Hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỷ

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2009 -
2010
Sở giáo dục và đào tạo hà nội
Phòng giáo dục và đào tạo huyện thanh oai
đề tài
sáng kiến kinh nghiệm
Năm học 2009 - 2010
Tờn ti:
Hớng dẫn học sinh giải phơng trình vô tỉ
Tỏc gi: Nguyễn Thị Hơng
Chc v: Giỏo viờn
Mụn o to: Toỏn
n v cụng tỏc: Trng THCS Nguyn Trc
Thuc: Huyn Thanh Oai
Nguyễn Thị Hơng -

Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh
Oai
1
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2009 -
2010
Đề tài thuộc lĩnh vực: Giảng dạy
Nguyễn Thị Hơng -

Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh
Oai
2

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2009 -
2010
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
-------***-------
đề tài sáng kiến kinh nghiệm
I . sơ yếu lí lịch
Họ và tên : Nguyễn Thị Hơng
Ngày, tháng, năm sinh : 30/ 11/ 1972
Năm vào ngành : 1994
Ngày vào Đảng : 28/ 02/ 2000
Chức vụ, đơn vị công tác : Giáo viên - Trờng THCS Nguyễn Trực
Thanh Oai - Hà Nội.
Trình độ chuyên môn : Đại học -Toán
Bộ môn giảng dạy : Toán 9
Khen thởng : - Nhiều năm là chiến sĩ thi đua cấp cơ sở .
- 2 năm có sáng kiến kinh nghiệm đạt cấp tỉnh.
Nguyễn Thị Hơng -

Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh
Oai
3
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2009 -
2010
Nguyễn Thị Hơng -

Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh
Oai
4
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2009 -
2010
II . nội dung đề tài
1. Tên đề tài :
Hớng dẫn học sinh giải phơng trình vô tỉ
2. Lý do chọn đề tài
Một trong những công tác quan trọng trong nhà trờng phổ thông là đào tạo
bồi dỡng nhân tài. Để hoàn thành nhiệm vụ đó với cơng vị là giáo viên giảng dạy
bộ môn Toán, tôi nhận thấy cần thiết phải cải tiến phơng pháp nhằm nâng cao chất
lợng dạy học. Đợc phân công giảng dạy bộ môn Toán 9 và trực tiếp bồi dỡng HSG
môn toán 9 nên đề tài năm nay tôi chọn viết là chuyên đề :
Hớng dẫn học sinh giải phơng trình vô tỉ.
Trong SGK Toán 9 đã đa ra cho học sinh một số phơng trình vô tỉ song mới
chỉ là các phơng trình ở mức độ đơn giản, các em cha có hệ thống phơng pháp
giải. Vì vậy khi gặp các bài toán giải phơng trình vô tỉ các em lúng túng và thờng
mắc những sai lầm khi giải. Chính vì vậy tôi chọn đề tài Hớng dẫn học sinh giải
phơng trình vô tỉ để tránh đợc cho các em những sai lầm hay mắc phải và có hệ
thống phơng pháp giải phơng trình vô tỉ để luyện tập đợc nhiều dạng bài và phơng
trình vô tỉ trở thành quen thuộc đối với các em.
3. Phạm vi, thời gian thực hiện đề tài:
Phạm vi: Lớp 9A2 - Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh Oai.
Thời gian: 12 tiết trong đó có 2 tiết kiểm tra.
Nguyễn Thị Hơng -

Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh

Oai
5
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2009 -
2010
III Quá trình thực hiện đề tài
A- Khảo sát thực tế
Khi cha thực hiện đề tài này, gặp các bài toán giải phơng trình vô tỉ các em
lúng túng, đa số mắc phải sai lầm trong quá trình giải nh không đặt điều kiện cho
ẩn để phơng trình có nghĩa và điều kiện cho ẩn trong các phép biến đổi tơng đơng
dẫn đến sai nghiệm của phơng trình.
B- Những biện pháp thực hiện
Biện pháp 1: Giúp các em hiểu đợc thế nào là phơng trình vô tỉ. Phơng trình
vô tỉ là phơng trình có có chứa ẩn trong dấu căn.
Ví dụ:
x +
1x

= 13
1x

-
1x5

=
2x3

38x1x
3

3
=+++
6x15x3
44
=+
Biện pháp 2: Chỉ cho học sinh thấy một số sai lầm thờng gặp khi giải phơng
trình vô tỉ.
1. Sai lầm do không chú ý điều kiện có nghĩa của căn thức.
Ví dụ1: Giải phơng trình:
01x1x2
=+
(1)
Lời giải sai (1)
2x
1x1x2
1x1x2
=
=+
=+
Vậy phơng trình có nghiệm x = -2
Phân tích sai lầm: Giá trị x = -2 không là nghiệm của phơng trình (1) vì x = -2 thì
31x1x2
==+
không có nghĩa.
Để khắc phục sai lầm này ta có 2 cách:
Cách 1: Tìm điều kiện có nghĩa của căn thức
Cách 2: Thử lại giá trị tìm đợc vào phơng trình ban đầu
Nguyễn Thị Hơng -

Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh

Oai
6
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2009 -
2010
Lời giải đúng nh sau:
Điều kiện có nghĩa của căn thức:
1x
01x
01x2





+
Khi đó (1)
1x1x2
=+
1x1x2
=+
2x
=
(không thoả mãn điều kiện)
Nên phơng trình (1) vô nghiệm
2. Sai lầm do không đặt điều kiện của ẩn để biến đổi tơng đơng.
Ví dụ 2: Giải phơng trình x +
31x
=

(2)
Lời giải sai (2)
x31x
=

x - 1 = 9 - 6x + x
2

x
2
- 7 x + 10 = 0

x
1
= 2 ; x
2
= 5
Vậy phơng trình có 2 nghiệm x
1
= 2 ; x
2
= 5.
Nhng giá trị x
2
= 5 không phải là nghiệm của phơng trình (2)
Vì khi đó
5x1x
=
= 2 còn 3 - x = 3 - 5 = - 2
Để khắc phục sai lầm này ta phải đặt điều kiện cho vế phải là một số không âm, vì

khi đó vế trái là một số không âm.
Lời giải đúng : đk : x - 1> 0

x > 1
(2)
x31x
=
ĐK: 3- x > 0

x < 3

x - 1 = 9 - 6x + x
2

x
2
- 7 x + 10 = 0

x
1
= 2 ; x
2
= 5 loại vì không thoả mãn điều kiện x < 3
Chỉ có 2 thoả mãn điều kiện 1 < x < 3. Vậy phơng trình có nghiệm x = 2
3. Có những bài toán học sinh mắc cả 2 sai lầm trên
Nguyễn Thị Hơng -

Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh
Oai
7

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2009 -
2010
Ví dụ 3: Giải phơng trình
2x31x51x
=
(3)
Lời giải sai:
(3)


2x31x51x
+=

x - 1 = 5x -1 + 3x - 2 + 2
2x13x15
2
+


2 - 7x = 2
2x13x15
2
+
(3)

4 - 28 x + 49 x
2
= 60 x

2
- 52 x + 8 (3)

11x
2
- 24 x + 4 = 0

(11x - 2) (x - 2) = 0

x
1
=
11
2
; x
2
= 2
Vậy PT (3) có 2 nghiệm là x
1
=
11
2
; x
2
= 2.
Phân tích sai lầm:
* Các em không chú ý đến điều kiện có nghĩa của căn thức:
Thật vậy: ĐK :
1x
2x3

01x5
01x









Do đó x =
11
2
không phải là nghiệm của phơng trình (3)
Để khắc phục sai lầm này ta cần tìm điều kiện có nghĩa của căn thức hoặc phải thử
lại các giá trị tìm đợc vào phơng trình (3)
* Các em không đặt ĐK để biến đổi tơng đơng:
Thật vậy các phơng trình (3) và (3) là không tơng đơng khi 2 - 7x < 0. Phơng
trình (3)

(3) với điều kiện 2 - 7x > 0, do đó x = 2 cũng không phải là nghiệm
của phơng trình (3). Nên phơng trình vô nghiệm.
Lời giải đúng:
Nguyễn Thị Hơng -

Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh
Oai
8
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2009 -
2010
Cách 1: Sau khi tìm đợc x
1
=
11
2
; x
2
= 2 thử lại vào (3) không thoả mãn kết luận
phơng trình vô nghiệm.
Cách 2: Đặt điều kiện có nghĩa cho căn thức của (3) là x > 1, sau đó đặt điều kiện
cho (3) tơng đơng với (3) là x <
7
2
các giá trị x
1
; x
2
không thoả mãn các điều
kiện đó kết luận phơng trình vô nghiệm.
Cách 3: Từ việc đặt điều kiện có nghĩa của các căn thức là x > 1

x <5x


0VP;0VT1x51x
><<
từ đó kết luận phơng trình (3) vô nghiệm

Biện pháp 3: Hớng dẫn cho các các em một số phơng pháp giải phơng trình vô
tỉ thờng dùng. Mỗi phơng pháp giáo viên nêu ra một số ví dụ cho HS làm, sau
đây là một số phơng pháp giải phơng trình vô tỉ.
I. Phơng pháp nâng lên luỹ thừa:
Để làm mất dấu căn ta nâng hai vế lên lũy thừa cùng bậc.
Ví dụ 1: Giải phơng trình 3 +
3x2

= x (4) ĐK x >
2
3
Giải: (4)


3x2

= x - 3 ĐK: x - 3 > 0

x> 3

2x - 3 = x
2
- 6 x + 9

x
2
- 8x + 12 = 0

(x - 6) (x - 2) = 0

x
1
= 6 ; x
2
= 2 (không thoả mãn điều kiện) loại
Vậy phơng trình có nghiệm x = 6
Ví dụ 2: Giải phơng trình x +
1x

= 13 (5) ĐK x > 1 (*)
Giải: (5)


1x

= 13 - x ĐK x < 13 (**)

x - 1 = 169 - 26 x + x
2

x
2
- 27 x + 170 = 0

(x-1) (x-10) = 0

x
1
= 17 (không thoả mãn **) loại
Nguyễn Thị Hơng -

Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh
Oai
9
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2009 -
2010
x
2
= 10 (thoả mãn đk) Vậy phơng trình (5) có nghiệm x = 10
Ví dụ 3: Giải phơng trình
25x35x2
=+
(6) ĐK: x >
3
5
Giải:


5x2
+
=
5x3

+2

2x + 5 = 3x - 5 + 4 + 4
5x3

6-x = 4
5x3

Với đk x < 6 Phơng trình

36 - 12x + x
2
= 16(3x-5)

x
2
- 60x + 116 = 0

(x-58)(x-2) = 0

x
1
= 58 loại (không thoả mãn đk)
x
2
= 2 (thoả mãn đk)
Vậy PT(6) có nghiệm x = 2
Ví dụ 4: Giải PT
53xx10
=++
(7)
Giải: ĐK:
10x3
03x

0x10




+


(7)

10 - x + x + 3 + 2
)3x)(x10(
+
= 25


)3x)(x10(
+
= 6

- x
2
+ 7x + 30 = 36

x
2
- 7x + 6 = 0

(x-1) (x-6) = 0

x
1
= 1

(thoả mãn đk)
x
2
= 6 (thoả mãn đk)
Vậy phơng trình (7) có 2 nghiệm x
1
= 1
;
x
2
= 6.
Ví dụ 5: Giải phơng trình
4xx1
++
= x + 1 (8)
Giải : ĐK 1 + x
4x
2
+
> 0
(8)

1 + x
4x
2
+

= x
2
+ 2x + 1

x
4x
2
+
= x (x+2)
Nguyễn Thị Hơng -

Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh
Oai
10
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2009 -
2010

x [
4x
2
+
-( x - 2 )] = 0





+=+

=
2x:DK(*)2x4x
0x

PT (*)

x
2
+ 4 = x
2
+ 4x +4

4x = 0

x = 0
Dễ thấy x = 0 thì 1 + x
4x
2
+
= 1 > 0 thoả mãn đk
Nêu pt có nghiệm x = 0
Ví dụ 6: Giải PT
)9(
x
2
9
4
x
1
9

1
x3
x3
2
++=
+
Giải: ĐK :
0x;0
x
2
9
4
x
1
9
1
2
>++
(9)


2
x
2
9
4
x
1
9
1

3
1
x
1
++=+
ĐK:
3
1
x
1
>


22
x
2
9
4
x
1
9
1
9
1
x3
2
x
1
++=++

2
x
2
9
4
3
2
x
1
+=+


22
x
2
9
4
9
4
x3
4
x
1
+=++


0)
3
4

x
1
(
x
1
0
x3
4
x
1
2
==
Do
4
3
x0
3
4
x
1
0
x
1
==
Dễ thấy x =
4
3
thì
4
3

x0
x
2
9
4
x
1
9
1
2
=>++
(thoả mãn đk)
Vậy phơng trình có nghiệm x =
4
3
Ví dụ 7: Giải phơng trình
)10(116x45x
33
=+
Giải: (10)


( )
116x45x
3
33
=+

x + 45 - x + 16 - 3
1)16x45x()16x)(45x(

33
3
=++
Nguyễn Thị Hơng -

Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh
Oai
11
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2009 -
2010


20)16x)(45x(
3
=+

(x + 45) (x - 16) = 8000

x
2
- 29x - 8720 = 0

(x - 80) (x + 109) = 0

x
1
= 80
x

2
= -109
Vậy phơng trình (10) có 2 nghiệm x
1
= 80 ; x
2
= -109
Ví dụ 8: Giải phơng trình
1x1x2
33
=++
(11)
Giải: (11)

2x + 1 + x + 3
1)x1x2()1x2(x
33
3
=+++

3x + 3
0)1x2(x
3
=+


x)1x2(x
3
=+

x (2x+1) = - x
3

x(x
2
+ 2x + 1) = 0

x (x+1)
2
= 0

x
1
= 0; x
2
= -1
Giá trị x
2
không thoả mãn (11)
Ví dụ 9: Giải phơng trình
x
1
1xx =++
(12) đk : x> 0
Giải: (12)

x +
1xx
2
=+

1xx
2
=+
- x (*)
Với điều kiện 1 - x > 0

x < 1
Phơng trình (*)

x
2
+ x = 1 - 2x + x
2

3 x = 1

x =
3
1
(thoả mãn đk)
Vậy phơng trình (12) có nghiệm x =
3
1
Nguyễn Thị Hơng -

Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh
Oai
12

Đề tài sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2009 -
2010
Ví dụ 10: Giải phơng trình
x3
1x
3x2x
2
+=

+
(13)
Giải: ĐK :
1x
01x
03x2x
2
>



>
+
Khi đó (13)


3x
1x
)3x)(1x(

+=




3x
+
= x +3 (vì x>1)

x +3 = x
2
+ 6x + 9

x
2
+ 5x + 6 = 0

(x+2) (x+3) = 0

x
1
= -2 (loại)
x
2

=-3 (loại)
Vậy phơng trình (13) vô nghiệm
Ví dụ 11: Giải phơng trình
67x23x321x10x
2

+++=++
(14)
Giải:
ĐK :
3x
07x
03x
021x10x
2






+
+
++
Khi đó (14)


067x23x3)7x)(3x(
=++++++


0)37x(2)37x(3x
=+++

(
0)37x)(23x

=++


)TM(
2x
1x
37x
23x
037x
023x



=
=





=+
=+





=+
=+
Vậy phơng trình (14) có nghiệm x

1
= 1; x
2
= 2
II/ Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Nguyễn Thị Hơng -

Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh
Oai
13
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2009 -
2010
Các em cần nắm vững hằng đẳng thức
AA
2
=
để làm mất dấu căn. Sau đó
để phá dấu GTTĐ ta có thể xét khoảng hoặc dùng các bất đẳng thức.

BABA
++
xảy ra dấu =

A.B > 0

A
> A xảy ra dấu =

A > 0

A
> - A xảy ra dấu =

A < 0
Ví dụ 1: Giải phơng trình:
21x2x1x2x
=++
(15)
Giải: Điều kiện x > 1
(15)


2)11x()11x(
22
=++


11x11x
++
= 2


1x111x
=
áp dụng BĐT
A
> - A xảy ra dấu =

A < 0
Ta có
1x111x




1x111x
=

011x



1x

< 1

x < 2
Kết hợp với đk x > 1

PT (15) có nghiệm là 1< x < 2
Ví dụ 2: Giải phơng trình
14x4x4x23x
=+
(16)
Giải: ĐK : x > 4
(16)

144x2.24x14x24x
=+++


1)24x()14x(
22
=+


14x214x
=+
áp dụng BĐT
BABA
++
xảy ra dấu =

A.B > 0
Ta có:
4x214x
+

14x214x
=+


4x214x
+
= 1

(

0)4x2)(14x


1 <
4x

< 2

1 < x- 4 < 4

5 < x < 8 (thoả mãn đk)
Vậy nghiệm của phơng trình (16) là 5 < x < 8
Ví dụ 3: Giải phơng trình
11x1x2x
=
(17)
Nguyễn Thị Hơng -

Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh
Oai
14
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2009 -
2010
Giải: ĐK x > 1
(17)


11x)1x2x(

2
=


11x11x
=
(*)
+ xét 0 <
1x

< 1

1 < x < 2
PT (*)

1 -
1x1x

= 1


1x

= 0

x -1 = 0

x = 1

KĐX

+ Xét
1x

> 1

x > 2
PT (*)


1x

-1 -
1x

= 1 vô nghiệm
Vậy PT (17) có 1 nghiệm x = 1
Ví dụ 4: Giải phơng trình
21x2x1x2x
=++
(18)
Giải: ĐK : x >
2
1

(18)

21x22x21x22x2
=++

211x221x211x221x2
=++++


2)11x2()11x2(
22
=++


11x2
+
+
11x2

= 2

11x2

= 1 -
1x2

áp dụng BĐT
A
> - A xảy ra dấu =

A < 0
Ta có:
11x2

> 1 -

1x2

Xảy ra
11x2

= 1 -
1x2




1x2

- 1 < 0


1x2

< 1

x < 1
Kết hợp với đk x >
2
1
Vậy PT (18) có nghiệm
2
1
< x < 1
Ví dụ 5: Giải phơng trình
69x6x9x6x =++

(19)
Nguyễn Thị Hơng -

Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh
Oai
15
Đề tài sáng kiến kinh nghiệm

Năm học 2009 -
2010
Giải: ĐK: x >
2
3
(19)


69x66x69x66x6
=++

699x669x699x669x6
=++++

6)39x6()39x6(
22
=++


39x6
+
+

39x6

= 6

39x6

= 3 -
9x6

áp dụng BĐT
A
> - A xảy ra dấu =

A < 0
Ta có :
39x6

> 3 -
9x6

Dấu = xảy ra


9x6

- 3 < 0


9x6

< -3

6x - 9 < 9

x < 3
Kết hợp với đk x >
2
3
Vậy phơng trình (19) có nghiệm là
2
3
< x < 3
Ví dụ 6: Giải phơng trình
2225x23x25x2x
=+++
(20)
Giải: ĐK: x >
2
5
(20)


495x265x215x225x2
=++++


4)35x2()15x2(
22
=+++

35x215x2
++
= 4


35x2

= 3 -
5x2

áp dụng BĐT
A
> - A xảy ra dấu =

A < 0
Ta có:
35x2

> 3 -
5x2

Xảy ra
35x2

= 3 -
5x2

5x2

- 3 < 0

5x2

< -3

x < 7
Nguyễn Thị Hơng -

Trờng THCS Nguyễn Trực - Thanh
Oai
16