skkn giải quyết mọi bài toán có liên quan đến phương trình bậc hai định lí vi ét

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

I I. LÍ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ
1.Cơ sở thực tiễn:
Đứng trước yêu cầu của công cuộc đổi mới, giáo dục phải luôn đi trước một
bước. Muốn giáo dục và đào tạo tồn tại và phát triển, xứng đáng với vị trí của nó
trong xã hội thì mỗi giáo viên phải tự mình đổi mới, đề ra những định hướng kịp
thời.
Là một giáo viên dạy toán THCS trong những năm qua tôi đã đặt cho mình
những câu hỏi, những trăn trở để từ đó tìm hiểu nghiên cứu tìm ra những phương
pháp dạy phù hợp.
Môn toán là một môn học khó nhưng nó rất hấp dẫn và bổ ích với những em
yêu thích Toán học. Nó giúp các em từng bước phát triển năng lực tư duy. Hình
thành kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn cũng như vào việc học tập các
môn học khác.
Qua tìm hiểu tình hình thực tế và kinh nghiệm của bản thân tôi thấy đa số học
sinh lớp 9 gặp khó khăn khi giải các bài toán có liên quan đến “ Phương trình bậc
hai : ax
2
+bx+c= 0 có chứa tham số” nói chung và ứng dụng của định lí Vi-ét trong
phương trình bậc hai ax
2
+bx+c =0 (a
≠
0) nói riêng.
Trong chương trình lớp 9 kiến thức này đề cập rất ít trong sách giáo khoa. Tuy
nhiên các bài tập liên quan đến nó lại rất nhiều và rất đa dạng.
Là một giáo viên dạy Toán trước thực trạng như vậy tôi không khỏi băn khoăn
trăn trở làm như thế nào để giúp đỡ các em bớt đi những khó khăn, lúng túng trong
việc giải các bài toán có liên quan đến hệ thức Vi-ét trong phương trình bậc hai
ax

2
+bx+c=0 (a
≠
0).
Từ thực tiễn giảng dạy tôi xin được trình bày một ý kiến nhỏ, một kinh nghiệm
mà qua thử nghiệm tôi thấy đã làm giảm bớt khó khăn cho các em khi giải các bài
toán có liên quan đến hệ thức Vi-ét trong phương trình bậc hai.
2. Cơ sở tâm lí
Theo tâm lý, con người chỉ tư duy tích cực khi có nhu cầu, hoạt động nhận thức
chỉ có kết quả cao khi chủ thể ham thích một cách tự giác. Đối với học sinh cũng
vậy nếu các em chỉ học một cách thụ động, tức là tiếp thu kiến thức theo lối “nhồi
nhét’, không có thói quen suy nghĩ một cách sâu sắc thì kiến thức nhanh chóng bị
lãng quên. Vì vậy để phát huy tính tích cực và sáng tạo của học sinh không còn
cách nào khác là phải tạo niềm tin và hứng thú học tập cho các em. Có nghĩa là
chúng ta phải có những phương pháp phù hợp giúp học sinh tiếp thu kiến thức một
cách chủ động có hệ thống. Giúp các em nhận dạng bài toán và nắm được hướng
giải quyết tốt nhất.
1
3. Cơ sở giáo dục học
Những kết quả nghiên cứu của giáo dục học cho thấy kết quả giáo dục sẽ cao
hơn nếu quá trình đào tạo được biến thành quá trình tự đào tạo, quá trình giáo dục
được biến thành quá trình tự giáo dục.
II. MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
1. Mục đích nghiên cứu
- Chuyên đề giúp giáo viên có cái nhìn tổng thể về các vấn đề có liên quan đến
hệ thức Vi-ét, rút ra những kinh nghiệm trong giảng dạy và học tập, đào sâu và
hoàn thiện hiểu biết. Từ đó có phương pháp dạy- học có hiệu quả, giúp học sinh
giảm bớt những khó khăn lúng túng khi học nội dung này.
- Thực hiện chuyên đề này thấy được những thuận lợi và khó khăn khi dạy học
nội dung hệ thức Vi-ét. Qua đó có định hướng năng cao chất lượng dạy học môn

Toán.
2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Thấy được vai trò của hệ thức Vi-ét trong chương trình Toán THCS đặc biệt là
những dạng toán có liên quan.
- Giảm bớt những khó khăn, lúng túng của các em khi nghiên cứu nội dung có
liên quan đến hệ thức Vi-ét. Học sinh xác định được cách giải của một số dạng
toán cơ bản.
III. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
1. Nghiên cứu phần “ Phương trình bậc hai : ax
2
+bx+c=0 có chứa tham số” nói
chung và ứng dụng của định lí Vi-ét trong phương trình bậc hai ax
2
+bx+c=0 (a
≠
0)
.
2. Nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến hệ thức Vi-ét và ứng dụng.
3. Giáo viên giảng dạy cấp THCS và học sinh THCS đặc biệt là học sinh khối
lớp 9.
IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1. Phương pháp nghiên cứu lí luận
Đọc các tài liệu có liên quan để phân dạng bài tập và phương pháp giải.
- Các tạp chí giáo dục toán học.
- Sách giáo khoa, sách giáo viên toán 9 tập hai.
- Sách tham khảo.
- Phương pháp dạy học môn Toán THCS.
2. Phương pháp thực nghiệm
Tiến hành dạy thực nghiệm để kiểm tra kết quả áp dụng chuyên đề.
3.Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

Rút ra những bài học cho bản thân và đồng nghiệp để giảng dạy tốt hơn.
2
PHẦN II: NỘI DUNG
I. HỆ THỐNG CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn.
Phương trình bậc hai một ẩn ( gọi là phương trình bậc hai) là phương trình có
dạng ax
2
+bx+c=0.Trong đó x là ẩn, a,b,c là các hệ số cho trước a
≠
0
2. Cách giải phương trình bậc hai
a) Phương trình khuyết b (b=0)
ax
2
+c=0
2
c
x
a
= −
+ Nếu
c
a
−
<0 => Phương trình vô nghiệm
+ Nếu
c
a
−

>0 => Phương trình có hai nghiệm
1
.c c a
x
a a
−
= − =
2
.c c a
x
a a
−
= − − = −
b) Phương trình khuyết c (c=0)
ax
2
+bx =0
⇔
x(ax+b) =0
+ x=0
+ ax+b=0
⇔
x=
b
a
−
c)Nếu a, b, c
≠
0 phương trình bậc hai có dạng ax
2

+bx+c=0.
2
4b ac∆ = −
+ Nếu
∆
>0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
1
2
b
x
a
− + ∆
=

2
2
b
x
a
− − ∆
=
+ Nếu
∆
=0 thì phương trình có nghiệm kép
1 2
2
b
x x
a
−

= =

+ Nếu
∆
<0 thì phương trình vô nghiệm.
d) Công thức nghiệm thu gọn
Phương trình ax
2
+bx+c=0 có b=2b’
2
' 'b ac∆ = −
+ Nếu
'∆
>0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
1
' 'b
x
a
− + ∆
=

2
' 'b
x
a
− − ∆
=
+ Nếu
'∆
=0 thì phương trình có nghiệm kép

3
1 2
'b
x x
a
−
= =

+ Nếu
'∆
<0 thì phương trình vô nghiệm.
3. Hệ thức Vi-ét
+Nếu phương trình ax
2
+bx+c=0 có hai nghiệm
1
x
,
2
x
(
∆ ≥
0) thì ta có:
1 2
b
x x
a
+ = −
1 2
.

c
x x
a
=
+ Nếu có hai số a, b sao cho a+b=S, a.b=P thì a,b là hai nghiệm của phương
trình X
2
-SX+P=0
4. Hệ quả của định lí Vi-ét
*Phương trình bậc hai ax
2
+bx+c=0
+ Nếu có a+b+c=0 thì phương trình có hai nghiệm:
1 2
1;
c
x x
a
= =
+ Nếu có a-b+c=0 thì phương trình có hai nghiệm:
1 2
1;
c
x x
a
−
= − =
*Phương trình bậc hai ax
2
+bx+c=0 có hai nghiệm

1
x
,
2
x
thì ta có:
ax
2
+bx+c=a(
1
x x−
)(
2
x x−
)
*Phương trình bậc hai ax
2
+bx+c=0 có nghiệm kép
0
x x=
thì ta có:
ax
2
+bx+c=a(
0
x x−
)
2
II. CÁC BÀI TẬP ỨNG DỤNG
Để học sinh nắm kiến thức một cách có hệ thống tôi đã phân thành các dạng

bài tập cụ thể . Sau đó đưa ra ví dụ minh họa để học sinh vận dụng. Một số bài tập
học sinh rèn luyện tại lớp và bài tập về nhà để cho học sinh luyên tập rèn trí nhớ.
Dạng I: Không giải phương trình hãy tính tổng và tích hai nghiệm
1
x
,
2
x
của
phương trình bậc hai nếu có:
1. Cách giải:
Bước 1: Chứng tỏ phương trình bậc hai có nghiệm (
∆ ≥
0 hoặc a.c<0)
Bước 2: Vận dụng hệ thức Vi- ét tính:
1 2
b
x x
a
+ = −
1 2
.
c
x x
a
=
2. Bài tập áp dụng:
Không giải phương trình hãy tính tổng và tích hai nghiệm
1
x

,
2
x
của phương trình
bậc hai nếu có:
Ví dụ 1: x
2
-5x-6=0
Giải:
Xét phương trình x
2
-3x-6=0 có a.c=1.(-6)=-6<0 nên phương trình có hai nghiệm
1
x
,
2
x
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
4

1 2
3x x+ =
1 2
. 6x x = −
Ví dụ 2: x
2
-5x+3=0
Giải:
Xét phương trình x
2

-5x+3=0 có
∆
=(-5)
2
-4.1.3=25-12=13>0 nên phương trình có
hai nghiệm
1
x
,
2
x
Theo hệ thức Vi-ét ta có:

1 2
5x x+ =
1 2
. 3x x =
Ví dụ 3: 3x
2
-4x+3=0 có
∆
=(-4)
2
- 4.3.3=16-36=-20<0 nên phương trình vô
nghiệm.
3. Bài tập thực hành:
Không giải phương trình hãy tính tổng và tích hai nghiệm
1
x
,

2
x
của phương trình
bậc hai nếu có:
a) 3x
2
- 4x-7=0
b) 2x
2
- 7x+3=0
c) 9x
2
- 4x+1=0
Dạng II: Kiểm tra một số
0
x x=
có phải là nghiệm của phương trình bậc hai
không? Nếu phải hãy tính nghiệm còn lại.
1. Cách giải:
0
x x=
là nghiệm của phương trình bậc hai khi và chỉ khi
2
0 0
0ax bx c+ + =
Dùng hệ thức Vi-ét
1 2
b
x x
a

+ = −
1 2
.
c
x x
a
=
để tìm nghiệm còn lại biết
1 0
x x=
2. Bài tập áp dụng:
Ví dụ 1: Kiểm tra một số
3x
=
có phải là nghiệm của phương trình bậc hai
x
2
- x- 6 = 0 không? Nếu phải hãy tính nghiệm còn lại.
Giải:
Thay x=3 vào vế trái của phương trình ta có: 3
2
-3-6=0 nên x=3 là một nghiệm
của phương trình
Theo hệ thức Vi-ét ta có:

1 2
. 6x x = −
mà x
1
=3=>x

2
=-2
Vậy
3x
=
là nghiệm của phương trình bậc hai x
2
- x- 6 = 0 và nghiệm còn lại
x=-2.
Ví dụ 2: Kiểm tra một số x=1 có phải là nghiệm của phương trình bậc hai
2
2( 3 1) 2 3 1 0x x− + + + =
không? Nếu phải hãy tính nghiệm còn lại.
Giải:
Thay x=1 vào vế trái của phương trình ta có:
2
1 2( 3 1).1 2 3 1 0− + + + =
nên x=1
5
là một nghiệm của phương trình
Theo hệ thức Vi-ét ta có:

1 2
. 2 3 1x x = +
mà x
1
=1=>x
2
=
2 3 1+

Vậy x=1 là nghiệm của phương trình bậc hai
2
2( 3 1) 2 3 1 0x x− + + + =
và nghiệm
còn lại x
2
=
2 3 1+
3. Bài tập thực hành:
Kiểm tra một số
0
x x=
có phải là nghiệm của phương trình bậc hai không? Nếu
phải hãy tính nghiệm còn lại.
a)
2
3 2 0x x− + =
(
0
2x =
)
b)
2
2 5 3 0x x− − =
(
0
3x =
)
c)
2

3( 3 1) 3 3 2 0x x− + + + =
(
0
1x =
)
Dạng III: Tìm giá trị của tham số m để phương trình bậc hai có một
nghiệm cho trước. Tính nghiệm số còn lại.
1. Cách giải:
Cho ax
2
+bx+c=0 ( a
≠
0) phương trình tham số m
+ Thay
0
x x=
vào phương trình ta được phương trình ẩn m
+ Dùng hệ thức Vi-ét tính nghiệm còn lại.
2. Bài tập ứng dụng
Ví dụ 1: Cho phương trình 2x
2
+(m+4)x+2m=0. Tìm m để phương trình có một
nghiệm là -1. Tìm nghiệm còn lại.
Giải:
Thay x=-1 vào phương trình ta được:
2(-1)
2
+(m+4).(-1)+2m=0
⇔
2- m- 4+2m=0

⇔
-2+m=0
⇔
m=2
Với m=2 phương trình có một nghiệm x
1
=1
Theo Vi-ét ta có:

1 2
.x x m=
mà x
1
=1, m=2=> x
2
=2
Vậy với m=2 thì phương trình có một nghiệm x=1, nghiệm còn lại x=2.
Ví dụ 2: Cho phương trình x
2
+4x+m
2
-2m+1=0. Tìm m để phương trình có một
nghiệm là -2. Tìm nghiệm còn lại.
Giải:
Thay x=-2 vào phương trình ta được:
(-2)
2
+4.(-2)+ m
2
-2m+1=0

⇔
4-8+m
2
-2m+1=0
⇔
m
2
-2m-3=0 ( phương trình có a-b+c=0)
⇔
m
1
=-1, m
2
=3
Với m
1
=-1, m
2
=3 thì phương trình có một nghiệm x=-2
Theo Vi-ét ta có:
6

1 2
.x x =
m
2
-2m+1
Với x
1
=-2, m

1
=-1 thì
2
2
( 1) 2.( 1) 1 4
2
2 2
x
− − − +
= = = −
− −
Với x
1
=-2, m
2
=3 thì
2
2
3 2.3 1 4
2
2 2
x
− +
= = = −
− −
Vậy với m=-1, m=3 thì phương trình có 1 nghiệm x=-2, nghiệm còn lại x=-2.
Ví dụ 3: Cho phương trình x
2
-mx+m
2

-7=0. Tìm m để phương trình có một
nghiệm là -1. Tìm nghiệm còn lại.
Giải:
Thay x=-1 vào phương trình ta được:
(-1)
2
-m.(-1)+ m
2
-7=0
⇔
1+m+m
2
-7=0
⇔
m
2
+m-6=0 ( phương trình có
∆
=25)
⇔
m
1
=2, m
2
=-3
Với m
1
=2, m
2
=-3 thì phương trình có một nghiệm x=-1

Theo Vi-ét ta có:

1 2
.x x =
m
2
-7
Với x
1
=-1, m
1
=2 thì
2
2
2 7 3
3
1 1
x
− −
= = =
− −
Với x
1
=-1, m
2
=-3 thì
2
2
( 3) 7 2
2

1 1
x
− −
= = = −
− −
Vậy với m=2, nghiệm còn lại của phương trình x=3
với m=-3, nghiệm còn lại của phương trình x=-2
3. Bài tập thực hành
Bài 1 : Cho phương trình 4x
2
+2(m-1)x+2m=0. Tìm m để phương trình có một
nghiệm là 1. Tìm nghiệm còn lại.
Bài 2: Cho phương trình 3x
2
+6x+3m
2
-6m-18=0. Tìm m để phương trình có một
nghiệm là 3. Tìm nghiệm còn lại.
Bài 3: Cho phương trình x
2
-(m+1)x+m
2
+m-7=0. Tìm m để phương trình có một
nghiệm là -1. Tìm nghiệm còn lại.
Bài 4: Cho phương trình x
2
-2x+m=0. Tìm m để phương trình có một nghiệm là
3
. Tìm nghiệm còn lại.
Dạng IV: Không giải phương trình hãy tính giá trị của một biểu thức giữa

các nghiệm của phương trình bậc hai:
1. Cách giải
+ Chứng tỏ phương trình bậc hai có hai nghiệm x
1
, x
2
(
∆
>0)
+ Biến đổi biểu thức bài cho về dạng tổng và tích hai nghiệm
+ Viết hệ thức Vi-ét thay vào biểu thức tính giá trị
2. Bài tập ứng dụng
Ví dụ 1: Cho phương trình x
2
- 10x+15 = 0 không giải phương trình . Hãy tính
giá trị của các biểu thức sau( Với x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình x
1
<x
2
)
7
a)
2 2
1 2
x x+
b)

1 2
1 1
x x
+
c)
3 3
1 2
x x+
d)
2 1
1 2
x x
x x
+
e)
2 2
1 2
x x−
g)
3 3
1 2
x x−
Giải:
Xét phương trình x
2
- 10x+15 = 0
∆
’=(-5)
2
-1.15=10>0=> phương trình có hai nghiệm x

1
, x
2
(x
1
<x
2
)
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
1 2
10x x+ =
(1)
1 2
. 15x x =
(2)
a)
2 2
1 2
x x+
=
2
1 2 1 2
( ) 2x x x x+ −
=10
2
-2.15=100-30=70
b)
1 2
1 1
x x

+
=
1 2
1 2
x x
x x
+
=
10
15
=
2
3

c)
3 3
1 2
x x+
=
2 2
1 2 1 1 2 2
( )( )x x x x x x+ − +
=
2
1 2 1 2 1 2
( )[( ) 3 ]x x x x x x+ + −
=
3
1 2 1 2 1 2
( ) 3 ( )x x x x x x+ − +

=10
3
-3.10.15=1000-450=550
d)
2 1
1 2
x x
x x
+
=
2 2
2 1
1 2
.
x x
x x
+
=
70 14
15 3
=

e) Đặt A=
2 2
1 2
x x−
=(
1 2
x x+
)(

1 2
x x−
)
B=
1 2
x x−
<0 vì x
1
<x
2
Ta có B
2
=(
1 2
x x−
)
2
=
2 2
1 2
x x+
1 2
2x x−
=70-2.15=40
=>B=-
2 10
Do đó A=
2 2
1 2
x x−

=10.(-
2 10
)=-
20 10
g)
3 3
1 2
x x−
=
2 2
1 2 1 1 2 2
( )( )x x x x x x− + +
=-
20 10
(70 15)+
=-
20 10
.
85
=
170 10−
Ví dụ 2: Cho phương trình x
2
-5x+6=0 không giải phương trình . Hãy tính giá
trị của các biểu thức sau( Với x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình x
1

>x
2
)
a)
1 2
x x+
b)
1 1 2 2
x x x x+
c)
2 1 1 2
x x x x+
d)
1 2
x x−
Giải:
Xét phương trình x
2
-5x+6=0
∆
=(-5)
2
-4.6=25-24=1>0
Phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
Theo hệ thức Vi-ét ta có:

1 2

5 0x x+ = >


1 2
. 6 0x x = >
=> x
1
>0, x
2
>0
a)A=
1 2
x x+
>0
A
2
= (
1 2
x x+
)
2
=
1 2
x x+
1 2
2 x x+
=
5 2 6+
=
2

( 3 2)+
Vậy A=
3 2+
b)
1 1 2 2
x x x x+
=
1 2 1 2 1 2
( )( )x x x x x x+ + −
= (
3 2+
)(
5 6)−
=
3 3 2 3+
c)
2 1 1 2
x x x x+
=
2 1 1 2
( ) 6( 3 2) 3 2 2 3x x x x+ = + = +

d) Đặt B=
1 2
x x−
>0 vì x
1
>x
2
B

2
=(
1 2
x x−
)
2
=
1 2
x x+
1 2
2 x x−
=
5 2 6−
=
2
( 3 2)−
8
Vậy B=
3 2−
Ví dụ 3: Cho phương trình x
2
+3x+1=0 không giải phương trình . Hãy tính giá
trị của các biểu thức sau( Với x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình )
a) x
1
(2-x

2
)+x
2
(2-x
1
)
b) 12-10x
1
x
2
-(x
1
2
+x
2
2
)
c) (2x
1
-x
2
)(2x
2
-x
1
)
Giải:
Xét phương trình x
2
+3x+1=0

∆
=3
2
-4.1=9-4=5>0
Phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
Theo hệ thức Vi-ét ta có:

1 2
3 0x x+ = − <


1 2
. 1 0x x = >

a) x
1
(2-x
2
)+x
2
(2-x
1
) = 2x
1
- x
1
x

2
+2x
2
- x
1
x
2
= 2(x
1
+x
2
)-2x
1
x
2
=2.(-3)-2.1=-8
b) 12-10x
1
x
2
-(x
1
2
+x
2
2
)= 12-10x
1
x
2

-(x
1
+x
2
)
2
+2 x
1
x
2
=12-8x
1
x
2
-(x
1
+x
2
)
2
= 12-8.1-(-3)
2
=-5
c) (2x
1
-x
2
)(2x
2
-x

1
) =4 x
1
x
2
-2x
1
2
-2x
2
2
+ x
1
x
2
=5 x
1
x
2
-2(x
1
2
+x
2
2
)
= 5 x
1
x
2

-2(x
1
+x
2
)
2
+ 4 x
1
x
2
=9 x
1
x
2
-2(x
1
+x
2
)
2
=9.1-2.(-3)
2
=-9
3. Bài tập thực hành
Bài 1. Cho phương trình x
2
- 27x+43 = 0 không giải phương trình . Hãy tính giá
trị của các biểu thức sau( Với x
1
, x

2
là hai nghiệm của phương trình trên x
1
<x
2
)
a)
2 2
1 2
x x+
b)
1 2
1 1
x x
+
c)
3 3
1 2
x x+
d)
2 1
1 2
x x
x x
+
e)
2 2
1 2
x x−
g)

3 3
1 2
x x−
Bài 2: Cho phương trình x
2
-3x+2=0 không giải phương trình . Hãy tính giá trị
của các biểu thức sau( Với x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình x
1
>x
2
)
a)
1 2
x x+
b)
1 1 2 2
x x x x+
c)
2 1 1 2
x x x x+
d)
1 2
x x−
Bài 3: Cho phương trình x
2
+4x+3=0 không giải phương trình . Hãy tính giá trị

của các biểu thức sau( Với x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình )
a)x
1
(2-x
2
)+x
2
(2-x
1
)
b)
1 2 1 2
1 1 2
x x x x
+ +
c)
1 2
2 1 1 2
2 2
x x
x x x x
+
− −

Dạng V: Tìm điều kiện của m để các phương trình sau có hai nghiệm x
1

, x
2
thoả mãn một hệ thức cho trước.
1. Cách giải
+ Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có hai nghiệm x
1
, x
2

9
+ Viết hệ thức Vi-ét
1 2
b
x x
a
+ = −
(1)
1 2
.
c
x x
a
=
(2)
+ Kết hợp (1) và (2) với hệ thức đầu bài cho ta tìm được m( ở mỗi dạng hệ
thức có cách giải riêng)
2. Bài tập áp dụng
2.1 Hệ thức chứa tổng và tích hai nghiệm (3)
Thay (1), (2) vào (3) ta được phương trình ẩn m. Giải phương trình ẩn m và so
với điều kiện => trả lời.

Ví dụ 1: Cho phương trình x
2
+mx-m
2
-8=0. Tìm m để phương trình có hai
nghiệm thoả mãn: x
2
1
+x
2
2
=25
Giải:
Xét phương trình x
2
+mx-m
2
-8=0
Phương trình có hai nghiệm
⇔
∆
= m
2
+4(m
2
+8)= 5m
2
+32>0 với mọi m
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1

, x
2
+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:
1 2
x x m+ = −
(1)
2
1 2
. 8x x m= − −
(2)
Theo đề bài ta có: x
2
1
+x
2
2
=25
⇔
2
1 2 1 2
( ) 2x x x x+ −
=25 (3)
Thay (1), (2) vào (3) ta có:
(-m)
2
+2m
2
+16=25
⇔
3m

2
=9
⇔
m
2
=3
⇔
m=
3±
Vậy với m=
3±
thì phương trình có hai nghiệm thoả mãn: x
2
1
+x
2
2
=25
Ví dụ 2: Cho phương trình x
2
-mx+m-1=0. Tìm m để phương trình có hai
nghiệm thoả mãn: x
2
1
+x
2
2
-6 x
1
x

2
=8
Giải:
Xét phương trình x
2
-mx+m-1=0
Phương trình có hai nghiệm
⇔
∆
=m
2
-4(m-1)= m
2
-4m+4=(m-2)
2
≥
0 với mọi m
Vậy phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:
1 2
x x m+ =
(1)
1 2
. 1x x m= −
(2)
Theo đề bài ta có: x
2

1
+x
2
2
-6 x
1
x
2
=8
⇔
(x
1
+x
2
)
2
-8x
1
x
2
=8 (3)
Thay (1), (2) vào (3) ta có:
(m)
2
-8(m-1)=8
⇔
m
2
-8m+8=8
⇔

m(m-8)=0
⇔
m=0, m=8
Vậy với m=0, m=8 thì phương trình có hai nghiệm thoả mãn:
x
2
1
+x
2
2
-6 x
1
x
2
=8
Ví dụ 3: Cho phương trình x
2
-2x+m+2=0. Tìm m để phương trình có hai
10
nghiệm thoả mãn:
a)x
2
1
+x
2
2
+4 x
1
x
2

=0
b)
2 1
1 2
10
3
x x
x x
−
+ =
Giải:
Xét phương trình x
2
-2x+m+2=0
Phương trình có hai nghiệm
⇔
∆
’=(-1)
2
-(m+2)= -m-1
≥
0
⇔
m
≤
-1 (*)
Vậy phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2

+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:
1 2
2x x+ =
(1)
1 2
. 2x x m= +
(2)
a)Theo đề bài ta có: x
2
1
+x
2
2
+4 x
1
x
2
=0
⇔
(x
1
+x
2
)
2
+2x
1
x
2
=0 (3)

Thay (1), (2) vào (3) ta có:
(2)
2
+2(m+2)=0
⇔
2m+8=0
⇔
m=-4 (thoả mãn *)
Vậy với m=-4 thì phương trình có hai nghiệm thoả mãn: x
2
1
+x
2
2
+4 x
1
x
2
=0
b) Theo đề bài ta có:
2 1
1 2
2 2
1 2
1 2
2
1 2 1 2
1 2
10
3

10
3
( ) 2
10
3
x x
x x
x x
x x
x x x x
x x
−
+ =
+ −
⇔ =
+ −
−
⇔ =
(4)
Thay (1), (2) vào (4) ta có:
2
2 2( 2) 10
2 3
2 10
2 3
6 10 20( 2)
5
m
m
m

m
m m m
m
− + −
=
+
− −
⇔ =
+
⇔ − = − − ≠
⇔ = −
m=-5 (thoã mãn*)
Vậy m=-5 là giá trị cần tìm
2.2 Hệ thức không chứa tổng và tích hai nghiệm.
+ Từ (1) và (3) ta được hệ phương trình ẩn x
1
, x
2
+Giải hệ phương trình ẩn x
1
, x
2
theo m
+ Thay x
1
, x
2
vào (2) ta được phương trình ẩn m
+ Giải phương trình ẩn m ta tìm được m
+So sánh với điều kiện có nghiệm.Trả lời.

Ví dụ 1: Cho phương trình x
2
-mx+m-1=0. Tìm m để phương trình có hai
nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: x
1
-2x
2
=1 (3)
Giải:
11
Xét phương trình x
2
-mx+m-1=0
Phương trình có 2 nghiệm
⇔
∆
=(m)
2
-4(m-1)=m
2
-4m+4=(m-2)
2
≥
0 với mọi m
Vậy phương trình có hai nghiệm x
1

, x
2
+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:
1 2
x x m+ =
(1)
1 2
. 1x x m= −
(2)
Theo đề bài ta có: x
1
-2x
2
=1 (3)
Từ (1) và (3) ta có hệ phương trình:
1 2
1 2
1 2
2 1 (3)
(1)
2 1 1
;
3 3
x x
x x m
m m
x x
− =



+ =

+ −
⇔ = =
Thay x
1
, x
2
vào (2) ta có:
2
2
2 1 1
1
3 3
2 2 1 9 9
2 10 8 0
1; 4
m m
m
m m m m
m m
m m
+ −
= −
⇔ − + − = −
⇔ − + =
⇔ = =
g
Vậy m=1, m=4 là các giá tri cần tìm.
Ví dụ 2: Cho phương trình x

2
+2x+m+1=0. Tìm m để phương trình có hai
nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: x
1
-x
2
=8 (3)
Giải:
Xét phương trình x
2
+2x+m+1=0
Phương trình có 2 nghiệm
⇔
∆
=(2)
2
-4(m+1)=-4m
≥
0
⇔
m
≤
0 (*)
Vậy phương trình có hai nghiệm x
1
, x

2
+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:
1 2
2x x+ = −
(1)
1 2
. 1x x m= +
(2)
Theo đề bài ta có: x
1
-x
2
=8 (3)
Từ (1) và (3) ta có hệ phương trình:
1 2
1 2
1 2
8 (3)
2 (1)
3; 5
x x
x x
x x
− =


+ = −

⇔ = = −
Thay x

1
, x
2
vào (2) ta có:
3 ( 5) 1
16
m
m
− = +
⇔ = −
g
m=-16 (thoả mãn *)
Vậy m=-16 là giá tri cần tìm.
2.3 Tìm GTLN và GTNN, bất đẳng thức của biểu thức giữa các nghiệm.
+ Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có hai nghiệm x
1
, x
2

12
+ Viết hệ thức Vi-ét
1 2
b
x x
a
+ = −
(1)
1 2
.
c

x x
a
=
(2)
+ Thay (1) và (2) vào biểu thức bài cho rồi tính GTLN và GTNN của biểu thức
giữa các nghiệm.
Ví dụ 1: Cho phương trình x
2
-(2m+1)x+m
2
+m-1=0. Tìm m để phương trình có
hai nghiệm x
1
, x
2
và biểu thức A=(2x
1
-x
2
) (2x
2
-x
1
) đạt GTNN
Giải:
Xét phương trình x
2
-(2m+1)x+m
2
+m-1=0

Phương trình có 2 nghiệm
⇔
∆
=(2m+1)
2
-4(m
2
+m-1)=5 >0 với mọi m
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:
1 2
2 1x x m+ = +
(1)
2
1 2
. 1x x m m= + −
(2)
Thay (1) và (2) vào A :
A=(2x
1
-x
2
) (2x
2
-x
1
)=4 x

1
x
2
-2 x
1
2
-2 x
2
2
+ x
1
x
2
=9 x
1
x
2
-2(x
1
+x
2
)
2
=9(m
2
+m-1)-2(2m+1)
2
=m
2
+m-11=(

2
1 45 45
)
2 4 4
m
−
+ − ≥
Vậy GTNN A=
45 1 1
0
4 2 2
m m
− −
⇔ + = ⇔ =
Ví dụ 2: Cho phương trình x
2
+2(m-1)x-(2m+5)=0. Tìm m để phương trình có
hai nghiệm x
1
, x
2
và biểu thức B=12-10x
1
x
2
)- (x
1
2
+x
2

2
) đạt GTLN
Giải:
Xét phương trình x
2
+2(m-1)x-(2m+5)=0
Phương trình có 2 nghiệm
⇔
∆
’=(m-1)
2
+2m+5=m
2
+6 >0 với mọi m
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
với mọi m
+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:
1 2
2( 1)x x m+ = − −
(1)
1 2
. 2 5x x m= − −
(2)
Thay (1) và (2) vào B :
B=12-10x
1
x

2
)- (x
1
2
+x
2
2
) = 12-8x
1
x
2
- (x
1
+x
2
)
2

=12+8(2m+5)-4(m-1)
2
=-4m
2
+24m+48
= -(2m-6)
2
+84
≤
84
Vậy GTLN B=84
⇔

m=3
Ví dụ 3: Cho phương trình x
2
-2(m-1)x-(2m+5)=0. Tìm m để phương trình có
hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn bất đẳng thức: x
1
+x
2
+2x
1
x
2
≤
6
Giải:
Xét phương trình x
2
-2(m-1)x-(2m+5)=0
13
Phương trình có 2 nghiệm
⇔
∆
’=(m-1)
2
+2m+5=m
2

+6 >0 với mọi m
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
với mọi m
+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:
1 2
2( 1)x x m+ = −
(1)
1 2
. 2 5x x m= − −
(2)
Thay (1) và (2) vào bất đẳng thức:
x
1
+x
2
+2x
1
x
2
≤
6
⇔
2(m-1)- 2(2m+5)
≤
6
⇔
2m-2-4m-10

≤
6
⇔
-2m
≤
18
⇔
m
≥
-9
Vậy m
≥
-9 là điều kiện cần tìm
3. Bài tập thực hành
Bài 1: Cho phương trình x
2
-3x+m-1=0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm
x
1
, x
2
thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) x
1
2
-x
2
2
=6
b) x

1
2
+x
2
2
=5
c) x
1
, x
2
là nghịch đảo của nhau
d) x
1
, x
2
là số đối của nhau
e) Nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
Bài 2:
a) Cho phương trình x
2
-2(m+1)x+2m+10=0. Tìm m để phương trình có hai
nghiệm x
1
, x
2
và biểu thức A=x
1
2
+x
2

2
+10x
2
x
1
đạt GTNN.
b) Cho phương trình x
2
+mx+1=0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn bất đẳng thức:
2 2
1 2
2 1
x x
x x
   
+
 ÷  ÷
   
>7
c) Cho phương trình x
2
-2x-(m-1)(m-3)=0. Tìm m để phương trình có hai
nghiệm x
1
, x
2

và biểu thức B=(x
1
+x
2
)x
2
đạt GTNN.
Dạng VI: Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai
không phụ thuộc vào tham số m.
1. Cách giải:
+ Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
+ Viết hệ thức Vi-ét
1 2
b
x x
a
+ = −
(1)
1 2
.
c
x x
a
=
(2)
+ Từ (1) và (2) tìm cách khử m.
2. Bài tập áp dụng

14
Ví dụ 1: Cho phương trình x
2
+(2m+1)x+m-1=0. Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
,
x
2
không phụ thuộc vào m.
Giải:
Xét phương trình x
2
+(2m+1)x+m-1=0.
Phương trình có 2 nghiệm
⇔
∆
=(2m+1)
2
-4(m-1)
≥
0
⇔
4m
2
+4m+1-4m+4
≥
0
⇔
4m
2

+5
≥
0 với mọi m
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
với mọi m
+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:
1 2
2 1x x m+ = − −
(1)
1 2
. 1x x m= −
(2)
Từ (1) và (2)
⇔
x
1
+x
2
+2x
1
x
2
=-2m-1+2(m-1)
⇔
x
1
+x

2
+2x
1
x
2
=-3
Vậy hệ thức cần tìm là: x
1
+x
2
+2x
1
x
2
=-3
Ví dụ 2: Cho phương trình x
2
-2(m-1)x+m-2=0. Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
Giải:
Xét phương trình x
2
-2(m-1)x+m-2=0
Phương trình có 2 nghiệm
⇔
∆
’=(m-1)

2
-(m-2) >0
⇔
m
2
-2m+1-m+2>0
⇔
m
2
-3m+3>0
⇔
2
3 3
( )
2 4
m − +
>0 với mọi m
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
với mọi m
+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:
1 2
2 2x x m+ = −
(1)
1 2
. 2x x m= −
(2)
Từ (1) và (2)

⇔
x
1
+x
2
-2x
1
x
2
=2m-2-2m+4=2
⇔
x
1
+x
2
-2x
1
x
2
=2
Vậy hệ thức cần tìm là: x
1
+x
2
-2x
1
x
2
=2
Ví dụ 3: Cho phương trình x

2
-2mx+m
2
- 4=0. Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
Giải:
Xét phương trình x
2
-2mx+m
2
- 4=0.
Phương trình có 2 nghiệm
⇔
∆
’=m
2
-m
2
+4 >0
⇔
4>0 với mọi m
15
Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
với mọi m

+ Theo hệ thức Vi-ét ta có:
1 2
2x x m+ =
(1)
2
1 2
. 4x x m= −
(2)
Từ (1) và (2)
⇔
(x
1
+x
2
)
2

- 4x
1
x
2
=4m
2
- 4m
2
+16=16
⇔
(x
1
+x

2
)
2

- 4x
1
x
2
=16
Vậy hệ thức cần tìm là:
⇔
(x
1
+x
2
)
2

- 4x
1
x
2
=16
3. Bài tập thực hành
Giả sử các phương trình sau có hai nghiệm x
1
, x
2
. tìm hệ thức liên hệ giữa x
1

,
x
2
không phụ thuộc vào m.
a) x
2
-(2-m)x+m
2
- 4=0
b) (m-4)x
2
-2mx+m- 4=0
c) x
2
-2(m+1)x+2m
2
- 2=0
d) (m-2)x
2
-2(m+4)x+m- 2=0
e) x
2
-(m+1)x+m+ 4=0
Dạng VII: Lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm x
1
, x
2

1. Cách giải:
Tính S = x

1
+ x
2
P= x
1
x
2
Nếu S
2
- 4P
≥
0 thì x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình X
2
- SX +P=0
2. Bài tập ứng dụng:
Ví dụ 1: Lập phương trình có hai nghiệm lần lượt là:
2 5+
;
2 5−
Giải:
Ta có S=
2 5+
+
2 5−
=4
P=(

2 5+
)(
2 5−
)=-1
Do S
2
-4P = 16+4=20>0
Vậy
2 5+
;
2 5−
là hai nghiệm của phương trình X
2
- 4X -1=0
Ví dụ 2: Chứng minh rằng tồn tại phương trình bậc hai có hệ số nguyên và có
1 nghiệm là:
3 2
3 2
−
+
Giải:
Cho x
1
=
3 2
3 2
−
+
=
2

( 3 2)
5 2 6
3 2
−
= −
−
Chọn x
2
=
5 2 6+
Ta có S =
5 2 6−
+
5 2 6+
=10
P=(
5 2 6−
)(
5 2 6+
)=1
Do S
2
-4P = 100-4=96>0
Vậy
5 2 6−
;
5 2 6+
là hai nghiệm của phương trình bậc hai X
2
- 10X +1=0 có

hệ số là nguyên.
Ví dụ 3: Cho phương trình x
2
-5x+4=0 có hai nghiệm x
1
, x
2
. Hãy tìm một
16
phương trình bậc hai có hai nghiệm lần lượt là: X
1
=x
1
+1; X
2
=x
2
+1
Giải:
Xét phương trình x
2
-5x+4=0 có hai nghiệm x
1
, x
2
Theo Vi-ét ta có:
x
1
+x
2

=5
x
1
x
2
=4
Ta có S= X
1
+ X
2
=x
2
+1+x
1
+1=5
P= X
1
X
2
= (x
2
+1)(x
1
+1)= x
1
x
2
+(x
1
+x

2
)+1=4+5+1=10
Mà S
2
-4P = 7
2
-40=9>0
Vậy X
1
; X
2
là hai nghiệm của phương trình bậc hai X
2
-7X+10=0
3. Bài tập thực hành
Bài 1: Lập phương trình có hai nghiệm lần lượt là:
a)
2 3+
;
2 3−
b)
4 5+
;
4 5−
Bài 2: Chứng minh rằng tồn tại phương trình bậc hai có hệ số nguyên và có
một nghiệm là
3 2
3 2
−
+

Bài 3: Cho phương trình 2x
2
-7x+6 có hai nghiệm x
1
, x
2
. Hãy tìm một phương
trình bậc hai có hai nghiệm X
1
; X
2
trong các trường hợp sau:
a)
1 2
1 2
1 1
;X X
x x
= =
b) X
1
=x
1
+2; X
2
=x
2
+2
c)
1 1 2 2

1 2
1 1
;X x X x
x x
= + = +
Dạng VIII: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
1. Cách giải:
Cho phương trình: ax
2
+bx+c= 0 (a
≠
0)
Phương trình có 2 nghiệm
⇔
∆
(
∆
’)
≥
0 (ac<0)
Theo hệ thức Vi-et:
S = x
1
+x
2
= -
b
a
P = x
1

x
2
=
c
a
* Phương trình bậc 2 có hai nghiệm trái dấu
⇔
P = x
1
x
2
=
c
a
<0
* Phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng dấu:
⇔
1 2
( ') 0
c
P = x x = >0
a
∆ ∆ ≥





* Phương trình bậc hai có hai nghiệm cùng dương:
17

⇔
1 2
1 2
( ') 0
S= x + x 0
c
P = x x = >0
a
b
a


∆ ∆ ≥


= − >





* Phương trình bậc 2 có 2 nghiệm cùng âm:
⇔
1 2
1 2
( ') 0
S= x + x 0
c
P = x x = >0
a

b
a


∆ ∆ ≥


= − <





Nếu bài toán yêu cầu tìm điều kiện của tham số m để phương trình bậc 2 thoả
mãn với điều kiện về dấu của các nghiệm ta giải các bất phương trình trên ứng với
mỗi trường hợp. Kết hợp trên trục số và so sánh điều kiện a
≠
0.
2. Bài tập ứng dụng:
Ví dụ 1: Không giải phương trình, hãy xác định dấu 2 nghiệm số của phương
trình bậc hai sau:
a, 3x
2
-5x+7=0
b, x
2
+5x+6=0
c, x
2
-5x+6=0

d, 7x
2
-4x-1=0
Giải
a, Xét phương trình: 3x
2
-5x+7=0
∆
= 5
2
-4.3.7=25-84=-59<0
Phương trình vô nghiệm
b, Xét phương trình: x
2
+5x+6=0
∆
= 5
2
-4.6=25-24=1>0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
,x
2
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
S = x
1
+x
2
= -5<0
P = x

1
x
2
= 6>0
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt
c, Xét phương trình: x
2
-5x+6=0
∆
= 5
2
-4.6=25-24=1>0
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
,x
2
18
Theo hệ thức Vi-ét ta có:
S = x
1
+x
2
= 5>0
P = x
1
x
2
= 6>0
Vậy phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
d, Xét phương trình: 7x

2
-4x-1=0
Ta có P = -
1
7
<0
Vậy phương trình có hai nghiệm trái dấu
Ví dụ 2: Cho phương trình: x
2
-2(m-1)+2m-5=0
∆
’=(m-1)
2
-2m+5=m
2
-4m+5=(m-2)
2
+1>0 (
∀
m)
a, Phương trình bậc hai có 2 nghiệm trái dấu
⇔
P<0

⇔
2m-5<0

⇔
m<
5

2
Vậy m<
5
2
thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
b, Phương trình bậc hai có 2 nghiệm cùng dấu
⇔
P>0

⇔
2m-5>0

⇔
m>
5
2
Vậy m<
5
2
thì phương trình có 2 nghiệm cùng dấu.
c, Phương trình bậc hai có 2 nghiệm dương phân biệt
⇔
P>0

⇔
S>0
⇔
2 5 0
1 0
m

m
− >


− >


⇔
5
2
1
m
m

>



>


⇔
5
2
m >

Vậy
5
2
m >

thì phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
d, Phương trình bậc hai có 2 nghiệm âm phân biệt
⇔
P<0

⇔
S<0
⇔

2 5 0
1 0
m
m
− >


− <

Vậy không có giá trị nào của m thoả mãn để phương trình có 2 nghiệm âm phân
biệt.
3. Bài tập thực hành:
Bài 1: Không giải phương trình, hãy xác định dấu hai nghiệm số của phương
19
trình bậc 2 sau:
a, x
2
+x+7=0
b, 2x
2
-3x-5=0

c, 3x
2
-3x-6=0
d, 3x
2
-6x+1=0
Bài 2. Cho phương trình: mx
2
-2(m-1)+2m-5=0
a) Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu.
b) Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt cùng
dấu.
c) Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có hai nghiệm dương phân
biệt.
d) Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có hai nghiệm âm phân biệt.
III. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM:
Sau khi dạy xong cho học sinh phần kiến thức này và kết hợp với việc rèn
luyện giải một số bài tập tôi nhận thấy:
- Học sinh nắm chắc các vấn đề liên quan đến phương trình bậc hai và hệ thức
Vi-ét.
- Học sinh biết phân biệt và nhận dạng từng loại bài tập và vận dụng linh hoạt
được kiến thức đã học để giải toán
- Học sinh làm bài và trình bày bài khoa học, lập luận chặt chẽ.
- Kết quả kiểm tra 20 em học sinh
Trước khi áp dụng chuyên đề Sau khi áp dụng chuyên đề
Điểm trên Tb 11/20 15/20
Điểm dưới Tb 9/20 5/20
20
PHẦN III: BÀI HỌC KINH NGHIỆM
* Đối với giáo viên: Cần xác định rõ từng dạng toán đồng thời phài thấy được

mối quan hệ của những bài tập mà mình cần chuẩn bi cho học sinh với trình tự hợp
lí và lôgíc.
- Phải dẫn dắt học sinh đi từ bài dễ đến bài khó, từ bài cơ bản đến bài nâng
cao, cùng một bài toán ta có thể cho nhiều câu hỏi khác nhau đòi hỏi học sinh phải
suy nghĩ đưa về dạng đã biết.
- Phải hướng dẫn học sinh phương pháp giải hợp lí, nhanh gọn dễ hiểu.
* Đối vơi học sinh:
- Rèn luyện ý thức tự giác suy nghĩ.
- Phải say sưa tìm hiểu nghiên cứu và sáng tạo ttrong giải toán.
* Đối với nhà trường
- Cần phân loại học sinh để giáo viên chọn kiến thức phù hợp và có phương
pháp dạy hợp lí.
- Tổ chức các buổi thảo luận chuyên môn để trao đổi và xây dựng chuyên đề,
sáng kiến kinh nghiệm.
- Tổ chức dạy thực nghiệm chuyên đề, kinh nghiệm ở các lớp để tìm ra phương
pháp dạy hợp lí.
PHẦN IV: KẾT LUẬN
Trên đây là một số vấn đề về phương trình bậc hai hay gặp ở Đại số lớp 9. Tuy
rằng chưa phải là đầy đủ nhất song đó là những vấn đề cơ bản, là nền tảng cho việc
suy nghĩ và giải quyết mọi bài toán có liên quan đến phương trình bậc hai- Định lí
Vi-ét.
Trong thực tế dạng toán này rất đa dạng vì điều kiện thời gian và sự tiếp nhận
kiến thức của học sinh và năng lực của bản thân còn nhiều hạn chế nên nội dung
chuyên đề chưa được phong phú. Rất mong các cấp lãnh đạo, ban giám khảo và các
bạn đồng nghiệp đóng góp, xây dựng ý kiến để chuyên đề được hoàn thiện hơn, có
tính khả thi hơn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn!
21
PHẦN V: HẠN CHẾ- KIẾN NGHỊ - ĐỀ XUẤT
1. Hạn chế

- Học sinh: Tỉ lệ học sinh khá giỏi chưa cao, nên khả năng biến đổi các biểu
thức và vận dụng tính chất về bắt đẳng thức chưa nhanh do đó việc giải phương
trình chứa tham số vận dụng hệ thức Vi-ét còn chậm dù các em đã biết phương
pháp và cách giải.
- Giáo viên: Chưa có nhiều thời gian và trình độ còn có hạn nên chưa đưa ra
các bài tập phong phú và khai thác triệt để các cách giải của cùng một bài toán.Do
đó chuyên đề còn chưa được hoàn thiện, mong sự giúp đỡ của các đồng nghiệp.
2. Kiến nghị, đề xuất
- Đối với sách giáo khoa cần tăng thời lượng về phương trình bậc hai có chứa
tham số. Đưa thêm một số bài toán có ứng dụng hệ thức Vi-ét vào sách giáo khoa.
- Đối với giáo viên: Cần định hướng cho học sinh thấy được tầm quan trọng
của hệ thức Vi-ét trong môn đại số và ứng dụng của nó trong giải toán.
- Đối với nhà trường: Tạo điều kiện về mặt thời gian cũng như tài liệu để các
đồng chí giáo viên có thể đầu tư vào công việc giảng dạy tốt hơn.
Tôi rất mong được sự góp ý của các đồng nghiệp.
Tôi xin trân trọng cảm ơn!

22
MỤC LỤC
Trang
Phần I: Đặt vấn đề 1
I. Lí do chọn chuyên đề 1
1.Cơ sở thực tiễn 1
2. Cơ sở tâm lí 2
3. Cơ sở giáo dục 2
II. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2
1. Mục đích nghiên cứu 2
2. Nhiệm vụ nghiên cứu 2
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2
IV. Các phương pháp nghiên cứu 2

1. Phương pháp nghiên cứu lí luận 2
2. Phương pháp thực nghiệm 2
3. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm 2
Phần II: Nội dung 3
I. Hệ thống các kiến thức cần nhớ 3
II. Các bài tập ứng dụng 4
Dạng I: Không giải phương trình hãy tính tổng và tích hai nghiệm 4
Dạng II. Kiểm tra một số x=x
0
có phải là nghiệm của phương
trình bậc hai không? Nếu phải hãy tính nghiệm còn lại
5
Dạng III.Tìm giá trị của tham số m để phương trình bậc hai có
một nghiệm cho trước. Tính nghiệm còn lại.
6
Dạng IV. Không giải phương trình hãy tính giá trị của một biểu
thức giữa các nghiệm của phương trình bậc hai
8
Dạng V. Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm thoả
mãn hệ thức cho trước.
10
Dạng VI.Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình
bậc hai không phụ thuộc vào tham số m.
15
Dạng VII. Lập phương trình bậc hai cho trước hai nghiệm 17
Dạng VIII. Xác định đấu các nghiệm của phương trình bậc hai 18
III. Kết quả thực nghiệm 21
Phần III: Bài học kinh nghiệm 21
Phần IV: Kết luận 22
Phần V: Hạn chế- kiến nghị- đề xuất 22

23
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa, sách bài tập toán 9 - Nhà xuất bản giáo dục
2. Sách ôn tập đại số 9
3. Bài tập nâng cao Toán lớp 9
4. Tự luyện phương trình đại số theo chủ đề- Nguyễn Đức Tấn
24