Tính toán xác định một số đặc trưng cơ học cho vật liệu Composite cốt sợi đồng phương

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN







NGUYỄN TIẾN ĐẮC






TÍNH TOÁN XÁC ĐỊNH MỘT SỐ ĐẶC TRƢNG
CƠ HỌC CHO VẬT LIỆU COMPOSITE
CỐT SỢI ĐỒNG PHƢƠNG







LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội, năm 2012


1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN






NGUYỄN TIẾN ĐẮC






TÍNH TOÁN XÁC ĐỊNH MỘT SỐ ĐẶC TRƢNG

CƠ HỌC CHO VẬT LIỆU COMPOSITE
CỐT SỢI ĐỒNG PHƢƠNG

Chuyên ngành : Cơ học vật thể rắn
Mã số : 60 44 21




LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC



NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TSKH. NGUYỄN ĐÌNH ĐỨC




Hà Nội, năm 2012


2
MỤC LỤC

Trang
Lời cảm ơn 1
Mở đầu 2
Chƣơng 1. Tổng quan về vật liệu composite cốt sợi đồng phƣơng 4
1.1. Mô hình 4

1.2. Nguyên lý Esenpi trong cơ học vật liệu composite 9
1.3. Mối quan hệ ứng suất - biến dạng của composite cốt sợi đồng
phương 16
Chƣơng 2. Xác định các module đàn hồi của vật liệu composite hai pha
cốt sợi đồng phƣơng 20
2.1. Phương pháp xấp xỉ thể tích 20
2.2. Xác định module đàn hồi Young E
11
20
2.3. Xác định module khối biến dạng phẳng K
23
28
2.3.1. Đặt và giải bài toán 28
2.3.2. Ví dụ minh họa 34
Chƣơng 3. Xác định hệ số giãn nở nhiệt của vật liệu composite ba pha
cốt sợi đồng phƣơng độn hạt cầu 34
3.1. Đặt vấn đề 34
3.2. Xác định hệ số giãn nở nhiệt của composite ba pha cốt sợi đồng phương độn hạt
cầu 35
3.2.1. Hệ số giãn nở nhiệt của nền giả định 35
3.2.2. Hệ số giãn nở nhiệt của composite hai pha cốt sợi đồng phương 34
3.2.3. Hệ số giãn nở nhiệt của composite ba pha cốt sợi đồng phương độn hạt
cầu 37
3.3.Ví dụ bằng số 39
Kết luận 48
Phụ lục 46


3
Tài liệu tham khảo 497

4
MỞ ĐẦU

Composite là vật liệu được tổ hợp từ hai hay nhiều vật liệu có bản chất khác
nhau, nhằm mục đích tạo ra một vật liệu mới có tính năng ưu việt hơn hẳn những
thành phần ban đầu. Nhờ những thuộc tính ưu việt hơn hẳn các vật liệu truyền thống
mà ngày nay vật liệu composite đã được sử dụng rất rộng rãi trong thực tế cuộc sống,
trong các lĩnh vực khác nhau như xây dựng, chế tạo máy, trong giao thông vận tải,
công nghiệp nặng, công nghiệp dân dụng, thậm chí cả trong y học và đặc biệt là ứng
dụng trong thiết kế chế tạo các kết cấu hàng không, vũ trụ hiện đại,…

Đến nay, có hai cách phân loại vật liệu composite: dựa vào cấu trúc của thành
phần cốt hoặc bản chất của vật liệu nền. Theo cơ học, composite được phân loại dựa
vào cấu trúc của các thành phần cốt, bao gồm composite độn hạt, composite cốt sợi
đồng phương, composite phân lớp, composite có cấu trúc không gian, composite tạp
lai. Theo công nghệ, composite được phân loại dựa trên bản chất của vật liệu nền, bao
gồm các loại cơ bản như composite polime, composite kim loại, composite gốm,
composite cacbon, nano composite (khi có một thành phần composite có cấu trúc
nano).

Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi chỉ đi sâu nghiên cứu vào loại vật
liệu composite cốt sợi đồng phương, hạn chế ở việc xác định một số module đàn hồi
độc lập của compostite hai pha và đưa ra một phương án xác định các hệ số giãn nở
nhiệt của composite ba pha, qua đó góp phần xác định được ứng xử cơ học của vật
liệu composite cốt sợi đồng phương.

Vấn đề xác định module đàn hồi cho composite cốt sợi đồng phương đã được

nhiều tác giả nghiên cứu như Christensen, Pobedria, Vanin [8] Cách tiếp cận là dựa
trên các phương pháp như tìm các biểu thức giới hạn nhờ các định lý biến phân năng
lượng, tìm lời giải giải tích, phương pháp xác định bằng thực nghiệm. Theo cách tìm
các biểu thức giới hạn, người ta sử dụng các định lý biến phân năng lượng (định lý thế


5
năng toàn phần) để xác định các cận trên và cận dưới của các module đàn hồi. Tuy
nhiên, phương pháp trên dẫn đến các cận, xa với thực tế và chỉ xác định khoảng gần
đúng các module này. Trong khi đó, phương pháp tìm lời giải giải tích thông qua các
hàm năng lượng. Lời giải của bài toán sử dụng phương pháp này được tìm dựa vào
các phương pháp giải tích hoặc phương pháp số nhưng tính toán khá phức tạp.

Các cách tiếp cận như vậy đã ứng dụng nguyên lý Esenpi, sử dụng các hàm
năng lượng…Ưu điểm của của những phương pháp đó là cho phép đưa ra lời giải với
độ chính xác khá cao, vấn đề ở chỗ khi giải quyết bài toán ta thường gặp rất nhiều khó
khăn.

Theo cách tiếp cận mới, phương pháp xấp xỉ thể tích đã được giới thiệu trong
các bài báo của PGS.TSKH.Nguyễn Đình Đức và những người khác. Ưu điểm của
phương pháp này dễ nhận thấy là đơn giản, gần gũi, dễ tiếp cận. Việc mô hình hoá
dựa trên phương pháp xấp xỉ thể tích thường đưa về giải các bài toán cơ bản của lý
thuyết đàn hồi để tìm các hằng số đàn hồi.

Dựa trên phương pháp xấp xỉ thể tích, luận văn đã đề ra mục tiêu xác định
module đàn hồi
23
K
- module khối biến dạng phẳng của vật liệu composite cốt sợi
đồng phương thông qua bài toán kéo trụ đều mọi phía theo phương ngang với lực

kéo không đổi. Bên cạnh đó, luận văn cũng đề xuất một phương án nhằm xác định
biểu thức của các hệ số giãn nở nhiệt của vật liệu composite ba pha cốt sợi đồng
phương độn hạt cầu như là hàm của các đặc trưng đàn hồi thành phần, các hệ số giãn
nở nhiệt thành phần, tỉ lệ thể tích của thành phần sợi và hạt.







6
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ VẬT LIỆU COMPOSTE CỐT SỢI
ĐỒNG PHƢƠNG

1.1. Mô hình vật liệu composite cốt sợi đồng phƣơng

Composite cốt sợi đồng phương được cấu tạo từ các sợi song song theo một
phương cơ bản nằm trong vật liệu nền. Sợi được sử dụng trong vật liệu có thể làm
dưới dạng liên tục như sợi dài, hoặc có thể dưới dạng gián đoạn như sợi ngắn,
vụn,…Khi chế tạo vật liệu, chúng ta hoàn toàn có thể điều chỉnh được sự phân bố,
phương của sợi để tạo ra vật liệu dị hướng theo mong muốn hay tạo ra vật liệu có cơ -
lý tính khác nhau. Khi đó, ta cần chú ý đến bản chất của vật liệu thành phần, tỉ lệ của
các vật liệu tham gia và phương của sợi.
Bây giờ, ta đưa ra một mặt cắt ngang mô tả vật liệu có cấu trúc tuần hoàn được
minh họa trong hình vẽ 1.1:


Hình 1.1: Mô hình vật liệu composite cốt sợi đồng phương.

Ta xét một phần tử đại diện trong trường hợp tổng quát là một hình bình hành
có chiều dài 2 cạnh a, b. Ta gọi nó là hình bình hành mắt xích chu kì tuần hoàn. Trong
mỗi mắt xích này các sợi đồng phương được bố trí sao cho các đỉnh của hình bình
hành trùng với tâm của mỗi sợi (các sợi có tiết diện tròn với bán kính R). Khi đó, toạ
độ các điểm cắt trục của những sợi đồng phương trên mặt
 
12
,xx
(còn phương cơ
bản theo phương
3
x
) sẽ là:


7

1
2
x ma
x nb





với m, n = 0,
 .1, 2,

Xét các trường hợp riêng:

+) a=b=1,
/2


. Khi đó, hình bình hành trở thành hình vuông và cấu trúc được
gọi là cấu trúc hình vuông.


Hình 1.2: Cấu trúc hình vuông.

Trong mô hình composite có cấu trúc hình vuông này, chúng ta thấy bán kính
R đạt giá trị tối đa là 1/2 và có sự phân bố thể tích sợi trong composite
2
()


a
R

phụ thuộc vào R:

1
0 ; 0 0.785
24


    
a
R

Như vậy, đối với trường hợp này, phân bố thể tích sợi trong composite đạt mức tối đa
là 78.5%.


Hình 1.3: Mô tả mặt cắt của phần tử đại diện có cấu trúc hình vuông.
+) a=b=1,

 /3
. Khi đó, cấu trúc có dạng tam giác đều.


8
Từ trước đến nay, nhiều bài toán về composite khi xem xét các phần tử đại diện
đều được giả thiết là có cấu trúc tuần hoàn với mỗi mắt xích tuần hoàn là một phần tử
đại diện. Cách tiếp cận mà các bài toán đó hướng tới dựa trên quan điểm vi mô.
Trong khuôn khổ luận văn này, ta xem vật liệu nền và sợi đều là những vật liệu
đàn hồi đồng nhất, đẳng hướng. Hơn nữa, các sợi là dài liên tục và có dạng hình trụ
tròn. Miền vật liệu nền sẽ ký hiệu là S, miền cốt sợi có tâm đi qua điểm (m,n) trong
mặt phẳng
 
12
,xx
là
mn
A
. Biên của nền và sợi
mn
A
là


mn
. Mắt xích chu kỳ tuần
hoàn trên mặt có chiều dài cạnh bằng đơn vị (xem hình vẽ 1.3).
Khi đó, tenxơ hằng số đàn hồi của composite đang xét là hàm tuần hoàn của
1
x
,
2
x

và không phụ thuộc vào
3
x
:

       
  
1 2 1 2 1 2
( , ) ( , ) ( , )( )
ijkl ij kl ik jl il jk
C x x x x x x
(1.1)
trong đó:

1
12
2
( , )
mn
khi x S

xx
khi x A













1
12
2
( , )
mn
khi x S
xx
khi x A













Theo một số tác giả [3], thực nghiệm chỉ ra vật liệu composite cốt sợi đồng
phương là đẳng hướng ngang, do đó nó có 5 hằng số đàn hồi độc lập. Đối với trường
hợp này, bài toán xác định các module đàn hồi thực chất là đi tìm các biểu thức của 5
module đàn hồi khi ta đã biết các đặc trưng cơ học và hình học của các vật liệu thành
phần, ví dụ như module đàn hồi của các sợi, vật liệu nền, độ dài sợi, tỉ lệ khối lượng,
tỉ lệ thể tích Cơ tính của sợi và nền trong vật liệu được đặc trưng bởi các module đàn
hồi. Để tiện cho việc sử dụng, từ nay về sau ta sẽ kí hiệu:
+ Đặc trưng cho cốt sợi là
11
E,

.
+ Đặc trưng cho vật liệu nền là

22
E,
.
+ Tỉ lệ thể tích của pha sợi trong nền là

.
Hơn nữa, ta bổ sung thêm các giả thiết sau:
+ Các sợi có cùng các đặc trưng về kích thước như mặt cắt tròn, chiều dài


9

+ Sự phân bố các sợi trong nền là đều, có cấu trúc tuần hoàn.


Hình 1.4: Hình dạng các cốt sợi trong vật liệu nền.

Với những đặc tính vuợt trội, vật liệu composite thực sự đã trở thành loại vật
liệu then chốt trong mọi lĩnh vực của nền kinh tế quốc dân, đặc biệt là ngành công
nghiệp nặng, hàng không vũ trụ. Sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ hiện
đại đã đưa đến nhu cầu to lớn về vật liệu, đặc biệt là vật liệu composite với những đặc
tính hơn hẳn các vật liệu thông thường khác. Composite với các sợi độn đồng phương
cũng là một trong các dạng phân loại theo cơ học của vật liệu composite, đem lại
những ứng dụng hữu ích cho khoa học kĩ thuật và thực tế đời sống.
Trong composite cốt sợi đồng phương, các sợi độn đóng vai trò quan trọng
trong việc tạo ra các vật liệu composite có tính năng nổi trội. Bằng cách dựa vào đặc
tính và mật độ của các sợi trong thành phần nền, chúng ta có thể tạo nên những vật
liệu có đặc điểm phù hợp với nhu cầu và mục đích sử dụng như đặc tính cơ lí, tính dễ
gia công, chi phí gia công vật liệu… Khi chế tạo vật liệu, ta có thể điều chỉnh được sự
phân bố, phương của sợi để tạo ra vật liệu dị hướng theo mong muốn hay tạo ra vật
liệu có cơ lí tính khác nhau.
Để giúp cho việc chế tạo kết cấu chi tiết composite, luận văn muốn giới thiệu
sơ lược về công nghệ pulltrusion [1]. Công nghệ này là quá trình công nghệ chế tạo
các kết cấu composite bằng cách kéo liên tục các sợi cốt, được tẩm qua nhựa nền
thông qua những khuôn tạo dáng nóng (hình 1.5). Một trong những ví dụ về sản phẩm
của phương pháp này là các dầm, cốt của bê tông trong xây dựng, có hình dáng hệt
như thép nhưng lại được chế tạo từ composite (những dầm như vậy có cấu trúc cốt sợi


10
đồng phương). Quá trình công nghệ này, về thực chất giống như công nghệ extrusion,
chỉ khác nhau ở chỗ: trong công nghệ extrusion, lực ép đẩy vật liệu qua khuôn tạo

dáng là áp lực được tạo ra từ trong máy đúc ép, còn trong công nghệ pulltrusion, vật
liệu được kéo qua khuôn đúc nhờ tác động của lực kéo bên ngoài, được tạo ra nhờ
thiết bị kéo (điểm số 7 trên hình 1.5 - hai con lăn quay áp sát vào dầm composite tạo
ra sức kéo liên tục).


Hình 1.5: Sơ đồ chế tạo composite theo phương pháp pulltrusion.

Trong sơ đồ của hình 1.5, sợi cốt (điểm số 1 trong hình), trực tiếp được tẩm qua bình
chứa nhựa nền ướt (điểm số 2), sau đó được bóp, gạt lại những nhựa thừa (điểm số 3)
và được kéo qua khuôn tạm thời (điểm 4) để tạo dáng tương đối, sau đó được kéo qua
khuôn đúc nóng để tạo dáng kết cấu đúng theo yêu cầu cần chế tạo - thiết kế (điểm 5),
rồi sau đó sản phẩm được đưa qua lò nung (điểm 6) để làm đông rắn hoàn toàn.
Phương pháp công nghệ pulltrusion có ưu điểm là sản phẩm nhận được có độ chính
xác cao, có thể chế tạo kết cấu composite có chiều dài tuỳ ý, hệ số sử dụng vật liệu
cao (đến 95%), điều chỉnh được chính xác tỷ lệ phân bố nền-cốt sợi trong composite,
có năng suất khá lớn (có thể đến 1,5 m/ph).
Mọi thiết bị của quá trình công nghệ pulltrusion như giá mắc, bể chứa, khuôn đúc, lò
nung, con lăn kéo, đều đơn giản và có thể dùng được cho những phương pháp công
nghệ khác.


11
Các dầm cốt bằng vật liệu composite cốt sợi các bon dọc theo hướng tâm của loa phụt
của động cơ tên lửa cũng được chế tạo theo phương pháp này.
Với vấn đề nêu trên, việc nghiên cứu vật liệu composite cốt sợi đồng phương có ý
nghĩa khoa học và thực tiễn.

1.2. Nguyên lý Esenpi trong cơ học vật liệu composite
Nhiều bài toán tìm module đàn hồi của vật liệu composite đã sử dụng phương

pháp năng lượng để giải quyết vấn đề. Luận văn xin giới thiệu khái quát nguyên lý
năng lượng do Esenpi xây dựng, nguyên lý này có những ứng dụng quan trọng trong
cơ học vật liệu composite [8].
Theo Esenpi, môi trường composite độn là vô hạn chỉ chứa một hạt cầu, tức là
sự phân bố thể tích của các hạt độn trong miền nền coi là nhỏ (
0.3


). Do đó, thay
vì tính năng lượng của vật thể thông qua tích phân trên biên có hình dạng phức tạp,
năng lượng toàn phần của vật thể được tính thông qua năng lượng của miền đồng chất
cộng với năng lượng lấy trên biên của miền hạt độn (biên này có hình dạng đơn giản,
dễ tính toán).

* Xét hai vật thể có cấu trúc tương tự nhau, chịu tác dụng của lực ngoài và điều kiện
biên như nhau. Tuy nhiên, vật thể thứ hai không có cốt (hình 1.6).
+ Nghiệm của bài toán với vật thể một là:
.,,
iijij
u


+ Nghiệm của bài toán với vật thể hai là:
.,,
o
i
o
ij
o
ij

u







12

Hình 1.6: Mô hình hai vật thể.

Điều kiện biên đối với vật thể một:
ij j i
n


trên S (1.2)
Điều kiện biên đối với vật thể hai:
oo
ij j i
n


trên S
(1.3)
Theo giả thiết của bài toán, hai vật thể có điều kiện biên giống nhau, tức là:

o
ii



trên S (1.4)
Năng lượng đàn hồi: + Đối với vật thể 1:


V
ijij
dVU

2
1

(1.5)
+ Đối với vật thể 2:


V
o
ij
o
ij
dVU

2
1
0

(1.6) Từ (1.5) và (1.6), ta có:



V
o
ij
o
ijijijo
dVUU )(
2
1


(1.7) Ta có:
jiijijijjiij
uuu
,,
),(



Vì: +
0
,

jij

(phương trình cân bằng bỏ qua lực khối)
+
ijijijijijijiôjiijjiijjiij
uuuuu


 )(
2
1
)(
2
1
,,,,,

Suyra:
jiijijij
u
,
)(



(1.8)
Thay (1.8) vào (1.7), ta có:



V
j
o
i
o
ijiijo
dVuuUU ),(
2
1


(1.9)
Áp dụng công thức Ostrogradsky - Gauss:

dSnuuVduu
j
o
i
o
iji
S
ij
V
j
o
i
o
ijiij
)(),(




Theo điều kiện biên:
i
o
iiiijijjiij
uuunnu



trên S

o
i
o
i
o
ij
o
ijj
o
i
o
ij
uunnu


trên S


13
Suy ra:
dSuudSuudSnuu
o
ii
S
o
ii
o
ii

S
o
iji
o
iji
S
ij
)()()(
00




Vậy:
dSuuUU
o
ii
S
o
io
)(
2
1



(1.10)
Như vậy, năng lượng của vật thể 1 (có cốt) có thể biến đổi về năng lượng của
vật thể 2 (không có cốt) với các điều kiện tương đương của biên và hình dáng. Hệ
thức (1.10) là một biểu thức trung gian sẽ được sử dụng khi xét bài toán bổ trợ với

một vật thể đàn hồi chịu tác dụng của lực ngoài.

* Xét bài toán với một vật thể đàn hồi chịu tác dụng của lực như hình 1.7. Có thể xem
vật thể tương đương với hai vật thể như sau:



Hình 1.7: Phân tích cấu trúc của vật thể.

Gọi nghiệm của bài toán với vật thể (a) là:

ij
,

ij
,
i
u
, với vật thể (b) là:
o
ij

,
o
ij

,
o
i
u

,
với vật thể (c) là:
ij


,
ij


,
i
u

.
Theo nguyên lí hợp nhất nghiệm ta có:
  


o
ij ij ij

  


o
ij ij ij
(1.11)


o

i i i
u u u

Thế đàn hồi của bài toán (a) có dạng:

11
( )( )
22
oo
ij ij ij ij ij ij
VV
U dV dV
     

   

(1.12)


14
Khai triển (1.12) có:

  
o TH
U U U U
(1.13)
trong đó:

dVU
V

o
ij
o
ijo



2
1
(1.14)

dVU
V
ijij





2
1
(1.15)

dSuuUU
o
ii
S
o
io
)(

2
1





dVU
o
ijij
V
ij
o
ijTH
)(
2
1






(1.16)
với
TH
U
là năng lượng tương hỗ của hai trạng thái ứng suất trên (b) và (c).
Tích phân năng lượng (1.16) có thể biểu diễn dưới dạng thuận tiện hơn. Xét số hạng
thứ hai trong vế phải (1.16), áp dụng định luật Hooke ta có:

kl
o
klkl
o
ijklijkl
o
ijijkl
o
ijklijkl
o
ijij
CCC










(1.17)
Thay (1.17) vào (1.16) ta có:

dVU
V
ij
o

ijTH




(1.18)
Sử dụng nguyên lí hợp nhất nghiệm và
0
,

o
jij

ta có:

dSuU
S
i
o
iTH




(1.19)
Theo (1.10) ta đã có:

dSuuUU
o
ii

S
o
io
)(
2
1









15
Hình 1.8
Suy ra:
dSuUU
i
S
o
io




2
1

(1.20) Từ (1.19) và (1.20) suy ra:
THo
UUU
2
1


(1.21) Trở lại (1.18), phân tích miền lấy tích phân thành hai miền với mặt phân
chia

như hình 1.8. Khi đó, (1.18) có dạng:

dVdVU
I II
V V
ij
o
ijij
o
ijTH
 





(1.22)
Hệ thức (1.22) có thể viết lại dưới dạng:

dsudsudsuU

o
i
S
i
o
iii
o
iTH









(1.23)
Dấu “-” trong (1.23) chỉ ra rằng véctơ đơn vị của

quay hướng dương ra ngoài. Vì
0

i

trên S nên suy ra:

dsuuU
o
iii

o
iTH
)(







(1.24)
Theo nguyên lí hợp nhất nghiệm và biến đổi, ta được:

dsuuU
o
iii
o
iTH
)
ˆˆ
(




(1.25)
Với

,
ii

u


có ý nghĩa như trong trạng thái ban đầu, khi đó:

dsuuU
o
iii
o
iTH
)(




đúng với mọi


Khi

tiến dần đến biên
i
S
thì ta có :

dSuuUU
o
iii
S
o

io
I
)(
2
1



(1.26)
Dễ thấy, kết quả này có thể tổng quát cho trường hợp nhiều cốt. Như vậy, năng
lượng của vật liệu nhiều thành phần bằng năng lượng của vật liệu đồng nhất nào đó
cộng với một năng lượng được lấy tích phân trên biên của thành phần độn. Nhờ
nguyên lý này, ta có thể xác định các module đàn hồi K và G của vật liệu composite
các hạt độn cầu Phương pháp dùng hàm năng luợng là một trong các phương pháp
được sử dụng để giải bài toán tìm module đàn hồi nhưng tính toán lại rất phức tạp.



16
1.3. Mối quan hệ ứng suất - biến dạng đối với composite cốt sợi đồng
phƣơng
Trong thực tế, nhiều vật liệu sử dụng cho kĩ thuật đều là những vật liệu không
thuần nhất. Vì thế để nghiên cứu các ứng xử cơ học, mối quan hệ bản chất của vật
liệu, ta đưa ra giả thiết về tính liên tục của vật liệu, tức là cấu tạo thực của vật liệu
được lí tưởng hóa bằng cách xem nó là liên tục. Do đó, khái niệm về sự thuần nhất
hóa được đưa ra: môi trường trong vật liệu được coi là thuần nhất khi tính chất của nó
tại mọi điểm là như nhau.
Vật liệu thực tế thường không thuần nhất ở chỗ tính chất cơ lí của nó phụ thuộc
vào các điểm của vật liệu. Theo đó, các quá trình biến đổi ở composite hoặc là liên tục
hoặc là gián đoạn. Với trường hợp này, sự biến đổi là gián đoạn tại các mặt chuyển

tiếp giữa các pha khác nhau, trong đó ta coi các pha là thuần nhất và đẳng hướng.
Phương pháp làm thuần nhất một vật liệu không thuần nhất được gọi là phương pháp
thuần nhất hóa.
Việc xét composite đưa về xét trên một phần tử đại diện, hay người ta gọi là “
tế bào ” hoặc mắt xích tuần hoàn. Từ các điều kiện biên cho trước trên biên của phần
tử đại diện, ta có:
Ứng suất trung bình (tensơ ứng suất) trên thể tích đại diện được xác định bởi




1
()
ij ij k
V
x dV
V
(1.27)
Biến dạng trung bình (tensơ biến dạng) trên thể tích đại diện được xác định bởi




1
()
ij ij k
V
x dV
V
(1.28)

trong đó:
+

ij
và

ij
là ứng suất biến dạng tại điểm
k
x
.
+ dV là vi phân thể tích bao quanh điểm
k
x
.
Các quan hệ trên rất tổng quát, cho phép biểu thị các hằng số độ cứng và các hằng số
độ mềm bởi các biểu thức sau:



ij ijkl kl
C
(1.29)


17



ij ijkl kl

S
(1.30)
trong đó:
+
ijkl
C
là tensơ hằng số độ cứng theo phương pháp trung bình hóa.
+
ijkl
S
là tensơ hằng số độ mềm theo phương pháp trung bình hóa.
Để đơn giản về sau ta xét các hằng số độ cứng và độ mềm theo nghĩa ”thuần
nhất” ở trên. Như vậy, muốn xác định các tính chất đã thuần nhất của một vật liệu
không thuần nhất, thì trước hết cần phải tính toán các ứng suất, biến dạng trung bình
trên thể tích đại diện thông qua công thức (1.27) và (1.28). Sau đó, suy ra các hằng số
độ cứng hoặc độ mềm nhờ công thức (1.29) và (1.30). Trên thực tế, bài toán xác định
các hằng số này là rất phức tạp. Do vậy, vấn đề ở chỗ là ta phải tìm cách giải chính
xác của trường ứng suất
()

ij k
x
và biến dạng
()

ij k
x
tại mỗi điểm của vật không
thuần nhất [3].
Khi có lực ngoài tác dụng lên vật thể, trạng thái biến dạng tại mỗi điểm của vật

thể sẽ thay đổi, kéo theo trạng thái ứng suất sẽ thay đổi theo. Ứng suất xuất hiện trong
vật thể là do biến dạng làm thay đổi sự sắp xếp các phần tử cơ bản của nó. Điều đó
cho thấy giữa ứng suất và biến dạng phải tồn tại một sự liên hệ nào đấy. Công thức
Green [2] chỉ ra liên hệ giữa ứng suất và biến dạng:



 





1
2
ij
ij ij
WW
(1.31)
Vì thế, ta có:


ij ijmn mn
C
(1.32)
Trường hợp vật liệu là trực hƣớng tròn xoay (tức là đẳng hướng ngang), số hằng số
độc lập là 5, bao gồm:
1111 1122 2222 2233 1212
, , , ,C C C C C
.

Vật liệu composite cốt sợi đồng phương mà luận văn quan tâm chính là loại vật liệu
đẳng hướng ngang. Phần tử đại diện của vật liệu composite cốt sợi đồng phương bao
gồm một sợi được bao xung quanh bởi một hình trụ làm bằng vật liệu thành phần
khác. Vì vật liệu này có một trục quay, nên được gọi là vật liệu trực hướng tròn xoay,
tức là khi quay hệ cơ sở xung quanh trục trên ta không làm thay đổi ma trân độ cứng
hoặc độ mềm. Hình vẽ 1.9 dưới đây sẽ mô tả rõ điều này:


18
( phương x

2, y

3, z

1 ).



Hình 1.9: Hình không gian của vật liệu composite cốt sợi đồng phương.

Bây giờ, ta ký hiệu các đại lượng như sau:

   
1 11 1 11
2 22 2 22
3 33 3 33
4 23 4 23
5 13 5 13
6 12 6 12

;
   
   
   

   
   
   
       
       
       
       
       
   
       
       
       
       
       
(1.33)

Khi đó, định luật Hooke biểu thị ứng suất qua biến dạng:









   

   

   

   

   



   

   

   

   

   

11 12 12
11
12 22 23
22
12 23 22
33
22 23
44

55
66
66
66
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0 0
2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
C C C
C C C
C C C
CC
C
C
(1.34)

hay
   

 A


Nếu biểu thị biến dạng qua ứng suất, ta có:


19







   

   

   

   

   



   

   

   

   

   
11
11 12 12
22

12 22 23
33
12 23 22
22 23
44
66
55
66
66
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0 2( ) 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
S S S
S S S
S S S
SS
S
S
(1.35)
hay
   

 B

trong đó: A, B tương ứng là các ma trận độ cứng, độ mềm (với A, B là ma trận nghịch
đảo của nhau). Tính chất của vật liệu cốt sợi đồng phương phụ thuộc vào 5 hằng số
đàn hồi độc lập trên, bao gồm

11 12 2 2 23 66
, , , ,C C C C C
hoặc
11 12 22 23 66
, , , ,S S S S S
. Vấn đề
đối với chúng ta là xác định 5 hằng số đàn hồi độc lập này (hằng số độ cứng hoặc dộ
mềm). Muốn vậy, ta cần tìm công thức biểu diễn các module như
11 23 12 12 23
, , , ,
  
EK

(các module này phụ thuộc vào vật liệu thành phần và tỉ lệ thể tích

). Mặt khác, ta
lại có mối quan hệ qua lại giữa các module này và các hằng số độ cứng (hoặc độ
mềm), từ đó xác định được mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng hay ứng xử đàn
hồi của vật liệu composite cốt sợi đồng phương.
Thực tế, có 2 cách chủ yếu giải bài toán xác định các module đàn hồi là bằng
thực nghiệm và giải tích. Theo phương pháp thực nghiệm, [3] không chỉ ra được ảnh
hưởng của vật liệu thành phần lên composite. Theo phương pháp giải tích, một số tác
giả đã dùng hàm năng lượng, sử dụng định lý biến phân năng lượng để nghiên cứu
sự ảnh hưởng của đặc trưng hình học, cấu trúc cũng như tính chất ban đầu của các vật
liệu thành phần tác động lên composite, tuy nhiên một điểm dễ nhận thấy là các
phương pháp này thường rất phức tạp. Do vậy, chương 2 trong luận văn này sẽ đi sâu
vào việc thiết lập và giải bài toán xác định các module đàn hồi (nghiệm giải tích) của
vật liệu composite cốt sợi đồng phương theo phương pháp xấp xỉ thể tích.

20
CHƢƠNG 2. XÁC ĐỊNH CÁC MODULE ĐÀN HỒI CỦA VẬT
LIỆU COMPOSITE HAI PHA CỐT SỢI ĐỒNG PHƢƠNG

2.1. Phƣơng pháp xấp xỉ thể tích
Mục tiêu của luận văn là xác định các module đàn hồi của vật liệu composite
cốt sợi đồng phương, hạn chế ở việc xác định một trong năm hằng số đàn hồi độc lập
là module khối biến dạng phẳng
23
K
. Thực chất của việc xác định các module đàn hồi
là xác định mối liên hệ giữa ứng suất trung bình và biến dạng trung bình của môi
trường composite, tức là xác định các hằng số
ijkl
C
trong công thức của định luật
Hook. Như phần mở đầu giới thiệu, có nhiều phương pháp tiếp cận để giải bài toán
tìm module đàn hồi, nhưng phương pháp chủ đạo được sử dụng trong luận văn là
phương pháp xấp xỉ thể tích của phần tử thể tích đại diện. Ưu điểm dễ nhận thấy của
phương pháp này là đơn giản, dựa trên phương pháp giải các bài toán cơ bản trong lý
thuyết đàn hồi và dạng nghiệm thu được là giải tích.
Tư tưởng chính của phương pháp này là ta xem toàn bộ vật thể trong một mô
hình được đơn giản hoá. Với các giả thiết đã nêu ở trên, ta có một mẫu vật liệu
composite như là một khối hình hộp chữ nhật, khối này chứa các sợi được phân bố
đều theo phương dọc của hình hộp. Với công nghệ sản xuất đạt chuẩn, vật liệu

composite cốt sợi đồng phương được xem như có cấu trúc tuần hoàn. Do đó, việc
nghiên cứu vật liệu này đưa về xét một phần tử đại diện có dạng hình hộp chứa hình
trụ tròn tượng trưng cho pha sợi. Phương pháp xấp xỉ thể tích thể hiện ở việc xấp xỉ
hình hộp chữ nhật bên ngoài bởi một vỏ trụ có cùng thể tích tượng trưng cho pha nền.
Kết quả là phần tử thể tích đại diện của vật liệu composite cốt sợi đồng phương có
dạng 2 hình trụ tròn lồng nhau. Ta có các bước xấp xỉ thể tích như hình vẽ dưới đây:



21


Hình 2.1: Phần tử thể tích đại diện của composite cốt sợi đồng phương và mô hình
gần đúng.

Bây giờ, ta xét một phần tử đại diện có mặt cắt ngang như trên hình vẽ. Bằng cách xấp
xỉ 2 thể tích, ta có:
+ V ban đầu = V của hình hộp chữ nhật (có đáy là hình vuông đơn vị)
= 1.1.h = h
+ V xấp xỉ = V của trụ tròn ngoài (bán kính đáy là R) =
2

R
.h =
2

R
.h
+ V ban đầu = V xấp xỉ, nên có:
 h =

2

R
.h
 R =
1/


với h là chiều dài của sợi.
Như vậy, với mặt cắt là hình vuông đơn vị thì hình vuông này sẽ được xấp xỉ diện tích
thành hình tròn có bán kính
1/

trong mặt phẳng.
Từ cấu trúc hình hộp chữ nhật chứa hình trụ tròn chuyển thành cấu trúc hai
hình trụ tròn lồng nhau thông qua việc xấp xỉ thể tích, có thể nói đây chính là ý tưởng
chính của phương pháp xấp xỉ thể tích. Sau đó, dựa vào các hệ thức cơ sở, các giả
thiết ban đầu và phương pháp giải các bài toán cơ bản trong lí thuyết đàn hồi, ta sẽ
giải bài toán này tìm ra công thức xác định các module khối biến dạng phẳng
23
K
của
vật liệu composite cốt sợi đồng phương.



22


Hình 2.2: Phần tử đại diện sau khi đã được xấp xỉ.

2.2. Xác định mođun đàn hồi Young E
11

Trong [5], vấn đề xác định module đàn hồi Young E
11
đã được trình bày rất cụ
thể và rõ ràng. Bài toán kéo dọc trụ xác định module E
11
của vật liệu composite cốt
sợi đồng phương đặt ra:
Giả sử, có một hình trụ không đồng chất được làm từ hai vật liệu khác nhau, bao gồm:
+ Miền trong - miền cốt
 
0 ra
có các đặc trưng
1

,
1

.
+ Miền ngoài - miền nền
 
a r b
có các đặc trưng
2

,
2


.
Trụ được kéo dọc bởi lực hằng theo phương sinh và coi rằng liên kết giữa 2 miền là lí
tưởng, bỏ qua tương tác của các sợi độn và vật liệu nền. Điều này dẫn đến biến dạng
dọc theo trục z của 2 miền là như nhau và bằng

. Bài toán đặt ra: hãy xác định
module đàn hồi Young E
11
của trụ không đồng chất khi xem nó là một vật liệu
composite tương đương với các đặc trưng
 
,

.



23

Hình 2.3: Mô tả cấu trúc không gian của một phần tử đại diện.

* Các hệ thức cơ sở trong hệ toạ độ trụ
 
,,rz

:
Do tính đối xứng, các thành phần chuyển dịch trong toạ độ trụ có dạng:

 











0
rr
z
u u r
u
uz
(2.1)
Các thành phần biến dạng:
















  

0
r
rr
r
zz
r z zr
du
e
dr
u
e
r
e const
e e e
(2.2)
nên:

  
rr
e
du u
dr r
(2.3)
Định luật Hooke trong toạ độ trụ có dạng:

 

  
  
  
  









  

2 (2.4 )
2 (2.4 )
2 (2.4 )
0 (2.4 )
rr e rr
e
zz e zz
r z zr
a
b
c
d

Phương trình cân bằng có dạng:


24

0

  


rr rr
d
dr r
(2.5)
Thay

e
ở trên vào các phương trình (2.4a), (2.4b), (2.4c) ta được:


    
    
    

   



   




   


( 2 ) (2.6)
( 2 ) (2.7)
( 2 ) ( ) (2.8)
rr
rr
rr
rr
zz
du u
dr r
u du
r dr
du u
dr r

Thay (2.6) và (2.7) vào phương trình cân bằng (2.5), ta nhận được phương trình vi
phân đối với
r
u
:

  
2
22
11

0
rr
r
d u du
u
r dr
dr r
(2.9)
Phương trình này có nghiệm tổng quát dạng:

r
B
u Ar
r



Hình 2.4

* Trong miền nền
 
a r b
:
Nghiệm của (2.9) có dạng:
(2)
2
2

r
B

u A r
r
(2.10)
Khi đó:

  
    
(2) (2)
2
2
rr
e
du u
A
dr r