SKKN Ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm định hướng giải bài tập khác trong môn toán lớp 9

Ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm định hướng giải bài tập khác trong môn toán lớp 9 .
I ĐẶT VẤN ĐỀ
Một trong nhưng mục tiêu và nhiệm vụ của các bộ môn văn hoá nói
chung , môn toán học nói riêng là học sinh phải nắm được kiến thức cơ bản
của bài học,sau đó là phải biết vận dụng triệt để những kiến thức đó vào
những bài tập cụ thể hoặc những tình huống cụ thể . Nếu học sinh chỉ nắm
được kiến thức mà không biết vận dụng kiến thức đó thì mới đáp ứng được
một phần rất nhỏ yêu cầu của giáo dục. Học sinh phải biết phát triển , phải
biết vận dụng những kiến thức đã có từ đó mới thấy được ý nghĩa sâu sắc
của kiến thức và dần hình thành cho học sinh một phương pháp nghiên cứu
khoa học , dần hình thành tư duy sáng tạo cho học sinh .
Năm nay được nhà trường phân công dạy môn toán lớp 9 là lớp cuối
cấp của bậc THCS , là một mắt xích rất quan trọng trong quá trình học tập
của các em . Nó đánh giá kết quả học tập của các em thông qua kì thi tuyển
sinh vào lớp 10 trung học phổ thông. Vì vậy để dạy cho học sinh phải có
một vốn kiến thức sâu rộng chắc chắn thì mới đảm bảo được các yêu cầu
của bậc học.
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy trong sách giáo khoa toán 9
tập 2 có hai bài tập (bài 23 - trang 76 ,bài 34 - trang 80 ) có rất nhiều ứng
dụng trong việc phân tích tìm lời giải bài tập hình học dạng chứng minh
đẳng thức a.b = c.d , a
2
= c.d. Chính vì vậy tôi chọn viết sáng kiến kinh
nghiệm này với mục mục đích để giúp các em học sinh và các bạn đồng
nghiệp có thêm một kinh nghiệm giải toán hinh học .
Người viết : Phạm Văn Hưng- Trường THCS – Cao Minh
- 1 -
Ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm định hướng giải bài tập khác trong môn toán lớp 9 .
II CƠ SỞ KHOA KHỌC
1.Cơ sở lí luận
Quy luật của quá trình nhận thức là từ trực quan sinh động đến tư duy

trừu tượng ,song quá trình nhận thức đó đạt hiệu quả cao hay không có bền
vững hay không còn phụ thuộc vào tính tích cực, chủ động ,sáng tạo của
chủ thể .
Ở lứa tuổi HS –THCS các em đang có xu hướng vươn lên làm người lớn ,
muốn tự mình tìm hiểu , khám phá trong quá trìmh nhận thức , muốn có
một hình thức học tập mang tính người lớn . Nhưng ở lứa tuổi này các em
chưa biết thể hiện nguyện vọng của mình , chưa nắm được các phương
pháp thực hiện các hình thức học tập mới . Vì vậy cần phải có sự hướng
dẫn , điều hành một cách khóa học của người thầy .
2.Cơ sở thực tiễn
Nhìn chung hiện nay học sinh của chúng ta còn lười học,lười tư duy
trong quá trình học . Học sinh còn chưa nắm được phương pháp học tập ,
chưa có được nhưng hoạt động đích thực của bản thân để chủ động nắm
kiến thức . Hơn thế nữa hình học là một môn học trừu tượng khó hiểu ,đa
phần các em đều sợ học môn hình ,có rất ít học sinh yêu thích môn hình.
Đều do các em chưa biết cách học môn hình, chưa biết vân dụng các bài đã
làm vào làm các bài khác.Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy trong
SGK toán 9 tập 2 có hai bài tập (bài 23 –trang 76,bài 34 trang 80) có rất
nhiều ứng dụng trong việc phân tích tìm lời giải bài toán khác.Chính vì vậy
tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp học sinh có thêm
một công cụ giải toán ,dần hình thành cho học sinh phương pháp học tâp
môn hình,cung như tạo hứng thú học tập cho học sinh .
Người viết : Phạm Văn Hưng- Trường THCS – Cao Minh
- 2 -
Ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm định hướng giải bài tập khác trong môn toán lớp 9 .

III GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Bài 23: (SGK toan 9 –trang 76 tập 2)
Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường
tròn . Qua điểm M kẻ hai đường thẳng .Đường thẳng thứ nhất cắt đường

tròn (O) tại A và B. Đường thẳng thứ hai cắt đường tròn (O) tai C và
D.Chứng minh MA.MB = MC.MD .
Giải
Ta xét hai trường hợp
*)Trường hợp 1: Điểm M nằm ngoài đường tròn (O)
Xét
AMD
và
CMB
Có góc M chung
ADM = CBM (vì cùng bằng nửa số đo cung AC)
=>
AMD

CMB
(g-g)
=>
MB
MD
MC
MA
=
=> MA.MB = MC .MD
* Trường hợp 2: Điểm M nằm bên trong đường tron (O)
Xét
MAD
và
MCB
Có AMD = CMB (đối đỉnh )
ADM = CBM (vì cùng bằng nửa số đo cung AC )

=>
MAD

MCB
(g-g)
=>
MB
MD
MC
MA
=
=> MA.MB = MC .MD
Như vậy với mọi vị trí của điêm M không nằm trên đường tròn (O) thì
ta có MA.MB =MC.MD .
Bài 34: (SGK toán 9 - trang 80 tập 2)
Người viết : Phạm Văn Hưng- Trường THCS – Cao Minh
- 3 -
C
O
B
A
M
D
C
A
D
B
O
M
Ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm định hướng giải bài tập khác trong môn toán lớp 9 .

Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn đó .Qua
điểm M kẻ tiếp tuyến MT và cát tuyến MAB. Chứng minh MT
2
=
MA.MB.

Giải
Xét
MAT
và
MTB
Có góc M chung
MAT = MBT ( vì cùng bằng nửa số đo cung AT )
=>
MAT

MBT
( g-g)
=>
MB
MT
MT
MA
=
=> MA.MB = MT
2
Như vậy MT
2
= MA.MB
*Kết hợp hai bài toán trên ta có kết quả sau:

Từ một điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O)
kẻ tiếp tuyến MT và hai cát tuyên MAB và MCD
ta có MT
2
= MA.MB = MC.MD
Ta coi kết quả trên là bài toán (*)
Chú ý: Tứ giác ABCD nội tiếp mà có
tia BA ,tia CD cắt nhau tại
điểm M như hình vẽ thì ta có .
MA.MB = MD.MC
Bây giờ ta sẽ sử dụng bài (*) để làm một số bài tập hình học dạng
chứng minh đẳng thức a.b = c.d hoặc a
2
= c.d trong đó a,b,c,d là các độ dài
hình hoc.
Bài 1: ( Đề thi chon đội tuyển thi HSG thành phố -Vĩnh Bảo năm học
2007-2008 và thi lí thuyết gáo viên giỏi Vĩnh Bảo 2008-2009)
Người viết : Phạm Văn Hưng- Trường THCS – Cao Minh
- 4 -
M
T
A
B
O
M
C
O
D
T
B

A
M
C
B
D
A
Ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm định hướng giải bài tập khác trong môn toán lớp 9 .
Cho đường tròn tiếp xúc với hai cạnh OX,OY của XOY lần lượt tại A
và B .Từ A kẻ tia song song với OB cắt đường tròn tại C.Tia OC cắt đường
tròn tại E.Tia AE cắt OB tại K. chứng minh OK = KB
*Phân tích tìm lời giải:
Theo bài toán (*) ta dễ nhận thấy KB
2
= KE.KA
=> Muốn chứng minh OK =KB ta
chứng minh OK
2
= KE.KA.Việc
làm này không khó ta chỉ việc chứng minh

OKE

AKO

* Từ việc phân tích trên ta có lời giải sau
Giải
Xét
KBE
và
KAB

Có góc K chung
KBE = KAB (Vì cùng bằng nửa số đo cung BE)
=>
KBE KAB
(g-g)
=>
KAKEKB
KB
KE
KA
KB
.
2
=⇒=
(1)
Xét
OKE
và
AKO
Có OKE = AKO (2)
ACO = EOK (So le trong )
OAK = ACO (Vì cùng bằng nửa số đo cung AE)
=> OAK = EOK (3)
Từ (2) và (3) =>
OKE

AKO
(g-g)
=>
KAKEOK

OK
KE
KA
OK
.
2
=⇒=
(4)
Từ (1) và (4) =>
22
KBOK =
=> OK = KB
Người viết : Phạm Văn Hưng- Trường THCS – Cao Minh
- 5 -
O
K
B
E
C
A
y
x
Ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm định hướng giải bài tập khác trong môn toán lớp 9 .
Vậy OK = KB .
Bài 2:
Cho đường tròn (O) và dây AB. Trên tia AB lấy điểm C nằm ngoài
đường tròn .Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính PQ,cắt
dây AB tại D.Tia CP cắt đường tròn (O) tại I .Các dây AB và QI cắt nhau
tại K. Chứng minh CA.CB = CK.CD .
*Phân tích tìm lời giải:

Theo bài toán (*) ta có CA.CB = CI.CP
Như vậy ta chỉ việc chứng minh CI.CP = CK.CD
Mà tứ giác DKIP nội tiếp nên thêo bài toán (*)
ta có CI.CP = CK.CD
=> CA.CB = CK.CD
Giải
Xét
CBP
và
CIA

Có góc C chung
CAI = CPB (vì cùng bằng nửa số đo cung IB)
=>
CBP

CIA
(g-g)
=>
CPCICACB
CA
CP
CI
CB
=⇒=
(1)
Xét
CIK
và
CDP

Có góc C chung
Có CDP = CIK (Vì cùng bằng 90
o
)
=>
CIK

CDP
(g-g)
=>
CDCKCPCI
CP
CK
CD
CI
=⇒=
(2)
Từ (1) và (2) ta có CB.CA = CK.CD
Vậy CA.CB = CK.CD
Người viết : Phạm Văn Hưng- Trường THCS – Cao Minh
- 6 -
P
A
Q
C
I
D
K
B
O

Ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm định hướng giải bài tập khác trong môn toán lớp 9 .
Bài 3: (Bài 246 -nâng cao phát triển toan 9 - tâp. 2 - trang 97)
Cho tam giác ABC có các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H .
Chứng minh
a) BH.BE + CH.CF = BC
2
b) AH.AD + BH.BE + CH.CF =
2
222
BCACAB ++
* Phân tích tìm lời giải:
a)Tứ giác CDHE nội tiếp nên theo bài toán (*)
ta có BH.BE =BD.BC
Tứ giác BDHF nội tiếp nên thêo bài toán (*)
ta có CH.CF =CD.BC
=> BH.BE + CH.CF = BD.BC + CD.BC
= BC (BD + CD ) = BC.BC = BC
2
* Từ phân tích trên ta có lời giả sau :
Giải
a) Xét
BHD
và
BCE

Có góc B chung
BDH = BEC (Vì cùng bằng 90
o
)
=>

BHD BCE
(g-g)
=>
BCBDBEBH
BE
BD
BC
BH
=⇒=
(1)
Xét
CDH
và
CFB
Có góc C chung
CDH = CFB (vì cùng bằng 90
o
)
=>
CDH CFB
(g-g)
Người viết : Phạm Văn Hưng- Trường THCS – Cao Minh
- 7 -
A
F
B
D
C
E
H

Ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm định hướng giải bài tập khác trong môn toán lớp 9 .
=>
CFCHCBCD
CB
CH
CF
CD
=⇒=
(2)
Từ (1) và (2) ta có BH.BE + CH.CF = BD.BC + CD.BC
=> BH.BE + CH.CF = BC (BD + CD)
=> BH.BE + CH.CF = BC.BC
=> BH.BE + CH.CF = BC
2
b) Chứng minh tương tự câu (a) ta có
BH.BE + CH.CF = BC
2
AH.AD + BH.BE = AB
2

CH.CF + AH.AD = AC
2

=> BH.BE+CH.CF+AH.AD+BH.BE+CH.CF+AH.AD = AB
2
+AC
2
+BC
2
=> 2AH.AD + 2BH.BE + 2CH.CF = AB

2
+ AC
2
+ BC
2
=> AH.AD + BH.BE + CH.CF =
2
222
BCACAB ++
Bài 4:( Đề thi HSG thành phố Hải Phòng năm
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Đường thẳng AD cắt
đường thẳng BC tại E, đường thẳng DC cắt đường thẳng AB tại F .Chưng
minh EA.ED + FA.FB = EF
2

* Phân tích tìm lời giải:
Trên EF lấy điểm H sao cho tứ giác ABHE
nội tiếp
EHB = BAD (Vì cùng bù với EAB)
BAD = BCF (Vì cùng bù với BCD)
=> EHB = BCF
Có EHB + BHF = 180
o
Người viết : Phạm Văn Hưng- Trường THCS – Cao Minh
- 8 -
O
E
F
H
C

B
D
A
Ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm định hướng giải bài tập khác trong môn toán lớp 9 .
=> BHF + BCF = 180
o
=> Tứ giác BCFH nội tiếp => EB.EC = EH.EF
Có tứ giác ABCD nội tiếp => EA.EB = EB.EC
Có tứ giác AEHB nội tiếp => FA.FB = FH .EF
=> EA.ED + FA.FB = EH.EF + FH.EF
=> EA.ED + FA.FB = EF (EH + FH )
=> EA.ED + FA.FB = EF.EF
=> EA.ED + FA.FB =EF
2
* Bạn đọc tự trình bày lời giải.
Bài 5:
Cho tam giác ABC có đường cao AH .M và N lần lượt là trung điểm
của AB và AC .Chưng minh ba đường tròn ngoại tiếp ba tam giác HBM ,
HCN ,AMN đồng qui tại điểm K và đường thẳng HK đi qua trung điểm của
MN .
Giải
* Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và đường tròn ngoại tiếp
tam giác BHM cắt nhau tại điểm K
Có tứ giác AMKN nội tiếp =>ANK+AMK = 180
o
Có BMK + AMK = 180
o
=>ANK = BMK (1)
Có tứ giác BMKH nội tiếp
=> BMK + BHK = 180

o
Có CHK + BHK = 180
o
=> BMK = CHK (2)
Từ (1) và (2) ta có CHK = ANK
Người viết : Phạm Văn Hưng- Trường THCS – Cao Minh
- 9 -
I
A
M
B
H C
N
K
O
1
O
2
Ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm định hướng giải bài tập khác trong môn toán lớp 9 .
Có ANK + CNK = 180
o
=> CNK + CHK = 180
o
=> Tứ giác CNKH nội tiếp => Điểm K thuộc đường tròn ngoại tiếp tam
giác HCN .Hay ba đường tròn ngoại tiếp ba tam giác AMN , HBM,HCN
đồng quy tại một điểm K .
* Giả sử đường thẳng HK cắt MN tại I , O
1
và

O
2
lần lượt là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác BHM và CHN .
Tam giác AHB vuông tại H , M là trung điểm của AB => MH = MB = MA
=>Tam giác BHM cân tại M => O
1
thuộc đường trung trực của BH
=> MO
1

⊥
BH
Tương tự NO
2
⊥
CH
Có MN là đường trung bình của tam giác ABC => MN// BC
=> MN vuông góc với O
1
M, O
2
N lần lượt tại M và N
=>MN là tiếp tuyến chung hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác BHM và
CHN.
=> Theo bài toan (*) ta có IM
2
=IK.IH , IN
2
= IK.IH

=> IM
2
= IN
2
=> IM = IN => I là trung điểm của MN
=> Đường thẳng HK đi qua trung điểm của MN .
Bài 6: (Trích đề thi HSG TP Hồ Chí Minh năm 2003 )
Cho đường tròn (O;R) và hai đường kính AB và CD .Tiếp tuyến tại A
của đường (O) cắt hai đường thẳng BC và BD tại hai điểm tương ứng E và
F.Chứng minh CE.DF.EF = CD
3
và
DF
CE
BF
BE
=
3
3
Giải
Xét tứ giác ACBD
Có CBD = ACB = CAD = 90
o
(vì đều
Người viết : Phạm Văn Hưng- Trường THCS – Cao Minh
- 10 -
O
B
D
C

Ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm định hướng giải bài tập khác trong môn toán lớp 9 .
là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=> Tứ giác ACBD là hình chữ nhật
=> CD =AB
Có tam giác EBD vuông tại A
=> AB
2
= EA.FA => AB
4
= EA
2
.FA
2
Theo bài toán (*) ta có EA
2
=EC.EB , FA
2
=FD.FB
=>AB
4
=EC.FD.EB.FB mà EB.FB = EF.AB
=> AB
4
=EC.FD.EF.AB
=> AB
3
= EC.FD.EF
=> CD
3
= CE.DF.EF (do AB = EF )

Có
CF
CE
BF
BE
BFDF
BECE
AF
AE
BF
BE
AF
AE
EFFA
EFEA
BF
BE
=⇒==⇒==
3
3
2
2
4
4
2
2
.
.
.
.

Bây giơ ta xét xem bài toan (*) có bài toán đảo không .
Bài toán thứ nhất:
Cho góc XOY trên tia OX lấy hai điểm A và B,trên tia OY lấy hai điểm
C và D sao cho điểm A nằm giữa O và B,điểm D nằm giữa O và C và
OA.OB = OD.OC .Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp.
Giải
Xét
OAD
và
OCD
Có
OB
OD
OC
OA
=
( Do OA.OB = OD.OC )
Góc O chung
=>
OAC ODB
(c- g - c )
=> OAD = DCB
Có OAD + BAD = 180
o
( vì là hai góc kề bù )
Người viết : Phạm Văn Hưng- Trường THCS – Cao Minh
- 11 -
O
D
C

y
x
B
A
E
A
F
ng dng mt s bi tp trong sỏch giỏo khoa lm nh hng gii bi tp khỏc trong mụn toỏn lp 9 .
=> BAD + DCB = 180
o
Xột t giỏc ABCD cú BAD + DCB = 180
o
=> T giỏc ABCD ni tip.
Bi toỏn th 2:
Cho tam giỏc BCT .Trờn tia CB ly im A sao cho AT
2
= AB.AC .
Chng minh AT l tip tuyn ca ng trũn ngoi tip tam giỏc BCT .
Gii
Xột
ATB
v
ACT
Cú gúc A chung
AT
AB
AC
AT
=
(Do AT

2
= AB.AC )
=>
ATB
v
ACT
(c-g-c)
=>ATB = ACT hay ATB = BCT
T O k OH vuụng gúc vi BT (H

BT )
Cú OT = OB => Tam giỏc OBT cõn ti O
=> ng cao OH ng thi l tia phõn giỏc ca gúc BOT
=> HOT =
2
1
BOT m BCT =
2
1
BOT => BCT = HOT
=> ATB = HOT
Có tam giác OHT vuông tại H
=> HOT + HTO = 90
o
=> ATB + HTO = 90
o
=> ATO = 90
o
=> AT vuông góc với OT tại T
=> AT là tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại T

* Nh vậy bài toán (*) có bài toán đảo.
Chú ý: Bài toán (*) chính là một phần bài toán phơng tích mà học sinh đợc
học ở lớp 10.Nội dung bài toán nh sau:
Ngi vit : Phm Vn Hng- Trng THCS Cao Minh
- 12 -
T
A
B
C
O
H
ng dng mt s bi tp trong sỏch giỏo khoa lm nh hng gii bi tp khỏc trong mụn toỏn lp 9 .
Từ một điểm M không nằm trên đờng tròn (O;R) kẻ cát tuyến MAB với
đờng tròn.Tích MA.MB đợc gọi là phơng tích của điểm M với đờng tròn
(O;R) và đợc kí hiệu kà P
M/(o)
= MA.MB = d
2
- R
2
( trong đó d = OM ) .
Chứng minh
Trờng hợp 1: Điểm M nằm bên ngoài đờng tròn (O)
Từ M kẻ tiếp tuyên MT với đờng tròn (O)
Ta có MA.MB = MT
2
Tam giác MTO vuông tại T nên theo định lí PITAGO
Ta có MT
2
= MO

2
- OT
2
= d
2
- R
2
=> MA.MB = d
2
- R
2
Trờng hợp 2: Điểm M nằm bên trong đờng tròn (O)
Kẻ đơng kính CD đi qua điểm M
Ta có MA.MB = MC.MD
Mà MC.MD = (OC OM).(OD + OM)
=> MC.MD = (R - d)(R + d) = R
2
- d
2
=> MA.MB = R
2
- d
2
Nh vậy P
M/(O)
=MA.MB = d
2
-R
2

Ngi vit : Phm Vn Hng- Trng THCS Cao Minh
- 13 -
B
M
O
T
A
B
A
D
O
M
C
Ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm định hướng giải bài tập khác trong môn toán lớp 9 .
IV KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM
Từ năm học 2005 đến nay tôi được phân công giảng dạy môn toán lớp
9 và tôi đã áp dụng nội dung sáng kiến kinh nghiệm này vào giảng dạy.
Bước đầu tôi đã gây được hứng thú học tập cho học sinh ,học sinh đã có
khả năng làm nhanh các bài tập cơ bản , đặc biệt học sinh khá giỏi đã vận
dụng kha tôt nội dung sáng kiến kinh nghiệm này vào gải bài tập. Cuối
cùng với khả năng bình thường của một giáo viên tôi mạnh dạn viết nên
sáng kiến kinh nghiệm của mình mong các bạn đồng nghiệp hưởng ứng và
góp ý kiến cho tôi để công tác giảng dạy của tôi ngày càng tiến bộ.
Cao Minh ngày 2 tháng 2 năm 2009
Người viết

Phạm Vãn Hưng
Người viết : Phạm Văn Hưng- Trường THCS – Cao Minh
- 14 -
Ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm định hướng giải bài tập khác trong môn toán lớp 9 .

TÀI LIỆU THAM KHẢO
STT Tài liệu Tác giả
1 Nâng cao và phát triển toán 9 tập 2 Vũ Hữu Bình
2 Bộ đề thi học sinh giỏi thành phố Hải Phòng
3 1001 bài toán sơ cấp
Nguyễn Văn Vĩnh
Nguyễn Văn Đồng
4 Toán nâng cao hình học 9 Võ Đại Mau

Người viết : Phạm Văn Hưng- Trường THCS – Cao Minh
- 15 -
Ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm định hướng giải bài tập khác trong môn toán lớp 9 .
MỤC LỤC
PHẦN NỘI DUNG TRANG
I ĐẶT VẤN ĐỀ 1
II
Cơ sở khoa học
1.Cơ sở lí luận
2.Cơ sở thực tiễn
2
III Giải quyết vấn đề 3 -13
IV Kết quả thực nghiệm 14
V Tài liệu tham khảo
15
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
BẢN CAM KẾT
Người viết : Phạm Văn Hưng- Trường THCS – Cao Minh
- 16 -

Ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm định hướng giải bài tập khác trong môn toán lớp 9 .
I. Tác giả:
Họ và tên : Phạm Văn Hưng
Ngày, tháng, năm sinh : 17/ 8/1980
Đơn vị : Trường THCS Cao Minh.
Điện thoại : Di động: 01698047019
II. Sản phẩm :
Tên sản phẩm : Ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm
định hướng giải bài tâp khác.
III. Cam kết:
Tôi xin cam kết sáng kiến kinh nghiệm này là sản phẩm của cá nhân
tôi. nếu có xảy ra tranh chấp về quyền sở hữu đối với một phần hay toàn bộ
sản phẩm sáng kiến kinh nghiệm, tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trước lãnh
đạo đơn vị, lãnh đạo Sở GD – ĐT về tính trung thực của bản cam kết này.
Cao Minh, ngày 15 tháng 1 năm 2009
Người cam kết
( Ký, ghi rõ họ tên)

Phạm Văn Hưng
Người viết : Phạm Văn Hưng- Trường THCS – Cao Minh
- 17 -
Ứng dụng một số bài tập trong sách giáo khoa để làm định hướng giải bài tập khác trong môn toán lớp 9 .
Người viết : Phạm Văn Hưng- Trường THCS – Cao Minh
- 18 -