đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn toán năm học 2014 2015 tỉnh vĩnh phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KÌ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2014-2015
ĐỀ THI MÔN: TOÁN - THPT
Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề



Câu 1 (2,5 điểm).
a) Tìm tham số
m
để hàm số
 
3 2
3 3 1 2y x mx m x    
nghịch biến trên một đoạn có độ
dài lớn hơn
4
.
b) Chứng minh rằng với mọi
a
, đường thẳng
:
d y x a 
luôn cắt đồ thị hàm số
 
1
2 1
x
y H
x

 


tại hai điểm phân pbiệt
,A B
. Gọi
1 2
,k k
lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến
với
 
H
tại
A
và
B
. Tìm
a
để tổng
1 2
k k
đạt giá trị lớn nhất.
Câu 2 (2,0 điểm).
a) Giải phương trình:
 
2
2cos 2 3 sin cos 1 3 sin 3 cosx x x x x
   
.
b) Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số

abc
thỏa mãn điều kiện
a b c 
.
Câu 3 (1,5 điểm).
Giải hệ phương trình:
 
 
3 3 2 2
2
3 6 6 15 10
,
3 6 10 4
x y x y x y
x y
y x y x y x

      



     




Câu 4 (1,5 điểm).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
Oxy
, cho tam giác

ABC
có trung điểm của cạnh
BC
là điểm
 
3; 1
M

, đường thẳng chứa đường cao kẻ từ đỉnh
B
đi qua điểm
 
1; 3
E
 
và đường thẳng chứa
cạnh
AC
đi qua điểm
 
1;3
F
. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác
ABC
, biết rằng điểm đối xứng
của đỉnh
A
qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
là điểm

 
4; 2
D

.
Câu 5 (1,5 điểm).
Cho hình chóp
.
S ABCD
thỏa mãn
5, 3
SA SB SC SD AB BC CD DA       
. Gọi
M

là trung điểm của cạnh
BC
. Tính thể tích khối chóp
.
S MCD
và khoảng cách giữa hai đường thẳng
,SM CD
.
Câu 6 (1,0 điểm).
Cho các số thực
, , 1a b c 
thỏa mãn
6
a b c
  

. Chứng minh rằng:
   
2 2 2
2 2 2 216
a b c   
.
ĐỀ CHÍNH THỨC