rèn luyện và phát triển năng lực suy luận quy nạp cho học sinh trong dạy học toán ở trường phổ thông

Lời cảm ơn !
Sau thời gian học tập và rèn luyện, để có kiến thức như ngày hôm nay, tôi
xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán và trường ĐHSP Huế
đã tận tình dạy dỗ, truyền đạt kiến thức và tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành
tốt khóa luận tốt nghiệp này.
Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc đến thầy giáo
Trần Khánh Hưng, người đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong suốt quá
trình thực hiện khóa luận.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy và các em học sinh trường
THPT Nguyễn Đình Chiểu-Phong Điền- Huế đã đóng góp ý kiến giúp đỡ tôi để
khóa luận này được hoàn thành.
1
Mục lục


Trang
Mở
đầu 3
Chương 1: Cơ sở lí luận và thực
tiễn 5
1. Một số khái niệm cơ bản
5
1.1. Phương pháp suy
luận 5
1.2. Suy luận suy
diễn 5
1.3. Suy luận quy
nạp 5
2. Mối quan hệ cuâ phương pháp quy nạp với phương pháp
suy luận suy diễn trong dạy học
toán 7

2.1. Hai kiểu suy luận này hết sức khác
nhau 8
2.2. Hai loại suy luận này thống nhất với
nhau 8
3.Vai trò và tác dụng của phương pháp quy nạp trong dạy học
toán 10
2
4. Mục đích của dạy học
toán 13
5. Sơ lược tình hình rèn luyện quy nạp cho học sinh phổ
thông 14
5.1. Sách giáo khoa với việc rèn luyện năng lực quy nạp cho học
sinh 14
5.2. Sơ lược tình hình rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh
ở trường phổ
thông 17
chương 2: Một số biện pháp thực
hiện 19
1. Làm cho học sinh biết và thực hiện được các thao tác tư duy
thường gặp 19
1.1. Phân tích và tổng
hợp 19
1.1.1.Mô
tả 19
1.1.2. Tác dụng của việc thực hiện các thao tác trên trong dạy học
toán 19
1.1.3. Ví dụ minh
họa 19
1.2. So
sánh 23

1.2.1 Mô
tả 23
1.2.2 Tác
dụng 23
3
1.2.3. Ví dụ minh
họa 23
1.3. Thử nghiệm và nhận
xét 24
1.3.1.Mô
tả 24
1.3.2. Tác
dụng 24
1.3.3.Ví dụ minh
họa 24
2. Tập cho học sinh nêu dự
đoán 25
2.1. Mô
tả 25
2.2. Tác
dụng 25
2.2.1. Các trường hợp cụ
thể 25
2.2.2. Tập dự đoán qua khái quát hóa và đặc biệt
hóa 25
2.3.2. tập dự đoán qua tương
tự 33
2.3.3. tập dự đoán qua xét một mệnh đề
đảo 36
3. Rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh qua giải bài tập

toán 37
3.1. Giải
thích 37
4
3.2. Tác dụng đối với học
toán 38
3.3. Ví dụ minh
họa 39
Kết
luận 45
Phụ lục I: Phiếu xin ý
kiến 46
Phụ lục II: Phiếu tổng hợp kết quả điều
tra 48
Phụ lục III: Giáo án thực
nghiệm 51
mở đầu
1. lí do chọn đề tài
5
Tại đại hội Đảng CSVN lần thứ IX năm 2001, trong chiến lược phát triển
kinh tế xã hội 2001-2010 có nhắc đến nhiệm vụ của giáo dục là: “ Đổi mới
phương pháp dạy và học, phát huy tư duy sáng tạo và năng lực tự đào tạo của
người học, coi trọng thực hành, thực nghiệm, ngoại khoá, làm chủ kiến thức,
tránh học chay, học vẹt.”
Nhà toán học lớn của chúng ta, GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn đã khẳng
định: “Toán học là môn học hết sức thuận lợi trong việc rèn luyện tư duy logic,
nhưng cách dạy của chúng ta lại chỉ chú ý rèn luyện khả năng suy diễn coi nhẹ
khả năng quy nạp”. (Gs. Nguyễn Cảnh Toàn, thế giới mới số 53, năm 1993).
Trong “Phương pháp dạy học toán ở trường THCS” (xem [5], tr.36) GS.
Hoàng Chúng có trích dẫn theo R.Courant: “Trong việc học tập toán, phương

pháp suy diễn đúng là giúp chúng ta bao quát được nhanh một lĩnh vực rộng.
Song phương pháp xây dựng, đi từ cái riêng đến cái chung sẽ dẫn dắt tới những
tư duy độc lập và sáng tạo một cách vững chắc hơn.”
Theo GS. Phạm Văn Hoàn, “Giáo dục học môn toán” (xem [14], tr.22):
“Tuy suy diễn logic đóng vai trò chủ yếu trong phương pháp toán học, nhưng vai
trò của quy nạp cũng không phải là không quan trọng. Vai trò của quy nạp thể
hiện trong khi xây dựng khái niệm mới, chọn lọc các tiên đề trước khi chứng
minh một định lí, có thể nói rằng những lúc các nhà toán học dùng phương pháp
quy nạp là những lúc quan trọng trong sự phát triển toán học”.
Mặc dù vậy trên thực tế dạy học, chúng ta chỉ mới chú trọng đến suy diễn,
suy luận chứng minh, chứng minh mà chưa chú ý đến quy nạp, đến khả năng tư
duy độc lập sáng tạo, phát hiện ra cái mới của học sinh. Điều này sẽ được trình
bày rõ hơn trong phần sau của khoá luận này.
Là một sinh viên sư phạm toán, tôi mong muốn góp một phần nhỏ vào vấn
đề đổi mới phương pháp, nâng cao hiệu quả dạy và học, đáp ứng yêu cầu ngày
càng cao của khoa học kỉ thuật, của đời sống xã hội về con người lao động mới
phục vụ cho công tác xã hội sau này nên tôi chọn đề tài: “Rèn luyện và phát
6
triển năng lực suy luận quy nạp cho học sinh trong dạy học toán ở trường phổ
thông”.
2. Mục đích nghiên cứu
- Cố gắng làm rõ phương pháp quy nạp thể hiện trong sách giáo khoa thí
điểm phân ban ở THPT với vai trò của nó trong giảng dạy toán học.
- Đưa ra một số biện pháp để thực hiện mục đích trên.
3. Nội dung
Đề tài khoá luận được thực hiện gồm 3 chương, cụ thể:
- Chương I: Cơ sở lí luận và thực tiễn.
- Chương II: Một số biện pháp thực hiện.
- Chương III: Thực nghiệm sư phạm.
4. Phương pháp nghiên cứu

- Đọc tài liệu và vận dụng vào thực tế.
- Đề xuất phương pháp và thể hiện trên thực tế.
7
Chương I
cơ sở lí luận và thực tiễn
1. Một số khái niệm cơ bản
Trước khi đi vào nội dung chính của khoá luận, xin được làm rõ một số
khái niệm cơ bản có liên quan.
1.1. Phương pháp suy luận
Suy luận là một hình thức tư duy mà từ một hay nhiều phán đoán đã có
(tiên đề) ta rút ra được một số phán đoán mới (kết luận). Suy luận là một quá
trình nhận thức hiện thực gián tiếp. Nói chung có hai loại suy luận cơ bản: suy
luận suy diễn và suy luận quy nạp ( xem [13]).
1.2. Suy luận suy diễn.
Suy luận suy diễn là cách suy luận đi từ cái tổng quát đến cái riêng, từ quy
luật phổ biến đến trường hợp cụ thể. Do vậy kết luận bao giờ cũng đúng. Chẳng
hạn một quy tắc suy luận thường dùng là:

,A B A
B
⇒
( tam đoạn luận khẳng định).
1.3. Suy luận quy nạp.
Theo từ điển toán học thông dụng (xem [7], tr. 494), phương pháp quy nạp
là phương pháp suy luận dựa trên quan sát và thí nghiệm, xuất phát từ những
trường hợp riêng lẽ, rồi mở rộng các kết quả có tính chất quy luật ra cho trường
hợp tổng quát. Sau đây là các loại suy luận quy nạp.
a) Quy nạp toán học
Quy nạp toán học là một phương pháp suy luận chặt chẽ, thực chất của nó
là suy diễn, nhưng nó chứa yếu tố quy nạp, cụ thể là bước thử trực tiếp mệnh đề

8
đúng với n= 0 (hoặc n = p). Phương pháp quy nạp toán học là một phương pháp
chứng minh quan trọng trong toán học, cơ sở của nó là nguyên lí quy nạp toán
học. (Phương pháp này được đưa vào chương trình đại số và giải tích 11).
b) Quy nạp hoàn toàn
Quy nạp hoàn toàn là suy luận trong đó kết luận chung, khái quát được rút
ra trên cơ sở nghiên cứu tất cả các đối tượng của lớp đó.
Quy nạp hoàn toàn được đặc trưng bởi sự nghiên cứu toàn bộ các đối
tượng thuộc phạm vi xem xét để rút ra kết luận chung về chúng. Ta có sơ đồ khái
quát như sau:
1
S
là P
2
S
là P

n
S
là P
_________
∀S là P.
tức là khi mỗi đối tượng của lớp S đều có tính chất P thì cả lớp có tính chất P.
Phương pháp này được đưa vào chương trình toán phổ thông ở dạng ẩn tàng.
Ví dụ:
- Chương trình hình học 9, NXBGD 1994, tr.34 trình bày chứng minh định
lí: Trong một đường tròn, số đo của một góc nội tiếp bằng nửa số đo của góc ở
tâm cùng chắn một cung.
- Chương trình hình học 10, sách giáo khoa thí điểm ban KHTN, NXBGD
2003, Đoàn Quỳnh tổng chủ biên, tr.42 trình bày chứng minh định lý sin trong

tam giác:

2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
với A, B, C là ba đỉnh; a, b, c là ba cạnh và 2R là đường kính của đường tròn
ngoại tiếp của tam giác ABC.
9
c) Quy nạp không hoàn toàn.
Quy nạp không hoàn toàn là suy luận mà trong đó kết luận khái quát
chung về lớp đối tượng nhất định được rút ra trên cơ sở nghiên cứu không đầy
đủ các đối tượng của lớp ấy.
Thực chất là việc nghiên cứu chỉ tiến hành cho một số đối tượng của lớp
song kết luận lại rút ra chung cho cả lớp đó. Chúng ta dự đoán kết quả tổng quát
sau khi mới chỉ xem xét một số trường hợp riêng mà thôi.
Quy nạp không hoàn toàn không thể xem là một phương pháp chứng minh
trong toán học. Nó chỉ là một phương pháp có hiệu lực để phát hiện chân lí mới,
có thể đưa đến kết luận đúng. Chẳng hạn, để tìm công thức của tổng n số lẽ đầu
tiên, ta xét các trường hợp riêng:
2
1 1 1
= =
2
1 3 4 2
+ = =
2
1 3 5 9 3

+ + = =
2
1 3 5 7 16 4+ + + = =
2
1 3 5 7 9 25 5
+ + + + = =

Các kết quả này cho phép dự đoán
2
1 3 5 7 (2 1)n n
+ + + + + − =
, tức là tổng của
n số lẻ đầu tiên bằng
2
n
. Đây là một kết luận đúng và chúng ta có thể chứng
minh bằng quy nạp toán học. Bên cạnh đó, phương pháp quy nạp không hoàn
toàn cũng có thể đưa đến kết luận sai. Ví dụ xét các số dạng
2
2 1
n
+
(số Fermat).
Cho n các giá trị 1, 2, 3 ta được các số tương ứng là 3, 17, 137 đều là các số
nguyên tố. Do đó ta có thể nghĩ rằng tất cả các số Fermat đều là các số nguyên
tố. Song kết luận này không đúng. Với n = 4, Euler đã chỉ ra rằng
4
2
2 1
+

chia hết
cho 641. Nói tóm lại, kết quả tìm được bằng phương pháp quy nạp không hoàn
toàn chỉ là một giả thuyết, chừng nào nó chưa được chứng minh.
10
Trong toán học, phương pháp quy nạp hoàn toàn nói chung, chỉ được sử
dụng một cách có giới hạn vì đa số mệnh đề toán học được bao gồm vô số
trường hợp riêng. Do đó nói chung không thể sử dụng phương pháp quy nạp
hoàn toàn được. Còn phương pháp quy nạp không hoàn toàn, tuy kết luận của nó
có thể sai nhưng lại có ý nghĩa to lớn trong việc tìm tòi, dự đoán, tìm ra tri thức
mới.
Polya khẳng định: Suy luận quy nạp là một trường hợp riêng của suy luận
có lí hay còn được giáo sư Hoàng Chúng gọi là “suy luận nghe có lí”. Trong
khoá luận này chỉ dám đề cập đến quy nạp, chủ yếu là quy nạp không hoàn toàn.
2. Mối quan hệ của phương pháp quy nạp với phương pháp suy luận suy
diễn trong dạy học toán
Mục này được trình bày theo G.Polya (xem [4] ở Lời nói đầu).
Phương pháp quy nạp là một trường hợp riêng của suy luận có lí, còn suy
luận suy diễn là một trường hợp riêng của suy luận chứng minh. Để làm rõ mối
quan hệ của chúng, ta hãy xét mối quan hệ tổng thể của suy luận chứng minh và
suy luận có lí.
Trong toán học, chúng ta củng cố các kiến thức bằng suy luận chứng minh
nhưng viện trợ các giả thuyết bằng các suy luận có lí.
Một chứng minh toán học là suy luận chứng minh còn kết luận quy nạp
của các nhà vật lí, hoá học hay sinh học, các bằng chứng gián tiếp của các luật
sư, những dẫn chứng tài liệu của nhà sử học và kết luận thống kê của nhà kinh tế
học, đều thuộc về các suy luận có lí.
2.1. Hai kiểu suy luận này hết sức khác nhau
a) Suy luận chứng minh là suy luận đáng tin cậy, không chối cãi được và
dứt khoát, còn suy luận có lí là suy luận bấp bênh, phải tranh cãi và có điều kiện.
b) Đối với toán học cũng như các môn khoa học khác, vai trò của suy luận

chứng minh là như nhau, tuy nhiên tự nó (cũng như tự bản thân toán học) không
11
có khả năng cung cấp các hiểu biết căn bản mới về thế giới xung quanh. Mọi cái
mới mà chúng ta hiểu biết được về thế giới đều có liên hệ với suy luận có lí.
c) Suy luận chứng minh có những tiêu chuẩn chặt chẽ được ghi lại thành
luật và được giải thích bằng logic (logic hình thức hay logic chứng minh), logic
này là thuyết của các suy luận chứng minh. Những tiêu chuẩn của các suy luận
có lí rất linh động và không một lí thuyết nào về các suy luận như vậy lại rõ ràng
bằng logic chứng minh và có sự nhất quán như logic chứng minh.
2.2. Hai loại suy luận này thống nhất với nhau
Mặc dù khác nhau như vậy nhưng hai loại suy luận này không mâu thuẫn
mà trái lại bổ sung cho nhau. Trong suy luận chặt chẽ điều chủ yếu là phân biệt
chứng minh với dự đoán, chứng minh có căn cứ với dự đoán không có căn cứ.
Trong một suy luận có lí điều chủ yếu là phân biệt dự đoán với dự đoán, dự đoán
hợp lí hơn với dự đoán ít hợp lí hơn. Trong “toán học và những suy luận có lí”
(xem [4] tr.6), Polya nhấn mạnh mối liên hệ chặt chẽ giữa suy luận chứng minh
và suy luận quy nạp như sau: “Toán học được xem là một môn khoa học chứng
minh. Tuy nhiên đó chỉ là một khía cạnh của nó. Toán học, trình bày dưới hình
thức hoàn chỉnh, chỉ bao gồm chứng minh (đó là cách trình bày trong các sách
giáo khoa). Nhưng toán học trong quá trình hình thành gợi lại mọi kiến thức
khác của nhân loại trong quá trình hình thành. Chúng ta cần phải dự đoán về một
định lí toán học trước khi chứng minh nó, phải dự đoán về đường lối và tư tưởng
chủ đạo của chứng minh trước khi chứng minh, cần phải đối chiếu các kết quả
quan sát được và suy ra những điều tương tự, phải mò mẫm và thử đi thử lại
nhiều lần. Kết quả công tác sáng tạo của nhà toán học là suy luận chứng minh, là
chứng minh, nhưng người ta tìm ra cách chứng minh nhờ suy luận có lí, nhờ dự
đoán. Nếu việc dạy toán phản ánh ở mức độ nào đó việc hình thành toán học như
thế nào thì trong việc giảng dạy đó phải dành chổ cho dự đoán, cho suy luận có
lí”.
12

Qua đó nhận thấy rằng, tuy phương pháp suy luận quy nạp và phương
pháp suy luận suy diễn có những nét trái ngược song chúng lại có mối quan hệ
mật thiết với nhau, thống nhất với nhau trong quá trình nhận thức. Chúng là một
cặp phương pháp luôn được áp dụng trong một thể thống nhất kế thừa và làm
tiền đề của nhau, hỗ trợ cho nhau. Vì nếu diễn dịch là đi từ cái chung đến cái
riêng, thì trước đó cần phải có quy nạp (quy nạp không hoàn toàn) để dự đoán ra
cái chung đã. Nói cách khác, quy nạp cung cấp nguyên liệu cho diễn dịch, diễn
dịch lại đặt ra nhu cầu mới cho quy nạp, khẳng định hay phủ định những dự đoán
(giả thuyết) của bước quy nạp. Cứ như thế, mỗi bước quy nạp sau, con người lại
đi gần thêm vào bản chất chung của sự vật, hiện tượng, hiểu biết càng nhiều về
bản chất chung của thế giới.
Trong từ điển toán học thông dụng (xem [7], tr.496) đã khẳng định: “Suy
diễn và quy nạp là hai phương pháp suy luận có liên quan mật thiết với nhau,
mặc dù bề ngoài chúng có vẻ tương phản. Mọi phép suy diễn đều bao hàm trong
nó yếu tố quy nạp, vì bất cứ suy diễn khoa học nào cũng đều bắt nguồn từ sự
nghiên cứu các sự vật một cách quy nạp. Ngược lại, phép quy nạp chỉ có giá trị
khoa học khi nó dẫn tới sự nhận thức của quy luật chung”. Có thể nói: trong thực
tế, quy nạp và diễn dịch bao giờ cũng thống nhất với nhau trong quá trình nhận
thức.
Ví dụ:
Bài toán định lí lớn Fermat: Phương trình
n n n
x y z
+ =
(1) không có nghiệm
nguyên khác không, với bất kì số nguyên
3n
≥
.
Ta biết với n = 1: x+y = z có vô số nghiệm nguyên.

Với n = 2:
2 2 2
x y z
+ =
. Ta biết rằng nếu a, b, c là các cạnh của một tam
giác vuông, với cạnh huyền a thì luôn có
2 2 2
b c a
+ =
. Đây chính là nội dung định
lí Pythagore.
Với n = 3:
3 3 3
x y z
+ =
là một trường hợp riêng của (1) được Euler chứng
minh năm 1770.
13
Với n = 4:
4 4 4
x y z
+ =
cũng là một trường hợp riêng của (1) do chính
Fermat chứng minh.
Mãi đến năm 1993 - 1994, Andrew Wiles, nhà toán học người Anh, sau
gần 350 năm mới chứng minh hoàn toàn định lí này.
Lịch sử toán học đã để lại nhiều sự kiện thú vị xoay quanh các giả thuyết
có được bằng suy luận quy nạp không hoàn toàn. Có những giả thuyết đã bị bác
bỏ, có nhiều giả thuyết đã được chứng minh, có những giả thuyết mà vài trăm
năm sau vẫn không được chứng minh hay bác bỏ. Tuy nhiên việc tìm cách chứng

minh hay bác bỏ nhiều giả thuyết đã có tác dụng thúc đẩy sự phát triển của toán
học. Ví dụ “Một chân trời mới cho giả thuyết Gôn - bac”, (xem Toán học & Tuổi
trẻ, số 7/2004).
3. Vai trò và tác dụng của phương pháp quy nạp trong dạy học toán.
“Chúng ta cần chú ý rằng toán học có thể xét theo hai phương diện. Nếu
chỉ trình bày lại những kết quả toán học đã đạt được thì nó là một khoa học suy
diễn và tính logic nổi bật lên. Nhưng nếu nhìn toán học trong quá trình hình
thành và phát triển, trong quá trình tìm tòi phát minh thì trong phương pháp của
nó vẫn có mò mẫm, dự đoán, vẫn có “thực nghiệm” và quy nạp. Phải chú ý cả
hai phương diện đó mới có thể hướng dẫn học sinh hoc toán, mới khai thác được
đầy đủ tiềm năng môn toán để thực hiện giáo dục toàn diện.” (Theo Nguyễn Bá
Kim, Vũ Dương Thụy ở [9], tr.25).
Các tác dụng to lớn của việc rèn luyện và phát triển quy nạp với kết quả
học toán của học sinh được thể hiện cụ thể như sau:
a) Nhờ quy nạp, ta có thể rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy như
phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hoá, đạc biệt hoá, trừu tượng
hoá, không những cần thiết cho việc học toán mà còn cần thiết cho các môn
khoa học khác, cho công tác và hoạt động của con người.
14
Ví dụ: Khi dạy học định lí cosin trong tam giác (hình học 10), người ta đi
từ tam giác ABC có góc A vuông để đi đến biểu thức
2 2 2
0BC AC AB
− − =
uuur uuur uuur
nhờ
định lí Pythagore, rồi tổng quát lên cho tam giác ABC không phải là tam giác
vuông thì
2 2 2
0BC AC AB

− − ≠
uuur uuur uuur
và cụ thể sẽ bằng bao nhiêu?
Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh phân tích, so sánh, tổng hợp và tương
tự như sau:
- Tam giác ABC vuông nên
2 2 2
a b c= +
. Vơí tam giác ABC không vuông
thì
2
a
sẽ bằng
2 2
b c+
thêm bớt một lương nào đó (xem hình vẽ). Vấn đề của ta là
tìm xem lượng đó bằng bao nhiêu?
- Ta sử dụng công cụ vectơ:
+
2 2 2
a b c= +
được viết lại thành
2 2 2
BC AC AB= +
uuur uuur uuur
.
+ Ta luôn có:
BC AC AB= −
uuur uuur uuur
.

Suy ra
2 2 2 2
2
( ) 2 . cos( , )BC AC AB BC AC AB AC AB AC AB= − ⇔ = + −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
,
Dựa vào công thức tích vô hướng của hai vectơ ta đưa đến kết quả:
2 2 2
2 cosa b c bc A= + −
(*)
- So sánh: khi
0
90A =
thì (*) trở thành
2 2 2
a b c= +
. Như vậy, định lí
Pythagore là một truờng hợp riêng của (*).
- Tổng hợp lại ta được: Trong tam giác ABC bất kì ta luôn có:
2 2 2
2 cosa b c bc A= + −
.
- Hơn thế nữa, bằng tương tự suy ra:
2 2 2
2 cosb a c ac B= + −
và
2 2 2
2 cosc a b ab C= + −
.
Từ đây học sinh có thể tự mình trình bày nội dung định lí và cách chứng

minh nó vào vở một cách hoàn chỉnh.
b) Nhờ quy nạp, học sinh thấy được nguồn gốc, xuất xứ của khái niệm,
định lí, con đường hình thành, chứng minh định lí, tại sao phải có khái niệm,
định lí đó, Học sinh thấy được toán học bắt nguồn từ thực tế và quay về phục
vụ thực tế, chẳng hạn trong xây dựng ta cần đo chiều cao của một cái cây mà yêu
15
cầu là không được chặt nó xuống, việc này người ta không thể đo đạc trực tiếp
mà phải mở rộng, nghiên cứu hình học, giải tam giác và sau đó tiến hành đo đạc,
tính toán trên thực tế. Đồng thời thấy được toán học bắt nguồn từ nhu cầu phát
triển của nội bộ toán học, của các ngành khoa học khác, thấy được mối liên hệ
giữa toán học với thực tế và các ngành khoa học như vật lí, hoá học, sinh học, kĩ
thuật, kinh tế, Ví dụ như tri thức về tương quan tỉ lệ thuận biểu thị bởi công
thức
y ax
=
được sử dụng trong:
- Tính diện tích S của một thửa ruộng hình tam giác có một cạnh bằng a
với đường cao tương ứng h:
1
2
S ah
=
.
- Tính quãng đường đi được s trong một chuyển động đều với vận tốc v và
thời gian t:
.s v t
=
.
- Tính phân tử gam M của một chất khí biết số khối d của chất khí đó đối
với không khí:

29M d
=
.
c) Không những thế, bằng quy nạp, tự bản thân học sinh, với khả năng của
mình, có thể phát hiện ra các tri thức mới đối với bản thân, tập luyện “sáng tạo”
toán học ở mức độ người học sinh phổ thông. Vừa làm cho học sinh tiếp thu kiến
thức một cách chủ động, không còn áp đặt như trước, học sinh vận dụng đúng
các kiến thức toán hơn, vừa làm cho học sinh tự tin hơn trong học toán cũng như
trong học tập. Từ đó mà khuyến khích học sinh học toán, học tìm tòi và phát hiện
- bước đầu tiên để trở thành một nhà toán học, nhà khoa học vĩ đại trong tương
lai.
Ví dụ: Khi dạy định lí đảo về dấu tam thức bậc hai theo sách giáo khoa thí
điểm, ta không đưa ngay nội dung định lí như đối với sách giáo khoa hiện hành
(chỉnh lí hợp nhất 2000) mà ta dựa vào định lý dấu tam thức bậc hai với nhận xét
trường hợp
( )
0af x <
khi nào?
16
Tam thức bậc hai
2
( )f x ax bx c= + +
có hai nghịêm phân biệt x
1
,

x
2
(
1 2

x x<
)
thì
( )
0af x <
với mọi x 
1 2
( , )x x
ta hướng dẫn học sinh lập mệnh đề đảo:
R
α
∃ ∈

sao cho
( ) 0af
α
<
thì phương trình
2
0ax bx c+ + =
có hai nghiệm phân biệt
1 2 1 2
, ( )x x x x<
và
1 2
x x
α
< <
.
Nói tóm lại phương pháp quy nạp có ý nghĩa quan trọng trong dạy học

toán. Bởi thế mà giáo sư Hoàng Chúng đã nói: “Do ý nghĩa to lớn của suy luận
quy nạp, trong dạy học hình học cần khai thác mọi cơ hội để hướng dẫn học sinh
tìm tòi, phát hiện, dự đoán các tính chất, các quan hệ. Những bài tập về tìm tòi và
dự đoán bằng quy nạp có nhiều tác dụng rèn luyện tư duy và gây hứng thú học
tập cho học sinh”.
4. Mục đích của dạy học toán
Trong "Phương pháp dạy học môn toán" (xem [9], tr.45-62), GS.TSKH
Nguyễn Bá Kim đã nêu nhiệm vụ của dạy học toán ở trường trung học phổ thông
là:
- Truyền thụ tri thức, kỹ năng toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào
thực tiễn bởi thông qua bộ môn toán chúng ta có thể cung cấp cho học sinh một
hệ thống vững chắc các tri thức, phương pháp, kỹ năng đồng thời rèn luyện khả
năng vận dụng những hiểu biết toán học vào các môn học khác, vào đời sống lao
động sản xuất.
- Phát triển năng lực trí tuệ chung như tư duy trừu tượng, tư duy logic, tư
duy biện chứng, rèn luyện các thao tác tư duy như trừu tượng, phân tích, tổng
hợp, so sánh, khái quát, ,các phẩm chất tư duy như tính linh hoạt, tính độc lập
sáng tạo,
- Giáo dục tư tưởng chính trị, phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ. Môn toán
góp phần bồi dưỡng cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, rèn luyện
các phẩm chất của người lao động mới trong học tập và sản xuất như tính cẩn
17
thận, chính xác, có mục đích, có kế hoạch, phương pháp, kỷ luật, sáng tạo, có óc
thẩm mỹ,
Phương pháp quy nạp có tác dụng to lớn nhằm phục vụ đắc lực cho việc
thực hiện các mục đích nêu trên. Cụ thể:
- Qua thực hiện phương pháp quy nạp, học sinh tự mình tìm tòi, khám phá,
rút ra các tri thức “mới” nên học sinh sẽ hiểu sâu, nhớ lâu các kiến thức dẫn đến
vận dụng tốt hơn.
- Học sinh sẽ có kĩ năng thành thạo hơn, rèn luyện các thao tác tư duy, đặc

biệt là khái quát hóa, trừu tượng hóa, tương tự dẫn đến sáng tạo. Ngoài ra học
sinh còn rèn luyện được các phẩm chất trí tuệ nêu trên, khả năng so sánh, lựa
chọn nhằm phát triển năng lực phê phán.
- Ngoài ra học sinh sẽ có hứng thú học tập, có niềm tin trong sáng tạo và
khám phá.
5. Sơ lược tình hình rèn luyện quy nạp cho học sinh phổ thông
5.1. Sách giáo khoa với việc rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh
Rèn luyện và phát triển năng lực lập luận, chứng minh cho học sinh là một
việc phải làm thường xuyên của giáo viên trung học nhất là THPT.
Vì vậy sách giáo khoa toán ở bậc học này đã trình bày kiến thức theo xu
hướng tiên đề hóa nhằm tạo điều kiện cho giáo viên rèn luyện năng lực quan
trọng này cho học sinh. Ví dụ như việc yêu cầu học sinh biết chứng minh các
tính chất, định lý từ sớm ( ngay từ lớp 7).
Nhưng nếu không chú ý đúng mức đến việc rèn luyện phương pháp quy
nạp cho học sinh lại là một thiếu sót, như ý kiến của GS. Nguyễn Cảnh Toàn có
nêu: “Toán học là một môn học rất thuận lợi trong việc rèn luyện tư duy lôgic,
nhưng cách dạy của chúng ta lại chỉ chú ý đến rèn luyện khả năng suy diễn, coi
nhẹ khả năng quy nạp”.
Ngành Giáo dục và Đào tạo của nước ta trong mấy năm gần đây đã và
đang đẩy mạnh đổi mới phương pháp dạy học. Sách giáo khoa cũng đang được
18
chỉnh sửa cho phù hợp với xu hướng này. Sách giáo khoa thí điểm phân ban hiện
nay đã thay đổi cách trình bày kiến thức nhằm tạo cơ sở thuận tiện để giáo viên
rèn luyện phương pháp quy nạp cho học sinh và thực hiện đổi mới phương pháp
dạy và học. Cụ thể như sau:
a) Cố gắng giảm bớt tính áp đặt cho học sinh, tổ chức các hoạt động, dẫn
dắt để học sinh phát hiện vấn đề, so sánh, nhận xét, khái quát hóa hay trừu tượng
hóa.
Ví dụ 1: Trong chương trình toán 7, khi dạy định lý “Tổng các góc trong
của một tam giác bằng 180

0
”
- Sách giáo khoa cũ đưa ngay định lý và chứng minh.
- Sách giáo khoa mới:
+ Vẽ hai tam giác bất kỳ, và yêu cầu học sinh đo các góc của mỗi tam giác
đó, tính tổng số đo của ba góc mỗi tam giác, rồi nhận xét kết quả.
+ Dùng tấm bìa cắt hình tam giác bất kỳ, cắt rời hai góc rồi đặt nó kề với
góc còn lại. Giáo viên yêu cầu học sinh dự đoán kết quả.
+ Tạo một đường thẳng song song với đáy tam giác tại đỉnh và so sánh
góc mới tạo thành với tổng các góc trong của tam giác đó.
Ví dụ 2: Khi trình bày định nghĩa hàm số ( Đại số 10)
- Sách giáo khoa hiện hành (Chỉnh lý hợp nhất 2000) đưa trực tiếp định
nghĩa.
- Sách giáo khoa mới (thí điểm): Đưa các ví dụ cụ thể từ hai đại lượng tỷ
lệ thuận: Quảng đường s đi được trong thời gian t, hay hai đại lượng tỷ lệ nghịch:
thời gian hoàn thành một khối lượng công việc với năng suất thực hiện công việc
đó, bảng nhiệt độ trong năm của một tỉnh, thành phố nào đó.
19
Qua đó giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích, tổng hợp để nhận biết: ở
mỗi trường hợp đều có một đại lượng nhận giá trị trong một tập hợp số và một
đại lượng nữa có giá trị tương ứng thuộc một tập hợp số thứ hai
Từ đó hướng dẫn học sinh nhận xét để rút ra dấu hiệu bản chất: Với mỗi
phần tử x thuộc tập số A đều tương ứng với mỗi phần tử xác định y thuộc tập
hợp số B.
Sau cùng giáo viên gợi ý để học sinh phát biểu định nghĩa có nội dung như
trong sách giáo khoa.
Ví dụ 3: Chẳng hạn như khi dạy bài vị trí tương đối của một mặt cầu với
đường thẳng và mặt phẳng (Hình học 11):
- Trước tiên ta phải làm cho học sinh thấy được vì sao cần phải xét các vị
trí tương đối này? Do ở bài trước ta đã biết được vị trí tương đối của một điểm

đối với một mặt cầu, mà đối tượng nghiện cứu của hình học không gian là điểm,
đường thẳng và mặt phẳng. Ta đã có vị trí tương đối của một điểm với một mặt
cầu, giờ cần nghiên cứu vị trí tương đối của hai đối tượng còn lại (đường thẳng
và mặt phẳng) với mặt cầu.
- Từ kết quả trong mặt phẳng về vị trí tương đối của đường thẳng và
đường tròn đã biết, bằng phương pháp tương tự ta xét vị trí tương đối của mặt
phẳng và mặt cầu trong không gian.
- Giới thiệu cho học sinh thấy các mô hình trong thực tế, ví dụ như khi bổ
một quả cam hay xem xét vị trí tương đối của trái bóng với mặt nước của một
chậu nước, cũng có thể giáo viên cho học sinh quan sát hình vẽ các vị trí tương
đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.
- Qua đó học sinh có thể rút ra kết luận cuối cùng về các vị trí tương đối
của một mặt phẳng với một mặt cầu.
20
Việc đổi mới này nhằm giúp học sinh không thụ động khi nghe giảng, học
sinh phải động não và hoạt động theo những mức độ khác nhau để có thể trả lời
các câu hỏi, qua đó thực hiện các hoạt động tích cực xây dựng bài học.
b) Sách giáo khoa hiện nay cũng đã cố gắng giảm bớt yêu cầu về tính
logic của vấn đề mà chú trọng đến tính thực tế.
Sách giáo khoa hiện nay đã cố gắng giảm nhẹ phần lý thuyết, chủ yếu là
giảm nhẹ các chứng minh của các tính chất hoặc định lí. Các tính chất và định lí
này nhiều lúc rất hiển nhiên, hoàn toàn có thể thấy được bằng trực giác, nhưng
thực ra chứng minh nó lại không đơn giản và không mang lại lợi ích gì nhiều.
Chẳng hạn tính chất duy nhất của vectơ đối (hình học 10). Chúng ta chú trọng
hơn đến tính thực tế, tính liên hệ thực tiễn. sự cần thiết phải có chúng trong thực
tế.
Ví dụ 1: Trong chương trình toán 8, khi dạy về phương trình:
- Sách giáo khoa cũ đưa ngay định nghĩa bao gồm cả tập xác định của
phương trình.
- Sách giáo khoa mới thì ngược lại, không đưa tập xác định vào ngay mà

đợi đến khi có vấn đề do không có tập xác định nên dẫn đến sai sót mới đưa vào,
điều đó vừa có tác dụng nhấn mạnh cho học sinh, làm cho học sinh nhớ lâu, vừa
có tác dụng giải thích lí do, học sinh thấy được sự cần thiết của việc tìm tập xác
định của phương trình.
Ví dụ 2: Dạy một tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn [a,b] (Đại số
và giải tích 11).
- Sách giáo khoa hiện hành (chỉnh lí hợp nhất 2000), tr.134-136 nêu ngay
định lí:
f(x) liên tục trên [a, b] và f(a).f(b) < 0 suy ra
( , ) : ( ) 0c a b f c∃ ∈ =
.
21
- Sách giáo khoa thí điểm do Trần Văn Hạo tổng chủ biên, tr. 190-191 sau
khi nêu định lí 2 (định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục) có nêu ý nghĩa
hình học của định lý, nhắc lại một hình ảnh thưc tế để nêu lên hệ quả khi đường
thẳng y = m lại là y = 0 (trục hoành).
Tóm lại, sách giáo khoa thí điểm :
- Đã chú ý nhiều khi xây dựng kiến thức toán qua con đường quy nạp - thể
hiện một yêu cầu cần phải đạt dược trong khi dạy học toán, đồng thời cũng là
một gợi ý để khuyến khích chúng ta tìm nhiều cách dạy thích hợp khác nhằm
thực hiện được yêu cầu này.
- Cách xây dựng như vậy ở lớp 10 rõ nét hơn, nhiều hơn so với lớp 11.
Đây cũng là một điều dễ hiểu, vì phải phù hợp với sự phát triển tâm sinh lí của
học sinh.
5.2. Sơ lược tình hình rèn luyện năng lực quy nạp cho học sinh ở trường phổ
thông
a) Qua trao đổi, dự giờ chúng tôi nhận thấy một trong những yếu điểm của
hoạt động dạy và học của chúng ta là phương pháp dạy – học, phần lớn là kiểu
thầy giảng trò ghi, thầy đọc trò chép, vai trò của học sinh có phần thụ động.
Phương pháp đó làm cho học sinh có thói quen học vẹt, thiếu suy nghĩ sáng tạo,

thói quen học lệch, học tủ, học để đi thi mà thôi.
Trước đây khi sử dụng sách giáo khoa cũ, giáo viên cũng đã cố gắng tìm
tòi làm cho toán học gần gũi với thực tế, giảm bớt yêu cầu chặt chẽ, cứng nhắc
hơn cho học sinh song cũng chưa nhiều và chưa đầy đủ, phương pháp quy nạp
vẫn chưa được sử dụng hiệu quả và khai thác triệt để.
Tuy nhiên, trong những năm gần đây, khi chúng ra đẩy mạnh phương
pháp dạy và học, chú trọng đến tính tích cực, tự giác, sáng tạo, tính linh hoạt
trong tư duy của học sinh, đặc biệt là có sự tiếp cận, ứng dụng rộng rãi khoa học
kĩ thuật và công nghệ thông tin vào dạy học, phương pháp quy nạp đã được sử
22
dụng nhiều hơn, rộng rãi hơn. Ví dụ như nhờ ứng dụng của các phần mềm toán
học (Maple, Geometer’s Sketchpad, Geospack, ), giáo viên có thể biểu diễn trực
quan cho học sinh thấy được các hình ảnh không gian 2 chiều, 3 chiều, các hình
ảnh động, qua đó học sinh dễ dàng phát hiện, dự đoán các kiến thức “mới” phù
hợp với trình độ theo yêu cầu của nội dung chương trình giảng dạy. Đặc biệt là
sách giáo khoa thí điểm khi đưa vào thực hiện đại trà sẽ là một chổ dựa tin cậy
cho giáo viên tiến hành rèn luyện và phát triển phương pháp quy nạp cho học
sinh.
b) Kết quả cuộc thăm dò ý kiến về việc rèn luyện năng lực quy nạp cho
học sinh trong dạy học toán của giáo viên tại 3 trường: trung học phổ thông
Nguyễn Đình Chiểu - Phong Điền - Huế, trung học phổ thông Hải Lăng - Quảng
Trị và trung học phổ thông Đào Duy Từ - Đồng Hới - Quảng Bình cũng đã thu
thập được nhiều số liệu đáng lưu ý:
*) Tất cả giáo viên được phỏng vấn đều nhất trí cho rằng: việc rèn luyện
năng lực suy luận quy nạp cho học sinh là cần thiết, thậm chí rất cần thiết, không
thể xem nhẹ. Điều này rất có ý nghĩa, vì đó là một tiền đề quan trọng cho việc
rèn luyện năng lực này khi học theo sách giáo khoa thí điểm.
*) Nhưng các giáo viên cũng đã thấy được những khó khăn sẽ gặp phải
khi tiến hành rèn luyện và phát triển năng lực quy nạp cho học sinh như sau:
- Về chủ quan:

+ Giáo viên phải dành nhiều thời gian và công sức cho việc chuẩn bị bài,
soạn giáo án.
+ Phải thay đổi thói quen giảng dạy hiện nay.
- Về khách quan:
+ Khối lượng kiến thức và số lượng bài tập cần cung cấp, giảng giải cho
học sinh khá lớn mà thơì gian dành để thực hiện còn ít, chưa hợp lý.
+ Học sinh cần phải thay đổi cách học cũ lâu nay.
23
Tuy nhiên, khá nhiều giáo viên đều nhất trí là phải nâng cao năng lực
chuyên môn, phải phấn đấu thi đua đổi mới phương pháp dạy học. Đồng thời họ
cũng mong cấp trên sẽ điều chỉnh sao cho phù hợp giữa số lượng kiến thức, yêu
cầu đạt được và thời gian thực hiện (kể cả thời gian chữa bài tập cho học sinh).
*) Đại đa số giáo viên đều nhận thấy tác dụng to lớn nếu rèn luyện được
cho học sinh năng lực quy nạp, đặc biệt là: học sinh hiểu bài dễ dàng hơn, hiểu
sâu và nhớ lâu những điều do tự mình thu nhận, tự mình chủ động tìm tòi, phát
hiện ra.
*) Hầu hết giáo viên cũng cho rằng khi sử dụng phương pháp quy nạp
trong giờ học nên tập trung vào những kiến thức trừu tượng, khó hình dung,
những tiên đề định lí không chứng minh.
*) Rất nhiều giáo viên cũng cho rằng cần lưu ý rèn luyện cho học sinh các
thao tác tư duy, đặc biệt là tập cho họ khái quát, dự đoán và nêu giả thuyết.
24
Chương 2
Một số biện pháp thực hiện

Phương pháp quy nạp được tiến hành theo con đường từ thực tiễn , từ các
ví dụ minh họa, các kiến thức cũ, các vấn đề đặt ra, các trường hợp đặc biệt,
cùng với hệ thống câu hỏi, sự hướng dẫn của giáo viên, học sinh nhận xét để rút
ra các khái niệm, các định lí, các kiến thức mới.
Để rèn luyện năng lực quy nạp, khả năng sử dụng phương pháp suy luận

cho học sinh, ta cần thực hiện một số biện pháp sau đây:
1. Làm cho học sinh biết và thực hiện được các thao tác tư duy thường gặp
1.1. Phân tích và tổng hợp
1.1.1. Mô tả
Phân tích là dùng trí óc chia cái toàn thể ra thành từng phần hoặc từng
thuộc tính hay khía cạnh riêng biệt nằm trong cái toàn thể đó.
Ngược lại, tổng hợp là dùng trí óc để hợp lại các phần của cái toàn thể
hoặc kết hợp lại những hay khía cạnh khác nhau đã được rút ra trong cái toàn
thể.
Đây là hai thao tác trái ngược nhau nhưng lại liên hệ chặt chẽ với nhau
trong một thể thống nhất.
25