Ba dạng toán cơ bản về tỉ số phần trăm_Khóa luận tốt nghiệp khoa GDTH

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới cô giáo Dương Thị Hà - Giảng
viên khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 – cùng Ban giám hiệu và các
bạn sinh viên Khoa Giáo dục Tiểu học đồng thời em cũng xin cảm ơn Ban giám
hiệu, các thầy cô và học sinh trường Tiểu học Thị trấn - Sóc Sơn – Hà Nội đã nhiệt
tình giúp đỡ em trong quá trình nghiên cứu để hoàn thành đề tài của mình.
Hà Nội, ngày 15 tháng 04 năm 2008.
NGƯỜI THỰC HIỆN
Trần Thị Dịu
- 1 -

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
LỜI CAM ĐOAN
Đề tài nghiên cứu này được thực hiện từ tháng 10 năm 2007 đến tháng 05
năm 2008, tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phường Xuân Hoà - Phúc Yên –
Vĩnh Phúc.
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của mình không trùng với
kết quả của các tác giả khác.
Nêu sai tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm.
SINH VIÊN
Trần Thị Dịu
- 2 -

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
MỤC LỤC
Nội dung
Trang
- Lời cảm ơn 1
- Lời cam đoan 2

- Mục lục 3
- Phần mở đầu 4
- Phần nội dung 7
Chương 1: Cơ sở lý luận 7
1.1. Kiến thức liên quan đến tỉ số phần trăm 7
1.1.1. Đại lượng 7
1.1.2. Khái niệm tỉ số 7
1.1.3. Tỉ số phần trăm(%) 8
1.2. Chương trình SGK có liên quan đến tỉ số phần trăm 9
1.3. Bài toán có lời văn ở Tiểu học
10
1.4. Một số khó khăn, sai lầm khi giải bài toán về tỉ số phần trăm 11
1.5 Một số đề xuất khắc phục
13
Kết luận 16
Chương 2: Hệ thống các bài toán 17
2.1. Dạng toán cơ bản 1: Tìm tỉ số phần trăm của hai số
17
2.2. Dạng toán cơ bản 2: Tìm một số phần trăm của một số 24
2.3. Dạng toán cơ bản 3: Tìm một số khi biết giá trị phần trăm của số đó 32
2.4. Những bài toán tổng hợp 39
Kết luận 46
- Phần kết luận 47
Tài liệu tham khảo 48
- 3 -

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Nhân loại đang sống trong những năm đầu của thế kỉ XXI – thế kỉ tri thức

khoa học với sự phát triển như vũ bão của công nghệ thông tin, khoa học ứng
dụng… ở Việt Nam, Đảng và Nhà nước đã coi “ giáo dục - đào tạo là quốc sách
hàng đầu”. Với bậc Tiểu học là bậc học giữ vai trò nền tảng.
Trong chương trình ở Tiểu học, môn Toán cung cấp cho học sinh những kiến
thức ban đầu cơ bản và sơ giản về số học, các đại lượng thông dụng, một số yếu tố
hình học và thống kê đơn giản, hình thành các kĩ năng toán học, bước đầu hình
thành phương pháp học tập và làm việc có kế hoạch, chủ động, sáng tạo…chuẩn bị
cho việc học tập ở các bậc học tiếp theo.
Trong dạy - học Toán ở Tiểu học thì giải các bài toán có lời văn chiếm vị trí
quan trọng. Các bài toán này được sử dụng để gọi động cơ tìm kiếm kiến thức mới,
củng cố kiến thức cũ và vận dụng tri thức vào thực tiễn. Nhờ vậy, học sinh có điều
kiện rèn luyện và phát triển năng lực tư duy, rèn luyện phương pháp suy luận và
những phẩm chất của người lao động mới. Một trong các bài toán đó phải kể đến
các bài toán về tỉ số phần trăm.
Tuy nhiên, để giải các bài toán về tỉ số phần trăm thì không đơn giản. Các
bài toán này không có phương pháp giải chung. Vì vậy, trong SGK toán tiểu học
người ta đã chia ra làm ba dạng toán cơ bản về tỉ số phần trăm mà mỗi dạng toán cơ
bản lại có qui tắc giải riêng. Nhưng để học sinh nhận dạng được từng dạng toán cơ
bản trong bài toán là cả một quá trình từ tìm hiểu vấn đề đến phân tích, so sánh,
khái quát hoá, trừu tượng hoá… Ngoài ra, các bài toán về tỉ số phần trăm còn sử
dụng rất nhiều thuật ngữ, nhiều sự việc, hiện tượng tự nhiên…trong cuộc sống mà
học sinh phải hiểu mới tìm ra được hướng giải đúng.
- 4 -

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
Trên đây là những lí do cơ bản để tôi chọn “Ba dạng toán cơ bản về tỉ số
phần trăm” làm đề tài trong khoá luận của mình.
II. Mục đích nghiên cứu
1. Cơ sở lý luận về tỉ số phần trăm và giải toán tỉ số phần trăm trong
chương trình.

2. Đưa ra hệ thống các bài toán thuộc ba dạng toán cơ bản về tỉ số phần trăm
để học sinh sau khi làm có thể nhận dạng và có kĩ năng giải bài toán có liên quan
đến tỉ số phần trăm. Đồng thời đưa ra một số bài toán tổng hợp để phát triển năng
lực giải toán cho các em.
III. Các nhiệm vụ nghiên cứu
1. Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn vấn đề: tỉ số phần trăm và các dạng
toán về tỉ số phần trăm;các sai lầm, khó khăn khi làm bài và giảng dạy các bài toán
đó. Đồng thời đưa ra một số đề xuất khắc phục tương ứng.
2. Nghiên cứu các dạng toán về tỉ số phần trăm, phân loại và đưa ra lời giải
các bài toán đó.
IV. Phạm vi nghiên cứu
Khoá luận nghiên cứu ba dạng toán cơ bản về tỉ số phần trăm trong chương
trình sách giáo khoa Tiểu học lớp 5. Những bài toán thuộc ba dạng toán đó trong
sách giáo khoa, sách tham khảo, sách nâng cao Tiểu học.
V. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu nội dung chương trình về:
- Ba dạng toán cơ bản về tỉ số phần trăm.
- Hệ thống các bài toán và huớng dẫn giải các bài toán đó.
VI. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận
- Phương pháp điều tra
- Phương pháp thực nghiệm
VII. Cấu trúc khoá luận
Lời cảm ơn
- 5 -

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
Lời cam đoan
Mục lục
Phần mở đầu

I. Lý do chọn đề tài
II. Mục đích nghiên cứu
III. Các nhiệm vụ nghiên cứu
IV. Phạm vi nghiên cứu
V. Đối tương nghiên cứu
VI. Cấu trúc khoá luận
Phần nội dung
Chương 1. Cơ sở lý luận
1.1. Kiến thức liên quan tới tỉ số phần trăm
1.1.1. Đại lượng
1.1.2. Khái niệm tỉ số
1.1.3. Tỉ số phần trăm (%)
1.2. Chương trình SGK có liên quan đến ti số phần trăm
1.3. Bài toán có lời văn ở Tiểu học
1.4. Một số khó khăn khi giải toán về tỉ số phần trăm
1.5.Một số đề xuất, kiến nghị
Chương 2. Hệ thống bài toán
2.1. Dạng toán cơ bản 1: Tìm tỉ số phần trăm của hai số
2.2. Dạng toán cơ bản 2: Tìm một số phần trăm của một số
2.3. Dạng toán cơ bản 3: Tìm một số bài toán tổng hợp
2.4. Một số bài toán tổng hợp
Phần kết luận
Tài liệu tham khảo
- 6 -

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
I. Kiến thức liên quan đến tỉ số phần trăm:
1. Đại lượng

Đại lượng là một khái niệm cơ bản của toán học, được Euclid sử dụng nhưng
không định nghĩa. Bằng trực giác ta có thể quan niệm đại lượng là tất cả những gì
so sánh được với nhau, có thể đo lường được như độ dài, góc, diện tích, thể tích,
trọng lượng, áp lực… Trong quá trình phát triển của toán học hiện đại, đại lượng đã
dần được mở rộng. Trong toán học hiện đại, đại lượng được xác định bởi các tiên
đề.
Chương trình toán ở tiểu học đề cập hầu hết các đại lượng cơ bản mà học
sinh thường gặp trong cuộc sống.
2.Khái niệm tỉ số
Tỉ số là khái niệm diễn đạt quan hệ so sánh giữa hai đại lượng cùng loại khi
chúng được đo bằng cùng một đơn vị. Các đại lượng cơ bản thường gặp trong thực
tiễn là các đại lượng phải có cùng cấu trúc với các đại lượng đo được. Ta biết các
tập hợp số tự nhiên, phân số đều có cấu trúc cộng (một số có thể phân tích thành
tổng của nhiều số hạng). Do đó có thể so sánh hai số về mặt cấu trúc cộng (hơn -
kém nhau bao nhiêu đơn vị) hay cấu trúc nhân (hơn – kém nhau bao nhiêu lần).
Trong bài toán đầu, giá trị của từng số (theo đơn vị) là quan trọng. Trong bài toán
sau, giá trị của từng số (theo đơn vị) không giữ vai trò quan trọng mà quan hệ diễn
đạt bằng so sánh hơn – kém nhau bao nhiêu lần, tức là bằng thương của phép chia
hai số giữ vai trò chủ yếu. Việc so sánh hai đại lượng cùng loại được đặt ra tương
tự. Khi đó thương của giá trị hai đại lượng (cùng đơn vị) gọi là tỉ số của hai đại
lượng đó.
Giả sử hai đại lượng cần so sánh được kí hiệu là a $ b tỉ số của a và b được
kí kiệu là a: b và được diễn đạt bằng lời là “ bao nhiêu lần”.
- 7 -

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH

Khi so sánh hai đại lượng a và b, có thể xảy ra trường hợp a chứa đúng r lần
b. Vì phép so sánh này không phụ thuộc vào đơn vị đo nên ta chọn b làm đơn vị đo
của nó và nói : “a gấp r lần b”. Nếu a không phải là bội của b thì ta sẽ chọn một đơn

vị đo chung là đại lượng u sao cho: a = u x m và b = u x n chẳng hạn.
Khi đó a : b =
nu
mu
×
×
=
n
m
( m,n € N* ).
n
m
chính là một phân số. Phân số
này là giá trị của tỉ số a : b. Theo tính chất cơ bản của phân số ta có thể nói: tỉ số của
a và b bằng phân số
b
a
và viết a : b =
b
a
.
Như vậy, tỉ số của hai đại lượng có thể là một số tự nhiên (khi một đại lượng
được chọn làm chuẩn, đại lượng thứ hai là bội số của đại lượng làm chuẩn) hay một
phân số (khi ta phải chọn một đại lượng nào đó làm đơn vị đo chung cho hai đại
lượng). Nhưng ta còn gặp những tỉ số không phải là số tự nhiên hay phân số. Chẳng
hạn: tỉ số giữa chu vi đường tròn và đường kính của nó hay tỉ số giữa độ dài đường
chéo của một hình vuông so với một cạnh của nó đều không phải là một số tự nhiên
hay phân số.
Ta phải chú ý rằng, tỉ số là quan hệ giữa hai đại lượng nên khi nói về quan hệ
“ lớn hơn – bé hơn ” thứ tự các đại lượng là rất quan trọng. Điều này thể hiện trên kí

hiệu và trong cách diễn đạt. Ví dụ: tỉ số a : b khác b : a, tỉ số a : b đọc là tỉ số của a
và b, còn tỉ số b : a là tỉ số của b và a. Nên ở Tiểu học, khi nói về tỉ số người ta
thường nói cụ thể hơn và nêu rõ : tỉ số của a so với b hay tỉ số của b so với a.
3. Tỉ số phần trăm (%)
Như đã nói ở trên, tỉ số của hai số a và b là thương của phép chia a cho b.
Thương này thường là một số thập phân hữu hạn hoặc một số thập phân gần đúng.
Trong thực tiễn, nhiều khi người ta dùng tỉ số đó dưới dạng tỉ số phần trăm.
Ví dụ: Tìm tỉ số của số đo chiều rộng và số đo chiều dài của một thửa ruộng
hình chữ nhật biết rằng thửa ruộng đó có chiều rộng 3m và chiều dài là 4m.
- 8 -

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
Tỉ số đó là 3 : 4 =
75,0
4
3
=
.
Ta có: 0,75 = 0,75 x 100 x
100
1
=
100
75
= 75 x
100
1
Ta viết : 75 x
100
1

thành 75%. Nghĩa là ta thay kí hiệu
100
1
bằng kí hiệu %.
Kí hiệu % đọc là “ phần trăm”, 75 % đọc là “ bảy mươi lăm phần trăm ”
Số 75% là tỉ số phần trăm của số đo chiều rộng và số đo chiều dài của hình
chữ nhật đã cho. Tỉ số % này chỉ ra rằng nếu chiều dài gồm 100 phần bằng nhau thì
chiều rộng gồm 75 phần bằng nhau như vậy: 3 : 4 = 75%
Vậy, tỉ số phần trăm của đại lượng a là thương của phép chia a cho 100. Nói
một cách đơn giản, tỉ số phần trăm chỉ là một dạng kí hiệu của phân số thập phân.
a : 100 =
100
a
= a % đọc là “ a phần trăm ”
Qui tắc: Muốn tìm tỉ số phần trăm của hai số ta:
- Tìm thương của hai số đó rồi viết thương dưới dạng số thập phân.
- Nhân thương đó với 100 rồi viết thêm kí hiệu % vào bên phải tích vừa
tìm được.
1.2. Chương trình SGK có liên quan đến tỉ số phần trăm
Nhìn vào khái niệm “ tỉ số phần trăm ” ta đã thấy liên quan đến “ tỉ số ” của
hai số, mà “ tỉ số ” của hai số là thương của phép chia số thứ nhất cho số thứ hai,
thương đó thường là số thập phân. Như vậy, phải học xong số thập phân và phép
chia với số thập phân thì mới hình thành được đầy đủ khái niệm “ tỉ số phần trăm ”.
Trong chương trình SGK Toán 5 giới thiệu tất cả 20 tiết học liên quan tới “tỉ
số phần trăm” trong đó có 5 tiết thuộc kiểu dạy bài khái niệm đó là:
Tiết 74: Tỉ số phần trăm
Tiết 75: Giải toán về tỉ số phần trăm (tiếp theo)
Tiết 77: Giải toán về tỉ số phần trăm (tiếp theo)
Tiết 79: Giải toán về tỉ số phần trăm (tiếp theo)
Tiết 84: Sử dụng máy tính bỏ túi để giải toán về tỉ số phần trăm

- 9 -

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
Còn lại 15 tiết là thuộc kiểu bài ôn tập ở các tiết 76; 78; 80; 81; 82; 88; 100;
117; 143; 154; 156; 157; 171; 172; 173. Trong đó tiết 100 giới thiệu biểu đồ hình
quạt.

Còn các tiết liên quan đến “ ba dạng toán cơ bản về tỉ số phần trăm ” là tiết
75; 77 và 79. Cụ thể:
Tiết 75: Giải toán về tỉ số phần trăm thuộc dạng bài tìm tỉ số phần trăm của
một số.
Tiết 77: Giải toán về tỉ số phần trăm ( tiếp theo ) thuộc dạng bài tìm một số
phần trăm của hai số.
Tiết 79: Giải toán về tỉ số phần trăm ( tiếp theo ) thuộc dạng bài tìm một số
khi biết giá trị phần trăm của số đó.
1.3. Bài toán có lời văn ở Tiểu học
1.3.1. Bài toán là gì?
Cần phân biệt khái niệm bài toán với khái niệm bài tập và bài tính.
Theo từ điển tiếng Việt, “ bài toán là những vấn đề cần giải quyết bằng
phương pháp khoa học ”, còn “ bài tập là bài ra cho học sinh làm để vận dụng
những điều đã học ”, và “ bài tính là bài toán chỉ đòi hỏi thực hiện một số phép tính
”
Theo nghĩa hẹp “ bài toán là những vấn đề cần giải quyết bằng phương pháp
toán học ”. Trong bài toán, các điều kiện, ẩn số và dữ kiện là ba thành phần cơ bản.
Ở Tiểu học, bài toán được hiểu theo nghĩa hẹp, thậm chí nhiều khi còn được
hiểu một cách đơn giản: bài toán là bài tập trong SGK.
Trong phạm vi bài viết này tôi sử dụng khái niệm bài toán và bài tập là tương
đương nhau.
1.3.2. Bài toán có lời văn ở Tiểu học
- 10 -

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
Bài toán có lời văn là các bài tập mà những dữ kiện, ẩn số cũng như các quan
hệ giữa chúng được mô tả bằng các tình huống ngôn ngữ. Việc giải chúng buộc chủ
thể phải phân tích tình huống ngôn ngữ để tìm kiếm các thuật ngữ giải trong đó.
Bài toán có lời văn thực chất là những bài toán thực tế. Nội dung bài toán
được thông qua những câu nói về quan hệ tương quan và phụ thuộc có liên quan
đến cuộc sống hằng ngày. Học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc giải các bài toán
có lời văn vì lời văn che đậy bản chất của bài toán.
Các bài toán có lời văn ở Tiểu học, chia theo số lượng phép tính trong quá
trình giải toán, gồm 2 loại:
- Bài toán đơn ( các bài toán chỉ có một phép tính số học )
- Bài toán hợp ( các bài toán có từ hai phép tính số học trở lên )
Trong khai thác bài toán có lời văn, chúng ta chỉ chú ý tới các bài toán hợp.
Các bài toán hợp lại được chia thành:
- Các bài toán không có phương pháp chung để giải.
- Các bài toán điển hình.
1.3.3. Quy trình chung giải bài toán có lời văn ở Tiểu học.
Muốn giải được bài toán trong chương trình Toán Tiểu học nói chung, bài
toán cơ bản về tỉ số phần trăm nói riêng, học sinh cần nắm được các bước chung
của hoạt động giải toán. Có nhiều cách phân chia các bước trong quá trình giải trình
giải bài toán có lời văn. Trong cuốn “ Giải toán như thế nào? ”. G. Polia đã tổng kết
quá trình giải toán và nêu ra sơ đồ 4 bước:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Bước 2: Tìm và xây dựng chương trình giải
Bước 3: Thực hiện kế hoạch giải
Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải
1.4. Một số khó khăn khi giải bài toán về tỉ số phần trăm
Trong quá trình giải toán về tỉ số phần trăm ta gặp một số khó khăn như sau:
Thứ nhất, các dạng Toán cơ bản về tỉ số phần trăm không có phương pháp

giải cụ thể. Do đó người ta đã chia thành các nhóm nhỏ hơn sau đó đưa ra qui tắc để
- 11 -

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
tính. Tuy nhiên, để đưa các bài toán này về các nhóm cụ thể thì là cả chặng đường
khó khăn. Ta phải phân tích cụ thể bài toán, sau đó lập luận, biến đổi rồi mới rồi
mới đưa về dạng toán quen thuộc được.
Thứ hai, các bài toán về tỉ số phần trăm dùng rất nhiều các thuật ngữ khác
nhau của các ngành khác nhau. Ví dụ như: kế hoạch; dự định; vượt mức kế hoạch;
tiền vốn; giá mua; giá bán, tiền lãi; giá bán, định giá bán; quý, tháng; lãi suất tiết
kiệm, kinh phí; ước tính; bị co; năng suất; nước tinh khiết, nước lã;… Do đó, học
sinh phải hiểu được ý
nghĩa của các thuật ngữ đó sau đó mới phân tích đúng được bài toán, để đưa bài
toán về các dạng quen thuộc. Để hiểu được các thuật ngữ thì học sinh phải đọc
nhiều, tra cứu nhiều đồng thời qua mỗi bài toán giáo viên có thể giải nghĩa luôn cho
học sinh.
Thứ ba, nhiều bài toán cho một đại lượng nhưng bao gồm nhiều thành phần
khác nhau ví dụ như dung dịch nước muối bao gồm khối lượng nước và khối lượng
muối, giá bán thường bao gồm cả tiền mua và tiền lãi, khối lượng can dầu bao gồm
khối lượng can và khối lượng dầu, số tiền sau khi gửi tiết kiệm một tháng bao gồm
cả tiền gửi và tiền lãi…Do đó, khi thay đổi một thành phần thì thành phần kia tuy
không thay đổi giá trị nhưng tỉ số phần trăm của nó thay đổi so với đại lượng mới.
Vì vậy phải phân tích cho học sinh hiểu rõ mối quan hệ này để giải toán cho đúng.
Thứ tư, để giải các bài toán về tỉ số phần trăm có liên quan đến hình học đòi
hỏi học sinh phải hiểu rõ về các yếu tố hình học. Ví dụ khi tăng đường kính của một
hình tròn lên 10% thì bán kính của hình tròn cũng tăng lên 10%, nhưng tăng diện
tích của một hình chữ nhật lên 10% thì chiều dài sẽ tăng 10% nếu chiều rộng không
thay đổi hoặc chiều rộng tăng thêm 10% nếu chiều dài không thay đổi hoặc cả chiều
rộng và chiều dài thay đổi nhưng đồng thời không tăng quá 10%.
Thứ năm, với những bài toán liên quan đến lãi suất tiết kiệm thì học sinh

phải hiểu được như sau: sau một tháng ta có cả tiền gửi và tiền lãi, đến hết tháng
thứ hai ta nhận thêm được tiền lãi của số tiền lãi ở tháng đầu, cứ tiếp tục như vậy.
- 12 -

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
Số tiền nhận được là số tiền của tháng liền trước đó và số tiền lãi của tháng liền
trước đó. Vì vậy, học sinh phải hiểu rõ bản chất của việc gửi tiền tiết kiệm.
Thứ sáu, để tìm tỉ số phần trăm của đại lượng thứ nhất và đại lượng thứ hai
thì ta phải chú ý đến thứ tự các đại lượng, tìm thương số của đại lượng thứ nhất và
đại lượng thứ hai thì mới cho ra kết quả đúng.
Ngoài ra, ở bài toán liên quan đến giá bán, giá mua nếu giá bán so với giá
mua là
b
a
thì giá mua so với giá bán là
a
b
. Hơn nữa, khi nói đến tỉ số phần trăm là
so sánh tỉ số của đại lượng này so với đại lượng khác chứ nó không đứng một mình.
Vì vậy phải nói rõ tỉ số này là của đại lượng nào so với đại lượng nào.
Hiểu được bản chất về tỉ số phần trăm của hai số để linh hoạt trong cách tìm
tỉ số phần trăm của các đại lượng.
Trên đây là một số khó khăn khi giải các bài toán về tỉ số phần trăm. Giáo
viên cần nắm rõ để hướng cho học sinh hiểu và tránh được các sai lầm khi làm bài.
1.5. Một số kiến nghị, đề xuất:
Qua việc tìm hiểu các khó khăn, sai lầm khi giải toán về tỉ số phần trăm của
tôi đưa ra một số kiến nghị, đề xuất khắc phục tương ứng để quý bạn đọc tham khảo
như sau:
1.5.1- Học sinh sẽ lúng túng chưa hiểu rõ bản chất của các thành phần trong
cùng một đại lượng hoặc mối quan hệ giữa các đại lượng với nhau nên trước khi

giải một bài toán giáo viên nên giải thích cho học sinh hiểu. Nhất là việc giáo viên
nắm bắt rõ những khó khăn khi giải toán để khắc phục, hạn chế sai lầm cho các em.
1.5.2- Muốn cho học sinh làm đúng thì phải cho các em làm nhiều, khi đó
các em đã thành thục thì sẽ dễ dàng giải bất cứ một bài toán nào.
1.5.3- Vì giải toán về tỉ số phần trăm không có phương pháp giải cụ thể. Do
đó, tuỳ vào từng bài ta đưa về dạng toán quen thuộc để giải. Cụ thể như sau:
Ví dụ 1: Tổng số học sinh khá giỏi của trường Vạn Thịnh là 552 em, chiếm
92% tổng số học sinh toàn trường. Tìm số học sinh toàn trường ?
Phân tích:
- 13 -

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
Coi số học sinh toàn trường là 100% thì 552 em học sinh khá giỏi chiếm
92%. Ta tìm 1% số học sinh toàn trường rồi từ đó tìm số học sinh toàn trường.
Tuy nhiên, ta có thể coi số học sinh toàn trường là 100 phần thì số học sinh
khá giỏi chiếm 92 phần như thế. Tìm giá trị của 1 phần rồi từ đó tìm số học sinh
toàn trường.
Cách 1: Số học sinh toàn trường là:
552 : 92 x 100 = 600 (học sinh)
Đáp số: 600 học sinh
Cách 2: Coi số học sinh toàn trường là 100 phần thì số học sinh khá, giỏi là:
100 : 100 x 92 = 92 (phần)
Giá trị của 1 phần là:
552 : 92 = 6 (học sinh)
Số học sinh toàn trường là:
6 x 100 = 600 (học sinh)
Đáp số: 600 học sinh
Ví dụ 2: So với năm ngoái, số học sinh giỏi năm nay tăng 25%. Hỏi so với
năm nay, số học sinh giỏi năm ngoái chiếm bao nhiêu phần trăm ?
Phân tích: Ta giả sử số học sinh giỏi năm ngoái là một cụ thể rồi tính số học

sinh tăng lên của năm nay so với năm ngoái. Từ đó tìm được số học sinh năm nay
và tỉ số phần trăm của số học sinh năm ngoái so với số học sinh năm nay.
Bài giải:
Ta giả sử số học sinh giỏi năm ngoái là 100 học sinh. Như vậy, số học sinh giỏi năm
nay tăng thêm là:
100 : 100 x 25 = 25 (học sinh)
Số học sinh giỏi năm nay là:
100 + 25 = 125 (học sinh)
So với năm nay, số học sinh giỏi năm ngoái chiếm:
100 : 125 = 0,8
0,8 = 80%
Đáp số: 80%
- 14 -

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
Như vậy, với bài toán về tỉ số phần trăm, ta có thể vận dụng trực tiếp qui tắc
tìm tỉ số phần trăm của hai số hoặc dùng phương pháp tỉ số hay phương pháp rút về
đơn vị hoặc ta có thể đưa về dạng toán không chứa tỉ số phần trăm rồi sau đó giải
các bài toán đó.
1.5.4- Ngoài ra ta cần cho các em tiếp xúc với bài giải sai để các em tự tìm
và khắc sâu được lời giải đúng. Cụ thể:
Ví dụ 1: Lượng muối chứa trong nước biển chiếm 4%. Hỏi cần phải đổ thêm
bao nhiêu gam nước lã vào trong 200 gam nước biển để được một dung dịch có
lượng muối chiếm 2%?
Ta đưa ra lời giải sai như sau:
Nước biển chứa 4% muối nghĩa là cứ 100g nước biển thì gồm 96g nước ngọt
và 4g muối. Để có 100g nước chứa 2g muối thì trong 100g nước biển lượng muối
giảm đi
2 lần, lượng nước ngọt cần đổ vào phải tăng gấp 2 lần. Lượng nước ngọt cần đổ vào
trong 100g nước biển để được nước có tỉ lệ muối 2% là: 96 x 2 = 192 (g)

Lượng nước ngọt cần đổ vào 400g nước biển là:
192 x 4 = 768 (g)
Đáp số: 768 g
Ví dụ 2: Cho một hình tròn, nếu tăng đường kính của hình tròn đó thêm 20%
thì diện tích của hình tròn tăng thêm bao nhiêu phần trăm ?
Ta đưa ra lời giải sai như sau:
Vì đường kính gấp đôi bán kính nên nếu tăng đường kính lên 20% thì bán kính tăng
là: 20% : 2 = 10%
Nếu bán kính ban đầu là r thì bán kính sau khi tăng thêm là:
r + r x 10% = r + r x 0,1 = r x 1,1
Diện tích hình tròn ban đầu là:
r x r x 3,14
Diện tích hình tròn mới là:
(r x 1,1) x (r x 1,1) x 3,14
Tỉ số phần trăm giữa diện tích hình tròn mới và diện tích hình tròn ban đầu là:
- 15 -

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
(r x 1,1) x (r x 1,1) x 3,14
r x r x 3,14
Vậy diện tích hình tròn tăng thêm số phần trăm là:
121% - 100% = 21%
Đáp số: 21%
*Trong khi lời giải đúng phải là:
Ví dụ 1:
Bài giải
200 g nước biển chứa số gam muối là:
200 : 100 x 4 = 8 (g)
Như vậy, 8 g muối ứng với 2% dung dịch lượng nước biển sau khi đổ thêm nước lã.
Vậy khối lượng nước đó là:

8 : 2 x 100 = 400 (g)
Cần đổ thêm lượng nước lã là:
400 – 200 = 200 (g)
Đáp số: 200 g
Ví dụ 2:
Bài giải
Nếu đường kính cũ là d thì đường kính mới là:
d + d x 20% = d x 1,2
Khi đó bán kính mới là:
d x 1,2 : 2 = r x 2 x 1,2 : 2 = r x 1,2
Tỉ số diện tích hình tròn mới và diện tích hình tròn cũ là :
(r x 1,2) x (r x 1,2) x 3,14
r x r x 3,14
Vậy đường kính hình tròn tăng thêm 20% thì diện tích hình tròn đó tăng thêm là:
144% - 100% = 44% (diện tích cũ)
Đáp số: 44%
- 16 -
= 1,21 = 121%
= 1,44 = 144%

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
Cách làm đưa ra bài giải sai để tìm lời giải đúng là cách làm mới nhưng tôi
thấy nó hiệu quả bởi vì tự học sinh phát hiện ra cái sai và tìm ra cái đúng.

Trên đây tôi đã đưa ra cơ sở lý luận về tỉ số phần trăm và một số vấn đề xung
quanh việc giải toán tỉ số phần trăm trong chương trình. Đồng thời, tôi cũng đưa ra
một số khó khăn, sai lầm khi giải toán về tỉ số phần trăm và đưa ra một số đề xuất
khắc phục tương ứng. Qua việc tìm hiểu tôi đã thấy được độ khó, độ phức tạp của
dạng toán về tỉ số phần trăm . Vì vậy, ở chương 2 tôi sẽ đưa ra hệ thống các bài toán
trong đó có phân loại các dạng toán cơ bản về tỉ số phần trăm và các bài tập tương

ứng cho tưngf dạng toán cơ bản đó. Việc làm này nhằm mục đích giúp học sinh
nhận dạng và rèn kĩ năng giải các dạng toán cơ bản về tỉ số phần trăm.
CHƯƠNG2. HỆ THỐNG CÁC BÀI TOÁN
2.1. Dạng toán cơ bản 1: Tìm tỉ số phần trăm của hai số
2.1.1. Sách giáo khoa đưa ra ví dụ như sau:
Trường Tiểu học Vạn Thọ có 600 học sinh, trong đó có 315 học sinh nữ.Tìm
tỉ số phần trăm của số học sinh nữ và số học sinh toàn trường.
Phân tích: Tỉ số của số học sinh nữ và số học sinh toàn trường là 315: 600
Ta có: 315: 600 = 0,525
0,525 x 100 : 100 =52,5 : 100 =52.5%
Vậy tỉ số phần trăm của số học sinh nữ và số học sinh toàn trường là 52.5%
- 17 -

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
Thông thường là ta viết gọn cách tính như sau:
315: 600 = 0,525 = 52,5%
Bài giải:
Tỉ số phần trăm của số học sinh nữ và số học sinh toàn trường là:
315: 600 = 0,525
0,525 = 52,5%
Đáp số: 52,5%
Qua ví dụ trên ta đưa ra qui tắc giải cho dạng toán cơ bản 1 như sau:
Để tìm tỉ số phần trăm củâ a và b ta trình bày theo hai bước:
Bước 1: Tìm thương của a và b
a : b = c
Bước 2: Chuyển tỉ số c thành tỉ số phần trăm
c = c x 100 : 100 = d : 100 = d% (d =100 x c)
Viết gọn là: c = d%
2.1.2. Các bài toán
Bài toán 1: Một lớp học có 25 học sinh, trong đó có 13 học sinh nữ. Hỏi số

học sinh nữ chiếm bao nhiêu phần trăm của lớp học đó?
Bước 1:Tìm hiểu nội dung bài toán.
Cái đã cho:
1. Lớp học có 25 học sinh.
2. Lớp học có 13 học sinh nữ.
Cái phải tìm:
Tỉ số của số học sinh nữ và số học sinh cả lớp
Bước 2: Tìm và xây dựng kế hoạch giải toán.
Để tìm và xây dựng kế hoạch giải toán ta đặt ra hệ thống câu hỏi hướng dẫn
học sinh như sau:
- 18 -

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
1. Bài toán yêu cầu làm gì?(tìm số học sinh nữ chiếm bao nhiêu phần trăm số
học sinh của lớp học đó hay tìm tỉ số phần trăm của số học sinh nữ và số học sinh
cả lớp).
2. Muốn tìm tỉ số phần trăm của số học sinh nữ và số học sinh cả lớp ta làm
thế nào? (tìm thương số của số học sinh nữ và số học sinh cả lớp)
3. Số học sinh nữ và số học sinh cả lớp biết chưa?(Biết rồi)
4. Sau khi biết thương của số học sinh nữ và số học sinh cả lớp ta làm thế
nào? (nhân thương đó với 100 và viết thêm kí hiệu% vào tích vừa tìm được)
Bước 3: Thực hiện kế hoạch giải
Dựa vào bước 2 ta làm như sau:
Bài giải
Tỉ số phần trăm của sổ số học sinh nữ và số học sinh cả lớp là:
13 : 25 = 0,52
0,52 = 52%
Đáp số: 52%
Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải
1. Kiểm tra lại thứ tự phép tính (theo 2 bước trình bày)

Kiểm tra lại thứ tự phép tính(13 : 25 = 0,25)
2. Nghiên cứu sâu lời giải:
2.1. Thay đổi số liệu của bài toán.
- Thay đổi số liệu của số học sinh nữ và giữ nguyên số liệu của lớp học đó.Ví
dụ: số học sinh nữ là 20.
- Điều kiện số học sinh nữ không vượt quá 25
- Thay đổi số liệu của số học sinh cả lớp
- Điều kiện số học sinh cả lớp phải lớn hơn 12
- Thay đổi số liệu của số học sinh nữ và số học sinh cả lớp
- Điều kiện: số học sinh cả lớp luôn lớn hơn hoặc bằng số học sinh nữ.
2.2. Thay đổi quan hệ
Tính tỉ số của số học sinh nam và số học sinh cả lớp
- 19 -

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
Trước hết ta phải tính được số học sinh nam sau đó tính tỉ số của số học sinh
nam và số học sinh cả lớp
Lưu ý:sau khi đặt được đề toán mới rồi, ta thử giải xem có được không.
Bài toán 2: Theo kế hoạch, năm vừa qua thôn Hoà An phải trồng 20 ha ngô.
Đến hết tháng 9 thôn Hoà An trồng được 18 ha và đến hết năm trồng được 23,5 ha
ngô. Hỏi:
a. Đến hết tháng 9 thôn Hoà An đã thực hiện được bao nhiêu phần trăm kế
hoạch cả năm?
b. Hết năm thôn Hoà An đã thực hiện được bao nhiêu phần trăm và vượt
mức kế hoạch cả năm bao nhiêu phần trăm?
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Đọc kĩ đề bài và xác định cái đã cho, cái cần tìm.
Cái đã cho:
1. Theo kế hoạch phải trồng 20 ha ngô
2. Hết tháng 9 trồng được 18 ha

3. Hết năm trồng được 23,5 ha
Cái phải tìm:
1. Tỉ số phần diện tích đất trồng hết tháng 9 và kế hoạch cả năm
2. Tỉ số phần trăm diện tích đất trông ngô thu được hết năm và kế hoạch cả
năm
Tính số phần trăm vượt mức kế hoạch
Bước 2: Tìm và xây dựng kế hoạch giải toán
Ta suy nghĩ theo hệ thống các câu hỏi như sau:
1.Bài toán yêu cầu làm gì?(trả lời theo cái phải tìm của bước 1)
2. Muốn tính tỉ số phần trăm diện tích đất trồng ngô thu được hết tháng 9 và
kế hoạch cả năm ta làm như thế nào?(tìm thương số giữa diện tích đất trồng ngô thu
được hết tháng 9 và kế hoạch cả năm. Sau đó nhân với 100 và thêm kí hiệu % vào
tích vừa tìm được)
- 20 -

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
3. Diện tích đất trồng ngô thu được hết tháng 9 và kế hoạch cả năm biết
chưa? (biết rồi).
4. Tương tự, muốn tính tỉ số phần trăm diện tích đất trồng ngô hết năm và kế
hoạch cả năm ta làm thế nào?(tìm thương số giữa diện tích đất trồng ngô thu được
hết năm và kế hoạch cả năm, sau đó nhân với 100 và thêm kí hiệu % vào tích vừa
tìm được)
5. Diện tích đất trồng ngô thu được hết năm biết chưa?(biết rồi)
Từ đây ta tính được tỉ số phần trăm diện tích đất trồng ngô thu được hết năm và kế
hoạch cả năm
6. Muốn tính tỉ số phần trăm vượt mức ta làm thế nào? ( lấy tỉ số phần trăm
diện tích đất trồng ngô thu được hết năm và kế hoạch cả năm trừ đi 100% thì ra số
cần tìm )
Bước 3: Thực hiện kế hoạch giải toán
Dựa vào bước 2 ta có lời giải như sau:

Bài giải
a. Tỉ số phần trăm diện tích đất trồng ngô thu được hết tháng 9 và kế hoạch
cả năm là:
18 : 20 = 0,9
0,9 = 90%
b. Tỉ số phần trăm diện tích đất trồng ngô thu được hết năm và kế hoạch cả năm là:
23,5 : 20 = 1,175
1,175 = 117,5%
Số phần trăm vượt mức kế hoạch là:
117,5% - 100% = 17,5%
Đáp số : a. 90%
b. 117,5% ; 17,5%
Bước 4 : Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải
1. Kiểm ta lại các bước tính ( trình tự 2 bước, 2 phần)
Kiểm tra lại kết quả phép tính ( 18 : 20; 23,5 : 20 )
- 21 -

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
2. Nghiên cứu sâu lời giải
Dựa vào bài toán cũ ta thay đổi số liệu, quan hệ tạo thành các bài toán mới.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Kiểm tra sản phẩm của một nhà máy, người ta thấy trung bình cứ 100
sản phẩm thì có 95 sản phẩm đạt chuẩn. Hỏi số sản phẩm đạt chuẩn chiếm bao
nhiêu phần trăm tổng số sản phẩm của nhà máy?
Bài giải
Tỉ số phần trăm của số sản phẩm đạt chuẩn và số sản phẩm của nhà máy là :
95 : 100 = 0,95
0,95 = 95 %
Đáp số: 95 %
Bài 2: Một vườn cây có 1000 cây, trong đó có 540 cây lấy gỗ và còn lại là cây

ăn quả.
a. Số cây lấy gỗ chiếm bao nhiêu phần trăm số cây trong vườn?
b. Tỉ số phần trăm của số cây ăn quả và số cây trong vườn là bao nhiêu?
Bài giải
a. Tỉ số phần trăm của số cây lấy gỗ và số cây trong vườn là:
540 : 1000 = 0,54
0,54 = 54%
b. Cách 1:
Số cây ăn quả trong vườn là:
1000 – 540 = 460 (cây)
Tỉ số phần trăm của số cây ăn quả và số cây trong vườn là:
460 : 1000 = 0,46
0,46 = 46%
Cách 2:
Tỉ số phần trăm giữa số cây ăn quả và số cây trong vườn là:
100% - 54% = 46%
- 22 -

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
Đáp số: a. 54%
b. 46%
Bài 3: Một huyện có 320 ha đất trồng cây cà phê và 480 ha đất trồng cây cao
su. Hỏi:
a. Diện tích đất trồng cây cao su bằng bao nhiêu phần trăm diện tích đất
trồng cây cà phê?
b. Diện tích đất trồng cây cà phê bằng bao nhiêu phần trăm diện tích đất
trồng cây cao su?
Bài giải
a. Tỉ số phần trăm giữa diện tích đất trồng cây cao su và diện tích đất trồng
cây cà phê là :

480 : 320 = 1,5
1,5 = 150%
b. Tỉ số phần trăm giữa diện tích đất trồng cây cà phê và diện tích đất trồng
cây cao su là:
320 : 480 = 0,6666
0,6666 = 66,66%
Đáp số : a. 150%
b. 66,66%
Bài 4: Một lâm trường theo kế hoạch thì trồng 800 cây lấy gỗ, nhưng thực tế
lại trồng được 1000 cây. Hỏi lâm trường đã thực hiện bao nhiêu phần trăm so với kế
hoạch và vượt mức kế hoạch bao nhiêu?
Bài giải
Tỉ số phần trăm giữa số cây trồng được và số cây trong kế hoạch là:
1000 : 800 = 1,25
1,25 = 125 %
Số phần trăm vượt mức kế hoạch là:
125% - 100% = 25 %
- 23 -

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
Đáp số: 125%
25 %
Bài 5: Ngày thường mua 5 quả bóng bay hết 10.000 đồng. Cũng với số tiền
đó trong ngày lễ chỉ mua được 4 quả bóng như thế. Hỏi so với ngày thường thì giá
bóng bay trong ngày lễ tăng hay giảm bao nhiêu phần trăm?
Bài giải
Cách 1:
Giá tiền 1 quả bóng bay trong ngày thường là :
10000 : 5 = 2000 (đồng)
Giá tiền 1 quả bóng bay đó trong ngày lễ là:

10000 : 4 = 2500 (đồng)
Tỉ số phần trăm của giá bóng bay trong ngày lễ so với ngày thường là:
2500 : 2000 = 1,25
1,25 = 125 %
Coi giá bóng bay ngày thường là 100% thì giá bóng bay trong ngày lễ hơn
ngày thường là:
125% - 100% = 25 %
Như vậy, so với ngày thường thì giá bóng bay trong ngày lễ tăng 25 %
Cách 2:
Để mua 5 quả bóng bay trong ngày lễ phải trả số tiền là:
12500 : 10000 = 1,25
1,25 = 125%
Coi giá bóng bay trong ngày thường là 100% thì giá bóng bay trong
ngày lễ đã tăng là:
125% - 100% = 25%
Cách 3:
Với cùng một số tiền mà ngày thường mua được 5 quả bóng bay, ngày lễ
mua được 4 quả bóng bay như thế thì tỉ số của giá bóng bay trong ngày lễ so với
ngày thường là:
5 : 4 = 1,25
- 24 -

Khoá luận tốt nghiệp Trần Thị Dịu - K30B-GDTH
1,25 = 125%
Coi giá bóng bay trong ngày thường là 100% thì giá bóng bay trong ngày lễ
đã tăng là:
125% - 100% = 25 %
Đáp số: 25 %

2.2. Bài toán cơ bản 2: Tìm một số phần trăm của một số.

2.2.1. Sách giáo khoa đưa ra ví dụ như sau: Một trường Tiểu học có 800 học
sinh, trong đó số học sinh nữ chiếm 52,5%. Tính số học sinh nữ của trường đó.
Phân tích: Có thể hiểu 100% số học sinh toàn trường là tất cả số học sinh của
trường. ở đây 100% số học sinh toàn trường là 8000 em
Ta có: 1% số học sinh toàn trường là:
800 : 100 = 8 (học sinh)
Số học sinh nữ hay 52,5% số học sinh toàn trường là:
8 x 52,5 = 420 (học sinh)
Hai bước trên ta có thể gộp thành:
800 : 100 x 52,5 = 420
Qua ví dụ trên ta đưa ra qui tắc giải cho dạng toán cơ bản 2 như sau:
Muốn tìm a% của b ta có thể lấy b chia cho 100 rồi nhân với a hoặc lấy b
nhân với a rồi chia cho 100
2.2.2 Các bài toán.
Bài toán 1: Năm 1985, theo kế hoạch ngành lâm nghiệp nước ta phải trồng
108000 ha rừng tập trung, nhưng thực sự đã trồng được 114% kế hoạch. Hỏi diện
tích rừng đã trồng được bao nhiêu? Vượt mức kế hoạch bao nhiêu?
Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán
Cái đã cho: 1) Nước ta phải trồng 108000 ha rừng theo kế hoạch
2) Thực sự đã trồng được 114% kế hoạch
Cái phải tìm: 1) Diện tích rừng đã trồng được?
2) Vượt mức kế hoạch bao nhiêu?
- 25 -