Một số công thức tính vận tốc rayleigh và stonelay

Đại học Khoa học Tự nhiên
Đại học Quốc gia Hà Nội
——————————
Phạm Thị Hà Giang
MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH VẬN TỐC
SÓNG RAYLEIGH VÀ STONELEY
Luận văn thạc sỹ khoa học
Người hướng dẫn khoa học:PGS. TS. Phạm Chí Vĩnh
Hà Nội - Năm 2011
Mục lục
Lời mở đầu iii
Chương 1. Các công thức vận tốc sóng Rayleigh truyền
trong các vật liệu mềm không nén được. 1
1.1. Vật liệu đàn hồi không nén được chịu kéo hoặc nén dọc
một trục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Công thức chính xác của vận tốc sóng Rayleigh . . . . . 3
1.3. Công thức xấp xỉ toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1. Công thức xấp xỉ toàn cục cho RW12 . . . . . . . 8
1.3.2. Công thức xấp xỉ toàn cục cho RW21 . . . . . . . 10
Chương 2. Công thức vận tốc sóng Stoneley truyền dọc theo
mặt phân chia của hai bán không gian có liên kết không
chặt 12
2.1. Phương trình tán sắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. Các công thức vận tốc sóng Stoneley . . . . . . . . . . . 15
2.2.1. Trường hợp 1: 1 > B > E > F > 0. . . . . . . . 16
2.2.2. Trường hợp 2: 1 > B > F > E > 0. . . . . . . . 22
2.2.3. Trường hợp 3: 1 > E > B > F > 0. . . . . . . . 23
2.3. Các trường hợp đặc biệt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4. Một số đồ thị minh họa kết quả . . . . . . . . . . . . . . 26
Kết luận 29
Tài liệu tham khảo 30

Phụ lục 37
LỜI MỞ ĐẦU
Sóng mặt Rayleigh truyền trong môi trường đàn hồi đẳng hướng nén
được mà Rayleigh [53] tìm ra hơn 120 năm trước vẫn đang được nghiên
cứu một cách mạnh mẽ vì những ứng dụng to lớn của nó trong nhiều
lĩnh vực khác nhau của khoa học và công nghệ như địa chấn học, âm
học, địa vật lý, công nghệ truyền thông và khoa học vật liệu. Có thể
nói rằng những nghiên cứu của Rayleigh về sóng mặt truyền trong bán
không gian đàn hồi có ảnh hưởng sâu rộng đến cuộc sống hiện đại. Nó
được sử dụng để nghiên cứu động đất, thiết kế mobile phone và nhiều
thiết bị điện tử cực nhỏ, , như Adams và các cộng sự [1] đã nhấn mạnh.
Đã có một số lượng nghiên cứu rất lớn về sóng mặt Rayleigh. Như đã
viết trong [66], một trong những phương tiện tìm kiếm về khoa học lớn
nhất Google.Scholar cho chúng ta hơn một triệu đường links cho yêu cầu
tìm kiếm về "Rayleigh waves" và khoảng 3 triệu cho "Surface waves".
Dữ liệu này thật là đáng kinh ngạc! Điều này chỉ ra rằng lĩnh vực nghiên
cứu này có vị trí cao trong khoa học, công nghiệp, và được sự quan tâm
rất lớn của các nhà khoa học.
Đối với sóng Rayleigh, vận tốc của nó là đại lượng cơ bản được các
nhà nghiên cứu trong các lĩnh vực khoa học khác nhau quan tâm. Nó
được nói đến trong hầu hết các sách chuyên khảo về sóng âm truyền
trong các vật thể đàn hồi. Nó liên quan đến hàm Green trong nhiều
bài toán động lực học cuả bán không gian đàn hồi, và là một công cụ
thuận lợi cho đánh giá không phá hủy các ứng suất trước của kết cấu
trước và trong khi chịu tải. Do vậy công thức dạng hiện của vận tốc sóng
Rayleigh có ý nghĩa đặc biệt quan trọng về cả phương diện lý thuyết lẫn
thực hành.
Mặc dù các định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương
trình tán sắc đã được chứng minh, nhưng qua hơn 100 năm, nghiệm của
các phương trình vẫn chưa tìm được do tính chất phức tạp và bản chất

siêu việt của nó, như đã nhấn mạnh trong [66]. Trước khi biểu thức chính
xác của nghiệm được tìm ra, một số công thức xấp xỉ đã được thiết lập
(xem [35, 25, 52, 67, 39, 40, 41, 42]). Năm 1995, Rahman and Barber
[56] đã tìm được công thức chính xác đầu tiên cho vận tốc sóng Rayleigh
truyền trong vật rắn đàn hồi đẳng hướng nén được bằng cách sử dụng
lý thuyết phương trình bậc ba. Tuy nhiên công thức này được biểu diễn
bằng hai biểu thức khác nhau tùy thuộc vào dấu biệt thức phương trình
bậc ba nên không thuận tiện khi sử dụng. Sử dụng lý thuyết bài toán
Riemann, Nkemzi [36] đã dẫn ra công thức cho vận tốc sóng Rayleigh,
nó là một hàm liên tục của γ = µ/(λ+2µ), với λ, µ là các hằng số Lame.
Công thức đó khá là phức tạp [7], và kết quả cuối cùng trong bài báo
của Nkemzi là không chính xác [26].
Malischewsky [26] đã tìm được công thức biểu diễn vận tốc sóng
Rayleigh bằng cách sử dụng công thức Cardan, công thức lượng giác của
nghiệm phương trình bậc ba và MATHEMATICA. Tuy nhiên Malis-
chewsky [26] không chứng minh được công thức này. Đến năm 2004,
Vinh and Ogden [43] đã chứng minh một cách chặt chẽ công thức của
Malischewsky, và tìm ra được một công thức khác. Đối với vật liệu trực
hướng, không nén được, Ogden and Vinh [37] đã đưa ra được công thức
dạng hiện dựa trên lý thuyết phương trình bậc ba. Sau đó, Vinh và Og-
den [44], Vinh và Ogden [45] đã tìm được các công thức dạng hiện cho
vận tốc sóng Rayleigh trong môi trường đàn hồi trực hướng, nén được.
Ngày nay vật liệu ứng suất trước được sử dụng rất rộng rãi. Đánh
giá không phá hủy ứng suất trước của kết cấu, trước và trong quá trình
đặt tải là cần thiết và quan trọng, sóng Rayleigh là một công cụ thuận
tiện cho công việc này (xem Makhort [27, 28]; Hirao et al.[18]; Husson
[19]; Delsanto and Clark [15]; Dyquennoy et al. [8, 9]; Hu et al. [20])
Trong những nghiên cứu trên, để đánh giá ứng suất trước bằng sóng
Rayleigh, các tác giả đã thiết lập hoặc sử dụng công thức xấp xỉ vận
tốc sóng Rayleigh (Tanuma [65]; Song và Fu [64] cũng vậy), chúng phụ

thuộc tuyến tính vào biến dạng trước (hoặc ứng suất trước) nên rất dễ
sử dụng. Tuy nhiên, vì những công thức này được dẫn ra bằng phương
pháp nhiễu nên chúng chỉ chấp nhận được khi biến dạng trước đủ nhỏ.
Chúng không thể áp dụng khi biến dạng trước trong vật liệu không còn
nhỏ. Gần đây, những công thức cho vận tốc sóng Rayleigh truyền trong
vật rắn đàn hồi, đẳng hướng, có biến dạng trước đã được tìm ra bởi Vinh
[46], Vinh & Giang [47], Vinh [48].
Những năm gần đây, khoa học chuẩn đoán bệnh bằng hình ảnh phát
triển mạnh mẽ. Nó đòi hỏi các nhà khoa học phải mô phỏng chính xác
iv
các mô mềm sinh học. Năm 2004 Hamilton và các cộng sự [21] đã đưa
ra một mật độ năng lượng đàn hồi phản ánh khá chính xác ứng xử các
mô mềm sinh học (bằng thực nghiệm), đó là
W = µI
2
+ (A/3)I
3
+ DI
2
2
(0.1)
với I
2
= tr(E
2
), I
3
= tr(E
3
), E là tensor biến dạng Green µ, A, và D lần

lượt là các hằng số đàn hồi bậc hai, ba, bốn.
Sau đó, một số nghiên cứu [16, 54, 55] đã được tiến hành nhằm đánh
giá hằng số bậc hai, bậc ba µ và A bằng phương pháp âm đàn hồi.
Renier và các cộng sự [55] đã đo hằng số bậc bốn D bằng cách sử dụng
sóng cắt phi tuyến phẳng biên độ hữu hạn. Nhưng như đã nhấn mạnh
bởi Destrade [10], những sóng này khó tạo ra và khó thu lại bằng thực
nghiệm. Hơn nữa, mặc dù có thể quan sát chúng trong những vật rắn
giống chất lỏng (như gels, phantoms, agar ), nhưng thật khó để hình
dung rằng chúng có thể truyền trong những mô mềm sinh học mà không
gây ra một tổn hại nào ở mức độ tế bào vì biên độ lớn của sóng [29].
Destrade và cộng sự [10] đã chỉ ra rằng tất cả các hằng số đàn hồi µ,
A, và D có thể được đo bởi phương pháp âm đàn hồi, cụ thể là sử dụng
các công thức của vận tốc sóng cắt và sóng Rayleigh truyền trong vật
thể đàn hồi mềm không nén được chịu kéo hoặc nén theo một trục với
độ dãn dài là e [10].
Mục tiêu đầu tiên của luận văn là đưa ra công thức chính xác và xấp
xỉ của vận tốc sóng Rayleigh truyền trong vật liệu đàn hồi mềm không
nén được bị kéo hoặc nén theo một trục. Chúng là những công cụ tốt và
thuận tiện để đánh giá các hằng số µ, A, và D.
Sóng truyền dọc theo biên phân chia gắn chặt của hai bán không
gian đàn hồi đẳng hướng khác nhau đã được nghiên cứu lần đầu tiên bởi
Stoneley [59] vào năm 1924. Stoneley đã dẫn ra phương trình tán sắc của
sóng này, và bằng những ví dụ cụ thể đã chỉ ra rằng sóng Stoneley không
phải luôn tồn tại. Những nghiên cứu tiếp theo bởi Sezawa & Kanai [60]
và Scholte [61, 62] tập trung vào miền tồn tại của sóng Stoneley. Scholte
[62] đã tìm ra được các phương trình biểu diễn biên của miền tồn tại
và chúng trùng với các đường cong tương ứng mà Sezawa & Kanai [60]
vẽ được bằng tính toán số cho trường hợp vật rắn Poisson (các hằng số
Lame λ và µ bằng nhau). Những nghiên cứu của họ chỉ ra rằng các hằng
số vật liệu cho phép sóng Stoneley tồn tại là rất hạn chế. Tuy nhiên,

v
Sezawa & Kanai [60] và Scholte [61, 62] không chứng minh sự duy nhất
của sóng Stoneley. Vấn đề này đã được giả quyết bởi Barnett và các cộng
sự [3] trong trường hợp các bán không gian đàn hồi dị hướng tổng quát
liên kết chặt. Sự lan truyền của sóng Stoneley trong vật liệu bất đẳng
hướng cũng được nghiên cứu bởi Stroh [63] và Lim và các cộng sự [24].
Sự lan truyền của sóng Stoneley trong hai bán không gian đàn hồi
đẳng hướng có liên kết không chặt đã được nghiên cứu bởi Murty [30, 31].
Tác giả đã dẫn ra phương trình tán sắc và bằng cách giải trực tiếp phương
trình này cho trường hợp vật liệu Poisson đã thu được rất nhiều giá trị
của vận tốc sóng. Barnett và các cộng sự [4] đã nghiên cứu sự tồn tại
và duy nhất của sóng Stoneley trong các bán không gian liên kết trượt,
và đã chỉ được ra rằng đối với các bán không gian đàn hồi đẳng hướng,
nếu sóng Stoneley tồn tại, nó là duy nhất. Trong khi đó đối với các bán
không gian dị hướng thì có thể tồn tại một loại sóng trượt mới, được gọi
là sóng trượt thứ 2.
Có một số ít nghiên cứu đã thực hiện đối với sóng Stoneley truyền
trong mặt phân cách của hai bán không gian đàn hồi gắn chặt có ứng
suất trước. Trong các bài báo [5, 6] Chadwick & Jarvis đã xét sóng
Stoneley truyền theo một hướng bất kỳ song song với mặt phân chia của
hai bán không gian cùng được làm từ vật liệu neo-hooken không nén
được chịu các biến dạng trước thuần nhất khác nhau, và trục chính biến
dạng của các bán không gian là trùng nhau. Dasgupta [11] đã nghiên
cứu ảnh hưởng của ứng suất ban đầu lên miền tồn tại của Sóng Stoneley
trong vật liệu neo-hookean không nén được. Dunwoody [12] đã nghiên
cứu bài toán sóng mặt truyền trong các bán không gian có ứng suất
trước, nén được. Trong bài báo [13] Dowaikh & Ogden đã nghiên cứu
sự lan truyền của sóng Stoneley dọc theo mặt phân cách của hai bán
không gian gắn chặt chịu biến dạng trước thuần nhất mà một trong các
trục chính biến dạng vuông góc với mặt phân cách, hai trục chính còn

lại của hai bán không gian là trùng nhau. Giả thiết là sóng truyền dọc
theo một trục chính. Bằng những phân tích chi tiết phương trình tán
sắc, các tác giả đã dẫn ra điều kiện đủ cho sự tồn tại của sóng Stoneley
trong trường hợp tổng quát, trong các trường hợp riêng đã dẫn ra điều
kiện cần và đủ cho sự duy nhất của sóng này. Tuy nhiên, câu hỏi về sự
duy nhất cho trường hợp tổng quát vẫn chưa được giải quyết. Vấn đề
này đã được giải quyết gần đây bởi Vinh & Giang [51].
vi
Chú ý rằng trước đây người ta vẫn nghĩ rằng sóng Stoneley có ứng
dụng chủ yếu trong ngành địa vật lý. Tuy nhiên, những nghiên cứu gần
đây chỉ ra rằng sóng Stoneley rất hữu dụng cho việc đánh giá không phá
hủy (xem [23, 57])
Giống như vận tốc sóng Rayleigh, tốc độ của sóng Stoneley cũng là
một đại lượng quan trọng cuốn hút được các nhà nghiên cứu trong nhiều
lĩnh vực khoa học khác nhau. Các công thức của nó là công cụ mạnh để
giải quyết những bài toán thuận: nghiên cứu ảnh hưởng của các tham
số vật liệu vào vận tốc sóng, và đặc biệt là các bài toán ngược: xác định
các tham số vật liệu từ giá trị đo được của vận tốc sóng. Trong khi các
công thức vận tốc sóng Rayleigh trong các vật liệu khác nhau đã được
tìm gần đây, như đã đề cập ở trên, thì theo hiểu biết của tác giả vẫn
chưa có công thức vận tốc sóng Stoneley nào được tìm thấy.
Mục tiêu thứ hai của luận văn là thiết lập các công thức vận tốc sóng
cho sóng Stoneley truyền theo mặt phân cách hai bán không gian đàn hổi
đẳng hướng khác nhau có liên kết không chặt.
Luận văn gồm hai chương:
Chương 1:Các công thức vận tốc sóng Rayleigh truyền trong các vật liệu
mềm không nén được.
Trong chương này, tác giả đã rút ra các công thức chính xác của vận
tốc sóng Rayleigh truyền trong bán không gian đàn hồi mềm, không nén
được, chịu kéo và nén dọc theo một trục. Một số công thức xấp xỉ đã

được thiết lập dựa trên đa thức xấp xỉ bậc hai tốt nhất của lũy thừa bậc
ba trên đoạn [0,1]. Các công thức xấp xỉ này có độ chính xác cao, và có
dạng đơn giản hơn công thức chính xác nên sẽ thuận tiện hơn khi ứng
dụng.
Các kết quả trong chương này đã được viết thành một bài báo sẽ
được gửi đăng trong thời gian tới.
Chương 2:Công thức vận tốc sóng Stoneley truyền dọc theo mặt phân
chia của hai bán không gian có liên kết không chặt.
Trong chương này tác giả đã thiết lập các công thức chính xác của
vận tốc sóng Stoneley truyền dọc theo mặt phân chia của hai bán không
gian có liên kết không chặt bằng cách sử dụng phương pháp hàm phức.
Từ các công thức thu được dễ dàng thu được các kết quả của Murty [30].
Từ các công thức này, tác giả đã chứng minh được nếu sóng Stoneley
tồn tại thì nó là nhất.
vii
Các kết quả của chương này đã được trình bấy trong bài báo sau:
Pham Chi Vinh, Pham Thi Ha Giang, On formulas for the velocity
of Stoneley waves propagating along the loosely bonded interface of two
elastic half-spaces, Wave Motion, Volume 48, Issue 7, November 2011,
Pages 647-657.
viii
Chương 1
Các công thức vận tốc
sóng Rayleigh truyền
trong các vật liệu mềm
không nén được.
1.1. Vật liệu đàn hồi không nén được chịu kéo hoặc
nén dọc một trục
Xét một mẫu thử hình hộp chữ nhật của vật liệu mềm đàn hồi đẳng
hướng không nén được với các mặt của nó ở trạng thái tự nhiên (chưa

bị kéo, nén) song song với các mặt phẳng tọa độ (X
1
, X
2
), (X
2
, X
3
),
(X
3
, X
1
). Giả sử rằng mẫu này chỉ bị kéo (nén) theo chiều song song
với trục X
1
. Dễ dàng thấy rằng mẫu này chịu biến dạng đẳng trục
(equi-biaxial)
x
k
= λ
k
X
k
(không tổng theo k), k = 1, 2, 3, (1.1)
λ
1
= λ, λ
2
= λ

3
= λ
−1/2
, λ > 0, (1.2)
với λ
k
là các độ giãn chính và λ = 1 + e (xem [10]) Chú ý rằng các
mặt của khối sau khi biến dạng song song với các mặt phẳng (x
1
, x
2
),
(x
2
, x
3
), (x
3
, x
1
). Tương ứng với biến dạng trước cho bởi (1.1), ta có các
Chương 1. Các công thức vận tốc sóng Rayleigh truyền trong các vật liệu
mềm không nén được.
giá trị riêng E
k
của tensor Green E liên hệ với các độ giãn chính λ
k
bởi
công thức E
k

= (λ
2
k
− 1)/2. Vì vậy chúng ta có:
I
2
=
1
4
[(λ
2
1
− 1)
2
+ (λ
2
2
− 1)
2
+ +(λ
2
3
− 1)
2
],
I
3
=
1
8

[(λ
2
1
− 1)
3
+ (λ
2
2
− 1)
3
+ +(λ
2
3
− 1)
3
]. (1.3)
Đối với biến dạng trước thuần nhất với các độ giãn chính λ
k
, k = 1, 2, 3
chúng ta định nghĩa các đại lượng γ
ij
, β
ij
(i = j) như sau:
γ
ij
= (λ
i
W
i

− λ
j
W
j
)λ
2
i
/(λ
2
i
− λ
2
j
) = γ
ji
, (1.4)
β
ij
=
1
2
(λ
2
i
W
ii
+ λ
2
j
W

jj
) −λ
i
λ
j
W
ij
−(λ
j
W
i
−λ
i
W
j
)λ
i
λ
j
/(λ
2
i
−λ
2
j
) = β
ji
,
(1.5)
khi λ

i
= λ
j
, và:
γ
ij
=
1
2
(λ
2
i
W
ii
− λ
i
λ
j
W
ij
+ λ
i
W
i
) = γ
ji
, (1.6)
β
ij
=

1
2
(λ
2
j
W
jj
− λ
i
λ
j
W
ij
+ λ
i
W
i
) = β
ji
, (1.7)
khi λ
i
= λ
j
. Ở đây W
i
=: ∂W/∂λ
i
, W
ij

=: ∂
2
W/∂λ
i
∂λ
j
, (chú ý không
lấy tổng khi có sự lặp lại các chỉ số trong công thức (1.4)-(1.7)). Chú ý
rằng đối với các sóng âm biên độ nhỏ, các đại lượng γ
ij
, β
ij
có vai trò
giống như các moduli đàn hồi. Từ (0.1), (1.2)-(1.7) chúng ta có:
γ
12
= γ
(1)
12
µ + γ
(2)
12
A + γ
(3)
12
D = γ
13
(1.8)
với:
γ

(1)
12
= (1 + e)(e
3
+ 3e
2
+ 2e + 1)
γ
(2)
12
= e(1 + 7e + 13e
2
+ 13e
3
+ 6e
4
+ e
5
)/4 (1.9)
γ
(3)
12
=
e
2
(e
3
+ 3e
2
+ 2e + 1)[(1 + e)

2
(2 + e)
2
+ 2]
2(1 + e)
γ
21
= γ
(1)
21
µ + γ
(2)
21
A + γ
(3)
21
D = γ
31
(1.10)
với:
γ
(k)
21
= γ
(k)
12
/(1 + e)
3
, k = 1, 2, 3 (1.11)
2

Chương 1. Các công thức vận tốc sóng Rayleigh truyền trong các vật liệu
mềm không nén được.
γ
23
= γ
(1)
23
µ + γ
(2)
23
A + γ
(3)
23
D = γ
32
= β
23
= β
32
(1.12)
với:
γ
(1)
23
=
(1 − e)
(1 + e)
2
, γ
(2)

23
=
e(e − 2)
4(1 + e)
3
, γ
(3)
23
=
e
2
(1 − e)[(1 + e)
2
(2 + e)
2
+ 2]
2(1 + e)
4
(1.13)
β
12
= β
(1)
12
µ + β
(2)
12
A + β
(3)
12

D = β
21
= β
13
= β
31
(1.14)
với β
(k)
12
(k = 1, 2, 3) được cho bởi (1.30). Từ (1.8)-(1.11), (1.14) (1.30)
chúng ta có:
γ
12
+ γ
21
− 2β
12
= g
1
µ + g
2
A + g
3
D (1.15)
2(β
12
− γ
21
) = f

1
µ + f
2
A + f
3
D (1.16)
với g
k
(k = 1, 2, 3) và f
k
(k = 1, 2, 3) lần lượt được cho bởi (A1)-(A3) và
(A4)-(A6).
1.2. Công thức chính xác của vận tốc sóng Rayleigh
Trong phần này, chúng ta thiết lập công thức chính xác của vận tốc
sóng Rayleigh ứng với hàm năng lượng (0.1) và sóng lan truyền theo các
hướng chính. Để đơn giản ta dùng ký hiệu "RWkm" chỉ sóng Rayleigh
lan truyền theo hướng x
k
và tắt dần theo hướng x
m
.
Xét sóng Rayleigh lan truyền theo hướng x
1
(hướng kéo dãn) với vận
tốc c, và tắt dần theo hướng x
2
.
Theo Dowaikh & Ogden [14], hoặc Vinh [46], Vinh & Giang [47],
phương trình tán sắc là:
γ

21
(γ
12
−ρc
2
)+(2β
12
+2γ
∗
21
−ρc
2
)[γ
21
(γ
12
−ρc
2
)]
1/2
= (γ
∗
21
)
2
, 0 < ρc
2
< γ
12
(1.17)

với γ
12
, γ
21
, và β
12
được cho bởi (0.1), (1.2), (1.4)-(1.7), γ
∗
ij
= γ
ij
− σ
i
(i, j = 1, 2, 3, i = j), σ
i
là ứng suất chính Cauchy tại trạng thái biến dạng
(xem [14]). Lưu ý rằng phương trình tán sắc (1.17) đúng cho mọi biến
dạng trước thuần nhất được cho bởi (1.1), các ứng suất chính Cauchy
σ
i
(i = 1, 2, 3)) nói chung là khác không. Từ điều kiện elliptic mạnh
(strong-ellipticity) suy ra γ
12
> 0, γ
21
> 0 ( xem [14]). Gần đây, công
thức biểu diễn nghiệm của phương trình tán sắc (1.17) đã tìm được bởi
3
Chương 1. Các công thức vận tốc sóng Rayleigh truyền trong các vật liệu
mềm không nén được.

Phạm Chí Vĩnh [46]. Cụ thể là, theo mệnh đề 4 trong [46], nếu γ
∗
21
= 0,
thì vận tốc không thứ nguyên của sóng Rayleigh x
(12)
r
= ρc
2
/γ
12
được
xác định bởi bởi:
x
(12)
r
= 1 −

3

R +
√
P +
q
2
3

R +
√
P

−
1
3
a
2

2
(1.18)
trong đó các căn thức được hiểu là căn thức lấy giá trị chính, và q
2
,
R, P , a
0
, a
1
, a
2
là:
q
2
= (a
2
2
− 3a
1
)/9, r = (2a
3
2
− 9a
1

a
2
+ 27a
0
)/27
R = (9a
1
a
2
− 27a
0
− 2a
3
2
)/54 (1.19)
P = (4a
0
a
3
2
− a
2
1
a
2
2
− 18a
0
a
1

a
2
+ 27a
2
0
+ 4a
3
1
)/108
a
2
=

γ
21
γ
12
, a
1
=
2(β
12
+ γ
∗
21
)
γ
12
− 1, a
0

= −
(γ
∗
21
)
2
γ
12
√
γ
12
γ
21
(1.20)
Trong trường hợp γ
∗
21
= 0, x
(12)
r
được tính bởi công thức sau:
x
(12)
r
=

4 −


(γ

21
− 8β
12
)/γ
12
+ 4 −

γ
21
/γ
12

2

/4 (1.21)
Chú ý rằng công thức (1.18) đúng với mọi hàm năng lượng W và mọi
biến dạng trước thuần nhất. Bây giờ chúng ta sẽ cụ thể hóa (1.18) cho
trường hợp đang xét, với hàm năng lượng biến dạng W cho bởi (0.1),
và biến dạng trước đẳng trục (1.2). Đối với trường hợp này σ
2
= 0,
γ
∗
21
= γ
21
> 0, vì vậy x
(12)
r
xác định bởi (1.18). Từ (1.20) cùng với

(0.1)-(1.3), (1.4)-(1.7) chúng ta có:
a
2
=

γ
(1)
21
+ γ
(2)
21
A
∗
+ γ
(3)
21
D
∗
γ
(1)
12
+ γ
(2)
12
A
∗
+ γ
(3)
12
D

∗

1/2
, a
1
=
h
1
+ h
2
A
∗
+ h
3
D
∗
γ
(1)
12
+ γ
(2)
12
A
∗
+ γ
(3)
12
D
∗
−1, a

0
= −a
3
2
(1.22)
với A
∗
= A/µ, D
∗
= D/µ, γ
(k)
21
và γ
(k)
12
(k = 1, 2, 3) được xác định bởi
(1.9)và (1.11) (chú ý rằng γ
12
= γ
13
), và h
k
(k = 1, 2, 3) được cho bởi:
h
1
=
4 + 11e + 39e
2
+ 56e
3

+ 44e
4
+ 18e
5
+ 3e
6
(1 + e)
2
h
2
=
e(4 + 67e + 220e
2
+ 425e
3
+ 505e
4
+ 378e
5
+ 174e
6
+ 45e
7
+ 5e
8
)
4(1 + e)
3
h
3

= [e
2
(60 + 330e + 1126e
2
+ 2459e
3
+ 3689e
4
+ 3857e
5
+ 2805e
6
(1.23)
+ 1390e
7
+ 447e
8
+ 84e
9
+ 7e
10
)]/[2(1 + e)
4
]
4
Chương 1. Các công thức vận tốc sóng Rayleigh truyền trong các vật liệu
mềm không nén được.
Để dẫn ra các công thức trên chúng ta đã sử dụng biểu thức
2(β
12

+ γ
21
) = h
1
µ + h
2
A + h
3
D (1.24)
Từ (1.9), (1.11), (1.18), (1.19), (1.22),(1.23), rõ ràng là vận tốc sóng
Rayleigh x
(12)
r
là hàm của các tham số e, A
∗
, D
∗
.
Từ các đẳng thức γ
13
= γ
12
, γ
31
= γ
21
, β
13
= β
12

, σ
3
= σ
2
= 0,γ
∗
31
=
γ
∗
21
ta có x
(13)
r
=x
(12)
r
, ở đây x
(km)
r
là vận tốc sóng Rayleigh truyền theo
hướng x
k
và tắt dần theo hướng x
m
.
Bây giờ xét RW21.
Khi hoán vị các cặp chỉ số 12 và 21 cho nhau trong phương trình
(1.17) ta thu được phương trình tán sắc đối với RW21 là :
γ

12
(γ
21
−ρc
2
)+(2β
21
+2γ
∗
12
−ρc
2
)[γ
12
(γ
21
−ρc
2
)]
1/2
= (γ
∗
12
)
2
, 0 < ρc
2
< γ
21
(1.25)

Từ mối liên hệ σ
1
− σ
2
= λ
1
W
1
− λ
2
W
2
(xem [46], phương trình
(111)) và σ
2
= 0, suy ra σ
1
= γ
12
− γ
21
(xem [14]), vì vậy γ
∗
12
= γ
21
, và
phương trình (1.25) trở thành:
γ
12

(γ
21
−ρc
2
)+(2β
21
+2γ
21
−ρc
2
)[γ
12
(γ
21
−ρc
2
)]
1/2
= (γ
21
)
2
, 0 < ρc
2
< γ
21
(1.26)
Theo mệnh đề 4 trong [46], vì γ
∗
12

= γ
21
> 0, nên x
(21)
r
được cho bởi:
x
(21)
r
= 1 −

3

R +
√
P +
q
2
3

R +
√
P
−
1
3
a
2

2

(1.27)
trong đó q
2
, R, P được cho bởi (1.19), và a
i
, i = 0, 1, 2 được xác định
như sau:
a
2
=

γ
12
/γ
21
, a
1
= 2β
12
/γ
21
+ 1, a
0
= −

γ
21
/γ
12
(1.28)

Viết lại các đẳng thức trên qua e, A
∗
, D
∗
chúng ta có:
a
2
=

γ
(1)
12
+ γ
(2)
12
A
∗
+ γ
(3)
12
D
∗
γ
(1)
21
+ γ
(2)
21
A
∗

+ γ
(3)
21
D
∗

1/2
, a
1
=
2(β
(1)
12
+ β
(2)
12
A
∗
+ β
(3)
12
D
∗
)
γ
(1)
21
+ γ
(2)
21

A
∗
+ γ
(3)
21
D
∗
+1, a
0
= −
1
a
2
(1.29)
với γ
(k)
21
và γ
(k)
12
(k = 1, 2, 3) được xác định bởi (1.9), (1.11), và β
(k)
12
(k =
1, 2, 3) được cho bởi:
5
Chương 1. Các công thức vận tốc sóng Rayleigh truyền trong các vật liệu
mềm không nén được.
β
(1)

12
=
2 + 7e + 33e
2
+ 54e
3
+ 44e
4
+ 18e
5
+ 3e
6
2(1 + e)
2
β
(2)
12
=
e(2 + 53e + 194e
2
+ 399e
3
+ 493e
4
+ 376e
5
+ 174e
6
+ 45e
7

+ 5e
8
)
8(1 + e)
3
β
(3)
12
= [e
2
(48 + 282e + 1016e
2
+ 2311e
3
+ 3561e
4
+ 3791e
5
+ 2787e
6
+ 1388e
7
+ 447e
8
+ 84e
9
+ 7e
10
)]/[4(1 + e)
4

] (1.30)
Chú ý rằng:
β
12
= β
(1)
12
µ + β
(2)
12
A + β
(3)
12
D (1.31)
Rõ ràng rằng x
(21)
r
là hàm của các tham số không thứ nguyên e, A
∗
, D
∗
.
Các công thức (1.18), (1.19),(1.22), (1.23) và (1.19), (1.27),(1.29), (1.30)
cho ta công thức biểu diễn chính xác công thức vận tốc sóng Rayleigh
x
(12)
r
và x
(21)
r

. Các công thức này là hàm phi tuyến của các tham số không
thứ nguyên e, A
∗
, D
∗
.
Bây giờ chúng ta giả sử ràng độ dãn e đủ nhỏ. Khai triển Taylor
x
(12)
r
(e) tới bậc hai tại e = 0 ta có:
ρc
2
/µ = 0.912621+(0.228155 A
∗
+3) e+(5.64159+2.07079 A
∗
+3.55421 D
∗
) e
2
(1.32)
Công thức (1.32) trùng với công thức xấp xỉ mà Destrade và các cộng
sự thu được gần đây ( công thức (19) trong [10]).
Tương tự, khai triển Taylor x
(21)
r
(e) tới bậc hai tại e = 0 có:
ρc
2

/µ = 0.9126+(0.386299+0.2282 A
∗
) e+(1.80198+1.41737 A
∗
+3.55421 D
∗
) e
2
(1.33)
Kết quả này khác với kết quả của Destrade trong [10] (công thức (20)),
công thức đó là:
ρc
2
/µ = 0.9126−(0.2621−0.2281 A
∗
) e+ (2.379+ 1.255 A
∗
+3.554 D
∗
) e
2
(1.34)
Lý do của sự khác nhau này là để có được công thức (1.34), Destrade
đã sử dụng phương trình tán sắc:
η
3
+ η
2
+ (2β
21

+ 2γ
12
−γ
21
)η/γ
12
−1 = 0, η =

(γ
21
− ρc
2
)/γ
12
. (1.35)
6
Chương 1. Các công thức vận tốc sóng Rayleigh truyền trong các vật liệu
mềm không nén được.
Phương trình này thu được từ phương trình tán sắc đối với RW12 bằng
cách thay thế các chỉ số 12 và 21 cho nhau. Tuy nhiên sự thay thế đơn
thuần này không mang lại phương trình chính xác cho RW21.
Hình 1.1 Sự phụ thuộc vào e ∈ [−0.1, 0.2] của ρc
2
/µ lần lượt được tính
bởi công thức chính xác (1.27) (đường nét liền), công thức xấp xỉ (1.33)
(đường gạch-gạch), và công thức của Destrade (1.34) (đường gạch-chấm)
với µ = 6.6 kPa, A = −37.7 kPa, và D = 27.65 kPa.
Hình 1.1 biểu diễn đồ thị của ρc
2
/µ tính bằng công thức chính xác

(1.27) và các công thức xấp xỉ bậc hai (1.33), và công thức của Destrade
(1.34). Đồ thị này chỉ ra rằng công thức (1.33) là xấp xỉ tốt trong đoạn
[−0.10.2], và công thức (1.34) thực sự không phải là một xấp xỉ cho
ρc
2
/µ của RW21. Chú ý rằng, đối với RW31 chúng ta có: x
(31)
r
=x
(21)
r
.
1.3. Công thức xấp xỉ toàn cục
Trong phần này chúng ta sẽ thiết lập công thức xấp xỉ toàn cục cho
ρc
2
/µ đối với RW12 và RW21.
7
Chương 1. Các công thức vận tốc sóng Rayleigh truyền trong các vật liệu
mềm không nén được.
1.3.1. Công thức xấp xỉ toàn cục cho RW12
Bình phương phương trình tán sắc (1.17), sau một vài phép biến đổi,
trong đó có sử dụng γ
∗
21
=γ
21
ta thu được một phương trình bậc ba đối
với biến x = ρc
2

/γ
12
:
−x
3
+ (3δ
1
+ 4δ
2
+ 1)x
2
− 2[2(δ
1
+ δ
2
) + 2(δ
1
+ δ
2
)
2
+ δ
2
1
− δ
1
]x
+4(δ
1
+ δ

2
)
2
− δ
3
1
+ 2δ
2
1
− δ
1
= 0, 0 < x < 1 (1.36)
với:
δ
1
=
γ
(1)
21
+ γ
(2)
21
A
∗
+ γ
(3)
21
D
∗
γ

(1)
12
+ γ
(2)
12
A
∗
+ γ
(3)
12
D
∗
, δ
2
=
β
(1)
12
+ β
(2)
12
A
∗
+ β
(3)
12
D
∗
γ
(1)

12
+ γ
(2)
12
A
∗
+ γ
(3)
12
D
∗
(1.37)
trong đó các hệ số γ
(k)
21
và γ
(k)
12
(k = 1, 2, 3) được xác định bởi (1.9),
(1.11), và β
(k)
12
(k = 1, 2, 3) được cho bởi (1.30). Vì 0 < x < 1 nên chúng
ta có thể thay thế x
3
bởi một đa thức bậc hai xấp xỉ tốt nhất của nó
thuộc C[0, 1] (xem [49]):
p
2
(x) = 1.5x

2
− 0.5625x + 0.03125. (1.38)
C[a, b] là không gian các hàm liên tục trên [a, b]. Thay x
3
trong phương
trình (1.36) bằng p
2
(x) ta có phương trình bậc hai:
Mx
2
− 2Nx + Q = 0 (1.39)
với:
M = 3δ
1
+ 4δ
2
− 0.5, N = 2(δ
1
+ δ
2
) + 2(δ
1
+ δ
2
)
2
+ δ
2
1
− δ

1
− 0.28125
Q = 4(δ
1
+ δ
2
)
2
− δ
3
1
+ 2δ
2
1
− δ
1
− 0.03125 (1.40)
Không khó để chỉ ra rằng nghiệm của phương trình (1.39) tương ứng với
sóng Rayleigh là:
˜x
(12)
r
=
N −

N
2
− MQ
M
(1.41)

Hình 1.2 vẽ trình bầy đồ thị của ρc
2
/µ xác định bởi công thức chính
xác (1.18), công thức xấp xỉ toàn cục (1.41). Đồ thị của hai công thức
này gần như trùng hoàn toàn. Điều đó có nghĩa là công thức xấp xỉ toàn
cục (1.41) là một xấp xỉ rất chính xác.
8
Chương 1. Các công thức vận tốc sóng Rayleigh truyền trong các vật liệu
mềm không nén được.
Hình 1.2 Đồ thị của ρc
2
/µ được tính bởi công thức chính xác (1.18),
công thức xấp xỉ toàn cục (1.41) với e ∈ [−0.1, 0.3], µ = 6.6 kPa, A =
−37.7 kPa, và D = 27.65 kPa. Hai đồ thị này gần như hoàn toàn trùng
nhau.
9
Chương 1. Các công thức vận tốc sóng Rayleigh truyền trong các vật liệu
mềm không nén được.
1.3.2. Công thức xấp xỉ toàn cục cho RW21
Tương tự như phần trên bằng cách bình phương phương trình tán sắc
đối với RW21 ta thu được phương trình bậc ba đối với biến x = ρc
2
/γ
21
là:
−x
3
+ (4
¯
δ

2
−
¯
δ
1
+ 5)x
2
− 2[2(1 +
¯
δ
2
) + 2(1 +
¯
δ
2
)
2
+ 1 −
¯
δ
1
]x
+4(1 +
¯
δ
2
)
2
− (1 −
¯

δ
1
)
2
/
¯
δ
1
= 0, 0 < x < 1 (1.42)
với:
¯
δ
1
=
γ
(1)
12
+ γ
(2)
12
A
∗
+ γ
(3)
12
D
∗
γ
(1)
21

+ γ
(2)
21
A
∗
+ γ
(3)
21
D
∗
,
¯
δ
2
=
β
(1)
12
+ β
(2)
12
A
∗
+ β
(3)
12
D
∗
γ
(1)

21
+ γ
(2)
21
A
∗
+ γ
(3)
21
D
∗
(1.43)
với các hệ số γ
(k)
21
và γ
(k)
12
(k = 1, 2, 3) được xác định bởi các công thức
(1.9), (1.11), và β
(k)
12
(k = 1, 2, 3) được cho bởi (1.30). Thay x
3
trong
phương trình (1.42) bởi p
2
(x) ta có phương trình sau:
M
1

x
2
− 2N
1
x + Q
1
= 0. (1.44)
Nghiệm của phương trình này tương ứng với sóng Rayleigh là :
˜x
(21)
r
=
N
1
−

N
2
1
− M
1
Q
1
M
1
(1.45)
với:
M
1
= 4

¯
δ
2
−
¯
δ
1
+ 3.5, N
1
= 2
¯
δ
2
2
+ 6
¯
δ
2
−
¯
δ
1
+ 4.71875
Q
1
= 4(1 +
¯
δ
2
)

2
− (1 −
¯
δ
1
)
2
/
¯
δ
1
− 0.03125 (1.46)
Hình 1.3 biểu diễn đồ thị của ρc
2
/µ tính bằng công thức chính xác
(1.27), công thức xấp xỉ toàn cục (1.45) trên đoạn [−0.1, 0.3]. Hai đồ
thị gần như hoàn toàn trùng nhau, điều này chứng tỏ công thức xấp xỉ
toàn cục có độ chính xác cao.
10
Chương 1. Các công thức vận tốc sóng Rayleigh truyền trong các vật liệu
mềm không nén được.
Hình 1.3 Đồ thị của ρc
2
/µ được tính bởi công thức chính xác (1.27),
công thức xấp xỉ (1.45) với e ∈ [−0.1, 0.3], µ = 6.6 kPa, A = −37.7 kPa,
và D = 27.65 kPa. Hai đồ thị này gần như trùng nhau.
11
Chương 2
Công thức vận tốc sóng
Stoneley truyền dọc

theo mặt phân chia của
hai bán không gian có
liên kết không chặt
2.1. Phương trình tán sắc
Xét hai vật thể đàn hồi Ω và Ω
∗
lần lượt chiếm hai bán không gian x
2
≥ 0
và x
2
≤ 0. Giả sử hai bán không gian này có liên kết không chặt tại mặt
phẳng x
2
= 0, nghĩa là các thành phần chuyển dịch pháp và ứng suất
pháp tại mặt phẳng này liên tục, còn ứng suất tiếp bị triệt tiêu tại mặt
phẳng này (xem [31], [30]). Chú ý, các đại lượng của Ω và Ω
∗
có cùng
một ký hiệu, nhưng với các đại lượng của Ω
∗
chúng ta thêm dấu sao.
Xét chuyển động phẳng trong mặt phẳng (x
1
, x
2
):
u
i
= u

i
(x
1
, x
2
, t), i = 1, 2, u
3
= 0, (2.1)
Chương 2. Công thức vận tốc sóng Stoneley truyền dọc theo mặt phân
chia của hai bán không gian có liên kết không chặt
Các phương trình chuyển động là [2]:
c
2
L
u
1,11
+ c
2
T
u
1,22
+ (c
2
L
− c
2
T
)u
2,12
= ¨u

1
(c
2
L
− c
2
T
)u
1,12
+ c
2
L
u
2,22
+ c
2
T
u
2,11
= ¨u
2
(2.2)
trong đó dấu chấm biểu diễn đạo hàm theo thời gian t, dấu phẩy biểu
diễn đạo hàm theo các biến không gian x
i
, c
L
=

(µ + λ)/ρ, c

T
=

µ/ρ
lần lượt là các vận tốc sóng dọc và sóng ngang, ρ là mật độ khối lượng,
λ, µ là các hằng số Lamme.
Các thành phần ứng suất trên mặt x
2
= const liên hệ các gradient
chuyển dịch bởi
σ
12
= µ(u
1,2
+ u
2,1
), σ
22
= λ(u
1,1
+ u
2,2
) + 2µu
2,2
(2.3)
Điều kiện tắt dần ở vô cùng
u
i
= 0 (i = 1, 2), σ
ij

= 0 (i, j = 1, 2) khi x
2
= +∞. (2.4)
Đối với miền Ω
∗
chúng ta có các phương trình tương tự như (2.1), (2.2),
(2.3) và điều kiện tắt dần ở vô cùng (2.4) được thay thế bởi:
u
∗
i
= 0 (i = 1, 2), σ
∗
ij
= 0 (i, j = 1, 2) khi x
2
= −∞. (2.5)
Điều kiện liên kết không chặt ở mặt phân cách được thể hiện bởi:
u
2
= u
∗
2
, σ
22
= σ
∗
22
, σ
12
= σ

∗
12
= 0 tại x
2
= 0 . (2.6)
Bây giờ, chúng ta xét sự lan truyền của sóng dọc theo hướng x
1
với vận
tốc sóng là c, số sóng là k (> 0), sóng này tập trung chủ yếu trên mặt
phân cách x
2
= 0. Vì vậy các thành phần dịch chuyển u
1
, u
2
(trong miền
Ω) được tìm dưới dạng:
u
1
= Ae
−kbx
2
e
ik(x
1
−ct)
, u
2
= Be
−kbx

2
e
ik(x
1
−ct)
, (2.7)
với A, B, b là các hằng số, và để đảm bảo được điều kiện tắt dần ở vô
cùng (2.4) thì:
Reb > 0 (2.8)
Thay phương trình (2.7) vào (2.2) dẫn đến một hệ đại số tuyến tính của
A, B. Để hệ có nghiệm không tầm thường thì định thức của các hệ số
phải triệt tiêu, từ đây ta có:
c
2
L
c
2
T
b
4
− [c
2
L
(c
2
T
− c
2
) + c
2

T
(c
2
L
− c
2
)]b
2
+ (c
2
L
− c
2
)(c
2
T
− c
2
) = 0 . (2.9)
13
Chương 2. Công thức vận tốc sóng Stoneley truyền dọc theo mặt phân
chia của hai bán không gian có liên kết không chặt
Bây giờ chúng ta sẽ chỉ ra rằng nếu (2.8) đúng, thì chúng ta có (xem
[50]):
0 < c < c
T
. (2.10)
Thực vậy, vì các hệ số của phương trình trùng phương (2.9) đối với
X = b
2

là thực, và biệt thức ∆ = [c
2
L
(c
2
T
− c
2
) − c
2
T
(c
2
L
− c
2
)]
2
≥ 0, nên
phương trình (2.9) luôn có hai nghiệm thực, được ký hiệu là X
1
, X
2
, hai
nghiệm này phải dương, nếu không phương trình (2.8) không còn đúng.
Điều này dẫn tới X
1
X
2
> 0, nghĩa là:

(c
2
L
− c
2
)(c
2
T
− c
2
) > 0 . (2.11)
Vì X
1
+X
2
= [c
2
L
(c
2
T
−c
2
)+c
2
T
(c
2
L
−c

2
)]/c
2
L
c
2
T
, nếu (c
2
L
−c
2
) và (c
2
T
−c
2
) là
âm, thì X
1
+ X
2
< 0, điều này không phù hợp với việc X
1
, X
2
là dương.
Vì vậy (c
2
L

− c
2
) và (c
2
T
− c
2
) phải cùng là dương, từ đây suy ra (2.10).
Với điều kiện (2.10), phương trình (2.9) có hai nghiệm thỏa mãn (2.8)
là:
b
1
=

1 −
c
2
c
2
L
, b
2
=

1 −
c
2
c
2
T

, (2.12)
vì vậy, chúng ta có:
u
1
= (A
1
e
−kb
1
x
2
+ A
2
e
−kb
2
x
2
)e
ik(x
1
−ct)
,
u
2
=

−
b
1

i
A
1
e
−kb
1
x
2
+
i
b
2
A
2
e
−kb
2
x
2

e
ik(x
1
−ct)
, (2.13)
với A
1
, A
2
là các hằng số.

Tương tự, các thành phần dịch chuyển u
∗
1
, u
∗
2
được biểu diễn bởi
u
∗
1
= (A
∗
1
e
kb
∗
1
x
2
+ A
∗
2
e
kb
∗
2
x
2
)e
ik(x

1
−ct)
,
u
∗
2
=

b
∗
1
i
A
∗
1
e
kb
∗
1
x
2
−
i
b
∗
2
A
∗
2
e

kb
∗
2
x
2

e
ik(x
1
−ct)
, (2.14)
với Reb
∗
k
> 0 (k = 1, 2), A
∗
1
, A
∗
2
là các hằng số cần xác định.
b
∗
1
=

1 −
c
2
c

∗2
L
, b
∗
2
=

1 −
c
2
c
∗2
T
, (2.15)
và tương tự như phần trên Reb
∗
> 0, từ đó suy ra:
0 < c < c
∗
T
. (2.16)
14
Chương 2. Công thức vận tốc sóng Stoneley truyền dọc theo mặt phân
chia của hai bán không gian có liên kết không chặt
Từ (2.10) và (2.16) chúng ta có kết quả sau:
Mệnh đề 1: Nếu sóng Stoneley tồn tại (điều này dẫn tới Reb >
0, Reb
∗
> 0), thì vận tốc sóng Stoneley phải thỏa mãn điều kiện :
0 < c < min{c

T
, c
∗
T
}. (2.17)
Thay (2.3), (2.13), (2.14) vào điều kiện (2.6) dẫn tới hệ đại số tuyến
tính thuần nhất với các ẩn A
1
, A
2
, A
∗
1
, A
∗
2
. Để tồn tại nghiệm không tầm
thường thì định thức của ma trận các hệ số phải bằng không, dẫn đến
phương trình tán sắc của sóng Stoneley:
c
4
T

4

1 −
c
2
c
2

T

1 −
c
2
c
2
L
− (2 −
c
2
c
2
T
)
2


1 −
c
2
c
2
L
+
ρ
∗
ρ
c
∗4

T

4

1 −
c
2
c
∗2
L

1 −
c
2
c
∗2
T
− (2 −
c
2
c
∗2
T
)
2


1 −
c
2

c
∗2
L
= 0 .
(2.18)
Phương trình tán sắc (2.18) trùng với phương trình tán sắc đã tìm được
bởi Murty [31, 30] bằng cách khác. Chúng ta cũng có thể tìm thấy kết
quả này trong các tài liệu [2, 22]. Từ các dẫn giải trên thì (2.17) and
(2.18) là điều kiện cần để tồn tại sóng Stoneley. Không khó để chứng
minh rằng chúng cũng là điều kiện đủ để tồn tại sóng Stoneley. Vì vậy,
ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 2: Điều kiện cần và đủ để tồn tại sóng Stoneley là (2.17)
và (2.18) đồng thời thỏa mãn.
2.2. Các công thức vận tốc sóng Stoneley
Không mất tính tổng quát chúng ta giả sử rằng c
T
≤ c
∗
T
. Để thuận tiện
cho việc trình bầy ta đưa vào các ký hiệu sau:
x =
c
2
c
2
T
, B =
c
2

T
c
∗2
T
, D =
ρ
ρ
∗
, F =
c
2
T
c
∗2
L
, E =
c
2
T
c
2
L
. (2.19)
Khi đó phương trình (2.18) được viết lại là:
(2 −x)
2
(1 −Fx)
1/2
− 4(1 −x)
1/2

(1 −Ex)
1/2
(1 −Fx)
1/2
+
1
DB
2

(2 −Bx)
2
(1 −Ex)
1/2
− 4(1 −Bx)
1/2
(1 −Fx)
1/2
(1 −Ex)
1/2
] = 0 . (2.20)
Từ (2.17) chúng ta có:
0 < x < 1 . (2.21)
15
Chương 2. Công thức vận tốc sóng Stoneley truyền dọc theo mặt phân
chia của hai bán không gian có liên kết không chặt
Trong mặt phẳng phức C, ((2.20)) trở thành:
(2 −z)
2
√
F


z −
1
F
+ 4
√
EF
√
z − 1

z −
1
E

z −
1
F
+
1
DB
2

(2 − Bz)
2
√
E

z −
1
E

+ 4
√
BEF

z −
1
B

z −
1
F

z −
1
E

= 0 , (2.22)
trong đó các căn bậc hai
√
z − 1,

z − 1/B,

z − 1/E,

z − 1/F
được chọn là các nhánh chính. Với các giá trị thực của z ∈ (0 1),
phương trình (2.22) tương đương với (2.20). Chú ý rằng phương trình
(2.22) luôn luôn có nghiệm thực là z = 0.
Nhân hai vế của (2.22) với

√
z − 1 chúng ta được:
f(z) =: (2 − z)
2
√
F

z −
1
F
√
z − 1 + 4
√
EF (z − 1)

z −
1
E

z −
1
F
(2.23)
+
1
DB
2
(2 − zB)
2
√

E

z −
1
E
√
z − 1 + 4
√
BEF
DB
2

z −
1
B

z −
1
F

z −
1
E
√
z − 1 = 0 .
Vì B ≤ 1 và F < B nên chỉ có ba trường hợp cơ bản:
Trường hợp 1: 1 > B > E > F > 0, Trường hợp 2: 1 > B > F > E > 0
Trường hợp 3: 1 > E > B > F > 0.
Khi ít nhất có một bất đẳng thức được thay bằng đẳng thức ta có
trường hợp đặc biệt. Trước hết ta xét các trường hợp cơ bản.

2.2.1. Trường hợp 1: 1 > B > E > F > 0.
Trước tiên, chúng ta sẽ chứng minh định lý sau:
Định lý 1:
Giả sử 1 > B > E > F . Nếu sóng Stoneley tồn tại thì nó là duy nhất và
vận tốc không thứ nguyên x
s
= c
2
/c
2
T
được xác định bởi công thức sau:
x
s
= −
A
2
A
3
−
1
E
−
ˆ
I
0
, (2.24)
với A
2
, A

3
được xác định bởi (2.55)và :
ˆ
I
0
=
1
π

1/B

1
θ
1
(t)dt +
1/E

1/B
θ
2
(t)dt +
1/F

1/E
θ
3
(t)dt

, (2.25)
trong đó θ

k
(t) được xác định bởi (2.45)-(2.48).
16
Chương 2. Công thức vận tốc sóng Stoneley truyền dọc theo mặt phân
chia của hai bán không gian có liên kết không chặt
Chứng minh:
Ký hiệu L = L
1
∪ L
2
∪ L
3
với L
1
= [1, 1/B], L
2
= [1/B, 1/E], L
3
=
[1/E, 1/F ], S = {z ∈ C, z /∈ L}, N(z
0
) = {z ∈ S : 0 < |z − z
0
| < ε}, ε
là một số dương đủ nhỏ, z
0
là điểm nào đó thuộc mặt phẳng phức C.
Nếu một hàm φ(z) là một hàm chỉnh hình trong miền Ω ⊂ C chúng
ta viết φ(z) ∈ H(Ω). Từ (2.23) không khó để chỉ ra hàm f(z) có những
tính chất sau:

(f
1
) f(z) ∈ H(S) .
(f
2
) f(z) bị chặn trong N(1/F) và N(1) .
(f
3
) f(z) = O(z
3
) khi |z| → ∞.
(f
4
) f(z) liên tục từ bên trái và bên phải của L (xem [32]) với các giá
trị f
+
(t) (giá trị biên phải của f(z)), f
−
(t) (giá trị biên trái của
f(z)) được định nghĩa như sau:
f
±
(t) =














f
±
1
(t), t ∈ L
1
f
±
2
(t), t ∈ L
2
f
±
3
(t), t ∈ L
3
(2.26)
với:
f
+
1
(t) = i

(2 − t)
2

√
F

1
F
− t
√
t − 1 +
√
E
DB
2
(2 − Bt)
2

1
E
− t
√
t − 1
−4
√
BEF
DB
2

1
B
− t


1
F
− t

1
E
− t
√
t − 1

− 4
√
EF (t − 1)

1
E
− t

1
F
− t , (2.27)
f
+
2
(t) = i

(2 − t)
2
√
F


1
F
− t
√
t − 1 +
√
E
DB
2
(2 − Bt)
2

1
E
− t
√
t − 1

−4
√
BEF
DB
2

t −
1
B

1

F
− t

1
E
− t
√
t − 1 − 4
√
EF (t − 1)

1
E
− t

1
F
− t , (2.28)
f
+
3
(t) = i

(2 − t)
2
√
F

1
F

− t
√
t − 1 + 4
√
BEF
DB
2

t −
1
B

1
F
− t

t −
1
E
√
t − 1
+4
√
EF (t − 1)

t −
1
E

1

F
− t

+
√
E
DB
2
(2 − Bt)
2

t −
1
E
√
t − 1 , (2.29)
f
−
k
(t) = f
+
k
(t), k = 1, 2, 3 , (2.30)
17