ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN MỜ TRONG XỬ LÝ THÔNG TIN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
……………


NGUYỄN TIẾN ĐỨC



ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN MỜ TRONG
XỬ LÝ THÔNG TIN

Ngành: Công nghệ thông tin
Mã số: 1.01.10


LUẬN VĂN THẠC SỸ


Người hướng dẫn khoa học: PGS. TSKH. Bùi Công Cường



Hà Nội, 2007
MỤC LỤC

CHƢƠNG I: TỔNG QUAN 1
1.MỤC TIÊU, NỘI DUNG VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 1

2.TÓM TẮT NỘI DUNG CÁC CHƢƠNG 2
CHƢƠNG II: ĐỘ ĐO LEBESGUE VÀ TÍCH PHÂN LEBESGUE 3
1. ĐỘ ĐO LEBESGUE. 3
1.1. NHẬN XÉT……. … 3
1.2. ĐỘ ĐO TRÊN MỘT ĐẠI SỐ TẬP HỢP 5
1.2.1. Đại số tập hợp. 5
1.2.2. Hàm tập hợp… 6
1.2.3. Các tính chất. 7
1.3. KHUẾCH ĐỘ ĐO…… 10
1.3.1. Độ đo ngoài… 10
1.3.2. Định lý khuếch: 10
1.4. ĐỘ ĐO TRONG R
k
12
1.4.1. Độ đo trên đƣờng thẳng: 12
1.4.2. Độ đo trong không gian Euclide k chiều 13
1.5. HÀM SỐ ĐO ĐƢỢC 14
1.5.1. Định nghĩa: 15
1.5.2. Các phép toán về hàm số đo đƣợc. 16
1.5.3. Cấu trúc các hàm số đo đƣợc: 16
1.5.4. Hàm số tƣơng đƣơng 17
1.5.5. Sự hội tụ theo độ đo. 17
1.5.6. Hai định lý về cấu trúc hàm đo đƣợc. 18
1.6*. ĐỘ ĐO VÀ THỨ NGUYÊN HAUSDORFF 19
1.6.1. Độ đo Hausdorff. 19
1.6.2. Thứ nguyên Hausdorff: 20
1.6.3. Thứ nguyên Kolmogorov: 21
2. TÍCH PHÂN LEBESGUE. 23
2.1. SỰ HẠN CHẾ CỦA TÍCH PHÂN RIEMANN 23
2.1.1. Tích phân Riemann trong R

k
23
2.1.2. Dao động của một hàm số: 24
2.1.3. Tiêu chuẩn khả tích (R). 24
2.1.4. Tích phân Riemann trên một tâp hợp: 26
2.2. TÍCH PHÂN LEBESGUE. 28
2.2.1. Tích phân các hàm đơn giản. 28
2.2.2. Tích phân các hàm đo đƣợc bất kỳ. 30
2.2.3. Các tính chất sơ cấp: 31
2.3. QUA GIỚI HẠN DƢỚI DẤU TÍCH PHÂN 36
2.3.1. Hội tụ đơn điệu. 36
2.3.2. Hội tụ chặn 36
2.3.3. Tích phân coi nhƣ một hàm tập. 37
2.4. TÍCH ĐỘ ĐO VÀ TÍCH PHÂN LẶP. 38
2.4.1. Độ đo trong không gian tích. 38
2.4.2. Tích phân lặp. 39
2.5. TÍCH PHÂN VÀ ĐẠO HÀM TRONG R. 39
2.5.1. Đạo hàm của một hàm số đơn điệu. 40
2.5.2. Đạo hàm của tích phân bất định. 41
5.3. Hàm số có biến phân bị chặn và hàm số tuyệt đối liên tục. 41
2.5.4. Vấn đề tìm lại nguyên hàm. 43
2.6. TÍCH PHÂN STIELJÈS 43
2.6.1. Độ đo L.S. 43
2.6.2. Tích phân R.S. 46
CHƢƠNG III: ĐỘ ĐO MỜ VÀ TÍCH PHÂN MỜ
1. ĐỘ ĐO MỜ (fuzzy measures). 48
1.1. ĐỊNH NGHĨA ĐỘ ĐO MỜ. 48
1.2. MỘT VÀI VÍ DỤ QUAN TRỌNG VỀ ĐỘ ĐO MỜ 49
1.2.1. Hàm lòng tin (belief function) và hàm hợp lẽ (plausibility
function) 49

1.2.2. Độ đo khả năng (Possibility theory) 50
1.2.3. Độ đo cực đại (maxitive measures, Shilkret 1971) [13] 51
2. TÍCH PHÂN MỜ (Fuzzy Intergrals) 52
2.1. TÍCH PHÂN CHOQUET. 52
2.1.1. Định nghĩa tích phân Choquet 52
2.1.2. Các tính chất 54
CHƢƠNG IV: ỨNG DỤNG 57
Bài toán 1 57
Bài toán 2 60
KẾT LUẬN 61
TÀI LIU THAM KHẢO 62
PHỤ LỤC 1: MÃ NGUỒN CHƢƠNG TRÌNH 63
PHỤ LỤC 2: MÔ TẢ DỮ LIU 78


CHƢƠNG I:
TỔNG QUAN
MỤC TIÊU, NỘI DUNG VÀ PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
 Mục tiêu của luận văn
    ý      à tích phâ , a ra
phng hác bài toán áà
 Nội dung chính của luận văn
n có cáính nh sau:
- Tì ý à tích phâ
- Trình bày ích phâà các ví .
- Xâng chìài toán.
 Phƣơng pháp nghiên cứu
- ý à a ra các nh giá

-   ê  ân tích các lý     ó liên

áááo, cô giáo, các nhà
  ác chuyên gia, các   ách báo, tà 

- Tìêác yêác tiêà các nh giá 
cá
- ê
2. TÓM TẮT NỘI DUNG CÁC CHƢƠNG
n có 4 chng và 
 Phần mở đầu
ày nêu lêích phâà à á
vào các bài toá
 Chƣơng I: Tổng quan
Chng này nêu lêêung và phng pháp nghiê
hoan thàn.
 Chƣơng II: Độ đo Lebesgue và tích phân Lebesgue
Chng này nêu lên các ý, tíà 
ý quo Lebesgue và tích phân Lebesgue.




 Chƣơng III: Độ đo mờ và tích phân mờ
Chng này nêu lên các   ý, các tí  à 
minh, các ví à tích phâ
 Chƣơng IV: Ứng dụng tích phân mờ
Chng nà ích phâthông qua hai bài toán

Bài toán 1: Giá 
Bài toán 2: Giá 
 Phần kết luận

 ày nê     n và   á  
tng lai.
 Phụ lục mã nguồn chƣơng trình


CHƢƠNG II:
ĐỘ ĐO LEBESGUE VÀ TÍCH PHÂN LEBESGUE
1. ĐỘ ĐO LEBESGUE (Hong Tụy 2006, [3])
1.1. NHẬN XÉT
R 
i  ׀׀ = b-
 
1

2

n

׀
1
׀ +׀ 
2
׀ ׀
n
׀c quan


c 

R

2
và trong không gian R
3

cc
cc R
3
, ta
 ch c  
thành àm 

 
trong R
k
 k = 1

( 
1

2
) sao c
1

i

i

1

2


3
)
sao c
i

i

i

׀׀ 
c
M
k
trong R
k

M
k


M
k
׀׀
c M
k

m(A B) = m(A) + m(B)
Peano và Jord
cR

k



 









 
n
i
i
n
i
i
m
1
1
*
:inf
,

i


0


 


m
= ׀׀  m
*

0
\A).

*
(A) =
 


m


*
(A) và
 


m
 
Cho M
k

   -
minh M
k

M
k

A, B

M
k


A

B

M
k
, A

B

M
k
, A\B

M
k

M
k

(c -
 
 


R
k
:
    
1
11121
,,0:,, ,,



k
kkkk
Rf


  c     -Jordan (và ng  c
    M
k
 c       
g = 
c -Jordan,
 

0.
c 


 











 
1
1
*
:inf
i
i
i
i
m

n
i


c
r
L
k
trong R
k

k
trên L
k

M
k
, m thay L
k

k





c


i
(i=1,2,3,… )  L
k


 
.
1
1















i
i
k
i
i
k





L
k


-
L
k
R
k

k

L
k


M
k
và do b), d) nên L
k

-
k

L
k

L
k


k



 

c
 
Peano-
1.2. ĐỘ ĐO TRÊN MỘT ĐẠI SỐ TẬP HỢP
1.2.1. Đại số tập hợp.
     à kín    ép toá     
phép toátrê  
à ,

và kín ép toá
phéà phééà phé

b) 

- (hay

-trà ,

và kín 
phép toáê

-à


1.2.2 Hàm tập hợp.
g gian, M 
c M 

A, B  M, A

B = Ø, A

B  M






B c

A
i


M (i=1,2,,n)
A
i


A
j
=Ø(i


j)
M
n
i
i



1

Hà  là

-í
A
i


M (i=1,2,)
A
i


A
j
=Ø(i

j)
M
i
i





1

   

-c         
khôn
c C; và

a)  C;
b) Ø) =0
c) 

-

b

  Ct A  C




thì
Ø 

- 






Ví dụ:
1) C  

2) C 
0
cC:
 






0
1




-


0
x




0
x













n
i
i
n
i
i
1
1


















1
1
i
i
i
i





,
1




i
i

X
i


C,
 
.
i


1.2.3. Các tính chất.
Định lý 1. Nếu μ là độ đo trên đại số C thì
i) A, B

C , B

A, μ(B) ≤ μ(A)
ii) A, B

C , B

A, μ(B) < + ∞ μ(A\B) = μ(A) - μ(B)
A
i


C , (i=1,2,…)
A


C , A



1i
i
A

IV) A
i



C (i=1,2,…)
A
i


A
j
=


A

C , A



1i

i
A

Chứng minh.
i) Vì B  A nên A = (A\B)  \
ii) \ó 
   


\B)
iii) Tr
i
nh 

/
i


,
1
/
1






i
i

i
i

/
i


,
/
ii


C
i

. thì
.
/
C
i


,
1
/

i

,\
12

/
2


 
,\
123
/
3


,\
1
1
/




n
i
inn

t
/
i

ã nêu.

Vì





1i
i
nên
 
,
111

















i
i
i

i
i
i


ii
C (do
 ,
i
C) 
,
1
/
1






i
i
i
i

Trong ó
iiii
C 
//
,

nên theo (i)
 
 


/
và các
/
i




-
iii)
   




1i
i


   




1i

i




 
 
 
.
11
/






i
i
i
i


iv) 




1i
i

    
,:
1




i
i
n
do ó theo (i), vì




1i
i

C (doC là 
 
.
1















i
i
 
i

nhau nên
 
.
1
1
















i
i
i
i



   




n
i
i
1
(i  
minh).
Hệ quả. Nếu độ đo

là

-hữu hạn thì mọi tập

C đều có thể phân
tích thành một số đếm được tập có độ đo hữu hạn.
Định lý 2. Nếu

là độ đo trên đại số C thì

(i)
 
;0, ),2,1(,0
11















i
i
i
ii
Ci


(ii)
       
.\0, 


C

Định lý 3. Nếu

là độ đo trên đại số C thì
(i) A
i


C





1
21
,, ),2,1(
i
i
i

C

 
;lim
1
i
i
i

i
















(ii) A
i


C





1
21
,

i
i

 
i
i
i
i














lim
1


Chứng minh.
(i) Nh 

1

1
12211
\, ,\,



n
i
inn
thì các B
i
C
và
.
11






i
i
i
i


Do ó
   





























n
i
i

n
i
i
i
i
i
i
11
11
lim






 
.limlim
1
n
n
i
i















(ii) c De Morgan
 






1
1
1
1
\\
i
i
i
i
trong ó các

ii
 \
1
/



/
2
/
1


 
/
1
/
lim
i
i
i
i
















.
Nhng vì
 

1

mà
1

i
, nên
 

i

và














1i
i

ta có theo

 
,\
1
1
1
1
1
/



































i
i
i
i
i
i


 
   
,
1

/
ii



Do ó suy ra
 
.lim
1
i
i
i
i
















Định lý 4. ( Cho


là một hàm tập không âm, cộng
tính trên đại số C và sao cho
,
1




i
i
nó sẽ là một đại số nếu có một trong
hai điều kiện sau:
(i) A
i


C





1
21
,, ),2,1(
i
i
i
C

 
;lim
1
i
i
i
i
















(ii) A
i


C





1
21
,
i
i

 
.0lim 

i
i


     





11
lim
i
i
n
i
i
n


.
1.3. KHUẾCH ĐỘ ĐO
Cho C là ông gian X, m là  o trên C.
Ta hãy tìm cáhào trê

-àm C.


1.3.1. Độ đo ngoài.
à
*

xác êáông gian
X. à o o ngoà
a)
0)(
*
A


Xx 
,
b)
0)(
*


,
c)







1
**
1
)()(
i
ii
AAAUA

.
Nh áy không 

-ính mà i


-dính (ng
*

ác êác

Chú ý 
c
1
)
)()(
**

BABA


.
Định lý 5. (Caratheodory) Cho
*

là một độ đo ngoài trên X và L là lớp
tất cả các tập con A của X sao cho.
)\()()(
***
AEAEE


với mọi
XE

L là một

- đại số và hàm
L/
*


(thu hẹp của
*

trên L) là một độ
đo trên L.
Độ đo


gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài
*


Các tập A ( thoả mãn điều kiện (1) gọi là
*

-đo được. Chú ý rằng điều
kiện (1) tương đương với.
)\()()(
***
AEAEE


với mọi
XE

vì bất đẳng thức ngược lại luôn luôn đúng do c)
1.3.2. Định lý khuếch:
ê o ngoài
*

trê
o trên

- àm thàáãn áp
 vào m cho tr
lê


-à
Định lý 6: Cho m là một độ đo trên một đại số C những tập con của X.
Nếu ta đặt với mỗi
XA
.
 












CPPPmA
i
i
i
i
i
;:inf)(
1
1
*



thì
*

là một độ đo ngoài và
)()(
*
AmA 

với mọi
A
C, đồng thời mọi
tập thuộc

-đại số
)(CF
đều là
*

đo được.
(1)
(1
*
)
(2)


Định lý 7. Độ đo

cảm sinh bởi một độ đo ngoài

*

bao giờ cũng là
độ đo đủ ( trên

-đại số L các tập
*

-đo được) và họ các tập có độ đo


bằng 0 trùng với họ các tập có độ đo ngoài
*

bằng 0.
Định lý 8. Cho một độ đo m trên một đại số C. Bao giờ cũng có một độ
đo

trên

-đại số
CCFL  )(
sao cho.
(i)
)()( AmA 

với mọi
CA
( nghĩa là


khuếch m)
(ii)

là hữu hạn (

-hữu hạn) nếu m là hữu hạn (

-hữu hạn).
(iii)

là độ đo đủ
(iv) Một tập A thuộc họ L khi và chỉ khi nó có thể biểu diễn dưới dạng
A = B \ N hoặc A = B
N

trong đó trong đó
,0)()(),(*),(
*
 EECFENCFB

và
*

là độ
đo ngoài xác định từ m theo công thức (3).
Chứng minh


là o ngoài
*


xác ông
 (2) và L là

-á
*

-o h lý 6, o

ó
tíêu trên (

 à vì
CX 
nên tí
ng. Theo ý 7,

à o ò
Nó 3) thì ên
LA
(vì L là

-à

là o

LA
. Theo cách xâ
*


(cô2)), có 
tìm   
CP
k
i

sao cho
kAkAPmAPU
i
iii
kk
/1)(/1)()(,
*
1
1









k
ii
k
PUB






1
1


AB 
và
)(CFB
. 
i
k
ii
PUBk



1
,
, cho nên
kAPmB
ik
i
/1)()()(
1







do ó
)()( AB


. Nhng vì
AB 
nêó 
).()( AB


và 
N=B\ó
0)\()(  ABN


Nh  
LA


)(CFB
sao cho
AB 
và
).()( AB


Áày
    ìm   

)(CFE
sao cho
0)(,  ENE

, ( à
0)(
*
E

theo  ý 7). Tó    ó A= B \ 
0)()(),(),(
*
 EECFENCFB

.
(3)


 ác vì
LA
nên
NAX \
va theo trên
''
\BA\X N

.0)(),(),(
''''
 ECFENCFB



''
)\( NBXA 
, hay
'''
NBA 
 
)(\
'''
CFBXB 
.
Tính cà do  toàý  
Nh 

-áo ông khác

-
)(CF

à có 
)(CF
áút ít cá
này (thêó o không).
1.4. ĐỘ ĐO TRONG R
k

ào lý át trên có âo Lebesgue trong
không gian R
k
áàng.

1.4.1. Độ đo trên đƣờng thẳng:
ên R là ó á
sau.
 

 

babababa ,,,,,),,(
,

 

 ,),,(,,),,(),,( aaaa

Cho C là áR có à

 
)(,:
1
jiUPPC
jii
n
i




trong 
i


là à êý.
      à    ên  hà 



n
i
i
Pm
1
)(
là o này theo thng
pháát  trình bày thì o Lebesgue trên  
Bổ đề 1. C là một đại số.
Định lý 9. Một tập N có độ đo 0 khi và chỉ khi với mỗi
0

có thể tìm
được một hệ ( hữu hạn hay đếm được) khoảng
k

phủ N và có độ dài tổng
cộng nhỏ hơn

.



kkk
NU ,

Hệ quả. Mọi tập hữu hạn hay đếm được trên đường thẳng đều có độ
đo 0.
Sau y là các o 
Định lý 10. Đối với một tập A trên đường thẳng ba điều kiện dưới đây
là tương đương.


(i) A đo được ( L)
(ii) Với mỗi
0

có thể tìm được một tập mở
AG 
sao cho

)\(
*
AG

(iii) Với mỗi
0

có thể tìm được một tập đóng
AG 
sao cho

)\(
*
FA

1.4.2. Độ đo trong không gian Euclide k chiều
   ên có     ông gian R
k
(
1k
). Trong
không gian nàà  
 
k
x

,
21

mà
 
i

êào  R
i

ê
a R có hai út là
) 2,1(, ki
ii


thì có ích


là 
)(
1
ii
k
i






k
là áR
k
có à
ng pháp t tró ng

1. C
k
là 

k
CP
có d
i
n
i
UP 
1

, trong 
i

là 
t.
i
n
i
Pm 

1
)(

thì hàm m là o trên 
k

3.  o m có   à   o
k

trê 

- 
kkk
CCFL  )(
 o
k

nà  à  o Lebesgue trong R
k
. và cá 


k
à o R
k
.
ó  
)(
k
CF
chính là

R
k

(do  cáR
k
o 
àên tíáR
k
(
1k
):
R
k
(
1k
) à 
nhau.
  à  R
k

có   à      
phng 
k
nnn , ,
21

có 
  
kinnx
iiknnn
k
,,2,1,1:, ,
11, ,
21





Trong  các n
i
á ên 0, 1, -2, 2, -
áng  àác
gian này có òành
2
k
ng có 1/4 v.v ác gian
 trong quá trình . vì 
Gx
thì, do G là à 

hìào  ong G, và ào ào
ng có 
k
ì
ê
)(
k
CF
à -
Borel
)(
kk
CFB 
. Ng   ên C
k

k
B
cho nên
kk
BCF )(
Do 
kk
BCF )(
nh  
Các  ý 9 và   ng trong không gian R
k
(
1k
) và 

 tr
1.5. HÀM SỐ ĐO ĐƢỢC
ích, khi làm toáác hàê
ãy hàêôà
liê, nói khác iác hàêông kín é
á, ngâà
hàêà kín ác phép toáíà hào
âàpháét sau:
à
)(xf
xác êông gian Mêtric X là liêà
á
 
axfx )(:
và
 
axfx )(:
- à 
á
),( a
và
),( a
- là 
  
)(xf
liê  ì       ói riêng
à 
)(xf
có tíày
thì 

RG 
à
)(xf
liê
 ó 
)(
1 nnn
baU


cho nêà ác
áa
n
, b
n
), mà àì 
chú
Nháêu ra) là nó không kín 
éà các phép toán ì ó


-ín ép toá
 có dy.


1.5.1. Định nghĩa:
ô

-F à


FA
. à
RXxf :)(
à o ê

-
F 
))( Ra 


FaxfAx  )(:

Thên

- F có o

: khi 
)(xf
à o
o

hay

o 
kk
LFRX  ,
thì ta
nói
)(xf
là o n: o 

kk
BFRX  ,
(

-R
k
) thì ta nói
)(xf
là à
   ên có   ác


F a f(x) :Ax R)a (


F a f(x) :Ax R)a (


F a f(x) :Ax R)a (

  4)

(7) vì cá 

a f(x) :Ax 
và

a f(x) :Ax 
bù
nhau, mà F là 


-ì ín éù, vì lý do
t5)

(6) và ò4)

(6) .
(4)

(6) rõ ràng
axf )(
khi và  
./1)()( naxfn 
cho nên
 
,/1)(:a f(x) :Ax
1
FnaxfAx
n




vì

FnaxfAx  /1)(:


(6)


(4) Rõ ràng
axf )(
khi và  
,/1)()( naxfn 
cho
nên
 




1
,/1)(:)(:
n
FnaxfAxaxfAx
vì

FnaxfAx  /1)(:


ó á
I. 
)(xf
o êì nó o ê
F.
II. 
)(xf
o  ên     
Ra
:


FaxfAx  )(:

III. Hà
)()( Axcxf 
là o 

)(xf
o êà
Rk 
là ì
)(. xfk

o 
(4)
(5)
(6)
(7)


1.5.2. Các phép toán về hàm số đo đƣợc.
Định lý 11. (i) Nếu
)(xf
đo được thì với mọi
0

hàm số

)(xf

cũng đo được.
(ii) Nếu
)(xf
và
)(xg
đo được và hữu hạn thì các hàm
số:
  
gfgffggf ,min,,max,,
cũng đo được, và nếu g(x) không triệt
tiêu thì hàm số 1/g cũng đo được.
Ở đây cũng như về sau, khi nói “đo được” ta hiểu ngầm “đo được trên
tập A” và để cho gọn, tập

axfAx  )(:
chẳng hạn sẽ được ký hiệu vắn tắt

axf )(
.
Định lý 12. Nếu
,2,1),( nxf
n
là những hàm số đo được và hữu hạn thì
các hàm số
)(lim);(lim);(inf);(sup xfxfxfxf
nnnnn
n
n
n


cũng đo được, và nếu hàm số
)(lim xf
nn 
tồn tại thì nó cũng đo được.
1.5.3. Cấu trúc các hàm số đo đƣợc:


)(xX
A






1
0
)(xX
A



- F
        

-        
)( FA

Ra










axX
A
)(


)(xX
A

)(xX
A

 
1)(:  xXxA
A


)(xf



) 2,1( ni
i



 
ii
xfxA

 )(:

i
A


,1a



0a



.10  a


x


x

)()(
1
xXxf
i
i
n
i






  
)(xf
  
i
A
 
)(xf

)(xf


i
Ax
thì

0)(,1)( 

xXxX
ji

i
Aij (

)
j
A

nên
i
xf

)(
, 
i
n
i
AUx
1

thì
0)( 

xX
i
   

0)( xf

khác,
)(xf

)(xX
i



Định lý 13. Mỗi hàm số
)(xf
đo được trên một tập A là giới hạn của một
dãy hàm đơn giản
:)(xf
n

)(lim)( xfxf
n
n 


nếu
0)( xf
với mọi
Ax
thì có thể chọn các
n
f
để cho.

)()(;0)(
1
xfxfxf
nnn



với mọi n và với mọi
Ax

1.5.4. Hàm số tƣơng đƣơng


-F 


trên F
)(x


Ax
, hay

AB
sao cho
0)( B


và
)(x



BAx \

)()( xgxf 
h.k.n trên A có

0)()(  BAB

và
)()()\( xgxfBAx 


)(),( xgxf

)()( xgxf 


Định lý 14. Nếu

là một độ đo đủ thì mọi hàm số
)(xg
tương đương với
một hàm số đo được
)(xf
cũng đều đo được.
1.5.5. Sự hội tụ theo độ đo.

)2,1)(( nxf
n

và
)(xf

dãy
)(xf
n



)(xf

)()( xfxf
n





0)()(:lim)0( 


xfxfAx
n
n




(8)

+ 
)()( xfxf
n


và
)()( xfxg 
thì
)()( xgxf
n



+ 
)()( xfxf
n


và
)()( xgxf
n


thì
)()( xgxf 

Sa.
 tro


là 
Định lý 15. Nếu một dãy hàm số f
n
(x) đo được trên một tập A hội tụ h.k.n
tới một hàm số
)(xf
, thì
)(xf
đo được và nếu
)(A

thì
)()( xfxf
n


.

)(A



,RA 









0
1
)(xf
n

thì rõ ràng
0)( xf
n


012/10)(: xfx
n



)(xf
n

2) V

 
k1,0

) 2,1( kif
ik










0
)(
i
xf
ik

D    
111
f


122
f

,
223
f

,
134
f

,
235
f


,
336
f



Tuy nhiên, ta có:
Định lý 16: Nếu dãy hàm số đo được
)(xf
n
hội tụ theo độ đo tới
)(xf
thì
có một dãy con
)(xf
k
n
hội tụ h.k.n tới
)(xf
.
1.5.6*. Hai định lý về cấu trúc hàm đo đƣợc.


Định lý 17. (Egorov) Cho một dãy số
)(xf
n
đo được, hữu hạn h.k.n và hội
tụ h.k.n trên một tập đo được A có độ đo
)(A


với mọi
0

tồn tại một tập
đo được
AB 
sao cho

)\( BA
và dãy
)(xf
n
hội tụ đều trên tập B.
 

 n

x

n+1

ác ác

,
1
k
i
x
k

i




ác khác


Định lý 18. ( Lusin) Cho một tập
k
RA 
có độ đo
)(A

một hàm số
)(xf
xác định và hữu hạn trên tập A là đo được khi và chỉ khi với mỗi
0

tồn
tại một tập đóng
AF 
sao cho

)\( FA
và
)(xf
liên tục trên tập F.



1.6*. ĐỘ ĐO VÀ THỨ NGUYÊN HAUSDORFF
1.6.1. Độ đo Hausdorff.
ên ta  nghiêo Lebesgue trong R
k
và ó 
ng kháo Peano-jordan. Tuy nhiên nó a 
các yêê à ác 
[0;1] cùng có úng
khác nhau xa (num và ói chung, 
nghiêác o tinh vi hn 
ãn yê và  ành côý 
là o Hausdorff.

k
RF 
và m
0s

0



 
i
U
sao cho
FU
i
i





1
và
iU
i




U


k
RU 



UyxyxU  ,:sup
.


- 
 










1
:inf
i
i
s
s
U
i
H
U


 
12



2

- là
1

-
ss
HH
12






s
H



)(lim)(
0
FHFH
ss





 trên R
k
(
 


Hausdorff s- 
k

s



-

s

k


-

k

k
RF 
ta có
)()( FLFHc
kkk


Là


(9)
(10)



k
c
-


)(FL
k
-
)(
0
FH
   
)(
1
FH
        

)(
2
FH

/4
 .v

mk
RRf :

k
RF 
,

0



0c


yxcyfxf  )()(

Fyx  ,
.
Định lý 19. (i) Nếu
k
RF 
và
0

thì
)()( FHFH
sss



(ii) Nếu
m
RFf :
là ánh xạ Holder với số mũ
0

và
hằng số
0c
thì
)())((

//
FHcFfH
sss



1.6.2. Thứ nguyên Hausdorff:
Do (9
1

thì
)(FH
s

10)
)(FH
s


s
i
i
st
t
i
i
UU







)()( FHFH
sstt




. Cho
0



)(FH
s
thì
stFH
t
 0)(
     
F
s
sao cho
)(FH
s

F
ss0
và

0)( FH
s

F
ss
. 
F
s
   

F
H
dim


 
F
2

=






0


)(,dim FHFs

s
H




 )(0 FH
s

-
 


0dim F
H

k
RF 


nF
H
dim

k
RF 


FE 
thì

FE
HH
dimdim 


H
F

H
F
(11)



 
iHiiiH
FFU dimsupdim
11  




Định lý 20. Nếu
k
RF 
và
m
RFf :
thoả mãn điều kiện Holder.


yxcyfxf  )()(

Fyx  ,

thì
FFf
HH
dim)/1()(dim



Hệ quả. (i) Nếu
m
RFf :
là Lipschitz thì
.dim)(dim FFf
HH


(ii) Nếu
m
RFf :
là Lipschitz hai chiều, tức là:
yxcyfxfyxc 
21
)()(

Fyx  ,
thì
)(dim)(dim FfFf

HH

. Nói cách
khác, thứ nguyên Hausdorff bất biến theo các biến đổi Lipschitz kép.
1.6.3. Thứ nguyên Kolmogorov:
C    -      nguyên
Kolmogorov (

R
k
và cho
)(FN


 

   
0s

s
FN



)(lim
0


F
B

dim

1
cFNs  )(loglog



1



log
)(log
limdim
0



FN
F
B







log
)(log

limdim
0



FN
F
B
và


log
)(log
limdim
0
0



FN
F
B



N






)(FN



thì do (9) ta có:
s
FNFH




)()( 


(12)
(13)


FF
B
B
H
lim lim Fdim 

k
RF 


13)

thì.

s
FN


)(

Fs
B
dim

và
0)( 
s
FN



Fs
B
dim

11
 









i
i
ss
UFN :inf)(















 









i
s
i
i
s
UU :inf


T           
               

mogorov nói chung






-(




là

-