SKKN Khai thác tư duy học sinh thông qua chứng minh bất đẳng thức

Phát triển t duy học sinh thông qua khai thác báitoán bất đẳng thức
Chuyên đề: Phát triển t duy học sinh thông qua khai
thác bài toán bất đẳng thức
Phần I . Đặt vấn đề.
1. Lí do chọn đề tài:
T duy là một hình thức nhận thức lý tính của con ngời. Về mặt tâm lí thì t duy
là quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ
bên trong có tính quy luật của sự vật hiện tợng trong hiện thực khách quan mà trớc đó
con ngời cha biết.
T duy thể hiện sự phát triển của con ngời trong xã hội. T duy không tự nhiên mà
có mà nó do quá trình rèn luyện lâu dài, muốn t duy phát triển cần đợc rèn luyện th-
ờng xuyên, học các môn khoa học tự nhiên đặc biệt là môn toán phát triển t duy rất tốt.
Lứa tuổi THCS đang phát triển mạnh về mặt t duy nên giáo viên cần quam tâm không
đợc xem nhẹ vấn đề này.
Mỗi dạng bài toán bất đẳng thức có những phơng pháp giải bài tập khác nhau,
tuy nhiên khi làm bài tập về bất đẳng thức, nếu học sinh đợc nhìn ở các góc cạnh khác
nhau thì sẽ hiểu sâu hơn về bài tập bất đẳng thức và hơn nữa tìm đợc cái đẹp của môn
toán. Cái nhìn ở các phơng diện khác nhau chính là cách thay đổi bài toán có thể
thành các bài toán dễ hơn nhng có thể thành các bài toán khó hơn ( đây gọi là phát
triển bài toán ban đầu hay còn gọi khai thác bai toán ban đầu). Khi làm nh vậy thì ý
thức tự học của học sinh sẽ cao hơn, những bài tập khó sẽ trở lên dễ hơn, và quan trọng
nhát là học sinh có đợc tự tin khi giải bài tập và rèn cho mình một phơng pháp tự học
đúng đắn, khoa học.
Trong định hớng đổi mới phơng pháp bậc THCS thì tự học là một yêu cầu quan
trọng đối với học sinh. Tự học giúp học sinh say mê học tập, hiểu sâu kiến thức và
quan trọng hơn là phát triển óc sáng tạo. Vấn đề dặt ra là làm thế nào có thể giúp học
sinh tạo hứng thú trong việc tự học, tìm thấy niềm vui khi học toán. Để làm đợc nh vậy
thì giáo viên phải cung cấp cho học sinh hệ thống bài tập từ dễ đến khó, cho học sinh
nhìn hấy bài toán khó đều bắt đầu từ những bài toán cơ bản. HS cảm thấy bản thân
cũng có thể tạo ra các bài toán tơng tự nh vậy.
Trong thực tế giảng dạy ở trờng THCS , học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải

các bài toán liên quan về bất đẳng thức , vì các bài toán chứng minh bất đẳng thức th -
Lê Quốc Huy GV Trờng THCS Giang Biên Năm học 2008 - 2009
1
Phát triển t duy học sinh thông qua khai thác báitoán bất đẳng thức
ờng không có cách giải mẫu , không theo một phơng pháp nhất định nên học sinh
không xác định đợc hớng giải bài toán . Mặt khác vì nhận thức của học sinh THCS còn
có nhiều hạn chế và khả năng t duy cha tốt do đó học sinh còn lúng túng nhiều và
không biết vận dụng kiến thức vào giải các dạng bài tập khác .
Trong nội dung của đề tài xin đợc tập trung giới thiệu khai thác những bài bất
đẳng thức cơ bản mà các em đã biết để mở rộng và giải những bài bất đẳng thức khó
hơn, nhằm giúp học sinh bớt lúng túng khi gặp các bài toán về chứng minh hay vận
dụng bất đẳng thức , giúp học sinh có thể tự định hớng đợc phơng pháp chứng minh và
hứng thú hơn khi học về bất đẳng thức nói riêng và bộ môn Toán nói chung .
Chính vì vậy tôi chọn đề tài này, giúp học sinh thay đổi về cách nhìn bài toán
bất đẳng thức, thay đổi phong cách học tập và t duy cho phù hợp với lứa tuổi bằng
cách khai thác bài toán bất đẳng thức cơ bản thành những bài toán khác nhau. Làm đ-
ợc nh vậy HS sẽ thấy tự tin hơn khi gặp bài toán lạ và có khả năng tự tìm lời giải cho
bài toán, phát huy tính sáng tạo để đáp ứng nhu cầu của cuộc sống hiện đại.
2. Mục đích nghiên cứu.
Đây là đề tài rộng và ẩn chứa nhiều thú vị bất ngờ thể hiện rõ vẻ đẹp của môn
toán và đặc biệt nó giúp phát triển t duy của học sinh, nếu vấn đề này đợc khai thác
hàng hàng năm và đợc sự quan tâm góm ý của các quý thầy cô thì chắc chắn nó sẽ là
kinh nghiệm quý dành cho việc dạy học sinh khá giỏi.
Chỉ có thể thấy đợc sự thú vị của những bài toán này trong thực tế giảng dạy,
những bài toán cơ bản nhng cũng có thể làm cho một số học sinh khá lúng túng do cha
nắm đợc những bài toán cơ bản . Khi đi sâu tìm tòi những bài toán cơ bản ấy không
những học sinh nắm sâu kiến thức mà còn tìm đợc phơng pháp tự học và tìm cho mình
phơng pháp chứng minh bất đẳng thức. Đó là mục đích của bất kì giáo viên dạy ở bộ
môn nào cần khêu gợi niềm vui, sự yêu thích của học sinh đối với môn học đó. Nhng
mục đích lớn nhất trong việc dạy học là phát triển t duy của học sinh. Qua mỗi bài

toán học sinh có sự nhìn nhận đánh giá chính xác, sáng tạo khi và tự tin qua gải bài tập
bất đẳng thức đó là phẩm chất của con ngời mới.
3. Kết quả cần đạt.
Các bài tập bất đẳng thức đều dựa trên bài toán cơ bản trong chơng trình nên
mục đích cần hớng đến học sinh trung bình cần làm tốt bài tập cơ bản này.
Sau đó GV phải giúp cho số học sinh đó hiểu đợc một số bài toán phát triển từ
những bài toán cơ bản đó nhng quan trọng hơn giáo viên cần giúp học sinh hớng phát
triển bài toán. Tại sao phải làm nh vậy? Làm nh vậy với mục đích gì? Qua đó giúp các
Lê Quốc Huy GV Trờng THCS Giang Biên Năm học 2008 - 2009
2
Phát triển t duy học sinh thông qua khai thác báitoán bất đẳng thức
em say mê môn toán số học sinh làm đợc điều này không nhiều vì đây là vấn đề khó
cần sự kiên trì và cố gắng của học sinh và GV mặc dù tôi hớng đến 1/4 số học sinh
đạt đợc điều này, có thể học sinh sẽ không tạo ra những dạng thầy đã làm vì vốn kinh
nghiệm của học sinh còn hạn chế GV cần động viên các em tự tin hơn. Việc sáng tạo
đó không những cần có kiến thức vô cùng chắc chắn học sinh cần có sự nhạy cảm của
toán học. Điều này phù hợp với học sinh giỏi nên tôi chỉ áp dụng yêu cầu này trong
quá trình dạy học sinh giỏi. Cho dù học sinh giỏi hay học sinh trung bình khi nhìn bài
bài toán dới góc độ khác nhau thì học sinh sẽ tự tin hơn, thích thú hơn với môn học,
yếu tố quan trọng của quá trình tự học, nó giúp quá trình rèn luyện hình thành t duy
của hoc sinh tốt hơn.
4. Phạm vi nghiên cứu.
Đề tài này đợc viết trong quá trình dạy và học, đợc rút ra từ một số kinh trong
quá trình dạy học ở trờng THCS Tiền Phong và trờng THCS Giang Biên nên đơng
nhiên đối tợng là học sinh đại trà không có nhiều học sinh khá giỏi. Đối tợng chính là
học sinh lớp 9 trờng THCS Giang Biên. Trờng THCS Giang Biên có 3 lớp 9 với 138 HS
nhng chủ yếu là học sinh trung bình và khá, số lợng học sinh giỏi rất ít nên việc đào
tạo bồi dỡng học sinh giỏi gặp rất nhiều khó khăn của trờng. Chính đối tợng học sinh
chiếm chủ yếu là trung bình và khá cộng thêm phạm vi nghiên cứu nhỏ hẹp nên vấn
đề đợc nghiên cứu rất đơn giản, nâng cao từng cấp độ để cho phù hợp với đối tợng học

sinh.
Phần II.
1/ Cơ sở lí luận.
Do t duy là thuộc tính của tâm lí, t duy hình thành và phát triển theo từng giai
đoạn trong quá trình trởng thành của con ngời. T duy đặc biệt phát triển mạnh ở giai
đoạn thanh, thiếu niên. Vì vậy GV cần phải quan tâm đến phơng pháp giảng dạy nhằm
phát triển t duy cho học sinh một cách tốt nhất. Tất cả các môn học đều phát triển t
duy cho học sinh nhng môn toán có vai trò quan trọng hơn cả. Giải bài toán là lúc học
sinh đợc thể hiện kĩ năng, tính sáng tạo phát triển óc t duy.
Các bài tập bất đẳng thức rất đa dạng và phong phú nhng làm sao cho phần lớn
số học nhớ lâu, hiểu vấn đề đó mới là quan trọng. Đặc điểm của bất đẳng thức khó
kèm theo trừu tợng khó xác định nên GV phải tạo cho học sinh kĩ năng dần dần và h-
ớng dẫn t duy dựa trên bài toán cơ bản.
Lê Quốc Huy GV Trờng THCS Giang Biên Năm học 2008 - 2009
3
Phát triển t duy học sinh thông qua khai thác báitoán bất đẳng thức
2. Thực trạng vấn đề.
Trờng THCS Giang Biên là một trờng nhỏ , không có lớp chọn, trờng đợc chia
làm 12 lớp chia đều cho các khối. Phần lớn là học sinh khá và trung bình, kĩ năng cơ
bản còn hạn chế.
Khigiảng dạy trên lớp gặp một số bài tập về bất đẳng thức tôi thấy học sinh
còn rất nhiều lúng túng trong việc làm bài tập ,hay định hớng cách làm ,đặc biệt là học
sinh học ở mức độ trung bình .
Thực hiện việc kiểm tra một vài bài tập về nội dung đề tài thấy
Số lợng học
sinh
Điểm giỏi Điểm khá Điểm trung
bình
Điểm yếu Điểm kém
30 0 2 5 13 10

Trớc vấn đề trên tôi thấy việc cần thiết phải hớng dẫn học sinh một số phơng
pháp chứng minh bất đẳng thức và các ứng dụng của bất đẳng thức là một việc cần
thiết cho học sinh , để giúp học sinh có thêm kiến thức về bất đẳng thức , taođiều kiện
cho học sinh khi làm bài tập về bất đẳng thức ,
3. Các phơng pháp nghiên cứu.
Phơng pháp điều tra
Phơng pháp đối chứng
Phơng pháp nghiên cứu tài liệu.
4. Giải pháp thực hiện
A. Kiến thức cơ bản
Ngay từ lớp 7 học sinh đã biết nhận xét về dấu của một số có luỹ thừa chẵn nắm
đợc tính chất của luỹ thừa bậc hai
Bình phơng hay luỹ thừa bậc hai của mọi số đều không âm
(*)
Dấu = xảy ra khi a = 0.
Lớp 8 học sinh đã đợc làm quen với hằng đẳng thức:
(a - b)
2
=a
2
2ab + b
2

Nếu sử dụng tính chất (*) thì
Lê Quốc Huy GV Trờng THCS Giang Biên Năm học 2008 - 2009
4
a
2
0

a
(a - b)
2
0 a,b (I)
Phát triển t duy học sinh thông qua khai thác báitoán bất đẳng thức
Việc khai thác và sử dụng sáng tạo bất đẳng thức (I) giúp học sinh rèn luyện t
duy và hình thành phơng pháp chứng minh cũng nh cách thức để hình thành bất đẳng
thức mới từ bất đẳng thức đã biết.
Từ bất đẳng thức (I):
(a b)
2
0 a
2
+ b
2
2ab
ở cả 3 BĐT (I), (II), (III) dấu = xảy ra khi a = b.
B. Khai thác bất đẳng thức để phát triển t duy học sinh
I/.Khai thác bất đẳng thức (I): (a b)
2
0
Từ bất đẳng thức (I) ta có thể đổi biến đặt a=x; b=
2
y
khi đó I trở thành
0
2
2

y
x
Khai triển và biến đổi chúng ta đớc bài toán sau
Bài toán 1 Chứng minh rằng với mọi x, y ta luôn có:
xy
y
x +
4
2
2
Giải:
0
2
0
44
2
2
2
2
2

++
y
xxy
y
xxy
y
x
luôn đúng với mọi x, y.
Vậy
xy
y
x +
4
2
2
Tơng tự nếu thay A=x+y, B=z thì chúng ta lại có bài toán nh thế nào ? Ta lại có bài
toán sau:
Bài toán 2. Chứng minh rằng với mọi x, y z ta luôn có:
xzyzxyzyx 222
222
+++
Giải:
Luôn đúng với mọi x, y,
z. Vậy
xzyzxyzyx 222
222
+++

Ta nhận thấy (x-y)
2

0, (y-z)
2

0 và ( z-x)
2

0. Nên ta có (x-y)
2
+(y-z)
2
+(z-x)
2

0. Khai
triển bài toán này ta đợc bài toán sau.
Bài toán 3. Chứng minh rằng với mọi x, y z ta luôn có:
xzyzxyzyx ++++
222
Lê Quốc Huy GV Trờng THCS Giang Biên Năm học 2008 - 2009
5
a
b
b
a
+
2 (II)
(a + b)

2
4ab
(III)
( )
( ) ( ) ( )
002
022222
2
2
2
222222
+++
++++++
zyxzzyxyx
zyxzyxyxxzyzxyzyx
Phát triển t duy học sinh thông qua khai thác báitoán bất đẳng thức
Giải:
Nhân 2 vào hai vế của bất đẳng thức ta đợc:
2x
2
+2y
2
+2z
2

2xy+2yz+2xz

x
2
-2xy+y

2
+y
2
-2yz+z
2
+x
2
-2xz+z
2

0

(x-y)
2
+(y-z)
2
+(z-x)
2

0 luôn đúng với mọi x, y, z.
Vậy
xzyzxyzyx ++++
222
Với bài toán này nếu tat hay z=1 thì ta lại có bài toán CMR: x
2
+y
2
+1

xy+x+y

Với cách làm nh vậy chúng ta đợc rất nhiều bài toán bất đẳng thức hay ví dụ bài sau:
Từ bất đẳng thức (I) ta có thể đổi biến đặt A = ay; B = bx khi đó (I) trở thành:
(ay bx )
2
0

a, b, x, y
Dấu = xảy ra khi ay = bx


y
x
b
a
=
Khai triển và biến đổi: a
2
y
2
2axby + b
2
x
2
0


a
2
y
2

+ b
2
x
2


2axby


a
2
y
2
+ b
2
x
2
+a
2
x
2
+ b
2
y
2
a
2
x
2
+ 2axby + b

2
y
2


(a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) (ax + by)
2
Nh vậy ta có bài toán:
Bài toán 4
Chứng minh rằng : (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) (ax + by)
2
(Bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 2 bộ số a, b, và x, y)
Để khắc sâu các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức ta sẽ chứng minh bài
toán bằng nhiều cách

- Phơng pháp 1: Dùng định nghĩa : A > B A B > 0.
+ Lập hiệu A B.
+ Chứng tỏ A B > 0.
+ Kết luận A > B.
+ Cách 1 : Xét hiệu : (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) (ax + by)
2
= a
2
x
2
+ a
2
y
2
+ b
2
x
2
+ b
2
y
2

- a
2
x
2
- b
2
y
2
2axby
= a
2
y
2
- 2axby + b
2
x
2
= (ay - bx)
2
0 luôn đúng a, b, x, y.
Vậy (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) (ax + by)
2

Lê Quốc Huy GV Trờng THCS Giang Biên Năm học 2008 - 2009
6
Phát triển t duy học sinh thông qua khai thác báitoán bất đẳng thức
Dấu = xảy ra khi
y
x
b
a
=
- Phơng pháp 2 : Phép biến đổi tơng đơng.
+ Biến đổi A > B A
1
> B
1
A
2
> B
2
(*)
+ Vậy A > B.
+ Cách 2 : Ta có (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) (ax + by)
2

a
2
x
2
+ a
2
y
2
+ b
2
x
2
+ b
2
y
2
a
2
x
2
+ 2ãby + b
2
y
2
a
2
y
2
- 2axby + b

2
x
2
0
(ay bx)
2
0 luôn đúng a, b, x, y.
Dấu = xảy ra khi
y
x
b
a
=
Bất đẳng thức cuối cùng là đúng.
Vậy (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) (ax + by)
2
- Phơng pháp 3 : Sử dụng bất đẳng thức đã biết
+ Cách 3 : Ta có (ay - bx)
2
0
a
2

y
2
2aybx + b
2
x
2
0
a
2
x
2
+ a
2
y
2
+ b
2
x
2
+ b
2
y
2
a
2
x
2
+ 2ãby + b
2
y

2
(cộng 2 vế a
2
x
2
, b
2
y
2
).
(a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) (ax + by)
2
- Phơng pháp 4 : Phơng pháp phản chứng.
+ Giả sử có điều trái với kết luận.
+ Suy ra điều mâu thuẫn với giả thiết hoặc điều đã biết.
+ Giả sử sai kết luận đúng.
+ Cách 4: Giả sử (a
2
+ b
2
)(x
2

+ y
2
) < (ax + by)
2
a
2
x
2
+ a
2
y
2
+ b
2
x
2
+ b
2
y
2
< a
2
x
2
+ 2ãby + b
2
y
2

a

2
y
2
2aybx + b
2
x
2
< 0
(ay - bx)
2
< 0. Vô lý
Vậy (a
2
+ b
2
)(x
2
+ y
2
) (ax + by)
2
Bốn phơng pháp trên thể hiện trong 4 cách giải bài toán 1 là 4 phơng pháp thông
thờng để chứng minh bất đẳng thức.
Lê Quốc Huy GV Trờng THCS Giang Biên Năm học 2008 - 2009
7
Phát triển t duy học sinh thông qua khai thác báitoán bất đẳng thức
ở bài toán 4 này ta cho x=1, y=1 và a=
x21
, b=
x23 +

thì
( )
( )( )
82321112321
2
=+++++ xxxx
.
Thì chúng ta lại có bài toán: Tìm giá trị lớn nhất của A=
x21
+
x23 +
Khai thác tiếp tục bất đẳng thức (I) ta có:
(ay - bx)
2

0
(az - cx)
2
0 (ay - bx)
2
+ (az - cx)
2
+ (cy - bz)
2
0
(cy - bz)
2
0
Khai triển, chuyển vế cộng vào 2 vế BĐT : a
2

x
2
+ b
2
y
2
+ c
2
z
2
ta đợc:
a
2
x
2
+a
2
y
2
+a
2
z
2
+b
2
x
2
+b
2
y

2
+b
2
z
2
+c
2
x
2
+c
2
y
2
+c
2
z
2
a
2
x
2
+b
2
y
2
+c
2
z
2
+2axby+2axcz+2bycz

(a
2
+ b
2
+ c
2
)(x
2
+ y
2
+ z
2
) (ax + by +cz)
2
Bài toán 5 :
CMR : (a
2
+ b
2
+ c
2
)(x
2
+ y
2
+ z
2
) (ax + by +cz)
2
( BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ 3 số a, b, c và x, y, z).

Giải
Xét hiệu : (a
2
+ b
2
+ c
2
)(x
2
+ y
2
+ z
2
) - (ax + by +cz)
2
=a
2
x
2
+a
2
y
2
+a
2
z
2
+b
2
x

2
+b
2
y
2
+b
2
z
2
+c
2
x
2
+c
2
y
2
+c
2
z
2
- a
2
x
2
- b
2
y
2
- c

2
z
2
-2abxy-2acxz-2bcyz
=(a
2
y
2
-2abxy+b
2
x
2
)+(a
2
z
2
2acxz+c
2
x
2
)+(b
2
z
2
-2bcyz+ c
2
y
2
)
=(ay - bx)

2
+ (az - cx)
2
+ (cy - bz)
2
0
Dấu = xảy ra khi
z
c
y
b
x
a
==
Bằng cách làm tơng tự ta có thể phát triển bài toán BĐT Bunhiacôpxki tổng quát:
(a
2
1
+ a
2
2
+ + a
2
n
)(x
2
1
+ x
2
2

+ + x
2
n
) (a
1
x
1
+ a
2
x
2
+ + a
n
x
n
)
2
Dấu = xảy ra khi
n
n
x
a
x
a
x
a
===
2
2
1

1
Để ý rằng nếu a và x là 2 số nghịch đảo của nhau thì ax = 1 (x =
a
1
)
Từ bài toán 2 ta có thể đặt ra bài toán:
Bài toán 6:
Cho ba số x, y, z là 3 số dơng
Chứng minh rằng: (x + y + z)(
x
1
+
y
1
+
z
1
) 9
Lê Quốc Huy GV Trờng THCS Giang Biên Năm học 2008 - 2009
8
Phát triển t duy học sinh thông qua khai thác báitoán bất đẳng thức
Giải
Theo bài toán 2 (BĐT Bunhiacôpxki):
(x + y + z) (
x
1
+
y
1
+

z
1
)
)
111
(
z
z
y
y
x
x ++
2
(x + y + z) (
x
1
+
y
1
+
z
1
) 3
2
= 9
Dấu = xảy ra khi x = y = z.
Từ bất đẳng thức (x+ y+ z)(
x
1
+

y
1
+
z
1
) 9.
Nếu cho x+y+z=1 thì chúng ta lại có bài toán sau: Cho ba số x, y, z là 3 số d-
ơng Chứng minh rằng: (
x
1
+
y
1
+
z
1
) 9
Đặt a + b = x; b + c = y; c + a = z ta đợc BĐT:
2(a + b + c)(
ba +
1
+
cb +
1
+
ac +
1
) 9
(
cb

a
+
+
ca
b
+
+
ab
c
+
+3) 9

cb
a
+
+
ca
b
+
+
ab
c
+

2
3
Bài toán tìm đợc:
Bài toán 7:
Cho a, b, c là 3 số dơng CMR:
cb

a
+
+
ca
b
+
+
ab
c
+

2
3
Giải
áp dụng bài toán 6 tacó:
(a+b+c+b+c+a)(
ba +
1
+
cb +
1
+
ac +
1
)
)
111
(
ac
ac

cb
cb
ba
ba
+
++
+
++
+
+
2
2(a + b + c)(
ba +
1
+
cb +
1
+
ac +
1
) 9
(
cb
a
+
+
ca
b
+
+

ab
c
+
+3) 9

cb
a
+
+
ca
b
+
+
ab
c
+

2
3
(1)
Ta tiếp tục khai thác bài toán 4.3 theo 2 bớc sau:
- Bớc 1 : Nhân 2 vế của (1) với a+b+c > 0.
Lê Quốc Huy GV Trờng THCS Giang Biên Năm học 2008 - 2009
9
Phát triển t duy học sinh thông qua khai thác báitoán bất đẳng thức
(a + b + c)(
ba
a
+
+

cb
b
+
+
ac
c
+
)
2
3
(a + b + c)
- Bớc 2 : Khai triển rút gọn vế trái sau đó chuyển vế ta đợc:
cb
a
+
2
+
ca
b
+
2
+
ab
c
+
2

2
cba ++
Đây là nội dung của bài toán 8

Bài toán 8 :
Cho a, b, c là 3 số dơng
CMR:
cb
a
+
2
+
ca
b
+
2
+
ab
c
+
2

2
cba ++
Chứng minh bài toán 8 ta có thể dẫn từ bài toán 5 theo hớng khai thác để đi đến
kết quả.
áp dụng bất đẳng thức bài toán 4.2
[(
2
)
cb
a
+
+ (

2
)
ab
b
+
+(
2
)
ab
c
+
][(
cb +
)
2
+ (
ca +
)
2
+ (
ba +
)
2
]
2
)( ba
ba
c
ca
ca

b
cb
cb
a
+
+
++
+
++
+
2(a + b + c)(
cb
a
+
2
+
ca
b
+
2
+
ab
c
+
2
) (a + b + c)
2

cb
a

+
2
+
ac
b
+
2
+
ab
c
+
2

2
cba ++
(đpcm)
Ta tiến hành khai thác bài toán 4.4 bằng cách:
+Trang bị thêm cho bài toán 5 điều kiện : abc = 1.
+ áp dụng BĐT Cô si cho 3 số dơng :
a + b + c 3
3
abc
= 3x1 = 3
Bài toán 9
Cho a, b, c là 3 số dơng thoả mãn : abc = 1.
CMR
cb
a
+
2

+
ac
b
+
2
+
ab
c
+
2

2
3
(2)
Giải
Theo bài toán 8
cb
a
+
2
+
ac
b
+
2
+
ab
c
+
2

2
cba ++

2
3
2
13
2
3
3
==
xabc
Lê Quốc Huy GV Trờng THCS Giang Biên Năm học 2008 - 2009
10
Phát triển t duy học sinh thông qua khai thác báitoán bất đẳng thức
cb
a
+
2
+
ac
b
+
2
+
ab
c
+
2

2
3
Nh vậy từ tính chất về luỹ thừa bậc hai ta đã khai thác đợc chùm bài toán từ dễ
đến khó hoặc rất khó mặt khác cũng rèn luyện t duy sáng tạo của học sinh.
II/.Khai thác bất đẳng thức II.
a
b
b
a
+
2
Đặt
0>= x
b
a
thì
.
1
xa
b
=
Ta có ngay bài toán:
Bài toán 1:
Cho số dơng x.
Chứng minh rằng: x +
x
1
2.
Khai thác bài toán 1 ta thấy: x.

1
1
=
x
.
Do đó nếu ta dùng 4 số dơng a, b, c, d thoả mãn : abcd=1.
Khi đó: ab=
cd
1
(cd=
)
1
ab
Ta khám phá đợc bài toán mới:
Bài toán 2:
Cho a, b, c, d là 4 số dơng thoả mãn abcd=1
CMR: ab + cd 2 (hoặc ac + bd 2; ad + bc 2)
(Chứng minh bất đẳng thức này chỉ cần đa về bài toán 1 bằng cách dùng điều
kiện abcd=1)
Lại có: a
2
+ b
2
2ab ; c
2
+ d
2
2cd.
Do đó : a
2

+ b
2
+ c
2
+ d
2
2ab + 2cd
Liên kết với bài toán 9 ta có: a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
2(ab + cd) 4
Bài toán 3:
Cho a, b, c, d là 4 số dơng thoả mãn abcd=1
CMR: : a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
4
Tiếp tục liên kết bài toán 2 và 3 ta có:
Bài toán 4:
Cho a, b, c, d là 4 số dơng thoả mãn abcd=1

Lê Quốc Huy GV Trờng THCS Giang Biên Năm học 2008 - 2009
11
Phát triển t duy học sinh thông qua khai thác báitoán bất đẳng thức
CMR: : a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ ab + cd + ac + bd 10
Giải
Từ điều kiện a. b, c, d > 0 và abcd=1
Ta có: : ab =
cd
1
; ad =
bc
1
; ca =
bd
1
Do đó: (ab + cd) + (da + bc) + (ac + bd)
= (cd +
)
1
cd
+ (bc +
)

1
bc
+ (bd +
)
1
bd
2 + 2 + 2 = 6 (Bài toán 9)
Mà a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
4 (bài toán 10)

a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
+ ab + cd + ac + bd 10
Dấu = xảy ra khi a = b = c = d
ở bài toán 1 nếu ta thay x= a
2
-a+1 thì chúng ta có bài toán sau.

Bài toán 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
B=
1
1
1
2
2
+
++
aa
aa
Giải:
Theo bài toán 1 ta có : B=
1
1
1
2
2
+
++
aa
aa
2
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là: 2 khi đó a= 0 và a=1
Nếu ta thêm B với -5 thì ta đợc bài toán khó hơn
Bài toán 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
B=
1
1

4
2
2
+
+
aa
aa
Theo bài toán 5 ta có: B=
1
1
4
2
2
+
+
aa
aa
=
3525)
1
1
1(
2
2
=
+
++
aa
aa
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là -3 khi đó a= 0 và a=1

Vậy từ bất đẳng thức (II) ta khai thác thành 1 chùm bài toán
III. Khai thác bất đẳng thức III: (a + b)
2
4ab a, b
Là bất đẳng thức đa ra mối quan hệ của bình phơng1tổng với tích cuả chúng.
Để khai thác BĐT (III) ta thêm điều kiện a,b là 2 số dơng.
Chia 2 vế của (III) cho ab(a + b) ta đợc:
ab
ba +

ba +
4



a
1
+
b
1

ba +
4
Bài toán 1:
Lê Quốc Huy GV Trờng THCS Giang Biên Năm học 2008 - 2009
12
Phát triển t duy học sinh thông qua khai thác báitoán bất đẳng thức
Cho a,b là 2 số dơng
Chứng minh rằng:
a

1
+
b
1

ba +
4
Giải
Xét hiệu
a
1
+
b
1
-
ba +
4
=
)(
4)()(
baab
abbabbaa
+
+++
=
( )
)
2)(
baab
ba

+

0
Vậy
a
1
+
b
1

ba +
4
Dấu = xảy ra khi a=b
Khai thác bài toán 1 tơng tự nh cách khai thác bài toán 1.
Ta có:
a
1
+
b
1

ba +
4

b
1
+
c
1

cb +
4


c
1
+
a
1

ac +
4
Do đó nếu cộng theo vế của 3 BĐT trên ta đợc:
ba +
1
+
cb +
1
+
ac +
1

(
2
1
+
a
1

+

b
1

)
1
c
Bài toán 2:
Cho a, b, c là 3 số dơng.
CMR:
ba +
1
+
cb +
1
+
ac +
1

(
2
1
+
a
1

+
b
1

)

1
c
Giải
Theo bài toán 2:
ba +
1

(
4
1
+
a
1

b
1
)
cb +
1

(
4
1
+
b
1

c
1
)

ac +
1

(
4
1
+
c
1

a
1
)
Cộng theo vế của 3 BĐT trên:
ba +
1
+
cb +
1
+
ac +
1

(
2
1
+
a
1

+
b
1

)
1
c
Dấu = xảy ra khi a=b=c
Khai thác bài toán 3 bằng cách :
+ Đặt a= x + y; b= y + z; c= z + x
Lê Quốc Huy GV Trờng THCS Giang Biên Năm học 2008 - 2009
13
Phát triển t duy học sinh thông qua khai thác báitoán bất đẳng thức
=
a
1

yx +
1

(
4
1
x
1
+
y
1
)
=

b
1
zy +
1

(
4
1
y
1
+
z
1
)
=
c
1

xz +
1

(
4
1
z
1
+
x
1
)

+ Thêm điều kiện :
+
x
1

y
1
+
z
1
= 4
Ta hình thành bài toán 4 là một BĐT đã là một bài thi đại học khối. Điều này càng
chứng tỏ việc học sinh nắm chắc kiến thức ngay từ lớp dới là vô cùng quan trọng.
Bài toán 4:
Cho x, y, z là các số dơng thoả mãn:
+
x
1

y
1
+
z
1
= 4
CMR:
zyx ++2
1
+
zyx ++ 2

1
+
zyx 2
1
++
1
Giải
- Cách 1
Ta có :
zyx ++2
1
=
)()(
1
zxyx +++

4
1
(
yx +
1
+
zy +
1
)
16
1
(
x
1

+
y
1
+
z
1
+
z
1
)
Tơng tự:
zyx ++ 2
1

16
1
(
x
1
+
y
1
+
z
1
+
z
1
)
zyx 2

1
++

16
1
(
x
1
+
y
1
+
z
1
+
z
1
)
Cộng theo vế 3 BĐT trên:
zyx ++2
1
+
zyx ++ 2
1
+
zyx 2
1
++

16

1
. 4 (
+
x
1

y
1
+
z
1
)
Mà
+
x
1

y
1
+
z
1
= 4
Vậy
zyx ++2
1
+
zyx ++ 2
1
+

zyx 2
1
++
1
Dấu = xảy ra khi x = y = z =
3
4
- Cách 2:
Ta có
zyx ++2
1
=
)(2
1
zyx ++

4
1
(
x2
1
+
zy +
1
)
x8
1
+
16
1

(
y
1
+
z
1
) =
x8
1
+
y16
1
+
z16
1
Tơng tự:
Lê Quốc Huy GV Trờng THCS Giang Biên Năm học 2008 - 2009
14
Phát triển t duy học sinh thông qua khai thác báitoán bất đẳng thức
zyx ++ 2
1

x16
1
+
y8
1
+
z16
1

zyx 2
1
++

x16
1
+
y16
1
+
z8
1
Cộng theo vế các BĐT:
zyx ++2
1
+
zyx ++ 2
1
+
zyx 2
1
++

4
1
(
x
1
+
y

1
+
z
1
)=1
Vậy
zyx ++2
1
+
zyx ++ 2
1
+
zyx 2
1
++
1
Khai thác bài toán 4 bằng cách đặt vào tam giác ta có:
Bài toán 5:
Xét tam giác ABC có: BC = a, CA = b, AB = c, chu vi a+b+c = 2p không đổi.
CMR:
cba
ab
2++
+
cba
bc
++2
+
cbc
ac

++ 2

2
p
Giải
áp dụng bài toán 4
Ta có:
cba
ab
2++
=
)()( cbca
ab
+++

4
1
(
ca
ab
+
+
cb
ab
+
)
cba
bc
++2

4
1
(
ba
bc
+
+
ca
bc
+
)
cba
ac
++ 2

4
1
(
ab
ca
+
+
ba
ca
+
)
Cộng theo vế của 3 BĐT ta đợc:
cba
ab
2++

+
cba
bc
++2
+
cba
ac
++ 2

4
1
(
ca
ab
+
+
cb
ab
+
+
ba
bc
+
+
ca
bc
+
+
ab
ca

+
+
ba
ca
+
) =
4
1
(a + b + c) =
4
1
.2p =
2
p
Dấu = xảy ra khi ABC đều có a = b =c =
3
2 p
Tiép tục khai thác bải toán trong tam giác về mối quan hệ giữa cạnh của tam giác và
chu vi của nó ta có:
Bài toán 6
Trong ABC có chu vi a + b +c = 2p ( a, b, c là độ dài 3 cạnh ).
CMR :
ap
1
+
bp
1
+
cp
1

2 (
a
1
+
b
1
+
c
1
)
Giải
Nhận xét : p - a =
2
cba ++
- a =
2
acb +
> 0 ( vì b + c > a bất đẳng thức tam giác )
Lê Quốc Huy GV Trờng THCS Giang Biên Năm học 2008 - 2009
15
Phát triển t duy học sinh thông qua khai thác báitoán bất đẳng thức
Tơng tự : p - b > 0 ; p- c > 0.
Mặt khác : p - a + p - b = 2p - a - b = c
p - b + p - c = a
p - c + p - a = b
Do đó ta nghĩ đến việc dùng bất đẳng thức bài toán 1 nh sau:
ap
1
+
bp

1

)()(
4
bpap +
=
c
4
bp
1
+
cp
1

a
4
cp
1
+
ap
1

b
4
Cộng theo vế của bất đẳng thức ta có :
ap
1
+
bp
1

+
cp
1
2 (
a
1
+
b
1
+
c
1
)
Dấu = xảy ra khi ABC đều
5. Kết quả đạt đợc
Qua việc áp dụng kinh nghiệm trên vào giảng dạy cho học sinh tôi thấy học sinh
đã xác định đợc loại toán và cách làm ,nhiều em học sinh đã làm đợc các bài tập về bất
đẳng thức và đã có hớng thú hơn khi học toán
Kết quả kiểm tra sau khi áp dụng đề tài
Số lợng học
sinh
Điểm Giỏi Điểm khá Điểm trung
bình
Điểm yếu Điểm kém
30 5 8 12 5 0
Phần III. Kết luận và khuyến nghị
1. Đánh giá cơ bản về sáng kiến kinh nghiệm
Qua việc hớng dẫn học sinh làm bài tập cho thấy phần kiến thức về đề tài là
phần kiến thức mở do giáo viên đa vào giờ tự chọn hoặc ngoại khoá nên nội dung đối
với học sinh còn phức tạp , khó hình dung , vì vậy cần đa kiến thức cho học sinh cần

làm từ dễ đến khó ,kết hợp ôn tập , giao bài tập về nhà , kiểm tra học sinh
Sau khi hớng đẫn xong nội dung chuyên đề cần chỉ cho học sinh những kiến
thức cần thiết , đồng thời rèn luyện những kỹ năng làm bài tập cho học sinh Cần đa
nội dung vào giờ dạy cho phù hợp ,tránh dồn ép học sinh tiếp nhận kiến thức một cách
thụ động mà đạt kết quả không mong muốn
Lê Quốc Huy GV Trờng THCS Giang Biên Năm học 2008 - 2009
16
Phát triển t duy học sinh thông qua khai thác báitoán bất đẳng thức
Các bài tập về bất đẳng thức thờng là tơng đối khó đối với học sinh , nhng khi
hớng dẫn học sinh xong đề tài ,học sinh sẽ thấy rằng việc làm bài toán về bất đẳng
thức sẽ rễ hơn . Đồng thời đứng trớc bài toán khó cho dù ở dạng bài tập nào học sinh
cũng có hớng suy nghĩ và tập suy luận , các em sẽ có tự tin hơn .
Nhìn vào kết quả thu đợc ta có thể khẳng định đổi mới phơng pháp dạy giải toán
khai khác mở rộng hay tơng tự là việc rất cần thiết để nâng cao chất lợng giáo dục toàn
diện cho HS. Phơng pháp dạy học này rất phù hợp với đặc điểm tâm sinh lý lứa tuổi
của HS, có thể vận dụng sáng tạo, linh hoạt không những đối với môn toán mà còn có
hiệu quả đối với tất cả các môn học.
Mong rằng chuyên đề này chỉ là một hớng nhỏ, một cách làm nhỏ của tôi khi dạy
học sáng tạo và hiệu quả Đó là phơng châm của ngời học toán.
2.Kiến nghị đề xuất.
a) Về sách giáo khoa , vở bài tập.
Cần có hệ thống bài tập tơng tự, mở rộng , khái quát bài toán hoặc có thể hớng
dẫn học sinh mở rộng phát triển bài toán.
b) Phơng pháp.
Tổ chức các chuyên đề dạy toán đặc biệt tiết luyện tập, ôn tập từ cấp phòng
xuống cấp cụm rồi đến cấp trờng thờng xuyên rút kinh nghiệm, tổ chức thực hiện
đổi mới phơng pháp theo hớng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.
Trên đây là một số ý kiến của bản thân trong việc đổi mới phơng pháp dạy học
nhằm nâng cao chất lợng dạy giải toán. Do tuổi đời , tuổi nghề, kinh nghiệm, trình độ
lý luận còn hạn chế các vấn đề tôi trình bày chắc chắn không tránh khỏi những thiếu

sót. Tôi rất mong đợc sự góp ý và giúp đỡ của các quý đồng nghiệp.
Xin chân thành cảm ơn !
Giang Biên, ngày 30 tháng 12 năm 2008
Ngời Viết

Lê Quốc Huy
Lê Quốc Huy GV Trờng THCS Giang Biên Năm học 2008 - 2009
17
Phát triển t duy học sinh thông qua khai thác báitoán bất đẳng thức

Phần IV Phụ lục
1. Tài liệu tham khảo
stt
Tên tài liệu tham khảo Tác giả
Nhà xuất
bản
Năm xuất
bản
1
Sách giáo khoa toán 8,9
- Phan đức Chính
- Tôn Thân
Giáo dục 2003
2 Sách nâng cao các chuyên
đề đại số 9
- Tôn Thân
- Vũ hữu Bình
Giáo dục 2003
3 Phát triển toán 9 - Vũ hữu Bình Giáo dục 2003
4 Tài liệu bồi dỡng thờng

xuyên môn toán ( Quyển
2)
- Lê Văn Hồng
- Phạm Đức Quang

Giáo dục 2007
2. Danh sách cách sáng kiến đã viết
STT Tên sáng kiến Xếp loại Năm học
1 Một phơng pháp chia hết B 2004-2005
2 ứng dụng của một hằng đẳng thức B 2005-2006
3 ứng dụng của hệ thức Viét B 2006-2007
4
Làm quen phơng pháp khai thác bài toán thông
qua bài toán tỉ lệ thức
B 2007-2008
Trờng thcs giang biên
Lê Quốc Huy GV Trờng THCS Giang Biên Năm học 2008 - 2009
18
Phát triển t duy học sinh thông qua khai thác báitoán bất đẳng thức
cộng hoà x hội chủ nghĩa việt namã
độc lập tự do hạnh phúc
bản cam kết
i/ tác giả
họ tên: Lê Quốc Huy
sinh ngày: 16/08/1979
đơn vị: trờng thcs giang biên vĩnh bảo hải phòng
điện thoại : 01685246787
II/ Sản phẩm
Phát triển t duy của học sinh thông qua khai thácbài toán bất đẳng thức
III/ Cam kết

Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm này là sản phẩm của cá nhân tôi ,nếu có xảy ra
tranh chấp về quyền sở hữu đối với một phần hay toàn bộ sáng kiến kinh nghiệm tôi xin hoàn
toàn chịu trách nhiệm trớc lãnh đạo đơn vị. Lãnh đạo sở giáo dục và đào tạo về tính trung
thực của bản cam kết này.
Ngày30tháng12năm2008
Ngời viết cam kết
Lê Quốc Huy

Mục lục.
Lê Quốc Huy GV Trờng THCS Giang Biên Năm học 2008 - 2009
19
Phát triển t duy học sinh thông qua khai thác báitoán bất đẳng thức
Phần I .Đặt vấn đề
1. Lý do chọn đề tài Trang 1
2. Mục đích nghiên cứu Trang 2
3. Kết quả cần đạt Trang 2
4. Đối tợng, phạm vi nghiên cứu Trang 3
Phần II.
1. Cơ sở lý luận Trang3
2. Thực trạng vấn đề nghiên cứu Trang 3
3. Phơng pháp nghiên cứu Trang 4
4. Giải pháp thực hiện Trang 4- 16
5. Kết quả thực hiện Trang 16
Phần III Kết luận và khuyến nghị
1. Đánh giá cơ bản về SKKN Trang 16
2. Khuyến nghị, đề xuất Trang 17
Phần IV. Phụ lục
1. Tài liệu tham khảo Trang 18
2. Danh sách sáng kiến đã viết Trang 18
3. Bản cam kết Trang 19

Mục lục Trang 20
Nhận xét đánh giá của hội đồng thẩm định trờng THCS Giang Biên:
Lê Quốc Huy GV Trờng THCS Giang Biên Năm học 2008 - 2009
20
Phát triển t duy học sinh thông qua khai thác báitoán bất đẳng thức
Nhận xét, đánh giá của phòng giáo dục huyện Vĩnh Bảo
Lê Quốc Huy GV Trờng THCS Giang Biên Năm học 2008 - 2009
21