ứng dụng của tích phân xác định để tính độ dài cung và diện tích xung quanh của vật thể tròn xoay trong MAPLE

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC
BÀI TẬP LỚN
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
ĐỂ TÍNH ĐỘ DÀI CUNG VÀ DIỆN TÍCH XUNG QUANH
CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY
TRONG MAPLE
Sinh viên thực hiện: Phạm Hương Giang
Lớp: K56A1T2
Môn học: Thực hành tính toán
Giáo viên hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Hữu Điển
Hà Nội - 12/2013
Mục lục
0.1 Giới thiệu về Maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.1.1 Maple là gì? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.1.2 Các chức năng chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.2 Tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.2.1 Tích phân không xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.2.2 Tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.3 Tính độ dài cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.3.1 Xây dựng công thức trong giải tích . . . . . . . . . . . . 6
0.3.2 Xây dựng thuật toán trong Maple . . . . . . . . . . . . 9
0.4 Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay . . . . . . . . 11
0.4.1 Xây dựng công thức trong giải tích . . . . . . . . . . . . 11
0.4.2 Xây dựng thuật toán trong Maple . . . . . . . . . . . . 14
0.5 Maple là gì ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
MỤC LỤC 2
Lời nói đầu
Tích phân xác định có rất nhiều ứng dụng. Trong đó, tính độ dài cung và
diện tích vật thể tròn xoay là một trong số đó. Thông thường, chúng ta tính

trực tiếp mất rất nhiều thời gian và công sức. Nhưng với phần mềm Maple,
một phần mềm tính toán t hông minh thì việc này trở nên dễ dàng hơn rất
nhiều. Nội dung bài tập lớn này, em muốn trình bày về việc sử dụng Maple
để tính độ dài cung và diện tích vật thể tròn xoay.
Nhân đây em xin gửi lời cảm ơn, lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS
Nguyễn Hữu Điển đã hướng dẫn em rất nhiệt tình, giúp giải đáp mọi thắc
mắc của em khi cần thiết để em có thể hoàn thành tốt bài tập lớn này. Nhờ
có những bài giảng của thầy mà em được tiếp cận những phần mềm thú vị
và hữu ích như Maple và VieTeX.
Bài tập lớn này vẫn còn nhiều sai sót. Mọi đóng góp xin gửi về địa chỉ
email:
Một lần nữa xin chân thành cảm ơn.
Sinh viên trình bày: Phạm Hương Giang.
Lớp : K56 - Toán học A1T2.
Mã sinh viên: 1100 1604.
0.1. Giới thiệu về Maple 3
0.1. Giới thiệu về Maple
0.1.1. Maple là gì?
Maple là một phần mềm Toán học do Đại học Tổng hợp Waterloo
(Canada) xây dựng và đưa vào sử dụng năm 1985. Phần mềm này ngày
càng được hoàn thiện sau nhiều lần cải tiến và phát triển qua nhiều phiên
bản khác nhau. Maple chạy được trên tất cả các hệ điều hành, có trình trợ
giúp (Help) rất dễ sử dụng. Từ các phiên bản 7, Maple cung cấp ngày càng
nhiều các công cụ trực quan, các gói lẹnh tự học gắn liền với toán phổ thông
và đại học. Ưu điểm đó khiến ngày càng có nhiều các nước trên thế giới
chọn sử dụng Maple trong dạy - học toán tương tác trước đòi hỏi của thực
tiễn và sự phát triển của giáo dục.
0.1.2. Các chức năng chính
Maple là một phần mềm đặc biệt, có tính ứng dụng cao trong nhiều
ngành khoa học và kỹ thuật. Trong đó, ta có thể nêu vắn tắt một số các chức

năng chính của Maple như sau:
- Thực hiện các tính toán với khối lượng lớn, với thời gian nhanh và độ
chính xác cao.
- Ngôn ngữ lập trình đơn giản, mạnh mẽ, có khả năng tương tác với các
ngôn ngữ lập trình khác.
- Sử dụng các gói lệnh chuyên dụng của Maple để giải quyết các bài
toán cụ thể như: Vẽ đồ thị (gói plots), Hình học giải tích (gói geometry),
Đại số tuyến tính (gói linalgs), Giải tích (gói student), Phương trình vi
phân (gói DEtools), Lý thuyết số (gói numtheory), Dữ liệu rời rạc (gói
DiscreteTransforms),
- Tính toán trên các biểu thức đại số.
- Thiết kế các đối tượng 3 chiều.
- Minh họa hình học thuận tiện gồm: vẽ đồ thị tĩnh và động của các
đường và mặt được cho bởi các hàm tùy ý trong nhiều hệ tọa độ khác
nhau.
- Có thể thực hiện được hầu hết các phép toán cơ bản trong chương
trình toán đại học và sau đại học.
- Một công cụ biên soạn giáo án và bài giảng điện tử, thích hợp với các
lớp học tương tác trực tiếp.
0.2. Tích phân 4
- Một công cụ hữu ích cho học sinh, sinh viên trong việc tự học. Ngoài
ra, Maple còn rất nhiều tính năng ở các vấn đề khác nữa.
0.2. Tích phân
Có hai loại tích phân là: Tích phân không xác định và Tích phân xác
định.
0.2.1. Tích phân không xác định
Cho hàm f xác định trên một khoảng bất kỳ U (một đoạn, khoảng hay
nửa khoảng hữu hạn hay vô hạn trong một tập số thực). Hàm khả vi F trên
U được gọi là nguyên hàm của f trên khoảng bất kỳ đó nếu F


(x) = f (x)
với mọi x ∈ U.
Tập hợp tất cả các nguyên hàm của hàm f trên khoảng bất kỳ U được
gọi là tích phân không xác định của hàm f trên U và ký hiệu là

f (x)dx.
Giả sử F là một nguyên hàm của f trên U, khi đó:

f (x)dx = F(x) + C,
trong đó C hằng số tùy ý.
* Cách tính tích phân không xác định với Maple
> int(<Biểu thức>,<Biến lấy tích phân>);
Ví dụ:
- Với lệnh >int(x
3
cos(x), x); ta tìm được

x
3
cos(x)dx = x
3
sin
(
x
)
+ 3 x
2
cos
(
x

)
−6 cos
(
x
)
−6 x sin
(
x
)
- Với lệnh >int(sqrt(x
2
+ a), x); ta tìm được


x
2
+ adx = 1/2 x

x
2
+ a + 1/2 a ln

x +

x
2
+ a

0.2.2. Tích phân xác định
Cho một đoạn thẳng ∆ trong tập số thực R với hai đầu mút a, b (không

nhất thiết a ≤ b) và xét một cách chia đoạn ∆ thành các đoạn con ∆
i
với các
đầu mút x
i−1
, x
i
bởi các điểm chia tùy ý lần lượt là
a = x
0
, x
1
, , x
n
= b.
Ta gọi phép chia đó là một phân hoạch đoạn ∆ và ký hiệu là T.
Gọi ∆x
i
= x
i
− x
i−1
, như vậy nếu a ≤ b thì ∆x
i
≥ 0 và nếu a ≥ b thì
∆ ≤ 0∀i = 1, 2, , n.
0.2. Tích phân 5
Số d(T) = max
i
|∆x

i
| = max
i
|x
i
− x
i−1
| được gọi là đường kính của phân
hoạch T.
Gọi P(∆) là tập hợp tất cả các phân hoạch trên ∆. Giả sử T
1
∈ P(∆ ), ta
nói T
2
mịn hơn T
1
và ký hiệu T
2
≥ T
1
nếu tập hợp các điểm chia của T
2
bao
gồm các điểm chia của T
1
hay nói cách khác mọi đoạn con của phân hoạch
T
2
đều chứa trong một đoạn con nào đó của phân hoạch T
1

.
Giả sử f là một hàm xác định trên đoạn ∆. Trên mỗi đoạn con ∆
1
với hai
đầu mút x
i−1
, x
i
ta lấy một điểm ξ
i
tùy ý và lập thành tổng
σ
f
(T, ξ) =
n
∑
i=1
f (ξ
i
)(x
i
− x
i−1
) =
n
∑
i−1
f (ξ
i
)∆x

i
.
Tổng σ
f
(T, ξ) được gọi là tổng tích phân của hàm f trên đoạn ∆ ứng với
phân hoạch T và điểm chọn ξ = (ξ
1
, ξ
2
, , ξ
n
) với ξ
i
∈ ∆
i
(i = 1, 2, , n). Khi
phân hoạch T và điểm ξ t hay đổi ta có một họ không đếm được tổng tích
phân {σ
f
(T, ξ)}.
Ta nói họ tổng tích phân này có giới hạn I ∈ R khi d(T) → 0 nếu cho
trước ε > 0 bé tùy ý t hì luôn luôn tồn tại một số δ(ε) > 0 sao cho với mọi
T ∈ P(∆) với d(T) < δ với mọi cách lấy điểm ξ ta đều có |σ
f
(T, ξ) − I| < ε.
Khi đó ta viết
lim
d(T)→0
σ
f

(T, ξ) = I.
Giới hạn I đó nếu tồn tại thì được gọi là tích phân xác định của hàm f
trên đoạn ∆ với hai đầu mút a, b và ký hiệu:
I =
b

a
f (x)dx.
* Cách tính tích phân xác định trong Maple
> int(<Biểu thức>,<Biến lấy tích phân>=<Cận trên>,<Cận dưới>);
Ví dụ:
- Với lệnh > f := arcsin(sqrt(x/(x + 1))) : và > int( f, x = 0 3); ta tính
được
3

0
arcsin


x
x + 1

dx = −
√
3 + 4/3 π
.
- Với lệnh g := 1/(x
2
+ x + 1); và > int(g, x = −1 1); ta tìm được
3


0
1
x
2
+ x + 1
= 1/3 π
√
3
.
0.3. Tính độ dài cung 6
0.3. Tính độ dài cung
0.3.1. Xây dựng công thức trong giải tích
Định nghĩa
Trước hết ta hiểu cung là một ánh xạ liên tục γ : [a, b] → R
3
, ta thường
yêu cầu thêm ánh xạ γ là một đơn ánh (cung Jordan) và khi đó có thể đồng
nhất γ với ảnh γ([a, b]) ⊆ R
3
.
Bài toán đặt ra là hãy đưa ra định nghĩa và cách tính độ dài cung γ.
Đặt A = γ(a), B = γ(b), lấy một phân hoạch T của [a, b] với các điểm
chia a = t
0
< t
1
< < t
n
= b từ đó ta có một phân hoạch γ([a, b]) bởi các

điểm chia A = γ(a) = M
0
, γ(t
1
) = M
1
, , γ(t
n
) = M
n
= B.
Nối các điểm M
i−1
, M
i
bằng một đoạn thẳng (i = 1, 2, , n) ta được một
đường gấp khúc ký hiệu là γ(T), một cách tự nhiên ta lấy độ dài đường gấp
khúc γ(T) làm giá trị gần đúng của độ dài cung γ .
Đặt ρ(γ (T)) = max
1≤i≤n
ρ(M
i−1
, M
i
) trong đó ρ(M
i−1
, M
i
) là khoảng cách
giữa hai điểm M

i−1
, M
i
trong không gian R
3
. Do tính liên tục của ánh xạ γ
ta có thể suy ra rằng khi d(T) → 0 (d(T) là đường kính của phân hoạch T)
thì ρ(γ(T)) cũng tiến đến không.
Định nghĩa
Nếu độ dài đường gấp khúc γ(T) có giới hạn hữu hạn khi ρ(γ(T)) → 0
thì ta nói cung γ có độ dài (hay còn gọi là đo được) và giới hạn đó được lấy
làm độ dài của cung γ.
Công thức tính độ dài cung
Bây giờ ta lập công thức tính độ dài của các cung thuộc lớp C
1
, để đơn
giản ta xây dựng công thức cho cung trong R
2
, trong R
3
được làm tương tự.
Giả sử cho cung γ : [a, b] → R
2
với γ(t) = (x(t), y(t)) ∈ R
2
, x(t), y(t) là
hai hàm có các đạo hàm liên tục trên [a, b] và x
2
(t ) + y
2

(t ) > 0∀t ∈ [a, b],
một cung như thế được gọi là cung trơn.
Xét một phân hoạch T bất kỳ của [a, b]
a = t
0
< t
1
< t < 2 < < t
n
= b
gọi d(T) là đường kính của phân hoạch T, M
i
= γ(t
i
) = (x(t
i
), y( t
i
)), i =
0, 1, 2, , n. Theo công thức số gia giới nội
x(t
i
) −x(t
i−1
) = x

(ξ)∆t
i
y( t
i

) −y (t
i−1
) = y

(η
i
)∆ t
i
.
0.3. Tính độ dài cung 7
∆t
i
= t
i
−t
i−1
Khi đó độ đài đoạn thẳng
M
i−1
M
i
=

[x(t
i
) −x(t
i−1
)]
2
+ [y(t

i
) −y (t
i−1
)]
2
=

[x

(ξ
i
)]
2
+ [y

(η
i
)]
2
∆t
i
và độ dài đường gấp khúc γ(T) sẽ là
p
n
=
n
∑
i=1

[x


(ξ
i
)]
2
+ [y

(η
i
)]
2
∆t
i
.
Đặt σ(T, ξ) =
∑
n
i=1

[x

(ξ
i
)]
2
+ [y

(η
i
)]

2
∆t
i
.
Áp dụng bất đẳng thức |
√
u
2
−v
2
−
√
u
2
−w
2
| ≤ |v − w|, với mọi số
thực u, v, w.
|p
n
−σ(T, ξ)| ≤
n
∑
i=1
|

[x

(ξ
i

)]
2
+ [y

(η
i
)]
2
−

[x

(ξ
i
)]
2
+ [y

(ξ
i
)]
2
|∆t
i
≤
n
∑
i=1
|y


(η
i
) −y

(ξ
i
)|∆t
i
.
Vì y

(t ) liên tục trên [a, b] nên nó liên tục đều trên đó.
Khi đó ∀ε > 0 cho trước ∃ một số δ > 0 sao cho ∀T ∈ P([a, b]) mà
d(T) < δ
1
ta đều có:
|y

(ξ
i
) −y

(η
i
)| <
ε
2(b −a)
điều này có được vì ξ
i
, η

i
đều thuộc ∆
i
nên |ξ
i
−η
i
| < d(T) < δ
1
.
Vì vậy:
p
n
−σ(T, ξ) ≤
n
∑
i=1
|y

(ξ
i
) −y

(η
i
)|∆t
i
<
ε
2(b −a)

(b −a) =
ε
2
.
Mặt khác do x

(t ), y

(t ) là những hàm liên tục trên [a, b] nên

[x

(t )]
2
+ [y

(t )]
2
khả tích trên đoạn đó.
Đặt L =
a

b

[x

(t )]
2
+ [y


(t )]
2
dt khi đó ∃δ
2
> 0 sao cho ∀T ∈ P([a, b])
mà d(T) < δ
2
ta có |σ(T, ξ) − L| <
ε
2
.
Nếu chọn δ = min(δ
1
, δ
2
)), và ∀T ∈ P([a, b]) mà d(T) < δ thì:
|p
η
− L| ≤ |p
η
−σ(T, ξ)| + |σ(T, ξ) − L| <
ε
2
+
ε
2
= ε
0.3. Tính độ dài cung 8
có nghĩa là lim
d(t)→0

p
n
=
a

b

[x

(t )]
2
+ [y

(t )]
2
dt.
Vậy công thức tính độ dài cung phẳng là L =
a

b

[x

(t )]
2
+ [y

(t )]
2
dt.

Nếu γ : [a, b] → R
3
, với γ(t) = (x(t), y (t), z(t)) là hàm véc tơ có đạo hàm
cấp 1 liên tục trên [a, b] thì γ có độ dài và độ dài của nó được tính theo công
thức:
L =
a

b

[x

(t )]
2
+ [y

(t )]
2
+ [z

(t )]
2
dt.
Trường hợp đặc biệt khi γ : [a, b] → R
2
là đường cong phẳng γ(x) =
(x, f (x)) f ∈ C
1
([a , b]) thì
L =

a

b

1 + [ f

(x)]
2
dx.
Các ví dụ
Ví dụ 1: Tính độ dài cung OA nằm trên parabol y =
x
2
2p
, trong đó O là
gốc tọa độ, A là điểm nằm trên parabol có hoành độ là t.
L =
t

0

1 + [ f

(x)]
2
dx
=
1
p
t


0

x
2
+ p
2
dx
=
1
p

x
2

x
2
+ p
2
+
p
2
2
ln (x +

x
2
+ p
2
)






t
0
=
t
2p

t
2
+ p
2
+
p
2
ln
t +

t
2
+ p
2
p
.
Ví dụ 2: Tính độ dài cung xoắn ốc Archimede






x = a cos t
y = a sin t 0 ≤ t ≤ 2π
z = at a > 0
L =
2π

0

[x

(t )]
2
+ [y

(t )]
2
+ [z

(t )]
2
dt = a
√
2
2π

0
dt = πa2

√
2.
0.3. Tính độ dài cung 9
0.3.2. Xây dựng thuật toán trong Maple
+) Thuật toán:
Bước 1 Khai báo 2 gói lệnh là "Student[Calculus1] " và "plots".
Bước 2 Nhập f(x), g(x) và a, b (nếu có).
Bước 3 Vẽ đồ thị hàm số. Tính độ dài cung theo công thức.
+) Trên Maple
> with(Student[Calculus1]):
>with(plots);
> sapxeptang := proc(danhsach::list)
local tg, i, j, A, n;
A:= danhsach;
n:=nops(danhsach);
for i to n do
for j from i + 1 to n do
if eval f (A[j]) < eval f (A[i]) then
tg := A[i];
A[i] := A[j];
A[j] := tg
fi;
od;
od;
return A
end;
>dodaicung := proc
local t, q, a, b, f , g, L, i ;
f :=readstat("Nhap f (x) = ");
g:=readstat("Nhap g(x) = ");

a := readstat("Nhap a = «neu khong co Enter bo qua» ");
b:= readstat("Nhap b = «neu khong co Enter bo qua» ");
print("——————–Bai giai——————–");
if a = NULL and b = NULL then
print("Do dai cung gioi han boi cac duong ");
print(y = f , y = g, x = a, x = b);
print("Do thi cac duong cong ");
print(plot({f , g}, x = −10 10, y = −10 10, color=[red, green]));
print(("Vay do dai cung la: S="Int([Di f f ( f, x)]
2
+ [Di f f (g, x)]
2
, x = a b) =
(int(([di f f ( f , x)]
2
+ [di f f (g, x)]
2
), x = a b))"
fi;
if a=NULL and b=NULL
0.3. Tính độ dài cung 10
then
print("Do dai cung gioi han boi cac duong ");
print(y = f , y = g);
print("Hoanh do giao diem cua hai duong cong la nghiem cua phuong trinh
: ");
print(f − g = 0);
print("Ta duoc "solve({f = g}, {x}));
print("Do thi ");
print(plot({f , g}, x = −5 5, y = −8 8));

t := solve( f = g, x);
t := [t];
q:=sapxeptang(t);
L := 0;
i := 1;
while i < nops(q) do
L := L + in t(4 ∗ Pi ∗ g ∗ sqrt([di f f ( f , x)]
2
) + ([di f f (g, x)]
2
), x =
q[1] q[i + 1]) ;
i := i + 1;
od;
print("Vay do dai cung la: ");
print(L);
fi;
end;
+) Ví dụ:
Tính độ dài cung của đường cong y = 2x − x
2
trong đoạn [0,1].
"——————–Bai giai——————–"
"Do dai cung gioi han boi cac duong "
y = 2x −x
2
, y = 0, x = 0, x = 1
"Do thi cac duong cong "
Vay do dai cung la:
L =



1

0


d
dx
2x −x
2

2
+

d
dx
0

2

dx


=
1

0
([2 −2x]
2

+ [0]
2
)dx
0.4. Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay 11
Hình 1:
0.4. Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay
0.4.1. Xây dựng công thức trong giải tích
Cho hình thang cong giới hạn bởi

a ≤ x ≤ b
0 ≤ y ≤ f (x)
với f (x) là một hàm
thuộc lớp C
1
trên [a, b].
Quay hình thang cong quanh trục Ox ta được một hình tròn xoay Ω. Bài
toán đặt ra là hãy tính diện tích xung quanh của vật thể này.
Ta hãy xác định khái niệm diện tích xung quanh và xây dựng công t hức
tính.
Xét một phân hoạch T đoạn [a, b]
a = x
0
< x
1
< < x
n
= b.
Khi đó đường cong y = f (x) được chia ra làm n phần bởi các điểm
(a, f (a)) = A = M
0

, M
1
, , M
n
= (b, f (b )).
Khi quay xung quanh trục Ox đoạn thẳng M
i−1
M
i
tạo thành mặt xung
quanh của hình nón cụt có diện tích xung quanh là
S
i
= πl
i
[ f (x
i−1
) + f (x
i
)] i = 1, 2, , n
0.4. Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay 12
trong đó l
i
là độ dài đoạn thẳng M
i−1
M
i
.
Áp dụng công thức Lagrange
l

i
=

(x
i
− x
i−1
)
2
+ [f (x
i
) − f (x
i−1
)]
2
=

1 + [ f

(ξ
i
)]
2
∆x
i
.
Khi đó tổng
P
n
=

n
∑
i=1
π

1 + [ f

(ξ
i
)]
2
[ f (x
i
) − f (x
i−1
)] ∆x
i
được lấy làm giá trị xấp xỉ của diện tích xung quanh của vật thể tròn xoay
Ω. Nếu khi d(T) → 0 mà p
n
dần đến một giới hạn hữu hạn thì giới hạn đó
được lấy làm diện tích xung quanh của hình tròn xoay Ω.
Vì f có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b ] nên tồn tại tích phân
a

b
2π f (x)

1 + [ f


(x
i
)]
2
dx = I.
Đặt σ(T, ξ) =
n
∑
i=1
2π f (ξ)

1 + [ f

(ξ
i
)]
2
∆x
i
, khi đó ∀ε > 0, ∃δ
1
> 0 sao
cho ∀T ∈ P([a, b]) mà d(T) < δ
1
, ta có:
|σ(T, ξ) − I| <
ε
2
.
Mặt khác, do f là hàm liên tục trên [a, b] nên tồn tại δ

2
< 0 sao cho khi
d(T) < δ
2
thì
|f (x
i
) + f (x
i−1
) −2 f (ξ
i
)| <
ε
2πM(b −a)
trong đó M = max
[a, b]

1 + [ f

(x)]
2
.
Chọn δ = min (δ
1
, δ
2
) khi đó ∀T ∈ P([a, b]) mà d(T) < δ
|P
n
−σ(T, ξ)| = π






n
∑
i=1
[ f (x
i
) + f (x
i−1
) −2 f (ξ
i
)]

1 + [ f

(ξ
i
)]
2
∆x
i





= π

ε
2πM(b −a)
n
∑
i−1
∆x
i
=
ε
2
Kết hợp với điều kiện |σ(T, ξ) − I| <
ε
2
ta suy ra |P
n
− I| < ε hay
lim
d(T)→0
P
n
=
b

a
2π f (x)

1 + [ f

(x)]
2

dx.
0.4. Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay 13
Vậy công thức tính diện tích xung quanh vật thể tròn xoay
s = 2π
b

a
f (x)

1 + [ f

(x)]
2
dx.
Ví dụ: Tính diện tích xung quanh của vật thể tròn xoay được tạo thành
khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường astroid x
2
3
+ y
2
3
= a
2
3
, (a > 0)
quanh trục Ox.
Do tính đối xứng của đường cong ta chỉ xét miền x ≥ 0, y ≥ 0, xét dạng
tham số của đường cong

x = a cos

3
t 0 ≤ t ≤
π
2
.
y = a sin
3
t
Khi đó diện tích xung quanh
s = 4π
a

0
f (x)

1 + [ f

(x)]
2
dx.
Bằng phép biến đổi x = a cos
3
t, ta có:
s = 4π
π
2

0
y( t)


1 +

y

(t )
x

(t )

2
x

(t )dt
= 4π
π
2

0
y( t)

[x

(t )]
2
+ [y

(t )]
2
dt
= 4π

π
2

0
a sin
3
t3a sin t cos tdt
= 12πa
2
π
2

0
sin
4
t cos tdt
=
12πa
2
5
.
0.4. Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay 14
0.4.2. Xây dựng thuật toán trong Maple
+) Thuật toán
Bước 1 Khai báo 2 gói lệnh là "Student[Calculus1] " và "plots".
Bước 2 Nhập f(x), g(x) và a, b (nếu có).
Bước 3 Nếu có a, b: Vẽ đồ thị hàm số. Tính theo công thức.
Bước 4 Nếu không có a,b: Tìm giao điểm của 2 đường cong. Vẽ hình. Tính theo
công thức.
+) Trong Maple

> with(Student[Calculus1]):
>with(plots);
> sapxeptang := proc(danhsach::list)
local tg, i, j, A, n;
A:= danhsach;
n:=nops(danhsach);
for i to n do
for j from i + 1 to n do
if eval f (A[j]) < eval f (A[i]) then
tg := A[i];
A[i] := A[j];
A[j] := tg
fi;
od;
od;
return A
end;
>dientichxq := proc
local t, q, a, b, f , g, S, i ;
f :=readstat("Nhap f (x) = ");
g:=readstat("Nhap g(x) = ");
a := readstat("Nhap a = «neu khong co Enter bo qua» ");
b:= readstat("Nhap b = «neu khong co Enter bo qua» ");
print("——————–Bai giai——————–");
if a = NULL and b = NULL then
print("Dien tich xung quanh cua vat the tron xoay gioi han boi cac duong ");
print(y = f , y = g, x = a, x = b);
print("Do thi cac duong cong ");
print(plot({f , g}, x = −10 10, y = −10 10, color=[red, green]));
print(("Vay dien tich xung quanh la: S="(Int(4 ∗ Pi ∗g ∗sqrt([Di f f ( f , x)]

2
+
[Di f f (g, x)]
2
), x = a b)) = (int(4 ∗ Pi ∗ g ∗ sqrt([di f f ( f , x)]
2
+
0.4. Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay 15
[di f f (g, x)]
2
), x = a b))"
fi;
if a=NULL and b=NULL
then
print("Dien tich xung quanh cua vat the tron xoay gioi han boi cac duong ");
print(y = f , y = g);
print("Hoanh do giao diem cua hai duong cong la nghiem cua phuong trinh
: ");
print(f − g = 0);
print("Ta duoc "solve({f = g}, {x}));
print("Do thi ");
print(plot({f , g}, x = −5 5, y = −8 8));
t := solve( f = g, x);
t := [t];
q:=sapxeptang(t);
S := 0;
i := 1;
while i < nops(q) do
S := S + int(4 ∗ Pi ∗ g ∗ sqrt([di f f ( f , x)]
2

) + ([di f f ( g, x)]
2
), x =
q[1] q[i + 1]) ;
i := i + 1;
od;
print("Vay dien tich xung quanh la: ");
print(S);
fi;
end;
+) Ví dụ: Tính diện tích xung quanh của vật thể tròn xoay giới hạn bởi
các đường y = 2x − x
2
, y = x
3
.
"——————–Bai giai——————–"
"Dien tich xung quanh cua vat the tron xoay gioi han boi cac duong "
y = 2x −x
2
, y = x
3
"Hoanh do giao diem cua hai duong cong la nghiem cua phuong trinh : "
2x −x
2
− x
3
= 0
"Ta duoc " ({x = 0}, {x = 1}, {x = −2})
"Do thi "

"Vay dien tich xung quanh la: "
0

−2

[2 −2x]
2
+ [3x
2
]
2
dx +
1

−2
4πx
3

[2 −2x]
2
+ [3x
2
]
2
dx
0.4. Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay 16
Hình 2:
Tính diện tích xung quanh của vật thể tròn xoay giới hạn bởi các đường
y = x
4

−1
2
, y = x
3
.
"——————–Bai giai——————–"
"Dien tich xung quanh cua vat the tron xoay gioi han boi cac duong "
y = x
4
−1, y = x
3
"Hoanh do giao diem cua hai duong cong la nghiem cua phuong trinh : "
x
4
−1 −x
3
= 0
"Ta duoc " ({x = RootO f (_Z
4
−1 −_Z
3
, index = 1)}, {x =
RootO f (_Z
4
−1 −_Z
3
, index = 2)}, {x = RootO f (_Z
4
−1 −_Z
3

, index =
4)}, {x = RootO f (_Z
4
−1 −_Z
3
, index = 4)}) "Do thi"
"Vay dien tich xung quanh la: "
0.4. Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay 17
Hình 3:
RootO f (_Z
4
−1−_ Z
3
,index=2

RootO f (_Z
4
−1−_ Z
3
,index=3
4πx
3

[4x
3
]
2
+ [3x
2
]

2
dx +
RootO f (_Z
4
−1−_ Z
3
,index=1

RootO f (_Z
4
−1−_ Z
3
,index=3
4πx
3

[4x
3
]
2
+ [3x
2
]
2
dx +
RootO f (_Z
4
−1−_ Z
3
,index=4


RootO f (_Z
4
−1−_ Z
3
,index=3
4πx
3

[4x
3
]
2
+ [3x
2
]
2
dx
0.4. Diện tích xung quanh của một vật thể tròn xoay 18
Tài liệu tham khảo
1. Giáo trình Giải tích Tập 2 Phép tính tích phân hàm một biến - Chuỗi số -
Dãy hàm - Chuỗi hàm
Trần Đức Long - Nguyễn Đình Sang - Hoàng Quốc Toàn
Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
2. LATEX Tra cứu và soạn thảo
Nguyễn Hữu Điển - Nguyễn Minh Tuấn
Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội
3. baitaplon-mau.tex
Bài tập lớn của vuthixuyen.
4. www.google.com

Ket thuc van ban
0.5. Maple là gì ? 19
0.5. Maple là gì ?