BÀI tập lớn cơ học kết cấu III TÍNH hệ THANH PHẲNG THEO PHƯƠNG PHÁP PHẦN tử hữu hạn và PHƯƠNG PHÁP PHÂN PHỐI mô MEN đại học xây DỰNG hà nội

Bài tập lớn CHKC 3
Bài tập lớn cơ học kết cấu
Tính hệ thanh phẳng theo phơng pháp phần tử hữu
hạn và phơng pháp phân phối mô men
I. Đề bài: 3d4
1. Sơ đồ kết cấu:
2. số liệu :
a. Số liệu hình học và vật liệu:
S
1
S
2
l
1
(m)
l
2
(m)
l
3
(m)
E
(KN/m
2
)
b
(m)
h
(m)
b
(m)

h
(m)
0,2 0,2 0,2 0,2 3 3 8 2,5E+07
b. Số liệu tải trọng:
p
(kN/m)
P
(kN)
M
(kNm)
25 250 350
II. Tính toán nội lực theo phơng pháp phần tử hữu hạn
1
1
l
1
l
2
2l
S
2
P
1
S
M
p
S
1
l
3

S
2
l
3
2
P
1,5l
X'
Y'
(4)
5
13
12
8m
4
9
2
1
4
(2)
(1)
1
3
4,5 m
8m
10
(3)
7
3
6

X'
Y'
2
5
8
6m
3m 3m
14
11
Bài tập lớn CHKC 3
1. Rời rạc hoá kết cấu,lập bảng số liệu cho các nút và các phần tử hữu
hạn.Lập ma trận chuyển trục [T]
i
của từng phần tử
- Chia kết cấu thành 4 phần tử ,thứ tự các phần tử ghi trên hình vẽ:

- Bảng số liệu cho các nút và các phần tử hữu hạn:
Phần tử Nút i Nút j F.10
-2
J.10
-4
l Cosin chỉ phơng
C
x
C
y
1 1 2 4 4/3 6 1 0
2 2 3 4 4/3 7,5 0,8 0,6
3 3 4 4 4/3 12,5 0 -1
4 2 5 4 4/3 16 0 -1

- Ma trận chuyển trục:
2
Bµi tËp lín CHKC 3
• PhÇn tö 1

[T]
1
=




















100000
010000

001000
000100
000010
000001

• PhÇn tö 2
[T]
2
=




















−

−
100000
08,06,0000
06,08,0000
000100
00008,06,0
00006,08,0
• PhÇn tö 3 vµ phÇn tö 4:
[T]
3
=[T]
4
=





















−
−
100000
001000
010000
000100
000001
000010
2. LËp ma trËn ®é cøng cña tõng phÇn tö h÷u h¹n trong hÖ to¹ ®é riªng
[K]
i
vµ trong hÖ to¹ ®é chung [K’]
i
a. Ma trËn ®é cøng trong hÖ to¹ ®é riªng:
- PhÇn tö 1:
EF = Ebh = 2,5.10
7
.4.10
-2
= 10
6
kN
3
Bµi tËp lín CHKC 3
EJ = E.bh
3
/12 = 10

4
/3 kNm
2
L = 6 m

[K]
1
=
l
EF
0
l
EF
−
0 0
0
3
3
l
EJ
0
3
3
l
EJ
−
2
3
l
EJ

l
EF
−
0
l
EF
0 0
0
3
3
l
EJ
−
0
3
3
l
EJ
2
3
l
EJ
−
0
2
3
l
EJ
0
2

3
l
EJ
−
l
EJ3
=
216
10
6
36 0 -36 0 0
0 0,01 0 -0,01 0,06
-36 0 36 0 0
0 -0,01 0 0,01 -0,06
0 0.06 0 -0,06 0,36
4
Bµi tËp lín CHKC 3
- PhÇn tö 2:
EF = E.bh
EJ = E.bh
3
/12
L = 7,5 m
=
875,421
10
6
56,25 0 0
-
56,25

0 0
0 0,04 0,15 0 -0,04 0,15
0 0,15 0,75 0 -0,15 0,375
-
56,25
0 0 56,25 0 0
0 -0,04 -0,15 0 0,04 -0,15
0 0,15 0,375 0 -0,15 0,75
- PhÇn tö 3:
EF = E.bh
EJ = E.bh
3
/12
L = 12,5 m
[K]
2
=
EF/l 0 0 -EF/l 0 0
0 12EJ/l
3
6EJ/l
2
0 -12EJ/l
3
6EJ/l
2
0 6EJ/l
2
4EJ/l 0 -6EJ/l
2

2EJ/l
-EF/l 0 0 EF/l 0 0
0 -12EJ/l
3
-6EJ/l
2
0 12EJ/l
3
-6EJ/l
2
0 6EJ/l
2
2EJ/l 0 -6EJ/l
2
4EJ/l
5
Bµi tËp lín CHKC 3
=
125,1953
10
6
156,25 0 0
-
156,25
0 0
0 0,04 0,25 0 -0,04 0,25
0 0,25 6,25/3 0 -0,25 6,25/6
-
156,25
0 0 156,25 0 0

0 -0,04 -0,25 0 0,04 -0,25
0 0,25 6,25/6 0 -0,25 6,25/3
- PhÇn tö 4:
EF = E.bh
EJ = E.bh
3
/12
L = 16 m
[K]
3
=
EF/l 0 0 -EF/l 0 0
0 12EJ/l
3
6EJ/l
2
0 -12EJ/l
3
6EJ/l
2
0 6EJ/l
2
4EJ/l 0 -6EJ/l
2
2EJ/l
-EF/l 0 0 EF/l 0 0
0 -12EJ/l
3
-6EJ/l
2

0 12EJ/l
3
-6EJ/l
2
0 6EJ/l
2
2EJ/l 0 -6EJ/l
2
4EJ/l
6
Bµi tËp lín CHKC 3
=
4096
10
6
256 0 0 -256 0 0
0 0,04 0,32 0 -0,04 0,32
0 0,32
10,24/
3
0 -0,32
10,24/
6
-256 0 0 256 0 0
0 -0,04 -0,32 0 0,04 -0,32
0 0,32
10,24/
6
0 -0,32
10,24/

3
b. Ma trËn ®é cøng trong hÖ to¹ ®é chung
- PhÇn tö 1
[K]
4
=
EF/l 0 0 -EF/l 0 0
0 12EJ/l
3
6EJ/l
2
0 -12EJ/l
3
6EJ/l
2
0 6EJ/l
2
4EJ/l 0 -6EJ/l
2
2EJ/l
-EF/l 0 0 EF/l 0 0
0 -12EJ/l
3
-6EJ/l
2
0 12EJ/l
3
-6EJ/l
2
0 6EJ/l

2
2EJ/l 0 -6EJ/l
2
4EJ/l
7
Bµi tËp lín CHKC 3

- phÇn tö 2
[K’]
2
= [T]
T
2
.[K}
2
.[T]
2
=
85367.464 63954.487 -213.333 -85367.464 -63954.487 -213.333
63954.487 48060.681 284.444 -63954.487 -48060.681 284.444
-213.333 284.444 1777.778 213.333 -284.444 888.889
-85367.464 -63954.487 213.333 85367.464 63954.487 213.333
-63954.487 -48060.681 -284.444 63954.487 48060.681 -284.444
-213.333 284.444 888.889 213.333 -284.444 1777.778
- phÇn tö 3
[K’]
3
= [T]
T
3

.[K}
3
.[T]
3
20.48 0 128 -20.48 0 128
[K’]
1
=[K]
1
= 166666.667 0 -166666.667 0 0
0 46.296 0 -46.696 277.778
-166666.667 0 166666.667 0 0
0 -46.696 0 46.296 -277.778
0 277.778 0 -277.778 1666.667
8
Bài tập lớn CHKC 3
0 80000 0 0 -80000 0
128 0 1066.496 -128 0 533.504
-20.48 0 -128 20,48 0 -128
0 -80000 0 0 80000 0
128 0 533.504 -128 0 1066.496
- phần tử 4
[K]
4
= [T]
T
4
.[K}
4
.[T]

4
=
9.766 0 78.125 -9.766 0 78.125
0 62500 0 0 -62500 0
78.125 0 833.252 -78.125 0 416.748
-9.766 0 -78.125 9.766 0 -78.125
0 -62500 0 0 62500 0
78.125 0 416.748 -78.125 0 833.252
3. Lập ma trận tựa chéo của các phần tử
Ma trận độ cứng của các phần tử trong hệ toạ độ chung sau khi đã xét
điều kiện biên:
điều kiện biên: u
1
=u
2
=u
9
=u
10
=u
11
=u
12
=u
13
=u
14
Phần tử 1:
[K
*

]
1
'
=
166666.667 0 0 3
0 46.296 -277.778 4
0 -277.778 1666.667 5
3 4 5
9
Bµi tËp lín CHKC 3
PhÇn tö 2:
[K
*
]
2
'
=
85367.464 63954.487 -213.333 -85367.464 -63954.487 -213.333 3
63954.487 48060.681 284.444 -63954.487 -48060.681 284.444 4
-213.333 284.444 1777.778 213.333 -284.444 888.889 5
-85367.464 -63954.487 213.333 85367.464 63954.487 213.333 6
-63954.487 -48060.681 -284.444 63954.487 48060.681 -284.444 7
-213.333 284.444 888.889 213.333 -284.444 1777.778 8
3 4 5 6 7 8
PhÇn tö 3:
[K
*
]
3
'

=
20.48 0 128 6
0 80000 0 7
128 0 1066.496 8
6 7 8
PhÇn tö 4:
[K
*
]
3
'
=
9.766 0 78.125 3
0 62500 0 4
78.125 0 833.252 5
3 4 5
• Ma trËn tùa chÐo cña c¸c phÇn tö trong hÖ to¹ ®é chung sau khi ®a
®iÒu kiÖn biªn:
252043.897 63954.487 -135.208 -85367.464 -63954.487 -213.333
3
10
Bài tập lớn CHKC 3
63954.487 110606.977 6.666 -63954.487 -48060.681 284.444
4
-135.208 6.666 4277.697 213.333 -284.444 888.889
5
-85367.464 -63954.487 213.333 85387.944 63954.487 341.333
6
-63954.487 -48060.681 -284.444 63954.487 128060.681 -284.444
7

-213.333 284.444 888.889 341.333 -284.444 2844.274
8
3 4 5 6 7 8
4. Lập véc tơ lực nút tổng cộng có xét đến điều kiện biên:
Véc tơ tải trọng nút có xét đến điều kiện biên
{ }
P
*
R
=
{ }
00250000
3 4 5 6 7 8
Véc tơ lực nút tơng đơng trong hệ toạ độ chung có xét đến điều kiện biên
- Phần tử 1:
{ }
*
R
1
'
=







88
9

0
M
l
M
=
{ }
75,43625,650
3 4 5
- Phần tử 2:
{ }
*
R
2
'
=








cos12cos2
0
cos12cos2
0
22
qlqlqlql
=

{ }
75,9375,93075,9375,930

3 4 5 6 7 8
- Phần tử 4:
{ }
*
R
4
'
=






8
0
2
PlP
=
{ }
5000125
3 4 5
- Véc tơ lực nút tơng đơng:
{ }
*
R
'

=
{ }
75,9375,930450375,159125
3 4 5 6 7 8
Véc tơ lực nút tổng cộng có xét đến điều kiện biên:
{ }
*
R
=
{ }
P
*
R
+
{ }
*
R
'
=
{ }
75,9375,93250450375,159125
3 4 5 6 7 8
5. Giải phơng trình [K*].{q*} = {R*}
Véc tơ chuyển vị nút của hệ
11
Bài tập lớn CHKC 3
q*= [K*]
-1
. {R*}
=0,0022 0,000165 0,104884 0,007187 0,002929 0,000824(m)

3 4 5 6 7 8
Xác định véc tơ chuyển vị nút của các phần tử trong hệ toạ độ chung và
riêng:
Phần tử 1:
q
'

1
=0 0 2,2 0,165 104,884(mm)
1 2 3 4 5
q
1
=[T]
1
q
'

1
=0 0 2,2 0,165 104,884(mm)
Phần tử 2:
q
'

2
=2,2 0,165 104,884 7,187 2,929 0,824(mm)
3 4 5 6 7 8
q
2
=[T]
2

q
'

2
=1,859 -1,188 104,884 7,507 -4,969 0,824(mm)
Phần tử 3:
q
'

3
=7,187 2,929 0,824 0 0 0(mm)
6 7 8 9 10 11
q
3
=[T]
3
q
'

3
=-2,929 7,187 0,824 0 0 0(mm)
Phần tử 4:
q
'

4
=2,2 0,165 104,884 0 0 0(mm)
3 4 5 12 13 14
q
4

=[T]
4
q
'

4
=-0,1657 2,2 104,884 0 0 0(mm)
Xác định nội lực đầu thanh của từng phần tử,vẽ biểu đồ (M):
Phần tử 1:
R
1
=[K]
1
q
1
-{R
P
}
1

=-366,67 29,13 366,67 36,495 119,32(kN)
Phần tử 2:
R
2
=[K]
2
q
2
-{R
P

}
2

=-809,32 112,94 299.5 969,82 37,06 -11,52(kN)
Phần tử 3:
R
3
=[K]
3
q
3
-{R
P
}
3

=-234,32 0,25 11,52 234,32 -0.25 5,76(kN)
Phần tử 4:
R
4
=[K]
4
q
4
-{R
P
}
4

=-10,31 133,22 -418.82 10,31 -8,22 540,701(kN)

Vẽ nội lực:
12
Bµi tËp lín CHKC 3
13
Bµi tËp lín CHKC 3
14
234,436
1000
350
140,625
119,32
299,5
418,82
11,52
5,76
540,701
Bài tập lớn CHKC 3
ii. Tính toán nội lực theo phơng pháp phân phối mô men của
H.Cross
1. Xác định độ cứng quy ớc của thanh
Liên kết tại đầu đối diện với nút là ngàm:
AX
L
EI
R
AX
=
Liên kết tại đầu đối diện với nút là khớp:
AX
L

EI
R
4
3
AX
=
82.4
.3
1
21
EI
l
EI
R ==
162
3
25
EI
l
EI
R ==
15
2
)5,1()2(
2
2
2
2
23
EI

ll
EI
R =
+
=
25
2
5,1
32
34
EI
ll
EI
R =
+
=
2. Xác định hệ số phân phối mô men
;

=
A
AX
AX
R
R


= 1
AX

Tại nút 2:

21
=
39.0
15
2
16
1
8
1
8
=






++ EI
EI

25
=
195.0
15
2
16
1
8

1
16
=






++ EI
EI

23
=
415.0
15
2
16
1
8
1
15
2
=

++ EI
EI
Tại nút 3:

32
=
625.0
25
2
15
2
15
2
=






+ EI
EI


34
=
375.0
25
2
15

2
25
2
=






+ EI
EI

3. Xác định mô men nút cứng
15
Bài tập lớn CHKC 3
Thanh 21:
M
21
=

75,43
8
350
)
4
3
1(
2
==

M
(kN/m)

Thanh 23:
M
23
= -M
32
=
188,117
12
5,7.25
12
22
==
ql
(kN/m)
Thanh 25:
M
52
= -M
25
=
500
16
8.250
16
8.
2
3

2
3
==
P
(kN/m)

Mô men nút cứng tại nút 2:
M*
2
= M*
21
+ M*
23
+ M*
25
= -43,75 +117,188-500 = -426,562 (kNm)
Mô men nút cứng tại nút 3:
M*
3
= M*
32
+ M*
34
= -117,188 (kNm)
4. Lập bảng phân phối mô men
M
AX
= -
AX
. M

A

Nút 2 3 4 5
Đầu thanh 2 - 1 2 - 5 2 - 3
3 - 2
3 - 4 4 - 3 5 - 2

0.39 0.195 0.415
0.625
0.375
M* -43.75 -500 117.188 -117.188 500
2
166.359 83.180 177.023
88.512 41.590
3
8.961
17.923
10.754 5.377
2
-3.495 -1.747 -3.719
-1.859 -0.874
3
0.581
1.162
0.697 0.349
2
-0.227 -0.113 -0.241
-0.121 -0.057
3
0.038

0.076
0.045 0.023
2
-0.015 -0.007 -0.016
-0.008 -0.004
3
0.003
0.005
0.003 0.002

118.873 -418.689 299.818
-11.499
11.499 5.750
540.656
Ta có biểu đồ mô men:
16
Bµi tËp lín CHKC 3
17
350
118,873
299,818
418,689
234,436
140,625
11,499
5,75
540,656
1000