Nghiên cứu một số phương pháp bảo mật và xác thực bản quyền ảnh số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.85 MB, 109 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
CHU VĂN HUY
NGHIÊN CỨU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
BẢO MẬT VÀ XÁC THỰC BẢN QUYỀN ẢNH SỐ
LUẬN VĂN THẠC SĨ
HẢI PHÒNG - 2011
2
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
CHU VĂN HUY
NGHIÊN CỨU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
BẢO MẬT VÀ XÁC THỰC BẢN QUYỀN ẢNH SỐ
Ngành: Công nghệ thông tin
Chuyên ngành: Hệ thống thông tin
Mã số: 60.48.05
LUẬN VĂN THẠC SĨ
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS. TRỊNH NHẬT TIẾN
HẢI PHÒNG - 2011
3
MỤC LỤC
BẢNG KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT 5
MỞ ĐẦU 6
Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 7
1.1. TNG QUAN V AN TOÀN THÔNG TIN 7
1.1.1. Khái nim h thng thông tin và tài sn h thng thông tin 7
1.1.2. Các mi vi h thng thông tin và bin 8
1.1.3. Mc tiêu và nguyên tc chung ca an toàn bo mt thông tin 9
1.1.4. V bo v bn quyn sn phm s 10
1.1.5. Thc trng vi phm bo v bn quyn sn phm s 11
o v bn quyn nh s 12
1.2. MT S KHÁI NIM V TOÁN HC 13
c chung ln nht, bi chung nh nht 13
1.2.2. Quan h 16
1.2.3. S nguyên t 19
1.2.4. Khái nim Nhóm 22
phc tp thut toán 24
1.3. MT S KHÁI NIM V X LÝ NH 25
1.3.1. Khái nim nh s 25
1.3.2. Mt s min trong x lý nh 27
Chương 2. MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP BẢO VỆ BẢN QUYỀN ẢNH SỐ 28
2.1. MT S TÌNH HUNG XUT HIN TRONG VIC BO V BN QUYN
NH S 28
2.1.1. Mt s kiu tn công và tranh chp liên quan ti nh s 28
2.1.2. Mt s ng gp trong thc t 29
2.2. THY VÂN S 31
2.2.1. Tng quan v thy vân s 31
2.2.2. Mô hình thy vân s 41
2.2.3. Mt s thut toán thy vân s 45
2.3. MÃ XÁC THC 56
2.3.1. Mã xác thc 56
2.3.2. Mt s loi mã xác thc 57
2.4. CH KÝ S 60
2.4.1. Tng quan v ch ký s 60
2.4.2. Mt s loi ch ký s 62
74
4
Chương 3. THỬ NGHIỆM CHƢƠNG TRÌNH BẢO VỆ BẢN QUYỀN ẢNH SỐ 79
Y VÂN TRÊN NH S 80
y vân trên các bít LSB 80
y vân dùng phép bii DCT 85
TRÊN NH S 91
RSA 91
Elgamal 97
NG DNH S 103
ng d 103
KẾT LUẬN 107
DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 108
TÀI LIỆU THAM KHẢO 109
5
BẢNG KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Ký hiệu
Viết đầy đủ
Ý nghĩa
DCT
Discrete Cosine Transform
Bii Consine ri rc
DFT
Discrete Fourier Transform
Bii Fourier ri rc
DWT
Discrete Wavelet Transform
Bii sóng ri rc
HVS
Human Visual System
H thng th i
LSB
Least Significant Bit
Bit ít quan trng nht
MSE
Mean Square Error
Là sai s
NC
Normalized Correlation
H s n
PSNR
Peak Signal to Noise Ratio
T s ca tín hiu nhn vi nhiu
VPN
Virtual Private Networks
Mng riêng o
6
MỞ ĐẦU
, .
,
,
hình nh, âm thanh, video
.
Ni ta có th d dàng to ra nhng bn sao, d dàng sao chép trên quy mô ln.
T dt s ngành công nghi xut bn sách, nhc,
b a do b vi phm bn quyn.
Chính vì th mi quan tâm nghiên cu bo v bn quyn các sn phm s
nhm tìm cách n quyn tác gi vào các sn phm s c s nhc s
quan tâm sâu sc. Nh i ta có th nh vi phm bn quyn và
truy t nhi vi phm.
Xut phát t thc trng trên, em nh d xu tài nghiên cMột
số phương pháp bảo mật và xác thực bản quyền ảnh sốt cái nhìn
vic bo v bn quyn i vi nh s - mng c th ca các
sn phm s.
tài s tp trung nghiên cu mt s o v bn quyi vi
ng nh s cp bao gm thy vân s, ch ký s
kt hp cùng vxác thc.
Em xin chân thành cthày PGS. TS Trịnh Nhật Tiến trng
d tài này.
Hải Phòng, ngày 01 tháng 11 năm 2011
Hc viên
Chu Văn Huy
7
Chương 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
u tiên ta s tìm hiu mt s ni dung n n
v bo v bn quyn nh s s dng.
1.1. TỔNG QUAN VỀ AN TOÀN THÔNG TIN
1.1.1. Khái niệm hệ thống thông tin và tài sản hệ thống thông tin
Khái niệm: H thng thông tin là mt tp hp các máy tính gm các thành
phn phn cng, phn mm và d liu làm vii gian.
Tài sản của hệ thống thông tin bao gồm:
Phn cng
Phn mm
D liu
Truyn thông gia các máy tính ca h thng
ng làm vic
i
8
1.1.2. Các mối đe dọa đối với hệ thống thông tin và biện pháp ngăn chặn
Có 3 hình thức đe dọa đối với một hệ thống thông tin:
Phá hoại ng s phá hng thit b phn cng hoc phn
mm hong trên h thng.
Sửa đổi: Tài sn h thng b sng làm cho h
tha nó. Chng ht khu b i
thì i dùng trong h thng không th truy cp vào h th làm vic.
Can thiệp: Tài sn ca h thng b truy cp bi không có thm quyn.
Các đe dọa đối với một hệ thống thông tin có thể đến từ nhiều nguồn và
đƣợc thực hiện bởi các đối tƣợng khác nhau. Chúng có thể chia làm 3 loại:
Các đối tượng từ bên trong hệ thống (insider)nhng có
quyn truy cp hi vi h thng.
Các đối tượng từ bên ngoài hệ thống (hacker, cracker) i
ng này tn công qua nhng kt ni vi h th.
Các phần mềm chạy trên hệ thống: chng h
Các biện pháp ngăn chặn: thƣờng có 3 biện pháp ngăn chặn:
Điều khiển thông qua phần mềm: d an toàn và bo mt
ca h thng nn (h u hành), các thut toán mt mã h
Điều khiển thông qua phần cứng bo mt, các thut toán mt
mã hc c s dng.
Điều khiển thông qua các chính sách của tổ chứcnh
ca t chc nhm bo tính an toàn bo mt ca h thng.
9
1.1.3. Mục tiêu và nguyên tắc chung của an toàn bảo mật thông tin
Ba mục tiêu của an toàn bảo mật thông tin:
Tính bí mật: thông tin ca h thng ch c truy cp bi nhi có
thm quyn. Các loi truy cp g c (reading), xem (viewing), in n
(printing), s dng c hiu bit v s tn ti ca mng nào
chc. Tính bí mt có th c bo v nh vic kim soát truy cp (theo
nhiu kiu khác nhau) hoc nh các thut toán mã hóa d liu. Kim soát truy cp
ch có th thc hic vi các h thng phn cng vi vi các d
li bo mt hiu qu ng là mt mã hc.
Tính toàn vẹn dữ liệu: thông tin ca h thng ch i bi nhng
i có thm quyn.
Tính sẵn sàng: thông tin luôn sc s dng bi nhi có
thm quyn.
Hai nguyên tắc của an toàn bảo mật thông tin:
Vic thnh v bo mt phi là khó và cn ti tt c các tình hung, kh
n công có th c thc hin.
Thông tin c bo v cho ti khi ht giá tr s dng hoc h
mt.
10
1.1.4. Vấn đề bảo vệ bản quyền sản phẩm số
c (protocol)
(mechanism)
(, , ,
a
,
.
c th
u b
th
.
(nó
)
a ra qui
:
c nhng ng
b.
,
.
u gi
. a thông tin th
, trong khi
u d
. Tuy nhiên s
. Ng
.
Theo s liu ca MarkMonitor, mn 53 t t truy cp vào các
website cung cp các sn phm s vi phm bn quyn, gây thit hi 200 t $
[08]
.
Chính vì vy nhu cu
cho các sn phm s là yêu cu cp
thit xut phát t thc tin.
T t s công c c rt nhiu nhà khoa hc nghiên c có th giúp
hin thc hóa yêu c mâ
̣
t ma
̃
(cryptography), giấu tin
(steganography), nén tin (compression), tƣờng lửa (firewall), mạng riêng ảo
(virtual private networks), Các công c ch s
,
,
.
11
1.1.5. Thực trạng vi phạm bảo vệ bản quyền sản phẩm số
trình bày phn m u, ng sn phm s trong lun cp
và tp trung nghiên cu là nh s. Hin nay, có hàng t bc c phân phi trên
các kênh truyn công cng. c tính d sao chép, d chnh sa nên
nhing li dng c ý p, làm sai lch, gi mo bc nh gc. T
có th n uy tín, thit hi v kinh t cho i ch s hu bc
nh c bit trong bi cnh bùng n ca mng Internet.
Chính vì th yêu cu an toàn bo mt thông tin ngày mt tr nên cp thit
bao gi ht. Mc k tip s cp mt s o v bn quyi vi
nh s.
12
1.1.6. Phƣơng pháp bảo vệ bản quyền ảnh số
c hin trng bn quyn tác gi ca các sn
phm nh s b xâm phm nghiêm trng, gt s bo v bn
quyn nh s xu
Mã hóa: gia thông tin. Nu k gian không hic thông
tin thì s p, sao chép, gi mo hay xuyên tc thông tin c.
“Đánh dấu” tài liệu số: ghi du hiu s, gm mt s
p :
- Thủy vân số: nhúng mt du hiu chng thc bn quyn vào bc nh s.
- Chữ ký số: thc hin vic ký trên tng bit nh s. Ch cn mi
nh trên c si. Nh ch ký
s, ch s hc quyn s hu ca mình vi mt
bc nh s.
ging cn trong nhng bài toán
an toàn bo mt thông tin.
Ngoài ra, có th kt h i
hiu qu : mã hóa thủy vân trước khi nhúng, tạo đại diện rồi ký
Tuy nhiên, vic mã hóa và giải mã ch m bo an toàn cho d liu trong
quá trình truyn thông, còn sau khi gii mã thì d liu s c bo v
na. “đánh dấu” tài liệu số ng nhc nhiu s quan
Chính vì vậy luận văn này sẽ tập trung nghiên cứu việc bảo vệ bản quyền
cho ảnh số bằng các phƣơng pháp “đánh dấu” tài liệu số nhƣ: thủy vân số, chữ
ký số; kết hợp với mã xác thực và hàm băm.
13
1.2. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ TOÁN HỌC
hic nhng thut toán s dng trong các h mã mât, trong ch
n tc mt mã. Chúng ta phi có kin thc nn tn
v toán hc, lý thuy
Phn này s h thng li mt s khái nin v toán hđồng dƣ số
học (modulo), số nguyên tố, các thuật toán kiểm tra số nguyên tố,
mt s lý thuyđộ phức tạp thuật toánc s dng trong mt
mã và an toàn d liu.
1.2.1. Ƣớc chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất
1/. Ƣớc số và bội số
Cho hai s u có mt s nguyên q sao cho a = b*q, thì
ta nói rng a chia hết cho b (kí hiu b\a b là ước ca a, và a là bội ca b.
Ví dụ: a = 6, b = 2, ta có 6 = 2*3, ký hiu 2\6. c ca 6, và 6 là
bi ca 2.
Cho các s n ti cp s nguyên (q, r) (0 r < |b|) duy nht
sao cho a = b * q + rq gi là thương nguyên, r gi là số dư ca phép chia
a cho b. Nu r = 0 thì ta có phép chia ht.
Ví dụ: a = 13, b = 5, ta có 12 = 5*2 + 3. = 2, s r = 3.
2/. Ƣớc chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất
S nguyên d c gi là ước chung ca các s nguyên a
1
, a
2
n
nu nó là
ước ca tt c các s
S nguyên m c gi là bội chung ca các s nguyên a
1
, a
2
n
nu nó là
bội ca tt c các s
Mc chung d >0 ca các s nguyên a
1
, a
2
n
c chung
ca a
1
, a
2
n
c ca d, thì d c gi là ước chung lớn nhất (UCLN)
ca a
1
, a
2
n
. Ký hiu d = gcd(a
1
, a
2
n
) hay d = UCLN(a
1
, a
2
n
).
Nu gcd(a
1
, a
2
n
) = 1, thì các s a
1
, a
2
n
c gi là nguyên tố cùng
nhau.
14
Mt bi chung m >0 ca các s nguyên a
1
, a
2
n
i bi chung
ca a
1
, a
2
n
u là bi ca m, thì m c gi là bội chung nhỏ nhất (BCNN)
ca a
1
, a
2
n
. Ký hiu m = lcm(a
1
, a
2
n
) hay m = BCNN(a
1
, a
2
n
).
Ví dụ:
Vi a = 12, b = 15 thì gcd(12,15) = 3; lcm(12,15) = 60.
Hai s 8 và 13 là nguyên tố cùng nhau vì gcd(8, 13) = 1.
3/. Tính chất:
d=gcd(a
1
, a
2
,
n
) tn ti các s x
1
,
x
2
n
sao cho: d = a
1
x
1
+ a
2
x
2
+
+ a
n
x
n
Hệ quả: a
1
, a
2
n
nguyên t cùng nhau tn ti các s x
1
,
x
2
n
sao
cho: 1 = a
1
x
1
+a
2
x
2
n
x
n
d = gcd(a
1
, a
2
n
) gcd(a
1
/d, a
2
n
/d) = 1.
m = lcm(a
1
, a
2
n
) gcd(m/a
1
, m/a
2
n
) = 1.
gcd(m*a
1
, m*a
2
m*a
n
) = m*gcd(a
1
, a
2
n
) (v
Nu gcd(a, b) =1 thì lcm(a, b) = a*b
Nu b>0, a = b*q+r thì gcd(a,b) = gcd(b,r).
4/. Thuật toán Euclide tìm ƣớc chung lớn nhất:
a). Bài toán
Dữ liệu vào: Cho hai s ngu
Kết quả: gcd(a,b).
b). Thuật toán (Mô phng bng ngôn ng Pascal)
Readln(a, b);
While b>0 do
Begin
r := a mod b;
a := b;
b := r ;
End;
Writeln(a); gcd(a,b) = a;
15
c). Ví dụ: a = 30, b = 18;
a
b
r
a = b.q + r
30
18
12
30 = 18 * 1+12
18
12
6
18 = 12 * 1+6
12
6
0
12 = 6 * 2 + 0
gcd(30,18) = gcd(18,12) = gcd(12,6) = gcd(6,0) = 6.
5/. Thuật toán Euclide mở rộng
a). Bài toán
Dữ liệu vào: Cho hai s
Kết quả: d = gcd (a,b) và hai s x, y sao cho: a*x + b*y = d.
b). Thuật toán (Mô phng bng ngôn ng Pascal)
Readln(a, b);
If b=0 Then
Begin
d := a; x := 1; y := 0;
writeln(d, x, y);
End
Else
Begin
x2 := 1; x1 := 0; y2 := 0; y1 := 1;
While b>0 Do
Begin
a := b; b := r;
x2 := x1; x1 := x; y2 := y1; y1 := y;
End;
d := a; x := x2; y := y2;
writeln(d, x1, x2);
End;
End If;
16
1.2.2. Quan hệ “Đồng dƣ”
1/. Khái niệm
Cho các s nguyên a, b, m (m > 0). Ta nói rng a và b “đồng dư” với nhau
theo modulo m, nu chia a và b cho m, ta nhc cùng mt s
Ký hiu: a ≡ b (mod m).
Ví dụ: c cùng s
2/. Các tính chất của quan hệ “Đồng dƣ”
a). Quan hệ “đồng dƣ” là quan hệ tƣơng đƣơng trong Z
Vi mi s ngu
i mi a
Z; (tính cht phn x).
i xng).
t bc cu).
b). Tổng, hiệu, tích các “đồng dƣ”
(a+b) (mod m) [(a mod m) + (b mod m)] (mod m)
(a-b) (mod m) [(a mod m) - (b mod m)] (mod m)
(a*b) (mod m) [(a mod m) * (b mod m)] (mod m)
Tổng quát:
Có th cng hoc tr tng v nhic theo cùng mt modulo m, ta
c mc theo cùng modulo m, tc là:
Nu a
i
i
(mod m), i = 1 k, thì
k
i
k
i
iiii
btat
1 1
(mod m) vi t
i
= ± 1.
Có th nhân tng v nhiu c theo cùng mc
mc theo cùng modulo m, tc là:
Nu a
i
i
(mod m) vi i = 1 k thì ta có:
k
i
k
i
ii
ba
1 1
(mod m)
17
3/. Hệ quả
Có th cng hoc tr cùng mt s vào hai v ca mc.
Có th chuyn v các s hng cc bi du các s hng
Có th cng vào mt v cc mt bi ca modulo:
i mi k
Z
Có th nhân hai v ca mc vi cùng mt s:
i mi c
Z
Có th nâng lên lũy thừa bc nguyên không âm cho 2 v ca m
thc:
n
n
(mod m) vi mi n
Z
+
Có th chia 2 v c cho mc chung nguyên t vi modulo:
Nu c\a, c\b, (c,m) =
Có th nhân 2 v c và modulo vi cùng mt s
Nu
Có th chia 2 v c và modulo cho cùng mt s
c chung ca chúng:
Nu c\(a,b,m) a/c
i k \ m
gcd(a, m) = gcd(b, m)
18
4/. Các lớp thặng dƣ
Quan h p Z (tp các s nguyên) là mt quan
h nh cht phn xi xng, bc co ra trên tp
Z mt phân hoch gm các lhai s nguyên thuc cùng mt lp
khi chúng có cùng mt s m.
Mi li din bi mt s duy nht trong tp Z
m
=-1}
là s trong lp cho m, ký hiu mt li din bi s a là
[a]
m
y: [a]
m
= [b]
m
Vì vy ta có th ng nht Z
m
vi tp các lm.
Z
m
= {0, 1, 2m-c gi là tthặng dư đầy đủm. Mi
s nguyên bt k u có th c trong Z
m
mt s i mình theo
modulo m.
19
1.2.3. Số nguyên tố
1/. Khái niệm
Số nguyên tố: là s t nhiên l, ch c là 1 và chính nó.
Ví dụ:
Các s 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 là s nguyên t.
S 2 là s nguyên t chẵn duy nht.
Nhận xét: s nguyên t n trong s hc và lý thuyt
mt mã. Bài toán kim tra tính nguyên t ca mt s ích
mt s n ra tha s nguyên t là các bài toán rc quan tâm.
2/. Định lý về số nguyên tố
a). Định lý về số nguyên dƣơng > 1
Mi s n u có th biu dic duy nhất i dng:
k
n
k
nn
PPPn
21
21
k, n
i
( i =1, 2, , k) là các s t nhiên, P
i
là các s nguyên t, tng
t khác nhau.
b). Định lý Mersenne
Cho p = 2
k
-1, nu p là s nguyên t, thì k phi là s nguyên t.
Chứng minh:
Bng phn chng, gi s k không là nguyên ti 1< a, b< k.
y: p = 2
k
-1 = 2
ab
-1 = (2
a
)
b
-1= (2
a
-1).E (t t biu thc
nguyên - áp dng công thc nh thc Niu
u này mâu thun gi thit p là nguyên t. Vy gi s là sai, hay k là s
nguyên t.
20
c). Hàm Euler
Cho s ng n, số lượng các s nguyên
tố cùng nhau vc ký hiu
(n) và gi là hàm Euler.
Nhận xét: Nu p là s nguyên t, thì
(p) = p-1
Ví dụ:
Tp các s nguyên không âm nh 7 là Z
7
= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Do 7 là số nguyên tố, nên tp các s nguyên tố
cùng nhau vi 7 là Z
7
Z/ =
(p) = p-1 = 8-1 = 7.
Định lý về Hàm Euler: Nu n là tích ca hai s nguyên t n = p.q, thì
(n) =
(p).
(q) = (p-1).(q-1).
d). Định lý Fecma
Nu p là s nguyên t, a là s nguyên, thì a
p
a (mod p).
Nu p không chia ht a, thì a
p-1
1 (mod p).
Ví dụ: 4
7
7-1
e). Định lý Euler
Nu gcd(a, m) = 1 thì a
(m)
ng hp m là s nguyên t,
nh lý Fecma.
Ví dụ: m = 10,
(m) =
(2).
(5) = 1 * 4 = 4. Ta có: 7
4
9
4
4
Hệ quả 1: N
(m)) vi a, b là các s t nhiên,
thì c
a
b
(mod m) và suy ra c
a
mod m = c
a mod
(m)
mod m.
Chứng minh:
(n)) nên a = b + k
(m), k
Z và vì vy
c
a
= c
b+k
(m)
= c
b
.(c
(m)
)
k
nh lý Euler.
Nhận xét: H qu trên giúp gim nh via bc
cao.
Ví dụ: Ta thy
(15) =
(5).
:
2
1004
(mod 15) = 2
4
(mod 15) = 16 (mod 15) = 1.
21
Hệ quả 2: Nu các các s nguyên e, d tha mãn e.d ≡ 1 (mod
(n)), thì vi
mi s c nguyên t cùng nhau vi m, ta có (c
e
)
d
c (mod m).
Chứng minh: t a = ed và b = 1, t h qu 1 ta có h qu 2.
Nhận xét: H qu này có vai trò then cht trong vic thit lp các h
3/. Tính toán “đống dƣ” của lũy thừa lớn:
a). Trƣờng hợp a>
(m)
ng hp a >
(m), khi i ta dùng H qu tính
n.
b). Trƣờng hợp
(m)>a
Trong thc t ng gp m l
(m) ln, thm chí
(m)> a,
khi i ta dùng k thut khác. Ví d: pp.
* Phương pháp bình phương liên tiếp:
Ví dụ: cn tính 87
43
(mod 103)
Khai trin s i d 2: 43 = 32+8+2+1 = 2
5
+2
3
+2
1
+2
0
(*)
Tính liên tip các
87 (mod 103) = 87 (ứng với 2
0
)
87
2
(mod 103) = 50 (ứng với 2
1
)
87
4
(mod 103) = 50
2
(mod 103) = 28 (ng vi 2
2
)
87
8
(mod 103) = 28
2
(mod 103) = 63 (ứng với 2
3
)
87
16
(mod 103) = 63
2
(mod 103) = 55 (ng vi 2
4
)
87
32
(mod 103) = 55
2
(mod 103) = 38 (ứng với 2
5
)
Theo khai trin (*), ly tích ca bc 2
5
, 2
3
, 2
1
, 2
0
(rút gn theo
c kt qu: 87
43
(mod 103) = 38 * 63 * 50 * 87 (mod 103) = 85.
22
1.2.4. Khái niệm Nhóm
1/. Khái niệm Nhóm
Nhóm là mt cp hp khác rng, * là phép toán hai
ngôi trên G tho u kin sau:
Phép toán có tính kt hp: (x*y)*z = x*(y*z), x, y, z G.
Có phn t trung lp e G: x*e = e*x = x, x G.
Vi mi xG, có phn t ngh G:
2/. Nhóm Cyclic
c gi là Cyclic nc sinh ra bi mt trong các phn t ca
nó. Tc là có phn t g G mà mi phn t a u tn ti s n g
n
= a.
c gi là phần tử sinh hay phần tử nguyên thuỷ ca nhóm G.
Cấp ca G là s phn t nu nó hu hn, bng nu nó vô hn.
Ví dụ: Nhóm cng Z gm các s nguyên là nhóm Cyclic có phn t sinh là 1.
Lƣu ý:
Nu không tn ti s t g
n
=e thì G có cp là .
Trong ng hc li, tn ti s t nhiên nh nht n mà g
n
= e thì G s
gm n phn t khác nhau: e, g, g
2,
g
3,
. , g
n-1
c gi là nhóm Cyclic
hu hn cấp n.
G cấp d sao
cho
d
= e. = e.
23
3/. Nhóm Z
n
*
Z
n
*
= e Z
n
, e là nguyên t cùng nhau vi n. Tp các s
cùng nhau vi n.
Z
n
*
c gi là tp thặng dư thu gọn theo mod n, lp thành mt nhóm vi
phép nhân mod n. (n) là s các phn t ca tp Z
n
*
.
Định lý Lagrange: Cho G là nhóm cp n và g p ca g là ước
của n.
Hệ quả: Gi s g Z
n
*
có cp m thì m là ước của (n).
Các tính chất khác:
Z
n
*
thì: b
(n)
1 (mod n).
ì: (p) = p-1.
Định lý: Nu p là s nguyên t thì Z
n
*
là nhóm Cyclic.
4/. Ứng dụng của khái niệm nhóm
Các kt lun trên là nn t thc thi nhiu h n t.
Ví d Elgamal (1985),
24
1.2.5. Độ phức tạp thuật toán
1/. Độ phức tạp thuật toán
gian và
Thut toán đa thức là thu phc tp thi gian O(n
t
), (t là hng s).
Thut toán thời gian mũ là thu phc tp thi gian O(t
p(n)
), trong
ng s c ca n.
khác nhau s
Thu phc tp O(n) : x c 3,6 tring.
Thu phc tp O(n log n) : x c 0,2 tring.
Thu phc tp O(2
n
) : ch x c 21 ng.
2/. Phân loại bài toán.
Bài toán chia thành 2 loi chính: Giải được bằng thuật toán và Không giải
được bằng thuật toán.
Bài toán Giải được bằng thuật toán li chia thành 2 loi: Thc t dễi và
thc t khó gii. Có th tm hiu rng:
Bài toán thc t dễi là: có th gii nó sau thời gian đa thức. Tc là giải
thuật nhanh.
Bài toán thc t khói là: ch có th gii nó sau thời gian hàm mũ.
3/. Ứng dụng khái niệm độ phức tạp
mã hóa
25
1.3. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ XỬ LÝ ẢNH
1.3.1. Khái niệm ảnh số
1./ Ảnh số là gì?
nh s là mt tp hm c s c biu
din bi mng hai chiu có m dòng và n ct. Ta nói nh gm m x n pixel m
nh)ng kí hi ch mt pixel. Tùy theo loi nh mà mt
pixel có th trên 1, 4, 8 hay 24 bit.
P(x,y) | x = 0n, y = 0 m
2/. Phần tử ảnh
nh trong thc t là nh liên tc v không gian và v giá tr sáng. có th
x lý nh bng máy tính cn thit phi tin hành s hoá nh. Trong quá trình s hoá,
i ta bii tín hiu liên tc sang tín hiu ri rc thông qua quá trình ly mu
(ri rc hóa v không ng hoá thành phn giá tr mà v nguyên tc bng
mng không phân bim k nhau.
i ta s dng khái nim picture element mà ta quen
gi là pixel (phn t nh). Mi pixel bao gm mt cp t ch v trí (x,y) và mt
mc xám nhnh. M pixel trên mt nh s phân gii
ca nh. phân gic li.
Ví dụ: mt nh s phân gii là 800 x m
theo chiu ngang m theo chiu dc.
