SKKN Phương pháp học giải toán bằng cách lập phương trình bậc hai TOÁN 9

Sáng kiến kinh nghiệm
I. LỜI NÓI ĐẦU
Đây là tài liệu nói về Phương pháp học giải toán bằng cách lập
phương trình bậc hai nhằm mục đích hình thành cho học sinh thói quen
suy nghĩ và tìm lời giải của một bài toán trên cơ sở các kiến thức đã học.
Tài liệu này là cầu nối giữa lí thuyết và thực hành toán học.
Học giải toán là một cách tư duy sáng tạo về toán, đồng thời là một
vấn đề trừu tượng và khá khó đối với học sinh, nhưng đó lại là điều rất
cần thiết cho mỗi học sinh trong quá trình học toán ở trường THCS.
Nội dung giới thiệu:
1. Các bài toán điển hình, mỗi bài toán đều gồm:
• Đề bài
• Tìm hiểu đề bài
• Hướng dẫn cách tìm lời giải
• Cách giải
• Khai thác bài toán.
2. Các bài toán tự giải
Các vị phụ huynh học sinh, các thầy cô giáo có thể dùng tài liệu này
làm tài liệu hướng dẫn con em mình học tập. Hy vọng rằng tài liệu này
sẽ giúp ích nhiều cho học sinh để có thể phát huy nội lực trong giải toán
nói riêng và học toán nói chung.
- 1 -
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trường
THCS Nhân Hòa
Sáng kiến kinh nghiệm
II. NỘI DUNG
GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A. CÁC BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH
Bài 1:
a. Tìm hai số biết tổng là 22 và tổng các bình phương là 250.
b. Tìm một số có hai chữ số biết rằng số này gấp 8 lần tổng hai chữ

số của nó và nếu thêm 13 và tích hai chữ số đó thì sẽ được số viết theo
thứ tự ngược lại.
• Tìm hiểu đề bài
Đây là bài toán tìm số. Ở câu a phải tìm hai số khi biết tổng và tổng
các bình phương của chúng. Ở câu b phải tìm một số có hai chữ số theo
một số điều kiện cho trước.
• Hướng dẫn cách tìm lời giải
a. Gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai sẽ là 22 - x. Tổng các bình
phương của chúng là x
2
+ (22 - x)
2
= 250. Tiếp tục giải phương trình bậc
hai này.
b. Gọi chữ số hàng chục hàng đơn vị heo thứ tự là x và y. Số phải
tìm sẽ là 10x + y, số viết theo thứ tự ngược lại là 10y + x. Từ đó mà lập
phương trình.
• Cách giải
a. Gọi số thứ nhất là x (x > 0), số thứ hai sẽ là 22 - x. Theo bài ra ta
có phương trình:
x
2
+ (22 - x)
2
= 250, hay x
2
+ 484 - 44x + x
2
- 250 = 0;
2x

2
- 44x + 234 = 0 hay x
2
- 22x + 117 = 0.
- 2 -
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trường
THCS Nhân Hòa
Sáng kiến kinh nghiệm
Giải ra ta sẽ tìm được
1
x
= 13;
1
x
= 9, thỏa mãn điều kiện ở trên.
Vậy hai số phải tìm là 13 và 9.
b. Gọi chữ số hàng chục là x (0 < x
≤
9), chữ số hàng đơn vị là y (0
< y
≤
9) với x > y.
Theo bài ra ta có hệ phương trình:
( ) ( )
( )
10 8 1
10 13 2
x y x y
y x xy
+ = +



+ = +


(1)
⇔
10x + y = 8x + 8y => 2x = 7y => x =
7y
x
Thay giá trị x vào (2) ta được:
10y +
7
2
y
=
7
2
y
.y +13 => 7y
2
- 27y + 26 = 0
=>
1
y
= 2;
2
13
7
y =

(loại).
Từ đó suy ra
7 7.2
7
2 2
y
x = = =
, thỏa mãn điều kiện ở trên.
Vậy số phải tìm là 72.
• Khai thác bài toán
Có thể giải hai bài toán tương tự:
a. Tổng các bình phương của hai số hơn kém nhau 3 thì bằng 98.
Tìm hai số đó.
b. Phân tích số 270 thành hai thừa số mà tổng bằng 33.
- Với bài toán a ta gọi số thứ nhất là x thì số thứ hai là x + 3. Theo
bài ra ta có phương trình: x
2
+ (x + 3)
2
=89
⇔
2x
2
+ 6x - 80 = 0
=>
1 2
5; 8x x
= = −
(loại)
Vậy hai số phải tìm là 5 và 8.

- 3 -
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trường
THCS Nhân Hòa
Sáng kiến kinh nghiệm
- Với bài toán b nếu gọi số thừa số thứ nhất là x thì thừa số thứ hai là
33 - x. Theo bài ra ta có phương trình:
x(33 - x) = 270
⇔
x
2
- 33x + 270 = 0.
=>
1 2
18; 15x x
= =
Vậy số 270 có thể phân tích thành hai thừa số là 18 và 15.
Bài 2:
a. Đa giác mà số đường chéo lớn hơn số cạnh là 12 là đa giác gì?
b. Đường cao của một tam giác vuông bằng 9,6m và chia cạnh
huyền thành hai đọan hơn kém nhau 5,6m. Tính độ dài cạnh huyền.
• Tìm hiểu đề
Đây là loại toán có nội dung hình học. Câu a đòi hỏi phải nắm được
công thức tính số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh. Câu b liên
quan đến hệ thức lượng trong tam giác vuông.
• Hướng dẫn cách tìm lời giải
a. Một đa giác lồi n cạnh có số đường chéo là
( )
3
2
n n−

. Từ đó mà lập
phương trình để tìm n khi biết số đường chéo hơn số cạnh là 12.
b. Gọi hai đoạn mà đường cao chia cạnh huyền là x và x + 5,6. áp
dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông h
2
= b'.c' (h là độ dài đường
cao, b' và c' là hai đoạn mà đường cao chia cạnh huyền). Từ đó tìm được
x và độ dài cạnh huyền của tam giác vuông.
• Cách giải
a. Gọi n là số cạnh của đa giác (n là số nguyên dương). Ta biết rằng
số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là
( )
3
2
n n
−
- 4 -
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trường
THCS Nhân Hòa
Sáng kiến kinh nghiệm
Theo bài ra ta có phương trình:
( )
1
2
2
8
3
12 5 24 0
3 ( )
2

n
n n
n n n
n loai
=
−

− = ⇔ − − = ⇒

= −


Vậy đa giác phải tìm là bát giác (hình tám cạnh).
b. Gọi hai đoạn mà đường cao chia cạnh huyền là x và x + 5,6 (m)
với x > 0.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: h2 = b'.c' hay:
9,62 = x(x + 5,6)
⇔
x2 + 5,6x - 92,16 = 0
=>
1
x
= 7,2 (thỏa mãn)

2
x
= -12,8 (loại)
Ta có hai đoạn mà đường cao chia cạnh huyền là 7,2m và 7,2 + 5,6
= 12,8m. Vậy cạnh huyền có độ dài là: 7,2 + 12,8 = 20m.
• Khai thác bài toán

Bài toán có nội dung hình học đòi hỏi phải nắm vững kiến thức về
hình học. Ta có thể xét thêm bài toán sau:
Cho một số điểm nằm trong mặt phẳng sao cho không có 3 điểm nào
thẳng hàng thì số đường thẳng qua từng cặp điểm một là
( )
1
2
n n−
(đường
thẳng).
Theo bài ra ta có phương trình:
( )
1
2
n n−
= 45
⇔
n2 - n - 90 = 0 => n = 10
Lưu ý: nếu trong n điểm có đúng 3 điểm thẳng hàng thì số đường
thẳng vẽ được sẽ giảm đi 2 (vì qua 3 điểm không thẳng hàng thì vẽ được
- 5 -
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trường
THCS Nhân Hòa
Sáng kiến kinh nghiệm
3 đường thẳng còn qua 3 điểm thẳng hàng thì chỉ vẽ được một đường
thẳng).
Bài 3:
a. Một canô xuôi một khúc sông dài 90 km rồi ngược dòng 36 km.
Thời gian xuôi dòng nhiều hơn ngược dòng là 2 giờ và vận tốc khi xuôi
dòng hơn vận tốc khi ngược dòng là 6 km/h. Tìm vận tốc của canô khi

xuôi và khi ngược dòng.
b. Một người đi xe đạp từ địa điểm M đến địa điểm N trong một thời
gian đã định. Khi còn cách N 30 km người ấy nhận thấy nếu giữ nguyên
vận tốc đang đi thì sẽ đến N chậm mất
1
2
giờ , do đó đã tăng vận tốc lên
5 km/h nên đến sớm hơn
1
2
giờ. Tìm vận tốc xe đạp lúc đầu?
• Tìm hiểu đề bài
Đây là loại toán chuyển động. Ở câu a là canô xuôi dòng và ngược
dòng, ở câu b là người đi xe đạp sẽ đến nơi chậm và đến nơi sớm hơn
thời gian dự định nếu tăng vận tốc. Ở cả hai câu đều yêu cầu tìm vận tốc.
• Hướng dẫn cách tìm lời giải
a. Gọi vận tốc canô khi xuôi dòng là x km/h, vận tốc khi ngược dòng
sẽ là x - 6 km/h. Hãy tính thời gian khi xuôi dòng và khi ngược dòng, từ
đó mà lập được phương trình bậc hai. Sẽ tìm được hai đáp số.
b. Gọi vận tốc xe đạp lúc đầu là x km/h. Hãy tính thời gian đi 30 km
lúc đầu và thời gian đi 30 km khi đã tăng vận tốc thêm 5 km/h. Từ đó
mà lập được phương trình bậc hai.
• Cách giải
- 6 -
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trường
THCS Nhân Hòa
Sáng kiến kinh nghiệm
a. Gọi vận tốc canô khi xuôi dòng là x km/h (x > 0), vận tốc khi
ngược dòng sẽ là x - 6 km/h.
Thời gian xuôi dòng là

90
x
giờ, khi ngược dòng là
36
6x −
giờ. Do thời
gian xuôi nhiều hơn thời gian ngược là 2 giờ nên ta có phương trình:
2
90 36 45 18
2 1 33 270 0
6 6
hay x x
x x x x
− = − = ⇔ − + =
− −
=>
1
15x
=
(t/m) ;
2
18x
=
(t/m)
Vậy vận tốc canô khi xuôi dòng là 15 km/h hoặc 18 km/h.
vận tốc canô khi ngược dòng là 9 km/h hoặc 12 km/h.
b. Gọi vận tốc xe đạp lúc đầu là x km/h, khi đã tăng vận tốc là(x + 5)
km/h, (x > 0).
Thời gian đi 30 km lúc đầu là
30

x
, lúc sau là
30
5x +
(giờ)
Theo bài ra ta có phương trình:

30 1 30 1
2 5 2x x
− = +
+
.
Ta được phương trình bậc hai
2
5 150 0x x+ − =
. Giải ra ta được nghiệm
là
1 2
10, 15x x= = −
(loại). vậy vận tốc xe đạp lúc đầu là 10km/h.
• Khai thác bài toán
Sau đây là bài toán tương tự
Hai bến sông A và B cách nhau 40km. Cùng một lúc với canô xuôi
từ bến A là một chiếc bè trôi từ A với vận tốc 3km/h. Sau khi đến B
canô trở ngay về A và gặp bè khi bè trôi được 8km. Tính vận tốc riêng
của canô biết rằng vận tốc riêng của canô không đổi. Thời gian từ lúc đi
đến khi về gặp bè là 2giờ 40phút.
- 7 -
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trường
THCS Nhân Hòa

Sáng kiến kinh nghiệm
Trong bài này cần lưu ý là có chiếc bè trôi, như thế vận tốc bè trôi
3km/h chính là vận tốc dòng nước.
Gọi vận tốc riêng của canô là x km/h ( x>o). Thời gian lúc xuôi là
40
3x +
, thời gian lúc ngược là
32
3x −
giờ.
Theo bài ra ta có phương trình:
40 32 8
3 3 3x x
+ =
+ −
, ( đổi 2giờ 40 =
8
3
giờ ).
Giải ra ta sẽ tìm được x= 27. Vậy vận tốc riêng của canô là 27km/h.
Bài 4:
a) Người ta trộn lẫn 8g dung dịch A vời 6g dung dịch B có khối
lượng riêng nhỏ hơn nó là 200 kg/m
3
để được một dung dịch có khối
lượng riêng là 700kg/m
3
. Tìm khối lượng riêng của mỗi dung dịch.
b) Hai vòi A và B cùng chảy vào một bể không có nước và chảy đầy
bể trong 2 giờ 55 phút. Nếu chảy riêng thì vòi A có thể chảy đầy bể

nhanh hơn vòi B là 2 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy trong
bao lâu mới đầy bể ?
• Tìm hiểu đề bài
a) Đây là bài toán về hỗn hợp, trộn hai dung dịch A và B để được
một dung dịch mới.
b) Loại toán này là toán về vòi nước chảy.
• Hướng dẫn cách tìm lời giải
a) Gọi khối lượng riêng của dung dịch A là x kg/m
3
, khối lượng
riêng của dung dịch B sẽ là x- 200kg/m
3
. Hãy tính thể tích của dung dịch
A và của dung dịch B rồi tính khối lượng của hỗn hợp và thể tích của
hỗn hợp. Từ đó mà lập phương trình của bài toán.
- 8 -
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trường
THCS Nhân Hòa
Sáng kiến kinh nghiệm
b) Gọi số giờ để vòi A chảy riêng đầy bể là x, số giờ vò B chảy
riêng đầy bể sẽ là x+ 2. Hãy tính xem trong 1 giờ mỗi vòi rồi cả hai vòi
chảy vào được bao nhiêu phần bể. Từ đó mà lập được phương trình.
• Cách giải
a) Gọi khối lượng riêng của dung dịch A là x kg/m
3
. Khối lượng
riêng của dung dịch B sẽ là (x-200) kg/m
3
với x>200.
Đổi 8g = 0,008 kg và 6g = 0,006kg. Ta có:

Thể tích dung dịch A là
0,008
x
, thể tích dung dịch B là
0,006
200x −
.
Khối lượng của hỗn hợp là 0,008 + 0,006 = 0,014. Thể tích của hỗn
hợp là
0,014
700
.
Theo bài ra ta có phương trình:
0,008 0,006 0,014
200 700x x
+ =
−
, hay
8 6 14 1
200 700 50x x
+ = =
−
;
400(x - 200) + 300x = x
2
- 200 ; x
2
- 900x + 80 000 = 0.
Giải ra tìm được
1

x
= 800,
2
x
= 100 ( loại vì nhỏ hơn 200).
Vậy khối lượng riêng của dung dịch A là 800kg/m
3
và của dung dịch
B là 600 kg/m
3
.
b) Gọi số giờ để vòi A chảy riêng đầy bể là x( x > 0). Số giờ để vòi
B chảy đầy bể sẽ là x + 2.
Trong 1 giờ vòi A chảy vào được
1
x
bể, vòi B chảy vào được
1
2x +
bể,
cả hai vòi chảy trong 1 giờ được
35 12
1:
12 35
=
bể (đổi 2giờ 55phút thành
35
12
giờ).
Theo bài ra ta có phương trình:

- 9 -
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trường
THCS Nhân Hòa
Sáng kiến kinh nghiệm
1 1 12
2 35x x
+ =
+
hay 35(x+2) +35x =12x(x+2).
Thực hiện phép tính được phương trình 6x
2
- 23x- 35 = 0. Giải ra ta
được hai nghiệm
1 2
7
5,
6
x x= = −
( loại).
Vậy nếu chảy riêng thì vòi A phải chảy trong 5 giờ và vòi B phải
chảy trong 7 giờ mới đầy bể.
• Khai thác bài toán
Bài toán về vòi nước còn có thể ra dưới dạng công việc cùng làm
chung, chẳng hạn bài toán sau (giải bằng cách lập hệ phương trình bậc
nhất):
Hai người thợ cùng làm một công việc trong 7giờ 12 phút thì xong.
Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì
cả hai người chỉ làm được
3
4

công việc.
Hỏi mỗi người làm công việc đó trong mấy giờ thì xong?
Cách giải sẽ như sau. Gọi số giờ mà người thứ nhất làm xong công
việc là x, số giờ mà người thứ hai làm xong công việc là y (x,y>0).
Trong 1 giờ người thứ nhất làm được
1
x
công việc, người thứ hai
làm được
1
y
công việc. Đổi 7 giờ 12 phút thành
36
5
giờ. Theo bài ra ta có
hệ phương trình:
- 10 -
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trường
THCS Nhân Hòa
1 1 5
36
5 6 3
4
x y
x y

+ =





+ =


Sáng kiến kinh nghiệm
Giải ra ta được x= 12, y =18, phù hợp với điều kiện ở trên. Vậy
muốn làm xong công việc thì người thứ nhất phải làm trong 12 giờ,
người thứ hai làm trong 18 giờ.
III. KẾT LUẬN
Do thời gian có hạn nên chủ đề mà tôi nghiên cứu chắc chắn sẽ còn
nhiều hạn chế và thiếu sót. Rất mong đươc sự đóng góp ý kiến của các
đồng nghiệp để tài liệu của tôi được hoàn thiện hơn. Mọi thông tin góp ý
của các bạn đều vô cùng quý giá với bản thân tôi.
Cuối cùng tôi xin trân trọng biết ơn!
- 11 -
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trường
THCS Nhân Hòa
Sáng kiến kinh nghiệm
Nhân Hòa, ngày 8 tháng 1 năm 2008.
Người viết.
Nguyễn Thị Kim
Oanh
- 12 -
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trường
THCS Nhân Hòa
Sáng kiến kinh nghiệm
B. BÀI TẬP TỰ CHỌN
Bài 1:
Một rạp hát chứa được 300 chỗ ngồi. Nếu thêm 2 chỗ ngồi vào mỗi
dãy ghế và bớt đi 3 dãy ghế thì sẽ bớt đi 11 chỗ ngồi. Hỏi rạp hát có mấy

dãy ghế?
Bài 2:
Người ta rào một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều
rộng là 20m. Hỏi hàng rào đó dài bao nhiêu nếu diện tích khu vườn là
3500m
2
và người ta muốn chừa một cổng ra vào rộng 1m?
- 13 -
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trường
THCS Nhân Hòa
Sáng kiến kinh nghiệm
IV. PHỤ LỤC
I. BẢN CAM KẾT :
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập -Tự do - Hạnh phúc
BẢN CAM KẾT
1. Tác giả
Họ và tên : Nguyễn Thị Kim Oanh
Sinh ngày 15 Tháng 10 Năm 1982
Đơn vị công tác: Trường THCS Nhân Hoà, xã Nhân Hoà,
huyện Vĩnh Bảo, Thành phố Hải Phòng.
Điện thoại : 0975223450
2. Sản phẩm
Tên sản phẩm: giải toán bằng cách lập phương trình bậc hai
3. Cam kết:
Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm này là sản phẩm của cá
nhân tôi. Nếu có xảy ra tranh chấp về quyền sở hữu đối với sản phẩm
này, tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trước lãnh đạo đơn vị, lãnh đạo Sở
GD&ĐT về tính trung thực của bản cam kết này.
Vĩnh Bảo, Ngày 15 Tháng 02 năm 2008

Người cam kết
- 14 -
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trường
THCS Nhân Hòa
Sáng kiến kinh nghiệm
Nguyễn Thị Kim
Oanh
II. TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1. Sách giáo khoa đại số 9 tập 2
Nhà xuất bản giáo dục 2005
2. Sách bài tập đại số 9 tập 2
Nhà xuất bản giáo dục 2005
3. Toán bồi dưỡng học sinh đại số 9
Nhà xuất bản giáo dục 2002
4.Tuyển tập Toán học tuổi trẻ
Và một số tài liệu khác.
- 15 -
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trường
THCS Nhân Hòa
Sáng kiến kinh nghiệm
III. DANH SÁCH CÁC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ VIẾT
TT Tên sáng kiến kinh nghiệm
Thuộc thể
loại
Năm viết
Xếp
loại
1
giải toán bằng cách lập phương trình
bậc hai

Toán học 2007-2008
2 Toán học 2006-2007


- 16 -
Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Oanh Trường
THCS Nhân Hòa