CÁC DẠNG BÀI TOÁN HƯỚNG DẪN PHÂN BIỆT VÀ ÁP DỤNG MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT

CÁC DẠNG BÀI TOÁN HƯỚNG DẪN PHÂN BIỆT VÀ
ÁP DỤNG MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT
BÀI TOÁN 1: Nhận biết biến cố hợp, biến cố xung khắc, biến cố đối, biến
cố giao, biến cố độc lập, hệ biến cố đầy đủ
Đây là bước đầu tiên xác định giả thiết trong bài toán tính xác suất, nếu
không phân biệt kỹ và hiểu kỹ thì không giải quyết được bài toán, hoặc sẽ bị
nhầm lẫn khi áp dụng quy tắc tính xác suất.
Bài 1: Chọn ngẫu nhiên một sinh viên của lớp CĐ LNK8 trường cao đẳng KT –
KT Quảng Nam. Gọi A là biến cố “Sinh viên đó biết nói tiếng Anh” và B là biến
cố “Sinh viên đó biết nói tiếng Nga”.
a. A và B có phải là hai biến cố xung khắc hay không?
b. Biến cố A  B là gì?
Hướng dẫn
a. A và B là hai biến cố không xung khắc vì một sinh viên có thể vừa nói
được tiếng Anh vừa nói được tiếng Nga.
b. Biến cố A  B là “ Sinh viên đó biết nói tiếng Anh, hoặc tiếng Nga,
hoặc nói được cả hai tiếng Anh và Nga”.
Bài 2: Gieo một con súc sắc hai lần liên tiếp. Gọi A là biến cố “ lần gieo thứ
nhất được số chấm trên mặt con súc sắc là chẵn”, B là biến cố “ lần gieo thứ hai
được số chấm trên mặt con súc sắc là lẻ”.
a. Hai biến cố A và B độc lập hay không ?
b. Giao của hai biến cố A và B là biến cố gì ?
Hướng dẫn
a. Hai biến cố A và B độc lập vì khi gieo súc sắc hai lần liên tiếp thì việc
xảy ra hay không xảy ra mặt có số chấm chẵn ở lần gieo thứ nhất cũng không
làm ảnh hưởng tới việc xảy ra hay không xảy ra mặt có số chấm lẻ ở lần gieo
thứ hai.
b. Giao của hai biến cố A và B là biến cố “lần gieo thứ nhất được số chẵn
và lần thứ hai được số lẻ”
1

Bài 3: Gieo 3 hạt giống 1, 2, 3. Gọi Ai là biến cố “hạt giống i nảy mầm”;

Ai

là biến cố “hạt giống i không nảy mầm” (i = 1, 2, 3); Bj là biến cố “có j hạt nảy
mầm” (j = 0, 1, 2, 3).
a. Các biến cố Ai có độc lập hay không?
b. Các biến cố Bj có tạo thành hệ đầy đủ không?
c. Hai biến cố B1 và B2 có đối lập không?
d. Biểu diễn quan hệ giữa biến cố Bj với các biến cố Ai và Ai .
Hướng dẫn
a. Khi gieo ba hạt giống thì sự nảy mầm hay không nảy mầm của hạt giống
1 cũng không làm ảnh hưởng đến sự nảy mầm hay không nảy mầm của hạt
giống 2 và 3, tương tự như vậy đối với hai hạt giống 2, 3. Như vậy các biến cố
A1, A2 và A3 độc lập với nhau từng đôi một và độc lập trong toàn thể.
b. Khi gieo ba hạt giống thì hoặc cả ba hạt đều không nảy mầm (B0), hoặc
có một hạt trong số đó nảy mầm (B1), hoặc có hai hạt nảy mầm (B2), hoặc cả ba
hạt đều nảy mầm(B3); những trường hợp này không xảy ra đồng thời khi tiến
hành gieo 3 hạt giống, vì vậy mà: B0  B1 = B1  B2 = B2  B3 = B3  B0 = 
hay các biến cố Bj đôi một xung khắc.
Ngoài ra, ta thấy rằng: ngoài các trường hợp có thể xảy ra ở trên khi gieo 3
hạt giống thì không còn trường hợp nào khác, hay: B0  B1  B2  B3 = .
Vậy, các biến cố Bj (j = 0,3 ) tạo thành một hệ đầy đủ.
c. Hai biến cố B1 và B2 xung khắc với nhau, nhưng B1 = {B0, B2, B3}  B2,
nên B1 và B2 không đối lập.
d. Ta có:
B0 = A1 . A2 . A3
B1 = A1. A2 . A3 + A1 .A2. A3 + A1 . A2 .A3
B2 = A1.A2. A3 + A1. A2 .A3 + A1 .A2.A3

B3 = A1.A2.A3
2


Bài 4: Trong phòng có 4 máy vi tính hoạt động độc lập. Kí hiệu Ai (i = 1, 2, 3,
4) là biến cố máy vi tính i hoạt động tốt. Hãy viết các biến cố sau đây:
a. Có đúng 1 máy vi tính hoạt động tốt;
b. Có đúng 3 máy vi tính hoạt động tốt;
c. Có ít nhất 1 máy vi tính hoạt động tốt;
d. Không có máy vi tính nào hoạt động tốt.
Hướng dẫn
Ta có Ai (i = 1, 2, 3, 4) là biến cố máy vi tính i hoạt động tốt;

Ai (i = 1, 2, 3, 4) là biến cố máy vi tính i hoạt động không tốt (biến cố đối
lập của Ai); vì các máy vi tính hoạt động độc lập nên các Ai, Ai : độc lập
Nếu gọi:
a. A là biến cố có đúng 1 máy vi tính hoạt động tốt, thì:
A = A1. A2 . A3 . A4 + A1 .A2. A3 . A4 + A1 . A2 .A3. A4 + A1 . A2 . A3 .A4
b. B là biến cố có đúng 3 máy vi tính hoạt động tốt, thì:
B = A1.A2.A3. A4 + A1.A2. A3 .A4 + A1. A2 .A3.A4 + A1 .A2.A3.A4
c. C là biến cố có ít nhất 1 máy vi tính hoạt động tốt, thì:
C = A1 + A2 + A3 + A4 = A1 . A2 . A3 . A4
d. D là biến cố không có máy vi tính nào hoạt động tốt, thì:
D = A1. A2 . A3 . A4 = C
Nhận xét: Khi xác định các biến cố độc lập hay xung khắc thông thường dựa
vào các khái niệm hoặc thực tế việc xảy ra của biến cố. Nhưng cũng có những
bài toán xác định được điều đó phải dựa vào quy tắc tính xác suất, dưới đây là
ví dụ minh hoạ
2
5

Bài 5: Cho P( A)  ; P( B ) 

5
1
; P( AB )  . Hỏi hai biến cố A và B có:
12
6

a. Xung khắc hay không?
b. Độc lập với nhau hay không?
Hướng dẫn
3


a. Vì P( AB ) 

1
 0 nên A và B không xung khắc.
6
2 5 1
  P( AB)
5 12 6

b. Vì P( A) P( B )  

Vậy A và B là hai biến cố độc lập.
Bài 6: Tung 2 con súc sắc. Gọi A là biến cố “số chấm trên súc sắc 1 chia hết cho
số chấm trên súc sắc 2”, B là biến cố “tổng số chấm trên 2 súc sắc là một số
chẵn”. Hỏi A và B có độc lập nhau không, có xung khắc nhau không?

Hướng dẫn
Số trường hợp đồng khả năng là C61  C61  36
Số kết quả xảy ra biến cố A là 14
(6,1),(6, 2), (6,3), (6, 6), (5,1), (5, 5), (4,1)

(4, 2), (4, 4), (3,1),(3,3), (2,1), (2, 2), (1,1) 

A= 

Số kết quả xảy ra biến cố B là 18
(6, 2), (6, 4), (6,6), (5,1),(5,3), (5,5), (4, 2), (4, 4), (4, 6) 

(3,1), (3,3), (3,5),(2, 2), (2, 4), (2, 6), (1,1), (1, 3), (1,5) 

B= 
Ta có:

14
7
 
36 18 
  P( A / B)  P( A) . Vậy A, B không độc lập.
10 
P( A / B) 
18 
P( A) 

AB = (6, 2),(6,6),(5,1),(5,5), (4, 2),(4, 4), (3,1), (3,3), (2, 2),(1,1) , AB ≠ 
Vậy A, B không xung khắc.
Nhận xét: Để nhận biết biến cố hợp, biến cố xung khắc, biến cố đối, biến cố

giao, biến cố độc lập, hệ biến cố đầy đủ cần:
- Nắm vững các khái niệm về quan hệ giữa các biến cố, điều kiện xảy ra
biến cố.
- Phân tích kỹ thực tế bài toán, dựa theo diễn biến sự việc xảy ra dự kiến và
gọi tên cho các biến cố liên quan cần vận dụng để biểu biễn mối quan hệ giữa
chúng.

4


BÀI TOÁN 2: Sử dụng định nghĩa cổ điển của xác suất giải các bài toán
tính xác suất.
Định nghĩa cổ điển của xác suất cho ta công thức tính xác suất của một
biến cố trong trường hợp khả năng xuất hiện của mỗi biến cố sơ cấp là như
nhau (đồng khả năng xảy ra, không gian biến cố sơ cấp được phân bố đều), và
thường áp dụng để tính cho một biến cố riêng lẻ nào đó. Để giải các bài toán
này, ta cần phải xác định được không gian mẫu và số kết quả thuận lợi cho sự
xuất hiện của biến cố. Tùy theo thực tế bài toán ta có thể chia thành 2 dạng:
Dạng 1. Các bài toán xác suất có không gian mẫu được mô tả cụ thể :
Các bài toán dạng này có không gian mẫu với số kết quả hữu hạn, mang
tính rời rạc và không nhiều, ta dùng phương pháp liệt kê để liệt kê và đếm số
các kết quả có thể cũng như số kết quả thuận lợi.
Bài 1: Giả sử một gia đình có 3 con. Khi đó xác suất để gia đình đó có 2 con
trai, 1 con gái là bao nhiêu?
Hướng dẫn
Chúng ta có thể lập mô hình xác suất với 4 sự kiện thành phần: 3 trai, 2 trai
1 gái, 1 trai 2 gái, 3 gái. Thế nhưng 4 sự kiện thành phần đó không “cân bằng”
với nhau, và bởi vậy không kết luận được rằng xác suất của “2 trai 1 gái” là 1/4.
Để có không gian mẫu, ta có thể lập mô hình xác suất với 8 sự kiện thành phần
(n() = 8) như sau:

{TTT, TTG, TGT, TGG, GTT, GTG, GGT, GGG}.
(Chẳng hạn, GGT có nghĩa là con thứ nhất là con gái, con thứ hai là con gái, con
thứ ba là con trai). Sự kiện “2 trai một gái” là hợp của 3 sự kiện thành phần
trong mô hình xác suất này: TTG, TGT,GTT (tương ứng n(A) = 3). Như vậy
xác suất của nó bằng 3/8.
Bài 2:
1. Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất để :
a. Tổng số chấm xuất hiện trên hai con là 9.
b. Số chấm xuất hiện trên hai con hơn kém nhau là 2

5


2. Gieo đồng thời ba con súc sắc. Tính xác suất để tổng số chấm xuất hiện
trên ba con là 10.
Hướng dẫn
1. Gọi Ω là tập hợp tất cả các khả năng xảy ra. Vì có hai con súc sắc, mỗi con
có sáu khả năng xuất hiện nên : n() = 6.6 = 36.
a. Gọi A là biến cố” tổng các chấm xuất hiện trên hai con súc sắc là 9”.
Khả năng thuận lợi là: (3;6), (4;5), (6;3), (5;4) nên có n( A ) = 4.
Từ đó ta có P( A) 

4 1
n ( A )
=

36 9
n()

b. Gọi B là biến cố “tổng các chấm xuất hiện trên hai con súc sắc hơn kém

nhau là 2”. Các khả năng thuận lợi là: (1;3), (2;4),(3;5),(4;6), (3;1), (4;2), (4;2),
(6;4) nên có n( B ) = 8
Từ đó ta có P( B ) 

8 2
n ( B )
=

36 9
n ( )

2. Gọi Ω là tập hợp tất cả các khả năng xảy ra. Vì có ba con súc sắc, mỗi con
có sáu khả năng xuất hiện nên : n () = 6.6.6 = 216
Gọi C là biến cố “tổng các chấm xuất hiện trên ba con súc sắc là 10”. Các
khả năng thuận lợi của C là chính là các tổ hợp có tổng bằng 10 sau đây: (1;3;6),
(1;4;5),(2;3;5),(2;2;6), (2;3;5), (3;3;4) và các hoán vị của các tổ hợp ấy.
Do vậy n(C ) = 6 + 6 + 3 + 6 + 3 = 24.
Để ý rằng (1;3;6), (1;4;5),(2;3;5),(2;3;5) thì mỗi tập có 6 hoán vị, còn
(2;2;6), (3;3;4) thì mỗi tập có ba hoán vị. Vậy nên: P(C ) 

24 1
n(C )

=
216 9
n()

Nhận xét: Để giải các bài toán về tính xác suất có không gian mẫu được mô tả
cụ thể cần:
- Liệt kê các phần tử của không gian mẫu, đếm số phần tử của không gian

mẫu.
- Liệt kê các khả năng thuận lợi của biến cố, tính số khả năng thuận lợi của
biến cố.
- Thay vào công thức tính xác suất.
6


Dạng 2. Các bài toán tính xác suất có không gian mẫu được mô tả trừu
tượng hơn:
Để tính xác suất các biến cố theo phương pháp cổ điển đòi hỏi phải tính số
các trường hợp thuận lợi đối với biến cố và số các trường hợp có thể. Ở dạng
này không gian biến cố sơ cấp cũng hữu hạn nhưng được mô tả trừu tượng hơn,
số các kết quả nhiều hơn nên dễ bị thiếu sót và khó khăn để liệt kê. Vì vậy cần
nắm vững các phương pháp giải tích tổ hợp để vận dụng tính trong trường hợp
này. Điều khó khăn là phải biết sử dụng đúng các công thức với thực tế bài
toán.
Bài 1: Một người gọi điện thoại quên mất hai số cuối của số điện thoại và chỉ
nhớ được rằng chúng khác nhau. Tìm xác suất để quay ngẫu nhiên một lần được
đúng số cần gọi.
Hướng dẫn
Gọi A là biến cố “quay ngẫu nhiên một lần được đúng số cần gọi”.
Số các trường hợp có thể là số các cặp hai chữ số khác nhau từ 10 chữ số từ
0 đến 9. Nó bằng số các chỉnh hợp 10 chập 2. Vậy số các kết quả có thể là n()
2
= A10  10.9  90 .

Số các kết quả thuận lợi của A là n(A) = 1. Do đó: P ( A) 

1
.

90

Bài 2: Một công ty cần tuyển 3 nhân viên. Có 10 người nộp đơn trong đó có 4
nữ và 6 nam. Giả sử khả năng trúng tuyển của cả 10 người là như nhau. Tính
xác suất biến cố:
a. Ba người trúng tuyển là nữ.
b. Có hai người nam trúng tuyển.
Hướng dẫn
Phép thử T: “Chọn ngẫu nhiên 3 người từ 10 người nộp đơn”. Vì khả năng
trúng tuyển của 10 người như nhau và việc tuyển 3 nhân viên là ngẫu nhiên
không xét đến vị trí tuyển dụng nên số phần tử của không gian mẫu là một tổ
3
hợp chập 3 của 10 phần tử n( )  C10

7


a. Gọi A: biến cố “Ba người trúng tuyển là nữ”.

C 43

Số kết quả thuận lợi của A là: n( A) =

C43
1
Xác suất của A: P ( A)  3 
C10 30
b. Gọi B: biến cố “Hai người nam trúng tuyển”. Để tuyển chọn 2 nam và 1
nữ ta phải thực hiện 2 công đoạn liên tiếp:
Công đoạn 1: Chọn 2 nam từ 6 nam có

Công đoạn 2: Chọn 1 nữ từ 4 nữ có

C62

C41

Số kết quả thuận lợi của B là: n(B) =

C62 .C41

C62 .C41 1

Xác suất của B: P ( B ) 
C103
2
Bài 3: Một hộp đựng 12 hạt giống, trong đó có 5 hạt giống cây loại A. Lấy ngẫu
nhiên có thứ tự không hoàn lại 3 hạt ra để ươm. Tìm xác suất để:
a. 3 hạt lấy ra đều là giống cây loại A.
b. 3 hạt lấy ra đều không phải cây loại A
c. Chỉ có hạt lấy ra lần thứ hai là hạt cây loại A.
Hướng dẫn
Do lấy có thứ tự không hoàn lại nên số trường hợp đồng khả năng là
n() = A123

a. Gọi B: biến cố “3 hạt lấy ra đều là loại A”
Số trường hợp thuận lợi cho biến cố B: n( B ) = A53
n ( B ) A53
Xác suất của B: P( B ) 

n () A123

b. Gọi E: biến cố “3 hạt lấy ra đều không phải cây loại A”
Số trường hợp thuận lợi cho biến cố E: n( E ) = A73

8


Xác suất của E: P( E ) 

n( E ) A73

n() A123

c. Gọi D: biến cố “Chỉ có hạt lấy ra lần thứ hai là hạt cây loại A.”
Số trường hợp thuận lợi cho biến cố D: hạt lấy ra lần 1 không phải loại A,
lần 2 là loại A, lần 3 không là hạt loại A: n( D ) = C71  C51  C61
n( D ) C71  C51  C61
Xác suất của D: P( D) 

n ( )
A123

Bài 4: Có 4 hành khách lên một đoàn tàu gồm 4 toa. Mỗi hành khách độc lập
với nhau và chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để 1 toa có 3 người, 1 toa có
1 người, 2 toa còn lại không có ai.
Hướng dẫn
Phép thử T: “Xếp 4 hành khách lên một đoàn tàu 4 toa”. Số phần tử của
không gian mẫu: Mỗi hành khách có 4 cách chọn toa nên có

4 4 cách xếp 4

4
người lên một đoàn tàu 4 toa  n()  4 .

Xét biến cố A: “1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai.”
Xét 2 công đoạn liên tiếp:
- Chọn 3 hành khách trong 4 hành khách, chọn 1 toa trong 4 toa và xếp lên
toa đó 3 hành khách vừa chọn  C43 .C41  16
- Chọn 1 toa trong 3 toa còn lại và xếp lên toa đó 1 một hành khách

 C31  3
Số kết quả thuận lợi của A là: n( A )  16.3  48
Xác suất của A: P ( A) 

48 3

4 4 16

Bài 5: Một nhóm gồm 5 người đàn ông, 4 người phụ nữ và 1 đứa bé xếp vào 1
bàn dài. Tính xác suất để:
a. Đứa bé ở giữa 2 người đàn ông.
b. Mỗi nhóm ngồi cạnh nhau.
c. 4 người phụ nữ ngồi xen kẽ giữa 5 người đàn ông.
9


Hướng dẫn
Gọi Ω là tập hợp các cách xếp chỗ ngồi cho 10 người
n()  10!  3628800

a. Gọi A là biến cố “đứa bé ở giữa 2 người đàn ông”
- Chọn vị trí đứa bé: 8 cách
- Chọn 2 người đàn ông ngồi 2 bên đứa bé: C52  10 cách
- Hoán vị 2 người đàn ông đó: 2! = 2 cách.
- Chọn chỗ cho 7 người còn lại: 7! = 5040
Có 80640 cách chọn, n( A )  80640 . Vây ta có: P  A  

80640 1

10!
45

b. Gọi B là biến cố “mỗi nhóm ngồi cạnh nhau”
- Chọn vị trí cho 3 nhóm: 3! = 6 cách.
- Hoán vị 5 người đàn ông: 5! =120 cách.
- Hoán vị 4 người phụ nữ: 4! = 24 cách
Nên có 172080 cách xếp. n( B )  17280

PB 

17280
1

10!
210

c. Gọi C là biến cố “4 người phụ nữ ngồi xen kẽ 5 người đàn ông”
- Chọn vị trí cho đứa bé: 2 cách
- Hoán vị 5 người đàn ông: 5! = 120 cách
- Hoán vị 4 người phụ nữ: 4! = 24 cách

Nên có 5760 cách xếp, n(C )  5760 . Vậy P  C  

5760
1

10! 630

Nhận xét: Để tính được số phần tử của không gian mẫu được mô tả trừu tượng
hơn cần phân tích đề bài và vận dụng toán Tổ hợp. Lưu ý phân biệt dùng công
thức tổ hợp và chỉnh hợp: Ta để ý rằng cả 2 dạng công thức cũng đều lấy không
hoàn lại k phần tử từ n phần tử cho trước nhưng đối với tổ hợp thì k phần tử lấy
ra không có thứ tự, còn chỉnh hợp thì trong k phần tử lấy ra có thứ tự (trước
sau, trên dưới, đầu cuối, trong ngoài, ...). Ngoài ra, nếu k phần tử lấy ra có thứ
tự và hoàn lại thì ta dùng chỉnh hợp lặp.
10


BÀI TOÁN 3: Áp dụng các quy tắc tính xác suất
Việc tính xác suất của một biến cố không chỉ mô tả tìm được không gian
mẫu, không gian các kết quả thuận lợi của nó mà có những bài toán, để tính
được xác suất yêu cầu sinh viên phải biết cách sử dụng khái niệm biến cố, phân
biệt được quan hệ giữa các biến cố trong bài toán và phải biểu diễn được quan
hệ giữa các biến cố cần tìm xác suất với các biến cố khác. Khi chưa phân biệt
được thì việc tính toán sẽ khó khăn, sinh viên không thể tiếp cận đến công thức
tính xác suất được.
1. Sử dụng quy tắc cộng xác suất trong các bài toán tính xác suất:
Để bắt đầu giải toán xác suất theo quy tắc ta cần quan sát và gọi tên cho
các biến cố để biểu diễn quan hệ. Khi sử dụng quy tắc cộng chúng ta cần hiểu rõ
một biến cố tổng xảy ra khi nào và phân tích xem giữa các biến cố có sự xung
khắc, độc lập với nhau hay không. Những bài toán dạng này ta thường hay bắt

gặp từ “ít nhất” trong yêu cầu của nó.
Bài 1: Gieo một con súc sắc cân đối, gọi A là biến cố “mặt trên có 1 chấm hoặc
2 chấm hoặc 3 chấm” và B là biến cố “mặt trên có 3 chấm hoặc 4 chấm hoặc 5
chấm”. Xác định các xác suất: P( A), P( B), P( A  B), P( A  B), P( A), P( B ).
Hướng dẫn
Ta có A = { 1, 2, 3 } , B = { 3, 4, 5 }.
Do đó A  B  1, 2,3, 4,5 và AB = {3}
Nên P ( A) 

5
3 1
3 1
1
 , P( B)   , P( A  B)  , P( A  B) 
6 2
6 2
6
6

hoặc áp dụng quy tắc cộng xác suất, ta cũng tính được:

P( A  B)  P( A)  P( B )  P( A  B) 

P ( A)  1  P ( A) 

1 1 1 5
  
2 2 6 6

1

1
và P ( B )  1  P ( B ) 
2
2

Bài 2: Một lớp có 60 sinh viên, trong đó có 20 sinh viên giỏi Anh Văn, 15 sinh
viên giỏi Nga Văn, 10 sinh viên giỏi cả hai ngoại ngữ. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh
viên trong lớp. Tính xác suất:
11


a. Sinh viên này giỏi ít nhất một ngoại ngữ.
b. Sinh viên này không giỏi ngoại ngữ nào hết.
c. Sinh viên này chỉ giỏi Anh Văn.
d. Sinh viên này chỉ giỏi đúng 1 ngoại ngữ.
Hướng dẫn
Gọi A : biến cố sinh viên này giỏi Anh văn
B : biến cố sinh viên này giỏi Nga văn
Theo đề ta có: P ( A) 

20 1
15 1
10 1
 ; P( B )   ; P( AB)  
60 3
60 4
60 6

a. Gọi C : biến cố sinh viên này giỏi ít nhất 1 ngoại ngữ

1 1 1
5
P (C )  P ( A  B )  P ( A)  P ( B )  P ( AB )    
3 4 6 12
b. Gọi D : biến cố sinh viên này không giỏi ngoại ngữ nào

P ( D)  P ( A . B )  P ( A  B)  P(C ) 1  P (C )  1 

5 7

12 12

c. Gọi E : biến cố sinh viên này chỉ giỏi Anh văn

P ( E )  P ( A . B )  P ( A)  P ( AB ) 

1 1 1
 
3 6 6

d. Gọi F : biến cố sinh viên này chỉ giỏi đúng 1 ngoại ngữ

P ( F )  P ( A . B  A.B)  P( A.B )  P ( A.B )  P ( A)  P ( B )  2 P ( AB )
1 1
1 1
   2. 
3 4
6 4
Bài 3: Một hộp đựng 7 bi trắng, 8 bi đen. Lấy ngẫu nhiên cùng một lúc ra 5 bi.
Tính xác suất lấy được:

a. ít nhất 1 bi trắng.
b. nhiều nhất 2 bi đen.
Hướng dẫn
Gọi Bi ( i  0;5 ): biến cố “lấy được i bi trắng”.
Số các trường hợp có thể xảy ra:

C155

a. Gọi E: biến cố “lấy được ít nhất 1 bi trắng”.
E = B1 + B2 + B3 + B4 + B5 = B0
12


Vì khi lấy 5 bi thì hoặc lấy được hoặc 5 đen, hoặc 1 trắng 4 đen, ..., hoặc 5
trắng nên các biến cố Bi không đồng thời xảy ra.

P( E )  P ( B1 )  P ( B2 )  P( B3 )  P( B4 )  P( B5 )
C85
 1  P( B0 )  1  5
C15
b. Gọi F: biến cố “lấy được nhiều nhất 2 bi đen”.
Ta có: F = B3 + B4 + B5

P( F )  P( B3 )  P( B4 )  P ( B5 ) 

C82C73 C81C74 C80C75
 5  5
C155
C15
C15

Bài 4: Trong một lớp học có 6 bóng đèn, mỗi bóng có xác suất bị cháy là

1
.
4

Lớp học có đủ ánh sáng nếu ít nhất 4 bóng đèn sáng. Tìm xác suất để lớp học có
đủ ánh sáng.
Hướng dẫn
Gọi Ai lần lượt là biến cố “lớp học có i bóng đèn sáng”, i = 4, 5, 6. Mỗi bóng
có xác suất sáng là

3
. Ta có:
4
4

2

5

6

3
1
3
1
3
P(A4) = C     ; P(A5)= C65     ; P(A6) =   .

4 4
4 4
4
4
6

Gọi B là biến cố lớp có đủ ánh sáng . Ta có : B = A4 + A5 + A6.
Các biến cố Ai không xảy ra đồng thời nên:
P(B) = P(A4) + P(A5) + P(A6) = 0,8305.
Nhận xét: Để giải bài toán áp dụng quy tắc cộng xác suất, ta cần:
- Gọi tên các biến cố thành phần có liên quan;
- Gọi tên biến cố cần tìm xác suất.
- Sử dụng biến cố tổng, biểu diễn biến cố cần tìm xác suất với các biến cố liên
quan; cần phân tích kỹ bài toán để đưa ra mối quan hệ này (thường có ít nhất
một trong các biến cố xảy ra, hoặc biến cố này hoặc biến cố kia xảy ra).
- Kiểm tra tính xung khắc của các biến cố, tính các xác suất thành phần và áp
dụng quy tắc cộng để tính xác suất theo yêu cầu.
13


2. Sử dụng xác suất có điều kiện và quy tắc nhân xác suất:
Xác suất của một biến cố có thể phụ thuộc vào nhiều yếu tố, điều kiện khác
nhau nào đó mà có thể được nói ra hoặc không nói ra (điều kiện hiểu ngầm). Để
chỉ ra một cách cụ thể hơn về việc xác suất của một sự kiện A nào đó phụ thuộc
vào một điều kiện B nào đó ra sao, ta sử dụng xác suất có điều kiện.
Bài 1: Một lớp học có 30 sinh viên, trong đó có 17 bạn nữ và 13 bạn nam. Có 3
bạn tên là Thanh, trong đó có 1 bạn nữ và 2 bạn nam. Thầy giáo gọi ngẫu nhiên
1 bạn lên bảng. Tìm xác suất để:
a. Bạn đó có tên là Thanh.
b. Bạn đó có tên là Thanh, nhưng với điều kiện “đó là bạn nữ”.

c. Nếu thầy giáo gọi 1 bạn có tên là Thanh lên bảng, thì xác suất để bạn đó
là bạn nữ là bao nhiêu ?
Hướng dẫn
Gọi A : biến cố “tên là Thanh”
B : biến cố “nữ”.
Không gian xác suất Ω có 30 phần tử, A có 3 phần tử, B có 17 phần tử, và
A ∩ B có 1 phần tử.
a. Xác suất để sinh viên được gọi có tên là Thanh, tức là người được gọi chỉ
cần có tên là Thanh không cần biết đó là nam hay nữ:
P(A) =

3 1

30 10

b. Xác suất để bạn được gọi có tên là Thanh, nhưng với điều kiện “đó là
bạn nữ”

1
P( A  B)
1
P( A / B) 
 30 
17
P( B)
17
30
c. Xác suất để bạn được gọi là nữ có tên là Thanh.
Trong 3 bạn Thanh có 1 bạn là nữ, bởi vậy xác suất là 1/3.
14

Hoặc sử dụng công thức P(A ∩ B) = P(A).P(B/A) với xác suất có điều

1
P( A  B)
30 1
kiện, ta cũng có P ( B / A)  P ( A)  3  3 .
30
Bài 2: Có 40 phiếu thi Toán, mỗi phiếu chỉ có một câu hỏi, trong đó có 13 câu
hỏi lý thuyết (gồm: 5 câu hỏi khó, 8 câu hỏi dễ) và 27 câu hỏi bài tập (gồm: 12
câu hỏi khó, 15 câu hỏi dễ). Rút ngẫu nhiên một phiếu thi. Tìm xác suất rút được
câu lý thuyết khó.
Hướng dẫn
Gọi A là sự kiện rút được câu lý thuyết và B là sự kiện rút được câu khó. Dễ
thấy P( A) 

13
17
5
, P ( B )  , P( AB)  .
40
40
40

Nếu biết B đã xảy ra (nghĩa là câu hỏi rút được là một trong số 17 câu khó) thì
xác suất để câu hỏi đó là lý thuyết (tức là câu hỏi đó là một trong số 5 câu hỏi lý
thuyết khó) chính là xác suất có điều kiện của sự kiện A khi điều kiện B đã xảy
ra.
Vậy P( A / B ) 

P( AB ) 5 / 40
5
13


trong khi P( A)  .
P ( B ) 17 / 40 17
40

Bài 3: Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối. Tính xác suất để tổng số chấm
xuất hiện trên hai con súc sắc  10, nếu biết rằng có ít nhất một con đã ra nốt 5.
Hướng dẫn
Gọi A là biến cố ít nhất một con ra nốt 5.
2

 5  11
P ( A)  1  P ( A)  1     .
 6  36

Gọi B là biến cố tổng số chấm trên hai con  10, các trường hợp xảy ra B =
{(4; 6), (6; 4), (5; 5), (5; 6), (6;5), (6; 6)}.
Biến cố AB có 3 trường hợp xảy ra {(5; 5), (5; 6), (6;5)}, có xác suất:

P ( AB ) 

3
P ( AB) 3 / 36 3

 .

. Vậy xác suất cần tìm là: P( B / A) 
36
P ( A) 11/ 36 11

15


Những bài toán xảy ra xác suất có điều kiện thường đi kèm với việc sử dụng
dụng quy tắc nhân xác suất, khi gặp bài toán dạng này ta cần lưu ý đến sự độc
lập hay phụ thuộc của biến cố để vận dụng công thức đúng.
Bài 4: Chọn ngẫu nhiên một lá bài trong cỗ bài 52 lá, ghi nhận kết quả rồi trả lại
lá bài trong cỗ bài và rút một lá bài khác. Tính xác suất để được lá bài là bích và
lá bài là cơ.
Hướng dẫn
Gọi A là biến cố “chọn lá bài thứ nhất là bích”
B là biến cố “chọn được lá bài thứ hai là cơ”
Ta biết A và B là hai biến cố độc lập vì ta trả lại lá bài thứ nhất trước khi rút
lá bài thứ hai. Do đó xác suất cần tìm là: P(AB) = P(A).P(B)
Mà P(A) =

1
1
1 1
và P(B) = . Vậy P(AB) =
.
52
52
52 52

Bài 5: Một thủ kho có một chùm chìa khóa gồm 9 chiếc, bề ngoài chúng giống

hệt nhau nhưng trong đó chỉ có đúng 2 chiếc mở được kho. Anh ta thử ngẫu
nhiên từng chìa (chìa nào không trúng thì bỏ ra). Tính xác suất để mở được kho
ở lần thứ ba.
Hướng dẫn
Gọi Ai là biến cố “thử đúng chìa ở lần thứ i”. Lần thử sau được thực hiện hay
không phụ thuộc vào lần thử trước đó có thành công hay không và do chìa nào
không trúng thì bỏ ra nên xác suất cần tìm là:

7 6 2 1
P ( A1. A2 . A3 )  P ( A1 ).P ( A2 / A1 ).P ( A3 / A1 A2 )  . .  .
9 8 7 6
Bài 6: Có 12 hộp sữa trong đó có 3 hộp hư, được chia làm 3 gói mỗi gói 4 hộp.
Tính xác suất để trong mỗi gói đều có một hộp hư.
Hướng dẫn
Gọi Ai là biến cố “gói thứ i có một hộp hư” và B là biến cố cần tìm xác suất.
Để trong mỗi gói đều có hộp hư thì các biến cố Ai phải xảy ra đồng thời. Áp
dụng quy tắc nhân ta có:

16


C31  C93 C21  C63 C11  C33
P(B)  P( A1.A2.A3 )  P( A1).P( A2 / A1).P( A3 / A1 A2 ) 
.
.
C124
C84
C44
Bài 7: Xạ thủ A bắn 2 viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng của A trong
một lần bắn là

7
. Xạ thủ B bắn 3 viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng của
10

B trong một lần bắn là

9
. Tính xác suất để mục tiêu không trúng đạn.
10
Hướng dẫn

Gọi A1 là biến cố xạ thủ A bắn trượt lần bắn thứ nhất thì P ( A1 ) 

3
10

Gọi A2 là biến cố xạ thủ A bắn trượt lần bắn thứ hai thì P ( A 2 ) 

3
10

 A1, A2 là hai biến cố độc lập

A  A1  A2 là biến cố xạ thủ A bắn trượt cả hai lần bắn
P ( A )  P ( A1 ).P ( A2 )  (

3 2
)
10

Tương tự: B  B1  B2  B3 là biến cố xạ thủ B bắn trượt cả ba lần bắn
1
P ( B )  P ( B1 ). P ( B2 ) P ( B3 )  ( ) 3
10
A, B là độc lập, A  B là biến cố cả xạ thủ A và xạ thủ B đều bắn trượt
hay A  B là biến cố “Mục tiêu không trúng đạn”. Vậy xác suất cần tìm:

32
P ( A  B )  P ( A).P ( B )  5
10
Nhận xét: Để giải bài toán áp dụng quy tắc nhân xác suất, ta cần:
- Gọi tên các biến cố thành phần có liên quan;
- Gọi tên biến cố cần tìm xác suất.
- Sử dụng biến cố tích, biểu diễn biến cố cần tìm xác suất với các biến cố liên
quan; cần phân tích kỹ bài toán để đưa ra mối quan hệ này (thường bài toán

17


gồm nhiều giai đoạn có sự liên kết với nhau, hoặc khi tất cả biến cố liên quan
đều xảy ra một cách đồng thời).
- Kiểm tra tính độc lập của các biến cố, tính các xác suất thành phần và áp
dụng quy tắc nhân để tính xác suất theo yêu cầu.
3. Sử dụng kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân trong bài toán xác suất:
Trong công thức cộng xác suất lại xuất hiện xác suất của biến cố tích, nếu
các biến cố xung khắc thì xác suất của biến cố tích đó bằng 0. Tuy nhiên có
nhiều trường hợp không có sự xung khắc thì ta phải áp dụng quy tắc nhân để
tính xác suất của biến cố tích này. Ngoài ra, có những bài toán chúng ta phải sử
dụng kết hợp quy tắc nhân và cộng để tìm xác suất của một biến cố nào đó.

Bài 1: Một chàng trai viết thư cho 3 cô bạn gái, vì đãng trí nên bỏ các thư vào
các phong bì một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để có ít nhất một cô nhận được
đúng thư viết cho mình.
Hướng dẫn
Nếu gọi Ai (i = 1, 2, 3) là sự kiện cô thứ i nhận đúng thư của mình. Khi đó sự
kiện B có ít nhất một cô nhận được đúng thư viết cho mình biểu diễn bằng A1 +
A2 + A3, và áp dụng công thức cộng xác suất ta có:

P( B)  P( A1  A2  A3 )
 P( A1 )  P( A2 )  P( A3 )  P( A1 A2 )  P( A2 A3 )  P ( A3 A1 )  P ( A1 A2 A3 )
 P( A1 )  P( A2 )  P( A3 )  P( A1 ) P( A2 / A1 )  P ( A2 ) P ( A3 / A2 )
 P( A3 ) P( A1 / A3 )  P( A1 ) P( A2 / A1 ) P( A3 / A1 A2 )
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2
    .  .  .  . . 
3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 2 1 3
Bài 2: Một hộp đựng hạt giống trong đó có 12 hạt loại A và 8 hạt loại B. Chọn
ngẫu nhiên có thứ tự không hoàn lại 3 hạt để gieo vào 3 vị trí khác nhau. Tìm
xác suất để có:
a. Đúng 1 hạt loại B được gieo.
b. Ít nhất 1 hạt loại B được gieo.
Hướng dẫn

18


Thay vì sử dụng định nghĩa cổ điển để tính xác suất, ta có thể gọi: H i là biến
cố hạt lấy ra lần thứ i là hạt loại B.
a. Gọi E là biến cố có đúng 1 hạt loại B được gieo

E  H1 H 2 H 3  H1 H 2 H 3  H1 H 2 H 3

Các biến cố tích H1 H 2 H 3 , H1 H 2 H 3 , H1 H 2 H 3 xung khắc và có sự thay đổi
ở lần lấy sau vì các hạt giống được lấy lần lượt không hoàn lại, nên xác suất:

P( E )  P( H1 H 2 H 3 )  P( H1 H 2 H 3 )  P( H1 H 2 H 3 )
 P ( H1 ).P( H 2 / H1 ).P( H 3 / H1 H 2 )  P( H1 ).P ( H 2 / H1 ).P( H 3 / H1 H 2 )
 P ( H1 ).P( H 2 / H1 ).P( H 3 / H1 H 2 )


8 12 11 12 8 11 12 11 8
. .  . .  . .  0, 46317
20 19 18 20 19 18 20 19 18

b. Gọi F là biến cố có ít nhất một hạt loại B được gieo
Để có ít nhất một hạt loại B được gieo, tức là sẽ không xảy ra trường hợp cả
ba hạt đều là loại A. Do vậy, thay vì liệt kê hết các trường hợp xảy ra của biến
cố F, ta sử dụng biến cố đối:

F  H1 H 2 H 3
P( F )  1  P( H1 H 2 H 3 )  1  P( H1 ).P( H 2 / H1 ).P( H 3 / H1 H 2 )
1

12 11 10
. .  0,80702
20 19 18

Nhận xét: Thông thường trong các bài toán dạng này, xác suất của các biến cố
thành phần được cho trước, để tính xác suất yêu cầu ta cần biểu diễn được sự
kiện cần tìm xác suất dưới dạng tổng, tích các biến cố thành phần và kiểm tra
tính độc lập, xung khắc giữa các biến cố.
Bài 3: Có 3 người chơi bóng rổ, mỗi người ném một quả. Giả sử xác suất ném

trúng rổ của mỗi người lần lượt là 0,5; 0,6; 0,7. Tính xác suất để có ít nhất một
người ném trúng rổ.
Hướng dẫn
Gọi Ai (i = 1, 2, 3) là sự kiện người thứ i ném trúng rổ, vì mỗi người ném trúng
hay không cũng không ảnh hưởng đến việc ném của người khác nên ta có {A1,
19


A2, A3} là một họ các sự kiện độc lập trong toàn thể và nếu gọi B là sự kiện có ít
nhất một người ném trúng rổ thì B = A1 + A2 + A3. Áp dụng công thức cộng xác
suất ta được:

P( B)  P( A1  A2  A3 )
 P( A1 )  P( A2 )  P( A3 )  P( A1 A2 )  P( A2 A3 )  P( A3 A1 )  P( A1 A2 A3 )
 P( A1 )  P( A2 )  P( A3 )  P( A1 ) P( A2 )  P( A2 ) P( A3 )  P( A3 ) P( A1 )
 P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )
 0, 5  0, 6  0, 7  0, 5.0, 6  0, 6.7  0, 7.0, 5  0,5.0, 6.0, 7  0,94.
hoặc cách khác, nếu Ai sự kiện bù của Ai thì

P( B)  P( A1  A2  A3 ) 1  P( A1. A2 . A3 ) 1  P( A1 ) P( A2 ) P( A3 )
1  (1  P( A1 )).(1  P( A2 )).(1  P( A3 ))
 1  0,5.0, 4.0,3  0,94.
Bài 4: Tỉ lệ đất có quyền sử dụng ở 2 xã X và Y lần lượt là 60% và 80%. Chọn
ngẫu nhiên mỗi xã một lô để kiểm tra. Tính xác suất để được:
a. Một lô có quyền sử dụng.
b. Ít nhất một lô có quyền sử dụng.
Hướng dẫn
Gọi A, B là biến cố lô được chọn ở xã X,Y có quyền sử dụng.
Vì tỉ lệ đất có quyền sử dụng ở 2 xã X và Y là 60% và 80% nên P(A) = 0,6;
P(B) = 0,8.

Việc chọn lô ở xã X, Y khác nhau nên A, B là hai biến cố độc lập.
a. Gọi M là biến cố để được 1 lô có quyền sử dụng

M  AB  AB
P( M )  P ( AB  AB )  P ( AB )  P ( AB )  P ( A) P ( B )  P ( A) P ( B )
 P ( A).(1  P ( B ))  (1  P ( A)).P ( B )
 0, 6.0, 2  0, 4.0,8  0, 44
b. Gọi N là biến cố được ít nhất một lô có quyền sử dụng.

P ( N )  1  P ( A.B )  1  P ( A).P ( B ) 1  0, 4.0, 2  0,92.
Hoặc :
20


N  AB  AB  AB
P( N )  P ( AB )  P ( AB)  P( AB )  P ( A) P ( B )  P( A) P ( B )  P ( A) P ( B)
 P ( A).(1  P ( B ))  (1  P ( A)).P ( B )  P ( A).P ( B )
 0, 6.0, 2  0, 4.0,8  0, 6.0,8  0,92
Bài 5: Trong một kì thi. Thí sinh được phép thi 3 lần. Xác suất lần đầu vượt qua
kì thi là 0,9. Nếu trượt lần đầu thì xác suất vượt qua kì thi lần hai là 0,7. Nếu
trượt cả hai lần thì xác suất vượt qua kì thi ở lần thứ ba là 0,3. Tính xác suất để
thí sinh thi đậu.
Hướng dẫn
Gọi Ai là biến cố thí sinh thi đậu lần thứ i (i = 1;2;3)
Gọi B là biến cố để thí sinh thi đậu.
Ta có: B  A1  (A1A 2 )  (A1 A 2 A 3 )
Suy ra: P(B)  P(A1 )  P(A1A 2 )  P(A1 A 2 A 3 )
Vậy: P(B)  0, 9  0,1.0, 7  0,1.0,3.0, 3  0,979
Bài 6: Trong phòng có 4 máy vi tính hoạt động độc lập. Xác suất mỗi máy hoạt
động tốt cho lần khởi động đều bằng 0,7. Cho khởi động các máy. Tính xác suất

có đúng 3 máy vi tính hoạt động tốt.
Hướng dẫn
Gọi

Ai (i = 1, 2, 3, 4) là biến cố máy vi tính i hoạt động tốt;

Ai (i = 1, 2, 3, 4) là biến cố máy vi tính i hoạt động không tốt (biến cố đối
lập của Ai); vì các máy vi tính hoạt động độc lập nên các Ai, Ai : độc lập.
Ta có : P(A1) = P(A2) = P(A3) = P(A4) = 0,7
Nếu gọi B là biến cố có đúng 3 máy vi tính hoạt động tốt, thì:
B = A1.A2.A3. A4 + A1.A2. A3 .A4 + A1. A2 .A3.A4 + A1 .A2.A3.A4

21


P ( B )  P ( A1 ).P ( A2 ).P ( A3 ).P ( A4 )  P ( A1 ).P ( A2 ).P ( A3 ).P ( A4 )
 P ( A1 ).P ( A2 ).P ( A3 ).P ( A4 )  P ( A1 ).P ( A2 ).P ( A3 ).P ( A4 )
 0, 7.0, 7.0, 7.0, 3  0, 7.0, 7.0, 3.0, 7  0, 7.0, 3.0, 7.0, 7  0, 3.0, 7.0, 7.0, 7
 C41 .(0, 7)3 .0, 3  0, 4116.
Bài 7: Trong phòng có 4 máy vi tính hoạt động độc lập. Xác suất mỗi máy hoạt
động tốt cho lần khởi động đều bằng 0,7. Khởi động lần lượt các máy cho đến
khi được máy hoạt động tốt thì dừng. Tính xác suất để:
a. có 3 máy vi tính được dùng đến.
b. cả 4 máy vi tính được dùng đến.
Hướng dẫn
Ai (i = 1, 2, 3, 4) là biến cố máy vi tính khởi động thứ i hoạt động tốt;

Gọi

Ai (i = 1, 2, 3, 4) là biến cố máy vi tính thứ i hoạt động không tốt (biến cố

đối lập của Ai); vì các máy vi tính hoạt động độc lập nên các Ai, Ai : độc lập.
Ta có : P(A1) = P(A2) = P(A3) = P(A4) = 0,7
a. Nếu gọi B là biến cố có 3 máy vi tính được dùng đến, thì:
B = A1 . A2 .A3

P ( B )  P ( A1 ).P ( A2 ).P ( A3 )  0, 3.0, 3.0, 7  0, 063.
b. Trường hợp cả 4 máy đều được dùng thì hoặc cả 4 máy đó đều bị hỏng
hoặc máy cuối cùng không bị hỏng. Nếu gọi C là biến cố cả 4 máy vi tính được
dùng đến, thì:
C = A1 . A2 . A3 .A4 + A1 . A2 . A3 A4

P (C )  P ( A1 ).P ( A2 ).P ( A3 ).P ( A4 )  P ( A1 ).P ( A2 ).P ( A3 ).P ( A4 )
 0, 3.0, 3.0,3.0, 7  0, 3.0, 3.0, 3.0, 3  0, 027.
Nhận xét:
Trong các bài tập trên ta đã sử dụng xen kẽ quy tắc cộng, quy tắc nhân xác
suất và quy tắc tính xác suất của biến cố đối.
Để giải bài toán sử dụng kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất, ta
cần:
22


- Phân tích kỹ đề bài, linh hoạt liên tưởng vào thực tế.
- Gọi tên các biến cố thành phần có liên quan và biến cố cần tìm xác suất.
- Biểu diễn quan hệ giữa biến cố cần tìm xác suất với các biến cố liên quan
(sử dụng biến cố tổng, biến cố tích)
- Kiểm tra tính độc lập, xung khắc.
- Xác định xác suất thành phần có liên quan và xác định xác suất bài toán yêu
cầu (việc xác định xác suất của các biến cố (tính trực tiếp) phức tạp nên sử dụng
xác suất biến cố đối)
Ngoài quy tắc nhân, xác suất có điều kiện rất quan trọng đối với hai công

thức. Một là trong công thức xác suất đầy đủ và một công thức khác là công
thức Bayes.
4. Sử dụng công thức xác suất đầy đủ và Bayes trong các bài toán tính xác
suất:
Đây là dạng công thức mới, chưa được đề cập đến ở chương trình toán lớp
11, nên đa số các sinh viên đều gặp khó khăn khi vận dụng công thức này.
Bài 1: Một bình đựng hạt giống có 7 hạt loại A và 6 hạt loại B. Lấy ngẫu nhiên
lần thứ nhất ra 2 hạt, lần thứ hai ra một hạt.
a. Tính xác suất để hạt giống lấy ra lần 2 là hạt loại A.
b. Biết hạt giống lấy ra lần hai loại A. Tính xác suất để hai hạt lấy ra lần thứ
nhất đều loại B.
Hướng dẫn
Gọi F là biến cố hạt lấy ra lần hai là loại A.
H0, H 1, H2 lần lượt là biến cố hai hạt lấy ra lần thứ nhất có 0,1, 2 hạt loại B.
{H0, H1, H 2} là một hệ đầy đủ.
a. Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có

P ( F )  P ( H 0 ).P( F / H 0 )  P ( H1 ).P ( F / H1 )  P( H 2 ).P ( F / H 2 )


C72 5 C71 .C61 6 C62 7
. 
. 
.  0,538
C132 11 C132 11 C132 11

b. Áp dụng công thức Bayes, ta được:

23

C62 7
.
P ( H 2 ).P( F / H 2 ) C132 11
P( H 2 / F ) 

 0, 227.
P( F )
0,538
Bài 2: Một trạm chỉ phát hai tín hiệu A và B với xác suất tương ứng 0,85 và
0,15. Do có nhiễu trên đường truyền nên 1/7 tín hiệu A bị méo và thu được như
tín hiệu B còn 1/8 tín hiệu B bị méo và thu được như A.
a. Tìm xác suất thu được tín hiệu A.
b. Giả sử đã thu được tín hiệu A. Tìm xác suất thu được đúng tín hiệu lúc
phát.
Hướng dẫn
Gọi A là biến cố “phát tín hiệu A” và B là biến cố “phát tín hiệu B”. Khi đó
{A, B} là hệ đầy đủ. Gọi TA là biến cố “thu được tín hiệu A” và TB là biến cố
“thu được tín hiệu B”.

1
1
P( A)  0,85; P( B )  0,15; P (TB / A)  ; P (TA / B)  .
7
8
a. Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có xác suất thu được tín hiệu A:

6
1
P (TA )  P ( A).P (TA / A)  P ( B ).P (TA / B )  0,85   0,15   0, 7473

7
8
b. Áp dụng công thức Bayes ta có:

6
P ( A).P (TA / A)
7  0,975
P ( A / TA ) 

P (TA )
0,7473
0,85 

Bài 3: Trước khi đưa sản phẩm ra thị trường người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên
200 khách hàng về sản phẩm đó và thấy có 34 người tả lời “sẽ mua”, 97 người
trả lời “có thể sẽ mua” và 69 người trả lời “không mua”. Kinh nghiệm cho thấy
tỷ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm tương ứng với những cách trả lời trên
tương ứng là 70%, 30% và 1%.
a. Hãy đánh giá thị trường tiềm năng của sản phẩm đó.
b. Trong số khách hàng thực sự mua sản phẩm thì có bao nhiêu phần trăm trả
lời “sẽ mua”.
Hướng dẫn
24


Gọi A là biến cố “người được phỏng vấn sẽ mua sản phẩm”.
Gọi H1, H2, H3 lần lượt là 3 biến cố tương ứng với 3 cách trả lời của khách hàng
được phỏng vấn:
H1 – người đó trả lời “sẽ mua”
H2 – người đó trả lời “có thể mua”

H3 – người đó trả lời “không mua”
H1, H 2, H3 là một hệ đầy đủ các biến cố với xác suất tương ứng

34 97 69
,
,
.
200 200 200

Các xác suất điều kiện P ( A / H1 )  0,7; P( A / H 2 )  0,3; P( A / H 3 )  0,01.
a.Theo công thức xác suất đầy đủ

P ( A) 

34
97
69
.0, 7 
.0, 3 
.0, 01  0, 268
200
200
200

Vậy thị trường tiềm năng của sản phẩm đó là 26,8%.
b. Theo công thức Bayes

P( H1 / A) 

P ( H1 ).P( A / H1 ) 0,17.0,7


 0, 444  44, 4%.
P ( A)
0, 268

Bài 4: Có một trạm điện thoại trong đó có ba điện thoại, trong số đó có một
không bao giờ hoạt động, một luôn luôn hoạt động và cái còn lại hoạt động với
xác suất

1
. Trên đường đến thành phố trong ngày, tôi muốn xác định điện thoại
2

đáng tin cậy, để mà tôi có thể sử dụng nó vào lúc tôi trở lại. Trạm không có ai ở
bên trong, tôi thử một điện thoại và nó không hoạt động. Tôi thử một điện thoại
khác hai lần liên tiếp và nó hoạt động cả hai lần. Tính xác suất mà điện thoại thứ
hai này là một trong những điện thoại đáng tin cậy.
Hướng dẫn
Gọi A là sự kiện: Điện thoại thử đầu tiên không hoạt động và cái thứ hai hoạt
động tin cậy trong lần thử thứ hai. Rõ ràng:
P(A/máy thử nhất tin cậy) = 0;
P(A/máy thử hai tin cậy) = P(máy thử nhất không hoạt động/máy thử hai tin
cậy) +

1
 P(máy thử nhất hoạt động nửa thời gian/máy thử hai tin cậy)
2
25