
=

cân tại B
19
Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa
mà
0
00
0
70
2
40180
40 =

==

ADBABD
Cách 4: Ta có nhận xét: Để tính đợc góc

ADB
ta cần chứng minh đợc tam giác
ABD cân tại B. Do đó ta có thể giải bài toán trên theo các hớng khác .
Kẻ Tia phân giác của góc

ABD
cắt CD kéo dài tại M
ta có:
BMCMCBMBC ==

0
30
cân tại M

0
120=

BMC
Mặt khác
) ( cccACMAMB =
) (120
2
120360
0
00
ccgDBMABMAMCAMB ==

==

ABDDBAB =
cân tại B, mà
0
40=

ABD
0
00
70
2
40180
=

=

ADB
Bài toán 3: Cho tam giác vuông ABC vuông cân tại A. Điểm D thuộc miền trong
tam giác sao cho
0
150=

DAC
và tam giác DAC cân tại D. Tính

ADB
Nhận xét : Để tính đợc góc ADB ta cần chứng minh tam giác ABD cân tại B. Ta
có 150
0
- 90
0
= 60
0
là một góc của tam giác đều. Do vậy trong bàig toán này ta
phải tìm cách vẽ kẻ để tạo ra tam giác đều từ đó tìm cách tính góc ADB. Do đó
giáo viên có thể hớng dẫn học sinh tìm cách vẽ đờng phụ theo các cách sau:
Cách 1: Dựng

đều ADF ( B;F cùng phía so với AC).
Ta có:
ADC

cân tại D mà

ADC
=150

0
00000
00
15)6015(9015
2
150180
=+==

=

BAFCAD
0
150) ( ==

AFBcgcAFBADC
và
00000
150)15060(36015 =+==

DFBABF
ABDDBABcgcDFBAFB == ) (
cân tại B mà
0
30=

ABD
0
00
75
2

30180
=
=
=

ADB
Cách 2: Dựng tam giác đều ACE ( E;B khác phiá so với AC)
Ta có:

ADE =

CDE(c.c.c)
0
75==

CDEADE
20
Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa
Mặt khác

ADE =

ADB ( c.g.c)
0
75==

ADBADE
Vậy
0
75=

ADB
Cách 3: Dựng tam giác đều CDK ( K;B cùng phiá so với AC)
Ta có:

DCB =

KCB ( c.g.c)
(*)KBDB =
Ta có

ADC =

ADK ( c.g.c)

AC = AK; AC = AB
)1(ABAK =
Mặt khác:
)2(60309015
0000
====

KABKADCAD
Từ (1) (2)


ABK là tam giác đều
(**)BABK =
Từ (*) (**)
ABDBADB

=
cân tại B
000
751590 ===

BDABAD
Vậy
0
75=

ADB
Cách vẽ 4: Dựng tia Bx sao cho
BxABx (15
0
=

và C cùng phía so với AB)
Ta có

BIC cân tại I (
)30
0
==

ICBIBC


BI = CI

ABI =

ACI( c.c.c)
0
45==

CAIBAI
do

BIC cân tại I
0000
120)3030(150 =+= BIC
Mặt khác:

ACI có
000000
120)4515(18045;15 =+===

AICCAIACI
Từ đó ta có:
0000
120)120120(360 =+=

AIB
Vậy AIB = DIB = 120
0
(*)
Xét tam giác: AID có

==
=+=


000
0
301545
30
DAI
CADACDADI
( Góc ngoài tam giác)


AID cân tại I

IA = ID ( **)
Từ (*) và ( **)



AIB =

DIB ( c.g.c)

AB = DB và
0

15==

DBIABI




ABD cân tại B.
0
00
75
2
30180
=

=

ABD
Bài toán 4:
21
Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa
Cho tam giác ABC có AB >AC .Điểm D thuộc AB sao cho BD = AC. Gọi M;N là
trung điểm của BC; AD. Tia MN cắt tia CA tại K. Chứng minh rằng :
2


==
A
MKCBNM
Nhận xét: ĐÂy là bài toán có M;N là trung điểm của BC và AD. Do đó cách vẽ

đơng phụ là tạo ra đờng trung trực của tam giác từ đó tìm cách giải. Đối với bài
toán này GV hớng dẫn h/s cách vẽ đfờng phụ theo các hớng sau:
Cách 1: Gọi I là trung điểm của CD. Xét
ACD

có IN là đờng trung bình
ACIN
2
1
=
và IN //AC (91)
Xét
BCD

có IM là đờng trung bình

IM//BD và IM =
)2(
2
1
BD
Do AC = BD ( gt) (3)
Từ (1) (2) (3)

IN = IM


MIN cân tại I

(*)

= IMNINM
Do IN //AC

IN //KC

(**)

== MNIMKChayINMCKN
Tơng tự: IM//BD

IM // BN


= IMNBNM
( So le trong) ( ***)
Từ (*) (**) ( ***)


= MKCBNM
.
Mặt khác
AKN
cân tại A

2
2


==

BAC
KBACK

Vậy:
2


==
A
MKCBNM

Cách 2: Trên tia đối của tia NB lấy điểm H sao cho NH = NB.
Ta có NM là đờng trung bình của
BHC


NM // HC


= BHCBNM
( đồng vị) (1)
Do NH = NB; ND = NA

BD = AH mà BD = AC nên AH = AC

AHC

cân tại
A

= ACHAHC
,

= MKCACH
( So le trong)(2)
Từ (1) (2)
(*)

= MKCBNM
Lập luận nh trên ta chứng minh đợc
AKN

cân tại A


= BACK2
( góc ngoài tam
giác)



= BACK
2
1
Từ (*) (**)

2

==
A
MKCBNM
Cách 3: Gọi P là điểm Nằm trên tia đối NC sao cho NC = NP. Nối PA; PD ; PB; DC
Xét
BCP

ta có : MN là đờng trung bình

MN //BP


= NBPBNM
( So le trong)
(*)
22
Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa
Mặt khác
DNPANC =
(c.g.c)


= DPCA CP

AC// PD hay KC //PD và AC = PD.
Theo giả thiết AC = BD

BD = PD

BPD

cân tại D


= DPBDBP
hay

= DPBNBP
(**)
Từ (*) và (**)


= DPBBNM
(1)
Lại có

= DPBMKC
( Góc có cạnh tơng ứng song song) (2)
Từ (1) và (2)



= MKCBNM
.
Ta cũng dễ dàng chứng minh đợc
AKN
cân tại A


= BACK2

2


=
BAC
K


2


==
A
MKCBNM
Cách vẽ 4: Gọi H là trung điểm của AB, ta có HM // AC ( T/c đờng trung bình của
tam giác)

HM //KC


= MKCKMH
(1)
Mặt khác HM =
BDAC
2
1
2
1
=
( Do AC = BD) (*)

Và HN = AH - AN =
(**)
2
1
)(
2
1
2
1
2
1
BDADABADAB ==
Từ (*) (**)

MHN
cân tại H


= NMHMNH
hay

= KMHBNM
(2)
Từ (1) (2)


= MKCBNM
Lập luận tơng tự nh trên ta cũng chứng minh đợc
AKN
cân tại A do đó

2


==
A
MKCBNM
.
Bài toán 5: Cho góc nhọn xOy trên Ox lấy 2 điểm A;B ( A nằm giữa O và B), trên
tia Oy lấy 2 điểm C và D ( C nằm giữa O và D) sao cho AC = CD. Gọi H, K là trung
điểm của AC và BD. Chứng minh rằng HK // với tia phân giác của góc xOy.
Nhận xét: ĐÂy là bài tóan chứng minh đờng thẳng song song thông qua chứng
minh hai góc so le trong hoặc hai góc đồng vị bằng nhau. Nên khi gặp dạng toán
này GV cần hớng dẫn h/s kẽ đờng phụ theo các hớng nh: Vẽ đờng trung bình của
tam giác, kẻ đờng phụ để tạo ra hai tam giác có hai góc tơng ứng bằng nhau mà cặp
góc đó là cặp góc so le trong hoặc đồng vị hoặc kẽ đờng phụ để tạo ra tam giác đặc
biệt.
Cách vẽ 1:Trên tia đối HB lấy điểm I sao cho HB = HI. Nối IC, ID. Gọi Oz là tia
phân giác của góc xOy .
Ta có: HK // ID ( T/c đờng trung bình của tam giác) (1)
) ( cgcCHIAHB =


AB = CI và

= BICABI


Ox // IC (*)
Mặt khác AB = CD

CI = CD


CID cân tại C



=
11
DI

2

= OCID
1
(**)
Từ (*)



= OCIxOy
( So le trong) ( ***)
Từ ( **) và (***)


=
1
2 DxOy

2
)2(//2
11
1
1
IDOzDODO ==

Từ (1) (2)

HK //Oz.
23
Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa
Cách vẽ 2: kẽ AA
1
vuông góc với Oz tại N ( A
1

Oy)
Kẽ BB
1
vuông góc với Oz tại M ( B
1


Oy)
Dễ dàng chứng minh đợc OA = OA
1
; OB = OB
1

AB = A
1
B
1
mà AB = CD

A
1
B

1
= CD

A
1
C = B
1
D (1)
Mặt khác: Ta chứng minh đợc NA = NA
1
; MB = MB
1
. Từ đó ta có NH // A
1
C
NH =
CA
1
2

1
và MK // B
1
D; MK =
DB
1
2
1
(2)
Từ (1) (2)

NH = MK và NH // MK


= KMHNHM


KMHNHM =
( c.g.c)


NMH
=

KHM

NM //HK

Oz // HK.
Cách vẽ 3: Kéo dài KH cắt Oy tại D, cắt Ox tại E. Gọi I là trung điểm của BC nối

IH và IK. Ta có: IK // CD

IK // Oy và IK =
CD
2
1
(1)
IH // AB

IH // Ox và IH =
AB
2
1
(2)
Từ (1) và (2) kết hợp với AB = CD ta cóIH = IK nên
IHK
cân tại I


=
11
KH
Từ (1)

K
1
= D
1
, Từ (2)

H
1
= E. Do K
1
= H
1
nên D
1
= E

OED

cân tại E
Mà
(
1

=+ xOyDE
góc ngoài tam giác)
Hay

=
21
22 OD



=
21
OD

EK // Oz

HK //Oz.
Nhận xét chung: Đối với dạng bài tập này GV cần chú ý h/s vẽ hình chính xác
đungd với các số liệu trong đề bài để có hớng chứng minh đúng. Phát hiện các trờng
hợp đặc biệt ( nếu có), chú ý liện hệ giữa goác của các tam giác bằng nhau. Vẽ đờng
phụ hợp lý nhằm xuất hiện : Những góc đặc biệt, những cặp góc bằng nhau, tam
giác cân, tam giác đều. Trong các đờng phụ kẽ thêm có thể là đờng phân giác, đờng
trung bình, tam giác đềutùy từng bài toán cụ thể.
II. Các bài toán chứng minh đoạn thẳng bằng nhau.
1. Một số gợi ý để đi đến chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.

Hai đoạn thẳng có cùng một số đo.

Hai đoạn thẳng cùng bằng một đoạn thẳng thứ ba

Hai đoạn thẳng cùng bằng tổng, hiệu của hai đoạn thẳng bằng nhau đôi một

Hai đoạn thẳng bằng nhau đợc suy ra từa t/c của tam giác cân, tam giác đều,
tam giác vuông

Hai cạnh tơng ứng của hai tam giác bằng nhau

Hai đoạn thẳng bằng nhau đợc suy ra từ t/c đờng trung tuyến, trung trực,
trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, cạnh đối diện với góc
30
0
của tam giác vuông

Định lý đờng trung bình của một tam giác

T/c đoạn chắn
2. Các bài toán minh họa.
24
Rèn luyện phát triển năng lực giải toán thông qua bài tập sách giáo khoa
Bài toán 1( Bài tập 9 - SBT Toán 7).
Chứng minh rằng nếu một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30
0
thì cạnh góc
vuông đói diện với nó bằng nửa cạnh huyền.
Nhận xét: Đây là bài toán khá đơn giản tuy nhiên không ít h/s gặp lúng túng khi giả
bài toán này. Do vậy khi gặp bài toán có một goác bằng 30
0
hoặc 60
0
thì cách vẽ đ-
ờng phụ là tạo ra tam giác đều.
Cách vẽ 1: trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BA = BM ta có
ABM
đều (tam giác
cân có một góc bằng 60
0
)

AB = AM = BM (1)
Mặt khác
AMC
cân tại M (
0

30==

MCAMAC
)

AM = MC (2)
Từ (1) (2)

AB =
2
BC
Cách vẽ 2: Nhận thấy
ABC
là nửa tam giác đều nên ta có thể kẽ đờng phụ nh sau.
Kẻ tia Cx sao cho
0
30=

ACx
( Cx khác phía so với CB).Cx cắt BA kéo dài tại D ta có
BDC
là tam giác đều

BD = BC (1)
Mặt khác
ADCABC =
(c.g.c)

AB = AD

AB =
2
BD
(2)
Từ (1) (2)

AB =
2
BC
Bài toán 2: (Bài 12 SBT- Toán 7)
Cho
ABC
vuông tại A M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM =
BC
2
1
Cách vẽ : Gọi N là trung điểm của AC ta có NM // AB ( T/c đờng trung bình của
tam giác) mà AB

AC
ACNM

CMNAMN =
( c.g.c)
2
BC
AMMCAM ==
Cách vẽ 2: Trên tia đối AB lấy điểm E sao cho AB = AE. Ta có AM =
CE
2

1
( T/c đ-
ờng trung bình của tam giác)
Mặt khác
ABC
=
) ( cgcAEC
)2(CEBC =
Từ (1) (2)
.
2
1
BCAM =
Cách vẽ 3: Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD, ta chứng minh đ-
ợc
.
2
1
BCAMADBCCDAABC ===
Bài toán 3: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC chứng minh rằng
AM <
2
ACAB +
Cách vẽ1: Trên tia đối MA lấy điểm D sao cho MA =MD ta có:
CDABDMCAMB
==
Mặt khác AD < AC +CD hay 2AM < AC +AB hay AM <
2
ACAB +
Cách vẽ 2: trên tia đối của tia AB lấy điểm E sao cho AB = AE. Ta có

CE =2AM(T/c đờng trung bình của tam giác)
25