Phương pháp giải Toán Chủ đề phương trình bậc hai một ẩn

Chủ đề phơng trình bậc hai một ẩn
A. Kiến thức cần nhớ
I. Định nghĩa : Phơng trình bậc hai một ẩn là phơng trình có dạng
2
ax bx c 0+ + =
trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trớc gọi là các hệ số và
a 0

II. Công thức nghiệm của ph ơng trình bậc hai :
Phơng trình bậc hai
2
ax bx c 0(a 0)+ + =
2
b 4ac =
*) Nếu
0
>
phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
1 2
b b
x ; x
2a 2a
+
= =
*) Nếu
0
=
phơng trình có nghiệm kép :
1 2
b

x x
2a

= =
*) Nếu
0
<
phơng trình vô nghiệm.
III. Công thức nghiệm thu gọn :
Phơng trình bậc hai
2
ax bx c 0(a 0)+ + =
và
b 2b '=
2
' b' ac =
*) Nếu
' 0 >
phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
1 2
b ' ' b ' '
x ; x
a a
+
= =
*) Nếu
' 0 =
phơng trình có nghiệm kép :
1 2
b '

x x
a

= =
*) Nếu
' 0 <
phơng trình vô nghiệm.
IV. Hệ thức Vi - et và ứng dụng :
1. Nếu x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình
2
ax bx c 0(a 0)+ + =
thì :
1 2
1 2
b
x x
a
c
x x
a

+ =

=



2. Muốn tìm hai số u và v, biết u + v = S, uv = P, ta giải phơng trình :
2
x Sx P 0 + =
(Điều kiện để có u và v là
2
S 4P 0
)
3. Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình
2
ax bx c 0(a 0)+ + =
có hai nghiệm :
1 2
c
x 1; x
a
= =
Nếu a - b + c = 0 thì phơng trình
2
ax bx c 0(a 0)+ + =
có hai nghiệm :
1 2
c
x 1; x
a
= =
V. Một số quy tắc, phép biến đổi :

- Quy tắc nhân, chia đa thức.
- Hằng đẳng thức đáng nhớ.
- Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
- Phơng pháp quy đồng mẫu thức của hai hay nhiều phân thức. Các phép tính cộng, trừ,
nhân, chia các phân thức đại số.
- Quy tắc biến đổi phơng trình, bất phơng trình.
- Khái niệm căn bậc hai và các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai.
- Phơng pháp giải hệ phơng trình.
B. Phơng pháp học và làm
- Nắm đợc các đơn vị kiến thức cần nhớ.
- Khi làm bài tập cần đọc kĩ đề bài, xác định đúng dạng bài. Từ đó có phơng pháp phù
hợp để giải.
C. Các dạng bài hay gặp trong bộ môn Toán
I. Ph ơng trình bậc hai không có tham số (Bài tập về giải phơng trình)
1. Phơng trình bậc hai dạng khuyết :
a/ Phơng trình bậc hai khuyết hạng tử bậc nhất :
Phơng pháp giải :
- Chuyển hạng tử tự do sang vế phải.
- Chia cả hai vế cho hệ số bậc hai đa về dạng : x
2
= a
+) a > 0 phơng trình có nghiệm
x a=
+) a = 0 phơng trình có nghiệm x = 0
+) a < 0 phơng trình vô nghiệm
b/ Phơng trình bậc hai khuyết hạng tử tự do :
Phơng pháp giải : Phân tích đa thức vế trái thành nhân tử bằng phơng pháp đặt nhân tử
chung, đa về phơng trình tích rồi giải.
2. Phơng trình bậc hai đầy đủ :
Phơng pháp giải :

- Sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn để giải.

- Sử dụng quy tắc nhẩm nghiệm để tính nghiệm với một số phơng trình đặc biệt.
3. Phơng trình đa đợc về phơng trình bậc hai :
a/ Phơng trình trùng phơng :
4 2
ax bx c 0(a 0)+ + =
Phơng pháp giải : Đặt t = x
2
(
t 0
) đa về dạng :
2
at bt c 0+ + =
b/ Phơng trình chứa ẩn ở mẫu :
Phơng pháp giải :
- Bớc 1. Tìm điều kiện xác định của phơng trình.
- Bớc 2. Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu.
- Bớc 3. Giải phơng trình vừa nhận đợc.
- Bớc 4. Trong các giá trị tìm đợc của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác
định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phơng trình đã cho.
c/ Phơng trình tích.
4. Không giải phơng trình tính giá trị của biểu thức nghiệm (áp dụng định lý Vi-et).
II. Ph ơng trình bậc hai có tham số
1. Giải phơng trình khi biết giá trị của tham số.
2. Tìm tham số biết số nghiệm của phơng trình (có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm
kép, có nghiệm hoặc vô nghiệm).
3. áp dụng định lý Vi-et.
a/ Tìm tham số khi biết nghiệm của phơng trình.
b/ Tìm tham số khi biết dấu của nghiệm (hai nghiệm trái dấu, cùng dấu, cùng dơng hoặc

cùng âm)
c/ Tìm tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa các nghiệm :
- Hệ thức đối xứng.
- Hệ thức không đối xứng.
d/ Tính giá trị của biểu thức nghiệm theo tham số.
e/ Tìm hệ thức độc lập giữa các nghiệm của phơng trình không phụ vào tham số.
f/ Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm của phơng trình.
D. Một số ví dụ
Bài 1. Giải các phơng trình sau :
2
a / 2x 8 0 =
2
b / 3x 5x 0 =
2
c / 2x 3x 5 0 + + =
4 2
d / x 3x 4 0+ =
3 2
e / x 3x 2x 6 0+ =
x 2 6
f / 3
x 5 2 x
+
+ =

Giải
2 2 2
a / 2x 8 0 2x 8 x 4 x 2 = = = =

Vậy phơng trình có nghiệm

x 2=
2
x 0
x 0
b / 3x 5x 0 x(3x 5)
5
3x 5 0
x
3
=

=


=


=
=


Vậy phơng trình có nghiệm
5
x 0;x
3
= =
2
c / 2x 3x 5 0 + + =
*) Cách 1 : Sử dụng công thức nghiệm :
2

3 4.( 2).5 9 40 49 0; 9 = = + = > =
=> phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
1 2
3 7 3 7 5
x 1; x
2.( 2) 2.( 2) 2
+
= = =

*) Cách 2 : Nhẩm nghiệm :
Ta có : a - b + c = - 2 - 3 + 5 = 0 => phơng trình có nghiệm :
1 2
5 5
x 1; x
2 2
= = =

4 2
d / x 3x 4 0+ =
Đặt
2
t x (t 0)=
. Ta có phơng trình :
2
t 3t 4 0+ =
a + b + c = 1 + 3 - 4 = 0
=> phơng trình có nghiệm :
1
t 1 0= >
(thỏa mãn);

2
4
t 4 0
1
= = <
(loại)
2
t 1 x 1 x 1= = =
Vậy phơng trình có nghiệm
x 1=
3 2 3 2 2 2
2 2
e / x 3x 2x 6 0 (x 3x ) (2x 6) 0 x (x 3) 2(x 3) 0 (x 3)(x 2) 0
x 3
x 3 0 x 3
x 2 0 x 2
x 2
+ = + + = + + = + =
=
+ = =





= =
=


Vậy phơng trình có nghiệm

x 3;x 2= =
x 2 6
f / 3
x 5 2 x
+
+ =

(ĐKXĐ :
x 2; x 5
)
Phơng trình :
x 2 6
3
x 5 2 x
+
+ =


2 2
2
2
(x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5)
(x 5)(2 x) (x 5)(2 x) (x 5)(2 x)
(x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5)
4 x 6x 3x 30 15x 6x 30
4x 15x 4 0
15 4.( 4).4 225 64 289 0; 17
+
+ =

+ + =
+ + =
+ + =
= = + = > =
=> phơng trình có hai nghiệm :
1
15 17 1
x
2.( 4) 4
+
= =

(thỏa mãn ĐKXĐ)
2
15 17
x 4
2.( 4)

= =

(thỏa mãn ĐKXĐ)
Bài 2. Cho phơng trình bậc hai ẩn x, tham số m :
2
x mx m 3 0+ + + =
(1)
a/ Giải phơng trình với m = - 2.
b/ Gọi x
1
; x
2

là các nghiệm của phơng trình. Tính
2 2 3 3
1 2 1 2
x x ; x x+ +
theo m.
c/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn :
2 2
1 2
x x 9+ =
.
d/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn : 2x
1
+ 3x
2
= 5.
e/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x
1
= - 3. Tính nghiệm còn lại.
f/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Lập hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phơng trình không phụ thuộc vào giá trị của
m.
Giải

a/ Thay m = - 2 vào phơng trình (1) ta có phơng trình :
2
2
x 2x 1 0
(x 1) 0
x 1 0
x 1
+ =
=
=
=
Vậy với m = - 2 phơng trình có nghiệm duy nhất x = 1.
b/ Phơng trình :
2
x mx m 3 0+ + + =
(1)
2 2
m 4(m 3) m 4m 12 = + =
Phơng trình có nghiệm
1 2
x ; x 0

Khi đó theo định lý Vi-et, ta có :
1 2
1 2
x x m (a)
x x m 3 (b)
+ =

= +

*)
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
x x (x x ) 2x x ( m) 2(m 3) m 2m 6+ = + = + =
*)
3 3 3 3 3 2
1 2 1 2 1 2 1 2
x x (x x ) 3x x (x x ) ( m) 3(m 3)( m) m 3m 9m+ = + + = + = + +
c/ Theo phần b : Phơng trình có nghiệm
1 2
x ; x 0
Khi đó
2 2 2
1 2
x x m 2m 6+ =
Do đó
2 2 2 2
1 2
x x 9 m 2m 6 9 m 2m 15 0+ = = =
2
(m) (m)
' ( 1) 1.( 15) 1 15 16 0; 4 = = + = > =
=> phơng trình có hai nghiệm :
1 2
1 4 1 4
m 5;m 3
1 1
+

= = = =
Thử lại : +) Với
m 5 7 0
= = <
=> loại.
+) Với
m 3 9 0
= = >
=> thỏa mãn.
Vậy với m = - 3 thì phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn :
2 2
1 2
x x 9+ =
.
d/ Theo phần b : Phơng trình có nghiệm
1 2
x ; x 0
Khi đó theo định lý Vi-et, ta có :
1 2
1 2
x x m (a)
x x m 3 (b)
+ =


= +

Hệ thức : 2x
1
+ 3x
2
= 5 (c)
Từ (a) và (c) ta có hệ phơng trình :
1 2 1 2 1 1
1 2 1 2 2 1 2
x x m 3x 3x 3m x 3m 5 x 3m 5
2x 3x 5 2x 3x 5 x m x x 2m 5
+ = + = = =



+ = + = = = +

Thay
1
2
x 3m 5
x 2m 5
=


= +

vào (b) ta có phơng trình :
2
2

2
2
(m)
( 3m 5)(2m 5) m 3
6m 15m 10m 25 m 3
6m 26m 28 0
3m 13m 14 0
13 4.3.14 1 0
+ = +
= +
=
+ + =
= = >
=> phơng trình có hai nghiệm phân biệt :
1
2
13 1
m 2
2.3
13 1 7
m
2.3 3
+
= =

= =
Thử lại : +) Với
m 2 0
= =
=> thỏa mãn.

+) Với
7 25
m 0
3 9

= = >
=> thỏa mãn.

Vậy với
7
m 2;m
3
= =
phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thỏa mãn : 2x
1
+ 3x
2
= 5.
e/ Phơng trình (1) có nghiệm
2
1
x 3 ( 3) m.( 3) m 3 0 2m 12 0 m 6= + + + = + = =
Khi đó :
1 2 2 1 2 2
x x m x m x x 6 ( 3) x 3+ = = = =
Vậy với m = 6 thì phơng trình có nghiệm x

1
= x
2
= - 3.
f/ Phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu
ac 0 1.(m 3) 0 m 3 0 m 3 < + < + < <
Vậy với m < - 3 thì phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
g/ Giả sử phơng trình có hai nghiệm x
1
; x
2
. Khi đó theo định lí Vi-et, ta có :
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
x x m m x x
x x x x 3
x x m 3 m x x 3
+ = =

=

= + =

E. Các bài đã gặp trong các đề thi học kì lớp 9, tuyển sinh vào lớp 10 trong những
năm gần đây
1. Các bài tập trong tài liệu ôn thi vào lớp 10.
Bài 1. Giải các phơng trình :
2
4 2

2
2
2
2
a / x 2 5x 4 0
b / x 29x 100 0
c / x 3x x 1 2 0
d /11x 2 8x 9 18x 6 0
1 4
e / 4x 7 8x
x x
+ =
+ =
+ =
+ + =
+ + = +
Bài 2. Cho phơng trình x
2
+ px - 5 = 0 có nghiệm x
1
; x
2
.
Hãy lập phơng trình có hai nghiệm là hai số đợc cho trong mỗi trờng hợp sau :
1
a / x
và
2
x
2

1
b / x
và
2
2
x
Bài 3. Cho phơng trình :
2 2
x 3y 2xy 2x 10y 4 0 (1) + + =
a/ Tìm nghiệm (x; y) của phơng trình (1) thỏa mãn x
2
+ y
2
= 10.
b/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình (1).
Bài 4. Cho phơng trình :
2
(x k 3) x 2(k 3)x 3k 9 0 (1)

+ + + + =

a/ Giải phơng trình (1) khi k = 3.
b/ Tìm các giá trị của k để phơng trình (1) có hai nghiệm dơng và một nghiệm âm.
Bài 5. Giải phơng trình :
2 2
2 2 2
a / x 2x 1 x 2x 1 2
b / 6x 15x 2x 5x 1 1
c / 8x 8x 3 12x 12x 7 2( 2x 2x 1)
+ + =

+ + + + =
+ + + = + +
Bài 6. Cho phơng trình ẩn x, tham số t :
2 2
x 2(t 1)x t 3 0 (1) + =

a/ Tìm t để phơng trình (1) có nghiệm.
b/ Tìm t để phơng trình (1) có hai nghiệm sao cho tổng hai nghiệm bằng tích hai nghiệm.
Bài 7. Cho phơng trình ẩn x, tham số m :
2
mx 5x (m 5) 0 (1) + =
a/ Giải phơng trình (1) khi m = 5.
b/ Chứng tỏ rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
c/ Trong trờng hợp phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
. Hãy tính theo m giá trị
của biểu thức
2 2
1 2 1 2
A 16x x 3(x x ).= +
Tìm m để A = 0.
Bài 8. Cho phơng trình ẩn x, tham số m :
2 2 3
(m 3)x 2(m 3m)x m 12 0 (1)+ + + + =
a/ Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b/ Gọi x
1
; x

2
là hai nghiệm của phơng trình (1). Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho
2 2
1 2
x x+
là một số nguyên.
2. Các bài tập trong đề thi vào lớp 10 của Bắc Ninh.
Bài 1. (Bắc Ninh 1997 - 1998)
Cho phơng trình bậc hai ẩn x, m là tham số :
2
2( 3) 2 7 0x m x m + =
(1)
a/ Chứng tỏ rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
b/ Gọi hai nghiệm của phơng trình (1) là
1 2
;x x
. Hãy tìm m để
1 2
1 1
1 1
m
x x
+ =
+ +
Bài 2. (Bắc Ninh 1998 - 1999)
1. Cho
1 1
;
2 3 2 3
a b= =

+
a/ Hãy tính :
ab
và
a b+
.
b/ Hãy lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là
1 2
;
1 1
a b
x x
b a
= =
+ +
.
2. Cho phơng trình bậc hai ẩn x, m là tham số :
2
3 3 4 0x mx m + =
(1)
a/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân
biệt ?
b/ Hãy tìm m để phơng trình (1) có một nghiệm
1
4 2 3x = +
. Khi đó hãy tìm
nghiệm
2
x
của phơng trình đó

Bài 3. (Bắc Ninh 1999 - 2000)

1. Cho biểu thức
:
a b a b
P
ab b a ab a b b a


=
ữ
ữ
+

(với
0, 0,a b a b> >
)
a/ Rút gọn biểu thức P.
b/ Tính số trị của biểu thức P khi biết a và b là hai nghiệm của phơng trình
2
8 4 0x x + =
.
2. Cho phơng trình bậc hai ẩn x, m là tham số :
2
2 0 (1)x x m + =
a/ Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm.
b/ Chứng minh rằng với mọi m phơng trình (1) không thể có hai nghiệm cùng là
số âm.
c/ Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm x
1

, x
2
thỏa mãn x
1
- 2x
2
= 5.
Bài 4. (Bắc Ninh 1999 - 2000)
Cho hai phơng trình bậc hai ẩn x (a là tham số) :
2
2
3 2 0 (1)
1 0 (2)
x x a
x ax
=
+ + =
a/ Giải các phơng trình (1) và (2) trong trờng hợp a = -1.
b/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của a trong hai phơng trình trên luôn có ít nhất
một trong hai phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Bài 5. (Bắc Ninh 2000 - 2001)
Cho phơng trình bậc hai ẩn x (m, n là các tham số) :
2 2 2
( ) ( ) 0x m n x m n+ + + =
(1)
a/ Giải phơng trình (1) khi m = n = 1.
b/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, n thì phơng trình (1) luôn có nghiệm.
c/ Tìm m, n để phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình
2
5 0x x =

.
Bài 6. (Bắc Ninh 2001 - 2002)
Cho phơng trình :
2
2( 1) 2 5 0x m x m + + + =

a/ Giải phơng trình khi
5
2
m =
b/ Tìm tất cả các giá trị của m để phơng trình đã cho có nghiệm.
Bài 7. (Bắc Ninh 2001 - 2002)
Cho phơng trình bậc hai :
2 2
2( 1) 3 2 0x m x m m + + + + =
(1)
a/ Tìm các giá trị của m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
b/ Tìm giá trị của m thỏa mãn
2 2
1 2
12x x+ =
(Trong đó
1 2
,x x
là hai nghiệm của phơng
trình) ?
Bài 8. (Bắc Ninh 2002 - 2003)
Cho hai phơng trình :
2
3 2 6 0 (1)x x m + + =

và
2
2 10 0 (2)x x m+ =
a/ Giải hai phơng trình trên với m = - 3.
b/ Tìm các giá trị của m để hai phơng trình trên có nghiệm chung.
c/ Chứng minh rằng với mọi giá trị của m ít nhất một trong hai phơng trình trên có
nghiệm.
Bài 9. (Bắc Ninh 2003 - 2004)
a/ Chứng minh rằng : Nếu phơng trình bậc hai
2
0ax bx c+ + =
có hai nghiệm là
1 2
,x x
thì
1 2
b
x x
a
+ =
và
1 2
.
c
x x
a
=
.
b/ Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 4 và tích của chúng - 5.
c/ Tìm số nguyên a để phơng trình

2 2
7 0x ax a + =
có nghiệm.
Bài 10. (Bắc Ninh 2004 - 2005)
Cho phơng trình: x
2
- ( m + 1)x + m
2
- 2m + 2 = 0
1. Giải phơng trình với m = 2
2. Tìm m để phơng trình có nghiệm kép; vô nghiệm; có hai nghiệm phân biệt.

Bài 11. (Bắc Ninh 2005 - 2006)
Cho phơng trình: x
2
- 2(m + 1)x + m - 4 = 0 (1) (m là tham số)
1) Giải phơng trình (1) với m = 1.
2) Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
3) Với x
1
, x
2
là nghiệm của (1). Tính theo m giá trị của biểu thức:
A = x
1
(1 - x
2
) + x
2
(1 - x

1
).
Bài 12. (Bắc Ninh 2006 - 2007)
Cho phơng trình (ẩn x) : 2x
2
+ mx + m - 3 = 0 (1)
1) Giải phơng trình (1) khi m = -1.
2) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của
m.
3) Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có
giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dơng.
Bài 13. (Bắc Ninh 2007 - 2008)
Cho phơng trình bậc hai
2 2
2(2 1) 3 4 0x m x m + =
(x là ẩn) (1)
a/ Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b/ Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm phân biệt của phơng trình (1). Hãy tìm m để
1 2
2 2x x+ =
Bài 14. (Bắc Ninh 2008 - 2009)
Cho phơng trình x
2
- 2x - 1 = 0 có hai nghiệm là x
1
, x

2
.
Tính giá trị của biểu thức :
2 1
1 2
x x
S
x x
= +
Bài 15. (Bắc Ninh 2009 - 2010)
Cho phơng trình :
2
( 1) 2( 1) 2 0m x m x m+ + =
(1) (m là tham số).
a/ Giải phơng trình (1) với m = 3.
b/ Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
thỏa mãn :
1 2
1 1 3
2x x
+ =
.
F. Tài liệu ôn thi đã đáp ứng đợc những dạng bài nào, ở mức độ khó dễ nh thế nào ?
- Tài liệu ôn thi đã cung cấp đợc một số đơn vị kiến thức cần nhớ, một số bài tập.
- Tuy nhiên có nhiều bài tập ở mức độ khó, dạng bài tập cơ bản cha phong phú để học
sinh luyện tập.

G. Đề xuất
Năm tới, Sở soạn thảo một bộ tài liệu ôn tập riêng của Tỉnh, phù hợp với học sinh hơn.