SKKN Một số giải pháp giúp học sinh hạn chế sai sót khi giải một số dạng toán về căn bậc hai trong chương trình toán lớp 9

I. TÓM TẮT ĐỀ TÀI:
Với chủ đề năm học tiếp tục đổi mới quản lí và nâng cao chất lượng giáo dục. Mỗi
giáo viên nói chung và giáo viên dạy bộ môn toán nói riêng luôn tự học hỏi, nghiên cứu,
tìm tòi nhằm nâng cao nghiệp vụ, bồi dưỡng chuyên môn.
Do đó phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động sáng tạo
của học sinh, phải phù hợp với đặc điểm của từng môn học, rèn luyện kĩ năng vận dụng
kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho
học sinh. Bộ môn Toán đòi hỏi học sinh phải tích cực, tự giác, sáng tạo trong học tập, tư
duy.
Xuất phát từ những suy nghĩ trên. Trong quá trình giảng dạy tôi đã luôn tìm tòi,
nghiên cứu “Một số giải pháp giúp học sinh hạn chế sai sót khi giải một số dạng
toán về căn bậc hai trong chương trình toán lớp 9”. Nghiên cứu trên được tiến hành
trên hai nhóm học sinh, mỗi nhóm 20 học sinh ngẫu nhiên, một nhóm đối chứng và một
nhóm thực nghiệm. Kết quả cho thấy nhóm thực nghiệm cho kết quả học tập cao hơn
nhóm đối chứng. Điều đó chứng tỏ những “giải pháp” đó phần nào giúp các em hạn chế
được sai sót khi giải toán về căn bậc hai đồng thời sẽ giúp các em nắm kiến thức chắc
chắn hơn và có kết quả cao hơn trong quá trình học tập.
II. GIỚI THIỆU:
1. Hiện trạng:
Trong quá trình giảng dạy bộ môn Toán 9 nói chung và Đại số 9 nói riêng tôi nhận
thấy rằng ngay trong chương I “Căn bậc hai. Căn bậc ba” Đại số 9 khi kết thúc bài
1
giảng của mình mặc dù học sinh đã hiểu bài và cơ bản hầu hết các em đã làm được bài.
Tuy nhiên việc nắm kiến thưc của một số không nhỏ các em còn mang tính chất hời hợt,
chưa sâu theo kiểu “học trước quên sau” thậm chí các em còn mắc nhiều sai sót khi vận
dụng kiến thức vào giải một số dạng toán về căn bậc hai. Nhằm nâng cao chất lượng
giảng dạy cũng như để giúp các em hạn chế được những sai sót khi giải một số dạng
toán về căn bậc hai trong đề tài này tôi đưa ra “một số giải pháp giúp học sinh hạn chế
sai sót khi giải một số dạng toán về căn bậc hai”.
2. Giải pháp thay thế:
Nhằm đảm bảo được kiến thức cơ bản từ đó nâng cao được năng lực học Toán của

học sinh.
Giáo viên giúp học sinh thấy được những lỗi sai mà các em thường hay mắc phải
khi giải một số dạng toán về căn bậc hai.
Giúp các em tìm ra được những nguyên nhân dẫn đến sai lầm đó và có giải pháp
để khắc phục.
Trước hết trong quá trình giảng dạy tôi luôn chú ý và thu thập và nghiên cứu
những sai sót mà học sinh hay mắc phải qua việc so sánh quá trình giải toán giữa các
lớp, giữa các em học sinh từ đó tôi ghi lại những sai sót đó để khắc phục cho học sinh
thậm chí cả học sinh những năm tiếp theo.
Giúp học sinh hệ thống lại các kiến thức đã học.
Thu thập, thống kê lại một số sai lầm mà học sinh hay mắc phải từ đó khi đưa ra
các bài toán giáo viên lường trước các sai lầm mà học sinh hay mắc.
Phân loại các sai lầm của học sinh trong khi giải các bài toán về căn bậc hai thành
từng nhóm và lồng vào trong quá trình giảng dạy hay luyện tập đến dạng toán đó.
2
Khi học sinh mắc sai lầm thì giáo viên sẽ phân tích cho học sinh hiểu và nhận ra
các sai lầm đó. Từ đó giáo viên định hướng và đưa ra các giải pháp để học sinh có thể
tránh các sai lầm đó.
3. Vấn đề nghiên cứu
Hạn chế được sai sót của học sinh và nâng cao chất lượng của học sinh khi giải
Toán về căn bậc hai.
4. Giả thuyết nghiên cứu
Giúp học sinh nâng cao kĩ năng phân tích bài toán và tìm được hướng giải đúng
trong mỗi dạng Toán.
Nhằm nâng cao năng lực học toán, sự tìm tòi, sáng tạo của học sinh.
Phát huy sự đam mê yêu thích học môn Toán của học sinh.
III. PHƯƠNG PHÁP
1. Khách thể nghiên cứu
Tôi tiến hành nghiên cứu với đối tượng học sinh lớp 9 trường THCSTT Cát Bà.
Tôi chọn hai nhóm học sinh tham gia nghiên cứu, mỗi nhóm là 20 học sinh ở hai

lớp khác nhau. Các nhóm đều có điểm tương đương nhau về giới tính, dân tộc, và ý thức
rèn luyện đạo đức.
Học sinh tham gia nghiên cứu đa số các em đều ngoan, có ý thức tốt trong học tập
và rèn luyện, đều được các bậc phụ huynh quan tâm đến quá trình học tập của con em
mình. Giáo viên chủ nhiệm và giáo viên bộ môn quan tâm và sát sao đến tình hình học
tập của các em.
Bảng 1: Giới tính, thành phần dân tộc, thành tích học tập và đạo đức của học sinh
lớp 9A2 và học sinh lớp 9A5 Trường THCS TT Cát Bà năm học 2012 - 2013.
3
Nhóm Số HS Dân tộc HS nữ
Học lực Hạnh
kiểm
G K Tb
I – Nhóm đối chứng 20 Kinh 10 5 10 5 Tốt
II – Nhóm thực nghiệm 20 Kinh 10 5 10 5 Tốt
2. Thiết kế
Với nhóm I là nhóm đối chứng, nhóm II là nhóm thực nghiệm. Tôi lấy kết quả bài
kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm làm kết quả kiểm tra trước tác động. Kết quả kiểm
tra cho thấy điểm trung bình của hai nhóm có sự khác nhau, do đó tôi dùng phép kiểm
chứng T.Tesh để kiểm chứng sự chênh lệch giữa điểm số trung bình của 2 nhóm trước
khi tác động.
Bảng 2. Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương

Đối chứng Thực nghiệm
TBC 6,25 6,0
p = 0,3869
p = 0,3869 > 0,05 từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai nhóm thực
nghiệm và đối chứng là không có ý nghĩa hai nhóm được coi là tương đương.
3. Quy trình nghiên cứu:
a. Chuẩn bị bài của giáo viên

Nhóm I – nhóm đối chứng: Thiết kế bài học không sử dụng các bài tập mà các em
dễ mắc sai sót trong quá trình giải.
4
Nhóm II – nhóm thực nghiệm: Học sinh được nghiên cứu và giải một số dạng bài
tập về căn bậc hai mà một số em dễ mắc sai sót trong quá trình giải trong mục củng cố
kiến thức ở một số tiết học.
Nghiên cứu, sưu tầm, lựa chọn những bài toán cơ bản, đặc trưng trong sách giáo
khoa, sách bài tập, sách nâng cao, trên các website baigiangdientubachkim.com,
nhungbaitoanhay.com.vn …
b. Tiến hành thực nghiệm
Thời gian tiến hành thực nghiệm vẫn tuân theo kế hoạch dạy học của nhà trường
và thời khoá biểu để đảm bảo tính khách quan.
4. Đo lường:
a. Sử dụng công cụ đo, thang đo:
Bài kiểm tra 45 phút của học sinh
Sử dụng bài kiểm tra trước tác động: Bài kiểm tra khảo sát chất lượng đầu năm.
Bài kiểm tra sau tác động là bài kiểm tra sau khi giáo viên đã áp dụng phương
pháp và kĩ thuật mới trong dạy học (bài kiểm tra chương I - Đại số 9).
* Tiến hành kiểm tra và chấm bài:
Sau khi thực hiện dạy xong các bài học nêu trên, chúng tôi tiến hành cho học sinh
làm bài kiểm tra thời gian 1 tiết. Sau đó chấm bài theo đáp án đã xây dựng.
b. Kiểm chứng độ giá trị nội dung:
Kiểm chứng độ giá trị nội dung của các bài kiểm tra bằng cách giáo viên trực tiếp
giảng dạy sẽ chấm bài nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng.
Nhận xét của giáo viên để kiểm chứng độ giá trị nội dung của dữ liệu:
5
Về nội dung đề bài: Đảm bảo chuẩn kiến thức, kĩ năng, phù hợp với trình độ của
học sinh nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng. Đề bài phân hoá được đối tượng học
sinh.
Cấu trúc đề phù hợp: 8 câu trắc nghiệm (2 điểm), 4 câu tự luận (8 điểm)

Đáp án, biểu điểm: rõ ràng, phù hợp.
IV. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ
1. Phân tích dữ liệu
Bảng 3. So sánh điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động
Nhóm đối chứng Nhóm thực nghiệm
Điểm trung bình 7,3 7,8
Độ lệch chuẩn
0,90 0,66
Giá trị P của T- test 0,00078
Chênh lệch giá trị TB chuẩn
(SMD)
0,778
Như vậy sau khi tôi phân tích kỹ các sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong
khi giải bài toán về căn bậc hai thì số học sinh giải đúng bài tập tăng lên, số học sinh
mắc sai lầm khi lập luận tìm lời giải giảm đi nhiều. Từ đó chất lượng dạy và học môn
Đại số nói riêng và môn Toán nói chung phần nào được nâng lên.
Sau tác động kiểm chứng chênh lệch ĐTB bằng T-Test cho kết quả P =0,000778
cho thấy: sự chênh lệch giữa ĐTB nhóm thực nghiệm và nhóm đối chứng rất có ý
nghĩa, tức là chênh lệch kết quả điểm trung bình nhóm thực nghiệm cao hơn điểm trung
bình nhóm đối chứng là không ngẫu nhiên mà do kết quả của tác động.
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn SMD =(7,8 - 7,1): 0,90 = 0,778. Điều đó cho
thấy mức độ ảnh hưởng của dạy học có sử dụng Flash và video clip đến TBC học tập
của nhóm thực nghiệm là rất lớn.
6
2. Bàn luận
Kết quả của bài kiểm tra sau tác động của nhóm thực nghiệm là TBC = 7,8 kết quả bài
kiểm tra tương ứng của nhóm đối chứng là TBC = 7,1. Độ chênh lệch điểm số giữa hai
nhóm là 0,7; Điều đó cho thấy điểm TBC của hai lớp đối chứng và thực nghiệm đã có sự
khác biệt rõ rệt, lớp được tác động có điểm TBC cao hơn lớp đối chứng. Phép kiểm chứng
T- Test ĐTB sau tác động của hai lớp là p = 0.000778 < 0.05. Kết quả này khẳng định

sự chênh lệch ĐTB của hai nhóm không phải là do ngẫu nhiên mà là do tác động,
nghiêng về nhóm thực nghiệm.
* Hạn chế:
Để giúp học sinh hạn chế sai sót khi giải toán về căn bậc hai đòi hỏi giáo viên
phải không ngừng nghiên cứu, sưu tầm các dạng toán. Học sinh phải tích cực tự học, tự
nghiên cứu để giải nhiều dạng toán hơn. Bản thân các em phải thực sự cố gằng, có ý
thức tự học tự rèn luyện, kiên trì và chịu khó trong quá trình học tập.
V. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
1. Kết luận:
Phần kiến thức về căn bậc hai trong chương I - Đại số 9 khá rộng và sâu, tương đối
khó với học sinh, có thể nói nó có sự liên quan và mang tính logíc, tính thực tiễn cao, bài
tập và kiến thực rộng, nhiều; số tiết dành cho phần luyện tập ít. Qua việc giảng dạy thực
tế tôi nhận thấy để dạy học được tốt phần chương I - Đại số 9 thì giáo viên cần phải nắm
được những sai lầm của học sinh thường mắc phải và bên cạnh đó học sinh cũng phải có
đầy đủ kiến thức cũ, phải có đầu óc tổng quát, lôgic do vậy sẽ có nhiều học sinh cảm
thấy khó học phần kiến thức này.
7
Để nâng cao chất lượng dạy và học giúp học sinh hứng thú học tập môn Toán nói
chung và phần chương I - Đại số 9 nói riêng thì mỗi giáo viên phải tích luỹ kiến thức,
phải có phương pháp giảng dạy tích cực, củng cố kiến thức cũ cho học sinh và là cây cầu
nối linh hoạt có hồn giữa kiến thức và học sinh.
2. Khuyến nghị:
Với đề tài nghiên cứu “Một số giải pháp giúp học sinh hạn chế sai sót khi giải một
số dạng toán về căn bậc hai” tô
i đã cố gắng trình bày các sai lầm của học sinh thường
hay mắc phải một cách tổng quát nhất cùng với hướng khắc phục để giáo viên dễ dàng
phát hiện ra những sai lầm của học sinh từ đó định hướng cho học sinh trong quá trình
giảng dạy.
Vì thời gian nghiên cứu đề tài có hạn nên tôi chỉ nghiên cứu ở một phạm vi. Vì vậy
tôi chỉ đưa ra những vấn đề cơ bản nhất để áp dụng vào trong năm học này qua sự đúc

rút của các năm học trước đã dạy. Tôi xin được đề xuất một số ý nhỏ như sau nhằm nâng
cao chất lượng dạy và học của giáo viên và học sinh:
* Về phía giáo viên :
- Giáo viên cần nghiên cứu kĩ chuẩn kiến thức kĩ năng, soạn giáo án cụ thể và chi
tiết theo chuẩn kiến thức kĩ năng, thiết kế đồ dùng dạy học và TBDH sao cho sinh động
và thu hút đối tượng học sinh tham gia.
- Giáo viên cần tích cực học hỏi và tham gia chuyên đề, hội thảo của tổ, nhóm và
nhà trường, tham gia tích cực và nghiên cứu tài liệu về bồi dưỡng thường xuyên.
- Thông qua các phương án và phương pháp trên thì giáo viên cần phải nghiêm
khắc, uốn nắn những sai sót mà học sinh mắc phải, đồng thời động viên kịp thời khi các
em làm bài tập tốt nhằm gây hứng thú học tập cho các em, đặc biệt lôi cuốn được đại đa
số các em khác hăng hái vào công việc.
- Giáo viên cần thường xuyên trao đổi với đồng nghiệp để học hỏi và rút ra kinh
nghiệm cho bản thân, vận dụng phương pháp dạy học phù hợp với nhận thức của học
sinh, không ngừng đổi mới phương pháp giảng dạy để nâng cao chất lượng dạy và học.
8
- Giáo viên phải dành thời gian để bố trí các buổi phụ đạo cho học sinh.
* Về phía học sinh :
- Học sinh cần học kĩ lý thuyết và cố gắng hiểu kĩ kiến thức ngay trên lớp.
- Học sinh về nhà tích cực làm bài tập đầy đủ, phân phối thời gian hợp lý.
- Trong giờ học trên lớp cần nắm vững phần lý thuyết hiểu được bản chất của vấn
đề, có kỹ năng vận dụng tốt lí thuyết vào giải bài tập. Từ đó học sinh mới có thể tránh
được những sai lầm khi giải toán.
- Phải có đầy đủ các phương tiện học tập, đồ dùng học tập đặc biệt là máy tính điện
tử bỏ túi.
Vì khả năng có hạn, kinh nghiệm giảng dạy môn Toán 9 chưa nhiều, tầm quan sát
tổng thể chưa cao, lại nghiên cứu trong một thời gian ngắn, nên khó tránh khỏi thiếu sót
và khiếm khuyết. Rất mong được lãnh đạo và đồng nghiệp giúp đỡ và bổ xung cho tôi
để sáng kiến được đầy đủ hơn có thể vận dụng được tốt và có chất lượng trong những
năm học sau.

Tôi xin chân thành cám ơn !
Cát Bà, ngày 25 tháng 12 năm 2012.
Người viết
Hoàng Thị Thu Hương
9
VI. PHỤ LỤC
1.
PHỤ LỤC 1: ĐỀ VÀ ĐÁP ÁN KIỂM TRA SAU TÁC ĐỘNG
MA TRẬN KIỂM TRA ĐỊNH KÌ
MÔN: ĐẠI SỐ 9- TIẾT 18
Chủ đề
Mức độ nhận thức
Tổng
Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Phân tích,
tổng hợp
TNKQ TL TNKQ TL TNKQ TL TNKQ TL
Chủ đề 1
Khái niệm
căn bậc hai
Chuẩn biết
-Biết khái
niệm căn bậc
hai, căn bậc
hai số học
-Biết điều
kiện để xđ căn
thức bậc hai
Chuẩn hiểu
-Hiểu được
tính căn bậc hai

- Hiểu hằng
đẳng thức
Chuẩn vận
dụng
-Vận dụng hằng
đẳng thức
Chuẩn phân
tích
Số câu
Điểm
1
0,25
1
0,25
2
0,5
Chủ đề 2
Các phép
tính và các
phép biến
đổi đơn giản
về căn bậc
hai
Chuẩn biết
- Biết các
phép tính và
các phép biến
đổi đơn giản
về căn bậc hai
Chuẩn hiểu

- Hiểu các phép
tính và các
phép biến đổi
đơn giản về căn
bậc hai
Chuẩn vận
dụng
- Vận dụng các
phép tính và các
phép biến đổi
đơn giản về căn
bậc hai để làm
bài tập
Chuẩn phân
tích
- Tổng hợp các
phép tính và
các phép biến
đổi đơn giản về
căn bậc hai
Số câu
Điểm
1
0,25
1
0,25
3
0,75
3
7

1
1
9
9,25
10
Chủ đề 3
Căn bậc ba
Chuẩn biết
- Biết thế nào
là căn bậc ba
Chuẩn hiểu
- Hiểu khái
niệm căn bậc
hba của một số
thực
Chuẩn vận
dụng
- Tính được căn
bậc ba của một
số được biểu
diễn thành lập
phương của một
số khác
Chuẩn phân
tích
Số câu
Điểm
1
0,25
1

0,25
Tổng câu
Tổng điểm
3
0,75
2
0,5
3
0,75
3
7
1
1
12
10
11
MÔN : ĐẠI SỐ 9 – TIẾT 18
Thời gian: 45 phút (không kể thời gian giao đề)

I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
( 2 điểm)
* Hãy chọn đáp án đúng:
Câu 1: Căn bậc hai số học của 16 là:
A. 4 B. -4 C. 8 D. -8
Câu 2: Căn bậc hai của 144 là:
A. 12 B. - 12 C.
12±
D.
12±
Câu 3: Căn bậc ba của 0,008 là :

A. 0,022 B. - 0,02 C 0,2 D. 0,2
Câu 4: Giá trị của biểu thức:
=+++ 4603763

A. 18 B. 10 C. 8 D. Một kết quả khác
Câu 5: Kết qủa của phép tính:
=9.4
A. 4 B. 6 C. 9 D. 13
Câu 6: Kết qủa của phép tính:
=
3
75
A. 5 B. - 5 C. 25 D. Một kết quả khác
Câu 7: Kết quả của phép khai căn
2
)5( −x
là :
A. 5 - x B. x - 5 C.
5−x
D. Một kết quả khác
Câu 8:
x21−
có nghĩa khi:
A.
2
1
−≤x
B.
2
1

−≥x
C.
2
1
≥x
D.
2
1
≤x
II. TỰ LUẬN
( 8 điểm)
Câu 9 (3đ): Rút gọn các biểu thức sau:
a. 4
3
+
27
-
45
+
3
b.
aaaa ++− 4542053
với a ≥ 0
12
Câu 10 (2đ): Giải phương trình:

20124279 =−+− xx
Câu 11 (2đ): Rút gọn biểu thức:
2
44

3
3
+
++
−
−
−
=
x
xx
x
xx
A
(với x ≥ 0, x ≠ 9)
Câu 12* (1đ): Chứng minh đẳng thức:
5
4
25242425
1

4334
1
3223
1
2112
1
)
1
1
1

43
1
32
1
21
1
)
=
+
++
+
+
+
+
+
−=
+−
++
+
+
+
+
+
b
n
nn
a
13
ĐÁP ÁN - BIỂU ĐIỂM KIỂM TRA ĐỊNH KÌ

MÔN: ĐẠI SỐ 9- TIẾT 18
I.Trắc nghiệm (2 điểm)
Câu 1 2 3 4 5 6 7 8
Đáp án A D D A B A C D
Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
II. Tự luận (8 điểm)
Câu 9 (3 điểm)- mỗi phần được 1,5 điểm
a) 4
3
+
27
-
45
+
3

= 4
3
+
3.9
-
5.9
+
3

= 4
3
+3
3
-

53
+
3

= 8
3
- 3
5

0,5đ
0,5đ
0,5đ
b)
aaaa ++− 4542053
với a ≥ 0

aa
aaaa
aaaa
+=
++−=
++−=
513
5125253
5.945.453
0,5đ
0,5đ
0,5đ
Câu 10 (2 điểm)

20124279 =−+− xx
ĐK x
≥
3 0,25đ
163
43
2035
203233
20)3(4)3(9
=−<=>
=−<=>
=−<=>
=−+−<=>
=−+−<=>
x
x
x
xx
xx
19
=<=>
x
(TMĐK)
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

Vậy PT có nghiệm x = 19 0,25đ
Câu 11 (2 điểm)
14
2
44
3
3
+
++
−
−
−
=
x
xx
x
xx
A
với x ≥ 0, x ≠ 9
( )
2
)2(
3
3
2
+
+
−
−
−

=
x
x
x
xx

)2( +−= xx

=
x
-
x
- 2
= - 2
0,75đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
Câu 12* (1 điểm)
Mỗi phần đúng được 0,5 điểm
1
1
1
21
1

21
43
21
32

21
21
) −=
−
−
=
−
−−
++
−
−
+
−
−
+
−
−
= n
nnn
VTa
Vậy đẳng thức được chứng minh
VPVTb ==−=−+++−+−=
5
4
5
1
1
25
1
24

1

3
1
3
1
2
1
2
1
1
1
)
Vậy đẳng thức được chứng minh
(* Ghi chú: HS làm theo cách khác và đúng kết quả vẫn cho điểm tối đa)
15
2. PHỤ LỤC 2: BẢNG ĐIỂM
NHÓM ĐỐI CHỨNG
Điểm kiểm tra
Trước tác động Sau tác động
0 -> 4,5 5-> 6 6,5 ->7,5 8-> 10 0 -> 4,5 5-> 6 6,5 ->7,5 8-> 10
3 7 7 3 2 7 6 4
NHÓM THỰC NGHIỆM
Điểm kiểm tra
Trước tác động Sau tác động
0 -> 4,5 5-> 6 6,5 ->7,5 8-> 10 0 -> 4,5 5-> 6 6,5 ->7,5 8-> 10
3 8 6 3 1 6 7 6
3. PHỤ LỤC 3: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ
TÀI
1, Học sinh có thể mắc sai lầm chính là thuật ngữ “căn bậc hai” và "căn bậc hai

số học”.
Ví dụ 1: Chọn đáp án đúng :
1, Căn bậc hai của 25 là
A. 5 B. -5 C. 5 và -5 D.
25
Có thể một số em sẽ chọn đáp án A.
Đáp án đúng: C.
2, Tính
25
A. 5 B. -5 C.
±
5 D. Đáp án khác
Có thể một số em sẽ chọn đáp án C.

Đáp án đúng: A.
Nguyên nhân: Do học sinh chưa nắm chắc được khái niệm về căn bậc hai và căn
bậc hai số học đó việc tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học đã nhầm lẫn với nhau.
16
Khắc phục : Giáo viên củng cố lại cho học sinh kiến thức về căn bậc hai số học
của a (
a
) và căn bậc hai của số a không âm.
2) Học sinh hiểu chưa sâu dẫn đến vận dụng sai công thức:
Ví dụ 2: Tính
22
1213 −
Học sinh có thể sẽ vận dụng sai công thức và có thể sẽ giải sai như sau:

=−
22

1213
2
13
-
2
12
=13 – 12 = 1
Đến đây giáo viên phải chỉ ra cho học sinh công thức trên là sai.
Lời giải đúng:
=−
22
1213
)1213)(1213( −+
=
25
=5
Nguyên nhân: Do học sinh hiểu sai đẳng thức
BABA ±=±

Khắc phục: GV khắc sâu HS sinh đẳng thức
BABA ±=±
không đúng trong
mọi trường hợp;
3) So sánh các căn bậc hai số học:
Với hai số a và b không âm, ta có a < b
⇔
ba <
Ví dụ 3: So sánh 4 và
15

Học sinh có thể sẽ đưa ra lời giải sai như sau: 4 <
15
Lời giải đúng :
Vì 16 > 15 nên
16
>
15
. Vậy 4 =
16
>
15
Nguyên nhân: Có thể học sinh sẽ loay hoay không biết nên so sánh chúng theo
hình thức nào vì theo định nghĩa số
15
chính là căn bậc hai số học của 15 do đó nếu
đem so sánh với số 4 thì số 4 có hai căn bậc hai số học là 2 và -2 cho nên với suy nghĩ
đó có thể học sinh sẽ đưa ra đáp án sai (vì trong cả hai căn bậc hai của 4 đều nhỏ hơn
15
).
Tất nhiên trong cái sai này của học sinh không phải các em hiểu nhầm ngay sau
khi học song bài này mà sau khi học thêm một loạt khái niệm và hệ thức mới thì học
sinh sẽ không chú ý đến vấn đề quan trọng này nữa.
17
Khắc phục: ở đây giáo viên cần nhấn mạnh luôn là ta đi so sánh hai căn bậc hai số
học!
4) Sai trong khi vận dụng chú ý của định nghĩa căn bậc hai số học:
Với a ≥ 0, ta có :
Nếu x =
a
thì x ≥ 0 và x

2
=a;
Nếu x ≥ 0 và x
2
= a thì x =
a
.
Ví dụ 4: Tìm số x, không âm biết :
x
= 5
Học sinh sẽ áp dụng chú ý thứ nhất và giải sai như sau:
Nếu x =
a
thì x ≥ 0 và x
2
=a; vì phương trình x
2
= a có 2 nghiệm là x =
a
và
x =-
a
học sinh đã được giải ở lớp 7 nên các em sẽ giải bài toán trên như sau:
Do x ≥ 0 nên
2
x
= 5
2
hay x = 25 và x = -25.
Vậy tìm được hai nghiệm là x

1
=25 và x
2
=-25
Lời giải đúng : cũng từ chú ý về căn bậc hai số học.
Ta có x = 5
2
. Vậy x =25.
5) Sai trong thuật ngữ khai phương :
Ví dụ 5: Tính -
16
Có thể học sinh sẽ giải như sau: -
16
= 4 và - 4
Lời giải đúng là : -
16
= -4
Nguyên nhân: Học sinh hiểu ngay được rằng phép toán khai phương chính là phép
toán tìm căn bậc hai số học của số không âm nên học sinh sẽ nghĩ -
16
là một căn bậc
hai âm của số dương 16.
Khắc phục: Giáo viên khắc sâu lại kiến thức cho học sinh.
6) Sai trong khi sử dụng căn thức bậc hai và hằng đẳng thức
2
A
= | A|
Hằng đẳng thức :
2
A

= | A|
Cho biết mối liên hệ giữa phép khai phương và phép bình phương.
Ví dụ 6: Hãy bình phương số -8 rồi khai phương kết quả vừa tìm được.
Học sinh có lời giải sau (lời giải sai):
18
(-8)
2
= 64, nên khai phương số 64 lại bằng 8 và - 8
Lời giải đúng : (-8)
2
= 64 và
64
= 8.
Nguyên nhân: Học sinh còn nhầm lẫn, chưa chắc chắn khi khai phương.
Khắc phục: GV củng cố cho học sinh mối liên hệ
2
a
= |a| cho thấy “Bình phương
một số, rồi khai phương kết quả đó, chưa chắc sẽ được số ban đầu”.
Với a
2
= A thì
A
chưa chắc đã bằng a
Cụ thể ta có (-8)
2
= 64 nhưng
64
= 8; rất nhiều ví dụ tương tự đã khẳng định được
kết quả như ở trên.

7) Sai lầm trong việc xác định điều kiện tồn tại của căn bậc hai :
Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x +
x
* Lời giải sai: A= x +
x
= (x+
x
+
4
1
) -
4
1
= (
x
+
2
1
)
2
≥ -
4
1

Vậy giá trị nhỏ nhất của A = -
4
1
.
* Lời giải đúng :
Để tồn tại

x
thì x ≥0. Do đó A = x +
x
≥ 0 hay min A = 0 khi và chỉ khi x=0
Nguyên nhân:
Học sinh chứng minh được f(x) ≥ -
4
1
do đó giá trị nhỏ nhất của A = -
4
1
.
Giải pháp: Giáo viên chú ý cho học sinh khi giải xong phải luôn kết hợp với điều
kiện bài toán (x≥ 0) để đưa ra kết quả cuối cùng.
Ví dụ 8: Tìm x, biết :
2
)1(4 x−
- 6 = 0
* Lời giải sai :
2
)1(4 x−
- 6 = 0
6)1(2
2
=−⇔ x
⇔
2(1-x) = 6
⇔
1- x = 3
⇔

x = - 2.
* Phân tích sai lầm : Học sinh có thể chưa nắm vững được chú ý sau : Một cách
tổng quát, với A là một biểu thức ta có
2
A
= | A|, có nghĩa là :
2
A
= A nếu A ≥ 0 ( tức là A lấy giá trị không âm );
19
2
A
= -A nếu A < 0 ( tức là A lấy giá trị âm ).
Như thế theo lời giải trên sẽ bị mất nghiệm.
* Lời giải đúng:
2
)1(4 x−
- 6 = 0
6)1(2
2
=−⇔ x

⇔
| 1- x | = 3. Ta phải đi giải hai phương trình
sau : 1) 1- x = 3
⇔
x = -2
2) 1- x = -3
⇔
x = 4. Vậy ta tìm được hai giá trị của x là x

1
= -2 và x
2
= 4.
Ví dụ 9: Tìm x sao cho B có giá trị là 16.
B =
1616 +x
-
99 +x
+
44 +x
+
1+x
với x ≥ -1
* Lời giải sai :
B = 4
1+x
-3
1+x
+ 2
1−x
+
1−x
B = 4
1+x
16 = 4
1+x

⇔
4 =

1+x

⇔
4
2
= (
1+x
)
2
hay 16 =
2
)1( +x
⇔
16 = | x+ 1|
Nên ta phải đi giải hai phương trình sau : 1) 16 = x + 1
⇔
x = 15
2) 16 = -(x+1)
⇔
x = - 17.
* Phân tích sai lầm:
Với cách giải trên ta được hai giá trị của x là x
1
= 15 và x
2
=-17 nhưng chỉ có giá trị
x
1
= 15 là thoả mãn, còn giá trị x
2

= -17 không đúng. Đâu là nguyên nhân của sự sai lầm
đó ? Chính là sự áp dụng quá dập khuôn vào công thức mà không để ý đến điều kiện đã
cho của bài toán, với x ≥ -1 thì các biểu thức trong căn luôn tồn tại nên không cần đưa
ra biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối nữa.!
* Lời giải đúng:
B = 4
1+x
-3
1+x
+ 2
1−x
+
1−x
B = 4
1+x
16 = 4
1+x

⇔
4 =
1+x
(do x ≥ -1)
⇔
16 = x + 1. Suy ra x = 15.
20
8) Sai lầm trong kỹ năng biến đổi :
Trong quá trình học sinh thực hiện phép tính đôi khi các em bỏ qua các dấu của số
hoặc chiều của bất đẳng thức dẫn đến giải bài toán bị sai.
Ví dụ 10: Tìm x, biết :
(4-

)174(32).17 −<x
.
* Lời giải sai:
(4-
)174(32).17 −<x

⇔
2x <
3
( chia cả hai vế cho 4-
17
)
⇔
x <
2
3
.
* Phân tích sai lầm:
Nhìn qua thì thấy học sinh giải đúng và không có vấn đề gì. Học sinh khi nhìn thấy
bài toán này thấy bài toán không khó nên đã chủ quan không để ý đến dấu của bất đẳng
thức : “Khi nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng
thức đổi chiều”.
Do đó rõ ràng sai ở chỗ học sinh đã bỏ qua việc so sánh 4 và
17
cho nên mới bỏ
qua biểu thức 4 -
17
là số âm, dẫn tới lời giải sai.
* Lời giải đúng :
Vì 4 =

16
<
17
nên 4 -
17
< 0, do đó ta có
(4-
)174(32).17 −<x

⇔
2x >
3

⇔
x >
2
3
.
Ví dụ 11: Rút gọn biểu thức:
3
3
2
+
−
x
x
* Lời giải sai :
3
3
2

+
−
x
x
=
3
)3)(3(
+
+−
x
xx
= x -
3
.
* Phân tích sai lầm:
Rõ ràng nếu x = -
3
thì x +
3
= 0, khi đó biểu thức
3
3
2
+
−
x
x
sẽ không tồn tại.
Mặc dù kết quả giải được của học sinh đó không sai, nhưng sai trong lúc giải vì không
21

có căn cứ lập luận, vì vậy biểu thức trên có thể không tồn tại thì làm sao có thể có kết
quả được.
* Lời giải đúng:
Biểu thức đó là một phân thức, để phân thức tồn tại thì cần phải có x +
3
≠ 0 hay
x ≠ -
3
. Khi đó ta có
3
3
2
+
−
x
x
=
3
)3)(3(
+
+−
x
xx
= x -
3
(với x ≠ -
3
).
Trên đây là một số phương pháp giải toán về căn bậc hai và những sai lầm mà học
sinh hay mắc phải, song trong quá trình hướng dẫn học sinh giải bài tập, giáo viên cần

phân tích kỹ đề bài để học sinh tìm được phương pháp giải phù hợp, tránh lập luận sai
hoặc hiểu sai đầu bài sẽ dẫn đến kết quả không chính xác.
22
VII. DANH SÁCH CÁC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ VIẾT
TT Tên SKKN
Thuộc thể
loại
Năm viết Xếp loại
1
Một số biện pháp nhằm hạn chế học
sinh yếu kém môn Toán lớp 7.
Toán 2006 B
2
Vận dụng tính chất đường phân giác
trong tam giác để giải Toán.
Toán 2008 B
3
Một vài kinh nghiệm giúp học sinh
giải toán về căn bậc hai.
Toán 2010 B
23
HỘI ĐỒNG CHẤM NCKHSPƯD TRƯỜNG
ĐIỂM XẾP LOẠI
HỘI ĐỒNG CHẤM NCKHSPƯD HUYỆN
ĐIỂM XẾP LOẠI
24