Khoá luận tốt nghiệp toán Rèn luyện, phát triển tư duy logic cho học sinh THPT thông qua dạy học các phương pháp suy luận

ĐỀ TÀI
Rèn luyện, phát triển tư duy logic cho học sinh
THPT thông qua dạy học các phương pháp
suy luận
Lời cảm ơn
Sau thời gian học tập và rèn luyện, để có kiến thức như ngày hôm nay, tôi xin cảm
ơn các thầy cô giáo trong khoa Khoa học – Tự nhiên, trường ĐH Quảng Bình nói chung
và các thầy cô trong Bộ môn Toán nói riêng đã tận tình dạy dỗ, truyền đạt kiến thức và
tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành tốt khóa luận này.
Đặc biệt. tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo TS. Nguyễn Quang Hòe,
người đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn tôi về kiến thức và phương pháp trong suốt quá
trình thực hiện khóa luận.
Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tới gia đình, bạn bè đã luôn sát cánh
bên tôi, nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập cũng như
trong thời gian tôi thực hiện và hoàn chỉnh khóa luận này.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy và các em học sinh trường THPT
Quảng Ninh – Quảng Ninh – Quảng Bình đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ tôi để khóa luận
được hoàn thành.
Trong quá trình thực hiện khóa luận, tôi đã rất cố gắng để hoàn thiện cả về nội
dung lẫn hình thức nhưng vẫn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong
nhận được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Quảng Bình, ngày 03 tháng 06 năm 2014
Sinh viên
Trần Thu Hiền
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1
I. Lý do chọn đề tài: 1
II. Mục đích nghiên cứu 2
III. Cấu trúc đề tài: 2
IV: Đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu: 3

CHƯƠNG I 4
SUY LUẬN VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 4
I. Một số khái niệm cơ bản: 4
1.1. Phương pháp suy luận 4
1.2. Suy luận suy diễn (hay suy luận diễn dịch) 4
1.3. Suy luận quy nạp: 5
II. Mối quan hệ của phương pháp quy nạp với phương pháp suy luận suy diễn trong dạy học toán 10
2.1. Hai kiểu suy luận này hết sức khác nhau 10
2.2. Hai loại suy luận này thống nhất với nhau 11
III. Vai trò và tác dụng của phương pháp suy luận trong dạy học toán 13
IV. Mục đích của dạy học toán 15
V. Sơ lược tình hình rèn luyện suy luận cho học sinh phổ thông 16
5.1. Sách giáo khoa với việc rèn luyện năng lực suy luận cho học sinh: 16
5.2. Sơ lược tình hình rèn luyện năng lực suy luận cho học sinh ở trường trung học phổ thông 17
CHƯƠNG II 19
MỘT SỐ BIỆN PHÁP THỰC HIỆN 19
I. Phương pháp dạy học khái niệm bằng suy luận 19
1.1. Con đường suy diễn 19
1.2. Con đường quy nạp 20
1.3. Nhận xét 22
II. Các biện pháp thực hiện 23
3.1. Làm cho học sinh biết và thực hiện được các thao tác tư duy thường gặp 23
3.2. Tập cho học sinh nêu dự đoán 30
CHƯƠNG III 39
RÈN LUYỆN NĂNG LỰC SUY LUẬN CHO HỌC SINH 39
QUA GIẢI BÀI TẬP TOÁN 39
I. Tác dụng của phương pháp suy luận đối với học toán 39
II. Một số bài tập giúp rèn luyện năng lực suy luận 40
KẾT LUẬN 47
PHỤ LỤC 48

Giáo án thực nghiệm số 1 48
Giáo án thực nghiệm số 2 55
Giáo án thực nghiệm số 3 60
TÀI LIỆU THAM KHẢO 66
MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài:
1.1. Về mặt lí luận
Để dạy tốt và học tốt môn toán ta cần phải hiểu về toán như thế nào? Có người nói
nôm na là: Toán học là một khoa học, nó khác với các ngành khoa học thực nghiệm như
vật lý, hoá, sinh ở chỗ không có vật chất cụ thể để sờ mó. Toán học là khoa học của
những kí hiệu trừu tượng. Bản thân các kí hiệu không mang ý nghĩa gì cả, nếu có chăng
cũng chỉ ở trong đầu người tiếp nhận nó. Việc học tốt môn toán có tác dụng “bồi bổ” cho
người học có năng lực trí tuệ, năng lực này sẽ giúp họ học tập và tiếp thu các kiến thức về
tự nhiên, xã hội và có tác dụng tương hỗ cho các bộ môn khoa học khác. Vì vậy, dạy toán
không chỉ đơn thuần là dạy cho học sinh nắm được kiến thức, những định lý toán học.
Điều quan trọng là dạy cho học sinh năng lực trí tuệ, phát triển tư duy.
Theo quan điểm đổi mới phương pháp dạy học môn Toán hiện nay ở các trường trung
học phổ thông là: phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, tự
kiến tạo kiến thức cho mình, chống lại thói quen học tập thụ động. Trong tiết học thầy
giáo đóng vai trò quan trọng giúp đỡ học sinh kiến tạo kiến thức chính xác, vì đôi lúc kiến
thức học sinh kiến tạo được chỉ đúng trong một trường hợp. Học sinh cần phải kiến tạo
cách hiểu riêng của mình đối với mọi khái niệm Toán học. .Vấn đề bồi dưỡng tư duy sáng
tạo cho học sinh qua môn toán đã được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm. Trong
đó, nổi tiếng như các tác phẩm "Toán học và các suy luận có lý" quyển 1, quyển 2, "Sáng tạo
toán học" của G.Polya; Ở nước ta nhiều tác giả như Hoàng Chúng, Nguyễn Cảnh Toàn,
Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy, Tôn Thân, Phạm Gia Đức đã có nhiều
công trình nghiên cứu về lý luận và thực tiễn về phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.
1.2 Về mặt thực tiễn
Với phương pháp dạy học truyền thống (truyền thụ một chiều từ giáo viên, sự tiếp thu
thụ động của học sinh) khiến các em học sinh có suy nghĩ rằng toán học đã tồn tại từ lâu

với những công thức và thuật toán bất di bất dịch. Đáng tiếc là những suy nghĩ như vậy
hoàn toàn không đúng với bản chất của toán học. Yêu cầu đặt ra cho giáo dục Việt Nam
hiện nay là phải đổi mới phương pháp dạy học, cần phải thay đổi phương pháp dạy học
1
truyền thống đến các phương pháp dạy học tích cực, sáng tạo, người dạy tổ chức, định
hướng nhận thức, phát huy vai trò chủ động, tích cực của học sinh để học sinh tự chiếm
lĩnh tri thức và hình thành kỹ năng.
Trong chương trình toán trung học phổ thông thì mảng kiến thức về các phương pháp
suy luận là một mảng khá khó, rất phong phú đòi hỏi người học phải có tư duy sâu sắc,
biết kết hợp nhiều phần kiến thức lại với nhau. Tuy nhiên đây là một nội dung dạy học
nếu khai thác tốt có thể giúp cho học sinh phát triển và rèn luyện tư duy sáng tạo. Đồng
thời suy luận cũng giúp cho học sinh phát hiện ra các tri thức mới cho bản thân, làm cho
học sinh chủ động tiếp cận với kiến thức toán hơn. Là một sinh viên sư phạm toán, tôi
mong muốn góp một phần nhỏ vào vấn đề đổi mới phương pháp, nâng cao hiệu quả dạy
và học, đáp ứng yêu cầu ngày càng cao của giáo dục trung học phổ thông nên tôi chọn đề
tài: "Rèn luyện, phát triển tư duy logic cho học sinh THPT thông qua dạy học các
phương pháp suy luận".
II. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu "Rèn luyện, phát triển tư duy logic cho học sinh THPT thông qua
dạy học các phương pháp suy luận" nghiên cứu cơ sở lý luận các phương pháp suy luận
toán học, làm rõ các phương pháp suy luân trong chương trình sách giáo khoa môn Toán
trong chương trình THPT và vai trò của nó trong dạy học toán học. Từ đó đưa ra một số
biện pháp thực hiện rèn luyện tư duy logic cho học sinh trong dạy học các phương pháp
suy luận, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn,
tác động đến hứng thứ niềm vui để học sinh khỏi e sợ, chán ngán và rụt rè khi học môn
Toán, tạo niềm tin cho học sinh và giúp học sinh học tốt môn Toán, tạo động lực học toán
cho học sinh. Từ đó kết quả học Toán của các em sẽ được nâng cao hơn và đáp ứng kịp
thời một con người thời đại.
III. Cấu trúc đề tài:
Đề tài gồm 3 chương:

Chương I: Suy luận và các khái niệm cơ bản
Chương II: Một số biện pháp thực hiện
2
Chương III: Rèn luyện phát triển tư duy suy luận cho học sinh qua các bài tập toán.
IV: Đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu:
1. Đối tượng nghiên cứu:
- Tài liệu về các phương pháp suy luận
- Các hoạt động nhằm rèn luyện, phát triển tư duy logic cho học sinh khi dạy học các
phương pháp suy luận.
- Học sinh và giáo viên ở trường THPT.
2. Phạm vi nghiên cứu:
- Phạm vi về thời gian: từ tháng 10/2013 đến tháng 4/2014
- Phạm vi về nội dung: Phương pháp rèn luyện tư duy sáng tạo qua dạy học các
phương pháp suy luận.
3. Phương pháp nghiên cứu:
- Nghiên cứu lý luận:
 Sử dụng phương pháp phân tích - tổng hợp tài liệu.
 Phân loại tài liệu có liên quan để nghiên cứu cơ sở lí luận của đề tài.
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn:
 Phương pháp quan sát sư phạm.
 Phương pháp điều tra, phỏng vấn
 Phương pháp dạy thực nghiệm.
3
CHƯƠNG I
SUY LUẬN VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
I. Một số khái niệm cơ bản:
Trước khi đi vào nội dung chính của đề tài, xin làm rõ một số khái niệm cơ bản có
liên quan.
1.1. Phương pháp suy luận
Suy luận là một hình thức tư duy mà từ một hay nhiều phán đoán đã có (tiên đề) ta rút

ra được một số phán đoán mới (kết luận). Suy luận là một quá trình nhận thức hiện thực
gián tiếp. Nói chung có hai loại suy luận cơ bản: suy luận suy diễn và suy luận quy nạp.
1.2. Suy luận suy diễn (hay suy luận diễn dịch)
Suy luận suy diễn là cách suy luận đi từ cái tổng quát đến cái riêng, từ quy luật phổ
biến đến trường hợp cụ thể. Do vậy kết luận bao giờ cũng đúng. Đặc trưng của suy diễn là
việc rút ra mệnh đề mới từ cái mệnh đề đã có được thực hiện theo các quy tắc logic.
Chẳng hạn:
- Quy tắc kết luận:
,X Y X
Y
⇒
- Quy tắc kết luận ngược:
,X Y Y
X
⇒
- Quy tắc bắc cầu:
,X Y Y Z
X Z
⇒ ⇒
⇒
- Quy tắc đảo đề:
X Y
Y X
⇒
⇒
- Quy tắc hoán vị tiền đề:
( )
( )
X Y Z
Y X Z

⇒ ⇒
⇒ ⇒
- Quy tắc ghép tiền đề:
( )X Y Z
X Y Z
⇒ ⇒
∧ ⇒
4
Bảng sau là một số quy tắc suy luận quan trọng thường đặt trên cơ sở các đồng nhất
đúng trong logic mệnh đề và logic vị từ. Chúng ta có thể xây dựng rất nhiều các quy tắc
suy diễn như vậy dựa trên các đồng nhất đúng tuy nhiên ta chỉ xét các suy diễn tương đối
đơn giản dễ nhớ, dễ áp dụng.
Tªn gäi §ång nhÊt ®óng Qui t¾c suy diÔn
Céng
p → (p ∨ q) p ∴ p ∨ q
Rót gän
(p ∧ q) → p p ∧ q ∴ p
KÕt luËn (modus ponens)
((p → q) ∧ p) → q p → q , p ∴ q
KÕt luËn phñ ®Þnh
(modus tollens)
((p → q) ∧ ¬q) → ¬p p → q , ¬q ∴ ¬p
Tam ®o¹n luËn
((p → q)∧(q → r))→(p → r) p → q , q → r ∴ p → r
Tam ®o¹n luËn tuyÓn
((p ∨ q) ∧ ¬p) → q p ∨ q , ¬p ∴ q
1.3. Suy luận quy nạp:
Theo từ điển toán học thông dụng (xem [7], tr. 494), phương pháp quy nạp suy luận
dựa trên quan sát và thí nghiệm, xuất phát từ những trường hợp riêng lẻ, rồi mở rộng các
kết quả có tính chất quy luật ra cho trường hợp tổng quát. Đặc trưng của suy luận quy

nạp là không có quy tắc chung cho quá trình suy luận, mà chỉ ở trên cơ sở nhận xét kiểm
tra để rút ra kết luận. Do vậy kết luận rút ra trong quá trình suy luận quy nạp có thể đúng,
có thể sai. Có tính ước đoán.
a) Quy nạp toán học
Quy nạp toán học là một phương pháp suy luận chặt chẽ, thực chất của nó là suy luận
suy diễn, nhưng nó chứa yếu tố quy nạp, cụ thể là bước thử trực tiếp mệnh đề đúng với n
– 0 (hoặc n = p). Phương pháp quy nạp toán học là một phương pháp chứng minh quan
trọng trong toán học, cơ sở của nó là nguyên lí quy nạp toán học. (Phương pháp này được
đưa vào chương trình Đại số và giải tích 11).
b) Quy nạp hoàn toàn
Quy nạp hoàn toàn là suy luận trong đó kết luận chung, khái quát được rút ra trên cơ
5
sở nghiên cứu các đối tượng của lớp đó.
Quy nạp hoàn toàn được đặc trưng bởi sự nghiên cứu toàn bộ các đối tượng thuộc
phạm vi xem xét để rút ra kết luận chung về chúng. Ta có sơ đồ khái quát như sau:
S
1
là P
S
2
là P

S
n
là P
∀
S là P.
tức là khi mỗi đối tượng của lớp S đều có tính chất P thì cả lớp có tính chất P. Phương
pháp này được đưa vào chương trình toán phổ thông ở dạng ẩn tàng.
Ví dụ:

- Chương trình hình học 9, NXBGD 1994, tr.34 trình bày chứng minh định lí: Trong
một đường tròn, số đo của một góc nội tiếp bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một
cung.
- Chương trình hình học 10 nâng cao, NXBGD 2006, Đoàn Quỳnh tổng chủ biên,
tr.42 trình bày chứng minh định lí sin trong tam giác:
2
sin sin sin
a b c
R
A B C
= = =
với A, B, C là ba đỉnh; a, b, c là ba cạnh và 2R là đường kính của đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC.
c) Quy nạp không hoàn toàn
Quy nạp không hoàn toàn là suy luận mà trong đó kết luận khái quát chung về lớp đối
tượng nhất định được rút ra trên cơ sở nghiên cứu không đầy đủ các đối tượng của lớp ấy.
Thực chất là việc nghiên cứu chỉ tiến hành cho một số đối tượng của lớp song kết
luận lại rút ra chung cho cả lớp đó. Chúng ta dự đoán kết quả tổng quát sau khi mới chỉ
xem xét một số trường hợp riêng mà thôi.
6
Quy nạp không hoàn toàn không thể xem là một phương pháp chứng minh trong toán
học. Nó chỉ là một phương pháp có hiệu lực để phát hiện chân lí mới, có thể đưa đến kết
luận đúng. Chẳng hạn, để tìm công thức của tổng n số lẻ đầu tiên, ta xét các trường hợp
riêng:
1 = 1 = 1
2
1 + 3 = 4 = 2
2
1 + 3 + 5 = 9 = 3
2

Các kết quả này cho phép dự đoán 1 + 3 + 5 + 7 + + (2n - 1) = n
2
, tức là tổng của n
số lẻ đầu tiên bằng n
2
. Đây là một kết luận đúng và chúng ta có thể chững minh bằng quy
nạp toán học. Bên cạnh đó, phương pháp quy nạp không hoàn toàn cũng có thể đưa đến
kết luận sai.
Ví dụ: Xét các số dạng
2
2 1
n
+
(số Fermat). Cho n các giá trị 1, 2, 3 ta được các số
tương ứng là 3, 17, 137 đều là các số nguyên tố. Do đó, ta có thể nghĩ rằng tất cả các số
Fermat đều là các số nguyên tố. Song kết luận này không đúng. Với n = 4, Euler đã chỉ ra
rằng
2
2 1
n
+
chia hết cho 641.
Nói tóm lại, kết quả tìm được bằng phương pháp quy nạp không hoàn toàn chỉ là một
giả thuyết, chừng nào nó chưa được chứng minh.
Trong toán học, phương pháp quy nạp hoàn toàn nói chung, chỉ được sử dụng một
cách có giới hạn vì đa số mệnh đề toán học được bao gồm vô số trường hợp riêng. Do đó
nói chung không thể sử dụng phương pháp quy nạp hoàn toàn được. Còn phương pháp
quy nạp không hoàn toàn, tuy kết luận của nó có thể sai nhưng lại có ý nghĩa to lớn trong
việc tìm tòi, dự đoán, tìm ra tri thức mới.

Polya khẳng định: “Suy luận quy nạp là một trường hợp riêng của suy luận có lí” hay
còn được giáo sư Hoàng Chúng gọi là “suy luận nghe có lí”.
d) Phép tương tự
Là phép suy luận đi từ một số thuộc tính giống nhau của hai đối tượng để rút ra kết
7
luận về những thuộc tính giống nhau, khác nhau của hai đối tượng đó. Kết luận của phép
tương tự có tính chất ước đoán, tức là nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên
giả thuyết.
Sơ đồ: A có thuộc tính a, b, c, d
B có thuộc tính a, b, c
Kết luận: B có thuộc tính d.
Ví dụ:
* Tính tổng
1 1 1

1.2 2.3 99.100
S = + + +
Ta có:

1 1 1
1.2 1 2
1 1 1
2.3 2 3

1 1 1
99.100 99 100
1
1
100
S

= −
= −
= −
⇒ = −
* Tương tự tính tổng:
1 1 1

1.2.3 2.3.4 99.100.101
P = + + +
Ta có:
8
1 1 1 1
.
1.2.3 1.2 2.3 2
1 1 1 1
.
2.3.4 2.3 3.4 2

1 1 1 1
.
99.100.101 99.100 100.101 2
 
= −
 ÷
 
 
= −
 ÷
 
 

= −
 ÷
 
1
1
100
S⇒ = −
Từ đây dễ dàng tính được P.
e) Phép khái quát hóa:
Là phép suy luận đi từ một đối tượng sang một nhóm đối tượng lớn hơn nào đó có
chứa đối tượng này. Kết luận của phép khái quát hóa có tính chất ước đoán, tức là nó có
thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng gợi lên giả thuyết.
Ví dụ:
- Chúng ta khái quát hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu những tam giác sang việc
nghiên cứu những đa giác với số cạnh tùy ý.
- Chúng ta cũng khái quát hóa khi chuyển từ việc nghiên cứu những hàm số lượng
giác của góc nhọn sang việc nghiên cứu những hàm số lượng giác của một góc tùy ý.
Có thể nhận thấy rằng trong 2 ví dụ trên, sự khái quát hóa đã được thực hiện theo 2
hướng có tính chất khác nhau. Ở ví dụ đầu, trong việc chuyển từ tam giác sang đa giác n
cạnh chúng ta đã thay hằng số bởi biến số, thay số cố định 3 bởi số tùy ý n (chỉ giới hạn
bởi bất đẳng thức n ≥ 3). Ở ví dụ 2, khi chuyển từ góc nhọn sang góc tùy ý α, chúng ta đã
vứt bỏ điều hạn chế 0
0
< α < 90
0
.
f) Phép đặc biệt hóa:
Là phép suy luận đi từ tập hợp đối tượng sang tập hợp đối tượng nhỏ hơn chứa trong
9
tập hợp ban đầu. Kết luận của phép đặc biệt hóa nói chung là đúng, trừ các trường hợp

đặc biệt giới hạn hay suy biến thì kết luận của nó có thể đúng, có thể sai và nó có tác dụng
gợi lên giả thuyết.
Trong toán học phép đặc biệt hóa có thể xảy ra các trường hợp đặc biệt giới hạn hay
suy biến: Điểm có thể coi là đường tròn có bán kính là 0; Tam giác có thể coi là tứ giác
khi một cạnh có độ dài bằng 0; Tiếp tuyến có thể coi là giới hạn của cát tuyến của đường
cong khi một giao điểm cố định còn giao điểm kia chuyển động đến nó.
Trong đề tài này sẽ đề cập đến các phương pháp suy luận, mà đi sâu là quy nạp, phép
suy luận có vai trò quan trọng trong chương trình toán THPT.
II. Mối quan hệ của phương pháp quy nạp với phương pháp suy luận suy diễn trong
dạy học toán.
Mục này được trình bày theo G. Polya
Phương pháp quy nạp là một trường hợp riêng của suy luận có lí, còn suy luận suy
diễn là một trường hợp riêng của suy luận chứng minh. Để làm rõ mối quan hệ của chúng,
ta hãy xét mối quan hệ tổng thể của suy luận chứng minh và suy luận có lí.
Trong toán học, chúng ta củng cố các kiến thức bằng suy luận chứng minh nhưng
viện trợ các giả thuyết bằng suy luận có lí.
Một chứng minh toán học là suy luận chứng minh còn kết luận quy nạp của các nhà
vật lí, hóa học hay sinh học, các bằng chứng gián tiếp của các luật sư, những dẫn chứng
tài liệu của nhà sử học và kết luận thống kê của nhà kinh tế học, đều thuộc về các suy
luận có lí.
2.1. Hai kiểu suy luận này hết sức khác nhau
a) Suy luận chứng minh là suy luận đáng tin cậy, không chối cãi được và dứt khoát;
còn suy luận có lí là suy luận bấp bênh, phải tranh cãi và có điều kiện.
b) Đối với toán học cũng như các môn khoa học khác, vai trò của suy luận chứng
minh là như nhau, tuy nhiên tự nó (cũng như bản thân toán học) không có khả năng cung
cấp các hiểu biết căn bản mới về thế giới xung quanh. Mọi cái mới mà chúng ta hiểu biết
được về thế giới đều có liên hệ với suy luận có lí.
10
c) Suy luận chứng minh có những tiêu chuẩn chặt chẽ được ghi thành luật và được
giải thích bằng logic (logic hình thức hay logic chứng minh), logic này là thuyết của các

suy luận chứng minh. Những tiêu chuẩn của các suy luận có lí rất linh động và không một
lí thuyết nào về các suy luận như vậy lại rõ ràng bằng logic chứng minh và có sự nhất
quán như logic chứng minh.
2.2. Hai loại suy luận này thống nhất với nhau
Mặc dù khác nhau như vậy nhưng hai loại suy luận này không mâu thuẫn mà trái lại
bổ sung cho nhau. Trong suy luận chặt chẽ điều chủ yếu là phân biệt chứng minh với dự
đoán, chứng minh có căn cứ với dự đoán không có căn cứ. Trong một suy luận có lí điều
chủ yếu là phân biệt dự đoán với dự đoán, dự đoán hợp lí hơn với dự đoán ít hợp lí hơn.
Trong “Toán học và những suy luận có lí” (xem [4] tr.6), Polya nhấn mạnh mối liên hệ
chặt chẽ giữa suy luận chứng minh và suy luận quy nạp như sau: “Toán học được xem là
một môn khoa học chứng minh. Tuy nhiên, đó chỉ là một khía cạnh của nó. Toán học,
trình bày dưới hình thức hoàn chỉnh, chỉ bao gồm chứng minh. Nhưng toán học trong quá
trình hình thành gợi lại mọi kiến thức khác của nhân loại trong quá trình hình thành. Bạn
phải dự đoán về một định lí toán học, trước khi bạn chứng minh nó, bạn phải dự đoán về
ý của chứng minh, trước khi tiến hành chứng minh chi tiết. Bạn phải đối chiếu các kết quả
quan sát được và suy ra những điều tương tự; bạn phải thử đi thử lại. Kết quả công tác
sáng tạo của nhà toán học là suy luận chứng minh, là chứng minh; nhưng người ta tìm ra
cách chứng minh nhờ suy luận có lí, nhờ dự đoán. Nếu việc dạy toán phản ánh ở mức độ
nào đó việc hình thành toán học như thế nào thì trong việc giảng dạy đó phải dành chỗ
cho dự đoán, cho suy luận có lí”.
Qua đó nhận thấy rằng, tuy phương pháp suy luận quy nạp và phương pháp suy luận
suy diễn có những nét trái ngược song chúng lại có mối quan hệ mật thiết với nhau, thống
nhất với nhau trong quá trình nhận thức. Chúng là một cặp phương pháp luôn được áp
dụng trong một thể thống nhất kế thừa và làm tiền đề của nhau, hỗ trợ cho nhau. Vì nếu
diễn dịch là đi từ cái chung đến cái riêng, thì trước đó cần phải có quy nạp (quy nạp
không hoàn toàn) để dự đoán ra cái chung đã. Nói cách khác, quy nạp cung cấp nguyên
liệu cho diễn dịch, diễn dịch lại đặt ra nhu cầu mới cho quy nạp, khẳng định hay phủ định
11
những dự đoán (giả thiết) của bước quy nạp. Cứ như thế, sau mỗi bước quy nạp, con
người lại đi gần thêm vào bản chất chung của sự vật, hiện tượng, hiểu biết càng nhiều về

bản chất chung của thế giới.
Trong từ điển toán học thông dụng (xem [7] tr.496) đã khẳng định: “Suy diễn và quy
nạp là hai phương pháp suy luận có liên quan mật thiết với nhau, mặc dù bề ngoài chúng
có vẻ tương phản. Mọi phép suy diễn đều bao hàm trong nó yếu tố quy nạp, vì bất cứ suy
diễn khoa học nào cũng đều bắt nguồn từ sự nghiên cứu các sự vật một cách quy nạp.
Ngược lại, phép quy nạp chỉ có giá trị khoa học khi nó dẫn tới sự nhận thức của quy luật
chung”. Có thể nói: trong thực tế, quy nạp và diễn dịch bao giờ cũng thống nhất với nhau
trong quá trình nhận thức.
Ví dụ:
Bài toán định lí lớn Fermat: Phương trình
n n n
x y z+ =
(1) không có nghiệm nguyên
khác không, với bất kì số nguyên n ≥ 3.
Ta biết với n = 1:
x y z
+ =
có vô số nghiệm nguyên.
Với n = 2:
2 2 2
x y z+ =
. Ta biết rằng nếu a, b, c là các cạnh của một tam giác vuông,
với cạnh huyền a thì luôn có
2 2 2
b c a+ =
. Đây chính là nội dung định lí Pythagore
Với n = 3:
3 3 3
x y z+ =
là một trường hợp riêng của (1) được Euler chứng minh năm

1770.
Với n = 4:
4 4 4
x y z+ =
cũng là một trường hợp riêng của (1) do chính Fermat chứng
minh.
Mãi đến năm 1993 – 1994, Andrew Wiles, nhà toán học người Anh, sau gần 350 năm
mới chứng minh hoàn toàn định lí này.
Lịch sử toán học đã để lại nhiều sự kiện thú vị xoay quanh các giả thiết có được bằng
suy luận quy nạp không hoàn toàn. Có những giả thuyết đã bị bác bỏ, có nhiều giả thuyết
đã được chứng minh, có những giả thuyết mà vài trăm năm sau vẫn không được chứng
minh hay bác bỏ. Tuy nhiên việc tìm cách chứng minh hay bác bỏ nhiều giả thuyết đã có
tác dụng thúc đẩy sự phát triển của toán học. Ví dụ: “Một chân trời mới cho giả thuyết
12
Gôn – bác”, (xem Toán học & Tuổi trẻ, số 7/2004).
III. Vai trò và tác dụng của phương pháp suy luận trong dạy học toán.
Suy luận được xem là một trong những nền tảng xây dựng nên các ngành khoa học tự
nhiên. Từ xưa đến nay, nhờ suy luận mà người ta có thể nhận thức được cái chưa biết từ
những cái đã biết. Suy luận toán học còn là cơ sở của sự sáng tạo. Từ các phán đoán, đưa
đến các chứng minh để chấp nhận hay bác bỏ một vấn đề nào đó. “Chúng ta cần chú ý
rằng toán học có thể xét theo hai phương diện. Nếu chỉ trình bày lại những kết quả toán
học đã đạt được thì nó nó là một khoa học suy diễn và tính logic nổi bật lên. Nhưng nếu
nhìn toán học trong quá trình hình thành và phát triển, trong quá trình tìm tòi phát minh
thì trong phương pháp của nó vẫn có mò mẫm, dự đoán, vẫn có “thực nghiệm” và quy
nạp. Phải chú ý cả hai phương diện đó mới có thể hướng dẫn học sinh học toán, mới khai
thác được đầy đủ tiềm năng môn toán để thực hiện giáo dục toàn diện”. (Theo Nguyễn Bá
Kim, Vũ Dương Thụy ở [9], tr.25)
Các tác dụng to lớn của việc rèn luyện và phát triển quy nạp với kết quả học toán của
học sinh được thể hiện cụ thể như sau:
a) Nhờ quy nạp, ta có thể rèn luyện cho học sinh các thao tác tư duy như phân tích,

tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát hóa, đặc biệt hóa, trừu tượng hóa, không những
cần thiết cho việc học toán mà còn cần thiết cho các môn khoa học khác, cho công tác và
hoạt động của con người.
Ví dụ: Khi dạy học định lí Cosin trong tam giác (Hình học 10), người ta đi từ tam giác
ABC có góc A vuông để đi đến biểu thức
2 2 2
0BC AC AB− − =
uuur uuur uuur
nhờ định lí Pythagore,
rồi tổng quát lên cho tam giác ABC không phải là tam giác vuông thì
2 2 2
0BC AC AB− − ≠
uuur uuur uuur
và cụ thể sẽ bằng bao nhiêu?
Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh phân tích, so sánh, tổng hợp và tương tự như
sau:
- Tam giác ABC vuông nên
2 2 2
a b c= +
. Với tam giác ABC không vuông thì
2
a
sẽ
bằng
2 2
b c+
thêm bớt một lượng nào đó. Vấn đề của ta là tìm lượng đó bằng bao nhiêu?
13
- Ta sử dụng công cụ vec tơ:
+

2 2 2
a b c= +
được viết thành
2 2 2
BC AC AB= +
uuur uuur uuur
+ Ta luôn có:
BC AC AB= −
uuur uuur uuur
. Suy ra:
( ) ( )
2
2 2 2 2
2 . cos ,BC AC AB BC AC AB AC AB AC AB= − ⇔ = + −
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Dựa và công thức tích vô hướng của hai vec tơ ta đưa đến kết quả:

2 2 2
2 cosa b c bc A= + −
(*)
- So sánh: khi A = 90
0
thì (*) trở thành
2 2 2
a b c= +
. Như vậy, định lí Pythagore là một
trường hợp riêng của (*).
- Tổng hợp lại ta được: Trong tam giác ABC bất kì ta luôn có
2 2 2
2 cosa b c bc A= + −

.
- Hơn thế nữa, bằng tương tự suy ra:
2 2 2
2 cosb a c ac B= + −
và
2 2 2
2 cosc a b ab C= + −
.
Từ đây học sinh có thể tự mình trình bày nội dung định lí và cách chứng minh nó một
cách hoàn chỉnh.
b) Nhờ quy nạp, học sinh thấy được nguồn gốc, xuất xứ của khái niệm, định lí, con
đường hình thành, chứng minh định lí, tại sao phải có khái niệm, định lí đó, Học sinh
thấy được toán học bắt nguồn từ thực tế và quay về phục vụ thực tế, chẳng hạn trong xây
dựng ta cần đo chiều cao của một cái cây mà yêu cầu là không được chặt nó xuống, việc
này người ta không thể đo đạc trực tiếp mà phải mở rộng, nghiên cứu hình học, giải tam
giác và sau đó tiến hành đo đạc, tính toán trên thực tế. Đồng thời thấy được toán học bắt
nguồn từ nhu cầu phát triển của nội bộ toán học, của các ngành khoa học khác, thấy được
mối liên hệ giữa toán học với thực tế và các ngành khoa học như vật lí, hóa học, sinh học,
kĩ thuật, kinh tế,
Ví dụ: Tri thức về tương quan tỉ lệ thuận biểu thị bởi công thức
y ax=
được sử dụng
trong:
14
- Tính diện tích S của một thửa ruộng hình tam giác có một cạnh bằng a với đường
cao tương ứng h:
1
.
2
S a h=

- Tính quãng đường đi được s trong một chuyển động đều với vận tốc v và thời gian t:
.s vt=
c) Không những thế, bằng quy nạp, tự bản thân học sinh, với khả năng của mình có
thể phát hiện ra các tri thức mới đối với bản thân, tập luyện “sáng tạo” toán học ở mức độ
người học sinh phổ thông. Vừa làm cho học sinh tiếp thu kiến thức một cách chủ động,
không còn áp đặt như trước, học sinh vận dụng đúng các kiến thức toán hơn, vừa làm cho
học sinh tự tin hơn trong học toán cũng như trong học tập. Từ đó mà khuyến khích học
sinh học toán, học tìm tòi và phát hiện – bước đầu tiên để trở thành một nhà toán học, nhà
khoa học vĩ đại trong tương lai.
Nói tóm lại, phương pháp suy luận nói chung và phương pháp quy nạp nói riêng có ý
nghĩa quan trọng trong dạy học toán.
IV. Mục đích của dạy học toán
Trong “Phương pháp dạy học môn toán” (xem [9], tr 45 – 62), GS.TSKH Nguyễn Bá
Kim đã nêu nhiệm vụ của dạy học toán ở trường THPT là:
- Truyền thụ tri thức, kỹ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán học vào thực tiễn bởi
thông qua bộ môn toán chúng ta có thể cung cấp cho học sinh một hệ thống vững chắc
các tri thức, phương pháp, kỹ năng đồng thời rèn luyện khả năng vận dụng những hiểu
biết toán học vào các môn học khác, vào đời sống lao động sản xuất.
- Phát triển năng lực trí tuệ chung như tư duy trừu tượng, tư duy logic, tư duy biện
chứng, rèn luyện các thao tác tư duy như trừu tượng, phân tích, tổng hợp, so sánh, khái
quát, các phẩm chất tư duy như tính linh hoạt, tính độc lập, sáng tạo,
- Giáo dục tư tưởng chính trị, phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ. Môn toán góp phần bồi
dưỡng cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, rèn luyện các phẩm chất của người
lao động mới trong học tập và sản xuất như tính cẩn thận, chính xác, có mục đích, có kế
hoạch, phương pháp, kỉ luật, sáng tạo, có óc thẩm mỹ,
15
Phương pháp suy luận có tác dụng to lớn nhằm phục vụ đắc lực cho việc thực hiện
các mục đích nêu trên. Cụ thể:
- Qua thực hiện các phương pháp suy luận, học sinh tự mình tìm tòi, khám phá, rút ra các
tri thức “mới” nên học sinh sẽ hiểu sâu, nhớ lâu các kiến thức dẫn đến vận dụng tốt hơn.

- Học sinh sẽ có kĩ năng thành thạo hơn, rèn luyện các thao tác tư duy, đặc biệt là khái
quát hóa, trừu tượng hóa, tương tự, dẫn đến sáng tạo. Ngoài ra, học sinh còn rèn luyện
được các phẩm chất trí tuệ nêu trên, khả năng so sánh, lựa chọn nhằm phát triển năng lực
phê phán.
- Ngoài ra học sinh sẽ có hứng thú học tập, có niềm tin trong sáng tạo và khám phá.
V. Sơ lược tình hình rèn luyện suy luận cho học sinh phổ thông
5.1. Sách giáo khoa với việc rèn luyện năng lực suy luận cho học sinh:
Rèn luyện và phát triển năng lực lập luận, chứng minh cho học sinh là một việc phải
là thường xuyên của giáo viên trung học nhất là THPT.
Vì vậy sách giáo khoa toán ở bậc học này đã trình bày kiến thức theo xu hướng tiên
đề hóa nhằm tạo điều kiện cho giáo viên rèn luyện năng lực quan trọng này cho học sinh.
Ví dụ như việc yêu cầu học sinh biết chứng minh các tính chất, định lí từ sớm (ngay từ
lớp 7).
Tuy nhiên, như ý kiến của GS. Nguyễn Cảnh Toàn: “Toán học là một môn học rất
thuận lợi trong việc rèn luyện tư duy logic, nhưng cách dạy của chúng ta lại chỉ chú ý đến rèn
luyện khả năng suy diễn, coi nhẹ khả năng quy nạp”. Ngành Giáo dục và Đào tạo nước ta
trong mấy năm gần đây đã và đang đổi mới phương pháp dạy và học. Cụ thể như sau:
a) Cố gắng giảm bớt tính áp đặt cho học sinh, tổ chức các hoạt động, dẫn dắt để học
sinh phát hiện vấn đề, so sánh, nhận xét, khái quát hóa hay trừu tượng hóa.
b) Sách giáo khoa hiện nay cũng đã cố gắng giảm bớt yêu cầu về tính logic của vấn
đề mà chú trọng đến tính thực tế.
Sách giáo khoa hiện nay đã cố gắng giảm nhẹ phần lí thuyết, chủ yếu là giảm nhẹ các
chứng minh của các tính chất hoặc định lí. Các tính chất hoặc định lí này nhiều lúc rất
16
hiển nhiên, hoàn toàn có thể thấy được bằng trực giác, nhưng thực ra chứng minh nó lại
không đơn giản và không mang lại lợi ích gì nhiều. Chẳng hạn, tính chất duy nhất của
vectơ đối (Hình học 10). Chúng ta chú trọng hơn đến tính thực tế, tính liên hệ thực tiễn,
sự cần thiết phải có chúng trong thực tế.
5.2. Sơ lược tình hình rèn luyện năng lực suy luận cho học sinh ở trường trung học
phổ thông

a) Qua trao đổi, dự giờ tôi nhận thấy một trong những yếu điểm của hoạt động dạy và
học của chúng ta là phương pháp dạy – học, phần lớn là kiểu thầy giảng trò ghi, thầy đọc
trò chép, vai trò của học sinh có phần thụ động. Phương pháp đó làm cho học sinh có thói
quen học vẹt, thiếu suy nghĩ sáng tạo, thói quen học lệch, học tủ, học để đi thi mà thôi.
Tuy nhiên, trong những năm gần đây, khi chúng ta đẩy mạnh phương pháp dạy và
học, chú trọng đến tính tích cực, tự giác, sáng tạo, tính linh hoạt trong tư duy của học
sinh, đặc biệt là có sự tiếp cận, ứng dụng rộng rãi khoa học kĩ thuật và công nghệ thông
tin vào dạy học, phương pháp suy luận nói chung và phương pháp quy nạp nói riêng đã
được sử dụng nhiều hơn, rộng rãi hơn.
Ví dụ như nhờ ứng dụng của các phần mềm toán học (Maple, Geometer’s Sketchpad,
Geospack, ), các giáo viên có thể biểu diễn trực quan cho học sinh thấy được các hình
ảnh không gian 2 chiều, 3 chiều, các hình ảnh động, Qua đó học sinh dễ dàng phát hiện,
dự đoán các kiến thức “mới” phù hợp với trình độ theo yêu cầu của nội dung chương trình
giảng dạy
b) Qua thăm dò ý kiến thì tất cả giáo viên đều nhất trí cho rằng: việc rèn luyện năng
lực suy luận quy nạp cho học sinh là cần thiết, không thể xem nhẹ.
Nhưng giáo viên cũng đã thấy được những khó khăn sẽ gặp phải khi tiến hành rèn
luyện và phát triển năng lực suy luận cho học sinh như sau:
- Về chủ quan:
+ Giáo viên phải dành nhiều thời gian và công sức cho việc chuẩn bị bài, soạn giáo
án.
+ Phải thay đổi thói quen giảng dạy hiện nay.
17
- Về khách quan:
+ Khối lượng kiến thức và số lượng bài tập cần cung cấp, giảng giải cho học sinh khá
lớn mà thời gian dành để thực hiện còn ít, chưa hợp lí.
+ Học sinh cần phải thay đổi cách học cũ lâu nay.
*) Đa số giáo viên đều nhận thấy tác dụng to lớn nếu rèn luyện được cho học sinh
năng lực suy luận, đặc biệt là: học sinh hiểu bài dễ dàng hơn, hiểu sâu và nhớ lâu những
điều do tự mình thu nhận, tự mình chủ động tìm tòi, phát hiện ra.

Kết luận chương:
Trong việc dạy học Toán, cũng như việc dạy học các môn học ở trường phổ thông,
điều quan trọng là hình thành cho học sinh một hệ thống khái niệm cơ bản. Đó là cơ sở,
nền tảng của toàn bộ kiến thức Toán học của học sinh. Đối với dạy học các phương pháp
suy luận thì việc nắm vững các khái niệm về các phương pháp suy luận, các quy tắc suy
luận sẽ giúp cho các em dễ dàng tiếp cận, tìm tòi, khám phá các tri thức “mới”, biết vận
dụng linh hoạt các phương pháp trong học tập. Vì vậy, ở chương đầu tiên của đề tài, tôi
đã hệ thống lại các khái niệm, kiến thức cơ bản nhất có liên quan đến các phương pháp
suy luận nhằm giúp bản thân cũng như những người học toán,dạy toán có cơ sở để áp
dụng vào công việc dạy học của mình.
18
CHƯƠNG II
MỘT SỐ BIỆN PHÁP THỰC HIỆN
Phương pháp suy luận được tiến hành theo con đường từ thực tiễn, từ các ví dụ minh
họa, các kiến thức cũ, các vấn đề đặt ra, các trường hợp đặc biệt, cùng với hệ thống câu
hỏi, sự hướng dẫn của giáo viên, học sinh nhận xét để rút ra các khái niệm, các định lí,
các kiến thức mới.
I. Phương pháp dạy học khái niệm bằng suy luận
1.1. Con đường suy diễn
 Các giai đoạn chủ yếu của con đường này
Bước 1: Phát biểu định nghĩa (khái niệm)
Khái niệm xuất hiện ngay từ đầu với cơ chế đối tượng để xét.
Bước 2: Củng cố và vận dụng khái niệm
Cho các ví dụ minh họa (hợp thức hóa đối tượng, nghĩa là chỉ ra sự tồn tại của đối
tượng thỏa mãn định nghĩa) và phản ví dụ cho phép làm rõ thuộc tính bản chất của khái
niệm.
Cho các bài tập củng cố hoặc đưa vào các tính chất khác của khái niệm, các bài tập
vận dụng.
 Sơ đồ hóa tiến trình
 Củng cố

 Vận dụng
19
Phát biểu định
nghĩa, khái niệm
1.2. Con đường quy nạp
 Các giai đoạn chủ yếu của con đường này
Bước 1: Nghiên cứu một số trường hợp riêng lẻ và phác thảo định nghĩa.
Giáo viên tổ chức cho học sinh nghiên cứu một số đối tượng riêng lẻ thuộc lớp các
đối tượng xác định khái niệm cần định nghĩa và một vài đối tượng không thuộc lớp này,
trong đó khái niệm xuất hiện dưới hình thức “có tên nhưng chưa có định nghĩa”. Tên của
khái niệm do giáo viên thông báo, nhưng chưa cho định nghĩa khái niệm.
Học sinh, với sự hướng dẫn của giáo viên sẽ khám phá dần dần các thuộc tính bản
chất của khái niệm (nhờ vào các thao tác tư duy phân tích, so sánh, tổng hợp) thể hiện
trong các trường hợp riêng lẻ, cụ thể được nghiên cứu. Từ đó, nhờ vào thao tác khái quát
hóa, trừu tượng hóa học sinh trình bày phác thảo ban đầu về khái niệm.
Chú ý: Tên của khái niệm có thể được giáo viên thông báo vào một thời điểm thích
hợp (không cố định): ngay từ đầu, hoặc sau khi học sinh nghiên cứu cụ thể các trương
hợp đã cho,
Như vậy, mục đích chính của bước này là:
- Hình thành (hay điều chỉnh) biểu tượng về khái niệm.
- Phát hiện một số thuộc tính bản chất của khái niệm
- Phác thảo định nghĩa khái niệm.
Bước 2: Trình bày định nghĩa chính thức
Trên cơ sở phác thảo định nghĩa của học sinh, giáo viên tổ chức cho học sinh tìm cách
bổ sung, hoàn chỉnh, sau đó trình bày định nghĩa chính thức của khái niệm và các kí hiệu
liên quan.
Bước 3: Củng cố và vận dụng khái niệm
Cho các ví dụ, phản ví dụ và các bài tập củng cố khái niệm. Người ta cũng có thể
nghiên cứu các thuộc tính (tính chất) khác của khái niệm (thường được cho dưới dạng
20

định lí, hệ quả, ) hay có thể đưa vào các vấn đề trong đó khái niệm được sử dụng như là
công cụ để giải quyết.
 Sơ đồ hóa tiến trình
Ví dụ: Dạy học khái niệm “Hàm số liên tục tại một điểm”
* Bước 1:
+ Giải bài toán: Cho các hàm số sau
2
( ) (1)y f x x= =

21
Nghiên cứu các trường hợp riêng lẻ để:
- Phát hiện một số thuộc tính, bản chất
của khái niệm
- Hình thành (hay điều chỉnh) biểu tượng
về khái niệm.
- Phác thảo định nghĩa khái niệm
Trình bày định nghĩa chính thức của khái
niệm
 Củng cố
 Vận dụng
2 1
( ) (2)
3 1
1
( ) (3)
2 1
x x
y f x
x
x x

y f x
x
≠

= =

=

≥

= =

<
