Công thức phần tử, thuật toán và chương trình số trong phân tích dầm đàn-dẻo bằng phương pháp phần tử hữu hạn

đại học quốc gia hà nội
Trờng đại học công nghệ
Viện khoa học và công nghệ việt nam
Viện cơ học


Họ và tên tác giả luận văn
Nguyễn văn luật


Tên đề tài luận văn
Công thức phần tử, thuật toán và ch-ơng trình số
trong phân tích kết cấu dầm đàn-dẻo bằng
ph-ơng pháp phần tử hữu hạn


Luận văn thạc sĩ









Hà nội- 2008


đại học quốc gia hà nội

Tr-ờng đại học công nghệ
Viện khoa học và công nghệ việt nam
Viện cơ học


Nguyễn văn luật


Công thức phần tử, thuật toán và ch-ơng
trình số trong phân tích dầm đàn-dẻo
bằng ph-ơng pháp phần tử hữu hạn

Ngành : Cơ học
Chuyên ngành : Cơ học vật thể rắn
Mã số : 60 44 21

Luận văn thạc sĩ


Ng-ời h-ớng dẫn khoa học : TS. nguyễn đình kiên




Hà nội - 2008
1
Mục lục

Trang
Mục lục .

Danh mục các ký hiệu .
Danh mục các hình vẽ, đồ thị .
Danh mục các bảng
Mở đầu .
Ch-ơng I : ứng xử đàn-dẻo của vật liệu kết cấu
1.1 Mở đầu
1.2 Các kết quả từ thực nghiệm .
1.3 ứng xử đàn hồi
1.4 ứng xử đàn-dẻo
1.5 Mô hình đàn-dẻo l-ỡng tuyến tính .
1.6 Luật chảy dẻo .
1.7 Luật tái bền .
1.8 Kết luận ch-ơng 1
Ch-ơng II : Ph-ơng pháp phần tử hữu hạn cho dầm đàn-dẻo
2.1 Mở đầu
2.2 Ph-ơng pháp phần tử hữu hạn .
2.3 Phân tích phần tử hữu hạn phi tuyến
2.4 Thuật toán số trong phân tích phần tử hữu hạn phi tuyến
2.5 Phần tử dầm đàn-dẻo
2.5.1 Vec-tơ lực nút .
2.5.2 Ma trận độ cứng tiếp tuyến .
2.6 Tích phân số
2.7 Kết luận chơng 2
Ch-ơng III : Quy trình tính toán và ví dụ số
3.1 Quy trình tính toán
1
3
4
5
6

8
8
12
13
14
15
18
19

20
20
25
27
31
32
33
36
38

40

Luận văn thạc sĩ

Ngành Cơ học

Học viên:
Nguyễn Văn Luật

2

3.2 Cập nhật ứng suất
3.3 Ví dụ số
3.3.1 Dầm tựa giản đơn d-ới tác dụng của lực tập trung
3.3.2 Dầm công-xôn d-ới tác dụng của lực tập trung
3.3.3 Dầm công-xôn d-ới tác dụng của mô-men
3.4 Kết luận ch-ơng 3
Kết luận
h-ớng phát triển tiếp theo của luận văn.
Tài liệu tham khảo
Phụ lục .





42
49
49
51
53
54
55
56
57
58

Danh mục các ký hiệu
}{d
,
}{D
- lần l-ợt là vec-tơ chuyển vị nút của phần tử, kết cấu

Luận văn thạc sĩ

Ngành Cơ học

Học viên:
Nguyễn Văn Luật

3

][
t
k
,
][
t
K

- ma trận độ cứng tiếp tuyến của phần tử, kết cấu
}{G
- vec-tơ chênh lệch lực (vec-tơ lực d-) của kết cấu
}{N
- ma trận các hàm dạng
}{
in
f
,
}{
in
F
- vec-tơ nội lực tại các nút của phần tử, kết cấu
}{
ex
f
,
}{
ex
F
- vec-tơ ngoại lực tại các nút của phần tử, kết cấu

- công ảo của nội lực và ngoại lực tác động lên phần tử
in

- công ảo của nội lực
}{
,
}{
- vec-tơ ứng suất, biến dạng

tep
E,E,E
- lần l-ợt là mô-đun đàn hồi, mô-đun đàn dẻo, mô-đun tiếp tuyến của
vật liệu
21
w,w
- chuyển vị ngang của dầm tại hai nút phần tử
21
,
- góc xoay tiết diện ngang của dầm tại hai nút phần tử
A,L
- chiều dài, thiết diện ngang của phần tử dầm
h,b
- chiều rộng, chiều cao của thiết diện phần tử
21
Q,Q
- các lực cắt tại hai nút của phần tử
21
M,M
- các mô-men tại hai nút của phần tử








Danh mục các hình vẽ và đồ thị

trang
Hình 1.1 : Sơ đồ điển hình của thử nghiệm kéo mẫu kim loại
9

Luận văn thạc sĩ

Ngành Cơ học

Học viên:
Nguyễn Văn Luật

4

Hình 1.2 : Biểu đồ ứng suất-biến dạng cho thép kết cấu điển hình nhận đ-ợc
từ thử nghiệm kéo
Hình 1.3 : Mô hình l-ỡng tuyến tính cho vật liệu đàn-dẻo
Hình 1.4 : Mặt dẻo von Mises trong không gian ứng suất chính
Hình 1.5 : Luật tái bền: (a) tái bền đẳng h-ớng, (b) tái bền động học
Hình 2.1 : Kết cấu phẳng với mô hình PTHH tạo từ các phần tử khác nhau
Hình 2.2 : Phần tử dầm phẳng hai nút và các bậc tự do
Hình 2.3 : Trình tự các b-ớc lặp để tính điểm cân bằng
Hình 2.4 : Lực cắt và mô-men tại các nút phần tử dầm Bernoulli
Hình 3.1 : Sơ đồ khối quy trình phân tích đàn-dẻo
Hình 3.2 : Gia số ứng suất trong mô hình đàn-dẻo l-ỡng tuyến tính
Hinh 3.3 : Dầm tựa giản đơn d-ới tác dụng của lực tập trung
Hình 3.4 : L-ới phần tử và các bậc tự do của mô hình dầm tựa giản đơn
Hình 3.5 : Mối quan hệ giữa lực ngoài
P
và độ võng
d

tại điểm giữa của
dầm với các giá trị khác nhau của mô-đun tiếp tuyến
t
E

Hình 3.6 : Dầm công-xôn d-ới tác động của lực tập trung ở đầu tự do
Hình 3.7 : Quan hệ giữa lực ngoài
P
và độ uốn
w
tại đầu tự do của dầm
công-xôn với các giá trị khác nhau của mô-đun tiếp tuyến
t
E
.
Hình 3.8 : Dầm công-xôn d-ới tác động của mô-men ở đầu tự do
Hình 3.9 : Quan hệ giữa lực mô-men
M
và độ võng
w
tại đầu tự do của
dầm công-xôn với các giá trị khác nhau của mô-đun tiếp tuyến
t
E
.
10

15
16
18

21
24
30
31
41
43
50
50
51

52
52

53
53






Danh mục các bảng

trang
Bảng 3.1: Giá trị biến dạng và ứng suất tại điểm Gauss đầu tiên với
51

Luận văn thạc sĩ

Ngành Cơ học

Học viên:
Nguyễn Văn Luật

5

các giá trị khác nhau của lực ngoài
P

)E1.0E(
t


Bảng 3.2: Các giá trị ứng suất biến dạng tại điểm Gauss đầu tiên của
phần tử thứ nhất của dầm ứng với các giá trị khác nhau của lực
ngoài
)E3.0E(
t


Bảng 3.3: Giá trị của ứng suất biến dạng tại điểm Gauss đầu tiên của
phần tử thứ nhất của dầm công-xôn ứng với các giá trị khác nhau
của mô-men
M

)E3.0E(
t

52


54
















Luận văn thạc sĩ

Ngành Cơ học

Học viên:
Nguyễn Văn Luật

6

Mở đầu
Các nghiên cứu về lý thuyết dẻo đ-ợc phát triển rất sớm, từ cuối thế kỷ
19 những công trình đầu tiên của lý thuyết dẻo đã xuất hiện. Cho đến nay qua
nhiều giai đoạn phát triển lý thuyết dẻo đã có một nền tảng lý thuyết toán học
tổng quát và chắc chắn, đ-ợc nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu. Trong
lĩnh vực thiết kế máy móc và kết cấu, phân tích đàn-dẻo đóng vai trò quan
trọng không thể thiếu. Tuy nhiên phân tích đàn-dẻo bằng công cụ toán học
tr-ớc đây với các mô hình thực tế hiện nay tỏ ra rất phức tạp và nhiều bài toán
phi tuyến tìm ra ch-a có lời giải chính xác. Vì vậy để khắc phục đặc điểm này
và để phát triển ứng dụng của phân tích đàn-dẻo trong các bài toán khoa học
kỹ thuật ngày nay các ph-ơng pháp số, đặc biệt là ph-ơng pháp phần tử hữu
hạn, đ-ợc sử dụng rộng rãi.
1. Lý do chọn đề tài
- Ph-ơng pháp số đã đ-ợc áp dụng trong hầu hết các bài toán thực tế
của cơ học kết cấu trong phạm vi lý thuyết đàn hồi, phân tích đàn-dẻo sử dụng
ph-ơng pháp số là một h-ớng nghiên cứu mới. Ph-ơng pháp số nói riêng và
ph-ơng pháp phần tử hữu hạn nói chung là lựa chọn hợp lý nhất trong phân
tích các bài toán đàn-dẻo vì tính phức tạp và đòi hỏi khối l-ợng tính toán lớn.
- Trạng thái đàn-dẻo có thể xảy ra trong bất kỳ kết cấu hay máy móc
nào khi nó làm việc d-ới tác động của tải trọng, nên việc phân tích kết cấu
đàn-dẻo là vấn đề hết sức cần thiết và có tính thực tế cao.
- Ph-ơng pháp phần tử hữu hạn là một ph-ơng pháp số đặc biệt có hiệu
quả trong việc phân tích các bài toán phi tuyến quá phức tạp mà các ph-ơng
pháp giải tích thông th-ờng không thể phân tích đ-ợc. Vì vậy ngày nay
ph-ơng pháp phần tử hữu hạn đ-ợc sử dụng rộng rãi và không thể thiếu trong
các bài toán khoa học kỹ thuật.
2. Mục đích, đối t-ợng và phạm vi nghiên cứu

Luận văn thạc sĩ

Ngành Cơ học

Học viên:
Nguyễn Văn Luật

7

- Mục đích của đề tài đặt ra là xây dựng đ-ợc công thức phần tử, thuật
toán và ch-ơng trình tính cho phân tích dầm đàn-dẻo. Trên cơ sở ch-a từng
xây dựng tiến hành phân tích một số kết cấu đàn-dẻo cụ thể.
- Đối t-ợng nghiên cứu của đề tài này là các kết cấu dầm chịu lực
- Phạm vi nghiên cứu của đề tài là phần tử dầm Bernulli hai nút
3. ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Lý thuyết dẻo là một trong những h-ớng nghiên cứu cơ bản của cơ học
vật rắn biến dạng. Trong đó h-ớng nghiên cứu dựa trên các ph-ơng pháp số
trong phân tích đàn-dẻo đang là xu h-ớng rất phát triển trên thế giới nhằm
đánh giá đầy đủ các vùng làm việc trong kết cấu và máy móc. Các kết cấu
dầm chịu lực là các kết cấu đ-ợc thiết kế phổ biến trong thực tế hiện nay, vì
vậy việc nghiên cứu đầy đủ các trạng thái làm việc của loại kết cấu này là vấn
đề hết sức quan trọng đ-ợc đặt ra. Với ý nghĩa đó thì đề tài đ-ợc xây dựng
nhằm đ-a ra một công cụ hiệu quả để phân tích các bài toán thực tế ở trạng
thái đàn-dẻo.

Luận văn thạc sĩ

Ngành Cơ học

Học viên:
Nguyễn Văn Luật

8

Ch-ơng I
ứng xử đàn-dẻo của vật liệu kết cấu
1.1 Mở đầu
Thép mềm (mild-steel) là loại vật liệu kết cấu thông dụng và đ-ợc sử
dụng nhiều nhất trong thiết kế kỹ thuật. D-ới tác động của lực ngoài các phần
tử kết cấu bị biến dạng, tức là dạng hình học ban đầu của chúng bị thay đổi.
Tùy theo giá trị và đặc tính của lực ngoài, biến dạng của kết cấu có thể khác
nhau. Mối quan hệ giữa lực tác dụng và chuyển vị của kết cấu hoặc mối quan
hệ ứng suất-biến dạng trong quá trình kết cấu chịu lực là đặc tr-ng ứng xử của
vật liệu kết cấu. Khi lực ngoài đủ nhỏ, mối quan hệ ứng suất-biến dạng là
tuyến tính và ứng xử của vật liệu là đàn hồi. Trong miền đàn hồi, cấu hình ban
đầu của kết cấu đ-ợc khôi phục hoàn toàn khi tải trọng ngoài đ-ợc dỡ bỏ. Khi
tải ngoài v-ợt quá giá trị nhất định (giới hạn chảy), phụ thuộc vào vật liệu cụ
thể, kết cấu bắt đầu chảy dẻo và cấu hình ban đầu không thể phục hồi khi tải
ngoài đ-ợc dỡ bỏ. Với kết cấu, ứng xử đàn-dẻo trong đó cả phần biến dạng
đàn hồi và biến dạng dẻo đều đóng vai trò quan trọng trong phân tích, là mô
hình phổ biến nhất trong phân tích kết cấu có tính tới ảnh h-ởng của biến
dạng dẻo. Ch-ơng này trình by các vấn đề cơ bản liên quan tới ứng xử của
vật liệu kết cấu mà trọng tâm là loại thép mềm. Mô hình vật liệu đàn-dẻo
l-ỡng tuyến tính với luật tái bền, th-ờng dùng trong phân tích số các kết cấu

đàn-dẻo, đ-ợc trình bày và thảo luận chi tiết. ứng xử của dầm d-ới tác động
của tải ngoài v-ợt quá giới hạn đàn hồi, gây ra biến dạng dẻo cũng đ-ợc đề
cập.
1.2 Các kết quả từ thực nghiệm
Để xác định các tính chất cơ học cơ bản của vật liệu dùng trong kết cấu
ng-ời ta th-ờng tiến hành các thực nghiệm trên mẫu tiêu chuẩn. Một trong các
thực nghiệm phổ biến nhất là kéo giản đơn, trong đó mẫu chuẩn đ-ợc kẹp chặt

Luận văn thạc sĩ

Ngành Cơ học

Học viên:
Nguyễn Văn Luật

9

giữa hai bộ gá của máy thử và chất tải kéo. Độ giãn dài của mẫu trong quá
trình thử đ-ợc đo nhờ lá điện trở (gage) hoặc extensometer. Thông th-ờng
máy thử đ-ợc gắn với máy tính, nhờ nó các số liệu thử nghiệm đ-ợc kiểm soát
và xử lý tự động nhờ phần mềm chuyên dụng. Hình 1.1 minh họa sơ đồ của
thử nghiệm kéo.

Hình 1.1: Sơ đồ điển hình của thử nghiệm kéo mẫu kim loại.
Kích th-ớc và hình dạng mẫu thử đóng vai trò quan trọng và ảnh h-ởng
tới kết quả thử nghiệm. Kích th-ớc mẫu có thể khác nhau, tuỳ theo tiêu chuẩn
thử lựa chọn. Thông th-ờng hai đầu mẫu có kích th-ớc lớn hơn phần giữa để
chúng có thể dễ dàng gắn vào bộ kẹp và phá hủy của mẫu không xảy ra gần
phần gá, nơi có ứng suất tập trung làm ảnh h-ởng tới kết quả thử. Tiêu chuẩn
của Hội thử nghiệm và Vật liệu Mỹ (American Society for Testing and

Materials-ASTM) là một trong các tiêu chuẩn phổ biến và đ-ợc sử dụng nhiều
nhất, trong đó mẫu thử kéo cho vật liệu kim loại là mẫu tròn có đ-ờng kính là
12,8 mm và chiều dài hữu hiệu của lá điện trở là 50,8mm [3].
Mẫu thử
Thiết bị đo
độ giãn
Cảm biến lực
Xà di động

Luận văn thạc sĩ

Ngành Cơ học

Học viên:
Nguyễn Văn Luật

10





O
Miền
tuyến tính
Dẻo
lý t-ởng
Tái bền
Co thắt
Cất tải

Giới hạn
tỉ lệ
ứng suất chảy
ứng suất
cực đại
A
B
C
'C
D
E
'E
'D

Hình 1.2: Biểu đồ ứng suất-biến dạng cho thép kết cấu điển hình
nhận đ-ợc từ thử nghiệm kéo.
Một trong các thông tin quan trọng nhận đ-ợc từ thử nghiệm là biểu đồ
quan hệ ứng suất-biến dạng. Hình 1.2 minh họa biểu đồ này cho vật liệu thép
kết cấu thông th-ờng, tức là thép có hàm l-ợng carbon thấp, th-ờng dùng
trong xây dựng, cầu cống và máy móc. L-u ý rằng tỷ lệ trên Hình 1.2 không
chính xác với tỷ lệ thực.
Nh- ta thấy từ Hình 1.2, khởi nguồn của quan hệ giữa ứng suất và biến
dạng là tuyến tính. Phần đ-ờng thẳng xuất phát từ gốc 0 và kéo dài tới điểm
A. Sau điểm A mối quan hệ tuyến tính giữa ứng suất và biến dạng không còn
tồn tại vì thế điểm A đ-ợc gọi là giới hạn tỷ lệ hay giới hạn đàn hồi. Thép
thông dụng dùng trong xây dựng, cầu cống, máy móc thuộc loại thép mềm
th-ờng có hàm l-ợng carbon thấp, giới hạn tỷ lệ của loại thép này nằm trong
khoảng 200 tới 280 MPa. Thép có độ bền cao có hàm l-ợng carbon cao hơn
thép thông th-ờng, giới hạn tỷ lệ có thể lên tới 550 MPa hoặc cao hơn. Trong
phần giới hạn tỷ lệ này mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng tuân theo định

Luận văn thạc sĩ

Ngành Cơ học

Học viên:
Nguyễn Văn Luật

11

luật Hooke và độ nghiêng của đoạn thẳng xuất phát từ 0 tới A là mô-đun đàn
hồi hay mô-đun Young (Thomas Young, 1807) của vật liệu.
Khi tải trọng tăng quá giới hạn tỷ lệ, biến dạng bắt đầu tăng nhanh.
Biểu đồ ứng suất-biến dạng có độ dốc nhỏ hơn và tới điểm B độ dốc của biểu
đồ bằng 0, khi đó biểu đồ quan hệ ứng suất-biến dạng trở thành đ-ờng nằm
ngang. Lúc này mặc dù lực ngoài không tăng nh-ng độ giãn dài của mẫu vẫn
tăng đáng kể. Mối quan hệ ứng suất-biến dạng trong giai đoạn này đ-ợc biểu
thị bằng phần đ-ờng cong từ điểm B tới điểm C trên Hình 1.2 và hiện t-ợng
này đ-ợc biết tới nh- là sự chảy dẻo của vật liệu. Điểm B đ-ợc gọi là điểm
chảy và ứng suất t-ơng ứng của nó đ-ợc gọi là ứng suất chảy ban đầu (initial
yield stress). ứng xử của vật liệu trong vùng từ điểm B tới điểm C là chảy dẻo
lý t-ởng, tức là vật liệu vẫn tiếp tục biến dạng mặc dù lực ngoài không tăng.
Độ giãn dài của thép mềm trong vùng chảy dẻo lý t-ởng th-ờng lớn hơn từ 10
tới 15 lần độ giãn dài trong khoảng giới hạn tỷ lệ.
Sau khi trải qua giai đoạn biến dạng lớn do chảy dẻo với miền BC vật
liệu bắt đầu chuyển sang giai đoạn tái bền (strain hardening). Trong giai đoạn
này vật liệu có sự thay đổi về cấu trúc hạt nhân và tinh thể và có khả năng
kháng cự lại biến dạng, tức là để phát triển thêm độ giãn dài cần phải tăng
thêm lực kéo. Biểu đồ ứng suất-biến dạng trong giai đoạn này có độ dốc
d-ơng và đ-ợc biểu thị bằng phần CD trên Hình 1.2. ở cuối giai đoạn tái bền,

tại điểm D, ứng suất đạt giá trị lớn nhất và ứng suất
D

đ-ợc gọi là ứng suất
cực đại (ultimate stress). Sau điểm D mẫu tiếp tục bị kéo giãn và cuối cùng
phá huỷ xảy ra tại điểm E.
Trên thực tế, sau điểm C tức là sau giai đoạn chảy dẻo lý t-ởng thiết
diện ngang của mẫu tại lân cận vùng phá hủy bắt đầu giảm và hiện t-ợng này
đ-ợc biết tới trong thực nghiệm với tên co thắt (necking). Nếu thiết diện
ngang thực của mẫu đ-ợc sử dụng để tính toán, đ-ờng cong ứng suất-biến
dạng thực (actual stress-strain curve) sẽ tuân theo đờng CE chứ không phải

Luận văn thạc sĩ

Ngành Cơ học

Học viên:
Nguyễn Văn Luật

12

đ-ờng CE trên Hình 1.2. Cần l-u ý rằng, sau điểm D ứng suất thực trong mẫu
vẫn tăng nh-ng khả năng chịu tải ngoài không tăng và lực cực đại mẫu có thể
chịu đ-ợc là lực kéo t-ơng ứng với điểm D. Từ quan điểm thực tế, biểu đồ ứng
suất-biến dạng thông th-ờng, tức là đ-ờng cong 0ABCDE dựa trên thiết diện
ban đầu của mẫu th-ờng đ-ợc sử dụng vì nó dễ tính toán và đủ đáp ứng cho
các vấn đề của thiết kế.
1.3 ứng xử đàn hồi
D-ới tác dụng của lực ngoài, phần lớn vật liệu ban đầu có ứng xử đàn
hồi nh- minh họa bởi phần 0A trên biểu đồ quan hệ ứng suất-biến dạng trên

Hình 1.2. Trong miền này mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là đàn hồi
tuyến tính (linearly elastic). ứng xử đàn hồi đóng vai trò quan trọng trong kỹ
thuật vì nhiều kết cấu và máy móc đ-ợc thiết kế để làm việc trong vùng ứng
suất thấp nhằm tránh các biến dạng vĩnh viễn sinh ra do chảy dẻo.
Trong tr-ờng hợp kéo giản đơn mô tả trên, mối quan hệ đàn hồi tuyến
tính giữa ứng suất và biến dạng cho bởi ph-ơng trình

E
(1.1)
Ph-ơng trình (1.1) đ-ợc biết tới d-ới tên định luật Hooke (Robert
Hooke, 1676) trong đó E (đơn vị là MPa hoặc N/mm
2
) là mô-đun đàn hồi của
vật liệu. Với vật liệu kim loại, giá trị của E nằm trong khoảng 4,5x10
4
MPa
(Magiê) tới 40,7x10
4
Mpa (Vonfam). Thép xây dựng thông th-ờng có mô-đun
đàn hồi khoảng 21x10
4
MPa. Vật liệu có mô-đun đàn hồi càng cao thì càng
cứng, tức là khả năng chống lại biến dạng đàn hồi cao hơn. Dạng tổng quát
của định luật Hooke trong tr-ờng hợp ba chiều cho bởi công thức

ij

=
ijkl
E

kl

(1.2)
Trong đó
ij

(i,j = 1,2,3) là ten-xơ ứng suất;
kl

là ten-xơ biến dạng và
ijkl
E
là
ten-xơ các hằng số đàn hồi. Với vật liệu đàn hồi đẳng h-ớng, ph-ơng trình
(1.2) đ-a về dạng

Luận văn thạc sĩ

Ngành Cơ học

Học viên:
Nguyễn Văn Luật

13


ij

=
ij

+
ij
2
(1.3)
Trong đó
332211

là biến dạng thể tích;

và

là các hằng số
Lamé (G. Lamé, 1852). Trong một số tài liệu, chẳng hạn trong [8], mô-đun
tr-ợt
G
đ-ợc dùng thay cho

trong ph-ơng trình (1.3). Mối liên hệ giữa các
hằng số Lamé và các hằng số đàn hồi đ-ợc trình bày trong các sách về lý
thuyết đàn hồi [1, 8].
1.4 ứng xử đàn-dẻo
Trong tr-ờng hợp phần tử kết cấu có biến dạng dẻo nh-ng độ lớn của
biến dạng này cùng bậc với biến dạng đàn hồi và cả biến dạng đàn hồi và biến
dạng dẻo đều phải tính tới trong phân tích kết cấu thì ứng xử của kết cấu là
ứng xử đàn-dẻo [6]. Khác với tr-ờng hợp biến dạng dẻo lớn nh- trong bài toán
cán kim loại, biến dạng đàn hồi rất nhỏ, có thể bỏ qua trong phân tích và chỉ
có biến dạng dẻo đ-ợc xét đến. Bài toán đàn-dẻo là bài toán quan trọng nhất
và có ý nghĩa thực tiễn trong lĩnh vực phân tích kết cấu vì trên thực tế một
hoặc một vài vị trí của kết cấu có thể chuyển sang chảy dẻo nh-ng kết cấu vẫn

còn khả năng làm việc.
Thép xây dựng thông th-ờng có biến dạng tới giới hạn đàn hồi khoảng
5% [3]. Miền dẻo lý t-ởng tiếp theo có biến dạng với độ lớn bằng chừng
khoảng 10 lần biến dạng đàn hồi. Sau giới hạn đàn hồi vật liệu bắt đầu chảy
dẻo. Tại một điểm C nào đó giữa giới hạn đàn hồi B và điểm cực đại D (Hình
1.2) nếu ta thực hiện việc bỏ tải ngoài thì quá trình cất tải sẽ tuân theo luật đàn
hồi, tức là theo đờng CD song song với đ-ờng 0A. Sau quá trình cất tải,
một phần của biến dạng đ-ợc phục hồi, một phần khác tồn tại vĩnh viễn trong
mẫu. Biến dạng tổng thể trong mẫu tr-ớc khi cất tải có thể xem nh- là tổng
của hai phần, biến dạng đàn hồi
e

và biến dạng dẻo
P




=
e

+
P

(1.4)

Luận văn thạc sĩ

Ngành Cơ học

Học viên:
Nguyễn Văn Luật

14

Nếu tại điểm C ta thực hiện lại quá trình chất tải, đ-ờng quan hệ ứng
suất-biến dạng sẽ quay lại đúng theo đờng CD. Trong tr-ờng hợp D nằm
trong miền tái bền CD, vật liệu chỉ chuyển sang giai đoạn chảy dẻo khi ứng
suất trong mẫu đạt giá trị
'C

, lớn hơn ứng suất chảy ban đầu
B

.
ứng xử đàn hồi và đàn dẻo trên đây đ-ợc mô tả dựa trên thí nghiệm kéo
giản đơn. Với vật liệu kim loại, biểu đồ quan hệ ứng suất-biến dạng của kim
loại mềm khi nén vẫn có dạng nh- trên Hình 2.2 và giá trị của ứng suất chảy
ban đầu trong kéo và nén là nh- nhau. Tuy nhiên do hiệu ứng Bauchinger [6],
độ lớn của ứng suất chảy của mẫu trong nén sau khi đã chịu kéo quá giới hạn
đàn hồi khác với giá trị ứng suất tại thời điểm cất tải. Vấn đề này đ-ợc sẽ đ-ợc
trình bày chi tiết hơn trong mô hình luật tái bền d-ới đây.
1.5 Mô hình đàn-dẻo l-ỡng tuyến tính
Mối quan hệ ứng suất-biến dạng minh họa trên Hình 1.2 mô tả chi tiết
ứng xử của vật liệu kim loại, bao gồm đàn hồi tuyến tính, đàn hồi phi tuyến,
dẻo lý t-ởng và tái bền. Việc sử dụng mô hình ứng xử chi tiết nh- vậy vào
phân tích số gặp nhiều khó khăn. Thêm vào đó, có những miền ứng xử, chẳng
hạn đàn hồi phi tuyến, xảy ra rất ngắn và ít có ý nghĩa thực tế. Để thuận lợi
cho tính toán, một số mô hình dẻo đã đ-ợc đề nghị, trong đó mô hình l-ỡng
tuyến tính đ-ợc nhiều tài liệu sử dụng trong phân tích kết cấu đàn-dẻo.

Trong mô hình đàn-dẻo l-ỡng tuyến tính, Hình 1.3, mối quan hệ ứng
suất và biến dạng đ-ợc lý t-ởng hóa bằng hai đ-ờng thẳng với độ dốc
E
và
t
E
, t-ơng ứng là mô-đun đàn hồi và mô-đun tiếp tuyến (tangent modulus) của
vật liệu. Sau giai đoạn đàn hồi, xác định bởi ứng suất chảy


, vật liệu bắt đầu
chảy dẻo với mối quan hệ ứng suất-biến dạng theo đ-ờng tuyến tính mới với
độ dốc
t
E
,
EE
t

. Khi vật liệu chảy dẻo, sự tăng của gia số biến dạng toàn
phần
d
từ vị trí điểm A sang điểm B, Hình 1.3, bao gồm hai phần: phần do

Luận văn thạc sĩ

Ngành Cơ học

Học viên:
Nguyễn Văn Luật

15

biến dạng đàn hồi
e
d
và phần do chảy dẻo
p
d
:
pe
ddd
. Sự tăng t-ơng
ứng của gia số ứng suất, nh- thấy trên Hình 1.3(a), đ-ợc tính bởi

)dd(Ed
p

hoặc
dEd
t
hoặc
p
Hdd
(1.5)
Trong đó
H
là tham số tái bền. Mối quan hệ giữa tham số tái bền
H
với

mô-đun đàn hồi
E
và mô-đun tiếp tuyến
t
E
dễ dàng nhận đ-ợc từ ph-ơng
trình (1.5), chẳng hạn thay ph-ơng trình thứ nhất và thứ ba của (1.5) vào
ph-ơng trình thứ hai ta nhận đ-ợc

E/E1
E
H
t
t



hoặc








HE
E
1EE
t

(1.6)
Trong tr-ờng hợp
E
hữu hạn và
0E
t

thì
0H
, vật liệu là đàn-dẻo lý
t-ởng. Mô hình đàn-dẻo lý t-ởng đ-ợc minh họa trên Hình 1.3(b).

Hình 1.3: Mô hình l-ỡng tuyến tính cho vật liệu đàn-dẻo:
(a) tái bền
0E
t

, (b) dẻo lý t-ởng
0E
t


Lý thuyết dẻo gồm ba phần: 1) Tiêu chuẩn chảy dẻo (yield criterion), 2)
Luật chảy (flow rule), 3) Luật tái bền (hardening rule). Cả ba phần này cần
thiết cho phân tích kết cấu đàn-dẻo và sẽ đ-ợc trình bày chi tiết d-ới đây.
1.6 Luật chảy dẻo
Luật chảy dẻo hay còn gọi là tiêu chuẩn chảy dẻo xác định khi nào vật

t
E
E
E




o
o
)a(
)b(
0E
t

A
B
d
p
d
e
d
d



Luận văn thạc sĩ

Ngành Cơ học

Học viên:
Nguyễn Văn Luật

16

liệu bắt đầu chảy. Trong tr-ờng hợp một chiều chảy dẻo xảy ra khi độ lớn ứng
suất
||

đạt giá trị ứng suất chảy


, trong đó


th-ờng đ-ợc xác định từ
kiểm tra kéo mẫu vật liệu. Nh- nói tới ở trên, biến dạng dẻo có thể làm thay
đổi giá trị của ứng suất chảy, và trong tr-ờng hợp vật liệu tái bền,
0E
t

, ứng
suất chảy mới có giá trị lớn hơn ứng suất chảy ban đầu.
Trong tr-ờng hợp tổng quát, luật chảy dẻo đ-ợc định nghĩa qua hàm
chảy
f
(yield function), là hàm của vec-tơ ứng suất

và các tham biến trong
dùng để mô tả luật tái bền. Với vật liệu kim loại, tiêu chuẩn von Mises th-ờng
đ-ợc sử dụng trong phân tích, trong đó hàm
f
trong tr-ờng hợp hai chiều cho
bởi



e
2/12
xyyx
2
y
2
x
)3(f
(1.7)
Trong đó
e

đ-ợc gọi là ứng suất hữu hiệu (effective stress) và


là ứng suất
chảy ban đầu, đ-ợc xác định từ thí nghiệm kéo mẫu giản đơn. Tiêu chuẩn
chảy nói rằng chảy dẻo trong vật liệu xảy ra khi
0f
. Khi

0f
vật liệu đang
ở trạng thái đàn hồi hoặc trong giai đoạn cất tải.

Hình 1.4: Mặt dẻo von Mises trong không gian ứng suất chính
Tiêu chuẩn chảy dẻo von Mises
0f
, định nghĩa bởi ph-ơng trình (1.7)
trong không gian ứng suất chính
),(
21

là mặt elip, Hình 1.4. ở trạng thái đàn
0
0F




F
a
2

1

.


Luận văn thạc sĩ

Ngành Cơ học

Học viên:
Nguyễn Văn Luật

17

hồi,


e
, ứng suất hữu hiệu nằm trong hình elip. Khi tải trọng ngoài tăng,
ứng suất hữu hiệu tăng và chảy dẻo xẩy ra khi
e

đạt giá trị ứng suất chảy


.
Luật chảy xác định mối quan hệ giữa gia số ứng suất

và gia số biến
dạng

khi chảy dẻo (chính xác hơn là giữa
d
và
d
). Trong tr-ờng hợp
một chiều mối liên hệ này giản đơn là

dEd
t
, tức là mô tả sự tăng của ứng
suất gây ra bởi sự tăng của biến dạng. Với vật liệu von Mises, luật chảy
Plandtl-Reuss th-ờng đ-ợc sử dụng và trong tr-ờng hợp hai chiều có dạng

p
xy
p
y
p
x
xy
y
x
xy
y
x
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d C
(1.8)
Hoặc d-ới dạng vec-tơ:

})d{}d]({[}d{
p
C
(1.9)

Trong đó
][C
là ma trận các hằng số đàn hồi;
}d{
là gia số biến dạng
toàn phần tăng thêm và
}d{
p

là gia số biến dạng dẻo, đ-ợc xác định từ hàm
chảy
f
theo công thức [6]

}{d
f
d}d{
p
a









(1.10)
Với

f
a
. Từ (1.7) ta tính đ-ợc

xy
xy
yx
e
6
2
2
2
1f
}{a
(1.11)
Véc-tơ
a
, định nghĩa bởi (1.11) là vec-tơ trực giao với mặt dẻo, Hình
1.4;
d
là hằng số d-ơng và đ-ợc gọi là nhân tử gia số biến dạng dẻo. Với
d

định nghĩa bởi (1.10), gia số ứng suất sinh ra từ gia số biến dạng
d
có thể viết
d-ới dạng

}){d}d]({[})d{}d]({[}d{
p
aCC
(1.12)


Luận văn thạc sĩ

Ngành Cơ học

Học viên:
Nguyễn Văn Luật

18

1.7 Luật tái bền
Nh- trình bày ở phần trên, sau giai đoạn chảy dẻo lý t-ởng kim loại
chuyển sang miền tái bền và trong miền này lực ngoài cần thêm vào để có
đ-ợc sự gia tăng của biến dạng. Nếu sau khi đã chảy dẻo ta tiến hành cất tải
thì chỉ có biến dạng đàn hồi biến mất còn biến dạng dẻo tồn tại vĩnh viễn
trong vật liệu. Do ảnh h-ởng của tái bền ứng suất chảy của vật liệu đã qua
chảy dẻo khác với ứng suất chảy ban đầu.
Hai luật tái bền th-ờng đ-ợc sử dụng trong phân tích kết cấu đàn-dẻo là
tái bền đẳng h-ớng (isotropic hardening) và tái bền động học (kinematic
hardening). Trong tái bền đẳng h-ớng ng-ời ta giả định rằng chảy dẻo trong
vật liệu đã qua chảy dẻo do kéo sẽ xảy ra trong chất tải theo h-ớng ng-ợc lại,
tức là trong nén, khi ứng suất nén có độ lớn bằng với ứng suất chảy khi cất tải.
Với mô hình đàn-dẻo l-ỡng tuyến tính điều này có nghĩa là tại điểm B nào đó
trên biểu đồ ứng suất-biến dạng (Hình 1.5(a)) ta cất tải trở về điểm C và tại C

chất tải theo h-ớng ng-ợc lại thì chảy dẻo chỉ xảy ra khi ứng suất

trong vật
liệu thỏa mãn
B

. Nếu chu trình chất và cất tải liên tục xảy ra thì với luật
tái bền động học, giá trị ứng suất chảy mới liên tục tăng lên. Nói cách khác
mặt dẻo nở rộng ra.

Hình 1.5: Luật tái bền: (a) tái bền đẳng h-ớng, (b) tái bền động học




o
o
BD


2
BD
Chất tải
Cất tải
Chất tải
ng-ợc chiều
Cất tải
Chất tải
Chất tải
ng-ợc chiều

B
A
C
E
D
A
B
C
E
D
)a(
)b(





Luận văn thạc sĩ

Ngành Cơ học

Học viên:
Nguyễn Văn Luật

19

Tuy nhiên, bằng thực nghiệm Bauchinger đã chỉ ra rằng, một mẫu thử
bằng vật liệu kim loại nào đó đầu tiên có biến dạng chảy sinh ra bởi lực kéo
rồi cất tải hoàn toàn và sau đó đặt lực trở lại nh-ng theo chiều ng-ợc lại thì giá
trị ứng suất của điểm chảy trong tr-ờng hợp nén sẽ nhỏ hơn giá trị ứng suất

của điểm chảy trong tr-ờng hợp kéo ban đầu. Cách giải thích tốt nhất cho hiện
t-ợng này dựa vào tính không đẳng h-ớng của vật liệu khi đặt lực. Hiệu ứng
quan trọng trong nghiên cứu chảy dẻo này mang tên ông, hiệu ứng
Bauchinger. Từ việc xem xét hiệu ứng Bauchinger, luật tái bền động học đ-ợc
đề nghị. Trong đó ứng suất chảy khi nén của mẫu vật liệu đã qua chảy dẻo do
kéo xảy ra khi tổng độ lớn ứng suất kéo và nén bằng hai lần ứng suất chảy ban
đầu. Với vật liệu tái bền, điều này có nghĩa rằng vật liệu sau khi đã chảy dẻo
do kéo sẽ chảy dẻo lại khi chất tải nén ở ứng suất thấp hơn so với ứng suất
chảy ban đầu


. Kích th-ớc của mặt dẻo trong tr-ờng hợp này không thay
đổi nh-ng tâm của mặt dẻo luôn di động sau mỗi chu trình chất và cất tải.
Luật tái bền động học trong tr-ờng hợp một chiều đ-ợc minh hoạ trên Hình
1.5(b).
1.8 Kết luận ch-ơng 1
Ch-ơng 1 tóm l-ợc các vấn đề cơ bản liên quan tới ứng xử của vật liệu
kim loại d-ới tác động của tải trọng ngoài trên cơ sở khảo sát mẫu vật liệu
chịu kéo giản đơn. Mối quan hệ ứng suất-biến dạng của vật liệu đàn hồi tuân
theo định luật Hooke đ-ợc nhắc lại. Khi tải ngoài v-ợt quá giới hạn đàn hồi,
vật liệu bắt đầu chảy dẻo. Các vấn đề của lý thuyết dẻo cần cho phân tích số
nh- tiêu chuẩn chảy, luật chảy và luật tái bền đ-ợc trình bày cụ thể. Mô hình
đàn-dẻo l-ỡng tuyến tính cho vật liệu kim loại và hai luật tái bền phổ biến là
tái bền đẳng h-ớng và tái bền động học đ-ợc thảo luận chi tiết.



Luận văn thạc sĩ

Ngành Cơ học

Học viên:
Nguyễn Văn Luật

20

Ch-ơng II
ph-ơng pháp phần tử hữu hạn
cho dầm đàn-dẻo
2.1 Mở đầu
Ph-ơng pháp Phần tử hữu hạn (PTHH) đ-ợc phát triển lần đầu tiên
trong lĩnh vực phân tích ứng suất, biến dạng của các kết cấu hàng không vào
những năm 50 của thế kỷ 20, hiện là một trong các công cụ không thể thiếu
trong nghiên cứu khoa học và kỹ thuật [9]. Thông th-ờng, bài toán phân tích
bằng ph-ơng pháp PTHH có kích th-ớc quá lớn hoặc quá phức tạp, các
ph-ơng pháp giải tích truyền thống không sử dụng để phân tích đ-ợc. Phân
tích kết cấu phi tuyến nói chung và kết cấu đàn-dẻo nói riêng th-ờng phức tạp,
các ph-ơng pháp giải tích thông th-ờng chỉ có hiệu lực cho các kết cấu có
dạng hình học và tải trọng giản đơn. Ch-ơng này tóm l-ợc các ý t-ởng cơ bản
của ph-ơng pháp PTHH dùng trong lĩnh vực cơ học kết cấu và cơ học vật rắn
biến dạng. Ph-ơng pháp PTHH và thuật toán số dùng trong phân tích kết cấu
phi tuyến đ-ợc trình bày chi tiết. Phần tử dầm đàn-dẻo hai nút dùng trong
phân tích các kết cấu phẳng đàn-dẻo đ-ợc xây dựng dựa trên lý thuyết dầm
Bernoulli.
2.2 Ph-ơng pháp phần tử hữu hạn
ý t-ởng trung tâm của ph-ơng pháp PTHH là rời rạc hóa một kết cấu
liên tục thành các phần tử có dạng hình học giản đơn, với các đặc tr-ng cơ học
đã biết hoặc dễ dàng xác định đ-ợc. Các phần tử đ-ợc gắn kết với nhau tại các
điểm nút để tạo thành. Mô hình nhận đ-ợc từ quá trình rời rạc hóa đ-ợc gọi là
mô hình PTHH. Hình 2.1 minh họa một kết cấu giả định với mô hình PTHH

tạo từ các loại phần tử khác nhau.


Luận văn thạc sĩ

Ngành Cơ học

Học viên:
Nguyễn Văn Luật

21


Hình 2.1: Kết cấu phẳng với mô hình PTHH tạo từ
các phần tử khác nhau
Nh- vậy, với quá trình rời rạc hóa, thay cho việc tìm nghiệm liên tục,
chẳng hạn của tr-ờng chuyển vị bằng việc xác định giá trị của tr-ờng này tại
các điểm nút nhờ việc giải hệ các ph-ơng trình đại số tuyến tính mô tả sự cân
bằng của kết cấu rời rạc. Kết quả của quá trình rời rạc hoá là bài toán ban đầu
với vô số bậc tự do đ-ợc thay thế bằng bài toán t-ơng đ-ơng có một số hữu
hạn bậc tự do. Chuyển vị bên trong mỗi phần tử đ-ợc xác định qua các chuyển
vị nút nhờ phép nội suy thích hợp. Thông th-ờng trong ph-ơng pháp PTHH
các đa thức giản đơn đ-ợc sử dụng làm các hàm nội suy.
Với bài toán đàn hồi tuyến tính, công thức phần tử hữu hạn có thể đ-ợc
thiết lập trên cơ sở nguyên lý thế năng toàn phần dừng bằng cách xây dựng
phiếm hàm thế năng toàn phần

cho kết cấu rời rạc hóa

=
U
+

=
dV}]{[}{
2
1
V
T


E
-
dV}{}{
V
T

Fu
-


S
T
dS}{}{u
-
}{}{
T
PD
(2.1)

Trong đó
U
là năng l-ợng biến dạng đàn hồi;

là thế năng của lực
ngoài;
T
zxyzxyzyx
}{}{
,
T
zxyzxyzyx
}{}{
là
các vec-tơ ứng suất và biến dạng;

T
wvuu
là vec-tơ chuyển vị;

T
zyx
FFFF
là vec-tơ lực khối;
}{
là lực căng bề mặt;
}{D
là vec-tơ
chuyển vị nút của kết cấu;
P

là các lực hoặc mô-men tập trung đặt tại nút;
][E

là ma trận các hằng số đàn hồi. Tr-ờng hợp vật liệu đẳng h-ớng
][E
là ma trận

Luận văn thạc sĩ

Ngành Cơ học

Học viên:
Nguyễn Văn Luật

22

(
66
), gồm 12 hệ số bằng 0 và 9 hệ số còn lại khác 0 là
C)1(EEE
332211

;
CEEE
231312

;
)1(2
E
GEEE

665544


;
với
)21)(1(
E
C


,
E
là mô-đun đàn hồi Young,

là hệ số poisson. Để đơn
giản, ph-ơng trình (2.1) bỏ qua biến dạng và ứng suất ban đầu.
Tr-ờng chuyển vị
u
trong mỗi phần tử đ-ợc nội suy từ các chuyển vị nút

}]{[}{ dNu
hoặc



n
1i
ii
dN}{u
(2.2)

trong đó
][N
là ma trận các hàm dạng,
T
n21
}d dd{][ d
là vec-tơ chuyển vị
nút,
n
là số nút của phần tử. Với (2.2), biến dạng đ-ợc xác định từ mối quan
hệ biến dạng-chuyển vị

x
0
z
zy
0
0
xy
z
00
0
y
0
00
x
zx
yz
xy
z
y
x

w
v
u
(2.3)
Từ (2.2) và (2.3) ta có thể viết vec-tơ biến dạng d-ới dạng





}{u
=


][N
][d
=
][B
][d
(2.4)
Trong đó


là toán tử vi phân, đ-ợc định nghĩa trong (2.3);
][B
là ma trận
biến dạng-chuyển vị cho bởi

][B

=


][N
(2.5)
Đặt (2.4) vào biểu thức thế năng toàn phần (2.1) ta đ-ợc


=
}]{[}{
2
1
NE
1n
T
n
dkd


-


NE
1n
n
T
n
}{}{
e
rd

-
}{}{
T
PD
(2.6)
Trong đó
][k
là ma trận độ cứng phần tử

Luận văn thạc sĩ

Ngành Cơ học

Học viên:
Nguyễn Văn Luật

23


dV]][[][][
e
V
T
BEk


(2.7)
và
}{
e

r
là vectơ lực nút phần tử

}{
e
r
=


e
e
V
S
TT
dS}{][dV}{][ NFN
(2.8)
Sử dụng cách ghép nối phần tử, ta có thể viết (2.6) d-ới dạng


=
}{}{}]{[}{
2
1
TT
RDDKD
(2.9)
Với

][K
=

NE
1n
n
][k
và
}{R
=
}{}{
NE
1n
n


Pr
e
(2.10)
Là ma trận độ cứng và vectơ lực nút của kết cấu. áp dụng nguyên lý thế năng
dừng cho ph-ơng trình (2.9) ta nhận đ-ợc công thức PTHH cho kết cấu.

0

D




][K
][D
=
}{R
(2.11)
Ph-ơng trình (2.11) là hệ các ph-ơng trình đại số tuyến tính với các ẩn là
chuyển vị nút
}{D
, đ-ợc gọi là ph-ơng trình phần tử hữu hạn. Ph-ơng pháp
Gauss là ph-ơng pháp phổ biến nhất để giải (2.11). Sau khi tìm đ-ợc các
chuyển vị nút
},{D
biến dạng đ-ợc tìm từ (2.4). Trên cơ sở định luật Hooke ta
tìm đ-ợc ứng suất
}{
.
Trong phân tích kết cấu khung dầm tuyến tính phẳng, phần tử dầm hai
nút minh họa trên Hình 2.2 đ-ợc sử dụng rộng rãi. Tại mỗi nút của phần tử có
hai bậc tự do là chuyển vị ngang và góc quay quanh trục vuông góc với mặt
phẳng (x,z). Nh- vậy vec-tơ chuyển vị nút
}{d
của phần tử gồm bốn thành
phần sau

1

w{}{ d

1


2
w

2

T
}
(2.12)
trong đó chỉ số trên
T
đ-ợc ký hiệu là chuyển vị của một vec-tơ hoặc một ma
trận. Với giả thiết đàn hồi tuyến tính, công thức phần tử có thể đ-ợc thiết lập
trên cơ sở nguyên lý thế năng toàn phần dừng. Trong tr-ờng hợp dầm