Nghiên cứu độ an toàn của sơ đồ chữ ký số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ




NGUYỄN THỊ LAN ANH




Nghiên cứu độ an toàn của sơ đồ chữ ký số



luËn v¨n th¹c sÜ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN











Hµ néi - 2006

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ




NGUYỄN THỊ LAN ANH




Nghiên cứu độ an toàn của sơ đồ chữ ký số



Mã số : 1.01.10


luËn v¨n th¹c sÜ CÔNG NGHỆ THÔNG TIN


Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Trịnh Nhật Tiến

Hµ néi - 2006




1
LỜI GIỚI THIỆU

Con ngƣời luôn có nhu cầu trao đổi thông tin với nhau. Nhu cầu đó tăng cao
khi các công nghệ mới ra đời đáp ứng cho việc trao đổi thông tin ngày càng nhanh.
Chúng ta vẫn không quên việc chiếc máy điện thoại ra đời đã là bƣớc tiến vƣợt bậc
trong việc rút ngắn khoảng cách đáng kể cả về thời gian và không gian giữa hai bên
muốn trao đổi thông tin. Những bức thƣ hay điện tín đƣợc gửi đi nhanh hơn khi các
phƣơng tiện truyền thông phát triển. Đặc biệt hơn là từ khi Internet xuất hiện, dƣờng
nhƣ yêu cầu trao đổi thông tin của chúng ta đƣợc đáp ứng ngay khi ấn phím “send”.
Sẽ còn rất nhiều tiện ích mà các công nghệ mới đã đem lại cho chúng ta trong mọi
lĩnh vực Kinh tế- Văn hoá-Giáo dục-Y tế
Ích lợi của Internet mang lại đối với xã hội là vô cùng, nhƣng cũng không thể
không kể đến những mặt trái của nó khi con ngƣời sử dụng nó với mục đích không
tốt. Vì vậy mà đối với những thông tin quan trọng khi truyền trên mạng nhƣ những
bản hợp đồng ký kết, các văn kiện mang tính bảo mật thì vấn đề quan tâm nhất đó là
có truyền đƣợc an toàn hay không?
Do vậy để chống lại sự tấn công hay giả mạo, thì nảy sinh yêu cầu là cần phải
làm thế nào cho văn bản khi đƣợc gửi đi sẽ “không đƣợc nhìn thấy”, hoặc không thể
giả mạo văn bản, dù có xâm nhập đƣợc vào văn bản. Nhu cầu đó ngày nay đã đƣợc
đáp ứng khi công nghệ mã hoá và chữ ký số ra đời. Với công nghệ này, thì đã trợ giúp
con ngƣời giải quyết đƣợc bài toán nan giải về bảo mật khi trao đổi thông tin.

Cùng với sự phát triển của mật mã khoá công khai, ngƣời ta đã nghiên cứu và
đƣa ra nhiều phƣơng pháp, nhiều kỹ thuật ký bằng chữ ký số ứng dụng trong các hoạt
động kinh tế, xã hội. Chẳng hạn nhƣ các ứng dụng trong thƣơng mại điện tử, các giao
dịch của các chủ tài khoản trong ngân hàng, các ứng dụng trong chính phủ điện tử,
đòi hỏi việc xác nhận danh tính phải đƣợc đảm bảo.



2

Chính vì vậy, việc nghiên cứu các vấn đề về an toàn thông tin nói chung và các
phƣơng pháp ký số nói riêng, có vai trò khá quan trọng, là nền tảng cho việc phát triển
các ứng dụng trong thực tiễn. Ngày nay chữ ký số đƣợc sử dụng trong nhiều lĩnh vực
nhƣ trong kinh tế với việc trao đổi các hợp đồng giữa các đối tác kinh doanh; trong xã
hội là các cuộc bỏ phiếu kín khi tiến hành bầu cử từ xa, hay trong các cuộc thi phạm
vi rộng lớn.
Một số chữ ký đã đƣợc xây dựng là: chữ ký RSA, chữ ký ELGAMAL, chữ ký
DSS, chữ ký RABIN Mặc dù các chữ ký số còn nhiều hạn chế nhƣ là về kích thƣớc
chữ ký, hay khả năng chống giả mạo chƣa cao nhƣng những khả năng mà nó đem
lại là rất hữu ích.
RSA (Rivest-Shamir-Adleman): năm 1977, R.l. Rivest, A. Shamir và L.M.
Adleman đề xuất một hệ mật mã khoá công khai mà độ an toàn của hệ dựa vào bài
toán khó “phân tích số nguyên thành thừa số nguyên tố”, hệ này trở thành một hệ nổi
tiếng và mang tên là hệ RSA.
ELGAMAL: hệ mật mã ElGamal đƣợc T. ElGamal đề xuất năm 1985, độ an
toàn của hệ dựa vào độ phức tạp của bài toán tính logarit rời rạc.
DSS (Digital Signature Standard) đƣợc đề xuất từ năm 1991 và đƣợc chấp
nhận vào cuối năm 1994 để sử dụng trong một số lĩnh vực giao dịch điện tử tại Hoa
Kỳ. DSS dựa vào sơ đồ chữ ký ElGamal với một vài sửa đổi.
RABIN: hệ mật mã khoá công khai đƣợc M.O. Rabin đề xuất năm 1977, độ an

toàn của hệ dựa vào bài toán khó “phân tích số nguyên thành thừa số nguyên tố”.
Một trong những điều mà chúng ta cần quan tâm đối với chữ ký số là độ an
toàn của sơ đồ chữ ký. Đó cũng là vấn đề chính đƣợc nghiên cứu trong luận văn
“Nghiên cứu độ an toàn của sơ đồ chữ ký số”. Nội dung chính của luận văn này bao
gồm 2 chƣơng:
Chƣơng1: Tổng quan về an toàn, bảo mật thông tin.
Chƣơng 2: Độ an toàn của sơ đồ chữ ký số.


3


Chƣơng 1: TỔNG QUAN VỀ AN TOÀN, BẢO MẬT THÔNG TIN

1.1. VẤN ĐỀ AN TOÀN BẢO MẬT THÔNG TIN.
Ngày nay Internet cùng với các dịch vụ phong phú của nó có khả năng cung
cấp cho con ngƣời các phƣơng tiện hết sức thuận tiện để trao đổi, tổ chức, tìm kiếm và
cung cấp thông tin. Tuy nhiên, cũng nhƣ trong các phƣơng thức truyền thống, việc
trao đổi, cung cấp thông tin điện tử trong nhiều lĩnh vực đòi hỏi tính bí mật, tính toàn
vẹn, tính xác thực cũng nhƣ trách nhiệm về các thông tin đƣợc trao đổi. Bên cạnh đó,
tốc độ xử lý của máy tính ngày càng đƣợc nâng cao, do đó cùng với sự trợ giúp của
các máy tính tốc độ cao, khả năng tấn công các hệ thống thông tin có độ bảo mật kém
rất dễ xảy ra. Chính vì vậy ngƣời ta không ngừng nghiên cứu các vấn đề bảo mật và
an toàn thông tin để đảm bảo cho các hệ thống thông tin hoạt động an toàn. Cho đến
ngày nay, với sự phát triển của công nghệ mã hoá phi đối xứng, ngƣời ta đã nghiên
cứu và đƣa ra nhiều kỹ thuật, nhiều mô hình cho phép chúng ta áp dụng xây dựng các
ứng dụng đòi hỏi tính an toàn thông tin cao.
Trong văn bản pháp luật của Quốc hội mới ban hành đã công nhận luật giao
dịch điện tử – Ngày 29/11/2005, Quốc hội đã thông qua luật giao dịch điện tử
51/2005/QH11. Phạm vi điều chỉnh chủ yếu là giao dịch điện tử trong hoạt động của

các cơ quan nhà nƣớc, trong lĩnh vực dân sự, kinh doanh, thƣơng mại… Luật công
nhận và bảo vệ hợp đồng điện tử. Trong giao kết và thực hiện giao dịch điện tử, thông
báo dƣới dạng thông điệp “số” có giá trị pháp lý nhƣ thông báo truyền thống.
Nhà nƣớc công nhận giá trị pháp lý của chữ ký điện tử và chứng thƣ điện tử
nƣớc ngoài, nếu nhƣ chữ ký điện tử hoặc chứng thƣ điện tử đó có độ tin cậy tƣơng
đƣơng với độ tin cậy của chữ ký điện tử hoặc chứng thƣ điện tử theo qui định của
pháp luật. Việc xác định mức độ tin cậy của chữ ký điện tử và chứng thƣ điện tử nƣớc


4
ngoài phải căn cứ vào các tiêu chuẩn quốc tế đã thừa nhận, điều ƣớc của nƣớc Cộng
hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam là thành viên và các yếu tố có liên quan khác.
Vấn đề đặt ra ở đây là việc bảo đảm an ninh, an toàn trong giao dịch điện tử đối
với các bên tham gia giao dịch điện tử. Và việc nghiên cứu độ an toàn của chữ ký điện
tử là rất cần thiết cho việc bảo đảm an ninh, an toàn trong giao dịch điện tử.

5
1.2. CƠ SỞ TOÁN HỌC TRONG AN TOÀN BẢO MẬT THÔNG TIN.

1.2.1. Số học của các số nguyên.
Ta ký hiệu Z là tập hợp các số nguyên, Z =  –2, -1, 0, 1, 2 , và tập Z
+
tập
hợp số nguyên không âm Z
+
= 0, 1, 2 . Trong mục này sẽ nhắc lại một số kiến
thức về số học của các số nguyên cần cho việc trình bày lý thuyết mật mã.
1). Tính chia hết của các số nguyên.
Tập hợp Z là đóng kín đối với các phép cộng, trừ và nhân nhƣng không đóng
kín đối với phép chia: chia một số nguyên cho một số nguyên không phải bao giờ
cũng đƣợc một số nguyên. Trong số học, tính chất chia hết, tức khi chia số nguyên a
cho số nguyên b đƣợc thƣơng là số nguyên q (a = b.q) có ý nghĩa đặc biệt. Khi đó ta
nói a chia hết cho b, b chia hết cho a, a là bội số của b, b là ƣớc số của a và ký hiệu
b│a.
Với định nghĩa nhƣ trên ta thấy rằng số 1 là ƣớc của số nguyên bất kỳ, số 0 là
bội của mọi số nguyên bất kỳ, mọi số nguyên a bất kỳ là ƣớc số, đồng thời là bội số
của chính nó.

Cho hai số nguyên bất kỳ a và b, b > 1. Thực hiện phép chia a cho b ta đƣợc hai số q
và r sao cho:
a = b.q + r, 0<r<q
Số q đƣợc gọi là thƣơng số của phép chia a cho b, ký hiệu a div b.
Số r đƣợc gọi là số dƣ của phép chia a cho b, ký hiệu là a mod b.
Số nguyên d đƣợc gọi là ƣớc số chung của hai số nguyên a và b nếu d│a và
d│b. Số nguyên d đƣợc gọi là ƣớc số chung lớn nhất của a và b nếu d>0, d là ƣớc số
chung của a và b, và mọi ƣớc số chung của a và b đều là ƣớc số của d. Ta ký hiệu ƣớc
số chung lớn nhất của a và b là gcd(a, b).
Dễ thấy rằng với mọi số nguyên dƣơng a, ta có gcd(a, 0) = a. Trong toán học ngƣời ta
qui ƣớc gcd(0, 0) = 0.


6
Số nguyên a>1 đƣợc gọi là số nguyên tố, nếu a không có ƣớc số nào ngoài 1 và
chính nó. Số a đƣợc gọi là hợp số nếu không phải là số nguyên tố. Thí dụ các số 2, 3,
5, 7, 11 là số nguyên tố; các số 4, 6, 8, 10, 12 là hợp số.
Hai số a và b đƣợc gọi là nguyên tố cùng nhau, nếu chúng không có ƣớc chung
nào khác 1, tức là nếu gcd(a, b) = 1.
Một số nguyên n>1 bất kỳ đều đƣợc viết dƣới dạng:
n = p
1
a
1
.p
2
a
2
p
k

a
k

Trong đó p
1
, p
2
, , p
k
là các số nguyên tố khác nhau, a
1
, a
2
, , a
k
là các số nguyên
dƣơng. Nếu không kể thứ tự các thừa số nguyên tố, thì dạng biểu diễn đó là duy nhất,
ta gọi đó là dạng triển khai chính tắc của n.
Các số nguyên tố và các vấn đề về số nguyên tố có vai trò quan trọng trong số học và
ứng dụng vào lý thuyết mật mã.
Số nguyên m đƣợc gọi là bội số chung của a và b nếu a│m và b│m.
Số m đƣợc gọi là bội số chung bé nhất của a và b, và đƣợc ký hiệu là lcm(a, b)
nếu m>0, m là bội số chung của a và b, và mọi bội số chung của a và b đều là bội số
của m. Với hai số nguyên dƣơng a và b bất kỳ ta có quan hệ
lcm(a, b).gcd(a, b) = a.b
Ta thấy rằng, nếu b>0 và b│a thì gcd(a, b) = b và nếu a = bq + r thì
gcd(a, b) = gcd(b, r).
Từ tính chất đó ngƣời ta đã xây dựng thuật toán thực hiện việc tìm ƣớc số chung lớn
nhất của hai số nguyên bất kỳ.
Thuật toán Euclide tìm ƣớc số chung lớn nhất:

INPUT: hai số nguyên không âm a và b, với a  b
OUTPUT: ƣớc số chung lớn nhất của a và b
1. trong khi còn b>0, thực hiện:
đặt r a mod b, ab, br
2. cho ra kết quả (a)


7
Ta biết rằng nếu gcd(a, b) = d, thì phƣơng trình bất định a.x + b.y = d có
nghiệm nguyên (x, y), và một nghiệm nguyên nhƣ vậy có thể tìm đƣợc bởi thuật toán
Euclide mở rộng nhƣ sau:
INPUT: hai số nguyên không âm a và b với a  b
OUTPUT: d = gcd(a, b) và hai số x, y sao cho a.x + b.y = d
1. Nếu b = 0 thì đặt d  a, x  1, y  0 và cho ra (d, x, y)
2. Đặt x
2
= 1, x
1
= 0, y
2
= 0, y
1
= 1
3. Trong khi còn b > 0 thực hiện:
3.1. q  a div b, r  a mod b, x  x
2
-qx
1
, y  y
2

-qy
1

3.2. q  b, b  r, x
2
 x
1
, x
1
 x, y
2
 y
1
, và y
1
 y
4. Đặt d  a, x  x
2
, y  y
2
, và cho ra kết quả (d, x, y).

2). Phƣơng trình đồng dƣ tuyến tính.
Cho n là một số nguyên dƣơng. Ta nói rằng hai số nguyên a và b đồng dƣ với
nhau theo modulo n và viết a  b (mod n), nếu n│(a, b)
(Tức là nếu a-b chia hết cho n, hay khi chia a và b cho n ta đƣợc cùng một số dƣ ).
Quan hệ đồng dƣ (theo modulo n) trên tập hợp các số nguyên có tính chất phản
xạ, đối xứng và bắc cầu, tức là một quan hệ tƣơng đƣơng.
Khi đó, nó tạo ra một phân hoạch trên tập hợp số nguyên Z, thành các lớp
tƣơng đƣơng: hai số nguyên cùng thuộc một lớp tƣơng đƣơng khi và chỉ khi chúng

cho cùng một số dƣ nếu chia cho n.
Mỗi lớp tƣơng đƣơng nhƣ vậy đƣợc đại diện một số duy nhất trong tập hợp
Z
n
= 0, 1, 2, , n-1, là số dƣ khi chia các số trong lớp đó cho n. Vì vậy, ta có thể
đồng nhất Z
n
với tập hợp các lớp tƣơng đƣơng các số nguyên theo mod n.





8
Cho a  Z
n
. Một số nguyên x  Z
n
đƣợc gọi là nghịch đảo của a theo mod n,
nếu a.x  1(modn).
Nếu có số x nhƣ vậy thì ta nói a là khả nghịch, và ký hiệu là a mod n.
Từ định nghĩa ta có thể suy ra rằng a là khả nghịch theo mod n khi và chỉ khi
gcd(a, n) = 1, tức là khi a và n nguyên tố với nhau.
Định nghĩa phép chia trong Z
n
nhƣ sau: a:b (mod n) = a.b
-1
mod n.
Phép chia chỉ thực hiện đƣợc khi b khả nghịch theo mod n.

Phƣơng trình đồng dƣ tuyến tính có dạng
a.x  b(mod n), (1.1)
trong đó a, b, n là các số nguyên, n > 0, x là ẩn số.
Phƣơng trình đó có nghiệm khi và chỉ khi d = gcd(a, n)│b và khi đó nó có đúng
d nghiệm theo mod n.
Thật vậy, đặt a‟ = a/d, b‟ = b/d, n‟ = n/d ta thấy phƣơng trình đồng dƣ (1.1)
tƣơng đƣơng với phƣơng trình
a.x‟  b‟ (mod n‟)
Vì gcd(a‟, n‟) = 1 nên phƣơng trình này có một nghiệm theo mod n‟:
x = x
0
 b‟.a‟
-1
(mod n‟),
và do đó phƣơng trình (1) có d nghiệm theo mod n là:
x = x
0
, x
0
+ n‟, , x
0
+ (d-1)n‟ (mod n).
Tất cả d nghiệm đó khác nhau theo mod n, nhƣng cùng đồng dƣ với nhau theo mod n‟.

Hệ phƣơng trình đồng dƣ tuyến tính có dạng:
x
1
 a
1
(mod n

1
)
x
2
 a
2
(mod n
2
)
(1.2)



9
x
k
 a
k
(mod n
k
)


3). Thặng dƣ thu gọn và phần tử nguyên thuỷ.
Tập Z
n
= 0, 1, 2, , n-1 đƣợc gọi là tập các thặng dƣ đầy đủ theo mod n, vì
mọi số nguyên bất kỳ đều có thể tìm đƣợc trong Z
n
một số đồng dƣ với mình

(theo mod n).
Tập Z
n
là đóng đối với các phép tính cộng, trừ và nhân theo modn, nhƣng
không đóng đối với phép chia, vì phép chia cho a theo mod n chỉ có thể thực hiện
đƣợc khi a và n nguyên tố với nhau, tức khi gcd(a, n) = 1.
Xét tập Z
n
*
=  a  Z
n
: gcd(a, n) = 1, tức Z
n
*
là tập con của Z
n

gồm các phần tử nguyên tố với n. Z
n
*
đƣợc gọi là tập thặng dƣ thu gọn theo mod n.
Mọi số nguyên tố với n đều có thể tìm thấy trong Z
n
*
một đại diện đồng dƣ với mình
theo mod n. Nếu p là một số nguyên tố thì Z
p
*
= 0, 1, 2, , p-1.
Tập Z

n
*
lập thành một nhóm con đối với phép nhân của Z
n
, vì trong Z
n
*
phép
chia theo mod n bao giờ cũng thực hiện đƣợc, Z
n
*
đƣợc gọi là nhóm nhân của Z
n
.
Trong đại số, gọi số các phần tử trong một nhóm là cấp của nhóm đó.
Ta ký hiệu (n) là số các số nguyên dƣơng bé hơn n và nguyên tố với n.
Nhƣ vậy, nhóm Z
n
*
có cấp (n), và nếu p là số nguyên tố thì nhóm Z
p
*
có cấp p-1.
Nói phần tử g  Z
n
*

có cấp m, nếu m là số nguyên dƣơng bé nhất sao cho
g
m

= 1 trong Z
n
*
.


10
Ngƣời ta đã chứng minh đƣợc rằng: m│(n) . Vì vậy, với mọi b  Z
n
*
ta luôn
có b
(n)
 1 mod n.
Nếu p là số nguyên tố, thì dễ thấy (p) = p-1, vì vậy ta có với mọi b  Z
n
*
có:
b
p-1
 1(mod p). (1.3)
Nếu b có cấp p-1, tức p-1 là số mũ bé nhất thoả mãn công thức (1.3), thì các
phần tử b, b
2
, , b
p-1
đều khác nhau và theo modp, chúng lập thành Z
p
*
.

Khi đó Z
p
*
là một nhóm cyclic và b là một phần tử sinh, hay phần tử nguyên
thuỷ của nhóm đó. Tức là các phần tử trong nhóm sẽ đƣợc xác định khi biết b.
Trong lý thuyết số ngƣời ta đã chứng minh đƣợc các tính chất sau đây của phần
tử nguyên thuỷ:
1. Với mọi số nguyên tố p, Z
p
*
là nhóm cyclic, và có (p-1) phần tử nguyên thuỷ.
2. Nếu p-1 = p
1
1
a
. p
2
2
a
p
k
k
a

là triển khai chính tắc của p-1 và nếu
a

(p-1)/p
1
 1(mod p), , a

(p-1)/p
k
 1(mod p),
thì a là phần tử nguyên thuỷ theo mod p (tức của Z
p
*
)
3. Nếu g là phần tử nguyên thuỷ theo mod p, thì  = g
i
theo mod p với mọi i mà
gcd(i, p-1) = 1, cũng là phần tử nguyên thuỷ theo mod p.
Ba tính chất đó là cơ sở giúp ta tìm đƣợc các phần tử nguyên thuỷ theo mod p,
với p là số nguyên tố bất kỳ.
Một số tính chất sau đây, đƣợc ứng dụng nhiều trong mật mã học:
* Định lý Fermat: Nếu p là số nguyên tố và gcd(a, p) = 1, thì a
p-1
 1(mod p).
* Định lý Euler: Nếu a  Z
n
*
, thì a
(n)
 1(mod n).
Nếu r  s (mod (n)) thì a
r
 a
s
(mod n).

11



4). Phƣơng trình đồng dƣ bậc hai và thặng dƣ bậc hai.
Ta xét phƣơng trình đồng dƣ bậc hai có dạng đơn giản sau đây:
x
2
 a (mod n)
Trong đó n là số nguyên dƣơng, a là số nguyên với gcd(a, n) = 1, và x là ẩn số.
Phƣơng trình đó không phải bao giờ cũng có nghiệm. Khi nó có nghiệm thì nói a là
thặng dƣ bậc hai mod n.
Khi nó không có nghiệm thì nói a là bất thặng dƣ bậc hai mod n.
Tập các số nguyên nguyên tố với n đƣợc phân hoạch thành hai tập con: Tập Q
n

các thặng dƣ bậc hai mod n, và tập
n
Q
các bất thặng dƣ mod n.
* Tiêu chuẩn Euler.
Khi p là số nguyên tố, số a là thặng dƣ bậc 2 mod p nếu và chỉ nếu
a
(p-1)/2
 1(mod p).
Chứng minh:
Giả sử có x sao cho x
2

 a(mod p), khi đó a
(p-1)/2
 (x
2
)
(p-1)/2
 x
p-1
 1(mod p).
Ngƣợc lại, giả sử a
(p-1)/2
 1(mod p). Khi đó a  Z
p
*
. Lấy b là phần tử nguyên
thuỷ mod p, ắt có số i nào đó sao cho a = b
i
mod p.
Từ đó, a
(p-1)/2
 b
i
(p-1)/2
 1(mod p).
Phần tử b có cấp p-1, do đó (p-1) chia hết i(p-1)/2, i phải là số chẵn, i = 2*j, và a có
căn bậc 2 là  b
j
(mod p).

* Ký hiệu Legendre. a

Cho p là số lẻ. Với mọi a  0 ký hiệu Legendre p nhƣ sau:
0, khi a  0 (mod p)




12
a = 1, khi a  Q
p
(Tức a là thặng dƣ bậc hai mod p).
p -1, khi a  Q
p
(Tức a là bất thặng dƣ bậc hai mod p).
Từ định nghĩa suy ra ngay a là thặng dƣ bậc hai mod p khi và chỉ khi a = 1.
p
Theo tiêu chuẩn euler, với mọi a  0, ta có:
a  a
(p-1)/2
(mod p).
p
* Ký hiệu Jacobi.
Mở rộng ký hiệu legendre, ta có ký hiệu Jacobi đối với mọi số nguyên lẻ hơn
n  1 và mọi số nguyên a  0.
Giả sử a có triển khai chính tắc thành thừa số nguyên tố là
n = p
1
a
1
.p
2

a
2
p
k
a
k
thì:
a = a
1
a
a
2
a
a
k
a

n p
1
p
2
p
k

Khi n = p là số nguyên tố, thì giá trị của ký hiệu legendre và Jacobi nhƣ nhau.
Việc tính ký hiệu Legendre có thể phức tạp khi p rất lớn, trong khi việc tính ký hiệu
Jacobi có thể thuận lợi hơn do có thể sử dụng các tính chất 1 – 4 sau đây:
1. Nếu m
1
 m

2
mod n thì m
1
m
2
n = n

2. 2 =
n

3. m
1
.m
2
= m
1
. m
2
n n n
4. Nếu m và n đều là số lẻ, thì:

1, khi a  1 (mod 8)
-1, khi a  3 (mod 8)

13
_ n khi m

3 mod 4 AND n

3 mod 4
m = m
n n khi m

3 mod 4 OR n

3 mod 4
m


* Phương trình đồng dư bậc hai:
x
2
= a (mod n) (1.4)
Trong trƣờng hợp đặc biệt khi n= p là số nguyên tố có dạng p = 4m + 3,
(tức là p đồng dƣ với 3 theo mod 4), và a là số nguyên nguyên tố với p.
Theo tiêu chuẩn Euler ta biết phƣơng trình (1.4) có nghiệm khi và chỉ khi

a
(p-1)/2
 1(mod p).
Khi đó ta có:
a
(p-1)/2+1

 a (mod p),
a
2(m+1)
 a (mod p).
Do đó x   a
m+1
(mod p) là nghiệm của phƣơng trình (1.4).

14






1.2.2. Độ phức tạp tính toán.

1). Khái niệm độ phức tạp tính toán.
Lý thuyết thuật toán và hàm số tính đƣợc ra đời từ những năm 30 của thế kỷ 20
đặt nền móng cho việc nghiên cứu các vấn đề “tính đƣợc”, “giải đƣợc” trong toán học,
đƣa đến nhiều kết quả rất quan trọng và lý thú. Nhƣng từ cái “tính đƣợc” một cách
trừu tƣợng, hiểu theo nghĩa tiềm năng, đến việc tính đƣợc trong thực tế của khoa học
tính toán bằng máy tính điện tử, là cả một khoảng cách rất lớn.
Biết bao thứ đƣợc chứng minh là tính đƣợc một cách tiềm năng, nhƣng không
tính đƣợc trong thực tế, dù có sự hỗ trợ của máy tính điện tử. Vấn đề là ở chỗ, đòi hỏi
về không gian vật chất và về thời gian để thực hiện các tiến trình tính toán nhiều khi
vƣợt xa khả năng thực tế. Vào những năm 60 (của thế kỷ trƣớc), một lý thuyết về độ
phức tạp tính toán đƣợc hình thành và phát triển nhanh chóng, cung cấp nhiều hiểu
biết sâu sắc về bản chất phức tạp của các thuật toán và các bài toán, cả những bài toán
thuần tuý về lý thuyết đến những bài toán thƣờng gặp trong thực tế.
Độ phức tạp tính toán (về không gian hay thời gian) của một tiến trình tính toán
là số ô nhớ đƣợc dùng, hay số phép toán sơ cấp đƣợc thực hiện trong tiến trình tính
toán đó.
Dữ liệu đầu vào đối với một thuật toán thƣờng đƣợc biểu diễn qua các từ trong
một bảng ký tự nào đó. Độ dài của một từ là số ký tự trong từ đó.
Cho thuật toán A trên bảng ký tự  (tức có đầu vào là các từ trong ).

15
Độ phức tạp tính toán A đƣợc hiểu là hàm số F
a
(n) sao cho với mỗi số n, F
a
(n)
là số ô nhớ, hay số phép toán sơ cấp tối đa, mà A cần để thực hiện tiến trình tính toán
của mình trên các dữ liệu vào có độ dài  n.
Ta nói thuật toán A có độ phức tạp tính toán thời gian đa thức, nếu có đa thức
p(n) sao cho với mọi n đủ lớn ta có 
A
(n)  p(n), trong đó 
A
(n) là độ phức tạp tính
toán theo thời gian của A.

Bài toán “quyết định” là bài toán đƣợc xác định bởi:
- Một tập dữ liệu vào I (trong một bảng ký tự  nào đó).
- Một câu hỏi Q trên các dữ liệu vào, sao cho với mỗi dữ liệu vào x  I, câu hỏi
Q có một trả lời đúng hoặc sai.
Ta nói bài toán quyết định P giải đƣợc, nếu có thuật toán dễ giải nó, tức là thuật
toán làm việc có kết thúc trên mọi dữ liệu vào của bài toán, và cho kết quả đúng sai
tuỳ theo câu hỏi Q trên dữ liệu đó có trả lời đúng hoặc sai. Bài toán P là giải đƣợc
trong thời gian đa thức, nếu có thuật toán giải nó với độ phức tạp thời gian đa thức.

2). Lớp phức tạp.
Ta xét một số lớp bài toán đƣợc xác định theo độ phức tạp tính toán của chúng.
Định nghĩa P là lớp tất cả các bài toán có thể giải đƣợc bởi thuật toán đơn định trong
thời gian đa thức.

Giả sử cho hai bài toán P
1
và P
2
với các tập dữ liệu trong hai bảng kí tự tƣơng
ứng là 
1
và 
2
. Thuật toán  : 
1
*
 
2
*
đƣợc gọi là phép qui dẫn bài toán P
1
về
bài toán P
2
, nếu nó biến mỗi dữ liệu x của bài toán P
1
thành dữ liệu (x) của bài toán
P
2
, và sao cho câu hỏi của P
1
trên x có trả lời đúng khi và chỉ khi câu hỏi của P
2

trên(x) cũng có trả lời đúng.


16
Ta nói bài toán P
1
quy dẫn được về bài toán P
2
trong thời gian đa thức và ký
hiệu P
1
P
2
nếu có thuật toán  với độ phức tạp thời gian đa thức, quy dẫn bài toán P
1

về bài toán P
2
.
Ta dễ thấy rằng nếu P
1
P
2
và P
2
 P, thì cũng có P
1
 P.
Một lớp quan trọng các bài toán đã đƣợc nghiên cứu nhiều là lớp các bài toán
thƣờng gặp trong thực tế, nhƣng cho đến nay chƣa có khả năng nào chứng tỏ là chúng

có thể giải đƣợc trong thời gian đa thức. Đó là lớp các bài toán N P đầy đủ.

Cùng với khái niệm thuật toán tất định (có thể mô tả chính xác chẳng hạn bởi
máy Turing tất định), ta xét khái niệm thuật toán không đơn định.
Đối với máy Turing tất định, khi máy đang ở trạng thái q và đang đọc ký tự a
thì cặp (q, a) xác định duy nhất một hành động kế tiếp của máy. Đối với máy
Turing không đơn định, ta quy ƣớc rằng (q, a) xác định không phải duy nhất, mà là
một tập hữu hạn các hành động kế tiếp.
Nhƣ vậy, đối với một dữ liệu vào x, thuật toán không đơn định không phải chỉ
có một tiến trình tính toán duy nhất, mà có thể có một số hữu hạn những tiến trình tính
toán khác nhau.
Ta nói thuật toán không đơn định A chấp nhận dữ liệu x, nếu A có ít nhất một
tiến trình tính toán kết thúc ở trạng thái chấp nhận đƣợc (tức với kết quả đúng).
Bài toán P đƣợc gọi là giải được bởi thuật toán không đơn định trong thời gian
đa thức nếu có thuật toán không đơn định A và đa thức p(n), sao cho với mọi dữ liệu
vào x có độ dài n, thì x  P (tức là câu hỏi của P có trả lời đúng trên x) khi và chỉ khi
thuật toán A chấp nhận bởi tiến trình tính toán có độ phức tạp thời gian  p(n).
Ký hiệu lớp tất cả các bài toán giải đƣợc bởi thuật toán không đơn định trong
thời gian đa thức là N P.


17
Bài toán P đƣợc gọi là N P đầy đủ, nếu P  N P và với mọi Q  N P đều có
Q  P.
Lớp N P có một số tính chất sau:
1. P  N P
2. Nếu P
1
 P
2

và P
1
 N P , thì P
2
 N P
3. Nếu P
1
, P
2
 N P, P
1
 P
2
, và P
1
là N P đầy đủ, thì P
2
cũng là N P đầy đủ .
Có thể xem rằng trong lớp NP, lớp P là lớp con các bài toán “dễ” nhất, các bài
toán N P đầy đủ là các bài toán “khó” nhất. Nếu có ít nhất một bài toán N P đầy đủ
đƣợc chứng minh là thuộc P , thì lập tức suy ra P = N P.

3). Hàm một phía.
Khái niệm độ phức tạp tính toán cung cấp cho ta một cách tiếp cận mới đối với
vấn đề bí mật trong các vấn đề bảo mật và an toàn thông tin. Dù ngày nay có những
máy tính điện tử có tốc độ tính toán rất lớn, cỡ hàng tỷ phép tính/giây, nhƣng với
những thuật toán có độ phức tạp tính toán cỡ (n) = 2
n
, thì ngay với những dữ liệu có
độ dài khoảng n = 1000, việc thực hiện các thuật toán đã không thể xem là khả thi, vì

nó đòi hỏi thực hiện khoảng 10
300
phép tính. Một giải pháp mật mã có thể xem là có
độ bảo mật cao, nếu để giải mã cần phải thực hiện một tiến trình tính toán có độ phức
tạp rất lớn. Do đó, việc phát hiện và sử dụng các hàm số có độ phức tạp tính toán rất
lớn có ý nghĩa hết sức quan trọng đối với việc xây dựng các giải pháp về mật mã và
an toàn thông tin.
Hàm số y = (x) đƣợc gọi là hàm một phía (one-way function), nếu biết x thì
việc tính y là “dễ”, nhƣng biết y, thì tính ngƣợc x = ƒ
-1
(y) là “khó”.
Ví dụ 1:


18
Cho p là số nguyên tố lớn, và  là phần tử nguyên thuỷ mod p. Hàm số
y=
x
mod p (từ Z
p
*
vào Z
p
*
) là hàm một phía, vì hàm ngƣợc của nó, biết y và  tìm
x = log

(y), là hàm có độ phức tạp tính toán rất lớn.

Ví dụ 2:

Cho n = p.q là tích của hai số nguyên tố lớn, (n) = (p -1)(q - 1).
a là số nguyên sao cho gcd(a, (n)) = 1, a.b

1 mod (n).
Hàm số y = x
a
mod n (từ Z
n
vào Z
n
) cũng là hàm một phía.




Hàm y = (x) đƣợc gọi là hàm một phía có cửa sập (trapdoor one-way
funtion), nếu biết x tính ra y là “dễ”, việc tính ngƣợc từ y tìm x là “khó”.
Nhƣng có yếu tố z nào đó trợ giúp thì việc tính x từ y lại trở thành “dễ”. Khi đó ta gọi
z là “cửa sập” của hàm y = (x).
Ví dụ 3:
Hàm số y=x
a
mod n (với n là tích của hai số nguyên tố lớn p, q; n = p.q;
(n) = (p -1)(q - 1)) là hàm một phía có cửa sập. Từ x tính y là dễ, từ y tính x (nếu
chỉ biết n, a) là “khó”.
Nhƣng vì biết p và q nên biết (n)=(p-1)(q-1), và dùng thuật toán Euclide mở
rộng tìm đƣợc b sao cho a.b  1(mod (n)), từ đó dễ tìm đƣợc x=y
b
mod n.
Ở đây, có thể xem p, q là cửa sập.

19













1.2.3. Một số bài toán quan trọng trong mật mã.
Trong phần này sẽ xét ba bài toán có vai trò quan trọng trong lý thuyết mật mã,
đó là ba bài toán: Kiểm tra số nguyên tố, phân tích một số nguyên thành tích của các
thừa số nguyên tố, tính logarit rời rạc của một số theo modulo nguyên tố. Ở đây ta
mặc định rằng các số nguyên tố là rất lớn.

1). Bài toán kiểm tra số nguyên tố lớn.
Cho n là số nguyên bất kỳ. Làm thế nào để biết n là số nguyên tố hay không?
Bài toán đƣợc đặt ra từ những buổi đầu của số học, và trải qua hơn 2000 năm đến nay
vẫn một là bài toán chƣa có đƣợc những cách giải dễ dàng. Bằng những phƣơng pháp
đơn giản nhƣ phƣơng pháp sàng Eurratosthène, từ rất sớm ngƣời ta đã xây dựng đƣợc

các bảng số nguyên tố đầu tiên, rồi tiếp tục bằng nhiều phƣơng pháp khác tìm thêm
đƣợc nhiều số nguyên tố lớn.


20
Tuy nhiên chỉ đến giai đoạn hiện nay của lý thuyết mật mã hiện đại, nhu cầu sử
dụng các nguyên tố và thử tính nguyên tố của các số mới trở thành một nhu cầu to lớn
và phổ biến, đòi hỏi nhiều phƣơng pháp mới có hiệu quả hơn.
Trong mục này sẽ lƣợc qua vài tính chất của số nguyên tố và một vài phƣơng
pháp thử tính nguyên tố của một số nguyên bất kỳ.
a/. Tiêu chuẩn Euler-Solovay-Strassen:
a) Nếu n là số nguyên tố, thì với mọi số nguyên dƣơng a  n-1:
a
b  a
(n-1)/2
mod n.

b) Nếu n là hợp số, thì:
a:1  a  n-1, a  a
(n-1)/2
mod n  Error!
b

b/. Tiêu chuẩn Solovay-Strassen-Lehmann:
a) Nếu n là số nguyên tố, thì với mọi số nguyên dƣơng a  n-1:
a
(n-1)/2
 1mod n.
b) Nếu n là hợp số thì
a:1  a  n-1, a

(n-1)/2
 1mod n  Error!
c/. Tiêu chuẩn Miler-Rabin:
a) Cho n là số nguyên lẻ, ta viết (n-1)= 2
e
.u, với u là số lẻ. Nếu n là số nguyên tố, thì
với mọi số nguyên dƣơng a  (n-1):
(a
u
 1 mod n)  k < e ( a
2
k
.
u
 -1 mod n).
b) Nếu n là hợp số, thì




21
a:1  a  n-1, (a
u
 1 mod n)  k < e(a
2
k
.
u
 -1 mod n) 
Error!

Các tiêu chuẩn kể trên là cơ sở để ta xây dựng các thuật toán xác suất kiểu Monte-
Carlo thử tính nguyên tố (hay hợp số) của các số nguyên.
Thuật toán Euler-Solovay-Strassen.
Dữ liệu vào: số nguyên dƣơng n và t số ngẫu nhiên a
1
, , a
t

(1 a
i
 n-1),
1. for i = 1 to t do
2. if (a
i
/n)  a
i
(n-1)/2
mod n, then
3. answer “n là số nguyên tố”
4. else
5. answer “n là hợp số” and quit
Nếu thuật toán cho trả lời “n là hợp số” thì đúng n là hợp số.
Nếu thuật toán cho trả lời “n là số nguyên tố”, thì trả lời đó có thể sai với xác
suất Monte-Carlo thiên về có, nếu xem nó là thuật toán thử tính là hợp số. Thuật toán
xác suất thiên về không, nếu nó là thuật toán thử tính nguyên tố của các số nguyên.
Tƣơng tự, dựa vào các tiêu chuẩn 2 và 3, ngƣời ta đã xây dựng các thuật toán
xác suất Solovay-Strassen-Lehmann và Miler-Rabin kiểu Monte-Carlo để thử tính
nguyên tố (hay là hợp số) của các số nguyên.
Hai thuật toán đó chỉ khác thuật toán Euler-Solovay-Strassen ở chỗ công thức
trong hàng lệnh 2 cần đƣợc thay tƣơng ứng bởi

a
(n-1)/2
 1mod n
hay
(a
u
 1mod n)  k < e(a
2
k

.
u
 -1mod n)
trong đó u và e đƣợc xác định bởi: n-1=2
e
.u, u là số lẻ.


22
Xác suất sai lầm  khi nhận đƣợc kết quả “n là số nguyên tố” trong các thuật
toán trên đƣợc tính nhƣ sau:
Giả sử n là số lẻ trong khoảng N và 2N, tức N<n<2N. Gọi A là sự kiện “n là số
nguyên tố”, và B là sự kiện “thuật toán cho kết quả trả lời n là số nguyên tố”. Ta phải
tính xác suất  = p(AB).
Theo tính chất (b) của tiêu chuẩn Euler-Solovay-Strassen, nếu n là hợp số, thì
sự kiện
a  a
(n-1)/2
mod n
n

đối với mỗi a ngẫu nhiên (1  a  n-1) có xác suất  1/2, vì vậy ta có
p(B/A)  Error!.
Theo công thức Bayes ta có

p(A/B)= Error! =
)()./().()./(
)()./(
ApABpApABp
ApBAp

Theo định lý về số nguyên tố, số các số nguyên tố giữa N và 2N xấp xỉ N/1nNn/1n n,
số các số lẻ là N/2  n/2, do đó p(
A
) 2/ ln n và p(
A
) 1 – 2/ 1n n. Dĩ nhiên ta có
p(B/
A
)=1. Thay các giá trị đó vào công thức trên, ta đƣợc:
P(A/B) 
1
22ln
2ln
ln
2
)
ln
2
1(2
)

ln
2
1(2








t
t
t
n
n
nn
n
(1.5)
Chú ý:
Đánh giá đó cũng đúng đối với thuật toán Solovay-Strassen-Lehmann. Đối với
thuật toán Miler-Rabin, ta đƣợc một đánh giá tốt hơn, cụ thể là:
p(A/B) =
1
22ln
2ln



t

n
n
(1.6)



23
Chú ý rằng khi t = 50 thì đại lƣợng ở vế phải của (1.5)  10
-13
, và vế phải của
(1.6)  10
-28
; do đó nếu chọn cho dữ liệu vào năm mƣơi số ngẫu nhiên a
i
thì các thuật
toán Euler-Solovay-Strassen và Solovay-Strassen-Lehmann sẽ thử cho ta một số
nguyên tố với xác suất sai lầm  10
-13
và thuật toán Miler-Rabin với xác suất sai lầm
là  10
-28
.
Có thể tính đƣợc độ phức tạp tính toán về thời gian của các thuật toán xác suất
kể trên vào cỡ log
n
, tức là đa thức theo độ dài biểu diễn của dữ liệu vào (số n).
Tuy nhiên các thuật toán đó chỉ cho ta tính thử nguyên tố của một số với một
xác suất sai lầm  nào đó, dù  là rất bé. Trong nhiều ứng dụng ta muốn có đƣợc số
nguyên tố với độ chắc chắn 100% là số nguyên tố. Khi đó ta có thể dùng các thuật
toán xác suất nhƣ trên và sau đó tìm kiếm những thuật toán tất định để thử tính

nguyên tố với độ chính xác tuyệt đối.
Adleman, Pomerance và Rumely đã đề xuất một số thuật toán kiểu nhƣ vậy,
trong đó nổi bật là thuật toán thử tổng Jacobi, sau đó đƣợc đơn giản hoá bởi Cohen và
Lenstra. Gold Wasser, Kilian, Adleman và Hoang đề xuất thuật toán thử bằng đƣờng
cong Elliptic, và đƣợc tiếp tục hoàn thiện bởi Atkin và Morain. Các thuật toán này đã
đƣợc dùng để tìm nhiều số nguyên tố rất lớn.
d/. Thuật toán Agrawal-Kayal-Saxena.
Tháng 8-2002, các nhà toán học Ấn độ Agrawal, Kayal và Saxena đã đƣa ra
thuật toán tất định, thử tính nguyên tố, có độ phức tạp thời gian đa thức, khá đơn giản.
Thuật toán Agrawal-Kayal-Saxena.
Input: integer n>1
1. If (n is of the form a
b
, b>1) output COMPOSITE
1
;
2. r = 2;
3. While (r<n) 
4. if (gcd(n, r)  1) output COMPOSITE;
5. if (r is prime)