ĐỀ CƯƠNG MÔN HỌC CƠ SỞ HÌNH VI PHÂN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN



ĐỀ CƯƠNG MÔN HỌC
CƠ SỞ HÌNH VI PHÂN
1. Thông tin về giảng viên:
- Họ và tên: Phó Đức Tài
- Chức danh, học hàm, học vị: Tiến sĩ
- Thời gian, địa điểm làm việc: Các buổi sáng từ 7:00-11:30, tại Phòng bộ môn Đại
số-Hình học-Tôpô (Phòng 301 Nhà T3).
- Địa chỉ liên hệ: Bộ môn Đại số-Hình học-Tôpô, Khoa Toán-Cơ-Tin học
- Email:
- Các hướng nghiên cứu chính: Lý thuyết kì dị, Hình học đại số, Đại số máy tính.
2. Thông tin về môn học:
- Tên môn học: Cơ sở Hình vi phân
- Mã môn học:
- Số tín chỉ: 3
- Giờ tín chỉ đối với các hoạt động học tập:
+ Nghe giảng lý thuyết trên lớp. 30
+ Làm bài tập trên lớp: 14
+ Tự học: 1
- Đơn vị phụ trách môn học:
+ Bộ môn Đại số-Hình học-Tôpô
+ Khoa Toán-Cơ-Tin học
- Môn học tiên quyết: Giải tích nhiều biến, Đại số tuyến tính và Tôpô đại cương.
- Môn học kế tiếp: Hình vi phân.
3. Mục tiêu của môn học:
- Mục tiêu về kiến thức: Trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ bản về hình học
của đường và mặt trong R

3
.


- Mục tiêu về kĩ năng: Hướng dẫn cho sinh viên cách dùng phần mềm toán học
Maple để minh họa hình học và các tính toán liên quan đến hình học vi phân.
- Các mục tiêu khác: Trong quá trình học sẽ có một số bài tập lớn để sinh viên bắt
đầu làm quen với việc tự học và làm một dự án nhỏ theo nhóm.

2
4. Tóm tắt nội dung môn học:
Môn học này nhằm giới thiệu Hình học vi phân cổ điển, chủ yếu nghiên cứu về
hình học của đường và mặt trong R
3
thông qua các loại độ cong. Hình học vi phân
cổ điển gắn liền với các đối tượng hình học trong cuộc sống, các thực thể trong
không gian 2 hoặc 3 chiều. Hai chương đầu của môn học này bàn về đường cong
và mặt cong, nghiên cứu các tính chất hình học thông qua độ cong. Chương 3 nhằm
giới thiệu vấn đề tối ưu trong hình học, cụ thể là về đường trắc địa và mặt cực tiểu.
Chương cuối cùng bàn đến vấn đề hình học nội tại của mặt cong, tức là không cần
để ý đến không gian xung quanh. Chương này bao gồm hai định lý nổi tiếng: Định
lý đầu tiên của Gauss, thường được trích dẫn nguyên gốc tiếng Đức Theorema
Egregium (tạm dịch là: Định lý đáng chú ý), nói rằng độ cong Gauss là một bất
biến qua một phép đẳng cự. Định lý thứ hai mang tên Gauss-Bonnet, được cho là
một định lý đẹp nhất trong hình học vi phân cổ điển, nêu lên mối liên hệ giữa tôpô
(số Euler) và hình học (độ cong Gauss) của mặt compắc.
5. Nội dung chi tiết môn học:
Chương 1: Đường cong trong mặt phẳng và trong không gian
1.1 Đường cong phẳng
1.1.1 Khái niệm về đường cong; Độ dài cung

1.1.2 Tham số hóa
1.1.3 Độ cong
1.2 Đường cong trong không gian
1.2.1 Độ cong
1.2.2 Độ xoắn
1.2.3 Phương trình Frenet-Serret
1.3 Các tính chất toàn cục của đường cong
1.3.1 Đường cong đóng đơn
1.3.2 Bất đẳng thức đẳng chu
1.3.3 Định lý bốn đỉnh
1.4 Đường cong với Maple
Chương 2: Mặt cong trong không gian
2.1 Cơ sở về mặt cong
2.1.1 Khái niệm về mặt cong; mặt cong trơn
2.1.2 Mặt tiếp xúc; Pháp tuyến; Định hướng
2.1.3 Các ví dụ cơ bản về mặt cong
2.2 Dạng cơ bản thứ nhất
2.2.1 Độ dài cung trên mặt cong và dạng cơ bản thứ nhất

3
2.2.2 Phép đẳng chu giữa các mặt
2.2.3 Ánh xạ bảo giác và ánh xạ đẳng diện giữa các mặt
2.3 Các loại độ cong của mặt
2.3.1 Dạng cơ bản thứ hai
2.3.2 Độ cong chuẩn và độ cong chính
2.3.3 Độ cong Gauss và độ cong trung bình
2.3.4 Ánh xạ Gauss
2.4 Mặt cong với Maple
Chương 3: Đường trắc địa và mặt cực tiểu
3.1 Đường trắc địa

3.1.1 Khái niệm và các tính chất
3.1.2 Phương trình đường trắc địa; Đường trắc địa trên mặt tròn xoay
3.1.3 Hệ tọa độ trắc địa
3.2 Mặt cực tiểu
3.2.1 Bài toán Plateau
3.2.2 Các ví dụ về mặt cực tiểu
3.2.3 Mặt cực tiểu và hàm chỉnh hình
3.3 Đường trắc địa và mặt cực tiểu với Maple
Chương 4: Hình học nội tại của mặt cong
4.1 Định lý “Egregium” của Gauss
4.1.1 Định lý “Egregium” của Gauss
4.1.2 Các phép đẳng cự giữa các mặt
4.1.3 Phương trình Codazzi-Mainardi
4.2 Định lý Gauss-Bonnet
4.2.1 Định lý Gauss-Bonnet cho đường cong đóng đơn
4.2.2 Định lý Gauss-Bonnet cho đa giác cong
4.2.3 Định lý Gauss-Bonnet cho mặt compắc
6. Học liệu
6.1 Học liệu bắt buộc:
1. A. Pressley, Elementary differential geometry, Springer-Verlag, 2001. (Có bản
dịch tiếng Việt, giáo viên sẽ cung cấp).
2. J. Oprea, Differential geometry and its applications, Prentice Hall, 1997.
6.2 Học liệu tham khảo:

4
3. M. P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice Hall,
1976.
4. Đoàn Quỳnh, Hình học vi phân, NXB ĐHSP, 2003.
5. W. Kühnel, Differential Geometry: Curves - Surfaces - Manifolds, AMS, 2005.
7. Hình thức tổ chức dạy học:

7.1Lịch trình chung:
Nội dung
Hình thức tổ chức dạy học môn học
Tổng
Lên lớp
Thực hành,
thí nghiệm,
điền dã
Tự học, tự
nghiên
cứu
Lý thuyết Bài tập
Thảo
luận
Chương 1 8 4 0 0 0 12
Chương 2 8 4 0 0 0 12
Chương 3 8 3 0 0 1 12
Chương 4 6 3 0 0 0 9
Tổng 30 14 0 0 1 45
7.2 Lịch trình tổ chức dạy học cụ thể:
Tuần Nội dung chính
Yêu cầu sinh
viên chuẩn bị
Hình thức tổ
chức dạy học
Ghi chú
1 1.1 Đường cong phẳng Giảng trên lớp
2 1.2 Tham số hóa Bài tập §1.1 Giảng trên lớp
3 1.3 Tính chất toàn cục Bài tập §1.2 Giảng trên lớp
4

Chữa bài tập
Hướng dẫn Maple
Bài tập §1.3
SV cùng GV
Giảng trên lớp
Cần máy
chiếu
5 2.1 Cơ sở về mặt cong Giảng trên lớp
6 2.2 Dạng cơ bản thứ nhất Bài tập §2.1 Giảng trên lớp
7 2.3 Các loại độ cong Bài tập §2.2 Giảng trên lớp
8
Chữa bài tập
Hướng dẫn Maple
Bài tập §2.3
SV cùng GV
Giảng trên lớp
Cần máy
chiếu
9
Kiểm tra giữa kì
3.1 Đường trắc địa
Giảng trên lớp
10 3.1 (tiếp theo) Giảng trên lớp
11 3.2 Mặt cực tiểu Bài tập §3.1 Giảng trên lớp
12 Chữa bài tập Bài tập §3.2 SV cùng GV
Cần máy

5
Tuần Nội dung chính
Yêu cầu sinh

viên chuẩn bị
Hình thức tổ
chức dạy học
Ghi chú
Xem phim về mặt cực tiểu
Hướng dẫn Maple
Giảng trên lớp
chiếu
13 4.1 Định lý Gauss Giảng trên lớp
14 4.2 Định lý Gauss-Bonnet Bài tập §4.1 Giảng trên lớp
15
Chữa bài tập
Ôn tập cuối kì
Bài tập §4.2 SV cùng GV
8. Yêu cầu của giảng viên đối với môn học:
- Yêu cầu của giảng viên về điều kiện để tổ chức giảng dạy môn học: Cần 3 buổi có
trang bị máy chiếu và màn hình chiếu.
- Yêu cầu của giảng viên đối với sinh viên như: tham gia học tập trên lớp đầy đủ (số
tiết có mặt ít nhất là 0.7 trên tổng số), nộp bài tập đúng thời hạn, trước hôm chữa
bài tập cố gắng làm hết tất cả các bài tập ở mức độ dễ đến trung bình, sinh viên nào
giải được các bài tập khó sẽ được thưởng điểm.
9. Phương pháp và hình thức kiểm tra đánh giá môn học:
9.1. Các loại điểm kiểm tra và trọng số của từng loại điểm:
- Điểm bài tập trên lớp: 10% (bao gồm cả điểm chuyên cần và ý thức học tập)
- Điểm bài tập lớn: 10%
- Kiểm tra giữa kì: 20%
- Kiểm tra cuối kì: 60%
9.2. Lịch thi và kiểm tra (kể cả thi lại):
- Thi giữa kỳ: tuần thứ 9
- Thi cuối cùng: Sau tuần thứ 15

9.3. Tiêu chí đánh giá các loại bài tập và các nhiệm vụ mà giảng viên giao cho
sinh viên: Xem ở mục 9.1
Bài tập lớn cho mỗi nhóm khoảng 3 sinh viên sẽ được giao vào tuần thứ 8, nộp vào
tuần thứ 13. Giáo viên sẽ trả vào tuần thứ 14.