Rèn luyện và phát triển tư duy lôgíc cho học sinh tiểu học thông qua các bài toán hình học_Khóa luận tốt nghiệp khoa GDTH.

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hà
Lời cảm ơn
Để hoàn thành khoá luận này, bằng sự nỗ lực của bản thân, những kiến
thức đã học, và sự hớng dẫn tận tình của thầy giáo Nguyễn Văn Hà, em đã
hoàn thành chơng trình này.
Trớc hết, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy giáo Nguyễn Văn
Hà, ngời đã tận tình hớng dẫn chỉ bảo em trong suốt thời gian thực hiện khoá
luận. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Giáo dục Tiểu
học trờng Đại học S phạm Hà Nội 2, các thầy cô đã dạy dỗ, cung cấp cho em
kiến thức để có thể hoàn thành khoá luận. Em xin gửi đến cha mẹ, chỗ dựa
tinh thần vững chắc của em lòng biết ơn sâu sắc. Em cảm ơn tất cả những ngời
bạn đã giúp đỡ em trong 4 năm học qua.
Dù đã cố gắng nhng do thời gian và kiến thức có hạn, nên nghiên cứu của
em mới dừng ở kết quả này. Em rất mong nhận đợc sự chỉ bảo, góp ý của thầy
cô và các bạn để em có thể hoàn thiện tiếp chơng trình của mình.
Em xin chân thành cảm ơn!
Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Thu Thủy
Lớp : K30A GDTH
SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy K30A GDTH
1
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hà
Lời cam Đoan
Khoá luận này em thực hiện dới sự hớng dẫn của thầy giáo Nguyễn Văn
Hà. Em xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng em. Các số liệu,
căn cứ, kết quả trong đề tài hoàn toàn trung thực.
Đề tài cha từng đợc công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào khác.
Hà Nội, ngày tháng năm 2008
Nguyễn Thị Thu Thủy
SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy K30A GDTH
2
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hà

MụC LụC
Lời cảm ơn 1
Lời cam đoan 2
Phần mở đầu 4
1. Lý do chọn đề tài 4
2. Nhiệm vụ nghiên cứu 5
3. Đối tợng nghiên cứu 5
4. Phơng pháp nghiên cứu 5
Phần 2: Nội dung
Chơng 1: Cơ sở lí luận 6
1. Suy luận trong toán tiểu học 6
1.1 Suy luận là gì ? 6
1.2 Hai dạng suy luận 6
a. Suy luận quy nạp 6
b. Suy diễn 8
2. Đặc điểm của toán hình học tiểu học 8
3. Quy trình giải một bài toán tiểu học 11
3.1 Tìmhiểubàitoán 11
3.2 Lập kế hoạch giải 12
3.3 Thực hiện kế hoạch giải 12
3.4 Kiểm tra và đánh giá cách giải 12
Chơng 2. Các bài toán 14
Phần kết luận 40
Tài liệu tham khảo 41
SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy K30A GDTH
3
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hà
Phần mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Tiểu học là bậc học nền tảng, có ý nghĩa đặc biệt quan trọng trong hệ

thống giáo dục quốc dân của một quốc gia. Ngày nay, tất cả các quốc gia trên
thế giới đều quan tâm đến giáo dục, trong đó có giáo dục Tiểu học. Sự quan
tâm đó không phải là ngẫu nhiên mà chính là ở vai trò của giáo dục đối với sự
phát triển kinh tế- xã hội. Tổng bí th Đỗ Mời đã nói: Giáo dục là động lực
phát triển kinh tế- xã hội. Từ việc xác định vai trò của giáo dục đối với sự
phát triển kinh tế- xã hội của đất nớc, Đảng và Nhà nớc ta đã không ngừng
quan tâm đến sự nghiệp giáo dục. Sau bốn lần cải cách giáo dục mang tính
toàn quốc, nội dung và phơng pháp giáo dục trong hệ thống giáo dục quốc dân
không ngừng đợc hoàn thiện. Song thực tế đã chứng minh quá trình đổi mới,
cải cách trong giáo dục vẫn cha đáp ứng đợc nhu cầu thực tế. Nhìn ra một số
nớc xung quanh, chúng ta rất sốt ruột vì thấy mình đang thực sự tụt hậu, không
chỉ về kinh tế mà cả về giáo dục. (Trần Hồng Quân - Một số vấn đề về đổi
mới trong lĩnh vực giáo dục và đào tạo - Nhà xuất bản Giáo dục-1995). Trớc
thực tế này, Đảng và nhà nớc ta đã có những chỉ đạo mang tính định hớng về
việc đổi mới nội dung, phơng pháp dạy học. Nghị quyết Trung ơng khóa VII
lần thứ t về Tiếp tục đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo (1- 1993) chỉ rõ
phải Xác định lại mục tiêu, thiết kế lại chơng trình, kế hoạch, nội dung, ph-
ơng pháp giáo dục và đào tạo. Hội nghị lần thứ hai Ban chấp hành Trung ơng
khoá VIII đã xây dựng những giải pháp chủ yếu để phát triển sự nghiệp giáo
dục trong đó có giải pháp đổi mới nội dung, phơng pháp giáo dục - đào tạo.
Đây là một vấn đề bức xúc, đặt ra nh một thử thách lớn với toàn ngành giáo
dục.
Môn toán là một trong những môn học bắt buộc có ý nghĩa đặc biệt quan
trọng trong chơng trình Tiểu học. Một trong những tuyến kiến thức khó dạy,
SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy K30A GDTH
4
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hà
khó học nhất của chơng trình toán Tiểu học là hình học. T duy lôgíc, t duy
trừu tợng của học sinh đợc rèn luyện, phát triển hơn nhiều thông qua hoạt
động giải toán hình học. Song, nếu không đợc hớng dẫn chu đáo, đúng cách

thì học sinh tiểu học sẽ cảm thấy rất khó khăn và mang tâm lý ngại tìm hiểu về
hình học. Chính vì vậy, việc nghiên cứu các bài toán hình học trong chơng
trình toán tiểu học nhằm rèn luyện và phát triển t duy cho học sinh là rất cần
thiết.
Nghiên cứu về hình học trong chơng trình toán tiểu học, đã có nhiều tác
giả đề cập đến các vấn đề nh: T duy thuật toán trong hình học, phép suy luận,
phơng pháp diện tích nhng cha có nghiên cứu nào tìm hiểu riêng về việc rèn
luyện và phát triển t duy lôgíc cho học sinh thông qua các bài toán hình học.
Xuất phát từ thực tế trên, tôi đã quyết định chọn cho mình đề tài nghiên
cứu Rốn luyn v phỏt trin t duy lụgớc cho hc sinh tiu hc thụng qua
cỏc bi toỏn hỡnh hc.
2. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lí luận về bài toán, phơng pháp tìm lời giải bài toán
- Nghiên cứu phép suy luận quy nạp và suy diễn trong toán học
- Nghiên cứu việc vận dụng các phép suy luận toán học vào toán hình
học
3. Đối tợng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tợng: Các bài toán hình học ở tiểu học
- Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán hình học lớp 4, 5
4. Phơng pháp nghiên cứu
- Phơng pháp nghiên cứu lý luận
- Phơng pháp tổng kết kinh nghiệm
SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy K30A GDTH
5
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hà
Phần 2: Nội dung
Chơng 1: Cơ sở lý luận
1. Suy luận trong toán tiểu học
1.1. Suy luận là gì?
Suy luận là quá trình suy nghĩ từ 1 hay nhiều mệnh đề rút ra mệnh đề

mới. Mỗi mệnh đề đã có gọi là tiền đề suy luận. Mệnh đề mới đợc rút ra đợc
gọi là kết luận hay hệ quả.
Kí hiệu:
, , ,
1 2 n
X X X Y

Nếu
, , ,
1 2 n
X X X Y
là hàng đúng ta gọi kết luận Y là kết luận lôgíc
hay hệ quả lôgíc.
Kí hiệu suy luận hợp lôgíc:
, , ,
1 2 n
X X X
Y
1.2. Hai dạng suy luận
a. Suy luận quy nạp
- Suy luận quy nạp đi từ cái đúng riêng tới kết luận chung, từ cái ít tổng
quát đến cái tổng quát hơn.
- Đặc trng của suy luận quy nạp là không có quy tắc chung cho quá trình
suy luận, mà chỉ ở trên cơ sở nhận xét kiểm nghiệm. Do vậy kết luận rút ra
trong quá trình suy luận quy nạp có thể đúng có thể sai và có tính chất ớc
đoán.
VD: 4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
10 = 7 + 3

Kết luận: Mọi số chẵn lớn hơn 2 là tổng của hai số nguyên tố.
SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy K30A GDTH
6
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hà
Quy nạp không hoàn toàn
Là phép suy luận quy nạp mà kết luận chung chỉ dụa vào một số trờng
hợp cụ thể đã đợc xét đến. Kết luận có tính chất ớc đoán và có tác dụng gợi lên
giả thuyết.
Sơ đồ:
, , ,
1 2 n
A A A
là B

, , ,
1 2 n
A A A
là một số phần tử của A
Kết luận: Mọi phần tử của A là B.
Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: 2 + 3 = 3 + 2
1 + 4 = 4 + 1

Kết luận: Phép cộng hai số tự nhiên có tính chất giao hoán.
Ví dụ 2: 1
3
= 1 = 1
2
1
3

+ 2
3
= 3
2
= (1 + 2)
2
1
3
+ 2
3
+ 3
3
= 6
2
= (1 + 2 + 3)
2

Kết luận: 1
3
+ 2
3
+ + n
3
= (1 + 2 + + n)
2
Phép tơng tự
- Là phép suy luận đi từ một số thuộc tính giống nhau của đối tợng để rút
ra những thuộc tính giống nhau khác của hai đối tợng đó. Kết quả của phép t-
ơng tự có tính chất ớc đoán.
Sơ đồ: A có thuộc tính a, b, c, d

B có thuộc tính a, b, c
Kết luận: B có thuộc tính d.
Phép khái quát hoá
- Là phép suy luận đi từ một đối tợng sang một nhóm đối tợng nào đó có
chứa đối tợng này. Kết luận của phép khái quát hoá có tính chất ớc đoán.
Ví dụ: Chia một tổng cho một số (lớp 4)
SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy K30A GDTH
7
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hà
Tính và so sánh hai biểu thức:
(35 + 21) : 7 và 35 : 7 + 21 : 7
Ta có:
(35 + 21) : 7 = 56 : 7 = 8
(35 : 7) + (21 : 7) = 5 + 3 = 8
Vậy (35 + 21) : 7 = 35 : 7 + 21 : 7
* Phép đặc biệt hoá
- Là phép suy luận đi từ tập hợp đối tợng sang tập hợp đối tợng nhỏ hơn
chứa trong tập hợp ban đầu.
- Trong phép đặc biệt hoá cần lu ý các trờng hợp đặc biệt giới hạn (suy
biến) của khái niệm.
b. Suy diễn
- Suy diễn là suy luận hợp lôgíc, đi từ cái đúng chung đến kết luận cho
cái riêng, từ cái tổng quát đến cái ít tổng quát. Đặc trng của suy diễn là việc
rút ra mệnh đề mới từ các mệnh đề đúng đã có đợc thực hiện theo các quy tắc
lôgíc.
2. Đặc điểm của toán hình học tiểu học
Môn toán ở Tiểu học không đợc chia thành các phân môn nh ở Tiếng
Việt. Chơng trình môn toán ở tiêu học bao gồm các tuyến kiến thức chính là:
Số học, các yếu tố đại số, các yếu tố hình học, đại lợng, một số yếu tố thống
kê mô tả, giải toán. Các tuyến kiến thức này nói chung không đợc trình bày

thành từng chơng, từng phần riêng biệt mà chúng luôn đợc sắp xếp xen kẽ với
nhau tạo thành một sự kết hợp hữu cơ và hỗ trợ đắc lực lẫn nhau trên nền tảng
của các kiến thức số học. Sự sắp xếp xen kẽ này chẳng những đợc đợc quán
triệt trong cấu trúc của toàn bộ chơng trình và sách giáo khoa mà còn đợc thể
hiện trong từng bài, từng tiết học. Trong mỗi bài thì việc giải toán lại chiếm
một thời lợng khá lớn, là hình thức hoạt động chủ yếu trong các giờ học của
học sinh. Các bài toán ở phổ thông là phơng tiện rất có hiệu quả và không thể
SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy K30A GDTH
8
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hà
thay thế trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t duy, hình
thành kỹ năng kĩ xảo ứng dụng toán học và thực tiễn. Hoạt động giải bài tập
toán học là điều kiện thực hiện tốt các mục đích dạy học toán ở trờng phổ
thông. Vì vậy tổ chức tổ chức có hiệu quả việc dạy giải các bài tập toán học có
vai trò quyết định đối với việc daỵ học toán.
Dạy học các yếu tố hình học ở tiểu học bao gồm:
+ Nhận dạng các đối tợng hình học
+ Vẽ hình hình học
+ Cắt ghép các hình hình học
+ Giải các bài toán có nội dung hình học
Nội dung chơng trình hình học trong toán tiểu học:
Lớp Nội dung
Chơng,
phần
1
- Hình vuông, hình tròn, hình tam giác.
- Bài đo dộ dài: vẽ đoạn thẳng có độ dài
cho trớc; điểm ở trong, ở ngoài một hình.
Chơng I
Chơng II

2
- Hình chữ nhật, hình tứ giác.
- Đờng thẳng.
- Đờng gấp khúc - độ dài đờng gấp khúc.
- Chu vi hình tam giác - chu vi hình tứ
giác.
Chơng II
Chơng III
Chơng V
3
- Góc vuông, góc không vuông
- Vẽ góc vuông bằng ê ke
- Hình chữ nhật, chu vi hình vuông.
- Điểm ở giữa. Trung điểm của đoạn
thẳng.
- Hình tròn, tâm, đờng kính, bán kính.
- Vẽ trang trí hình tròn.
- Diện tích của một hình.
Chơng III
Chơng IV
SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy K30A GDTH
9
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hà
4
- Góc nhọn, góc tù, góc bẹt
- Hai đờng thẳng vuông góc.
- Hai đờng thẳng song song.
- Vẽ hai dờng thẳng vuông góc.
- Vẽ hai đờng thẳng song song.
- Thực hành vẽ hình chữ nhật, hình

vuông.
- Hình bình hành.
- Diện tích hình bình hành.
- Hình thoi.
-Diện tích hình thoi.
Chơng II
Chơng III
Chơng IV
5
- Hình tam giác, diện tích hình tam giác
- Hình thang, diện tích hình thang
- Hình tròn, đờng tròn, chu vi hình tròn
- Diện tích hình tròn
- Hình hộp chữ nhật, hình lập phơng
- Diện tích xung quanh và diện tích toàn
phần của hình lập phơng
- Thể tích của một hình.
- Thể tích hình hộp chữ nhật, thể tích hình
lập phơng.
- Giới thiệu hình trụ, giới thiệu hình cầu.
Chơng III
Việc giải các bài toán có nội dung hình học chiếm phần lớn thời lợng
trong phần hình học lớp 5- khi học sinh đã nắm đợc một lợng kiến thức tơng
đối về các khái niệm hình học.
Đây cũng là khâu tiền đề cho quá trình giải các bài toán trong chơng trình
hình học sau này của học sinh chính vì vậy nó có ý nghĩa quan trọng và ngời
giáo viên cần hớng dẫn học sinh thông qua hoạt động này để rèn luyện và phát
triển t duy.
SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy K30A GDTH
10

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hà
3. Quy trình giải một bài toán tiểu học
Khi giải một bài toán cụ thể, nhất là các bài toán bồi dỡng học sinh giỏi,
để giải tốt thì ngoài việc nắm chắc từng phơng pháp đơn lẻ còn phải rèn luyện
năng lực phối hợp với các phơng pháp. Nghiên cứu quy trình giải toán ở phần
này chúng ta sẽ nhận rõ hơn bản chất của sự phối hợp nói trên.
Trong lý luận về giải toán tuỳ theo mục đích nghiên cứu ngời ta đa ra
những quy trình giải toán khác nhau. Trong cuốn Giải bài toán nh thế nào
G.Polya đã tổng kết quá trình giải toán và nêu ra sơ đồ 4 bớc:
- Tìm hiểu bài toán
- Lập kế hoạch giải toán
- Thực hiện kế hoạch giải toán
- Kiểm tra đánh giá cách giải
Thực tiễn dạy - học giải toán đã khẳng định sự đúng đắn của sơ đồ giải
toán nói trên.
3.1. Tìm hiểu bài toán
- Việc tìm hiểu nội dung bài toán (đề toán) thờng thông qua việc đọc bài
toán. Học sinh cần tìm hiểu rõ bài toán cho biết gì? Bài toán hỏi gì? Khi đọc
bài toán cần hiểu thật kĩ một số từ, thuật ngữ quan trọng chỉ rõ tình huống toán
học đợc diễn đạt bằng ngôn ngữ thông thờng. Sau đó học sinh thuật lại vắn tắt
bài toán mà không phải đọc lại nguyên văn bài toán đó.
- Tuy nhiên trong quá trình đọc đề toán cần lu ý: Dữ kiện đợc đa ra bằng
những từ ngữ thông thờng, học sinh thờng khó khăn hơn trong việc diễn tả hay
phát hiện dữ kiện, điều kiện (cả những dữ kiện hoặc điều kiện không trực tiếp
hay không tờng minh trong đề bài cũng thờng là khó đối với học sinh tiểu
học).
3.2. Lập kế hoạch giải
SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy K30A GDTH
11
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hà

Hoạt động tìm tòi và lập kế hoạch giải toán gắn liền với việc phân tích
các dữ liệu, điều kiện, yếu tố, phải tìm của bài toán, nhằm xác lập mối quan hệ
giữa chúng tìm đợc phép tính số học thích hợp. Hoạt động này diễn ra nh sau:
- Minh hoạ bài toán bằng tóm tắt, minh hoạ bằng dùng sơ đồ đờng thẳng,
tranh vẽ, mẫu vật.
- Lập kế hoạch giải toán nhằm xác định trình tự giải quyết thực hiện các
phép tính số học.
Thủ thuật thờng gặp trong giải toán là phân tích, tổng hợp
+ Phân tích: Là phơng pháp suy luận đi từ điều cần tìm đến điều đã biết
(là sự chia nhỏ hệ thống thành các bộ phận).
+ Tổng hợp: Là phơng pháp suy luận đi từ điều đã biết đến điều cần tìm.
3.3. Thực hiện kế hoạch giải
Hoạt động này bao gồm thực hiện phép tính đã nêu trong kế hoạch giải
toán và trình bày bài giải.
Theo chơng trình ở tiểu học hiện hành có thể áp dụng một trong những
cách trình bày riêng biệt hoặc trình bày dới dạng biểu thức gồm một vài phép
tính.
3.4. Kiểm tra và đánh giá cách giải
Việc kiểm tra nhằm phân tích cách giải đúng hoặc sai , sai ở chỗ nào để
sửa, sau đó nêu cách giải đúng và ghi đáp số.
Ngoài ra còn kiểm tra xem việc trình bày lời giải đã đầy đủ cha, kiểm tra
tính hợp lý của lời giải.
Có các hình thức sau đây:
- Thiết lập tơng ứng các phép tính giữa các phép tính giữa các số cần tìm
đợc trong quá trình giải với các số đã cho.
- Tạo ra các bài toán ngợc với các bài toán đã cho rồi giải bài toán ngợc
đó.
- Giải bài toán bằng cách khác.
SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy K30A GDTH
12

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hà
Trên đây là các bớc giải một bài toán. Các bớc này trên thực tế không
tách rời nhau mà bớc trớc chuẩn bị cho bớc sau, có khi đan chéo vào nhau,
không phân biệt rõ ràng. Nhiều trờng hợp không theo đầy đủ các bớc trên vẫn
phải giải đợc bài toán.
Trong phạm vi đề tài của mình: Rèn luyện và phát triển t duy lôgíc cho
học sinh tiểu học qua các bài toán hình học, tôi tập chung vào các bớc sau:
- Tìm tòi và lập kế hoạch giải toán:
+ Tóm tắt, thể hiện trên hình vẽ.
+ Sử dụng phơng pháp tổng hợp hoặc phân tích để thiết lập mối quan hệ
giữa cái đã cho và cái cần tìm.
- Thực hiện giải bài toán.
SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy K30A GDTH
13
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hà
Chơng 2: Các bài toán
Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = AC. Trên đoạn AB lấy điểm E, trên
đoạn AC lấy điểm F sao cho BE = CF, EF cắt BC tại I.
Chứng minh rằng IE = IF?
i
k
c
f
b
h
e
n
a
m
Lập kế hoạch giải:

BEI BFI
BEC BFC
C.m.r IE = IF

C.m.r S = S

C.m.r EH = FK

C.m.r S = S

C.m.r BM = CN
Đến đây ta dễ dàng chứng minh đợc BM = CN (Vì tam giác ABC có AB
= AC nên hai đờng cao BM, CN bằng nhau).
Thực hiện kế hoạch giải:
Kẻ BM vuông góc với AC, CN vuông góc với AB, ta có:
SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy K30A GDTH
14
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hà
ì ì ì ì
ABC
1 1
S = BM AC = CN AB
2 2
Mà AB = AC (giả thiết) nên BM = CN. Xét
V
BEC và
V

BFC có:
Đáy BE = CF (giả thiết)
Đờng cao BM = CN

S
BEC
= S
BFC
Kẻ EH vuông góc với BC, FK vuông góc với BC. Ta lại có:
ì ì
BEC
1
S = EH BC
2

ì ì
BFC
1
S = FK BC
2

Vậy EH = FK.
Xét
VBEI
và
VBFI
có:
Đờng cao EH = FK; Chung đáy BI

S

BEI
= S
BFI
Mặt khác:
VBEI
và
VBFI
có chung đờng cao hạ từ B xuống EF


IE = IF (Đpcm).
Bài 2: Cho tam giác ABC. Trên đoạn BC lấy điểm F sao cho
ì
1
BF = FC
2
, trên đoạn AC lấy điểm E sao cho
ì
1
EC = EA
3
. Đoạn thẳng
EF kéo dài cắt AB tại K. Biết diện tích tam giác ABC là 100 cm
2
.
a, Tính diện tích ABFE ?
b, Tính
KB
KA
= ?

SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy K30A GDTH
15
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hà
b
k
f
e
c
Lập kế hoạch giải:
a, Tính S
ABFE
= ?

Tính S
EFC
= ? (Vì S
ABFE
= S
ABC
- S
EFC
và S
ABC
đã biết.)

Tính S
BEC
= ? (Vì S
EFC
=

2
3

ì
S
BEC
)
Đến đây ta thấy dễ dàng tính đợc
S
BEC
=
1
4

ì
S
ABC
=
1
4

ì
100 = 25 (cm
2
)
b, Tính
KB
KA
= ?

Tính
KBE
KAE
S
= ?
S
(Vì hai tam giác có chung c/cao E

AK)

Tính
KBE
KCE
S
= ?
S
(Vì S
KCE
=
1
3

ì
S
KAE
)
Đến đây ta dễ dàng chứng minh đợc
S
FBE
=

1
2

ì
S
FCE
; S
KBF
=
1
2

ì
S
KCF
Mà S
FBE
+ S
KBF
= S
KBE
; S
FCE
+ S
KCF
= S
KCE

SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy K30A GDTH
16

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hà
Vậy
KBE
KCE
S
= 2
S
Thực hiện kế hoạch giải:
a, Theo giả thiết:
ì ìAE = 3 CE AE + CE = 4 CE
hay AC = 4
ì
CE

EC =
1
4
ì
AC
Xét
V BEC
và
V ABC
có:
Chung đờng cao hạ từ B xuống AC Đáy EC =
1
4

ì
AC

S
BEC
=
1
4

ì
S
ABC
=
1
4

ì
100 = 25 (cm
2
)
Theo giả thiết ta có: BF =
1
2

ì
FC nên FC =
2
3

ì
BC
Xét

V EFC
và
V EBC
có:
Chung đờng cao hạ từ E xuống BC Đáy FC =
2
3

ì
BC
Vậy S
EFC
=
2
3

ì
S
EBC
=
2
3

ì
25 =
50
3
(cm
2
)

)
2
ABFE ABC FEC
50 250
S = S - S = 100 - = (cm
3 3
b, Xét
V ECF
và
V EBF
có:
Chung đờng cao hạ từ E xuống BC Đáy BF =
1
2

ì
FC

S
FBE
=
1
2

ì
S
FCE
(1)
Xét

V KBF
và
V KCF
có:
Chung đờng cao hạ từ K xuống BC Đáy BF =
1
2

ì
FC
SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy K30A GDTH
17
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hà

S
KBF
=
1
2

ì
S
KCF
(2)
Từ (1) và (2)

S
FBE
+ S
KBF

=
1
2

ì
(S
FCE
+ S
KCF
) hay S
KBE
=
1
2

ì
S
KCE
Xét
V
KCE và
V
KAE có:
Chung đờng cao hạ từ K xuống AC Đáy EC =
1
3

ì
EA

S
KCE
=
1
3

ì
S
KAE
Vậy S
KBE
=
1
2

ì

1
3

ì
S
KAE
hay
1
6
KBE
KAE
S
=

S
Vì
V
KCE và
V
KAE có chung đờng cao hạ từ E xuống AK



KB
KA
=
1
6
Đáp số: a, S
ABEF
=
250
3
(cm
2
)
b,
KB
KA
=
1
6
Bài 3: Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, AC lấy các điểm M, N sao
cho

ì ì
1 1
AM = AB, AN = AC
3 3
. Trên đoạn MN lấy điểm E bất kì. AE cắt
BC tại F. Tính
AE
AF
= ?
SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy K30A GDTH
18
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hà
a
m
e
n
f
b
c
h
1
h
2
Lập kế hoạch giải:
Tính
AE
AF
= ?

Tính

AE
EF
= ? (Vì EF + AE = AF)

Tính
AME
FME
S
= ?
S

Tính
1
2
h
= ?
h
(h
1
, h
2
: c/cao hạ từ A, F

ME

V V AME, FME
chung đáy ME)

Tính
AME

BME
S
= ?
S
(Vì
AME 1
BME 2
S h
=
S h
)
Đến đây ta dễ dàng chứng minh đợc:
SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy K30A GDTH
19
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hà

AME
BME
S AM
=
S BM
Vì: hai tam giác có chung c/cao E

AB và có
AM 1
=
BM 2
(giả thiết).
Thực hiện kế hoạch giải:
Gọi h

1
, h
2
lần lợt là độ dài đờng cao hạ từ A, F xuống đáy MN. Theo đề
bài ta có:
ì ì
AM 1
AB = 3 AM hay 3 AM = AM + BM =
BM 2
V V AME, BME
chung đờng cao hạ từ E xuống đáy AB nên
AME
BME
S AM 1
= =
S BM 2
Lại có:

V V AME, BME
chung đáy ME nên:

AME 1 1
BME 2 2
S h h 1
= =
S h h 2

Mặt khác ta có :
V V AME, FME
chung đáy ME nên

AME 1
FME 2
S h
=
S h
V
AME,
V
FME chung đờng cao hạ từ M xuống AF nên

AME
FME
S AE
=
S EF


AE
EF
=
1
2
hay EF = 2
ì
AE

EF + AE = 2
ì
AE + AE
AF = 3

ì
AE


AE
AF
=
1
3
Đáp số:
AE
AF
=
1
3
SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy K30A GDTH
20
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hà
Bài 4: Cho ABCD là hình chữ nhật. E, F lần lợt là trung điểm của AD,
BC. Trên các đoạn AB, CD lấy M, N bất kì. MN cắt EF tại I.
a, Tính diện tích các hình ABFE, EFCD theo diện tích ABCD?
b, So sánh MI và NI?

a
m
b
f
c
n
d

e
g
h
i
h
1
h
2
Lập kế hoạch giải:
a, Tính S
ABEF
= ? và S
EFCD
= ? (Theo diện tích ABCD)

C.m.r : ABFE, EFCD là hình thang


C.m.r : AE // BF và DE // FC
Đến đây ta thấy dễ dàng chứng minh đợc AE // BF và DE // FC
vì có E, F lần lợt nằm trên các cạnh AD, BC của hình chữ nhật ABCD (giả
thiết).
b, So sánh MI và NI?

So sánh S
MEI
và S
NEI
? (Vì hai tam giác có chung c/cao E

MN
nên
MEI
NEI
S MI
=
S NI
)

SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy K30A GDTH
21
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hà
So sánh h
1
và h
2
? (h
1
, h
2
: c/cao M, N

EF).
Vì
V V MEI, NEI
có chung đáy EI nên
MEI 1
NEI 2
S h
=

S h
)

So sánh S
MEF
và S
NEF
? (Vì
MEF, NEF V V
chung đáy EF nên

MEF 1
NEF 2
S h
=
S h
)
Đến đây ta dễ dàng chứng minh đợc
AEM BFM EDN FCN
S + S = S + S
Lại có S
ABFE
= S
EFCD
(C.m.a)
Nên S
ABFE
- (S
AEM
+ S

BFM
) = S
EFCD
- (S
EDN
+ S
FCN
) hay S
MEF
= S
NEF
Thực hiện kế hoạch giải:
a, Vì E, F thuộc các cạnh AD, BC của hình chữ nhật ABCD nên ABFE
là hình thang vuông tại A, B. Ta có:
ì ì ì ì ì
ABFE ABCD
1 1 1
S = (BF + AE) AB = AD AB = S
2 2 2
Tơng tự ta có:
ì ì ì ì ì
EFCD ABCD
1 1 1
S = (FC + ED) CD = AD CD = S
2 2 2
Vậy S
ABFE
= S
EFCD
=

1
2

ì
S
ABCD
b,
ì ì ì ì
ì ì ì ì ì
ì ì ì ì
ì ì ì
AEM BFM
ABCD
EDN FCN
1 1
S + S = AE AM + BF BM
2 2
1 1 1
= AE (AM + BM) = AD AB = S
2 4 4
1 1
S + S = ED DN + FC CN
2 2
1 1
= ED (DN + CN) =
2 4
ì ì

ABCD
AEM BFM EDN FCN

1
AD CD = S
4
S + S = S + S
SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy K30A GDTH
22
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hà
Lại có: S
ABFE
= S
EFCD
=
1
2

ì
S
ABCD

S
ABFE
- (S
AEM
+ S
BFM
) = S
EFCD
- (S
EDN
+ S

FCN
) hay S
MEF
= S
NEF
Mặt khác ta có :
MEF, NEF V V
chung đáy EF nên
MEF 1
NEF 2
S h
=
S h



1
2
h
= 1
h
V V MEI, NEI
chung đáy EI nên
MEI 1
NEI 2
S h
=
S h
V V MEI, NEI
chung đờng cao hạ từ E xuống MN nên

MEI
NEI
S MI
=
S NI


1
2
MI h
= = 1 hay MI = NI
NI h
Đáp số: a, S
ABFE
= S
EFCD
=
1
2

ì
S
ABCD
b, MI = NI
Bài 5: Cho hình chữ nhật ABCD. E, F lần lợt là trung điểm của các cạnh
AD, BC. Trên đoạn EF lấy điểm I sao cho EI = 2
ì
FI. Trên đoạn AB lấy điểm

M bất kì, kéo dài MI cắt EF tại N.
a, So sánh S
AMND
và S
CNMB
?
b, Chứng minh rằng EI =
2
AM + DN
SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy K30A GDTH
23
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hà
a
m
b
f
c
n
d
e
i
h1
h2
j
k
Lập kế hoạch giải
a, So sánh S
AMND
và S
CNMB

?

So sánh
AME DNE EMN
( S + S ) + S
và (S
CNF
+ S
BMF
) + S
MFN
?

So sánh S
EMN
và S
MFN
? Vì:
ì
ì
AME DNE EMN AMND
CNF BMF MFN CNMB
1
( S + S ) = S = S
2
1
( S + S ) = S = S
2
Đến đây ta dễ dàng chứng minh đợc :
S

FMI
=
1
2

ì
S
EMI
; S
FNI
=
1
2

ì
S
ENI
Mà S
FMI
+ S
FNI
= S
MFN
; S
EMI
+ S
ENI
= S
MEN
Nên S

MFN
=
1
2

ì
S
MEN
Thực hiện kế hoạch giải:
a,
V V AEM, DEN
lần lợt là các tam giác vuông tại A, D

S
AME
+ S
DNE
=
1
2
AE
ì
AM +
1
2

ì
DE
ì
DN

=
1
4

ì
AD
ì
(AM + DN) (do AE = DE =
1
4

ì
AD)
SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy K30A GDTH
24
Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Nguyễn Văn Hà
=
1
2

ì
S
AMDN
Mà
AME DNE EMN
( S + S ) + S
= S
AMDN
nên S
EMN

=
1
2

ì
S
AMDN
Chứng minh tơng tự ta có: S
MFN
=
1
2

ì
S
CNMB
Vậy
AMND
CNMB
S
S
=
MEN
MFN
S
S
Xét
V V MEI, MFI
có:
Chung đờng cao hạ từ M xuống EF; IF =

1
2

ì
IE (giả thiết)

S
FMI
=
1
2

ì
S
EMI
(1)
Xét
V V FNI, ENI
có:
Chung đờng cao hạ từ N xuống EF; IF =
1
2

ì
IE (giả thiết)

S
FNI
=
1

2

ì
S
ENI
(2)
Mà S
FMI
+ S
FNI
= S
MFN
; S
EMI
+ S
ENI
= S
MEN
(3)
Từ (1), (2) và (3)

S
MFN
=
1
2

ì
S
MEN

hay
MEN
MFN
S
S
= 2
Vậy
AMND
CNMB
S
S
=
MEN
MFN
S
S
= 2
b, Gọi h
1
, h
2
lần lợt là độ dài của các đờng cao MJ, NK

h
1
+ h
2
= AD
S
MEN

= S
EMI
+ S
ENI
=
1
2

ì
EI
ì
h
1
+
1
2

ì
EI
ì
h
2

=
1
2

ì
EI
ì

(h
1
+ h
2
) =
1
2

ì
AD
ì
EI
SVTH: Nguyễn Thị Thu Thủy K30A GDTH
25