Hiệu ứng sinh đa Exciton trong pin mặt trời chấm lượng tử
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.09 MB, 55 trang )
1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
KIỀU THỊ QUYÊN
HIỆU ỨNG SINH ĐA EXCITON TRONG PIN
MẶT TRỜI CHẤM LƯỢNG TỬ
LUẬN VĂN THẠC SĨ
Hà Nội – 2007
2
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
KIỀU THỊ QUYÊN
HIỆU ỨNG SINH ĐA EXCITON TRONG PIN
MẶT TRỜI CHẤM LƯỢNG TỬ
Chuyên ngành: Công nghệ nanô
Mã số:
LUẬN VĂN THẠC SĨ
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS. Nguyễn Văn Hiệu
Hà Nội – 2007
5
MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
MỞ ĐẦU.…………………………………………………………………
Chƣơng 1: PHƢƠNG PHÁP LƢỢNG TỬ HOÁ TRONG LÍ THUYẾT HỆ
NHIỀU HẠT. LÍ THUYẾT NHIỄU LOẠN……
1.1 Phƣơng pháp lƣợng tử hóa trong lí thuyết hệ nhiều hạt…
1.1.1 Lƣợng tử hóa trƣờng điện từ……………………………………
1.1.2 Lƣợng tử hóa trƣờng vô hƣớng…………………………
1.1.3 Lƣợng tử hóa trƣờng spinơ……………………………………….
1.2 Lí thuyết nhiễu loạn ……………………………………… …………
1.2.1 Hamiltơn tƣơng tác và biểu diễn tƣơng tác ………………………
1.2.2 Ma trận tán xạ …………………………………………………
Chƣơng 2: YẾU TỐ MA TRẬN CỦA QUÁ TRÌNH SINH ĐA EXCITON
TRONG CHẤM LƢỢNG TỬ BÁN DẪN KHI HẤP THỤ MỘT PHOTON …
2.1. Phép gần đúng bậc một ………………………… … ……………
2.2. Phép gần đúng bậc hai ………………………… … ……………
2.3. Phép gần đúng bậc ba ………………………………………………
2.4. Phép gần đúng bậc bốn……………………………………………
2.5. Phép gần đúng bậc năm …………………………………………….
Chƣơng 3: XÁC SUẤT CỦA CÁC QUÁ TRÌNH SINH ĐA EXCITON ……
3.1 Quá trình sinh một exciton ………………………………………….
3.2 Quá trình sinh hai exciton ……………………………………
3.3 Quá trình sinh ra ba exciton
KẾT LUẬN ……………………………………….…………………
TÀI LIỆU THAM KHẢO… ………………………… ……………
2
3
3
3
5
7
9
9
11
14
16
17
18
34
35
44
44
46
48
51
53
6
MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây khoa học kĩ thuật và công nghệ trên thế giới
ngày càng có nhiều bƣớc tiến nhảy vọt, nhiều vật liệu mới, nhiều hiện tƣợng mới
đƣợc tìm thấy bằng con đƣờng thực nghiệm và lí thuyết. Hiệu ứng sinh exciton
trong bán dẫn khối đã đƣợc nghiên cứu từ rất lâu song quá trình sinh nhiều
exciton chƣa đƣợc chú trọng mà ngƣời ta mới chỉ nghiên cứu sự sinh biexciton
khi hấp thụ một photon, trong chấm lƣợng tử do các mức năng lƣợng là gián
đoạn nên xác suất sinh đa exciton từ việc hấp thụ một photon tăng lên so với bán
dẫn khối. Hơn nữa, vì ánh sáng mặt trời có dải phổ rộng cho nên khi hấp thụ ánh
sáng mặt trời có thể đồng thời xảy ra quá trình sinh nhiều exciton.
Hiệu ứng sinh đa exciton trong pin mặt trời chấm lƣợng tử đã đƣợc nhóm
các nhà nghiên cứu của Mĩ tìm thấy bằng thực nghiệm vào năm 2005. Vì vậy,
yêu cầu đặt ra là phải xây dựng một mô hình lí thuyết để so sánh.
Vì vậy trong luận văn thạc sĩ này tôi xin trình bày hiệu ứng sinh đa exciton
trong pin mặt trời chấm lƣợng tử bằng lí thuyết thông qua thuyết lƣợng tử hóa
lần hai của hệ nhiều hạt và lí thuyết nhiễu loạn.
Phƣơng pháp nghiên cứu đó là dựa vào thuyết lƣợng tử hóa lần hai của hệ
nhiều hạt để viết hàm sóng của điện tử trong bán dẫn chấm lƣợng tử, hàm sóng
của trƣờng điện từ, sử dụng tính chất của các toán tử sinh và toán tử hủy hạt
trong tính toán. Dựa vào lí thuyết nhiễu loạn để viết Hamilton tƣơng tác giữa
trƣờng điện từ và trƣờng spinơ, tính yếu tố ma trận, tính xác suất xảy ra của quá
trình sinh đa exciton khi hệ điện tử trong chấm lƣợng tử bán dẫn khi bị kích
thích bởi một photon và bị kích thích bởi ánh sáng mặt trời là một dòng photon
có năng lƣợng thay đổi liên tục từ vùng tử ngoại đến vùng hồng ngoại.
7
Chƣơng 1: PHƢƠNG PHÁP LƢỢNG TỬ HOÁ TRONG LÍ THUYẾT HỆ
NHIỀU HẠT.
1.1 Phƣơng pháp lƣợng tử hóa trong lí thuyết hệ nhiều hạt
1.1.1 Lƣợng tử hóa trƣờng điện từ [1]
Hệ phƣơng trình Maxwell cho các cƣờng độ điện trƣờng và từ trƣờng có
dạng:
.
,
,0
,0
divE
j
t
E
rotH
t
H
rotE
divH
(1.1)
Ta biểu diễn vectơ cƣờng độ điện trƣờng và từ trƣờng qua thế vectơ A và
thế vô hƣớng
nhƣ sau:
rotAH
(1.2)
t
A
gradE
(1.3)
Xét trƣờng điện từ trong chân không, tức là đặt
0,0
j
. Vì
,A
không đƣợc xác định đơn giá nên ta chọn chúng sao cho nó thỏa mãn điều
kiện Lorentz và trong chân không
0
khi đó
0divA
. Vectơ cƣờng độ
điện trƣờng và từ trƣờng biểu diễn qua chúng nhƣ sau:
rotAH
t
A
E
(1.4)
Các sóng phẳng đơn sắc dạng tổng quát có dạng
)(])(cos[
iiiii
krtsosanrtaA
(1.5)
nk .
(1.6)
Ở đây ta đƣa thêm vào thành phần phức:
)](exp[ krti
ii
(1.7)
trong đó
8
0),exp(
2
1
iii
aia
(1.8)
Khi chuẩn hóa trong hình hộp chữ nhật V và sử dụng điều kiện biên tuần
hoàn ta có thế vectơ chuẩn hóa nhƣ sau:
.2,1)],(exp[
1
vkrti
V
vkvk
(1.9)
với các điều kiện chuẩn hóa:
'' vvkvvk
(1.10)
''
3
'' kkvv
V
vkkv
dr
(1.11)
Thành phần thực của thế vectơ sẽ là
A
Khai triển cƣờng độ điện trƣờng và từ trƣờng nhƣ sau:
)()( retqE
(1.12)
)()( rhtpH
(1.13)
Năng lƣợng toàn phần của trƣờng điện từ sẽ là:
)(
2
1
)(
2
1
222322
qprdHE
(1.14)
Từ các công thức ở trên ta dễ dàng rút ra đƣợc
p
q
và
q
p
(1.15)
Hai phƣơng trình trên hoàn toàn có thể biến đổi về dạng của hệ phƣơng
trình Maxwell, nghĩa là các phƣơng trình của trƣờng điện từ có thể đƣợc biểu
diễn dƣới dạng các phƣơng trình Hamilton nếu coi
q
và
p
nhƣ là tọa độ và
xung lƣợng suy rộng còn năng lƣợng toàn phần H nhƣ là Hamilton.
Khi lƣợng tử hóa trƣờng điện từ ta thay thế tọa độ và xung lƣợng suy rộng
bằng các toán tử và chúng thỏa mãn các hệ thức giao hoán:
ij
ipqppqq
ˆ
,
ˆ
,0
ˆ
,
ˆ
,0
ˆ
,
ˆ
(1.16)
9
Năng lƣợng toàn phần, xung lƣợng toàn phần, và các đại lƣợng vật lí khác
của trƣờng điện từ cũng trở thành các toán tử. Hệ thức của Hamilton trƣờng điện
từ là:
)
ˆˆ
(
2
1
ˆ
222
qpH
(1.17)
Thế vectơ của trƣờng điện từ xét trong không gian hữu hạn thể tích V có
dạng:
vk
vkvkvkvk
krtickrtic
V
)](exp[
ˆ
)](exp[
ˆ
2
11
ˆ
(1.18)
Trong đó các toán tử
vkvk
cc
ˆ
,
ˆ
là các toán tử hủy photon và sinh photon.
1.1.2 Lƣợng tử hóa trƣờng vô hƣớng [1]
Xét trƣờng vô hƣớng
),( tr
. Hamiltonian là:
3
2
),()].(
2
[),( drtrrV
m
trH
(1.19)
Giả sử có một hệ đủ
)(r
i
các nghiệm trực giao chuẩn hóa của phƣơng
trình Schrodinger
)()()].(
2
[
2
rrrV
m
iii
(1.20)
Trƣờng
),( tr
có thể khai triển theo hệ đủ các hàm sóng
)(r
i
)()(),( rttr
i
i
i
(1.21)
Thay khai triển này vào vế phải của (1.19) ta có:
rdrrV
m
rttH
iij
ji
i
3
2
,
)()(
2
*)()(*)(
=
ji
jijji
rdrrtt
,
3
)(*)()(*)(
Nghĩa là:
i
iii
ttH )(*)(
(1.22)
10
Đặt:
)(
2
1
iii
i
i
ipq
,
)(
2
1
iii
i
i
ipq
(1.23)
Ta thu đƣợc:
i
iii
qpH )(
2
1
222
(1.24)
Vì các hàm sóng
)(r
i
ở vế phải của phƣơng trình (1.21) thỏa mãn phƣơng
trình Schodinger (1.20) cho nên từ phƣơng trình Schodinger của trƣờng
),( tr
:
),()](
2
[
),(
2
trrV
mt
tr
i
(1.25)
Ta suy ra phƣơng trình vi phân đối với các hệ số khai triển
)(t
i
)(
)(
)(
.
t
dt
td
iti
ii
i
i
(1.26)
Thay vào đây biểu thức (1.23) biểu diễn
i
qua
i
p
và
i
q
ta thu đƣợc hệ
phƣơng trình đối với các hàm thực
i
q
và
i
p
ii
pq
,
iii
qp
2
(1.27)
Mặt khác công thức (1.24) cho ta
i
i
p
p
H
,
ii
i
q
q
H
2
So sánh hệ thức này với các phƣơng trình (1.27), ta thu đƣợc phƣơng trình
Hamilton đối với
i
q
và
i
p
i
i
p
H
q
,
i
i
q
H
p
(1.28)
Nhƣ vậy các đại lƣợng
i
p
và
i
q
có thể đƣợc coi nhƣ xung lƣợng và toạ độ
suy rộng của trƣờng vô hƣớng
),( tr
. Phƣơng trình Schodinger của trƣờng
này tƣơng đƣơng với hệ phƣơng trình Hamiltơn. Nói cách khác phƣơng trình
của trƣờng vô hƣớng cũng có thể đƣợc viết dƣới dạng tƣơng tự nhƣ các phƣơng
11
trình của cơ học cổ điển hoặc nhƣ các phƣơng trình của trƣờng điện từ. Vì thế ta
có thể lƣợng tử hoá trƣờng vô hƣớng theo cách chúng ta đã lƣợng tử hoá các hệ
cơ học và trƣờng điện từ.
Khi lƣợng tử hoá trƣờng vô hƣớng ta thay toạ độ và xung lƣợng suy rộng
i
q
và
i
p
bằng các toán tử tự liên hợp
)(
ˆ
tq
i
và
)(
ˆ
tp
i
thoả mãn các hệ thức giao
hoán:
0)](
ˆ
),(
ˆ
[)](
ˆ
),(
ˆ
[ tptptqtq
jiji
và
ijji
ipq
]
ˆ
,
ˆ
[
(1.29)
Các hệ số khai triển
)(t
i
trong (1.21) cũng trở thành toán tử
)(
ˆ
t
i
. Thay
cho các đại lƣợng
)(t
i
liên hợp phức với
)(t
i
ta có toán tử
)(
ˆ
t
i
liên hợp
phức với
)(
ˆ
t
i
. Ta có hệ thức
)
ˆˆ
(
2
1
ˆ
),
ˆˆ
(
2
1
ˆ
iii
i
iiii
i
i
piqpiq
(1.30)
Từ hệ thức này ta suy ra các hệ thức giao hoán sau đây
ijji
jiji
tt
tttt
)(
ˆ
),(
ˆ
0)(
ˆ
,)(
ˆ
)(
ˆ
),(
ˆ
(1.31)
Toán tử Hamiltonian của trƣờng có dạng
).(
ˆ
)(
ˆ
ˆ
tt
ii
i
i
(1.32)
Khi lƣợng tử hoá thì công thức các toán tử trƣờng (1.21) có dạng:
i
ii
i
ii
rttrrttr )()(
ˆ
),(
ˆ
),()(
ˆ
),(
ˆ
1.1.3 Lƣợng tử hóa trƣờng spinơ [1]
Các phƣơng trình của trƣờng spinơ cổ điển có dạng hoàn toàn giống nhƣ
phƣơng trình của trƣờng vô hƣớng cổ điển. Điểm khác nhau chủ yếu của hai
trƣờng này là các tính chất biến đổi của chúng trong phép quay của không gian.
Trƣờng vô hƣớng có một thành phần và bất biến đối với phép quay
'rr
còn
trƣờng spinơ thì có hai thành phần và sau mỗi phép quay thì mỗi thành phần đều
trở thành tổ hợp tuyến tính của cả hai. Vì các phƣơng trình của các trƣờng vô
hƣớng và trƣờng spinơ cũng nhƣ biểu thức của các đại lƣợng của chúng có dạng
gần nhƣ giống nhau cho nên khi khảo sát trƣờng spinơ và lƣợng tử hóa nó ta có
thể sử dụng các kết quả đã thu đƣợc của trƣờng vô hƣớng, tuy nhiên cần chú ý
12
các hạt của trƣờng vô hƣớng tuân theo thống kê Bose-Einstein, còn các hạt trong
trƣờng spinơ tuân theo thống kê Fecmi-Dirac, các toán tử trƣờng vô hƣớng giao
hoán với nhau còn các toán tử trƣờng spinơ là các toán tử phản giao hoán.
Tƣơng tự nhƣ trƣờng vô hƣớng, Hamiltonian của trƣờng spinơ lƣợng tử
),(
ˆ
tr
có dạng:
3
2
),(
ˆ
)].(
2
[),(
ˆ
ˆ
drtrrV
m
trH
(1.33)
Thế năng
)(rV
có thể chứa toán tử spin của hạt
2
1
s
.
Giả sử
)(r
i
là hệ đủ các nghiệm trực giao chuẩn hóa của phƣơng trình
)()()].(
2
[
2
rrrV
m
iii
(1.34)
Ta khai triển toán tử trƣờng
),(
ˆ
tr
theo hệ đủ
)(r
i
i
iii
i
iii
rtiatr
rtiatr
)()exp(
ˆ
),(
ˆ
),()exp(
ˆ
),(
ˆ
(1.35)
Hamilton đƣợc biểu diễn qua toán tử
i
a
ˆ
và
i
a
ˆ
i
iii
aaH
ˆˆ
ˆ
(1.36)
Toán tử
i
a
ˆ
và
i
a
ˆ
thỏa mãn hệ thức phản giao hoán:
.
ˆ
,
ˆ
,0
ˆ
,
ˆˆ
,
ˆ
ijjijiji
aaaaaa
(1.37)
Toán tử trƣờng
),(
ˆ
tr
và toán tử liên hợp hermitic của nó
),(
ˆ
tr
thỏa
mãn phƣơng trình Heisenberg
]),(
ˆ
,
ˆ
[
),(
ˆ
)],,(
ˆ
,
ˆ
[
),(
ˆ
trH
t
tr
itrH
t
tr
i
(1.38)
và các hệ thức phản giao hoán
.2,1,),',',()','(
ˆ
),,(
ˆ
,0)','(
ˆ
,),(
ˆ
)','(
ˆ
),,(
ˆ
ttrrtrtr
trtrtrtr
(1.39)
13
1.2 Lí thuyết nhiễu loạn
1.2.1 Hamiltơn tƣơng tác và biểu diễn tƣơng tác [1]
Hamilton của trƣờng spinơ tự do trong lí thuyết lƣợng tử hóa lần hai có
dạng:
3
2
),(
ˆ
)].(
2
[),(
ˆ
ˆ
drtrrV
m
trH
(1.40)
Nếu xét đến hệ các hạt mà trong đó có sự tƣơng tác theo từng cặp giữa các
hạt trong hệ, khi đó Hamiltơn toàn phần của hệ gồm hai thành phần
int
ˆˆˆ
HHH
o
(1.41)
Trong đó
o
H
ˆ
là Hamiltơn của trƣờng tự do có dạng nhƣ biểu thức (1.40)
còn
int
ˆ
H
là Hamiltơn tƣơng tác của trƣờng.
Hamlitơn tƣơng tác giữa trƣờng vô hƣớng tự liên hợp và trƣờng spinơ có
dạng :
rdgH
3
int
ˆˆˆ
ˆ
(1.42)
Hamiltơn tƣơng tác giữa trƣờng spinơ và trƣờng điện từ có dạng :
.
ˆˆ
ˆ
2
ˆˆ
ˆ
ˆˆ
ˆ
2
ˆ
)(
ˆ
ˆ
ˆ
3
332
2
3
int
rdH
m
e
rdAerdA
m
e
rdA
m
ie
H
o
(1.43)
Trong phép gần đúng bậc một ta chỉ xét đến số hạng thứ nhất trong
Hamiltơn tƣơng tác giữa hai trƣờng.
rdA
m
ie
H
3
int
ˆ
)(
ˆ
ˆ
ˆ
(1.44)
Khi khảo sát các trƣờng tự do ta đã đƣa vào biểu diễn Heisenberg và biểu
diễn Schodinger. Trong biểu diễn Heisenberg các vectơ trạng thái không phụ
thuộc thời gian còn sự thay đổi của các toán tử trƣờng theo thời gian đƣợc xác
định bởi phƣơng trình chuyển động Heisenberg. Ngƣợc lại trong biểu diễn
Schodinger các toán tử không thay đổi theo thời gian, còn sự phụ thuộc của
vectơ trạng thái theo thời gian đƣợc xác định bởi phƣơng trình Schodinger.
14
Tƣơng tự nhƣ vậy ta định nghĩa biểu diễn Heisenberg và biểu diễn Schodinger
của trƣờng tƣơng tác. Các toán tử trƣờng, Hamiltonian và vectơ trạng thái trong
biểu diễn Heisenberg kí hiệu là
HHHHH
HA ,,,,
còn trong biểu diễn
Schodinger chúng đƣợc kí hiệu là
SSSSS
HA ,,,,
. Ta có các phƣơng trình
sau:
,0,,
,,,
dt
d
AH
t
A
H
t
H
t
H
HH
H
HH
H
HH
H
(1.45)
.,,0
,0,0
HSSS
SS
SS
HHH
dt
d
i
t
A
tt
(1.46)
Hai biểu diễn này liên hệ với nhau qua biểu thức:
.)exp(
),exp()exp(
),exp()exp(
),exp()exp(
HHS
HHHS
HHHS
HHHS
tiH
tiHAtiHA
tiHtiH
tiHtiH
(1.47)
Ngoài hai biểu diễn trên còn một biểu diễn trung gian thứ ba rất tiện lợi cho
việc khảo sát tƣơng tác giữa các trƣờng bằng phƣơng pháp lí thuyết nhiễu loạn
gọi là biểu diễn tƣơng tác. Các toán tử trƣờng, Hamiltonian và vectơ trạng thái
trong biểu diễn tƣơng tác kí hiệu là
,
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
HA
. Biểu diễn này liên hệ với
biểu diễn Schodinger qua hệ thức sau:
.)
ˆ
exp(,)(
ˆ
),
ˆ
exp())(
ˆ
exp(
ˆ
),
ˆ
exp()
ˆ
exp(
ˆ
),
ˆ
exp()
ˆ
exp(
ˆ
),
ˆ
exp()
ˆ
exp(
ˆ
intint
SoSoo
oSo
oSo
oSo
oSo
tHiHH
tHiHHiH
tHiAtHiA
tHitHi
tHitHi
(1.48)
Trong biểu diễn tƣơng tác các toán tử trƣờng và các vectơ trạng thái thỏa
mãn hệ thức:
15
,
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
ˆ
ˆ
,
ˆ
ˆ
,
ˆ
,
ˆ
ˆ
int
H
dt
d
AH
t
A
H
t
H
t
o
oo
(1.49)
Nhƣ vậy trong biểu diễn tƣơng tác các toán tử trƣờng thỏa mãn các biểu
thức tƣơng tự nhƣ phƣơng trình của các trƣờng tự do, do đó trong biểu diễn
tƣơng tác ta cũng có thể viết các toán tử trƣờng dƣới dạng khai triển theo các
toán tử sinh hạt và hủy hạt, trong biểu diễn này các vectơ trạng thái thỏa mãn
các phƣơng trình tƣơng tự nhƣ trong biểu diễn Schodinger nhƣng ở vế phải thay
cho Hamiltơn toàn phần ta có Hamiltơn tƣơng tác.
1.2.2 Ma trận tán xạ [1]
Trong biểu diễn tƣơng tác sự thay đổi vectơ trạng thái theo thời gian đƣợc
xác định theo phƣơng trình:
int
ˆ
H
dt
d
i
(1.50)
Giả sử biết trƣớc vectơ trạng thái tại thời điểm đầu
o
t
, vì phƣơng trình trên
tuyến tính nên ta có thể viết:
)(),()(
oo
tttSt
(1.51)
Trong đó
),(
o
ttS
là toán tử tuyến tính. Ta có
1),(
oo
ttS
(1.52)
Từ phƣơng trình (1.50) ta có
),()(
ˆ
),(
int o
o
ttStHi
dt
ttdS
(1.53)
Ta suy ra
t
t
oo
o
dtttStHittS
111int
),()(
ˆ
1),(
(1.54)
Áp dụng phƣơng pháp gần đúng liên tiếp ta có:
16
)(
ˆ
) (
ˆ
)( )(
ˆ
)(
ˆ
)()(
ˆ
1
),()(
ˆ
)(
ˆ
)()(
ˆ
1),(
int1int
12int1int21
2
11int
22int1int21
2
11int
1
1
1
n
t
t
n
t
t
n
t
t
t
t
t
t
t
t
o
t
t
t
t
o
tHtH
dtdtitHtHdtdtidttHi
ttStHtHdtdtidttHittS
n
ooo oo
o oo
Nhƣ vậy toán tử unita
),(
o
ttS
có thể đƣợc viết dƣới dạng một chuỗi
0
)(
),(),(
n
o
n
o
ttSttS
(1.55)
Trong đó
1),(
)0(
o
ttS
t
t
o
o
dttHittS
11int
)1(
)(
ˆ
),(
…………
.)(
ˆ
) (
ˆ
)(),(
1
int1int1
)(
n
oo
t
t
nn
t
t
n
o
n
tHtHdtdtittS
Nếu Hamiltơn tƣơng tác là nhỏ thì trong biểu thức (1.55) ta chỉ cần xét vaif
số hạng bậc thấp, phƣơng pháp gần đúng này để tính
),(
o
ttS
gọi là phƣơng
pháp lí thuyết nhiễu loạn.
Sử dụng khái niệm T- tích có thể chứng minh đƣợc rằng
)](
ˆ
) (
ˆ
[
!
)(
),(
1int1int1
)(
t
t
nn
t
t
n
o
n
oo
dtdttHtHTdt
n
i
ttS
(1.56)
Khi khảo sát các quá trình tán xạ ta xét sự thay đổi của hệ từ thời điểm đầu
o
t
đến thời điểm cuối
t
toán tử
),( S
gọi là ma trận tán xạ
và đƣợc kí hiệu là
)](
ˆ
) (
ˆ
[
!
)(
0
1int1int1
n
t
t
nn
t
t
n
oo
dtdttHtHTdt
n
i
S
(1.57)
17
Giả sử trạng thái đầu của hệ kí hiệu là
i
còn trạng thái cuối của hệ kí hiệu
là
if
S
. Ta kí hiệu hệ đủ các vectơ trạng thái của trƣờng tự do là
n
, ta
có thể khai triển
fnn
n
nnf
cc
,,
Do đó có thể xem nhƣ các hệ số
2
n
c
nhƣ là xác suất phát hiện nó trong
trạng thái
n
. Vì vậy xác suất của quá trình hệ chuyển từ trạng thái đầu
i
sang trạng thái cuối
f
là
2
2
,
ifffi
ScW
(1.58)
Để tìm đƣợc xác suất của quá trình tán xạ trên cần phải tìm yếu tố ma trận
của quá trình tán xạ S:
iffi
SS
,
(1.59)
Chƣơng tiếp theo ta sẽ vận dụng lí thuyết nhiễu loạn và lí thuyết lƣợng tử
hóa trong kí thuyết hệ nhiều hạt để xét quá trình tán xạ sinh ra các exciton của
chấm bán dẫn lƣợng tử khi hấp thụ một photon.
18
Chƣơng 2: YẾU TỐ MA TRẬN CỦA QUÁ TRÌNH SINH ĐA EXCITON
TRONG CHẤM LƢỢNG TỬ BÁN DẪN KHI HẤP THỤ MỘT PHOTON
Trong chƣơng này ta sẽ vận dụng các kiến thức về lƣợng tử hóa lần hai của
hệ nhiều hạt, lí thuyết nhiễu loạn để tính yếu tố ma trận trong quá trình sinh đa
exciton trong bán dẫn chấm lƣợng tử khi đƣợc kích thích bởi một photon.
Ta kí hiệu các hàm sóng của điện tử trong vùng dẫn:
)(
1
)( re
V
rU
c
w
rpic
p
là hàm sóng liên tục của electron ở lớp ngoài
vùng dẫn.
)()()( rrurU
c
i
c
i
là hàm sóng gián đoạn của electron ở trong chấm
lƣợng tử ở vùng dẫn với
)(r
c
là hàm tuần hoàn
)()( Rrr
cc
.
Các hàm sóng của điện tử trong vùng hóa trị:
)(
1
)( re
V
rV
v
w
rqiv
q
là hàm sóng liên tục của điện tử ở lớp ngoài vùng
hóa trị.
)()()( rrvrV
v
j
v
j
là hàm sóng gián đoạn của điện tử trong chấm lƣợng
tử ở trong vùng hóa trị với
)(r
v
là hàm tuần hoàn
)()( Rrr
vv
.
Theo thuyết lƣợng tử hóa lần hai trong hình thức luận điện tử- lỗ trống các
toán tử sinh và hủy điện tử kí hiệu là
e
ˆ
và
e
ˆ
. Toán tử sinh và hủy lỗ trống kí
hiệu là
h
ˆ
và
h
ˆ
. Các toán tử này thỏa mãn tính chất phản giao hoán:
0
ˆ
,
ˆˆ
,
ˆ
ˆ
,
ˆˆ
,
ˆ
jijijiji
hhhheeee
(2.1)
ijjiji
hhee
ˆ
,
ˆ
ˆ
,
ˆ
Kí hiệu các toán tử trƣờng là:
19
α β
tiE
tiE
α
β
α
).er.v(h).er.u(e,t)r(
ˆ
ˆ
ˆ
(2.2)
α β
tiE
tiE
α
β
α
.e)r.v(h.e)r.u(e,t)r(
ˆ
ˆ
ˆ
(2.3)
Các hàm sóng
)(),( rvru
của điện tử và lỗ trống có thể là hàm liên tục có
dạng hàm mũ hoặc là hàm gián đoạn tùy thuộc vào trạng thái của điện tử và lỗ
trống.
Toán tử thế vectơ của trƣờng điện từ:
,
)()(
ˆ
2
11
),(
ˆ
k
rkti
kk
rkti
kk
k
eaea
V
trA
(2.4)
Trong đó
k
a
ˆ
và
k
a
ˆ
+
là toán tử hủy và sinh photon thỏa mãn các hệ thức
giao hoán:
''
''
''''
]
ˆ
,
ˆ
[
0]
ˆ
,
ˆ
[]
ˆ
,
ˆ
[
kk
kk
kkkk
aa
aaaa
(2.5)
Hamiltơn tƣơng tác giữa hệ các điện tử trong chấm lƣợng tử và trƣờng điện
từ:
),(
ˆ
).,(
ˆ
.),(
ˆ
.
ˆ
int
trAtrPtrrd
m
e
H
(2.6)
Ma trận tán xạ:
0
)(
ˆˆ
n
n
SS
(2.7)
Với
1
ˆ
)(
o
S
)(
ˆ
.
ˆ
int
)1(
tHdtiS
(2.8)
)](
ˆ
)(
ˆ
[.
2
)(
ˆ
2int1int21
2
)2(
tHtHTdtdt
i
S
(2.9)
)](
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
[.
!3
)(
ˆ
3int2int1int321
3
)3(
tHtHtHTdtdtdt
i
S
(2.10)
……………………………
20
Ta sẽ tính các yếu tố ma trận của sự sinh ra một cặp điện tử- lỗ trống, hai
cặp điện tử- lỗ trống, ba cặp điện tử- lỗ trống…của chấm lƣợng tử bán dẫn trong
trƣờng hợp đƣợc kích thích bởi một photon.
2.1 Phép gần đúng bậc 1
Ma trận tán xạ có dạng:
)(
ˆ
.
ˆ
int
)1(
tHdtiS
Yếu tố ma trận trong phép gần đúng bậc 1: <F|S
(1)
|I> (2.11)
Trong đó trạng thái đầu |I>=
g
k
a |
ˆ
là trạng thái một photon tác
dụng lên trạng thái cơ bản của hệ điện tử.
Ta quan tâm đến trạng thái cuối |F> gồm các exciton có thể là một cặp, hai
cặp, ba cặp… điện tử- lỗ trống.
Thay biểu thức của
)1(
ˆ
S
trong (2.8) vào (2.11) kết hợp với (2.6) ta đƣợc:
g
k
atrAtrPtrFrddt
m
ie
ISF |
ˆ
|),(
ˆ
).,(
ˆ
.),(
ˆ
||
ˆ
|
)1(
(2.12)
Vì |F> không chứa phôtôn nên :
0
ˆˆ
FaaF
kk
Mặt khác ta có:
0|
ˆ
|
ˆ
|
ˆ
ggg
k
hea
Do đó ta có:
)()1(
2
1
.
1
.|),(
ˆ
.),(
ˆ
|.|
ˆ
|
rkti
k
k
g
e
V
trPtrFrddt
m
ie
ISF
(2.13)
Vì
),(
ˆ
tr
chứa một toán tử sinh điện tử,
),(
ˆ
tr
chứa một toán tử sinh
lỗ trống cho nên trong phép gần đúng bậc 1. |F> tối đa chỉ chứa một cặp điện tử
- lỗ trống. Giả sử
g
heF |
ˆ
ˆ
|
khi đó yếu tố ma trận trong phép gần
đúng bậc một sẽ là:
21
)()1(
2
1
.
1
.).( )(.|
ˆ
|
rkti
k
k
tiE
tiE
e
V
ervPerurddt
m
ie
ISF
rki
k
EE
ervPrurd
Vm
ie
).(.)(
2
2
)(
(2.14)
Vậy để yếu tố ma trận khác không thì
EE
nghĩa là tổng năng
lƣợng của điện tử và lỗ trống phải bằng đúng năng lƣợng của phôtôn. Biểu thức
này thể hiện định luật bảo toàn năng lƣợng.
Ta sẽ biểu diễn quá trình tán xạ bằng đồ thị Feymann
Biểu diễn trạng thái đầu của điện tử bằng đƣờng liền nét nhƣ sau:
Biểu diễn trạng thái cuối của điện tử bằng đƣờng sau:
Biểu diễn trạng thái đầu của lỗ trống bằng đƣờng đứt nét nhƣ sau:
Biểu diễn trạng thái cuối của lỗ trống bằng đƣờng sau:
Hàm nối của hai toán tử trƣờng spinơ đƣợc biểu diễn nhƣ sau:
Biểu diễn trạng thái đầu của photon bằng đƣờng lƣợn sóng nhƣ sau:
Biểu diễn trạng thái cuối của photon bằng đƣờng sau:
Hàm nối của hai toán tử trƣờng điện từ đƣợc biểu diễn nhƣ sau:
Đồ thị Feymann trong trƣờng hợp này có dạng:
2.2 Phép gần đúng bậc hai
Ma trận tán xạ có dạng:
22
)](
ˆ
)(
ˆ
[.
2
)(
ˆ
2
int
1
int
21
2
)2(
tHtHTdtdt
i
S
Yếu tố ma trận trong phép gần đúng bậc 2:
ISF
)2(
ˆ
(2.15)
Thay biểu thức của
)2(
ˆ
S
trong (2.9) vào (2.15) kết hợp với (2.6) ta đƣợc:
g
k
atHtHTFdtdt
i
ISF |
ˆ
|)](
ˆ
)(
ˆ
[|.
2
)(
|
ˆ
|
2int1int21
2
)2(
(2.16)
Vì toán tử trƣờng spinơ và toán tử trƣờng điện từ giao hoán với nhau nên
)],(
ˆ
).,(
ˆ
[)].,(
ˆ
.),(
ˆ
).,(
ˆ
.),(
ˆ
[.)](
ˆ
).(
ˆ
[
221122
2221111121
2
2
2int1int
trAtrATtr
PtrtrPtrTrdrd
m
e
tHtHT
Xét sự tác động của
)],(
ˆ
).,(
ˆ
[
2211
trAtrAT
lên
g
k
a |
ˆ
Theo định lý Wich T-tích của các toán tử trƣờng có thể đƣợc viết dƣới dạng
tổng của tất cả các N-tích có thể có do vậy ta có:
)],(
ˆ
).,(
ˆ
[
2211
trAtrAT
= :
),(
ˆ
).,(
ˆ
2211
trAtrA
: + :
),(
ˆ
).,(
ˆ
2211
trAtrA
: (2.18)
Số hạng thứ hai là một hàm nối do vậy không chứa các toán tử khi tác dụng
lên
g
k
a |
ˆ
sẽ vẫn cho
g
k
a |
ˆ
. Khi đó yếu tố ma trận tƣơng ứng với
số hạng này sẽ bằng không bởi vì |F> không chứa phôtôn do đó
<F|
g
k
a |
ˆ
= 0.
Số hạng thứ nhất là N-tích của hai toán tử trƣờng điện từ, ta áp dụng tính
chất của toán tử sinh và hủy photon:
''
''
''''
]
ˆ
,
ˆ
[
0]
ˆ
,
ˆ
[]
ˆ
,
ˆ
[
kk
kk
kkkk
aa
aaaa
Do vậy ta có thể đổi chỗ các toán tử để toán tử sinh photon đứng bên trái
toán tử hủy photon. Sử dụng <F|
g
k
a |
ˆ
= 0. Ta có yếu tố ma trận trong
trƣờng hợp này cũng bằng không.
Nhƣ vậy trong phép gần đúng bậc hai, yếu tố ma trận sẽ bằng không vì vậy
không cho đóng góp vào sự sinh ra exciton.
(2.17)
23
2.3 Phép gần đúng bậc ba
Ma trận tán xạ có dạng:
)](
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
[.
!3
)(
ˆ
3int2int1int321
3
)3(
tHtHtHTdtdtdt
i
S
Yếu tố ma trận trong phép gần đúng bậc 3:
ISF
)3(
ˆ
(2.19)
Thay biểu thức của
)3(
ˆ
S
trong (2.10) vào (2.11) kết hợp với (2.6) ta đƣợc:
g
k
atHtHtHTFdtdtdt
i
ISF |
ˆ
|)](
ˆ
)(
ˆ
)(
ˆ
[|.
!3
)(
|
ˆ
|
3
int
2
int
1
int
321
3
)3(
(2.20)
Do sự giao hoán của toán tử trƣờng spinơ và trƣờng điện từ ta có:
)],(
ˆ
).,(
ˆ
).,(
ˆ
[)].,(
ˆ
.),(
ˆ
),(
ˆ
.),(
ˆ
).,(
ˆ
.),(
ˆ
[ )](
ˆ
)(
ˆ
).(
ˆ
[
3322113333322222
11111321
3
3
3int2int1int
trAtrAtrATtrPtrtrPtr
trPtrTrdrdrd
m
e
tHtHtHT
Xét sự tác động của
)],(
ˆ
).,(
ˆ
).,(
ˆ
[
332211
trAtrAtrAT
lên
g
k
a |
ˆ
Tƣơng tự phép gần đúng bậc hai ta viết T-tích dƣới dạng tổng các N-tích có
thể có:
)],(
ˆ
).,(
ˆ
).,(
ˆ
[
332211
trAtrAtrAT
= :
),(
ˆ
).,(
ˆ
).,(
ˆ
332211
trAtrAtrA
: +
+ :
),(
ˆ
).,(
ˆ
).,(
ˆ
332211
trAtrAtrA
: + :
),(
ˆ
).,(
ˆ
).,(
ˆ
332211
trAtrAtrA
: +
+ :
),(
ˆ
).,(
ˆ
).,(
ˆ
332211
trAtrAtrA
: (2.22)
Theo định nghĩa của N- tích thì trong biểu thức của N- tích các toán tử sinh
và hủy hạt sẽ sắp xếp sao cho toán tử sinh hạt đứng bên trái toán tử hủy hạt vì
thế số hạng đầu tiên trong biểu thức trên sẽ không cho đóng góp vào yếu tố ma
trận vì <F|
g
k
a |
ˆ
= 0. Vì thế trong các số hạng tiếp theo thì chỉ có phần
chứa một toán tử hủy photon mới cho đóng góp.
Ta có:
(2.21)
24
),(
ˆ
).,(
ˆ
2211
trAtrA
=
),(
2121
ttrrD
c
0
3
0
)]()([
4
).,(.
)2(
1
21021
kdkdkkDe
c
ttkrrki
(2.23)
Nhƣ vậy:
.|.
!3
)(
|
ˆ
||
332211
3
33
)3(
Frddtrddtrddt
m
ei
ISF
)].,(
ˆ
.),(
ˆ
),(
ˆ
.),(
ˆ
).,(
ˆ
.),(
ˆ
[
333332222211111
trPtrtrPtrtrPtrT
]
2
1
).,(
2
1
).,(
2
1
).,([
1
.|
)(
3
2121
)(
2
1313
)(
1
3232
3
3
33
3
3
2
2
22
2
2
1
1
11
1
1
rkti
k
k
c
kti
k
k
c
rkti
k
k
c
g
ettrrDe
ttrrDettrrD
V
(2.24)
Nếu phá ngoặc vuông trong biểu thức trên thì vế phải của biểu thức trên
gồm ba số hạng, nếu thay thế
32
rr
,
32
tt
,
13
rr
,
13
tt
,
21
rr
,
21
tt
,
thì ba số hạng trên giống hệt nhau. Vì vậy:
.|.
2
|
ˆ
||
332211
3
3
)3(
Frddtrddtrddt
m
ie
ISF
g
trPtrtrPtrtrPtrT
)].,(
ˆ
.),(
ˆ
),(
ˆ
.),(
ˆ
).,(
ˆ
.),(
ˆ
[
333332222211111
)(
3232
1
1
11
1
1
1
2
1
).,(
1
.
rkti
k
k
c
ettrrD
V
(2.25)
Áp dụng định lí Wich ta viết T- tích ở trên dƣới dạng tổng của các N-tích
có thể có:
)].,(
ˆ
.),(
ˆ
),(
ˆ
.),(
ˆ
).,(
ˆ
.),(
ˆ
[
333332222211111
trPtrtrPtrtrPtrT
:),(
ˆ
.),(
ˆ
),(
ˆ
.),(
ˆ
).,(
ˆ
.),(
ˆ
:
333332222211111
trPtrtrPtrtrPtr
25
:),(
ˆ
.),(
ˆ
),(
ˆ
.),(
ˆ
).,(
ˆ
.),(
ˆ
:
333332222211111
trPtrtrPtrtrPtr
:),(
ˆ
.),(
ˆ
),(
ˆ
.),(
ˆ
).,(
ˆ
.),(
ˆ
:
333332222211111
trPtrtrPtrtrPtr
:),(
ˆ
),(
ˆ
),(
ˆ
),(
ˆ
).,(
ˆ
),(
ˆ
:
333332222211111
trPtrtrPtrtrPtr
:),(
ˆ
.),(
ˆ
),(
ˆ
.),(
ˆ
).,(
ˆ
.),(
ˆ
:
333332222211111
trPtrtrPtrtrPtr
:),(
ˆ
.),(
ˆ
),(
ˆ
.),(
ˆ
).,(
ˆ
.),(
ˆ
:
333332222211111
trPtrtrPtrtrPtr
:),(
ˆ
.),(
ˆ
),(
ˆ
.),(
ˆ
).,(
ˆ
.),(
ˆ
:
333332222211111
trPtrtrPtrtrPtr
:),(
ˆ
.),(
ˆ
),(
ˆ
.),(
ˆ
).,(
ˆ
.),(
ˆ
:
333332222211111
trPtrtrPtrtrPtr
:),(
ˆ
.),(
ˆ
),(
ˆ
.),(
ˆ
).,(
ˆ
.),(
ˆ
:
333332222211111
trPtrtrPtrtrPtr
:),(
ˆ
.),(
ˆ
),(
ˆ
.),(
ˆ
).,(
ˆ
.),(
ˆ
:
333332222211111
trPtrtrPtrtrPtr
:),(
ˆ
.),(
ˆ
),(
ˆ
.),(
ˆ
).,(
ˆ
.),(
ˆ
:
333332222211111
trPtrtrPtrtrPtr
:),(
ˆ
.),(
ˆ
),(
ˆ
.),(
ˆ
).,(
ˆ
.),(
ˆ
:
333332222211111
trPtrtrPtrtrPtr
:),(
ˆ
.),(
ˆ
),(
ˆ
.),(
ˆ
).,(
ˆ
.),(
ˆ
:
333332222211111
trPtrtrPtrtrPtr
:),(
ˆ
.),(
ˆ
),(
ˆ
.),(
ˆ
).,(
ˆ
.),(
ˆ
:
333332222211111
trPtrtrPtrtrPtr
:),(
ˆ
.),(
ˆ
),(
ˆ
.),(
ˆ
).,(
ˆ
.),(
ˆ
:
333332222211111
trPtrtrPtrtrPtr
:),(
ˆ
.),(
ˆ
),(
ˆ
.),(
ˆ
).,(
ˆ
.),(
ˆ
:
333332222211111
trPtrtrPtrtrPtr
26
:),(
ˆ
.),(
ˆ
),(
ˆ
.),(
ˆ
).,(
ˆ
.),(
ˆ
:
333332222211111
trPtrtrPtrtrPtr
(2.26)
Vế phải của biểu thức trên có 18 số hạng gồm 1 số hạng không chứa hàm
nối, 6 số hạng chứa một hàm nối, 9 số hạng chứa hai hàm nối và 2 số hạng chứa
ba hàm nối.
Vì trong
),(
ˆ
tr
chứa một toán tử sinh điện tử,
),(
ˆ
tr
chứa một toán tử
sinh lỗ trống cho nên T- tích ở trên chứa nhiều nhất tích của ba cặp toán tử
he
ˆ
ˆ
. Vì thế |F> có thể là 3 cặp exciton tƣơng ứng với số hạng không chứa
hàm nối, 2 cặp exciton tƣơng ứng với số hạng chứa một hàm nối hoặc 1 cặp
exciton tƣơng ứng với số hạng chứa ba hàm nối.
Ta sẽ xét từng trƣờng hợp cụ thể
2.3.1 Trường hợp |F> là ba exciton
g
heheheF |
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
|
332211
Sử dụng biểu thức của toán tử trƣờng (2.2), (2.3) và kết hợp với tính chất
của toán tử sinh và toán tử hủy điện tử, toán tử sinh và toán tử hủy lỗ trống (2.1),
ta có:
)(.
2
|
ˆ
||
11
1332211
3
3
)3(
tiE
erurddtrddtrddt
m
ie
ISF
)(
1
0
3
0
)]()([
4
33322211
1111
11
21021
33
33
22
22
11
.
.
2
1
).,(.
)2(
11
.
).( )(.).( )(.).(
rkti
k
k
c
ttkrrki
tiE
tiE
tiE
tiE
tiE
e
kdkdkkDe
V
e
rvPeruervPeruervP
Suy ra:
(2.27)
27
4
|
ˆ
||
)()()(
3
3
)3(
033022111
kEEkEEEE
m
e
V
i
ISF
).(.)().(.)().(.)(.
333222111321
rvPrurvPrurvPrurdrdrd
0
3
0
).,(. kdkdkkD
c
)(
1
32
11
11
2
1
rrki
rki
k
k
ee
(2.28)
Nhận xét: để yếu tố ma trận khác không ta phải có
0
)
033
(
0
)
022
(
0
)
111
(
kEE
kEE
EE
0
033
0
022
0
111
k
β
E
α
E
k
β
E
α
E
ω
β
E
α
E
(2.29)
Điều này không thể xảy ra vì nếu cộng phƣơng trình thứ hai và thứ ba ta
đƣợc:
0
3322
EEEE
nghĩa là tổng năng lƣợng của hai cặp
exciton bằng không, điều này không đúng hay hệ phƣơng trình này không đƣợc
thỏa mãn. Nhƣ vậy yếu tố ma trận ứng với trƣờng hợp gồm ba exciton bằng
không, nghĩa là trong phép gần đúng bậc ba không cho ba exciton.
2.3.2 Trường hợp |F> gồm hai exciton
g
heheF |
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
|
2211
Trƣớc hết ta tính hàm nối của hai toán tử trƣờng:
1 1
111
1
11
11
11
.)(
ˆ
.)(.
ˆ
),(
ˆ
tiE
tiE
ervheruetr
2 2
222222
22
22
ˆ
ˆ
ˆ
α β
tiE
tiE
α
).er.v(h).er.u(e),tr(
α
Hàm nối của hai toán tử trƣờng đƣợc tính theo công thức:
),(
ˆ
11
tr
),(
ˆ
22
tr
= T[
),(
ˆ
11
tr
),(
ˆ
22
tr
] - :
),(
ˆ
11
tr
),(
ˆ
22
tr
: (2.30)
Ta có:
T[
),(
ˆ
11
tr
),(
ˆ
22
tr
] =
),(
ˆ
11
tr
),(
ˆ
22
tr
nếu t
1
> t
2
(2.31)
-
),(
ˆ
22
tr
),(
ˆ
11
tr
nếu t
1
< t
2
:
),(
ˆ
11
tr
),(
ˆ
22
tr
: =
2,1
2121
2211
.).(.)(.
ˆ
.
ˆ
tiEtiE
eeruruee
