Bài tập lớn lý thuyết tạo hình - đại học chính qui
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (437.02 KB, 17 trang )
Bài tập lớn lý thuyết tạo hình
Câu 1:
Viết phương trình và vẽ đường hypoxycloid
-Giả sử có đường tròn bán kính r lăn không trượt trên đường tròn R
như hình vẽ. Khi đó quỹ đạo của 1 điểm M cách đường tròn 1 khoảng
không đổi kr sẽ tạo thành đường hypoxycloid kéo dài.
- Xác định phương trình điểm M
Giả sử có hệ trục cố định Oyxz, tâm O của hệ trục trùng với tâm
đường tròn bánh kính R.
Hệ trục toạ độ động
vvvv
zyxO
gắn với bánh nhỏ, tâm đường tròn bán
kính r trùng với tâm của hệ toạ độ động.
x
x
y
x
y
O
O
O
1
2
2
1
1
1
y
Tại thời điểm ban đầu có
∈
=
11
11
xOM
OxxO
Xác định toạ độ điểm M trong hệ toạ độ Oxyz
Tại thời điểm bất kỳ điểm M tới vị trí M
v
, hệ trục toạ độ động ở vị
trí O
2
x
2
y
2
z
2
, trục O
2
x
2
quay được 1 góc
γ
, tâm hệ trục toạ độ động quay 1
1
Bài tập lớn lý thuyết tạo hình
góc
ϕ
, góc hợp bởi phương của đường thẳng qua tâm hệ trục cố định và
tâm hệ trục động với O
2
x
2
là
β
.
Ta có :
β
=
ϕ
+
γ
Toạ độ điểm M là:
m
MOOOrOM
22
+==
Trong hệ trục Oxyz ta có:
( )
( )
−
−
=
ϕ
ϕ
sin.
cos.
2
rR
rR
OO
Trong hệ trục toạ độ động O
2
x
2
y
2
z
2
toạ độ của điểm M
v
là:
=
0
kr
r
v
M
Vậy toạ độ điểm M trong hệ trục toạ độ đi qua O
2
và có các trục song
song với Ox và Oy là :
O
2
M =
=
0
.
'
'
'
kr
M
y
x
v
Trong đó
'
v
M
là ma trận chuyển từ hệ trục toạ độ đi qua O
2
và có các
trục song song với Ox và Oy sang hệ trục O
2
x
2
y
2
z
2
với góc quay là -
γ
Ta có:
( )
( )
−
−
=
γ
γ
sin
cos
'
v
M
( )
( )
−
−−
γ
γ
cos
sin
=
−
γ
γ
sin
cos
γ
γ
cos
sin
Vậy
r
M
=
( )
( )
−
−
ϕ
ϕ
sin.
cos.
rR
rR
+
−
γ
γ
sin
cos
γ
γ
cos
sin
.
0
kr
( )
( )
−−=
+−=
⇒
γϕ
γϕ
sin.sin
cos.cos
rrRy
rrRx
M
M
Ta lại có
β
=
ϕ
+
γ
và R.
ϕ
= r.
β
Do đó:
ϕγ
r
rR −
=
Vậy ta có phương trình đường Hypoxycloid là
2
Bài tập lớn lý thuyết tạo hình
( )
( )
−
−−=
−
+−=
ϕϕ
ϕϕ
r
rR
krrRy
r
rR
krrRx
sin.sin
cos.cos
Đây là hình vẽ và chương trình vẽ đường Hypoxycloid trên Matlab
lấy các giá trị R =120 , r=20 , k = 1,5
-150 -100 -50 0 50 100 150
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
Chương trình vẽ trên Matlab
%Cac thong so co ban
phi = 0:0.01:4*pi;
3
Bài tập lớn lý thuyết tạo hình
k = 1.5;
r = 20;
R = 120;
a = R-r;
b = a/r;
%
%Thong so ve duong tron
x1=R*cos(phi);
y1=R*sin(phi);
%
%Thong so ve duong Hypoxycloid
x2=a*cos(phi)+k*r*cos(b*phi);
y2=a*sin(phi)- k*r*sin(b*phi);
%
%Lenh ve
plot(x,y ,x2,y2, 'k-');
axis equal;
Câu 2
Cho cặp bánh răng chốt ăn khớp ngoài như hình vẽ. Biết Z
1
= 20,
Z
2
= 40, r
1
= 60 mm, d = 10 mm, t = 6π mm. Hãy tìm biên hình bánh răng.
Giả sử bánh răng 2 cố định, khi đó tâm của vòng tròn của chốt trên
bánh 1 lăn không trượt trên bánh răng 2 sẽ tạo thành đường Hyopxycloid,
còn biên hình của bánh răng 2 là đường cong tiếp xúc với đường tròn có
tâm là tâm chốt chuyển động trên đường Hyopxycloid, bán kính là bán kính
4
Bài tập lớn lý thuyết tạo hình
chốt, ký hiệu (C,d/2). Ta phải tìm biên hình của bánh răng 2, tức là tìm bao
hình của họ đường tròn (C,d/2). Gọi P là tâm quay tức thời của bánh răng 1,
nối P và C, gọi giao điểm của đường thẳng đi qua PC và đường tròn (C,d/2)
là M và M’. Khi đó quỹ tích của điểm M và M’ là bao hình của họ đường
tròn (C,d/2). Ta xác định phương trình của điểm M. Phương trình của điểm
M’ tương tự.
Giả sử có hệ tọa độ cố định Oxy có tâm trùng với tâm bánh răng 2,
hệ trục tọa độ động O
v
x
v
y
v
có tâm trùng với tâm bánh răng 1 lăn không
trượt trên bánh 2, các trục tương ứng song song với các trục Ox, Oy.
x
x
y
O
v
C
C
o
x
y
M
P
y
v
1
1
1
1
Xét tại thời điểm bất kỳ, hệ tọa độ động ở vị trí O
1
x
1
y
1
. So với thời
điểm ban đầu tâm bánh răng 1 quay được 1 góc φ
2
, đồng thời bánh răng 1
cũng lăn được 1 góc φ
1
. Do bánh răng 1 lăn không trược trên bánh răng 2
nên ta có:
2112
ϕϕϕϕ
r
R
rR =⇔=
Tìm tọa độ điểm C trong hệ tọa độ cố định. Ta có
COOCOC
11
+=
5
Bài tập lớn lý thuyết tạo hình
Trong hệ tọa độ Oxy ta có:
−=
−=
21
21
sin).(
cos).(
ϕ
ϕ
rRy
rRx
O
O
Trong hệ tọa độ O
1
x
1
y
1
ta có:
( )
( )
−−=+−−=
−=+−−=
)sin(.180sin.
)cos(.180cos.
2112
2112
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
rry
rrx
C
C
Vậy tọa độ điểm C trong hệ tọa độ cố định Oxy là:
−−−=
−+−=
)sin(.sin)(
)cos(.cos)(
212
212
ϕϕϕ
ϕϕϕ
rrRy
rrRx
C
C
Xét đoạn CM, đường thẳng qua CM hợp với phương song song với
Oy một góc
−
+
2
180
1
2
ϕ
ϕ
. Do đó ta có độ dài của CM theo phương Ox
và Oy là:
−=
−
+=
−=
−
+=
)
2
cos(
2
)
2
180
sin(
2
)
2
sin(
2
)
2
180
cos(
2
2
11
2
2
11
2
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕ
ϕϕ
ϕ
dd
y
dd
x
CM
CM
Vậy tọa độ điểm M trong hệ tọa độ Oxy là:
−−−+
−=
−+−+
−=
)sin(.sin)(
2
cos
2
)cos(.cos)(
2
sin
2
2122
1
2122
1
ϕϕϕϕ
ϕ
ϕϕϕϕ
ϕ
rrR
d
y
rrR
d
x
M
M
Với
21
ϕϕ
r
R
=
ta có:
−
−−+
−
=
−
+−+
−
=
)sin(.sin)(
2
2
cos
2
)cos(.cos)(
2
2
sin
2
222
222
ϕϕϕ
ϕϕϕ
r
rR
rrR
r
rRd
y
r
rR
rrR
r
rRd
x
M
M
Theo bài ra ta có Z
1
= 20, Z
2
= 40, r
1
= 60 mm, d = 10 mm. Do đó
6
Bài tập lớn lý thuyết tạo hình
( )
mmr
Z
Z
R 12060
20
40
1
2
===
Vậy ta có phương trình của điểm M là:
=
=
⇔
−+=
+=
5
cos120
sin.60sin605
cos.60cos60
2
22
22
M
M
M
M
y
x
y
x
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
Suy ra phương trình của điểm M’ là:
−=
−=
5
cos120
2
M
M
y
x
ϕ
Phương trình của điểm C
=
=
⇔
−=
+=
0
cos120
sin.60sin60
cos.60cos60
2
22
22
C
C
C
C
y
x
y
x
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
Ta có hình vẽ và chương trình vẽ biên hình của bánh răng ứng với 1
chốt trên Matlap
7
Bài tập lớn lý thuyết tạo hình
-150 -100 -50 0 50 100 150
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
-150 -100 -50 0 50 100 150
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
8
Bài tập lớn lý thuyết tạo hình
Chương trình vẽ trên Matlab
phi = 0:0.01:4*pi;
%
%Toa do diem M
xm = 120*cos(phi);
ym = 5;
%
%Toa do diem C
xc= 120*cos(phi);
yc=0;
%
%Thong so ve banh rang lon
x= 120*cos(phi);
y = 120*sin(phi);
%
%Cac thong so ve chot
xchot1=120+5*cos(phi);
ychot1=5*sin(phi);
xchot2=-120+5*cos(phi);
ychot2=5*sin(phi);
xchot3=5*cos(phi);
ychot3=5*sin(phi);
%
%Cac thong so ve banh rang nho
xbanh11=60+60*cos(phi);
ybanh11=60*sin(phi);
xbanh12=-60+60*cos(phi);
ybanh12=60*sin(phi);
xbanh13=60*cos(phi);
ybanh13=60+60*sin(phi);
xbanh14=60*cos(phi);
ybanh14=-60+60*sin(phi);
%
%Lenh ve
9
Bài tập lớn lý thuyết tạo hình
plot(x,y,xm,ym,xm,-
ym,xc,yc,xchot1,ychot1,xchot2,ychot2,xchot3,ychot3,xba
nh11,ybanh11,xbanh12,ybanh12,xbanh13,ybanh13,xbanh14,y
banh14);
axis equal;
Câu 3 : Viết phương trình và vẽ đường xoắn vít trái
Giả sử có điểm M trong hệ toạ độ cố định Oxyz thực hiện cùng lúc 2
chuyển động: chuyển động tịnh tiến theo phương Oz với vận tốc u và
chuyển động quay quanh trục Oz với vận tốc góc ω trong đó
0<=
ϖ
u
p
.
Khi đó quỹ đạo của điểm M tạo thành đường xoắn vít trái.
- Lập phương trình của điểm M:
x
O
Giả sử có hệ toạ độ động
vvvv
zyxO
gắn với điểm M trong đó
M∈O
v
x
v
và O
v
M = r
o
. Tại thời điểm ban đầu ta có:
10
Bài tập lớn lý thuyết tạo hình
==
≡
≡
≡
oovv
vovo
vovo
vovo
rMOMO
zOOz
yOOy
xOOx
Toạ độ điểm M trong hệ toạ độ cố định Oxyz là:
zyxM
e.ze.ye.xrOM ++==
Toạ độ điểm M trong hệ toạ độ động
vvvv
zyxO
là:
vzvyvxovzvyvxvMv
eeerezeyexrMO .0.0 ++=++==
Vậy ta có :
=
⇔=
1
0
0
.
1
.
o
OVMvOV
M
r
M
z
y
x
rMr
Trong đó M
OV
là ma trận chuyển đổi toạ độ từ hệ trục Oxyz sang hệ
trục
vvvv
zyxO
. Từ vị trí M
o
, điểm M quay quanh trục Oz một góc ϕ và tịnh
tiến một đoạn p.ϕ dọc trục Oz. Khi đó hệ trục toạ độ
vvvv
zyxO
cũng quay
quanh trục Oz một góc ϕ và tịnh tiến một đoạn p.ϕ dọc trục Oz. Vậy ma
trận chuyển đổi toạ độ từ hệ trục Oxyz sang hệ trục
vvvv
zyxO
là:
−
=
1000
100
00cossin
00sincos
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
p
M
Ov
Vậy ta có phương trình:
11
Bài tập lớn lý thuyết tạo hình
=
=
=
⇔
−
=
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
.
sin.
cos.
1
0
0
1000
100
00cossin
00sincos
1
pz
ry
rx
r
pz
y
x
o
o
o
Đây là phương trình của đường xoắn vít trái
Ta có hình dạng đường xoắn vít trái với p = -6; r
o
= 10
Đây là hình vẽ và chương trình vẽ trên Matlap
-10
-5
0
5
10
-10
-5
0
5
10
-200
-150
-100
-50
0
12
Bài tập lớn lý thuyết tạo hình
Chương trình vẽ trên Matlab
%Khoang cach toi truc z
r = 10;
%Buoc xoan
p = -6;
phi = [0:0.01:10*pi];
x = r*cos(phi);
y = r*sin(phi);
z = p*phi;
plot3(x,y,z,'k-');
Câu 4 : Viết phương trình và vẽ mặt xoắn vít thân khai
Giả sử có đường xoắn vít τ với bước xoắn p. Có đường thẳng ∆ là
tiếp tuyến với đường xoắn vít τ và cũng thực hiện chuyển động xoắn vít với
bước xoắn p. Khi đó mặt do ∆ tạo ra khi chuyển động là mặt xoắn thân khai
*Lập phương trình mặt xoắn thân khai
Chọn Oxyz là hệ toạ độ cố định,
vvvv
zyxO
là hệ toạ độ động gắn với
∆.
Tại thời điểm ban đầu giả sử có điểm M
o
∈τ, ta có:
≡
≡
≡
∈
vo
vo
vo
o
OzOz
OyOy
OxOx
OxM
- Xác định phương trình đường thẳng
∆
trong hệ tọa độ động
Giả sử ∆ thuộc mặt phẳng song song với Oy
v
z
v
, cắt trục Ox
v
tại điểm
có toạ độ (r
o
,0,0).
Xét 1 điểm M ∈∆ là tiếp điểm của ∆ và τ, toạ độ của điểm M trong
hệ toạ độ động là: M(r
o
,0,0)
Từ M kẻ đường thẳng Mx
’
song song với trục Ox, khi đó gọi góc hợp
bởi Mx
’
và ∆ là λ. Đây cũng là góc nâng của đường xoắn vít τ. Gọi M’ là
điểm bất kì trên ∆, kí hiệu độ dài đoạn MM’ = t. Ta có toạ độ điểm M’
trong hệ toạ độ động
vvvv
zyxO
là
13
Bài tập lớn lý thuyết tạo hình
=
=
=
λ
λ
sin.
cos.
'
'
'
tz
ty
rx
vM
vM
ovM
Vậy phương trình đường thẳng ∆ trong hệ toạ độ động
vvvv
zyxO
là:
=
=
=
λ
λ
sin.
cos.
tz
ty
rx
v
v
ov
Khi đó, phương trình đường thẳng ∆ trong hệ toạ độ Oxyz là:
=
11
v
v
v
ov
z
y
x
M
z
y
x
Trong đó M
ov
là ma trận chuyển từ hệ toạ độ Oxyz sang hệ toạ độ
vvvv
zyxO
. Tại vị trí như hình vẽ hệ trục toạ độ
vvvv
zyxO
quay được 1 góc
ϕ so với hệ trục Oxyz và tịnh tiến được một đoạn p.ϕ
Do đó:
−
=
1000
.100
00cossin
00sincos
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
p
M
ov
Vậy ta có
−
=
1
.
1000
.100
00cossin
00sincos
1
v
v
v
z
y
x
pz
y
x
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
14
Bài tập lớn lý thuyết tạo hình
<=>
−
=
1
sin.
cos.
.
1000
.100
00cossin
00sincos
1
λ
λ
ϕ
ϕϕ
ϕϕ
t
t
r
pz
y
x
o
<=>
+=
+=
−=
ϕλ
ϕλϕ
ϕλϕ
.sin.
cos.cos.sin.
sin.cos.cos.
ptz
try
trx
o
o
Biểu diễn mặt xoắn vít thân khai với r
o
=10 , p = 5
15
Bài tập lớn lý thuyết tạo hình
Chương trình vẽ trên Matlab
%
%Ban kinh hinh tru chu duong xoan vit
r =10;
%Buoc xoan
p = 5;
a = r/(r*r + p*p);
b = p/(r*r + p*p);
phi = 0:0.25:5*pi;
t = linspace(0,40,15);
[phi,t]= meshgrid(phi,t);
%
%Cac toa do cua mat xoan vit
x = r*cos(phi)-t.*sin(phi)*cos(a);
y = r*sin(phi)+t.*cos(phi)*cos(a);
z = t*sin(b) + p*phi;
surf(x,y,z);
axis equal;
16
Bài tập lớn lý thuyết tạo hình
Tài liệu tham khảo
1. Matlab và Simulink dành cho kỹ sư điều khiển tự động
Tác giả: Nguyễn Phùng Quang
17
