trình bày một số phương pháp giải các bài toán cực trị của bậc THCS

Trường THCS Định Tân Sáng kiến kinh nghiệm- 2011
A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong những năm đây, các kỳ khảo sát chất lượng, thi học sinh giỏi
bậc THCS và các kỳ thi tuyển sinh vào trường THPT thường gặp những bài
toán yêu cầu tìm GTNN, GTLN của một đại lượng nào đó. Các bài toán này
gọi chung là các bài toán cực trị.
Các bài toán cực trị rất phong phú và đa dạng mang nội dung vô cùng
sâu sắc trong việc giáo dục tư tưởng qua môn toán. Bài toán đi tìm cái tốt
nhất, rẻ nhất, ngắn nhất, dài nhất... trong một bài toán. Để dần dần hình thành
cho học sinh thói quen đi tìm giải pháp tối ưu cho một công việc nào đó trong
cuộc sống sau này.
Các bài toán cực trị Đại số ở bậc THCS có ý nghĩa rất quan trọng đối
với các em học sinh. Ở bậc THCS chưa có lý thuyết đạo hàm nên phải bằng
cách giải thông minh, tìm ra các biện pháp hữu hiệu và phù hợp với trình độ
kiến thức toán học ở bậc học để giải quyết loại toán này.
Các bài toán về cực trị Đại số ở bậc THCS góp phần không nhỏ vào
việc rèn luyện tư duy cho học sinh.
Với ý nghĩa như vậy, việc hướng dẫn học sinh nắm được các phương
pháp giải các bài toán cực trị là vấn đề quan trọng. Qua thực tế giảng dạy bản
thân đã rút ra được một số phương pháp để giải các bài toán cực trị nhằm giúp
thêm tài liệu cho việc bồi dưỡng học sinh khá - giỏi toán.
II. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
Áp dụng với học sinh khối 8, 9. Là học sinh khá giỏi tham gia trong các
đội tuyển HSG trường, học sinh thi đồng đội Toán tỉnh.
III. NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI:
Giúp cho học sinh làm quen và có một số hiểu biết về một số dạng toán
cực trị thường gặp.
Thực hiện: Lưu Việt Thu
1
Trường THCS Định Tân Sáng kiến kinh nghiệm- 2011

Đề tài trình bày một số phương pháp giải các bài toán cực trị của bậc
THCS. Mỗi phương pháp được trình bày theo cấu trúc gồm: Cơ sở lý thuyết
và ví dụ minh hoạ hoặc từ bài tập cụ thể, rút ra nhận xét tổng quát.
IV. PHẠM VI ĐỀ TÀI:
Đề tài chỉ đề cập tới một số phương pháp giải một số loại toán cực trị
đại số thường gặp trong chương trình toán học THCS, đối tượng mà đề tài
nhằm tới là học sinh khá, giỏi toán THCS.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Tổng hợp, hệ thống từ việc dạy bồi dưỡng học sinh khá giỏi, tham khảo
môt số tài liệu có liên quan.
B. PHẦN NỘI DUNG
I. Kiến thức:
1. Cho biểu thức f(x, y…)
Ta nói M là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x, y…), kí hiệu
max f = M, nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:
- Với mọi x, y … để f(x, y…) xác định thì
F(x, y…)
≤
M ( M là hằng số )
- Tồn tại x
0
, y
0
, … sao cho
f(x
0
, y
0
,...) = M
2. Cho biểu thức f(x, y…)

Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x, y…), kí hiệu
max f = m, nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn:
- Với mọi x, y … để f(x, y…) xác định thì
F(x, y…)
≥
m ( m là hằng số )
- Tồn tại x
0
, y
0
, … sao cho
f(x
0
, y
0
,...) = m
II. Phương pháp giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một
biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng A(x)
≥
0 { hoặc A(x)
≤
0 }
- Để tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức A(x) ta cần:
Thực hiện: Lưu Việt Thu
2
Trường THCS Định Tân Sáng kiến kinh nghiệm- 2011
+ Chứng minh rằng A(x)
≥
k với k là hằng số.
+ Chỉ ra dấu "=" có thể xảy ra.

- Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức A(x) ta cần:
+ Chứng minh rằng A(x)
≤
k với k là hằng số.
+ Chỉ ra dấu "=" có thể xảy ra.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A(x) = (x - 1)
2
+ (x-3)
2
.
(Nâng cao và phát triển Toán 8)
Giải:
A(x) = (x-1)
2
+ (x-3)
2
= x
2
-2x+1+x
2
-6x+9=2(x
2
-4x+5)=2(x-2)
2
+2
≥
2
Vì (x-2)
2
≥

0 với
∀
x. Vậy Min A(x) = 2 khi x = 2
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B(x) = -5x
2
- 4x+1
(Nâng cao và phát triển Toán 8)
Giải : Từ B(x) = -5x
2
- 4x+1 ta có B(x)= -5(x
2
+
4
5
x)+1
=
2 2 2 2
2
2 2 2 2 4 2 9
5 x 2 x 1 5 x 1 5 x
5 5 5 5 25 5 5
   
       
− + + − + = − + − + = − + +
   
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
   
   
Vì

2
2
x 0
5
 
+ ≥
 ÷
 
với
x R∀ ∈
nên
2
2
5 x 0
5
 
− + ≤
 ÷
 
2
2 9 9
B(x) 5 x
5 5 5
 
⇒ = − + + ≤
 ÷
 
Max B(x) =
9 2
khi x

5 5
= −
Bài tập vận dụng:
1. Tìm GTLN của A= 1 – x
2
+ 3x
2. Tìm GTNN của B= x
2
– 5x + 1
3. Cho tam thức bậc hai C= ax
2
+ bx + c
a. Tim GTLN của C nếu a < 0.
b. Tìm GTNN của C nếu a > 0.
III. Phương pháp giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một
biểu thức đại số bằng cách đưa về dạng
2
A(x)
0
k
≥
hoặc
2
A(x)
0
k
≤
Thực hiện: Lưu Việt Thu
3
Trường THCS Định Tân Sáng kiến kinh nghiệm- 2011

Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức đại số
2
2
3x 6x 10
A(x)
x 2x 3
+ +
=
+ +
(Nâng cao và phát triển Toán 8)
Giải: Từ
2
2
3x 6x 10
A(x)
x 2x 3
+ +
=
+ +
Ta có A(x) =
2 2
2 2 2
3x 6x 9 1 3(x 2x 3) 1 1
3
x 2x 3 x 2x 3 (x 1) 2
+ + + + + +
= = +
+ + + + + +
Vì (x+1)
2

≥
0 với
∀
x nên (x+1)
2
+2
≥
2 với
∀
x.
Do đó:
2
1 1
2
(x 1) 2
≤
+ +
Vậy A(x)

=
2
1 1 1
3 3 3
2 2
(x 1) 2
+ ≤ + =
+ +
Max A(x) =
1

3
2
khi (x+1)
2
= 0
⇔
x = -1
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của B(x) =
2
2
2x 16x 41
x 8x 22
− +
− +
với
x R∈
(Nâng cao và phát triển Toán 8)
Giải: Từ B(x) =
2 2
2 2 2
2x 16x 41 2(x 8x 22) 3 3
2
x 8x 22 x 8x 22 (x 4) 6
− + − + −
= = −
− + − + − +
Vì (x- 4)
2

≥

0 với
x∀
nên (x- 4)
2
+6
≥
6.
Nên
2
3 3 1
6 2
(x 4) 6
≤ =
− +
2
3 1 3
B(x) 2 2
2 2
(x 4) 6
⇒ = − ≥ − =
− +
Min B(x) =
3
2
khi (x- 4)
2
= 0
⇔
x = 4
Bài tập vận dụng:

Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau ( nếu có ):
a/.
9
1227
2
+
−
x
x
b/.
1
323
2
2
+
+−
x
xx
c/.
52
1763
2
2
+−
+−
xx
xx
d/.
9963
27

234
6
+−+−
+
xxxx
x
Thực hiện: Lưu Việt Thu
4
Trường THCS Định Tân Sáng kiến kinh nghiệm- 2011
IV. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số bằng
cách áp dụng bất đẳng thức Cosi.
- Bất đẳng thức Cosi cho 2 số.
Cho a, b không âm, ta có bất đẳng thức
a b
2 ab
2
+
≥
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
- Bất đẳng thức Cosi cho n số:
Cho n số a
1
, a
2
, ....a
n
không âm, ta có bất đẳng thức:
1 2 n
n
1 2 n

a a ..... a
a ,a ...a
n
+ + +
≥
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a
1
= a
2
= ... = a
n
+ Bài toán:
a. Chứng minh rằng, nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của
chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
b. Chứng minh rằng, nếu hai số dương có tổng không đổi thì tích của
chúng đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
(Nâng cao và phát triển Toán 8)
Giải:
a. Ta cần chứng minh rằng với x >0; y > 0 và xy = k (không đổi) thì
x+y đạt giá trị nhỏ nhất khi x = y.
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số dương ta có:
x + y
xy
≥
mà xy = k (không đổi)
Nên ta có: x+y
2 xy 2 k≥ =
(1)
Vậy tổng P = x + y lấy giá trị nhỏ nhất x + y = 2
k

khi x = y
b. Tương tự trên nếu hai số dương x và y có x + y = k (hằng số).
Từ (x+y)
2

≥
4xy
⇒
xy
2
k
4
≤
Vậy tích Q = xy lấy giá trị lớn nhất bằng
2
k
4
khi x = y
Thực hiện: Lưu Việt Thu
5