Nghiên cứu trạng thái ứng xuất của cọc bê tông đóng trong nền đồng nhất đáy cọc gặp lực chống không đổi và xác định độ lún của cọc

3
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 5
TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI 5
MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI 6
PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 6
PHẠM VI NGHIÊN CỨU 6
BỐ CỤC CỦA LUẬN VĂN 7
KẾT LUẬN 7
CHƢƠNG 1 TỔNG QUAN LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN LÝ THUYẾT VA
CHẠM 8
1.1 LÝ THUYẾT VA CHẠM CỔ ĐIỂN 8
1.2 LÝ THUYẾT BIẾN DẠNG VỊ TRÍ 10
1.3 LÝ THUYẾT SÓNG 11
1.4 ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT VA CHẠM VÀO BÀI TOÁN ĐÓNG
CỌC 12
1.5 NHẬN XÉT 13
CHƢƠNG 2 LÝ THUYẾT VA CHẠM DỌC CỦA VẬT RẮN VÀO
THANH ĐÀN HỒI 15
2.1 PHƢƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA THANH VÀ BÀI TOÁN
BIÊN 15
2.1.1 PHƢƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA THANH 15
2.1.2 CÁC ĐIỀU KIỆN CỦA BÀI TOÁN. 16
2.2 PHƢƠNG PHÁP LAN TRUYỀN SÓNG 16
2.3 MỘT VÀI BÀI TOÁN VỀ VA CHẠM DỌC CỦA VẬT RẮN VÀO
THANH ĐÀN HỒI 18
2.3.1 VA CHẠM DỌC CỦA VẬT RẮN VÀO THANH ĐÀN HỒI TỰ
DO. 18
2.3.2 VA CHẠM DỌC CỦA VẬT RẮN VÀO THANH ĐÀN HỒI, ĐẦU

KIA CỦA THANH NGÀM CHẶT 21
2.4 NHẬN XÉT 27
CHƢƠNG 3 VA CHẠM CỦA BÚA VÀO CỌC TRONG NỀN ĐỒNG
NHẤT ĐÁY CỌC GẶP LỰC CHỐNG KHÔNG ĐỔI 29
3.1 ĐẶT VẤN ĐỀ 29
3.2 THIẾT LẬP BÀI TOÁN 29


4
3.2.1 SƠ ĐỒ BÀI TOÁN 29
3.2.2 PHƢƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA CỌC, NGHIỆM
TỔNG QUÁT VÀ CÁC ĐIỀU KIỆN CỦA BÀI TOÁN 29
3.3 THIẾT LẬP PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN XÁC ĐỊNH LỰC NÉN
P(T) CỦA ĐỆM LÊN ĐẦU CỌC 31
3.4 XÁC ĐỊNH LỰC NÉN P(T) CỦA ĐỆM LÊN ĐẦU CỌC VÀ CÁC
HÀM SÓNG TRONG CỌC 32
3.5 XÁC ĐỊNH TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT CỦA CỌC 48
3.6 ẢNH HƢỞNG KHỐI LƢỢNG, CHIỀU CAO RƠI CỦA BÚA,
ĐỆM, DIỆN TÍCH TIẾT DIỆN NGANG, MA SÁT MẶT BÊN ĐẾN ỨNG
SUẤT TẠI ĐẦU CỌC 53
3.6.1 ẢNH HƢỞNG CỦA ĐẦU BÚA 53
3.6.2 ẢNH HƢỞNG CỦA CHIỀU CAO RƠI BÚA 54
3.6.3 ẢNH HƢỞNG CỦA HỆ SỐ ĐỆM ĐẦU CỌC 55
3.6.4 ẢNH HƢỞNG CỦA TIẾT DIỆN NGANG CỌC 56
3.6.5 ẢNH HƢỞNG CỦA MA SÁT MẶT BÊN CỌC 56
3.7 NHẬN XÉT CHUNG 57
CHƢƠNG 4 ĐỘ LÚN CỦA CỌC ĐÓNG TRONG MỘT NHÁT BÚA 58
4.1 ĐẶT VẤN ĐỀ 58
4.2 XÁC ĐỊNH VẬN TỐC TẠI ĐÁY CỌC 58
4.3 TÍNH ĐỘ LÚN CỦA CỌC TRONG MỘT LẦN VA CHẠM 61

4.3.1 XÁC ĐỊNH THỜI ĐIỂM CỌC BẮT ĐẦU LÚN 61
4.3.2 XÁC ĐỊNH THỜI ĐIỂM CỌC KẾT THÚC LÚN 61
4.3.3 TÍNH ĐỘ LÚN CỦA CỌC TRONG MỘT LẦN VA CHẠM 62
4.4 TÍNH TOÁN VỚI SỐ LIỆU CỤ THỂ 62
4.4.1 GIỚI THIỆU VỀ CÔNG TRÌNH 62
4.4.2 CÁC SỐ LIỆU CỤ THỂ 62
4.5 ẢNH HƢỞNG CỦA LỰC CHỐNG MŨI CỌC R ĐẾN ĐỘ LÚN
CỦA CỌC TRONG MỘT NHÁT BÚA 63
4.6 NHẬN XÉT CHUNG 64
KẾT LUẬN CHUNG 65
TÀI LIỆU THAM KHẢO 68


5
MỞ ĐẦU
Tính cấp thiết của đề tài
Sự phát triển về kinh tế, xã hội tạo đà cho ngành xây dựng có nhiều thành
tựu mới, đó là những công trình xây dựng nhà cao tầng, cầu giao thông với trọng
tải lớn, các công trình thuỷ lợi, thuỷ điện
Yếu tố nền móng trong các công trình xây dựng dân dụng cũng nhƣ các công
trình đặc biệt chiếm một tỷ lệ lớn về tổng thể giá thành và tầm quan trọng của
công trình. Nó giúp cho công trình bền vững theo thời gian làm việc bằng cách
khống chế độ nghiêng và độ lún của móng trong giới hạn cho phép.
Từ trƣớc đến nay có rất nhiều biện pháp gia cố nền móng làm tăng khả năng
chịu tải của công trình: thay thế lớp đất yếu trong phạm vi chịu tải của công trình
bằng lớp đất có tính chất cơ lý tốt hơn, hoặc dùng bấc thấm để tăng nhanh khả
năng thoát nƣớc trong nền, nhờ đó tăng khả năng chịu tải.
Tuy nhiên đối với những công trình lớn, cũng nhƣ làm việc trên nền đất yếu
có độ dày lớn việc sử dụng hệ móng cọc là hữu hiệu hơn cả. Nhiệm vụ chủ yếu
của móng cọc là nhận một phần hoặc toàn bộ tải trọng và ngoại lực truyền xuống

tầng đất chịu lực tốt nằm ở dƣới sâu. Nếu chân cọc tỳ lên nền đất chắc ta có cọc
chống, nếu tải trọng truyền vào đất chủ yếu nhờ ma sát giữa đất và mặt bên của
cọc ta có cọc treo. Hiện nay với các công nghệ thi công hiện đại nhƣ cọc đóng
bằng búa máy, cọc ép thủy lực, cọc khoan nhồi giúp cho nhà thiết kế lựa chọn
đƣợc phƣơng án tối ƣu khi xây dựng công trình. Trong các phƣơng pháp trên ph-
ƣơng pháp cọc đóng có một số ƣu điểm sau:
+ Tăng năng suất thi công.
+ Tiết kiệm vật liệu xây dựng móng.
+ Chất lƣợng cọc khá đồng đều do có thể áp dụng cơ giới hoá cao trong
công tác sản xuất và thi công cọc.
Trong quá trình thi công đóng cọc bê tông đúc sẵn thƣờng dùng búa diezen,
búa hơi hoặc búa rơi tự do để hạ cọc xuống lòng đất, việc lựa chọn đệm búa và
đệm cọc phù hợp là rất quan trọng. Đệm búa là lớp đệm giữa mũ cọc và búa,
đệm búa thƣờng dùng gỗ, cao su, gỗ tạp cứng hoặc các chế phẩm của chất dẻo,
cao su cứng. Đệm cọc là lớp đệm giữa đầu cọc và mũ cọc, đệm cọc thƣờng dùng
lớp đệm gỗ nhiều lớp và đệm bao tải. Có thể là gỗ lim nhƣng để giảm giá thành,
hiện nay phần lớn các đơn vị thi công dùng tấm ván hòm hoặc bao tải thay thế.
Đệm cọc và đệm búa có tác dụng làm giảm ứng suất khi đóng, làm lực đóng búa
phân bố đều, giảm lực va đập của đầu búa, đảm bảo cho ứng suất đóng cọc trong
thân cọc không vƣợt quá giá trị cho phép; nếu lớp đệm quá mềm sẽ làm giảm
việc truyền năng lƣợng, đóng cọc khó khăn; lớp đệm quá cứng sẽ tăng ứng suất
đóng búa dễ hỏng đầu cọc (không cho phép vƣợt quá 65% cƣờng độ chịu nén
của bê tông). Thông thƣờng, công nghệ đóng cọc dựa vào công thức kinh


6
nghiệm hoặc kinh nghiệm thi công mà chƣa nghiên cứu kỹ mối quan hệ rất
khăng khít giữa Búa - Đệm - Cọc - Đất. Xác định ứng suất trong cọc để chọn
đầu búa hoặc đệm thích hợp để cọc đóng đƣợc an toàn, hiệu quả kinh tế cao là
một vấn đề còn đang rất mới mẻ.

Va chạm là một quá trình động lực học đặc biệt, việc nghiên cứu các bài
toán va chạm dọc của vật rắn vào thanh với vật liệu và điều kiện biên khác nhau
là những bài toán phức tạp, nhƣng mô hình bài toán này rất gần với các bài toán
kỹ thuật, đặc biệt là thi công đóng cọc, đây cũng chính là bài toán thiết kế theo
giới hạn bền. Khi xác định đƣợc trƣờng ứng suất của cọc thì sẽ chọn đƣợc đệm
đầu cọc và đầu búa đóng thích hợp để cọc không bị vỡ. Xác định đƣợc vận tốc
lún ở đáy cọc cũng nhƣ thời gian kết thúc lún trong một nhát búa.
Lĩnh vực va chạm đã đƣợc áp dụng rộng rãi trong công nghệ chẩn đoán chất
lƣợng cọc bê tông. Trên thế giới đã xây dựng các lý thuyết về biến dạng nhỏ
(PIT), biến dạng lớn (PDA), phƣơng pháp trở kháng cơ học (MIIMP)… đƣợc
các đơn vị trong nƣớc nghiên cứu và triển khai nhƣ viện Cơ học, viện Khoa học
Công nghệ xây dựng, trung tâm kiểm định Coninco…
Đề tài “Nghiên cứu trạng thái ứng suất của cọc bê tông đóng trong nền đồng
nhất đáy cọc gặp lực chống không đổi và xác định độ lún của cọc” là đề tài có
tính chất cấp thiết, có ý nghĩa khoa học và thực tiễn.
Mục đích của đề tài
Nghiên cứu ứng suất cọc bê tông đóng trong nền đồng nhất, đáy cọc gặp lực
chống không đổi nhằm xác định ảnh hƣởng của khối lƣợng đầu búa, đệm đầu
cọc, diện tích tiết diện ngang, lực ma sát mặt bên của cọc đến ứng suất tại tiết
diện đầu cọc và xác định độ lún của cọc nhằm bổ sung và hoàn thiện cho lớp bài
toán về khảo sát trạng thái ứng suất của cọc bê tông đóng trong nền đồng nhất
với điều kiện biên khác nhau bằng phƣơng pháp lan truyền sóng.
Phương pháp nghiên cứu
Phƣơng pháp nghiên cứu dùng trong luận văn là sử dụng lý thuyết lan truyền
sóng nghiệm Đalămbe và chƣơng trình máy tính:
1. Áp dụng phƣơng pháp lan truyền sóng (nghiệm Đalămbe) để giải các bài
toán.
2. Sử dụng chƣơng trình máy tính MATLAB để kiểm chứng nghiệm giải tích
với số liệu tính toán cụ thể của móng cọc cầu Chợ Dinh –Thành phố Huế.
Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu ảnh hƣởng sự thay đổi lực ma sát mặt bên cọc, diện tích tiết diện
ngang cọc và khối lƣợng đầu búa đến ứng suất của cọc bê tông đóng trong nền
đồng nhất đáy gặp lực chống không đổi và nghiên cứu vận tốc lún, độ lún của
cọc trong một nhát búa.


7
Bố cục của luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận của luận văn, nội dung của luận văn đƣợc
trình bày trong 4 chƣơng và phần phụ lục.
Phần mở đầu nêu lên tính cấp thiết, mục đích, đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu
và phƣơng pháp nghiên cứu của đề tài.
Chƣơng 1: Trình bày tổng quan lịch sử phát triển lý thuyết va chạm.
Chƣơng 2: Cơ sở lý thuyết va chạm dọc của vật rắn vào thanh đàn hồi.
Chƣơng 3: Nghiên cứu bài toán va chạm của búa vào cọc đóng trong nền
đồng nhất đáy cọc gặp lực chống không đổi.
Chƣơng 4: Xác định độ lún của cọc trong một nhát búa.
Kết luận
Nêu lên các kết quả chính của luận văn cùng với những vấn đề cần tiếp tục
nghiên cứu.
Phụ lục gồm các biểu đồ kết quả và chƣơng trình máy tính đƣợc lập theo
chƣơng trình MATLAB trên cơ sở các dạng nghiệm giải tích đã có và các kết
quả tính toán cụ thể cho móng cọc cầu Chợ Dinh – Thành phố Huế.




8
Chƣơng 1
TỔNG QUAN LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN LÝ THUYẾT VA CHẠM

1.1 Lý thuyết va chạm cổ điển
Vào năm 1628 lần đầu tiên nhà bác học nổi tiếng Galilê nghiên cứu về va
chạm của vật rắn tuyệt đối, Galilê đã khẳng định rằng vật rắn va chạm sẽ sinh ra
công.
Tiếp theo các công trình nghiên cứu của Galilê đã có nhiều nhà khoa học đi
sâu vào nghiên cứu những quy luật cơ bản về chuyển động của các vật thể va
chạm và tới năm 1669, Huyghen đã nghiên cứu và thiết lập đƣợc các quy luật cơ
bản về va chạm của quả cầu.
Đối tƣợng nghiên cứu của lý thuyết va chạm cổ điển là vật rắn tuyệt đối và
hệ chất điểm. Vần đề khó khăn nhất là số phƣơng trình độc lập thiết lập đƣợc
không đủ so với số ẩn số độc lập phải tìm là do giả thiết vật rắn là tuyệt đối. Để
giải quyết vấn đề này, nhiều nhà khoa học đã tìm ra lối thoát bằng cách sử dụng
mối quan hệ phụ thuộc của vận tốc. Năm 1687, lần đầu tiên, Niutơn đã đƣa ra hệ
số k là hệ số tỷ lệ giữa vận tốc tƣơng đối trƣớc và sau khi va chạm thẳng xuyên
tâm của vật thể.
Mặc dù lý thuyết này còn hạn chế song vẫn còn đƣợc áp dụng cho đến tận
ngày nay. Sau Niutơn, lý thuyết va chạm cổ điển đƣợc Mapry, Ricát và nhiều
nhà bác học khác tiếp tục bổ xung phát triển và hoàn thiện hơn.
Nội dung lý thuyết va chạm cổ điển là một phần của cơ học vật rắn tuyệt đối.
Để nghiên cứu lý thuyết này, ngƣời ta đã đƣa ra các giả thiết đã thể hiện đƣợc
những nét cơ bản của hiện tƣợng va chạm vật lý đó là:
- Khoảng thời gian va chạm  là vô cùng bé.
- Bỏ qua sự dịch chuyển các vật thể trong thời gian va chạm.
- Xung lực va chạm là hữu hạn nên có thể bỏ qua xung lực của các lực hữu
hạn, đó là các lực không phải là lực va chạm.
Phƣơng trình cơ bản của lý thuyết va chạm cổ điển đƣợc viết nhƣ sau:

( ) .mV mV mV F dt
o


 

  

0

(1.1.1)
Trong đó:
: Thời gian va chạm.
m: Khối lƣợng của chất điểm


F
: Lực va chạm.

 
V V
o
,
: Vận tốc của chất điểm trƣớc và sau khi va chạm.


9
Từ phƣơng trình cơ bản (1.1.1) ngƣời ta đã thiết lập đƣợc định lý mômen
động lƣợng, phƣơng trình tổng quát của lý thuyết va chạm, phƣơng trình
Lagrange loại 2, Tuy nhiên với những giả thiết cơ bản của lý thuyết va chạm
cổ điển không đủ để giải các bài toán va chạm. Vì vậy cần phải đƣa vào sự
tƣơng ứng phụ thuộc đƣợc xác định thông qua các thí nghiệm thực tế.
Năm 1687, lần đầu tiên nhà bác học Niutơn đã đƣa ra khái niệm hệ số khôi
phục k. Hệ số này lúc đầu chỉ đƣợc coi là phụ thuộc vào vật liệu cấu tạo nên các

vật thể va chạm, sau này nhờ sự đo đạc và tính toán quá trình dao động của
Gayton và Tem đã cho thấy rằng hệ số k còn phụ thuộc vào khối lƣợng, hình
dạng và vận tốc tƣơng đối của các vật thể va chạm.
Năm 1724, nhà bác học Ricát đã nghiên cứu kết quả của các nhà khoa học
về lý thuyết va chạm, ông đặc biệt chú ý tới các đặc trƣng vật lý, cơ học của các
vật thể va chạm và phân chia quá trình va chạm thành hai pha sau:
 Pha đầu là giai đoạn biến dạng của các vật thể va chạm.
 Pha thứ hai là giai đoạn biến dạng khôi phục lại hình dạng của các vật
thể va chạm.
Hệ số khôi phục k đƣợc xác định bằng công thức sau:
k =
U U
V V
2 1
2 1


=
S
S
2
1
(1.1.2)
Trong đó:
S
1
, S
2
: Xung lực va chạm ở pha đầu và pha cuối của va chạm tƣơng ứng.
- Khi vật thể hoàn toàn dẻo ta có: k = 0.

- Khi vật thể hoàn toàn đàn hồi ta có: k = 1.
- Khi vật thể không hoàn toàn đàn hồi ta có: 0  k  1.
Lý thuyết va chạm cổ điển đóng vai trò lớn trong sự phát triển khoa học về
va chạm nhƣng lý thuyết này đã không giải thích đƣợc hiện tƣợng biến dạng vị
trí ở tại vùng tiếp xúc giữa các vật thể va chạm, mặt khác lý thuyết va chạm cổ
điển này chỉ gần đúng với thực tế.
Để chính xác hóa nghiệm của bài toán này phụ thuộc vào độ chính xác của
hệ số khôi phục nhƣng hệ số khôi phục lại phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố khác.
Lý thuyết va chạm cổ điển đƣợc giới hạn bằng việc xét hiệu ứng tích phân ở
pha đầu và pha cuối mà không xét đến quá trình của thời gian va chạm.
Các tồn tại của lý thuyết va chạm cổ điển sẽ đƣợc nghiên cứu và giải quyết
triệt để dựa trên cơ cở lý thuyết biến dạng vị trí và lý thuyết sóng hay tổng hợp
của hai lý thuyết đó.


10
1.2 Lý thuyết biến dạng vị trí
Vào năm 1881, Hec đã thay việc xét hiệu ứng tích phân ở cả hai pha của quá
trình va chạm bằng việc nghiên cứu quá trình va chạm và đã đƣa ra bài toán ứng
suất vị trí đƣợc sinh ra khi có tác dụng va chạm giữa các vật thể đàn hồi. Tuy
nhiên đây mới chỉ đề cập đến bài toán tĩnh, sau đó Hec đã mở rộng miền áp
dụng cho các bài toán động lực học của các vật thể đàn hồi sau khi bổ sung thêm
giới hạn phụ nhƣ: cho biết vận tốc tƣơng đối của các vật thể.
Sau đó Luariê và Staerơman với sự nghiên cứu sâu sắc của bài toán tiếp xúc
đã chỉ ra rằng cách đặt bài toán va chạm là không xác định và nghiệm của Hec là
một trong số nhiều nghiệm thoả mãn hệ phƣơng trình của bài toán va chạm.
Trƣớc hết ta trình bài nghiệm bài toán tĩnh học của Hec, sau đó sẽ xét tới nghiệm
của bài toán động lực học.
Đầu tiên để nghiên cứu nghiệm của bài toán tĩnh học, Hec đã đề ra các giả
thiết sau:

 Hai vật thể đàn hồi không đặt tải trọng.
 Các vật thể tiếp xúc với nhau tại một điểm.
 Mặt của các vật thể ở tại vùng lân cận điểm tiếp xúc có pháp tuyến và độ
cong nhất định.
 Coi những điểm tiếp xúc là những điểm elip của các vật thể.
 Hệ lực hoạt động tác dụng lên mỗi vật thể có hợp lực hƣớng theo pháp
tuyến ngoài đối với mỗi mặt của vật thể này ở tại điểm tiếp xúc với vật thể thứ
hai.
 Hệ vật thể ở trạng thái cân bằng dƣới tác dụng của hệ lực hoạt động và
phản lực đàn hồi đặt lên vật thể ở vùng chịu nén.
Từ các giả thiết trên, với điều kiện cân bằng tĩnh học ta có:

p x y d P( , )
( )




(1.2.1)
Ở đây:
P : Hợp lực nén của vật thể.
p(x,y) : áp lực phân bố theo vùng nén.
 : Diện tích vùng nén (chƣa xác định).
Phƣơng trình (1.2.1) đƣợc gọi là phƣơng trình cơ bản thứ nhất của lý thuyết
cổ điển về sự tác dụng tƣơng hỗ lẫn nhau khi va chạm.
Phƣơng trình thứ hai đƣợc xác định khi xét tới các điều kiện động học của
bài toán và ta có:


11

A
p(x'
r
, ')
' ' ( , )
( )
y
dx dy f x y



 
(1.2.2)
Với:
A =
 
1 2

.
r =
(x -x') + (y - y')
2 2



 
  
1
1 1

1 1 1
2
4


( )
;

 
  
2
2 2
2 2 2
2
4


( )


Trong đó:
 
i i
,
: là các hằng số Lame đối với các vật cụ thể.
 
1 2
,
: Là hệ số dịch chuyển tịnh tiến của vật thể sinh ra khi bị nén
Dựa vào lý thuyết thế năng của Niutơn ta có giải ra :

 = k.p
2/3
Nghiệm của bài toán tiếp xúc Hec là , p(x,y) chúng phụ thuộc vào miền 
và biên của nó cho hệ phƣơng trình (1.2.1) và (1.2.2) là không xác định và
nghiệm của bài toán là không duy nhất.
Để bài toán tiếp xúc có nghiệm duy nhất có thể thực hiện bằng hai cách sau:
+ Bổ xung giả thiết phụ để hệ phƣơng trình là xác định và cho nghiệm duy
nhất.
+ Kiểm tra bằng thực nghiệm, các nghiệm tìm đƣợc của bài toán tiếp xúc sao
cho các nghiệm đó phù hợp với thực tế.
Ngƣời tổng quan lý thuyết biến dạng của Hec là Staerơman, ông đã coi miền
tiếp xúc  là đa thức bậc 2n và ông đã giải ra đƣợc
1n2
n2
p.k



Do đó nghiệm của Hec sẽ trùng với nghiệm của Staerơman nếu thay n=1.
1.3 Lý thuyết sóng
Vào năm 1881 các thực nghiệm của Bôndơman đã xác đƣợc sự mất động
năng của các thanh cùng khối lƣợng, chiều dài khác nhau và chuyển động tịnh
tiến sau khi va chạm. Điều này cho ta thấy rằng vật liệu của vật thể là đàn hồi,
cho nên với giả thiết vật thể va chạm là rắn tuyệt đối sẽ không đúng với thực tế.
Vào năm 1823 Naviê đã xét bài toán va chạm dọc của vật rắn vào thanh đàn
hồi với giả thiết: “Vật rắn không tách rời thanh ít nhất với sự trôi đi của nửa chu
kỳ dạng dao động cơ bản của thanh”.


12

Nghiệm của Naviê đƣợc viết dƣới dạng cấp số vô hạn, điều này không thuận
lợi cho việc áp dụng vào thực tế vì cấp số có đƣợc sự hội tụ chậm.
Lý thuyết va chạm dọc của thanh đàn hồi hiện nay dựa vào cơ sở các kết quả
nghiên cứu của Sanhvơnăng và Bútxinet. Sự nghiên cứu này đã tìm đƣợc nghiệm
tổng quát của bài toán mà Naviê đã đề ra dƣới dạng cho phép áp dụng vào thực
tế. Nhƣng lý thuyết va chạm dọc của Sanhvơnăng thƣờng chƣa thoả nãm với
thực tế. Để khắc phục điều này đã đƣợc Timôxencô chỉ ra bằng thực nghiệm.
Nguyên nhân là ở chỗ Sanhvơnăng cũng nhƣ Naviê đã coi mặt tiếp xúc giữa các
vật thể là nhẵn lý tƣởng vuông góc với trục thanh.
Sự gồ ghề của các mặt tiếp gây ra sự sai lệch lớn đối với hiện tƣợng va chạm
ở trƣờng hợp các thanh ngắn va chạm, để thực hiện gần đúng sơ đồ nghiệm bài
toán đối với điều kiện thực tế của thực nghiệm và các tài liệu lý thuyết, nhà
nghiên cứu khoa học Sia đã nghiên cứu sự va chạm của thanh với tiết diện đầu
hình cầu với thanh đầu phẳng.
Nhà khoa học Sia đã giả thiết rằng ở đầu thanh va chạm sự phân bố ứng suất
tuân theo lý thuyết biến dạng vị trí của Hec và từ khoảng cách nào đó cách các
đầu thanh va chạm sự phân bố ứng suất đƣợc xác định theo lý thuyết truyền sóng
của Sanhvơnăng. Nhƣ vậy Sia đã giải quyết trọn vẹn bài toán này vì ông đã
không chỉ chú ý đến biến dạng vị trí của các vật thể va chạm mà còn chú ý đến
sự liên hệ giữa biến dạng của các vật thể va chạm với dao động đàn hồi của
thanh.
Lý thuyết va chạm là tổng hợp bởi lý thuyết biến dạng vị trí và lý thuyết
truyền sóng. Do đó, nhờ lý thuyết này mà ta xác định đƣợc thời gian va chạm và
các thông số đặc trƣng cho va chạm giữa các vật thể.
1.4 Ứng dụng lý thuyết va chạm vào bài toán đóng cọc
Dựa vào lý thuyết va chạm tự do giữa hai vật thể đàn hồi và nguyên lý cân
bằng Công khi đóng cọc, nhiều nhà nghiên cứu đã đƣa ra các công thức động
khác nhau để xác định sức chịu tải của cọc nhƣ công thức của: Crandall,
Gherxevanop, Hiley, Redtenbacher và Hollandais. Tuy nhiên hiện tại các công
thức đang đƣợc sử dụng nhiều là công thức của Hollandais và Crandall.

Việc xác định sức chịu tải của cọc theo phƣơng pháp này đơn giản và đỡ tốn
kém hơn nhiều so với phƣơng pháp nén tĩnh. Vì vậy hầu nhƣ công trình móng
cọc nào cũng có thể tiến hành đóng thử cọc đƣợc, qua việc đóng thử cọc ta xác
định đƣợc các thông số, các thông số này là kết quả để ta có thể kiểm tra và sửa
đổi lại thiết kế. Tuy nhiên trị số sức chịu tải của cọc xác định theo các công thức
động đều không phù hợp với kết quả thí nghiệm bằng tải trọng tĩnh vì một số
nguyên nhân sau:
 Thông thƣờng tất cả các công thức động đều áp dụng lý thuyết va chạm
của Niutơn. Lý thuyết này chỉ áp dụng cho va chạm tự do giữa hai vật thể rắn
tuyệt đối vì vậy đem nó áp dụng cho sự va chạm giữa búa và cọc thì không


13
thể nào đƣa đến kết quả chính xác đƣợc. Chính vì lẽ đó mà Niutơn đã nói
rằng: “ lý thuyết va chạm của tôi không nên áp dụng cho sự va chạm nhƣ kiểu
va chạm giữa búa và đe.
 Trong các công thức động đều có một số hệ số kinh nghiệm. Do đó việc
xác định chính xác các hệ số này là hết sức khó khăn khi ứng dụng tính toán.
 Việc đƣa vào các giả thiết với mục đích chỉ làm đơn giản các công thức
động dẫn đến những điều bất hợp lý nhƣ đƣợc thể hiện ở trong công thức của
Gherxevanop với giả thiết về độ nẩy lên của búa có h=0 nhiều khi dẫn đến sai
số rất lớn.
Để khắc phục những tồn tại nêu trên, trên cơ sở các tiến bộ về lý thuyết va
chạm dọc của thanh đàn hồi vào năm 1948, Gherxevanop đã áp dụng lý thuyết
truyền sóng một chiều để xác định lực chống của cọc. Liên tiếp các công trình
của Vatxilépki đã dựa vào lý thuyết truyền sóng để nghiên cứu trạng thái ứng
suất của cọc.
E.A. Smith là ngƣời đầu tiên áp dụng lý thuyết sóng cơ học để phân tích
động một cọc tại các nƣớc phƣơng tây, sau đó phƣơng pháp này của Ông đã
đƣợc công ty Raymond phát triển và ứng dụng vào thực tiễn.

Việc ứng dụng sóng ứng suất đã đƣợc nghiên cứu và phát triển tại trƣờng
Đại học Case ở Clevelandz thuộc United states of American do giáo sƣ Goble
phụ trách vào giữa năm 1960. Từ kết quả nghiên cứu đã sản xuất ra đƣợc thiết bị
chuyên dùng mà nó thu thập và phân tích đƣợc kết quả đo. Ngày nay, việc ứng
dụng trƣờng ứng suất để phân tích đồng bộ một cọc đƣợc phát triển rộng rãi trên
thế giới.
Ở Việt nam từ năm 1971 trở lại đây đã có nhiều cơ sở nhƣ: Trƣờng đại học
Thuỷ lợi, Viện nghiên cứu khoa học công nghệ xây dựng, trƣờng đại học Xây
dựng, học viện kỹ thuật quân sự và viện Cơ học đã nghiên cứu các bài toán về
va chạm dọc của thanh đàn hồi với điều kiện biên khác nhau, đồng thời đã ứng
dụng lý thuyết này vào bài toán đóng cọc trong điều kiện địa chất nền đồng nhất
và nền không đồng nhất để chọn đầu búa và đệm đầu cọc nhằm đóng cọc đƣợc
an toàn và hiệu quả kinh tế.
1.5 Nhận xét
Lịch sử phát triển lý thuyết va chạm cùng với những kiến thức khoa học cơ
sở đã giúp cho tác giả có những hiểu biết tổng quan trƣớc khi nghiên cứu một số
bài toán cụ thể của chƣơng 2.





14






15

Chƣơng 2
LÝ THUYẾT VA CHẠM DỌC CỦA VẬT RẮN
VÀO THANH ĐÀN HỒI
2.1 Phương trình chuyển động của thanh và bài toán biên
2.1.1 Phương trình chuyển động của thanh
Khi xét dao động dọc của thanh ta sử dụng giả thiết sau:
+ Các tiết diện của thanh vẫn vuông góc với trục thanh là phẳng trong suốt
quá trình biến dạng.
+ Bỏ qua năng lƣợng của những phần tử chuyển động vuông góc với trục
thanh.
m m’ m m’



P(x)

P(x+x)
n n’ n n’
Hình 2.1 Xét một phân tố thanh
Gọi U là độ dịch chuyển dọc trục của tiết diện x tại thời điểm t.
+ Lực kéo dọc tại tiết diện m-n sẽ là:

P x EF
U
x
( ) 



+ Lực kéo tại tiết diện m’-n’ sẽ là:

P(x+x)=
P x
U
x
dx( ) 


=
EF
U
x
U
x
dx( )





2
2

Lực quán tính của phân tố thanh mnm’n’ là:
Fqt = F


2
2
U
t

dx

Trong đó  là khối lƣợng riêng vật liệu thanh.
Áp dụng nguyên lý Đalămbe ta có phƣơng trình chuyển động của thanh là:
-F


2
2
U
t
dx
-
EF
U
x


+
EF
U
x
U
x
dx( )






2
2
=0
Rút gọn ta đƣợc:


2
2
U
t
= a
2



2
2
U
x
(2.1.1)


16

Trong đó:
a=
E

là vận tốc truyền sóng trong thanh đàn hồi.
2.1.2 Các điều kiện của bài toán.

Để xác định chuyển động của thanh ta phải thiết lập bài toán biên tức là ta
phải giải phƣơng trình (2.1.1) với điều kiện đầu và điều kiện biên nhƣ sau:
 Điều kiện đầu của bài toán:
Vị trí tiết diện ngang và vận tốc của thanh ở thời điểm đầu (t=0) là các hàm
số đã biết của toạ độ x:
U(0,x) = f(x),


U x
t
( , )0
=
f
1
(x) (2.1.2.1)
 Điều kiện biên của bài toán:
+ Nếu đầu thanh (x=0) bị ngàm chặt ta có : U(t,0) = 0 (2.1.2.2)
+ Nếu đầu thanh (x=L) bị ngàm chặt ta có : U(t,L) = 0 (2.1.2.3)
+ Nếu hai đầu thanh chuyển động thì điều kiện biên sẽ là :
U(t,0) =(t) ; U(t,L) =
1
(t) (2.1.2.4)
2.2 Phương pháp lan truyền sóng
Muốn xác định đƣợc chuyển động của thanh ta phải giải phƣơng trình
(2.1.1) theo điều kiện đầu và điều kiện biên. Để giải phƣơng trình này ngƣời ta
có thể dùng phƣơng pháp tách biến hoặc phƣơng pháp lan truyền sóng.
Ở đây ta giải phƣơng trình (2.1.1) bằng phƣơng pháp lan truyền sóng cho
trƣờng hợp dao động tự do của thanh bằng cách đổi biến, dùng biến số mới.
Đặt biến số mới:  = at - x và = at + x
hay : x =

1
2
( - ) ; t =
1
2a
( + )

Theo trên, hàm số dịch chuyển U phụ thuộc vào x và t. Bây giờ ta biểu thị
hàm U qua các biến mới là  và , sử dụng qui luật vi phân của hàm số phức
hợp ta có:


2
2
U
t
- a
2



2
2
U
x
=4a
2




2
U

Từ phƣơng trình (2.1.1) ta có:


17


2
U
= 0 hay




U






=0
Từ đó 


U
không phụ thuộc vào  mà chỉ phụ thuộc vào . Đặt




U
Q ( )

Sau khi thay



U
Q ( )
và tích phân biểu thức này ta có:
U =
Q d( ) ( )
   



Ta đặt () =
Q d( )
 


Hàm dịch chuyển U đƣợc viết dƣới dạng:
U = () + ()
Đổi qua biến cũ ta có:
U = (at - x) + (at + x) (2.2.1)
Trong đó  và  là các hàm số phụ thuộc vào biến số t và x.
Biểu thức (2.2.1) là nghiệm tổng quát của phƣơng trình chuyển động của
thanh đàn hồi theo Đalămbe.

Đối với mỗi bài toán cụ thể, với điều kiện đầu và điều kiện biên đã cho thì ta
sẽ tìm đƣợc nghiệm cụ thể của bài toán.
Ý nghĩa vật lý của bài toán đƣợc thể hiện rõ ràng nhƣ sau:
 Số hạng thứ nhất (at - x) là sóng dịch chuyển truyền dọc thanh theo
hƣớng của trục x với vận tốc a ( Hình 2.1).
 Số hạng thứ hai (at + x) là sóng dịch chuyển truyền dọc thanh theo
hƣớng ngƣợc lại với trục x, với cùng vận tốc a.
Vậy chuyển động của thanh có thể coi nhƣ là kết quả tổng hợp của hai sóng
chuyển động dọc thanh và ngƣợc hƣớng nhau.


18
2.3 Mt vi bi toỏn v va chm dc ca vt rn vo thanh n hi
2.3.1 Va chm dc ca vt rn vo thanh n hi t do.
Bi toỏn ó c Sanhvnng nghiờn cu bng phng phỏp ca Buxinnhic,
nghim tỡm c di dng hm liờn tc tng khỳc i vi vi khong giỏ tr ca
bin s. Sau ú Nhicụlai l ngi tip tc ý tng ca Xanhvnng v tỡm c
nghim bi toỏn di dng gii tớch trong ton khong.

x



V
o


O
Hình 2.2 Va chạm dọc của vật rắn vào thanh đàn hồi tự do
Ph-ơng trình vi phân chuyển động của thanh là.

2
2
U
t
= a
2



2
2
U
x

Xột iu kin u v iu kin biờn ca bi toỏn.
U(O,x) = 0;


U
t
= 0 Vi 0 x L ( 2.3.1.1)



U
t
= -Vo Vi x = L (2.3.1.2)
Trong ú:

L : Chiu di thanh
Vo : Vn tc ban u ca vt th va chm.
ti u b va chm (x=L) ca thanh, lc quỏn tớnh ca vt th va chm s
cú giỏ tr l:
F
qt
=
x
LtU
EF
tg
LtUQ




),(),(
2
2

(2.3.1.3)
Trong ú:
Q: Trng lng ca vt th va chm.
F: Din tớch tit din ngang ca thanh.
Ta ký hiu t s gia trng lng ca vt th va chm Q v trng lng
thanh Q
1
=FL l m, tc l Q=mQ
1
dn n h thc sau:

mL
x
LtU
a
t
LtUQ




),(),(
2
2
2

(2.3.1.4)


19
Điều kiện biên ở đầu tự do của thanh có dạng:



U t
x
( , )0
0
(2.3.1.5)
Nghiệm của (2.1.1) theo Đalămbe có dạng.
U=(at - x) + (at + x)

Đạo hàm hệ thức trên theo thời gian (t) và x ta có:



U
t
=a[’(at - x) + ’(at + x)] (2.3.1.6)



U
x
=-’(at - x) + ’(at + x) (2.3.1.7)
Với x=0, theo điều kiện biên ta có:



U t
x
( , )0
=-’(at) + ’(at) = 0 (2.3.1.8)
Hay ’(at) = ’(at)
Vậy ’(at-x) = ’(at-x)
Ta tích phân đẳng thức trên và loại bỏ các hằng số ta có:
(at - x) = (at - x)
Vậy đẳng thức (2.2.1) có thể viết:
U=(at - x) + (at + x)
Với t=0 ta có:



U t
t
a
( , )0

[’(x) + ’(-x)] = 0
Hay: ’(x) + ’(-x) = 0 (2.3.1.9)
Mặt khác từ đẳng thức (2.3.1.5) ta có:
’(x) - ’(-x) = 0
Suy ra ’(x) =0 ; ’(-x) = 0 với (0  x  L)
Hay nói cách khác nếu ta thay biến số x bằng biến mới (z) ta có:
’(z) = 0 với (-L < z < L)
Tích phân hệ thức (2.3.1.9) và loại bỏ các hằng số ta có:
(-x) -  (x) = 0


20
Theo điều kiện đầu: U(0,x) = (-x) +  (x) = 0
Từ đó suy ra: (-x) =  (x) = 0 với (0  x  L)
Do đó: (z) = 0 với (-L < z < L) (2.3.1.10)
Khi sử dụng điều kiện (2.3.1.4) ta có:
mLa
2
[’’(at - L) + ’’(at + L)] = -a
2
[-’(at - L) + ’(at + L)]
Để đơn giản ta đặt: z=at+L ; Phƣơng trình trên có nghiệm đƣợc viết dƣới
dạng sau:
’(z) =C
e

z
mL

+
e
z
mL


e
z
mL

[-’(z - 2L) +
1
mL
’(z - 2L)]dz
với (L <z< 3L) (2.3.1.11)
Từ điều kiện ban đầu ta có:
’(z)=-
Vo
a
e
z L
mL


(2.3.1.12)
Tích phân lên ta đƣợc:
(z)=-

mLVo
a
e
z L
mL


+
C
1

Dựa vào tính chất hàm liên tục của hàm U(t,L) và điều kiện đầu ta có:
U(t,L) = (0+L) = 0
Do đó
C
1
= -
mLVo
a

Vậy (z)= - mL[
Vo
a
-
Vo
a
e
z L
mL



]
Hay nói cách khác:
U = (at + x) = - mL[1 -
e
z L
mL


]
Vo
a

Với khoảng (3L < x < 5L) ta lý luận tƣơng tự nhƣ trên và có kết quả nhƣ
sau:
’(z)= C
e
z
mL

-
2
3
Vo
mLa
z L( )
e
z L
mL




Dựa vào tính liên tục của vận tốc tại x=L ta có thể xác định đƣợc hằng số C
nhƣ sau:
C = -
Vo
a
[
e
m
1
-
e
m
3
]


21
Do đó: ’(z)= -
Vo
a
e
z L
mL


+
Vo
a

[1 -
2
mL
(z-3L)]
e
z L
mL

3

Tại tiết diện x=L, biến dạng tƣơng đối sẽ là:


U
x
= - ’(at - L) + ’(at + L)
Khi at < 2L ta có:


U
x
= -
Vo
a
e
at
mL

< 0
Nghĩa là với at<2L thì vật thể va chạm và thanh còn tiếp xúc với nhau. Nếu

at>2L ta có:


U
x
= -
Vo
a
e
at L
mL

2
-
Vo
a
e
at
mL

+
Vo
a
[1 -
2
mL
(at-2L)]
e
at L
mL


2

Khi thay at=2L+0 ta có:



U L t
x
( , )2 0
= - ’(at - L) + ’(at + L) =
Vo
a
(2 -
e
m

2
) > 0
Điều đó có nghĩa là tại thời điểm t=
2L
a
thanh tách rời khỏi vật, hiện tƣợng va
chạm kết thúc với t=
2L
a
.
2.3.2 Va chạm dọc của vật rắn vào thanh đàn hồi, đầu kia của thanh
ngàm chặt
Phƣơng trình vi phân chuyển động của thanh là:



2
2
U
t
= a
2



2
2
U
x

x



V
o


O
Hình 2.3 Va chạm dọc của vật rắn vào thanh ngàm một đầu
Điều kiện đầu của bài toán:
U(0,x) = 0 ;



U x
t
( , )0
=0 với 0<x<L (2.3.2.1)



U t L
t
( , )
= - Vo với x=L (2.3.2.2)


22
Điều kiện biên của bài toán:
- Tại đầu thanh gắn chặt U(0,x) = 0.
Lực quán tính của vật tác dụng lên đầu thanh tự do cho nên với x=L ta có:
EF


U
x
x L
= -
Q
g


2
2

U
x
x L

Tƣơng tự nhƣ trên, điều kiện biên tại đầu bị va chạm có dạng:
mL


2
2
U t L
t
( , )
= - a
2



2
2
U t L
x
( , )
(2.3.2.3)
Nghiệm tổng quát của phƣơng trình (2.1.1) là:
U = (at) + (at) = 0 (2.3.2.4)
Dựa vào điều kiện tại đầu thanh bị gắn chặt ta có:
U = (at) + (at) = 0 (2.3.2.5)
Do đó:
-(at + x) = (at + x)

Vậy U = (at - x) - (at + x) (2.3.2.6)
Sử dụng điều kiện đầu và điều kiện biên ta xác định đƣợc hàm  và .
- Từ điều kiện đầu ta có:

U x x x
U
X
x x
U
t
a x a x
t
( ) ( ) ( )
'( ) '( )
'( ) '( )
   
    
   










 



 


 
0
0
0
0
với (0<x<L) (2.3.2.7)
Từ 2 đẳng thức cuối ta có:
’(- x) = 0 và ’(x) = 0 với (0<x<L)
Nếu ta thay biến X bằng biến z ta có:
’(z) = 0 với (-L,z<L) (2.3.2.8)
Do đó trên đoạn (-L,L) thì (z) = const.
Với điều đó, các hệ thức của (2.3.2.7) thoả mãn và ta lấy hằng số này bằng
không.
Bây giờ ta xét điều kiện (2.3.2.3), sau khi thay (2.3.2.6) vào điều kiện này ta
có:
mL[’’(at - L) - ’’(at + L)] = ’(at - L) + ’(at + L)


23
Đặt at +L = z, phƣơng trình trên đƣợc viết nhƣ sau:
’’(z) +
1
mL
’(z) = ’’(z-2L) -
1
mL

’(z-2L) (2.3.2.9)
Các phƣơng trình (2.3.2.8) và (2.3.2.9) cho phép ta xây dựng hàm (z) chƣa
biết đƣợc liên hệ với các giá trị của chúng trong 2 khoảng liên tiếp.
Nếu các giá của (z) trên khoảng (2n-1)L<z<2nL đã biết thì vế phải của
phƣơng trình (2.3.2.9) sẽ đƣợc biết trong khoảng 2nL<z<(2n+1)L.
Tích phân phƣơng trình (2.3.2.9) ta có:
’(z) =
C
n
e
z
mL

+
e
z
mL


e
z
mL
[’’(z - 2L) -
1
mL
’’(z - 2L)]dz (2.3.2.10)
Trong đó:
C
n
: hằng số tích phân.

Bây giờ ta sẽ xây dựng hàm ’(z) khi chuyển từ 1 tích phân trƣớc đến một
tích phân sau. Từ phƣơng trình (2.3.2.8) xác định ’(z) trong khoảng (-L,L).
Sau khi sử dụng phƣơng trình (2.3.2.10) ta sẽ tìm đƣợc ’(z) trong khoảng
(L,3L), trong khoảng này vế phải của phƣơng trình (2.3.2.10) sẽ bằng 0.
Từ phƣơng trình (2.3.2.10) ta có:
’(z) =
C
1
e
z
mL

với (L<z<3L)
Để xác định hằng số C1 ta sử dụng điều kiện (2.3.2.2) và (2.3.2.6), ta có:
a[’(-L+0) - ’(L+0)] = -Vo
Trên cơ sở từ công thức (2.3.2.10), số hạng thứ nhất ở trong ngoặc sẽ bằng
0, từ đó ta suy ra:
’(L+0) =
Vo
a
=
C
1
e
L
m



C

1
=
Vo
a
e
L
m
(2.3.2.11)
Do đó: ’(z) =
Vo
a
e
z L
mL


với (L<z<3L) (2.3.2.12)
Bây giờ ta có thể xác định đƣợc hàm ’(z) trong khoảng (3L,5L).
ở đây ’(z-2L) =
Vo
a
e
z L
mL

3
, thay phƣơng trình này vào phƣơng trình (2.3.2.9)
ta đƣợc :

24
’’(z) +
1
mL
’(z) = -
2
mL
Vo
a
e
z L
mL

3

Nghiệm tổng quát của phƣơng trình này có dạng:
’(z) =
C
2
e
z
mL

-
2
mL
Vo
a
(z-3L)
e

z L
mL

3
với (3L<z<5L)
(2.3.2.13)
Trong đó hắng số
C
2
đƣợc xác định từ điều kiện liên tục của vận tốc đầu
thanh (X=L) trong thời gian va chạm.
Nhƣ vậy ta có thể tìm đƣợc các hằng số
C
n
với điều kiện liên tục về sau của
hàm ’(z), ta nhận đƣợc dạng tổng quát điều kiện liên tục của vận tốc ở đầu
thanh bị va chạm


U
t
x L
. Các điều kiện này cho phép ta xác định hằng số
C
n
.
Từ (2.3.2.7) ta có:

1
a

( )


U
t
x L
= ’(at-L) - ’(at+L) (2.3.2.14)
Thay t=
2
0
nL
a

vào (2.3.2.14) ta đƣợc:

1
a
( )


U
t
t
nL
a
 
2
0
= ’[(2n-1)L -0] - ’[(2n+1)L -0] (2.3.2.15)
Thay t=

2
0
nL
a

vào (2.3.2.15) ta đƣợc:

1
a
( )


U
t
t
nL
a
 
2
0
= ’[(2n-1)L +0] - ’[(2n+1)L +0] (2.3.2.16)
Dựa vào tính chất liên tục của vận tốc tại đầu tự do của thanh ta xây dựng
đƣợc đẳng thức sau:
’[(2n-1)L -0] - ’[(2n+1)L -0] = ’[(2n-1)L +0] - ’[(2n+1)L +0]
 ’[(2n-1)L +0] - ’[(2n-1)L -0] = ’[(2n+1)L +0] - ’[(2n+1)L -0]
(2.3.2.17)
Đẳng thức (2.3.2.17) xác định đƣợc tính chất của hàm ’(z), nếu ’(z) liên
tục gián đoạn loại 1 với z=(2n-1)L thì các bƣớc nhảy có giá trị giống nhau.
Ta có thể chứng minh sự gián đoạn liên tục này là thực tế tồn tại và tìm đƣợc
giá trị chung của bƣớc nhảy ’(z) với z=(2n-1)L.

Khi quay lại kết quả của phƣơng trình (2.3.2.11), xuất phát từ điều kiện đầu
(2.3.2.1) ta có:


25
’(L+0) =
Vo
a
(2.3.2.18)
Mặt khác từ phƣơng trình (2.3.2.8) ta có:
’(L-0) =0 (2.3.2.19)
Bây giờ ta có thể tìm đƣợc giá trị chung bƣớc nhảy của hàm ’(z) với z=(2n-
1)L.
’(L+0) - ’(L-0) = ’[(2n-1)L +0] - ’[(2n-1)L -0] =
Vo
a
(2.3.2.20)
Điều kiện (2.3.2.20) cho phép xác định liên tiếp các hằng số
C
n
ở đẳng thức
(2.3.2.10) ta có:
C
2
=
Vo
a
(
e
m

3
+
e
m
1
)
thay giá trị
C
2
vào (2.3.2.13) ta đƣợc
’(z) =
Vo
a
e
z L
mL


+
Vo
a
[1 -
2
mL
(z-3L)]
e
z L
mL

3

(2.3.2.21)
Sau khi xác định đƣợc ’(z) trong khoảng (3L,5L), ta sử dụng đẳng thức
(2.3.2.9) và (2.3.2.20) thì sẽ tìm đƣợc hàm ’(z) trong khoảng (5L,7L). Đối với
điều kiện đó ta sẽ xác định đƣợc biểu thức dƣới dấu vi phân trong đẳng thức
(2.3.2.9).
’’(z-2L)-
1
mL
’(z-2L)=-
2Vo
mLa
(
e
z L
mL

3
+2
e
z L
mL

5
)+
4
2 2
Vo
m L a
(z-5L)
e

z L
mL

5

Khi dùng phƣơng trình (2.3.2.9) với 5L<z<7L ta có:
’(z) =
C
3
e
z
mL

-
Vo
mLa
(
e
z L
mL

3
+2
e
z L
mL

5
)+
Vo

m L a
2 2
(z-5L)
e
z L
mL

5
(2.3.2.22)
Để xác định hằng số
C
3
lần nữa ta chú ý đến đẳng thức (2.3.2.9) và ’(z)
trong khoảng (3L,5L) ta có:
C
3
=
Vo
a
[
e
m
1
+ (1 -
4
m
)
e
m
3

+
e
m
5
]
Dƣới đây là biểu thức ’(z) trong khoảng (5L,7L):
’(z)=
Vo
a
e
z L
mL


+
Vo
a
[1-
2
mL
(z-3L)]
e
z L
mL

3
+
Vo
a
[1-

4
mL
(z-5L)+
2
2 2
m L
(z-5L)
2

e
z L
mL

5
]
Ta xác định ’(z) từ (2.3.2.8).


26
 (z) = C với (-L<z<L)
Đặt (z) = 0 với (-L<z<L) (2.3.2.23)
Trên cơ sở các định lý tổng quát về va chạm của vật rắn ta có thể nhận xét:
Dịch chuyển tại đầu tự do của thanh (Ux=L) phải là hàm số liên tục của thời
gian, ta có:
Ux=L = (at - L) - (at + L) = (z - 2L) - (z) (2.3.2.24)
tiếp tục ta có:
U
x L
t


0
= (-L+0) - (L+0)
thoả mãn đẳng thức: U
x L
t

0
= - (L+0)
Từ các điều kiện liên tục Ux=L và các điều kiện đầu ta có
(L+0) = 0 (2.3.2.25)
ta đặt t=
2L
a
-0 khi đó ta có:
U
x L
t
L
a

 
2
0
= (L-0) - (3L-0) = -(3L-0) (2.3.2.26)
Vậy từ biểu thức (2.3.2.25) ta có:
U
x L
t
L
a


 
2
0
= (L+0) - (3L+0) = - (3L+0)
Từ điều kiện liên tục ta rút ra:
(3L-0) = (3L+0) (2.3.2.27)
Rõ ràng có thể có đƣợc đối với các giá trị bất kỳ t=
2nL
a
0 (n=1,2,3, ) nằm
trong khoảng thời gian va chạm. Ta giới hạn các sự phụ thuộc tìm đƣợc
(2.3.2.23) và (2.3.2.27) để xác định (z) trong khoảng (L,3L) và (3L,5L).
Việc xác định (z) trong các khoảng tiếp theo đƣợc thực hiện tƣơng tự nhƣ
xác định (z) ở trong hai khoảng đã chỉ ra ở trên.
Trên cơ sở các công thức (2.3.2.11) và (2.3.2.22) ta có:
(z) =
C'
2
-
mLVo
a
e
z L
mL


với (L<z<3L) (2.3.2.28)

27
(z)=
C'
2
-
mLVo
a
e
z L
mL


+
mLVo
a
e
z L
mL

3
+
2Vo
a
(z-3L)
e
z L
mL

3
với (3L<z<5L)

(2.3.2.29)
Tƣơng tự với đẳng thức (2.3.2.28) và (2.3.2.29) ta có:
(z)=
mLVo
a
(1-
e
z L
mL


)+
mLVo
a
[1+
2
mL
(z-3L)]
e
z L
mL

3
-
mLVo
a
[1+
2
2 2
m L

(z-
5L)
2
]
e
z L
mL

5
Với (5L<z<7L) (2.3.2.30)
Nếu xét cấu trúc của hàm ’(z) và (z) trên các khoảng khác nhau, ta rút ra
nhận xét sau: Sự chuyển tiếp từ khoảng nào đó đến khoảng tiếp sau sẽ kèm theo
sự xuất hiện ở thành phần hàm số ’(z) và tƣơng đƣơng với hàm số (z) một số
hạng mới nào đó, với sự bảo toàn các số hạng trƣớc. Việc nghiên cứu chi tiết
này sẽ cho phép ta xây dựng đƣợc biểu thức giải tích hàm số ’(z) thuận tiện đối
với khoảng tuỳ ý trong sự thay đổi biến số của hàm số.
Sau khi xác định hàm số ’(z) ta có thể hoàn toàn biết đƣợc trƣờng ứng suất,
biến dạng và trƣờng vận tốc trong thanh và thời gian va chạm của vật rắn vào
thanh đàn hồi.
2.4 Nhận xét
Nội dung Chƣơng 2 đã trình bày cơ sở lý thuyết va chạm dọc của vật rắn vào
thanh đàn hồi và phƣơng pháp lan truyền sóng.
Đối với bài toán cụ thể việc xây dựng mô hình và diễn giải sẽ đƣợc đề cập
trong chƣơng 3.