Giám sát hệ xe cầu có vết nứt dạng đóng mở

3


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 6
CHƢƠNG I: Động lực học của hệ xe cầu có vết nứt dạng đóng mở 9
1.1 Động lực học của hệ xe cầu không có vết nứt 9
1.2 Động lực học của hệ xe cầu có vết nứt mở 11
1.3 Động lực học của hệ xe cầu có vết nứt đóng mở 14
1.4 Cách xác định ma trận độ cứng tổng thể của dầm bằng phƣơng pháp
phần tử hữu hạn 16
1.5 Kết luận 18
CHƢƠNG II: Phép biến đổi Wavelet 19
2.1 Phép biến đổi Wavelet 19
2.1.1 Biến đổi wavelet liên tục CWT (Continuous Wavelet Transform) và
biến đổi ngƣợc của nó 20
2.1.2 Biến đổi wavelet rời rạc DWT (Discrete Wavelet Transform) 22
2.1.3 Các hàm wavelet 24
2.2 Ví dụ về các ứng dụng wavelet phát hiện sự thay đổi đột ngột trong
tín hiệu 26
2.3 Kết luận 28
CHƢƠNG III: Kết quả mô phỏng dao động của hệ xe cầu khi có vết nứt 29
3.1 Ảnh hƣởng của vết nứt đóng mở tới các tần số 29
3.2 Ảnh hƣởng của vết nứt đóng mở đến sự dịch chuyển 31
3.3 Ảnh hƣởng của vết nứt đóng mở trong việc phát hiện vết nứt 34
3.4 Kết luận 37
KẾT LUẬN 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO 39
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ 42
PHỤ LỤC I 68

4



DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình1.1. Mô hình cầu dạng dầm dƣới tác động của tải trọng di động 9
Hình 1.2. Mô hình dầm có vết nứt 11
Hình 1.3. Mô hình vết nứt đóng mở 14
Hình 1.4. Mô hình bốn phần tử có vết nứt tại giữa dầm 16
Hình 2.1. Các thành phần wavelet tƣơng ứng với các hệ số co giãn và vị trí
khác nhau 21
Hình 2.2. Minh họa dịch chuyển vị trí wavelet 21
Hình 2.3. Cây phân tích wavelet 3 mức 23
Hình 2.4. Hàm

(t) của họ biến đổi wavelet Haar 24
Hình 2.5. Hàm

(t) của họ biến đổi wavelet Daubechies 24
Hình 2.6. Hàm

(t) của họ biến đổi wavelet Biorthogonal 25
Hình 2.7. Hàm

(t) của họ biến đổi wavelet Coiflets 25
Hình 2.8. Hàm


(t) của họ biến đổi wavelet Symlets 25
Hình 2.9. Hàm

(t) của họ biến đổi wavelet Morlet 26
Hình 2.10. Hàm

(t) của họ biến đổi wavelet Mexican Hat 26
Hình 2.11. Hàm

(t) của họ biến đổi wavelet Meyer 26
Hình 2.12. Ví dụ phát hiện sự thay đổi đột ngột của tín hiệu 27

Hình 2.12. Ví dụ phân tích tần số của hƣ hỏng 28
Hình 3.1. Mô hình dầm với hai vết nứt 29
Bảng 3.1. Sự khác nhau về tần số 30
Hình 3.2 Sự thay đổi của tần số phụ thuộc vào độ sâu vết nứt 31
Hình 3.3. Sự dịch chuyển của xe khi độ sâu vết nứt là 10% 31
Hình 3.4. Sự dịch chuyển của xe khi độ sâu vết nứt là 20% 32
Hình 3.5. Sự dịch chuyển của xe khi độ sâu vết nứt là 30% 32
Hình 3.6. Sự dịch chuyển của xe khi độ sâu vết nứt là 40% 33
Hình 3.7. Sự dịch chuyển của xe khi độ sâu vết nứt là 50% 33
Hình 3.8. Biến đổi Wavelet, độ sâu vết nứt 10% 35
Hình 3.9. Biến đổi Wavelet, độ sâu vết nứt 20% 35
5

Hình 3.10. Biến đổi Wavelet, độ sâu vết nứt 30% 35
Hình 3.11. Biến đổi Wavelet, độ sâu vết nứt 40% 36
Hình 3.12. Biến đổi Wavelet, độ sâu vết nứt 50% 36

6


MỞ ĐẦU
Sự tác động của môi trƣờng nhƣ tải trọng di động, tải trọng sóng, gió, sự
ăn mòn, hoặc sự tập trung ứng suất… có thể gây ra hƣ hỏng trong kết cấu cầu và
điển hình là hƣ hỏng dạng vết nứt. Sự phát triển của vết nứt theo thời gian sẽ dẫn
tới sự phá hủy kết cấu. Do đó, việc giám sát nhằm phát hiện sớm những vết nứt
trong kết cấu là một vấn đề rất quan trọng.

Trong thực tế, một vết nứt không chỉ có trạng thái đóng hoặc mở mà có
thể đóng và mở liên tục tùy thuộc vào tải trọng tác dụng vào vết nứt (tải trọng,
trọng lƣợng của vết nứt, v.v), và rung động. Đây đƣợc gọi là vết nứt đóng mở và
đã đƣợc công bố bởi Chondros [1]. Các phản ứng động của hệ để phát hiện vết
nứt đóng mở đƣợc phân tích bởi Ruotolo và Surace [2], Rizzo và Scalea [3].
Trong nghiên cứu của họ, tần số riêng của một dầm với một vết nứt đóng mở là
không liên tục trong quá trình rung động, mà nó thay đổi theo thời gian, và tần
số riêng của nó nhỏ hơn nhiều so với tần số riêng của dầm với một vết nứt mở
hoàn toàn. Douka và Hadjileontiadis [4] đề xuất một phƣơng pháp gọi là phƣơng
pháp phân tích thực nghiệm để phân tích tần số tức thời. Họ đã chỉ ra rằng tần số
tức thời thay đổi từ trạng thái mở cho đến trạng thái đóng cho thấy sự đóng mở
của vết nứt. Sự có mặt của hiện tƣợng phi tuyến của một hệ có vết nứt đóng mở
đã đƣợc nghiên cứu bởi Sundermeyer và Weaver [5]. Trong các nghiên cứu này,
có một phản ứng với một tần số nằm giữa hai tần số kích động. Phản ứng mới
này là do tính phi tuyến trong đáp ứng của dầm. Bovsunovsky và Matveev [6]
đã trình bày một khái niệm về các dạng riêng song hành xảy ra tại thời điểm vết
nứt đóng và mở để giải thích cho tính phi tuyến gây ra bởi vết nứt đóng mở.
Qian [7] và Ariaei [8] cho rằng sự khác biệt giữa các phản ứng động của hệ khi
không có vết nứt và có vết nứt đóng mở là nhỏ hơn so với giữa hệ không có vết
nứt và có vết nứt mở hoàn toàn.
Các phân tích của các hệ đàn hồi là một chủ đề đƣợc quan tâm trong
nhiều lĩnh vực đa dạng nhƣ: xây dựng dân dụng và hàng không vũ trụ trong hơn
một thế kỷ qua. Vấn đề phát sinh trong thiết kế của cầu đƣờng sắt, cầu đƣờng
bộ, đƣờng hầm và cầu cống Đặc biệt là trong kỹ thuật cầu đƣờng, nhiều ứng
dụng đã đƣợc phát triển từ các nghiên cứu của chủ đề này. Parhi và Behera [9]
đã trình bày một phƣơng pháp phân tích cùng với kiểm tra thực nghiệm để
nghiên cứu rung động của dầm có một vết nứt chịu tác động của một khối lƣợng
di động. Tƣơng tác của hệ xe - cầu đƣợc tính toán bởi Piombo [10] bằng cách
7

coi cầu nhƣ là một bản ba nhịp chịu tác dụng của một hệ nhiều vật bảy bậc tự do
với hệ giảm xóc tuyến tính và lốp xe không tuyệt đối cứng. Trong các nghiên
cứu khác, Mahmoud và Zaid [11] trình bày một phƣơng pháp nghiên cứu sự ảnh
hƣởng của vết nứt nằm ngang lên phản ứng động của một dầm côngxon Euler-
Bernoulli không cản có điều kiện biên là khớp hai đầu khi chịu tác dụng của một
khối lƣợng di động. Trong khi Lee [12] đề xuất một quy trình để xác định các
đặc trƣng động lực học và xác định các vị trí và mức độ hƣ hỏng của chúng
trong kết cấu. Bilello và Bergman [13] nghiên cứu dầm có vết nứt đƣợc mô
phỏng nhƣ các lò xo quay chịu một tải trọng di động. Gần đây, Zhu và Law [14]
phân tích độ võng động theo thời gian của cầu chịu tải trọng di động và sử dụng
biến đổi wavelet cho việc phát hiện vết nứt.
Tuy nhiên, hầu hết các phƣơng pháp tiếp cận hiện tại để phát hiện hƣ
hỏng của hệ xe -cầu đều sử dụng đáp ứng động của cầu. Các tác giả của bài báo
này gần đây đã sử dụng các phản ứng động đƣợc đo trực tiếp trên xe di chuyển
trên cầu với các vết nứt mở hoàn toàn[15]. Tuy nhiên ảnh hƣởng của các vết nứt
dạng đóng mở vẫn chƣa đƣợc nghiên cứu nhiều trong việc giám sát kết cấu cầu
chịu tải trọng di động. Do vậy, luận văn này đầu tiên sẽ nghiên cứu ảnh hƣởng
của vết nứt đóng mở lên phản ứng của hệ xe cầu đƣợc đo trực tiếp trên xe và sau
đó xem xét ảnh hƣởng của nó trong việc phát hiện hƣ hỏng bằng cách sử dụng
biến đổi wavelet, một công cụ rất hiệu quả cho xử lý tín hiệu [16, 17, 18, 19, 20,
21, 22].
Bố cục của luận văn bao gồm ba chƣơng.
Chƣơng thứ nhất xây dựng mô hình phần tử hữu hạn của hệ xe-cầu, trong
đó xe đƣợc mô hình hóa nhƣ hệ một bậc tự do, cầu đƣợc mô hình hóa nhƣ một
dầm Euler- Bernoulli. Từ đó, hệ phƣơng trình tƣơng tác hệ xe cầu đƣợc thiết lập.
Xây dựng mô hình dầm đƣợc chia thành Q phần tử, có vết nứt đóng mở nằm ở
phần tử thứ i. Xác định các ma trận tổng thể khối lƣợng M, ma trận cản C và ma
trận độ cứng K và giải hệ phƣơng trình này bằng phƣơng pháp Newmark ta sẽ
thu đƣợc phản ứng động của xe và dầm. Cách xác định ma trận độ cứng tổng thể
của dầm chia thành bốn phần tử, bằng phƣơng pháp phần tử hữu hạn, vết nứt

nằm ở giữa dầm.
Chƣơng thứ hai giới thiêu cơ sở toán học của phép biến đổi wavelet. Một
ví dụ minh họa cho việc sử dụng phân tích wavelet để phát hiện cũng nhƣ đánh
giá sự thay đổi đột ngột trong tín hiệu.
Chƣơng thứ ba phân tích ảnh hƣởng của vết nứt đóng mở tới sự thay đổi
của tần số riêng và phản ứng của xe khi di chuyển trên cầu có vết nứt đóng mở.
8

Phân tích ảnh hƣởng của vết nứt đóng mở lên phƣơng pháp phát hiện vết nứt
bằng wavelet.
Từ đó xác định đƣợc vị trí của vết nứt ở trên cầu

9

CHƢƠNG I
ĐỘNG LỰC HỌC CỦA HỆ XE CẦU CÓ
VẾT NỨT DẠNG ĐÓNG MỞ

1.1. Động lực học của hệ xe cầu không có vết nứt
Trong các bài toán tải trọng di động trên cầu, mô hình của hệ xe-cầu đã
đƣợc Yua và Chan[23] nghiên cứu. Một hệ xe-cầu là phức tạp và sự tƣơng tác
giữa xe và cầu cũng rất phức tạp, nó chịu ảnh hƣởng của rất nhiều tham số khác
nhau. Trong một số trƣờng hợp khi đơn giản hóa mô hình thì nó lại có hiệu quả
hơn mô hình phức tạp khi thiết lập mối liên hệ giữa các tham số chính của hệ xe-
cầu và đáp ứng của cầu. Với mục đích đó, chúng ta đơn giản hóa mô hình hệ xe-
cầu nhƣ hình 1.1.


Hình1.1. Mô hình cầu dạng dầm dƣới tác động của tải trọng di động
Chiếc xe đƣợc mô phỏng nhƣ hệ hai bậc tự do với thân xe và lốp xe là
những vật tuyệt đối rắn, cầu đƣợc xem nhƣ là một dầm Euler-Bernoulli. Sự gồ
ghề trên bề mặt cầu đƣợc bỏ qua và lốp xe đƣợc giả thiết là luôn luôn tiếp xúc
với cầu. Theo các giả định này, áp dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn ,các
phƣơng trình chuyển động của hệ xe- cầu đƣợc viết nhƣ sau [24] :

10


1 1 1 1 2 2 1 2
( ) ( ) 0m y c y y k y y    
  
(1.1)

002 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 0m y c y y k y y k y u c y u        
   

(1.2)

o
f
T
Md+Cd+Kd=f = N
 
(1.3)

 
1 2 2 2
11
o
f m m g m y m y   
 
(1.4)
Trong đó:
12

, , ,m m k c
là các thông số của xe.
1
y
là chuyển vị thẳng đứng của
thân xe m
1
, y
2
là chuyển vị thẳng đứng của m
2
và bằng chuyển vị theo phƣơng
thẳng đứng
0
u
của cầu tại vị trí tiếp xúc.
,,M C K
lần lƣợt là ma trận khối lƣợng,
ma trận cản và ma trận độ cứng của kết cấu cầu.
T
N
là ma trận chuyển của hàm
dạng tại vị trí x.
o
f
là độ lớn của lực của xe tác dụng lên dầm.
d
là vector chuyển
vị nút của từng phần tử của dầm. Chuyển vị
u

của dầm tại vị trí x đƣợc tính từ
hàm dạng
N

và chuyển vị nút
d
:

u  N.d
(1.5)
Các thành phần của hàm dạng của một phần tử có dạng :

1 2 3 4
N N N N  

N

(1.6)

Với:


(1.7)




Trong đó: l là chiều dài của một phần tử.

Các đạo hàm theo thời gian của u
0
là:

( , )
o
uu
u x t x
xt




(1.8)

2 2 2
2
22
( , ) 2
o
u u u u
u x t x x x
x t x
xt
   
   
  

   
(1.9)

Vì
N
là hàm chỉ phụ thuộc không gian trong khi d là hàm độc lập với thời gian,
từ (1.5) chúng ta có:
2 2 2
22
; ; ;
u u u u
xx x x
x x t
xt
   
   
  

N d N d N d Nd
 
(1.10)
12
34
2 3 2
2 3 2
;
;
1 3 2 1
32
x x x
N N x
l l l

x x x x
N N x
l l l l
     
     
     

     

     
     


    
   
11

Tại các chỉ số dƣới x ngụ ý đạo hàm theo x. Thay phƣơng trình (1.7), (1.8) và
(1.9) vào phƣơng trình (1.1), (1.2) và (1.3) chúng ta đƣợc:

 
1 1 1
2 2 3 2 3
12
m m g


   
     



  
   
     



     
   

T
T
3
M M C C K K N
d
dd
M M C C K K
y
yy
o
 
 
(1.11)
Trong đó
o

là ma trận với các phần tử bằng không, và :
1
2
y

y




y

T T
1 1 2
mm



M N N








O
O
M
2









2
1
3
0
0
m
m
M
(1.12)
TT



1
C O O

2
O
Nc





2
C

11
1 1 2
cc
c c c






3
C
(1.13)
TT
1



K O O









xck


22 x
2
NN
O
K










211
11
3
kkk
kk
K
(1.14)

1.2. Động lực học của hệ xe cầu có vết nứt mở hoàn toàn
Hình 1.2 biểu diễn một kết cấu dầm đồng nhất đƣợc chia thành
Q
phần tử
với
R

vết nứt tại
R

phần tử khác nhau.

Hình 1.2. Mô hình dầm có vết nứt
Giả định rằng vết nứt chỉ ảnh hƣởng đến độ cứng mà không ảnh hƣởng
đến hệ số cản và khối lƣợng của dầm. Theo nguyên lý Saint-Venant, trƣờng ứng
suất chỉ bị thay đổi ở lân cận vết nứt nên có thể coi ma trận độ cứng của phần tử
không có vết nứt là không đổi. Ma trận độ cứng của phần tử có vết nứt sẽ đƣợc
tính nhƣ sau:
Bỏ qua biến dạng trƣợt, năng lƣợng biến dạng của phần tử nguyên vẹn là [7] :










32
1
32
22)(
lP
MPllM
EI
W

o
(1.15)
12

Trong đó :
P
là lực cắt và
M
là momen uốn nội ở nút bên phải của phần tử có
vết nứt nhƣ hình vẽ. Năng lƣợng bổ sung do vết nứt đƣợc tính từ cơ học phá
hủy. Các hệ số độ mềm đƣợc tính qua hệ số cƣờng độ ứng suất trong giới hạn
đàn hồi tuyến tính, và sử dụng định lý Castigliano. Xét một dầm hình chữ nhật
thì năng lƣợng bổ sung do vết nứt là:

 
 
22
2
(1)
0
1
a
I II
III
KK
K
W b da
EE












(1.16)
Với:
EE


là ứng suất phẳng,
2
1
E
E




là biến dạng phẳng và
a
là độ sâu vết
nứt, và K
I
, K
II

, K
III
là các hệ số cƣờng độ ứng suất tƣơng ứng với kiểu mở, kiểu
trƣợt, kiểu rách.
Nếu chỉ tính đến lực uốn thì phƣơng trình (1.16) có thể viết thành:

 
2
2
(1)
0
IM IP IIP
a
K K K
W b da
E




(1.17)
Trong đó :

( ) ( ) ( )
22
63
;;
s s s
I I II
IM IP IIP

M aF Pl aF P aF
K K K
bh
bh bh
  
  
(1.18)

4
()
0.923 0.199 1 sin
2
2
2
cos
2
s
I
s
s
F tg
s
s



















(1.19)

 
10 3
2
()
1.122 0.561 0.085 0.18
32
1
s
II
s s s
F s s
s
  


(1.20)
Với :

/s a h

và a là độ sâu vết nứt, h là độ cao của dầm, b là độ rộng của dầm.
Các thành phần của ma trận độ mềm của phần tử không có vết nứt đƣợc tính nhƣ
sau:

()
2
()
12
; , 1, 2 ; ;
o
o
ij
ij
W
c i j P P P M
PP

   


(1.21)
Các hệ số
()o
ij
c

của ma trận độ mềm của phần tử nguyên vẹn đƣợc tính từ (1.15)
và (1.21):

;;;
2
32
( ) ( ) ( ) ( )
11 12 21 11
32
2
o o o o
ll
ll
c c c c
El El
El El
   
   
(1.22)
13

Hệ số độ mềm bổ xung là:

(1)
2
(1)
12
; , 1, 2 ; ;
ij
ij
W
c i j P P P M

PP

   


(1.23)
Các hệ số
(1)
ij
c

của ma trận độ mềm bổ xung đƣợc tính từ (1.16) và (1.23):

2
2 2 22
( ) ( ) ( )
(1) (1)
11 12
2 4 2 2 4
00
18 2 36
;
I II I
aa
s s sal a alF F F
bb
c da c da
EE
b h b h b h
  












22
( ) ( )
(1) (1)
21 22
2 4 2 4
00
36 72
;
II
aa
ssal aFF
bb
c da c da
EE
b h b h







(1.24)
Do đó, hệ số độ mềm tổng thể là:

( ) (1)o
ij ij ij
c c c
  
(1.25)
Từ điều kiện cân bằng, phƣơng trình sau có thể đƣợc rút ra:

   
1 1 1 1
T
TT
ii
i i i i
P M P M P M
   

(1.26)
Trong đó:

1 1 0
0 1 0 1
T
l







T
(1.27)
Theo nguyên lý công ảo, ma trận độ cứng của phần tử có vết nứt đƣợc thể hiện
nhƣ sau:

T1
c

K T C T

(1.28)
Ma trận độ cứng và ma trận khối lƣợng của phần tử nguyên vẹn đƣợc tính là:

22
3
22
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
e
ll
l l l l
EI
ll
l

l l l l










  

K
(1.29)


22
e
22
156 22 54 13
22 4 13 3
420
54 13 156 22
13 3 22 4
ll
l l l l
ml
ll
l l l l












  
M
(1.30)
Trong đó: I là mômen quán tính mặt cắt ngang của dầm (
4
m
), E là mô đun đàn
hồi (
2
/Nm
), m,l lần lƣợt là khối lƣợng và độ dài của một phần tử.
14

Các ma trận khối lƣợng của phần tử đƣợc ghép thành ma trận khối lƣợng
tổng thể, còn các ma trận
e
K
và
c

K
đƣợc ghép thành ma trận độ cứng tổng thể
của dầm có vết nứt. Ma trận cản Rayleigh có dạng là

C M K
và sẽ sử dụng
cho dầm. Trong đó:

và

đƣợc tính nhƣ sau [24]:

   
1 2 1 2 2 1 2 2 1 1
2 2 2 2
2 1 2 1
22
;
         

   




(1.31)

Ở đây:
1


và
2

là tần số riêng thứ nhất và tần số riêng thứ hai của dầm,
,
12


là hệ số cản modal tƣơng ứng với hai tần số trên của dầm.

1.3. Động lực học của hệ xe cầu có vết nứt đóng mở



Hình 1.3. Mô hình vết nứt đóng mở
Trƣớc tiên chúng ta hãy giải thích ý nghĩa của hiện tƣợng đóng mở của
vết nứt. Trên hình vẽ chúng ta thấy rằng, khi lực tác dụng vào vết nứt có chiều
hƣớng lên trên thì vết nứt sẽ dần dần đóng lại, còn khi lực tác dụng vào vết nứt
có chiều hƣớng xuống dƣới thì vết nứt mở ra. Trong suốt quá trình rung động,
vết nứt đóng và mở liên tục nhƣ vậy thì gọi là vết nứt đóng mở.
Khi kết cấu dầm có vết nứt đóng mở sẽ dẫn đến sự thay đổi độ cứng tại
mặt cắt ngang của dầm tại vị trí có vết nứt theo thời gian.
Tải trọng có ảnh hƣởng lớn đến độ sâu và sự phân bố của vết nứt. Khi
dầm chịu tác dụng của tải trọng, dẫn đến sự thay đổi độ sâu của vết nứt, làm cho
độ cứng tại vị trí vết nứt sẽ thay đổi theo thời gian. Độ sâu vết nứt đƣợc giả định
rằng là phụ thuộc vào độ cong tại vị trí vết nứt:
15


(x,= t)du



(1.32)



Trong đó:
(x,t)u

là chuyển vị của dầm tại vị trí có vết nứt.

Dùng phƣơng pháp độ cong xấp xỉ để xác định chuyển vị của dầm tại vị
trí vết nứt:

2
i
i+1 i-1
(x,
d - 2d +d
t)
l
u=


(1.33)


Trong đó:
l
là chiều dài của phần tử đang xét.

Trong quá trình rung động, độ cong của dầm thay đổi từ cực đại tới cực
tiểu dẫn đến sự thay đổi độ sâu của vết nứt, tƣơng ứng là độ sâu vết nứt thay đổi
từ
0 a
.
Độ cong tại vị trí vết nứt đạt cực đại tại u
’’
(x,t)
max

thì tƣơng ứng độ sâu
vết nứt đóng mở là a
*
= a, độ cứng của phần tử có vết nứt đóng mở bằng với độ
cứng của phần tử có vết nứt mở hoàn toàn: K
b
=K
c
. Độ cong tại vị trí vết nứt đạt
cực tiểu tại -

u
’’
(x,t)
max
thì tƣơng ứng độ sâu vết nứt đóng mở là a
*
=0, độ cứng
của phần tử có vết nứt đóng mở bằng với độ cứng của phần tử không có vết nứt:
K

b
=K
e
.

Độ cứng của dầm thay đổi tƣơng ứng với độ cong của dầm tại vị trí có vết
nứt và đƣợc xác định theo công thức [8]:

1
( )(1 )
2
e c e
b
max
u (x,t)
u (x,t)
   


K K K K

(1.34)

Trong đó:
,
,ec
b
K K K

lần lƣợt là độ cứng của phần tử có vết nứt đóng mở,

không có vết nứt và vết nứt mở hoàn toàn.
u (x,t)

là độ cong tức thời của phần
tử tại vị trí có vết nứt.
max
u (x,t)

là độ cong cực đại của phần tử có vết nứt .

''
max e
b
u =-u(x,t) (x,t)

KK


''
max c
b
u =u(x,t) (x,t)

KK

Thay ma trận khối lƣợng M
b
, ma trận cản C và ma trận độ cứng K
b
vào

phƣơng trình (1.14) chúng ta tìm đƣợc phƣơng trình dao động của hệ xe-cầu khi
có vết nứt đóng mở:
16

 
1
1
12
23
23
2
1
b
m m g
e


   





   








   





   



  
3
T
MM
KK
CC
dN
dd
KK
CC
y
T
MM
yy
o
 
 

(1.35)

Trong đó
o

là ma trận không.
1.4 Cách xác định ma trận độ cứng tổng thể của dầm bằng phương pháp
phần tử hữu hạn.
Sau đây sẽ trình bày một ví dụ minh họa cho việc xác định ma trận độ
cứng tổng thể của dầm bằng phƣơng pháp phần tử hữu hạn. Cho một dầm có vết
nứt tại giữa dầm. Dầm đƣợc chia thành bốn phần tử, mỗi phần tử có độ dài là l.
E

là mô đun đàn hồi của dầm.
I
là mô men quán tính mặt cắt ngang của dầm
nhƣ hình 1.4.


Hình 1.4. Mô hình bốn phần tử có vết nứt tại giữa dầm
Ma trận độ cứng của các phần tử nguyên vẹn 1, 3 và 4 theo công thức
(1.29) nhƣ sau:

22
1 3 4
3
22
12 6 12 6
6 4 6 2
12 6 12 6
6 2 6 4
ll

l l l l
EI
ll
l
l l l l











  

K K K

(1.36)
Giả sử ma trận độ cứng của phần tử 2 có chứa vết nứt nhƣ sau:

11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
2
3
k k k k

k k k k
EI
k k k k
l
k k k k







K

(1.37)
Ghép nối các ma trận K
1
, K
2
, K
3
, K
4
ta đƣợc ma trận độ cứng tổng thể
của dầm nhƣ sau:

17

2
22

13
14
11 12
22
23
24
21 22
33 34
31 32
2
3
43 44
41 42
2
0
0
0
0
12 6 12 6
0 0 0 0
6 4 6 2
0 0 0 0
12 6 12 6
0 0 0 0
0 0 0 0
6 2 6 4
12 6 12 6
00
00
0

6 4 6 2
00
12 6 24 0
00
00
2
00
00
6 2 0 8
00
00
0 0 12 6
00
00
2
0 0 6 2
ll
l l l l
k
k
l k l k
k
k
l l l k l k
k k l l
EI
kk
k l k l l l
l
kk

l
l l l
l
ll


    
  
  

  


K
0
12 6
2
62
12 6
2
64
l
ll
l
ll



























(1.38)
Áp dụng điều kiện biên của dầm trong hình 1.4 cho ma trận độ cứng tổng thể thì
sẽ bỏ hàng 1, cột 1 tƣơng ứng với bậc tự do của nút 1 và bỏ hàng 9, cột 9 tƣơng
ứng với bậc tự do thẳng đứng của nút 9. Khi đó ma trận độ cứng tổng thể sẽ là:

11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44

2
2
22
22
22
22
2
3
4 6 2 0 0 0 0 0
6 12 6 0 0 0
2 6 4 0 0 0
0 12 6 12 6 0
0 6 4 6 2 0
0 0 0 12 6 24 0 6
0 0 0 6 2 0 8 2
0 0 0 0 0 6 2 4
l l l
l k l k k k
l l k l k k k
k k k k l l
k k k l k l l l
ll
l l l l
l l l
EI
l






   


  













K
(1.39)

Ma trận khối lƣợng M và ma trận cản C cũng sẽ đƣợc loại bỏ hàng 1, cột 1 và
hàng 9, cột 9 tƣơng ứng nhƣ ma trận độ cứng K.
Sau khi đã có các ma trận tổng thể M, C và K của dầm có vết nứt, thay
các ma trận này vào phƣơng trình (1.14) và giải hệ phƣơng trình bằng phƣơng
pháp Newmark chúng ta sẽ thu đƣợc phản ứng động của xe và dầm.

18

1.5 Kết luận
Chƣơng này đã xây dựng đƣợc mô hình phần tử hữu hạn của hệ xe cầu,
trong đó xe đƣợc mô hình hóa nhƣ hệ một bậc tự do, cầu đƣợc mô hình hóa nhƣ
một dầm Euler- Bernoulli. Đồng thời, hệ phƣơng trình tƣơng tác của hệ xe cầu
đƣợc thiết lập. Đã xây dựng mô hình dầm đƣợc chia thành Q phần tử, có vết nứt
đóng mở nằm ở phần tử thứ i. Đã xác định các khối lƣợng M, ma trận cản C và
ma trận độ cứng K. Trong chƣơng này đã trình bày một ví dụ nhằm minh họa
cách xác định ma trận độ cứng tổng thể của dầm bằng phƣơng pháp phần tử hữu
hạn.
Khi kết cấu có vết nứt đóng mở thì phản ứng của hệ xe-cầu sẽ có những
thay đổi so với khi không có vết nứt hay khi có vết nứt mở hoàn toàn. Những
thay đổi này có thể là rất nhỏ và rất khó phát hiện khi quan sát trực tiếp. Do vậy,
việc áp dụng các phƣơng pháp xử lý tín hiệu nhằm khuếch đại sự thay đổi này
để phát hiện vết nứt là rất cần thiết. Chƣơng tiếp theo sẽ trình bày một trong các
phƣơng pháp xử lý tín hiệu nhằm phát hiện vết nứt trên kết cấu, đó là phƣơng
pháp biến đổi wavelet.

19

CHƢƠNG II
PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET

Khi kết cấu có vết nứt thì phản ứng của hệ xe-cầu sẽ có những thay đổi so
với khi không có vết nứt, đặc biệt là khi xe chạy qua các vết nứt thì phản ứng
của hệ có sự thay đổi đột ngột. Sự thay đổi này chính là dấu hiệu để nhận biết sự
có mặt của vết nứt và là cơ sở để xác định vị trí vết nứt trên cầu. Khi vết nứt là
dạng đóng mở thì có thể nó sẽ gây nên sự thay đổi khác với vết nứt mở hoàn
toàn. Tuy nhiên sự thay đổi trong tín hiệu gây bởi vết nứt thƣờng là rất nhỏ nên
cần đƣợc khuếch đại và phát hiện nhờ các phƣơng pháp xử lý dữ liệu. Một trong
các công cụ hiệu quả để phân tích tín hiệu khi có sự thay đổi đột ngột trong tín
hiệu là phép biến đổi wavelet do khả năng phân tích tín hiệu một cách địa
phƣơng của nó. Vì vậy, trong luận văn này biến đổi wavelet đƣợc sử dụng để
nghiên cứu sự và so sánh sự thay đổi đột ngột trong tín hiệu gây ra bởi vết nứt
mở hoàn toàn và vết nứt dạng đóng mở. Chƣơng này sẽ giới thiệu cơ sở toán học
của phép biến đổi wavelet, một số ví dụ minh họa về việc ứng dụng phân tích
wavelet để phát hiện cũng nhƣ đánh giá sự thay đổi đột ngột trong tín hiệu.
2.1. Phép biến đổi wavelet
Biến đổi wavelet sử dụng các hàm sóng nhỏ gọi là hàm wavelet, hay nói
cách khác thì wavelet là một hàm chứa các sóng nhỏ địa phƣơng. Wavelet dùng
để chuyển đổi tín hiệu sang dạng biểu diễn khác mà các thông tin của tín hiệu
đƣợc thể hiện rõ ràng hơn. Cách chuyển đổi này đƣợc gọi là biến đổi wavelet.
Về mặt toán học, biến đổi wavelet là phép nhân cuộn của tín hiệu với hàm

wavelet. Biến đổi wavelet chuyển đổi tín hiệu từ miền thời gian sang miền thời
gian-tần số hay từ miền không gian sang miền không gian-tần số. Trong khi đó,
các thông tin trong miền thời gian hoặc không gian vẫn đƣợc giữ lại. Điều này
rất hiệu quả trong việc phân tích những thay đổi trong khoảng thời gian ngắn
hoặc các thay đổi đột ngột trong tín hiệu.
Hàm wavelet có thể đƣợc thực hiện theo hai cách:
1) Dịch chuyển theo trục thời gian: Wavelet có thể dịch chuyển đến các
điểm khác nhau của tín hiệu.
2) Wavelet có thể kéo hoặc nén lại. Wavelet có khả năng phân tích các tín
hiệu địa phƣơng. Nếu hàm wavelet tƣơng quan với tín hiệu tại một vị trí
và độ co giãn nhất định thì hệ số wavelet sẽ lớn. Nếu hàm wavelet không
20

tƣơng quan với tín hiệu thì hệ số wavelet sẽ nhỏ. Nhờ vậy mà biến đổi
wavelet rất hiệu quả trong việc phân tích nhiều loại tín hiệu khác nhau.
Biến đổi wavelet có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Các ứng
dụng chủ yếu của biến đổi wavelet là:
1) Phát hiện điểm gẫy, điểm thay đổi đột ngột trong tín hiệu.
2) Phát hiện sự tƣơng tự trong tín hiệu
3) Xác định các tần số của tín hiệu thành phần
4) Nén các tín hiệu
5) Khử các tín hiệu nhiễu
6) Khử các hình ảnh nhiễu
7) Nén các hình ảnh
8) Nhân nhanh các ma trận lớn
Trong đó, khả năng phát hiện sự thay đổi đột ngột trong tín hiệu là ứng dụng
chính đƣợc sử dụng trong luận văn này để phục vụ cho việc phát hiện vết nứt
trong kết cấu.
2.1.1 Biến đổi wavelet liên tục CWT (Continuous Wavelet Transform) và biến
đổi ngược của nó

Biến đổi wavelet liên tục đƣợc định nghĩa nhƣ sau [25]:

,
W( , ) ( )
ab
a b f t dt





(2.1)
Trong đó :
,ab
lần lƣợt là hệ số co giãn và vị trí

,()W ab
là hệ số wavelet với hệ số co giãn a và vị trí b

()ft
là tín hiệu đầu vào

,
*
1
()
ab
tb
t
a

a








tb
a





là hàm wavelet

*
tb
a





là liên hợp phức của
tb
a







Hàm wavelet

là một hàm số chứa hai đại lƣợng rất quan trọng đó là hệ
số co giãn a và dịch chuyển vị trí b và gọi là hàm wavelet mẹ. Hệ số co giãn a
càng lớn thì wavelet càng đƣợc giãn nhiều. Hệ số co giãn a càng nhỏ thì wavelet
càng đƣợc nén mạnh hơn.
21


Hình 2.1. Các thành phần wavelet tƣơng ứng với
các hệ số co giãn và vị trí khác nhau
Dịch chuyển một wavelet nghĩa là sự thay đổi vị trí một wavelet so với vị
trí của wavelet mẹ. Việc thay đổi vị trí một hàm f(t) bởi sự thay đổi b đƣợc biểu
diễn bằng f(t-b).

a) Hàm wavelet f(t) b) Hàm dịch wavelet f(t-b)
Hình 2.2. Minh họa dịch chuyển vị trí wavelet
Kết quả của biến đổi wavelet đƣợc gọi là các hệ số wavelet tƣơng ứng với
các hệ số co giãn a và vị trí b.
Biến đổi wavelet có những tính chất sau:
1) Có năng lƣợng hữu hạn

2
()E t dt




 

(2.2)
2) Nếu
()


là biến đổi Fourier của
()

, nghĩa là

( )= ()
it
t e dt








(2.3)

Khi đó các điều kiện sau đây phải đƣợc thỏa mãn:

0

2
()
g
t
Cd




 

(2.4)
Điều đó nghĩa là wavelet không có thành phần tần số
(0) 0




22


khi( ) 0 0
it
t e dt









(2.5)
Nói cách khác wavelet phải có giá trị trung bình bằng không
( ) 0t dt






(2.6)
3) Đối với các wavelet phức thì biến đổi Fourier phải là thực và bằng không
đối với các tần số âm.
Biến đổi ngược của wavelet liên tục
 
,
1
2
w,()
ab
da
f a b db
a
f t C


 
 





(2.7)
Trong đó:
2
()
2 dC







 


(2.8)
2.1.2 Biến đổi wavelet rời rạc DWT (Discrete Wavelet Transform)
Có thể khôi phục lại tín hiệu ban đầu bằng cách sử dụng tổng vô hạn của
các hệ số wavelet rời rạc thay vì tích phân liên tục nhƣ đòi hỏi của CWT.
Biến đổi wavelet liên tục đƣợc định nghĩa ở mục 2.1.1 nhƣ sau:
,
W( , ) ( )
ab
a b f t dt






(2.9)
Nếu sử dụng tất cả các giá trị của a, b để xây dựng hệ số wavelet sẽ lãng
phí thời gian, do đó ngƣời ta thƣờng sử dụng các số nguyên a=2
j
, b=k2
j
.
Khi đó DWT trở thành:
/2
,,
(2 ) ( ) ( )W 2 ( )
jj
j k j k
t k f t t dtf f t dt











(2.10)
Trong đó:
/2

,
( ) 2 (2 )
j
j
jk
t t k





(2.11)




23

Biến đổi ngƣợc của DWT đƣợc biểu diễn nhƣ sau:
,
()()
jk
jk
j,k
Wf tft

 
 



(2.12)
Xấp xỉ và chi tiết biến đổi của wavelet rời rạc
Trong phân tích wavelet, khi chúng ta đƣa một tín hiệu qua các bộ lọc thì
tín hiệu đƣợc chia thành hai tín hiệu thành phần: xấp xỉ (kí hiệu là A) và chi tiết
(kí hiệu là D). Phần A tƣơng ứng với các thành phần tần số thấp của tín hiệu,
phần D tƣơng ứng với thành phần tần số cao của tín hiệu. Xấp xỉ giữ nguyên
dạng chính của tín hiệu, trong khi các chi tiết mô tả các tín hiệu khác thêm vào
tín hiệu chính nhƣ thay đổi nhỏ, nhiễu, tín hiệu không dừng…
Quá trình phân tích tín hiệu thành xấp xỉ và chi tiết có thể đƣợc lặp lại
bằng cách coi xấp xỉ ở mức trƣớc là tín hiệu và tiếp tục phân tích thành xấp xỉ và
chi tiết ở mức cao hơn. Do đó tín hiệu gốc có thể đƣợc phân tích thành nhiều
thành phần với độ phâ giải thấp dần. Cách phân tích tín hiệu nhƣ thế đƣợc gọi là
cây phân tích nhƣ ở ví dụ sau đây:




Dựng lại tín hiệu ban đầu

Hình 2.3. Cây phân tích wavelet 3 mức
Ở ví dụ trên, S là tín hiệu gốc đƣợc phân tích thành xấp xỉ A
1
ở mức 1 và
chi tiết D
1
ở mức một. Tiếp theo, lại đƣợc phân tích thành xấp xỉ A
2
ở mức hai
và chi tiết D

2
ở mức hai…
24


2.1.3 Các hàm wavelet
Dƣới đây giới thiệu một số họ wavelet thông dụng:
 Wavelet HaarHàm wavelet Haar là hàm đơn giản nhất trong các hàm
wavelet. Do tính chất đơn giản của biến đổi Haar mà nó đƣợc ứng dụng
tƣơng đối nhiều trong xử lý ảnh.

Hình 2.4. Hàm

(t) của họ wavelet Haar
 Wavelet Daubechies
Tên gọi của wavelet Daubechies đƣợc viết là dbN, với N là thứ tự và db là
tên họ wavelet.
Dƣới đây là một số hàm

(t) của họ biến đổi wavelet Daubechies:


Hình 2.5. Hàm

(t) của họ biến đổi wavelet Daubechies
 Wavelet Biorthogonal
Các hàm wavelet Biorthogonal có dạng nhƣ sau:

25

Hình 2.6. Hàm

(t) của họ biến đổi wavelet Biorthogonal
 Wavelet Coiflets
Xây dựng bởi I. Daubechies theo đề nghị của R. Coifman

Hình 2.7. Hàm

(t) của họ biến đổi wavelet Coiflets
 Wavelet Symlets
Symlets là wavelet gần đối xứng, đƣợc đề nghị bởi Daubechies nhƣ là hàm
điều chỉnh của họ db. Đặc tính của hai họ tƣơng tự nhƣ nhau.


Hình 2.8. Hàm

(t) của họ biến đổi wavelet Symlets
 Wavelet Morlet
Hàm wavelet này có dạng tƣờng minh nhƣ sau:
)5cos(
2
2
)(
x
x
Cex




26


Hình 2.9. Hàm

(t) của họ biến đổi wavelet Morlet
 Wavelet Mexican Hat
Wavelet này nhận đƣợc từ một hàm mà tỷ lệ với đạo hàm bậc hai của hàm
mật độ xác suất Gauss.

Hình 2.10. Hàm

(t) của họ biến đổi wavelet Mexican Hat
 Wavelet Meyer
Meyer là một trong những nhà khoa học đã đặt nền móng cho phép biến đổi
wavelet. Phép biến đổi wavelet mang tên Meyer cũng là một phép biến đổi
thông dụng, và là hàm mức xác định theo miền tần số. Biến đổi này có khả năng
phân tích tín hiệu tốt hơn nhiều so với biến đổi Haar.

Hình 2.11. Hàm

(t) của họ biến đổi wavelet Meyer
2.2. Ví dụ về các ứng dụng wavelet phát hiện sự thay đổi đột ngột trong tín
hiệu
Sự thay đổi đột ngột trong tín hiệu rất khó để quan sát bằng mắt thƣờng,
vì vậy ở đây sẽ sử dụng phép biến đổi wavelet để khuếch đại sự thay đổi đột
27

ngột của tín hiệu nhằm phát hiện vết nứt trong kết cấu. Hai ví dụ sau sẽ cho ta

một hình hình ảnh khái quát của ứng dụng wavelet trong việc phát hiện sự thay
đổi đột ngột trong tín hiệu.

Hình 2.12. Ví dụ phát hiện sự thay đổi đột ngột của tín hiệu

Hình 2.12 trình bày ví dụ việc áp dụng biến đổi wavelet để phát hiện thời
điểm xảy ra sự thay đổi đột ngột của tín hiệu mà mắt thƣờng không nhìn thấy
đƣợc. Trên hình, S là tín hiệu đầu vào, có một điểm gián đoạn trong tín hiệu mà
mắt thƣờng không nhìn thấy đƣợc, rõ ràng tín hiệu đầu vào là một đƣờng cong
mịn. d
1
và d
2
là biến đổi wavelet ở mức 1 và mức 2. Ở hai đồ thị của biến đổi
wavelet này, chúng ta có thể thấy gián đoạn xảy ra xung quanh thời điểm 500.
Điều này cho thấy sự thay đổi đột ngột của tín hiệu ở khoảng thời gian bằng
500.
Ví dụ thứ hai minh họa cho thấy biến đổi wavelet có thể phát hiện chính
xác gián đoạn khi có sự thay đổi trong tín hiệu.