tổng hợp tài liệu môn toán phần đạo hàm

Traàn Thaønh Minh - Phan Löu Bieân – Traàn Quang Nghóa

GIAÛI TÍCH 11





www.saosangsong.com.vn















Chương 5 : Đạo hàm
www.saosangsong.com.vn
2
CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM
§1 . Đạo h ïo hàm . àm & ý nghóa hình học của đa

A . Tóm tắt giáo kh
Cho hàm số y = f ( x ) xác đònh trên khỏang (a,b) và x
o
thuộc
o o
õa
oa .
tại một điểm :
1 . Đạo hàm của hàm số
khỏang ( a , b ) .
Đạo hàm của hàm số y = f ( x ) tại điểm x , ký hiệu là f’ ( x ) , là giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số giư
số gia của hàm số
yΔ
và số gia của biến số
x
Δ
tại điểm x
o
khi số gia của biến số dần tới 0 :

x 0 0
() ( ) ( ) ( )
'( lim im lim
ooo
) l
x
o
o
xxx
o

f
xfx fx xfx
y
fx
−+Δ−
xxx
→Δ→Δ→
Δ
===
−Δ Δ

Chú ý : Nếu hàm i số y = f ( x ) có đạo hàm tại điểm x
o
thì hàm số này liên tục tại đ ểm x
o

2 . Đạo hàm của hàm số trên một khoảng :
) .
D là một khoảng ( hay hợp của nhiều khoảng
Hàm số y = f ( x )
có đạo hàm trên D khi nó có đạo hàm tại mọi điểm x
o
thuộc D .
ược gọi là đạo

Khi đó ta có một hàm số xác đònh trên D : y’ = f’( x ) với mọi x thuộc D . Hàm số này đ
hàm của hàm số y = f ( x ) .
Đạo hàm của một số hàm số thường gặp :
1
0 ,

() '() 1 ,
() ( , 2) '() ,
1
() '() ,
2
nn
() '()
f
xC fx xR
f
xx fx xR
f
xxnNn fxnx xR
xx fx xR
x
−
+
=⇒=∀∈
=⇒=∀∈
=∈≥⇒ = ∀∈
=⇒=∀∈
f

(C là một hằng số)
của đạo hàm : Cho hàm số y =

. Ý nghóa hình học
3
M
x

0

f(x
0
)
ϕ

Hệ số góc của tiếp

f ( x ) có đạo hàm tại điểm x
o
, đồ thò của hàm số là ( C
) .
Đònh lý : Đạo hàm của hàm số tại điểm x là hệ số góc
tuyến tanϕ = f’(x
0
)
o
o
o 0
của tiếp tuyến với đồ thò ( C ) tại điểm M
o
( x
o
, f(x
o
))
thuộc ( C )
Như thế , phương trình của tiếp tuyến với ( C ) tại M (
x

o
, y
o
) thuộc ( C ) có dạng :
( t ) : y = f’( x
o
) ( x – x ) + f(x ) .


B . Giải tóan .
Dạng 1 : Tính đạo hàm của hàm số tại x
0
.
Ta thường thực hiện các bước sau :
 Cho x
o
một số gia
x
Δ
và tinh số gia
y
Δ
.
 Lập tỉ số
y
() () (
o
) ()
o o
o

f
x
Δ
=
Δ
x xfx
xx x
+−
−Δ
và tìm giới hạn của tỉ số này khi .
o
). Giới hạn này, nếu có, là đạo hàm f’(x

Ví dụ : Tính đạo của các hàm số sau tại x
o

o
fx fx− Δ
=
0xΔ→
(hay x → x
o
) của hàm số tại điểm x
o
.

tương ứng :
f ( x) = x
2
a) y = + 3x – 1 tại x = 2

Chương 5 : Đạo hàm
www.saosangsong.com.vn
3
b) y = f ( x ) =
21
2
x
x
+
+
tại x
o
= 1
Giải :
a) Cho x
o
= 2 một số gia
x
Δ
, ta có :

() ()
22
22
( ) ( ) (2 ) 3(2 ) 1 2 3.2 1
[4 4 6 3 1] 9 7
oo
yfx x fx x x
xx x x x
⎡⎤⎡

Δ = +Δ − = +Δ + +Δ − − + −
⎣⎦⎣
=+Δ+Δ ++Δ−−=Δ +Δ
⎤
⎦
Suy ra:
x0
(x)7 lim =7
x x
yy
Δ→
ΔΔ
=Δ +=>
ΔΔ
. Vậy f’(2) = 7.
Cách trình bày khác: Ta có:

22
(x) - f(2) (x + 3 x 1) - 9 x +3x - 10
x 2 x 2 x 2
(x 2)(x +5)
x 5
x 2
f −
==
−−
−
==+
−
−

Suy ra:
x 2
(x) - f(2)
lim 2 5 7
x 2
f
→
=+=
−
. Vậy đạo hàm f’(2) = 7.
b) Cho x
o
một số gia , ta có : ()
o
x saocho x xΔ+Δ2≠−

2(1 ) 1
(1 ) (1) 1
(1 ) 2
[2(1 x) +1] [(1 x)+2] x
(1 ) 2 3 x
1
x 3+ x
x
yf x f
x
x
y
+Δ +

Δ= +Δ − = −
+Δ +
+Δ − +Δ Δ
==
+Δ + +Δ
Δ
=> =
ΔΔ
Trình bày khác:
1
21
1
() (1) 1
2
11(1)(
() (1) 1 1
lim
1123
x
x
fx f x
x

Suy ra:
x 0
1
lim
x3
y
Δ→

Δ
=
Δ
. Vậy f’(1) = 1/3 .

Dạng tóan 2 : Tính đạo hàm của hàm số .
Ta thường thực hiện các bước sau : Gọi x
0
là một giá trò thuộc tập xác đònh của f.
 Tính đạo hàm f’(x
0
) theo x
o
.
 Thay x bằng x
o
ta được đạo hàm f’(x).

Ví dụ 1 : Tính đạo hàm của các hàm số sau :
a) y = x
3
+ 3x – 2 . b) y =
2
1
x
x
+
+
. c)
1

()yfx
x
== .
Giải :

a) Cho x
o
một số trò bất kì của x, ta có :
33
33 2 2
22
( ) ( ) ( 3 2) ( 3 2)
( ) 3( ) ( )[( ) 3]
() ( )
3
ooo
ooooo
o
oo
o
yfx fx x x x x
x x xx xx x xx x
fx fx
y
xxxx
xxx
Δ= − = + − − + −
=− +−=− ++ +
−
Δ

=> = = + + +
Δ−



22
0
'( ) lim 3 3 3
ooooo
x
y
fx x xx x x
2
o
x
Δ→
Δ
==+++=
Δ
+
.
Vậy f’( x ) = 3 x
2
+ 3 .
b) Ta có :
x
xxx
fx f
x
→

+
−
−
−
+
==
−
−−
+
−
=> = =
−+
Vậy f’(1) = 1/3.
Chương 5 : Đạo hàm
www.saosangsong.com.vn
4
2
0
2()
2
() ( )
11(1)(1)
1
(1)( 1)
11
'( ) lim lim
(1)( 1) ( 1)
o
oo
o

oo
o
o
xxx
oo
xxx
x
yfx fx
xx xx
y
xxx
y
fx
xxx x
Δ→ →
+−−
+
Δ= − = − =
++++
Δ
=> = −
Δ++
⎛⎞
Δ
=> = = − = −
⎜⎟
Δ++
⎝⎠
+

Vậy f’(x) =
2
1
(1)x
−
+

c) Ta có :
00
11
()()
.
.( )
11
'( ) lim lim
.( )2
1
'( )
2
oo
oo
oooo
oo o o
o
xx
oo o o oo
xxx
yhx x hx
xxx xxx
x

xx xx x x
y
yx
x
x
xxx xx xx
hay y x
xx
Δ→ Δ→
−+Δ
Δ= +Δ − = − =
+Δ +Δ
−Δ
=
+Δ + +Δ
Δ−−
== =
Δ
+Δ + +Δ
−
=


Dạng toán 3 : Tiếp tuyến với đồ thò của hàm số y = f ( x ) tại điểm M.
Sử dụng công thức : Phương trình của tiếp tuyến tại M là: y = f’ (x
o
) (x – x
o
) + f(x
o

) .
Ta thường gặp các trường hợp sau:
a) Cho hoành độ x
0
(hay tung độ f(x
0
) của điểm M) : ta phải tìm f(x
0
) (hay x
0
) và f’(x
0
), rồi áp dụng công
thức .
b) Cho biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng k : Giải phương
trình f’(x
o
) = k ta tìm được x
o
, suy ra f(x
o
). Rồi áp dụng
công thức.
M
x
0

f(x
0
)

A
c) Cho biết tiếp tuyến với ( C ) qua một điểm cho trước A
( x
A
, y
A
) : Ta thực hiện các bước sau :
 Viết phương trình của tiếp tuyến tại điểm M ( x
0
;
f(x
0
)) bất kì theo ẩn x
0
là (t ) : y = f’(x
o
) ( x – x
o
) +
f(x
0
) .
 Tiếp tuyến này qua A nên : y
A
– y
o
= f’(x
o
) (x
A

–
x
o
) .
 Giải phương trình này ( ẩn là x
o
) ta tìm được x
o
.
Suy ra PT tiếp tuyến cần tìm.


Ví dụ 1 : Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò ( C ) của hàm số y = f ( x ) = x
2
biết
a) Tiếp điểm có hòanh độ bằng – 3
b) Tiếp tuyến này song song với đường thẳng d : y = 2x + 3 .
c) Tiếp tuyến này đi qua điểm A (- 1 , - 3)

Giải :
a)Ta có : y’ = f’(x) = 2x . x
o
= - 3 , suy ra y
o
= (- 3)
2
= 9 ; f’(x
o
) = 2(-3) = -6 . Vậy phương trình của tiếp
tuyến này là : y = - 6( x + 3) + 9 hay y = - 6x - 9 .

Chương 5 : Đạo hàm
www.saosangsong.com.vn
5
b) Phương trình của tiếp tuyến với ( C ) tại điểm (x
o
, y
o
) thuộc ( C ) có dạng : y = 2x
o
(x –x
o
) + x
0
2
. Tiếp
tuyến này song song với d : y = 2x + 3 nên : 2x
o
= 2 (hai đường thẳng song song có hệ số góc bằng nhau)
hay x
o
= 1 . Vậy phương trình của tiếp tuyến này là : y = 2( x – 1) + 1 hay y = 2x – 1 .

c)Phương trình của tiếp tuyến với ( C ) tại điểm (x
o
, y
o
) thuộc ( C ) có
dạng :
y = 2x
o

(x – x
o
) + x
0
2
Ù y = 2 x
o
x – x
0
2
(1)
Tiếp tuyến này qua A(-1, -3) nên : - 3 = 2x
o
( -1) – x
0
2

Ù x
o
2
+2x
o
- 3 = 0 .
Ù x
o
= 1 hay x
o
= - 3 .
Thế vào (1), ta được y = 2x – 1 hay y = -6x – 9 .
Có 2 tiếp tuyến của (C) đều qua điểm A.

Ví dụ 2 : ( C ) là đồ thò của hàm số
1
2
x
y
x
+
=
−
và cho biết :
2
3
'
(2)
y
x
−
=
−

a) Viết phương trình của tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp điểm có tung độ bằng 4 .
b) Viết phương trình của tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng
d : 3y – x + 1 = 0 .
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x
0
dưới dạng y = ax + b
p dụng: tìm trên O x những điểm A sao cho không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua.

Giải :
Ta có : hàm số xác đònh khi và
2x ≠
2
3
'
(2)
y
x
−
=
−
.
a)
0
1
()4 4 4 8 1 3
2
o
ooo
o
x
fx x x x
x
+
=⇔ =⇔ −= +⇔ =
−
.
Tiếp điểm là T(3, 4) , hệ số góc của tiếp tuyến tại T là : y’(3) = - 3 . Vậy phương trình của tiếp tuyến tại
T là : y = - 3( x – 3) + 4 Ù y = - 3x + 13 .

b) d: y =
11
33
x −
=> hệ số góc của đường thẳng d là
1
3
. Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến phải tìm , ta có
:
1
.1 3
3
kk=− ⇔ =−
( vì 2 đường thẳng vuông góc với nhau khi tích số 2 hệ số góc bằng -1 ) .
Gọi x
o
là hòanh độ tiếp điểm của tiếp tuyến này , ta có : y’(x
o
) = - 3
()
2
2
3()4
3
321
1()2
(2)
oo
o
oo

o
xfx
x
xfx
x
=
=> =
⎡
−
⇔=−⇔−=⇔
⎢

=
=> = −
−
⎣
Vậy phương trình tiếp tuyến là : y = - 3(x – 3) + 4 Ù y = - 3x + 13
Hay : y = - 3(x –1) – 2 Ù y = -3x + 1 .
c) Phương trình tiếp tuyến tại M : y = f’(x
o
)(x – x
0
) + f(x
o
) =
2
1
3
()
(2)

o
o
oo
x
xx
xx
+
−−+
2
−
−

Ù y =
22
3(1)(2
3
(2) (2)
oo o
oo
xx x
x
xx
++ −
−+
−−
)

Ù y = -
2
3

(2)
o
x
x −
+
2
2
2
(2)
oo
o
xx
x
+−
−
2
(1)
* Gọi A(a, 0) là điểm trên trục Ox. Tiếp tuyên qua A Ù (1) thỏa với x = a và y = 0
Chương 5 : Đạo hàm
www.saosangsong.com.vn
6
Ù 0 =
2
2
322
(2)
oo
o
ax x
x

−+ + −
−
2
2230(2)( 2)
oo o
xx a x+−−= ≠
Ù
Không có tiếp tuyến nào qua A Ù (2) VN hay (2) có nghiệm kép bằng 2
Ù
2
'33 0
1
'33 0
1
1
2
2423 0
a
a
a
a
a
a
a
Δ= + <
<−
⎡
⎡
⎢
⎢

Δ= + =
<=> <=> < −
=−
⎧
⎧
⎢
⎢
⎨⎨
⎢
⎢
=
+−− =
⎩
⎩
⎣
⎣

C . Bài tập rèn luyện .
5.1 . Tính đạo hàm các hàm số sau tại giá trò x
o
tương ứng
a) y = 2x
2
+ 3x tại x
o
= 2 . b) y = 4x
3
+ x
2
– 2x tại x

o
= 1.
c) y =
2
1
x
x
+
tại x
0
= 1 d) y =
1
4x
+
tại x
o
= 0
5.2 . Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = (x – 3)
2
b) y =
25
3
x
x
−
+
c) y = x 1
x
−

5.3 .Cho biết hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x = a là f’(a) , tìm các giới hạn sau :
00
(4) () (2) (3)
)lim )lim
hh
f
ahfa fahfah
ab
hh
→→
+− +− −
⎛⎞ ⎛ ⎞
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠

c)
22
() ()
lim( )
xa
x
fa afx
xa
→
−
−

5.4 . ( C ) là đô thò của hàm số y =
x

.
a) Viết phương trình của tiếp tuyến với ( C ) tại điểm M thuộc ( C ) có hòanh độ bằng 1 .
b) Viết phương trình của tiếp tuyến với ( C ) tại điểm N thuộc ( C ) có tung độ bằng 2 .
c) Viết ph
ương trình tiếp tuyến của © biết tiếp tuyến qua điểm
5.5 . ( C ) là đồ thò của hàm số :
2
3
3
xx
y
x
++
=
+

a) Chứng minh đạo hàm:
2
2
6
'
(3)
x
x
y
x
+
=
+

b) Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) tại giao điểm của ( C ) với đường thẳng d : y = 5.
c)* Gọi M , N là 2 điểm trên ( C ) sao cho tiếp tuyến với ( C ) tại M , N song song với nhau . Hai điểm M ,
N sẽ đối xứng với nhau qua điểm cố đònh nào ?

D . Hướng dẫn – Đáp số .
5.1. a) f’(2) = 11 b) f’(1) = 12 c) f’(1) = - 3
3
d) f’(0) = - 1/16

5.2. a) y’ = 2(x – 3) b) y’ =
2
11
(3)x +
c) y’
32
21
x
x
−
=
−

[]
00
0
(4) () ( ) ()
5.3. ) lim lim 4 4 '( )( 4 )
(2) () (3) ()
)lim 2 '() 3 '() 5 '()
xx

h
fa h fa fa x fa
afaxh
hx
fa h fa fa h fa
bfafafa
h
Δ→ Δ→
→
+− ⎡ +Δ− ⎤
⎛⎞⎛⎞
==Δ=
⎜⎟⎜⎟
⎢⎥
Δ
⎝⎠⎝⎠
⎣⎦
⎡⎤
+− − −−
=+=
⎢⎥
⎣⎦

Chương 5 : Đạo hàm
www.saosangsong.com.vn
7

[
]
()

22 2
22
22
( ) () () ()
() ()
)lim lim
() ()
lim ( ) lim . 2 ( ) '( )
xa xa
xa xa
x
afa afx fa
xfa afx
c
xa xa
fx fa
x afa a afa af a
xa
→→
→→
⎡⎤
−−−
⎡⎤
−
=
⎢⎥
⎢⎥
−−
⎣⎦
⎣⎦

−
⎡⎤
=+ − =−
⎡⎤
⎣⎦
⎢⎥
−
⎣⎦


5.4 .
11
)(1))
24
ay x by x=+ =+
1

tiếp tuyến tại điểm (x
0
; x
o
) của © là : y =
1
(x x )+ x
2x
oo
o
−
c) Ph
ương trình

Ù y =
x
x
2
2x
o
o
+

Tiếp tuyến qua điểm (8 ; 3) Ù 3 =
x
8
x- 6 x+8=0
2
2x
o
oo
o
+ <=>

Ù
x2 x
o
hay= 4
o
= Ù x
0
= 4 hay x
o
= 16.

Vậy có hai tiếp tuyến y =
1
1
4
x
+
hay y =
1
2
8
x
+


5.5 . a) Phương trình hòanh độ giao điểm của d và ( C ) :
2
2
2
3
54120
6
3
x
xx
xx
x
x
=−
⎡
++

=⇔ − − =⇔
⎢
=
+
⎣

Với x = - 2 : y’ = - 8 => Phương trình tiếp tuyến là : y = - 8x – 11 .
Với x = 6: Phương trình tiếp tuyến là :
81
93
yx
=
−
()
.
b) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến với ( C ) tại M , N và x
1
, x
2
là hòanh độ tiếp điểm M , N , ta có :
()
22
1122
22
12
66
33
xxxx
k
xx

++
==
++
()
hay x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình
2
2
12
2
66(1)
(1) 6(1)9 0 3
22(1)
3
xx
xx k
kkx kxk
k
x
+
+−−
=⇔ − + − + =⇒ = =−
−
+
(*)
Vậy hòanh độ trung điểm I của MN bằng – 3 .
Tung độ trung điểm I là :

()( )
()
22 22
11 22 11 22
12 11
22
1212
1 2 12 12
111
21122 1
33 3311
22 3 32 3 3
1
5( )
5
2 3 2( 3) 2( 3)
( (*) : 3 ( 3); 2( 3) 2( 3))
MN
I
yy
xx xx xx xx
y
xx xx
xxxx
xx xx xx
xxx
do cho x x x x x x
⎛⎞⎛⎞
+
++ ++ ++ ++

== + = −
⎜⎟⎜⎟
++ ++
⎝⎠⎝⎠
−++
−+− − −
== ==−
+++
+=− + − =− + = +


Hai điểm M , N nhận I ( - 3 , - 5 ) làm trung điểm nên đối xứng qua I cố đònh .
Tóm lại , 2 điểm M , N trên ( C ) có tiếp tuyến với ( C ) tại M , N song song với nhau thì luôn đối xứng
qua điểm I ( - 3 , - 5 ) .



Chương 5 : Đạo hàm
www.saosangsong.com.vn
8
§2 . Quy tắc tính đạo hàm .

Hàm số Đạo hàm
y = u+v-w y ’ = u’+v’- w’
y = uv y ’ = u’v + uv’
y =
ku
y ’ = ku’
Y =
u

v
y ’ =
2
'uv uv
v
−
A Tóm tắt giáo khoa .
1 . Các quy tắc tính đạo hàm .

(u = u(x) , v = v(x) , w = w( x) có đạo hàm và k
là một hằng số )

B . Gỉai tóan .
Dạng tóan 1 : Tính đạo hàm bằng công thức .
Xét xem hàm số cho thuộc dạng nào : y = u + v
– w ; y = u.v ; y =
u
v
hoặc y là hàm số hợp
[
]
()yfux=
( u , v , w là những hàm số thường
gặp ) và áp dụng các công thức tính đạo hàm .
'

Y =
k
y’ =
2

'kv
−
v v

y = f[u( x)] y ’ = f’[u(x)]u’( x )
Y = u
n
y ’ = n.u
n – 1
. u’
y = u
y ‘ =
'
2
u
u




Ví dụ 1 : Tính đạo hàm của các hàm số sau :
a) y = 3x
4
- 2x
3
+ 5x - 2 b) y =
2
5
3
x

x
−
c) y= ( 2x
3
—x
2
) ( 3x + 2 ) d) y =
23
31
x
x
−
+
.
Giải :
a) Hàm số cho có dạng y = u + v – w , do đó : y’ = 3( x
4
)’ – 2( x
3
)’ + 5( x)’ – ( 2 )’ = 12x
3
– 6x
2
+ 5 .
b) Tương tự , ta có : y’ =
23
3
33310
5( ) ' 10
222

xx
x
xxx
−−
−=+=+
c) Hàm số cho có dạng : y = u.v , do đó :
y’ = (2x
3
-x
2
)’(3x + 2 ) + (2x
3
-x
2
) (3x +2)’ = (6x
2
-2x) (3x + 2) +( 2x
3
– x
2
) .3
= 24x
3
+ 3x
2
– 4x .
d) Hàm số cho có dạng :
u
y
v

=
, do đó :
y’=
()()()()
()
(
)
(
)
()
()
222
2 3'3 1 2 3 3 1' 23 1 2 3.3
11
31 31 31
xx xx x x
xxx
−+−−+ +−−
==
+++
() ( )


Ví dụ 2 : Tính đạo hàm của các hàm số sau :
()
53
232
6
2
2

232 3 5
4
)31 ) 32 )
1
(2 1)
)2 1 )(21)(6) )
2
ay x x by x x cy
x
x
dy x x x ey x x fy
x
=++ = ++ =
+
−
=++ =−+ =
+

Giải :
a) Hàm số cho có dạng : y = u
5
, do đó :
y’ = 5u
4
u’ = 5( x
2
+ 3x + 1)
4
(x
2

+3x + 1 )’= 5(x
2
+3x +1 )
4
(2x + 3)
Chương 5 : Đạo hàm
www.saosangsong.com.vn
9
()
()
()()
()
b) Hàm số cho có dạng :
5
432
32 2
5
32
32
32'
53236
'
'
2
232
232
xx
x
xxx
u

yuy
u
xx
xx
⎡⎤
++
++ +
⎢⎥
⎣⎦
=⇒= = =
++
++

c) Hàm số cho có dạng :
()
()
()
()
()
6
52
2
12 12 7
2
222
41'
24 1 .2
44' 48
'
111

x
xx
vx
yy
vv
xxx
⎡⎤
−+
−+
−−
⎢⎥
⎣⎦
=⇒ = = = =
+++

d) Hàm số cho có dạng : y = u.v , do đó :
()
(
)
2
2 32 2 32 32 2
32
32 22 4 3
32 32
62
''2121'221
22 1
2(2 1) (3 ) 7 3 2
21 21
x

x
y x xx x xx xxx x
xx
xx x x x x x x x
xx xx
+
= + ++ + + = + ++
+
+
+++ + + +
==
++ ++

e) y’ = [(2x – 1)
3
]’ (x + 6)
5
+ (2x – 1)
3
[(x + 6)
5
]’
= 6(2x – 1)
2
(x + 6)
5
+ (2x – 1)
3
(x + 6)
4

= (2x – 1)
2
(x + 6)
5
(8x + 35)
2
22
2
1
4(2 1) 2 (2 1)
[(2 1) ]' 2 (2 1) .[ 2]'
22
'
22
8(2 1)( 2) (2 1) (2 1)(6 17)
2( 2) 2) 2( 2) 2
xx x
xxxx
x
y
xx
xx x x x
xx xx
−+−−
−+−−+
+
==
++
−+−− − +
==

++ ++
f)

Ví dụ 3 : Cho hàm số :
ax b
y
cx d
+
=
+
. Chứng minh rằng :
2
'
()
ad bc
y
cx d
−
=
+
.
Áp dụng công thức này , tính đạo hàm của các hàm số sau :
3
32 3 5
))) )
21 2 1 23
xxx
ay by cy dy
xxxx
−− −

⎛⎞
=== =
⎜⎟
++ − +
⎝⎠
()()()()
()

Giải :
(
)
(
)
()
Ta có :
()
222
''.
'
axb cxd axbcxd acxd axbc
ad bc
y
cx d cx d cx d
+ +−+ + +−+
−
===
+++
()

a) a = 3 ; b = -2 ; c = 2 ; d = 1

2
7
'
21
y
x +
⇒=

b) a = -1 ; b = 3 ; c = 1 ; d = 2
()
2
5
'
2
y
x
−
⇒=

+
c) Đặt u =
x
: a = 1 ; b = 0 ; c = 1 ; d = 1
()
2
1
'
1
u
x

−
⇒=

x
1−
−
Và y = u
3
=> y’ = 3u
2
u’ =
2
2
24
13
3.
x
.
1(1) (1)
x
xx x
−−
⎛⎞
=
⎜⎟
−− −
⎝⎠

d) Đặt u =
5

23
x
+
: a = 0 ; b = 5 ; c = 2 ; d = 3
2
10
'
(2 3)
u
x
−
⇒=
+

Và y =
2
10
'
(2 3)
'
25
2
23
u
x
uy
u
x
−
+

=> = =
+
= -
5
(2 3) 2 3xx
−
+
+


Chương 5 : Đạo hàm
www.saosangsong.com.vn
10
Dạng tóan 2 : Một số bài tóan có liên quan đến đạo hàm .

Ví dụ 1 : Cho hàm số : y = x
3
+ 3x
2
+10x – 3 , dồ thò là ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết
tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất .

Giải :
Hệ số góc của tiếp tuyến với ( C ) tại tiếp điểm có hòanh độ x là :
y’ = 3x
2
+ 6x +10 = 3 ( x

+ 1)
2

+7 ; dấu “ = “ xảy ra khi x = - 1 .
7≥
Vậy trong tất cả các tiếp tuyến với ( C ) , tiếp tuyến có hệ số góc bằng 7 là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ
nhất ứng với x
0
= - 1 => f(x
9
) = f(- 1) = - 11.
Phương trình tiếp tuyến là : y = 7 ( x + 1 ) – 11 hay : y = 7x –4 .

Ví dụ 2* : f(x) là một đa thức thỏa hệ thức
: f’(x).f(x) = f’(x) + f(x) +2x
3
+ 2x
2
– 1 (1)
a) Đa thức f(x) có bậc bằng bao nhiêu ?
b) Xác đònh đa thức f(x) .

Giải :
a) (1) thành : f’(x).f(x) – f’(x) – f(x) + 1 = 2x
3
+ 2x
2
hay :
( f(x) – 1 ) ( f’(x) – 1 ) = 2x
3
+ 2x
2
. Gọi n là bậc của đa thức f(x) thì bậc của ( f(x) - 1 )

cũng là n ; bậc của ( f’(x) – 1 ) là n – 1 . Vậy bậc của đa thức ở vế trái n + n – 1 . Do đó : 2n – 1 = 3 ( bậc
của đa thức ở vế phải ) . Suy ra n = 2 .
Tóm lại , đa thức f(x) có bậc bằng 2 .
b) Như thế f(x) có dạng : f(x) = ax
2
+ bx +c . Suy ra : f’(x) = 2ax + b . (1) thành :
( ax
2
+ bx + c – 1) ( 2ax + b – 1 ) = 2x
3
+ 2x
2
hay
2a
2
x
3
+ ( 3ab – a )x
2
+ ( 2ac – 2a + b
2
– b )x + ( b – 1 ) ( c – 1 ) = 2x
3
+ 2x
2
. Do đó :
2
2
22
1

32
1
22 0
1
(1)(1)0
a
a
ab a
b
ac a b b
c
bc
⎧
=
=
⎧
⎪
−=
⎪⎪
⇔
=
⎨⎨
−+−=
⎪⎪

=
⎩
⎪
−−=
⎩

Vậy : f(x) = x
2
+ x + 1 .

Ví dụ 3 : f(x) là một đa thức có bậc lớn hơn hay bằng 2 . Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để f(x)
chia hết cho ( x—a )
2
là : f(a) = f’(a) = 0 .
Áp dụng : Chứng minh rằng đa thức f(x) sau chia hết cho ( x – a )
2
.
f(x) = nx
n+1
– ( n + 1) ax
n
+a
n+1
.

Giải :
Điều kiện cần : f(x) chia hết cho ( x – a )
2
nên : f(x) = ( x – a )
2
.g(x) . Suy ra :
f’(x) = 2( x – a ) g(x) + ( x – a )
2
. g’(x) . Do đó : f(a) = f’(a) = 0 .
Điều kiện đủ : Chia f(x) cho ( x – a )

2
, ta có : f(x) = ( x – a )
2
. g(x) + Ax + B . Suy ra :
f’(x) = 2( x – a ) .g(x) + ( x – a )
2
. g’(x) + A .
00
() '() 0
00
Aa B A
fa f a
AB
+
==
⎧⎧
==⇔ ⇔
⎨⎨
==
⎩⎩

Vậy : f(x) = ( x – a )
2
g(x) hay f(x) chia hết cho ( x – a )
2
.
Áp dụng :
f(a) = na
n+1
– ( n + 1 ) a.a

n
+ a
n+1
= na
n+1
– na
n+1
– a
n+1
+ a
n+1
= 0 .
f’(x) = n ( n + 1 ) x
n
– n ( n + 1 )a x
n-1
; f’(a) = n
2
a
n
+ na
n
- n
2
a
n
– na
n
= 0 .
Vậy f(x) chia hết cho ( x – a )

2
.
Chương 5 : Đạo hàm
www.saosangsong.com.vn
11
Ví dụ 4* : Cho hàm số :
2
2
x
mx m
y
xm
−+
=
+
( m là tham số khác 0 ) , đồ thò là ( C ) .
a) Gọi A(x
A
, 0 ) là một điểm chung của ( C ) và trục Ox .Chứng minh rằng tiếp tuyến với ( C ) tại A có
hệ số góc bằng
22
A
A
x
m
k
−
x
m
=

+
.
b) Đònh m để ( C ) cắt Ox tại 2 điểm A , B phân biệt và tiếp tuyến với ( C ) tại A và B vuông góc với
nhau .
Giải :
a) Hệ số góc của tiếp tuyến với ( C ) tại A bằng k = y’(x
A
) . Mà :

2
2
2
2
2
(2 2 )( ) ( 2 )
'.
()
(2 2 )( ) 2 2
'( )
()
2
(0 2
AA A
A
AA
AA
AA
A
x mxm x mxm
y Suyra

xm
xmxm xm
yx
xm xm
xmxm
do y x mx m
xm
−+−−+
=
+
−+ −
==
++
−+
== ⇔ − + =
+
:
0)
A

Vậy tiếp tuyến với ( C ) tại A có hệ số góc bằng k =
22
A
A
x
m
x
m
−
+

b) ( C ) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt A , B khi phương trình
2
2
0
xmxm
xm
−+
=
+
1
có 2 nghiệm phân biệt hay
phương trình x
2
– 2mx + m = 0 có 2 nghiệm phân biệt hay :
2
'00m m m hay mΔ= − > ⇔ < > .
Hai tiếp tuyến với ( C ) tại A , B vuông góc khi :
2
2
22
2
22
2222 4.4( )4
'( ). '( ) 1 . 1 1
.( )
48 4
1505(0)
2
AB ABAB

AB
AB ABAB
xmxm xxmxx m
yx yx
xm xm xxmxx m
mm m
mm m dom
mmm
−− −++
=− ⇔ =− ⇔ =−
++ +++
−+
⇔=−⇔−=⇔=≠
++

( vì x
A
, x
B
là nghiệm của phương trình x – 2mx + m = 0 nên : xB
2
A
+ x
B
B = 2m ;
x
A
. x
B
= m ) . B

Từ đònh nghóa đạo hàm, ta có :
() ( )
lim '( )
o
o
o
xx
o
fx fx
f
x
xx
−>
−
=
−

Ví du 5 ï: Tính các giới hạn sau:
3
5
52
24
(3) 1
(2 1) 243
)lim )lim
2 16(2 7)
xx
x
x
ab

xxx
−> −>
−−
−−
−−−


Giải: Từ đònh nghóa đạo hàm, ta có thể dùng đạo hàm để tính giới hạn có dạng sau:
() ( )
lim
o
o
xx
o
f
xfx
xx
−>
−
−
hay
0
()(
lim
o
h
)
o
f
xhfx

h
−>
+−
. . . Các giới hạn này đều bằng f’(x
o
).
a) Xét hàm số f(x) = (2x – 1)
5
=> f(2) = 243 và f’(x ) = 10(2x – 1)
4
=> f’(2) = 810
Do đó:
8
22
(2 1) 243 ( ) (2)
lim lim '(2) 810
22
xx
xfxf
f
xx
−> −>
−− −
==
−−
=

Chương 5 : Đạo hàm
www.saosangsong.com.vn
12

b) Ta có :
3
3
52
52
44
(3) 1
(3) 1
4
lim lim (1)
16(2 7)
16(2 7)
4
xx
x
x
x
xx
xx
x
−> −>
−−
−−
−
=
−−
−−
−

Xét hàm số f(x) =

3
(3)x −
; f(4) = 1 và f ’( x) =
2
3
3( 3) 3
'(4)
2
2( 3)
x
f
x
−
=
>=
−

g(x) =
52 4
16(2 7) ; (4) 0 ; '( ) 160(2 7) 2 (4) 160 8 152xxg gx x xg−− = = −−=> = −=
Vì
3
44
(3) 1
() (4)
lim lim 3 / 2
44
xx
x
fx f

xx
−> −>
−−
−
==
−−
và
52
44
16(2 7) ( ) (4)
lim lim '(4) 152
44
xx
xxgxg
g
xx
−> −>
−− −
==
−−
=

Vậy (1) =
3/2 3
152 304
=

C . Bài tập rèn luyện .
5.6 . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò ( C ) của hàm số : y = 2x
2

+ x biết :
a) Tiếp điểm có tung độ bằng 3 .
b) Tiếp tuyến này song song với đường thẳng y = 9x + 2 .
c) Tiếp tuyến này qua điểm A ( 0 , -2 ) .
5.7 . ( C ) là đồ thò của hàm số : y = x
3
+2x
2
+3x – 5 . Chứng minh rằng ta không thể tìm được hai tiếp
tuyến với ( C ) sao cho chúng vuông góc với nhau .
5.8 . Cho hàm số : y = x
3
– 3x
2
+ x , đồ thò là ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết rằng tiếp
tuyến này tạo với Ox một góc 45
o
.
5.9 . Cho hàm số : y = - x
3
+6x
2
– 3x +14 , đồ thò là ( C ) . Trong tất cả các tiếp tuyến với ( C ) , viết
phương trình của tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất .
5.10 . Cho hàm số :
x
1
3
+
y =

, đồ thò là ( C ) . A (0 , a) là một điểm trên Oy . Tìm điều kiện của a để từ
x
−
A ta vẽ được 2 tiếp tuyến với ( C ) mà 2 tiếp điểm nàm hai bên đường thẳng x = 3 .
5.11 . Cho hàm số :
2
2
'''
ax bx c
y
ax bx c
++
=
++
. Chứng minh rằng :
2
22
(' ') 2(' ') ' '
'
(' ' ')
''; ''; ''
'' '' ''
ab ba x ac ca x bc cb
y
ax bx c
ab ac bc
ab ba ac ca bc cb
ab ac bc
−+−+−
=

++
=− =− =−

Xét trường hợp đặc biệt :
2
''
ax bx c
y
bx c
++
=
+

Áp dụng công thức trên , tính đạo hàm của các hàm số sau :
Chương 5 : Đạo hàm
www.saosangsong.com.vn
13
22
22
2
22
123231
)) )
2225
32 1
))
135
xxxxx
ay by cy
xxx x

xx x
dy ey
xx
+−+−+
== =
+−+ −
⎛⎞
−+ + +
==
⎜⎟
++
⎝⎠

5.12 . Tính đạo hàm của các hàm số sau
42 2
2
2
27
)25 )32 )
3
232
)))
21 1
1
x
ay x x by x x cy
x
xx x x
dy ey fy
xx

x
−
=− + =− + =
−
−+
==
++
+
=


5.13 . Tính đạo hàm của các hàm số sau :
()
6
32
22
2
2
)23 )6
)(1) 1 )
12
))
21
3
ay x x by x x
cy x x dy x x x
xx x
ey f y
x
xx

=++ = −
=+ + = + −+
++ +
==
+
++
1
1

5. 14. Tính giới hạn các hàm số sau:

24
23 2
224
01 1
24 4
34
5
23
(22)1
(2)8 32
)lim )lim )lim
(23)16
( ) 16 16( 3)( 1)
) lim ) lim
16( 2) ( 1)
(1)1
xx x
xx
xx

xx x x
ab c
xxxxx
xx x x
de
xx
x
−> −> −>
−> −>
−+ −
−+ − − +
−−+−
−− − −
−−−
−−
123
2 3 .
kn
nnn n n
CCC kC nC+ + ++ ++
5.15. Rút gọn các biểu thức sau: A = 1 + 2x + 3x
2
+ 4 x
3
. . . + (n + 1)x
n
.
Và B = 1 + x + 2x
2
+ 3x

2
+ . . . + nx
n

5.16.
Tính đạo hàm của hàm số y = (1 + x)
n
bằng 2 cách , suy ra giá trò của biểu thức:



D . Hướng dẫn . Đáp số .
5.6 . a) 2 tiếp tuyến : y = 5x – 2 ; y = -6x + 6 .
b) 1 tiếp tuyến : y = 9x – 8 .
c) 2 tiếp tuyến : y = 5x – 2 ; y = -3x – 2 .
5.7 . y’ = 3x
2
+4x + 3 > 0 với mọi giá trò của x nên không thể có x
1
, x
2
thỏa : y’(x
1
).y’(x
2
) = - 1 . Vậy
không thể có hai tiếp tuyến với ( C ) sao cho chúng vuông góc với nhau .
5.8 . y’ = 3x
2
– 6x + 1 . Tiếp tuyến tạo với trục Ox một góc 45

o
là các tiếp tuyến song song với đường
thẳng y = x hay y = - x . Tiếp điểm có hòanh độ là nghiệm của các phương trình 3x
2
– 6x + 1 = 1 ; 3x
2
–
6x + 1 = -1 . Giải các phương trình này ta tìm được 4 tiếp tuyến .
5.9 . y’ = - 3x
2
+12x – 3 = - 3 ( x
2
– 4x + 4 ) + 9 . Gía trò lớn nhất của y’ là 9 đạt được khi x = 2 . Phương
trình tiếp tuyến với ( C ) có hệ số góc lớn nhất là :
y = 9x + 2 .
5.10 . Phương trình tiếp tuyến với ( C ) tại ( x
0
, y
o
) thuộc ( C ) là :
Chương 5 : Đạo hàm
www.saosangsong.com.vn
14
0
0
2
00
0
0
2

00
2
00
1
4
(): ( )
3( 3)
1
4
(0, ) ( ) (0 )
3( 3)
(1) 2(31) 930(1
x
ty xx
xx
x
Aa t a x
xx
ax axa
+
−
−= −
−−
+
−
∈⇔− = −
−−
⇔− − + ++=
)

Có 2 tiếp tuyến qua A mà 2 tiếp điểm nằm hai bên đường thẳng x = 3 khi phương trình ( 1 ) có 2 nghiệm
thỏa : x
01
< 3 < x
02
hay : ( a – 1 )f(3 ) < 0 Ù - 12( a – 1 ) < 0 . Vậy a < 1
()
()()
(
)
()
()()
()
22
2
2
2
2
2
2''' 2'
5.11. '
'''
'' 2'' ''
'''
ax b a x b x c ax bx c a x b
y
ax bx c
ab ba x ac ca x bc cb
ax bx c
+++−+++

=
++
−+−+−
=
++
'

Với a’ = 0 , ta được :
'
22
2
'2' ''
'' ('')
ax bx c ab x ac x bc b c
bx c bx c
⎛⎞
++ + +−
=
⎜⎟
++
⎝⎠
(công thức cần nhớ)
Áp dụng :
2
22
2
22
2
2
2

) ' ' 0.0 1.1 1; ' ' 0.2 1.1 1; ' ' 1.2 1.0 2
22
'
(2)
) ' ' 2.( 1) ( 1)1 1; ' ' 2.2 3.1 1; ' ' ( 1).2 ( 1).3 1
21
'
(2)
42013
)'
(2 5)
32
)'2.
aab ba ac ca bc cb
xx
y
x
bab ba ac ca bc cb
xx
y
xx
xx
cy
x
xx
dy
x
−=−=− −=−=− −=−=
−− +
=

+
−=−−−=− −=−= −=−−−=
−+ +
=
−+
−+
=
−
−+ +
=
'
222
2
22
3
'
2
2
2
2
22 23
32 32 21
2. .
11 1(1)
2( 3 2)( 2 1)
(1)
1)
3103
35
3103

(3 5)
)
112(1)(35)
22
35 35
xx xx xx
xxx
xx xx
x
x
xx
x
xx
x
dy
xxxx
xx
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
−+ + −+ + −− +
=
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
++ ++
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
−+ + −− +
=
+
⎛⎞
+
+−
⎜⎟

+
+−
+
⎝⎠
== =
++++
++

Chương 5 : Đạo hàm
www.saosangsong.com.vn
15

()
()
()
()
3
2
22
222
2
31
5.12. ) ' 4 4 1 ) ' 2 ) '
2
3
447 1 1
)' )' )'
21
1
21

ay x x by x cy
x
x
xx x
dy ey fy
x
x
xx
−
=−+ =− =
−
+− −
===
+
+
+

()( )
()
()
5
232
22
2
22
2
22
5.13. ) ' 6 3 4 2 3 ) '
26
21 2 121

)' )'
1
41
31
)' )'
22 1 1 2 3 3
ay x x x x by
x
xx xx x
cy dy
x
xx xxx
ey f y
xxx xxxx
=+ ++ =
−
++ −++ −
==
+
2
12 3
1
1
x−
−
++ − +
−
==
+++ ++++

5. 14 . Dùng đònh nghó a đạo hàm.
5.15. Ta có : y’ = n(1 + x)
n – 1
(1)
Mặt khác, dùng khai triển nhò thức Newton : y =
CC

01122

kk nn
nn n n n
xCx Cx Cx+ + ++ ++
1
123
2 3 .
kn
nnn n n
CCC kC nC+ + ++ ++
=> y’ = (2)
12 1
.2 . .
kk nn
nn n n
CCx Ckx Cnx
−−
+++ ++
Cho x = 1 vào (1) và (2), ta được : = n.2
n -1

5.16. Xét hàm số y = x + x

2
+ x
3
+ . . . + x
n + 1
=
11
1
11
nn
x
xx
x
xx
++
−−
=
−−
(1) (tổng n + 1 số hạng của một cấp
số nhân). Lấy đạo hàm hai vế, ta được :
1 + 2x + 3x
2
+ . . . + (n + 1)x
n
=
1
2
[( 1) 1]( 1) ( ).1
(1)
nn

nx x x x
x
+
+−−− −
−
(2)
Ù A =
1
2
(1) 1
(1)
nn
nx n x
x
+
−+ +
−

Lấy (2) trừ (1): 1 + x + 2 x
2
+ n x
n
+ (n + 1)x
n+1
=
11
2
(1) 1
(1) (1)
nnn

nx n x x x
xx
++
−
++ −
−
−
−

Ù B =
11
2
(1) 1
(1) (1)
nnn
nx n x x x
xx
++
−+ + −
−
−−
- (n + 1)x
n + 1
=
32 2
2
(1) (21) (1) 1
(1)
nnn
nx nx nxxx

x
++
−+ + + −+ + −+
=
−



§3. Đạo hàm của các hàm số lượng giác
A.Tóm tắt giáo khoa
1.Giới hạn
0
sin
lim
x
x
x
→

Chương 5 : Đạo hàm
www.saosangsong.com.vn
16
Đònh lí 1 : Ta có
0
sin
lim
x
x
x
→

= 1 (với x tính bằng rad)
2. Đạo hàm của các hàm số lượng giác
a) Đạo hàm của hàm số y = sinx
Đònh lí 2 : Với mọi
x
∈
R , ta có (sinx)’ = cosx
Hệ quả 1 : Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J thì : (sinu)’ = (cosu).u’
b) Đạo hàm của hàm số y = cosx
Đònh lí 3 : Với mọi
x
∈
R , ta có (cosx)’ = - sinx
Hệquả 2 : Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J thì : (cosu)’ = (- sinu).u’
c) Đạo hàm của hàm số y = tanx
Đònh lí 4 : Với mọi
2
x
k
π
π
≠+
( k∈ Z) , ta có (tanx)’ =
2
1
cos
x
=1 + tan
2
x

Hệ quả 3 : Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J và u(x)
2
k
π
π
≠+

( k
∈ Z) trên J thì: (tanu)’ =
2
.'
1
u
cos u
= [1 + tan
2
u).u’
d) Đạo hàm của hàm số y = cotx
Đònh lí 5 : Với mọi x
k
π
≠
( k∈ Z) ,ta có (cotx)’=
2
1
sin
= - (1 + cot
2
x)
−

x
k
π
≠
Hệä quả 4 : Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J và u(x)
( k
∈ Z) trên J thì : (cotu)’ =
2
1
.'
sin
u
u
−
= - 1 + cot
2
u). u’
Bảng tóm tắt cần nhớ :


(sinx)’ = cosx (sinu)’ = cosu. u’
(cosx)’ = - sinx (cosu)’ = - sinu. u’
(tanx)’ =
2
1
cos
(tanu)’ =
2
1
cos

u
. u’ = [1+ tan
2
u]u’ =1 + tan
2
x
x
(cotx)’ =
2
1
sin
(cotgu)’ =
2
1
.'
sin
u
u
−
= -(1+cot
2
u)u’ = -{1+cot
2
x)
−
x


B .Giải toán
Dạng 1 : Giới hạn của hàm số lượng giác

Sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi hàm số cần tìm giới hạn về dạng
() 0
sin ( )
lim 1
()
ux
ux
ux
→
=

Ví dụ : Tìm các giới hạn sau:
a)
0
sin 3
lim
x
x
x
→
b)
2
0
1 cos 4
lim
x
x
x
→
−

c)
2
0
1 cos 6
lim
tan
x
x
x
→
−

d)
4
sin cos
lim
4
x
x
x
x
π
π
→
−
−
e)
0
1sin cos
lim

1sin cos
x
x
x
kx kx
→
+−
+−

Chương 5 : Đạo hàm
www.saosangsong.com.vn
17
Giải:
a)
00
sin 3 s 3
lim lim 3 3 1 3
3
xx
xinx
x
x
→→
=× =×=

b)
2
2
22
000

1 cos 4 2sin 2 sin 2
lim lim lim 8 ( ) 8
2
xxx
xx x
xx x
→→→
−
==×
=

c)
22
2
2
2
2
000
2
1 cos 6 2sin 3 sin 3
lim lim lim18 cos
sin
tan 3 sin
cos
xxx
xx xx
x
x
xx
x

x
→→→
−
⎛⎞⎛⎞
==×××
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
= 18
×
1×1=18
d)
0
44
2sin( )
sin cos 2
4
lim lim
44
4( )
4
xx
x
xx
x
x
ππ
π
π
π
→−→

−
−
==
−
−

e)
2
00
2
2sin 2sin cos
1sin cos
22
lim lim
1sin cos
2sin 2sin cos
22
xx
2
2
x
xx
xx
kx kx kx
kx kx
→→
+
+−
=
+−

+

=
00
sin (sin cos ) sin sin cos
22 2 22 2 2
lim lim ( )
sin (sin cos ) sin sin cos
22 2 2 2 2 2
xx
x
xx xkx xx
kx kx kx x kx kx kx
→→
++
=××
++
×
1
k

= 1
×1×1×
1
k
=
1
k

Dạng 2 : Dùng đònh nghóa tính đạo hàm của hàm số lượng giác

Ví du 1 : Dùng đòngh nghóa tính đạo hàm của hàm số y = xsinx
Giải
Với x
0
∈R ta có : y = (xΔ
0
+ Δ x)sin(x
0
+ x) – xΔ
Δ
0
sinx
0

= x
0
[sin (x
0
+ x) – sinx
0
] +
Δ
xsin (x
0
+
Δ
x)
= x
0
[2cos(x

0
+
x
)sin
2
x
Δ
] +
Δ
xsin (x
0
+
Δ
x)
Δ
2
Tìm giới hạn
00 0
00
sin
2
lim lim cos( ) sin( )
2
2
xx
x
yx
Δ
x
xxx

x
x
Δ→ Δ→
ΔΔ
=+×++Δ
Δ
Δ

= x
0
cosx
0
+ sinx
0

Vậy y’(x
0
) = sinx
0
+ x
0
cosx
0

Ví dụ 2 : Dùng đònh nghóa tính đạo hàm của hàm số
y = f ( x ) =
cos ; , ;
22 3
o
xxD x

π
ππ
−
⎛⎞
∈= =
⎜⎟
⎝⎠

Giải
Cho x
o
=
3
π
một số gia
()
3
x
saocho x D
π
Δ+Δ∈
, ta có :
Chương 5 : Đạo hàm
www.saosangsong.com.vn
18

cos( ) cos
33
()()cos()cos
333 3

cos cos
33
2sin sin
32 2
cos cos
33
x
yf x f x
x
xx
x
π
π
πππ π
π
π
π
ππ
+Δ −
Δ = +Δ − = +Δ − =
⎛⎞
+Δ +
⎜⎟
⎝⎠
ΔΔ
⎛⎞
−+
⎜⎟
⎝⎠
=

⎛⎞
+Δ +
⎜⎟
⎝⎠


Lập tỉ số
y
x
Δ
Δ
và tính giới hạn của tỉ số này , ta có :
00 0
0
2sin sin
sin( )
sin
32 2
3
2
lim lim lim .
cos( ) cos
cos( ) cos
2
33
33
3sin
sin
6
3

22
;lim 1)
4
1
2cos 2
2
32
xx x
x
xx
x
x
y
x
x
x
xx
x
x
π
π
ππ
ππ
π
π
Δ→ Δ→ Δ→
Δ→
ΔΔ
⎛⎞
Δ

−+
−+Δ
⎜⎟
Δ
⎝⎠
==
Δ
Δ
⎛⎞
+Δ +
Δ+Δ+
⎜⎟
⎝⎠
Δ
−
−
−
=== =
Δ

6
34
π
−
=
⎝⎠
⎛⎞
⎜⎟
Vậy f’

Dạng 3 : Dùng công thức tính đạo hàm của hàm số lượng giác
Ví dụ 1 : Tính đạo hàm của các hàm số sau :
a) y = 3sinx – 2cosx b) y =
sin cos
sin cos
x
x
x
x
−
+

c) y = xcosx d) y =
tan
x
e) y =
1
1cot
x
+


Giải
a) Ta có y’ = 3cosx + 2sinx
b) Ta có y’ =
2
(cos sin )(sin cos ) (sin cos )(sin cos )
(sin cos )
x
xx x x xx x

xx
+++−−
+

=
22
22
(sin cos ) (sin cos ) 2
(sin cos ) (sin cos )
xx xx
x
xxx
++−
=
++

c) y’ = 1cosx – xsinx
d) y’ =
2
(tan ) ' 1
2tan 2cos tan
x
x
xx
=

e) y’ =
22
(1 ) ' 1
(1 cot ) sin (1 cot )

cotx
2
x
xx
−+
=
++

Ví dụ 2 : Tính đạo hàm của các hàm số :
a) y =
2
sin
x
+
b) y = cos
3
2x c) y = tan2x – cot(x
2
+ 1) d) y = sin2xcos4x
1
Giải
Chương 5 : Đạo hàm
www.saosangsong.com.vn
19
a) y’ =
2' 2
(1)cos 1xx+× + =
2
2
cos( 1)

1
x
x
x
×
+
+

b) y’ = (3cos
2
2x).(cos2x)’= - 6sin2xcos
2
2x = -3sin4x.cos2x
c) y’ =
222
22
cos 2 sin ( 1)
x
xx
+
+

d) y =
1
(sin 6 sin 2 )
2
x
x−
⇒ y’ = 3cos6x – cos2x
Ví dụ 3 : Tính đạo hàm của hàm số y =

1cos2 sin2
.cot
1cos2 sin2
xx
x
x
x
−
+
++
.
Giải thích kết quả
Giải
Ta có y’ =
2
(2sin 2 2cos 2 )(1 cos 2 sin 2 ) ( 2sin 2 2cos 2 )(1 cos 2 sin 2 )
.cot
(1 cos 2 sin 2 )
xx xx xx xx
xx
+++−−+−+
++
x

-
2
11cos2sin2
.
sin 1 cos 2 sin 2
x

x
x
xx
−+
++

y’ =
22
22
4sin 2 4cos 2 4sin 2 cos 1 cos 2 sin 2
.
(1 cos 2 sin 2 ) sin sin (1 cos 2 sin 2 )
xxxx xx
x
xxxxx
++ −+
−
++ ++

=
22
4(sin 2 1) cos sin (1 cos 2 sin 2 )(1 cos 2 sin 2 )
sin (1 cos 2 sin 2 )
x
xx x x x x
xxx
+−++−+
++

=

22
22
2sin2 (sin2 1) (1 2sin2 sin 2 ) cos 2
sin (1 cos 2 sin 2 )
x
xxxx
xxx
+−+ + +
++

=
22
22
sin 2 cos 2 1
sin (1 cos 2 sin 2 )
xx
x
xx
+−
++
= 0
Giải thích kết quả :
Ta có y =
2
2
2sin 2sin cos cos 2sin (sin cos ) cos
.
2cos 2sin cos sin 2 cos (cos sin )sin
x
xx x xx x x

xx x x x x x
++
=
++
= 1
x
Vậy y’ = 0
C.Bài tập rèn luyện
5.17 Tìm giới hạn sau :
a)
2
0
1cos2
lim
sin
x
x
x
x
→
−
b)
2
0
os
m
tan
x
1c
li

x
x
→
−
c)
3
0
tan
li
sin
m
x
x
x
x
−

→
d)
4
cos 2
lim
4
x
x
e)
2
0
1cos cos2
li

x
x
x
π
π
→
−
m
x
x
→
−
f)
li sm( in )
x
x
x
π
→∞

5.18 Dùng đònh nghóa tính đạo hàm của hàm số y = cos2x
5.19 Tính đạo hàm của các hàm số
a) y = xcosx – sinx b) y = cos
3
x c) y = sin
3
x.cos
2
x
d) y = x + cotx -

1
3
tg
3
x e) y = 1cos
x
− f) y =
1cos
1cos
x
−
x
+

5.20 Tính đạo hàm các hàm số :
a) y = sin2x + cos 3x b) y = sin
3
3x c) y = cos
4
(2x -
3
π
)
d) y =
1tan4
x
+ e) y = (1 – sinx)(1 + tan
2
x) f) y = cos
2

x( 1 + sin2x)
5.21 Tính đạo hàm các hàm số sau và giải thích kết quả
Chương 5 : Đạo hàm
www.saosangsong.com.vn
20
a) y = sin
6
x + cos
6
x + 3sin
2
x cos
2
x b) y =
66
44
sin cos 1
sin cos 1
x
x
x
x
+
−
+
−

5.22 Cho y = cos2x - 2
3 cosx .Gíi phương trình y’ = 0
5.23 Cho hàm số y= 4sinx + 3cosx + mx .Đònh m để để phương trình y’ = 0 có nghiệm

D.Hướng dẫn giải
5.17 a)
2
0
1cos2
lim
sin
x
x
x
x
→
−
=
2
2
00
sin 2 sin 2
lim lim( ) 4
sin 2 sin
xx
xxx
x
xx
→→
=×
x
×
= 4
b)

2
0
1cos
lim
tan
x
x
x
→
−
=
22
22
00
2sin cos
1cos
2
lim lim
(1 cos ) tan (1 cos ) sin
xx
x
x
x
x
xx
→→
×
−
x
=

=
++

=
2
22
0
sin
1cos
2
lim( ) ( )
sin 2 4
(1 cos )
2
x
x
xx
x
x
x
→
×××
+
1
=

c)
3
0
tan sin

lim
x
x
x
x
→
−
=
2
3
00
sin
sin (1 cos ) sin 1 1
2
m lim( ) ( )
cos 4 cos
2
xx
x
xx x
x
li
x
xx x
→→
−
=×××
=
1
4

d)
4
cos 2
lim
4
x
x
x
π
π
→
−
=
00
44
sin( 2 ) sin 2( )
1
24
lim lim
2
4( ) 4( )
44
xx
xx
xx
ππ
π
π
ππ

−→ −→
−−−
==−
−−

2
0
1cos cos(1 cos2)
lim
x
x
xx
x
→
−+ −
e)
2
0
1cos cos2
lim
x
x
x
x
→
−
=
=

=

2
2
00
1 cos cos (1 cos 2 )
lim lim
(1 cos 2 )
xx
x
xx
x
x
x
→→
−−
+
+

=
22
00
sin
1cos
2
lim ( ) lim 2( )
2
(1 cos 2 )
2
xx
x
x

sin
x
x
x
x
→→
+×
+
=
3
2

f)
lim( sin )
x
x
x
π
→∞
=
0
sin
11
m
x
x
x
π
π
li

π
π
π
→
×=
5.18
Ta có
00 0
cos 2( ) cos 2 2sin(2 ) sin
lim lim lim
xx x
yxxx xxx
x
xx
Δ→ Δ→ Δ→
Δ+Δ−−+ΔΔ
==
ΔΔ Δ

= -2sin2x
Vậy y’ = -2sin2x
5.19 a) y’ = 1.cosx – xsinx – cosx = - xsinx
b) y’ = - 3cos
2
x.sinx
c) y’ = 3sin
2
x.cos
3
x – 2cosx.sin

4
x = sin
2
xcosx( 3cos
2
x – 2 sin
2
x)
d) y’ = 1 -
2
1
sin
x
- tan
2
x .
2
1
cos
x
= 1 – (1 + cot
2
x) – tan
2
x( 1 + tan
2
x)
= - ( cot
2
x + tan

2
x + tan
4
x )
Chương 5 : Đạo hàm
www.saosangsong.com.vn
21
e) y’ =
sin
21 cos
x
x
−

f) y’ =
22
sin (1 cos ) sin (1 cos ) 2sin
(1 cos ) (1 cos )
x
xx x x
x
x
++ −
=
++

5.20 a) y’ = 2cos2x – 3sin3x
b) y’ = 9sin
2
3x.cos3x

c) y’ = - 4cos
3
(2x -
3
π
).2sin(2x -
3
π
) = - 4sin(4x -
2
3
π
).cos
2
(2x -
3
π
)
d) y’ =
2
(1 tan 4 ) ' 2
21 tan4 cos4 1 tan4
x
x
xx
+
=
++

e) y’ = - cosx(1 + tan

2
x) + (1 – sinx) 2tanx(1 + tan
2
x)
= (1 + tan
2
x)( - cosx + 2tanx – 2sinxtanx) =
22
3
cos 2sin 2sin
cos
x
xx
x
−+−
=
3
2sin 1
cos
x
−

x
Cách khác ta có : y =
2
1sin
cos
x
x
−

Do đó y’ =
2
4
cos (cos ) 2 cos ( sin )(1 sin )
cos
x
xxx
x
−−−−x

=
22
33
cos 2sin 2sin 2sin 1
cos cos
x
xxx
x
x
−+−
=
−

f) y’ = -2 cosxsinx(1 + sin2x) + cos
2
x.2cos2x
= 2cosx(sinxsin2x – sinx – cosxcos2x) = -2cosx(cos3x + sinx)
5.21. a) Ta có y’ = 6sin
5

xcosx – 6cos
5
xsinx + 3 (2sinxcos
3
x – 2cosxsin
3
x)
= 6sinxcosx(sin
4
x – cos
4
x + cos
2
x – sin
2
x)
= 6sinxcosx[(sin
2
x + cos
2
x)(sin
2
x – cos
2
x) + cos
2
x – sin
2
x)]= 0
Giải thích ta có a

3
+ b
3
= (a + b)
3
– 3ab(a+b)
Với a = sin
2
x và b = cos
2
x thì a + b = 1
Vậy y = a
3
+ b
3
+ 3ab = [(a + b)
3
– 3ab] + 3ab = 1 Suy ra y’ = 0
b) (sin
6
x + cos
6
x – 1)’ = 6sin
5
xcosx – 6cos
5
x sinx = 6sinxcosx(sin
4
x – cos
4

x)
= 6sinxcosx[(sin
2
x + cos
2
x)(sin
2
x - cos
2
x)]
= -3sin2x.cos2x =
3
2
−
sin4x
(sin
4
x + cos
4
x -1)’ = 4sin
3
xcosx – 4cos
3
xsinx = 4sinxcosx(sin
2
x – cos
2
x)
= - 2sin2xcos2x = -sin4x
Do đó y’ =

44 66
442
3/ 2(sin 4 )(sin cos 1) sin 4 (sin cos 1)
(sin cos 1)
xx x xx x
xx
−+−++−
+−

=
44 66
442
sin 4 [ 3(sin cos 1) 2(sin cos 1)]
(sin cos 1)
xxx xx
xx
−+−+ +−
+−

=
22 22
442
sin 4 (6sin cos 6sin cos )
(sin cos 1)
x
xx xx
xx
−
+−
= 0

Giải thích : đặt a = sin
2
x và b = cos
2
x ta có a + b = 1
sin
6
x + cos
6
x – 1 = [(a + b)
3
– 3ab – 1] = -3ab
sin
4
x + cos
4
x – 1 = [(a + b)
2
– 2ab – 1] = -2ab
Vậy y= 3/2 Suy ra y’ = 0
5.22. y’= -2sin2x + 2
3 sinx = -2( 2sinxcosx - 3 sinx)
= -2sinx(2cosx -
3 )
Chương 5 : Đạo hàm
www.saosangsong.com.vn
22
Do đó y’ = 0
sin 0
3

2
cos
6
2
x
xk
x
k
x
π
π
π
=
⎡
=
⎡
⎢
⎢
⇔⇔
⎢
⎢
=± +
=
⎢
⎣
⎣

5.23 y’ = 4cosx – 3sin x + m
Do đó y’ = 0 3sinx – 4cosx = m
⇔

Phương trình có nghiệm khi m
2
≤ 9 + 16 = 25
⇔
-5
≤
m
≤
5

§4. Vi phân
A.Tóm tắt giáo khoa
1. Khái niệm vi phân
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x và
Δ
x là số gia của biến số tại x.
Tích f ’(x). x, kí hiệu là df(x),được gọi là vi phân của hàm số y = f(x) tại điểm x ứng với số gia
Δ
Δ
x đã
cho. Vậy df(x) = f’(x) x
Δ
* Nếu lấy f(x) = x thì df(x) = dx = (x)’. x=
Δ
Δ
x
Vậy df(x) = f’(x) dx hay dy = y’dx
2. Ứng dụng vi phân vào phép tính gần đúng
Nếu
x

Δ
khá nhỏ và thì f’(x
0
) =
00
0
lim '( ) '( )
x
yy
f
xyfxx
x
x
Δ→
ΔΔ
⇔
≈⇔Δ≈Δ
ΔΔ

⇔ f(x
0
+ x) – f(xΔ
0
) f’(x≈
0
) x Δ
Vậy f(x
0
+ x) f(xΔ ≈
0

) + f’(x
0
) x Δ
Đây là công thức tính gần đúng
B.Giải toán
Dạng 1 : Tính vi phân
Ví dụ 1 : Tính vi phân của hàm số f(x) = sinx tại điểm x =
3
π
ứng với
Δ
x = 0,01
Giải
Ta có f’(x) = cosx
Do đó df(
3
π
) = f’(
3
π
) x = cos
Δ
π
. x = 0,5Δ
×
0.01 = 0,005
3
Ví dụ 2 : Tính vi phân của các hàm số :
a) f(x) = xsinx b) f(x) = x
3

– x
2
– 2 c) f(x) = cos
2
x d) f(x) =
2
23xx+−

Giải
a) df(x) = (sinx + xcosx)dx
b) df(x) = (3x
2
– 2x)dx
c) df(x) = -2cosxsinxdx = - sin2xdx
d) df(x) =
2
1
23
x
xx
+
−−
dx
Dạng 2 : Tính giá trò gần đúng
Ví dụ : Tính giá trò gần đúng của sin(30
0
20’)
Giải
Xét hàm số y = f(x) = sinx . Nếu x tính bằng radian thì f’(x) = cosx
Chương 5 : Đạo hàm

www.saosangsong.com.vn
23
Với x
0
=
6
π
vì 30
0
=
6
π
và 20’ =
20
60 180 540
π
π
×=
nên lấy
Δ
x =
540
π

thì ta có f(
6
π
+
540
π

) f(≈
6
π
) + f’(
6
π
).
540
π

Vậy sin(30
0
20’) sin(
≈
6
π
) + cos(
6
π
)
×
540
π
= 0,5 +
3
.
2540
π

0,5 + 0,8660

×0,0058 ≈
≈
0,5050
C. Bài tập rèn luyện
5.21 Tính vi phân của hàm số f(x) =
3
x
tại điểm x = 1 ứng với
Δ
x = 0,01
5.22 Tính vi phân của hàm số f(x) = cos2x tại điểm x =
3
π
ứng với
Δ
x = 0.001
5.23 Tính vi phân của các hàm số :
a) y = cos
2
x b) y = 2tan3x – 3 cot2x c) y =
2
1x
+
d) y = xcos
2
x
5.24 Tính giá trò gần đúng của :
a)
3
27, 24

b) sin31
0
c) cos60
0
30’
D. Hướng dẫn giải
5.21 Ta có f(x) =
1
3
x
do đó f’(x) =
2
3
3
2
11
3
3
x
x
−
=
Vậy df(1) = f’(1) x =
Δ
1
0, 01
3
×
= 0.0033
5.22 f’(x) = -2sin2x

Vậy df(
3
π
) = f’(
3
π
) . x = -2sin
Δ
2
3
π
. 0,001 = -2sin
π
.0,001 = 0,0017
3
5.23 a) df(x) = -2cosxsinx.dx = -sin2x.dx
b) df(x) = (
22
66
cos 3 sin 2
x
x
−
).dx
c) df(x) =
2
1
x
x +
.dx

d) df(x) = (cos
2
x – 2xcosxsinx)dx = (cos
2
x – xsin2x)dx
thì ta có f’(x) =
2
3
3
2
11
3
3
x
x
−
=
5.24 a) Xét hàm số f(x) =
x
3
Với x
0
= 27 va x = 0,24 thì f(27,24) f(27) + f’(27).0,24
Δ
≈
+
3
2
1
327

.0,24 3 + 0,0088 ≈
≈
3,0088
3
27
3
27, 24
=
Vậy
b) Xét hàm số f(x) = sinx ta có f’(x) = cosx với x tính bằng radian
Với x
0
= 30
0
=
6
π
và x = 1
Δ
0
=
180
π

Vậy sin31
0
sin (
≈
6
π

) + cos(
6
π
).
180
π
≈
0,5 + 0,8660
×
0,0174 =0,5150
b) Xét hàm số f(x) = cosx ta có f’(x) = -sinx với x tính bằng radian
Với x
0
= 60
0
=
3
π
và
Δ
x = 30’ =
360
π

Vậy cos60
0
30’ cos(≈
3
π
) – sin(

3
π
).
360
π
≈0,5 – 0,8660
×
0,0087
Chương 5 : Đạo hàm
www.saosangsong.com.vn
24
≈ 0,5 – 0,0075 = 0,4925

§5. Đạo hàm cấp cao
A.Tóm tắt giáo khoa
1.Đònh nghóa
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x). Nếu hàm số f’(x) có đạo hàm thì đạo hàm của nó gọi là đạo hàm
cấp hai của hàm số f(x), kí hiệu f ”(x) hay f
(n+2)
(x).
Tổng quát : Đạo hàm cấp n ( n ) của hàm số y = f(x) ,kí hiệu là f
,Nn∈≥2
(n)
(x) hay y
(n)
, là đạo hàm của
đạo hàm cấp (n – 1) của hàm số f(x).
Vậy f
(n)
(x) = [f

(n-1)
x]’
2. Ý nghóa cơ học của đạo hàm cấp hai
Xét một chất điểm chuyển động có phương trình s = s(t)
Ta biết vận tốc tại thới điểm t
0
của chất điểm đó là v(t
0
) = s’(t
0
)
Gia tốc tức thời tại thời điểm t
0
của chất điểm là giới hạn hữu hạn

0
0
() lim
t
v
t
t
γ
Δ→
Δ
=
Δ
= v’(t
0
)

Vậy ý nghóa cơ học của đạo hàm cấp 2 là :
Gia tốc tức thời tại thời điểm t
0
của một chất điểm chuyển động có phương trình s = s(t) là
γ
(t
0
) = s’’(t
0
)
B. Giải toán
Ví dụ 1 : Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số :
a) y = x
3
– 3x
2
+ 2x - 1 b) y = tanx c) y = sin
2
x d) y =
x

Giải
a) y’ = 3x
2
– 6x + 2 và y’’ = 6x – 6
b) y’ = 1 + tan
2
x và y’’ = 2tanx(1 + tan
2
x)

c) y’ = 2sinxcosx = sin2x và y’’ = 2cos2x
d) y’ =
1
2
1
2
x
−
và y’’ =
3
2
3
2
111
4
4
4
x
x
x
x
−
−−
−= =

Ví dụ 2 : Tính đạo hàm đến cấp đã chỉ ra của các hàm số sau :
a) f(x) = x
4
– 2x
3

+ 3x
2
– 5 , f
(5)
(x) b) f(x) = sin
2
x , f
(4)
(x) c) f(x) =
1
1
x
+
, f
(3)
(x)
Giải
a) f’(x) = 4x
3
– 6x
2
+ 6x
f’’(x) = 12x
2
– 12x + 6
f
(3)
(x) = 24x – 12
f
(4)

(x) = 24
f
(5)
(x) = 0
b) f’(x) = 2sinxcosx = sin2x
f’’(x) = 2cos2x f
(3)
(x) = - 4sin2x f
(4)
(x) = -8 cos2x
c) f’(x) =
2
1
(1)x
−
+
f’’(x) =
3
2
(1)x +
f
(3)
=
4
6
(1)x
−

+

Ví dụ 3 : Tính đạo hàm cấp n của các hàm số
Chương 5 : Đạo hàm
www.saosangsong.com.vn
25
a) f(x) =
1
1
x
−
b) f(x) = sin2x
Giải
a) Ta có f’(x) =
2
1
(1)x
−
−

f’’(x) =
33
( 1)( 2) 1.2
(1) (1)xx
−−
=
−−

Dự đóan f
(n)
=

1
(1).!
(1)
n
n
n
x
+
−
−
. Ta chứng minh công thức này bằng qui nạp
• n = 1 công thức đúng
• Giả sử công thức đúng khi n = k nghóa là f
(k)
(x) =
1
(1) !
(1)
k
k
k
x
+
−
−

Do đó f
(k+1)
(x) =[
1

(1) !
(1)
k
k
k
x
+
−
−
]’ =
2
( 1) ( 1). !.( 1)
(1)
k
k
kk
x
+
−− +
−
=
1
2
(1) .( 1)!
(1)
k
k
k
x
+

+
−
+
−

Vậy công thức đúng khi n = k + 1
Suy ra theo qui nạp công thức đúng với mọi n
N
∈

b) f’(x) = 2cos2x = 2sin(2x +
2
π
)
f’’(x) = -4sin2x = 2
2
sin(2x + 2
2
π
)
Dự đoán f
(n)
(x) = 2
n
sin(2x + n
2
π
). Ta chứng minh công thức này đúng bằng qui nạp
• n = 1 công thức đúng
• Giả sử công thức đúng khi n = k nghóa là f

(k)
(x) = 2
k
sin(2x + k
2
π
)
π
)]’ = 2
k+1
cos(2x +k
2
π
)
Do đó f
(k+1)
(x) = [2
k
sin(2x + k
2
π
= 2
k+1
sin[2x + (k+1) ]
2
Vậy công thức đúng khi n = k + 1
Suy ra công thức đúng với mọi n
∈

N

Ví dụ 4 : Cho hàm số y =
2
x
x−
.Tìm hệ thức giữa y và y’’
Giải
Ta có y’ =
2
12
2
x
x
x
−
−

2
2
2
2
(1 2 )
2
1
2
2
x
xx
và y’’ =
x
x

xx
−
−−−
−
−
=
22
22
4( ) (1 2 )
4( )
x
xx
xx xx
−−−−
−−

hay 4 y’’.y
3
= -4x +4x
2
-1 +4x – 4x
2
.
Vậy y’’y
3
+ 1 = 0

C.Bài tập rèn luyện
5.25 Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau :
a) y = sin2xsin3x b) y = x

4
+
x