Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 12 môn Toán năm 2011

MỘT SỐ BÀI TẬP BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 12
I. Giải các hệ phương trình:
1.
2
2
3 2 3
3 2 3
x x y
y y x

+ + = +


+ + = +


2.
2 2 2
3 3 3
7
37
1
x y z
x y z
x y z
+ − =


+ − =



+ − =

3.
3 3
7
1
78
x y
y x
xy
x y xy

+ = +




+ =



4.
3 3
log log
3 3
2 27
log log 1
y x
x y
y x


+ =


− =


5.
( ) ( )
( ) ( )
7 4 3 2 2 3 8
7 4 3 2 2 3 8
x y
y x

+ − + =



+ − + =


6.
2 2
2
2 2 2 1
2 2 2
4 2 4 4
2 3.2 112
x x y y

y x y
− + −
+ +

− + =


+ =


7.
( ) ( )
2 2
5 3
9 4 5
log 3 2 log 3 2 1
x y
x y x y

− =


+ − − =


II. Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z ≤ 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = xy + yz + zx − 2xyz
III. Cho các số thực dương x, y thỏa mãn:
1 1
2

x y
+ =
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3 3 2 2
( 6) ( 6)A x y x y y x= + + − + −

IV. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn: a.b.c = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
ab bc ca
T
a b ab b c bc c a ca
= + +
+ + + + + +
V. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn
3x y z+ + £
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2 2
1 1 1T x x y y z z= + - + + - + + -

VI. Định m để phương trình sau có đúng 4 nghiệm thực:
(
)
(
)
4 2 2 2 2
3 2 1 1 1 1 1 1x x x m x x
− − + + − − = + − − +
VII. Định m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực:

(
)
2 2
4 4
4 2 2 4 2 2m x x x x x− + + − − = − + +
VIII. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng bốn nghiệm thực:
2 2
( 4) 2 5 8 24m x x x x+ + = + +
IX. Cho các số thực x, y, z thuộc khoảng (0; 1) và thỏa mãn: xy + yz + zx = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2
(1 )(1 )(1 )
xyz
x y z
=
− − −
T
X. Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2
x (y z) y (z x) z (x y)
P
yz zx xz
+ + +
= + +