phương pháp giải một số dang toán về đường thăng và đồ thi

Một số vấn đề về phương pháp hướng dẫn học sinh khai thác một số dạng toán về …
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Ở trường trung học cơ sở việc dạy toán là một hoạt động dạy học cho học
sinh, trong đó giải toán là đặc trưng chủ yếu của hoạt động dạy học của học
sinh. Để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ngoài việc trang bị tốt kiến
thức cơ bản cho học sinh thì đòi hỏi mỗi người thầy giáo, cô giáo cần phải định
hướng và hướng dẫn học sinh khai thác bài toán, mở rộng bài toán dẫn đến
nhiều hướng đi cho bài toán tạo cho học sinh có tính chủ động về kiến thức, tìm
tòi được nhiều cách giải hay và ngắn gọn.
Thế nhưng qua giảng dạy và nghiên cứu thực tế tôi nhận thấy phần đông
các em .Chưa có thói quen khai thác một bài toán thành chuối các bài toán liên
quan, trong giải toán chỉ dừng ở việc tìm ra kết quả của bài toán. Mà không khai
thác xem bài toán đó có bao nhiêu cách giải và chọn phương án nào tối ưu nhất,
bài toán đó đã gặp chưa, ở đâu, cách tiến hành như thế nào. Chính vì lẽ đó mà
học sinh không thể tìm được mối liên hệ giữa các kiến thức đã học để giải toán,
cho nên khi bắt đầu giải toán học sinh không biết bắt đầu từ đâu, cần vận dụng
kiến thức nào, ở phần nào lớp nào, vận dụng kiến thức nào ?, bài toán tương tự
bài nào đã học chưa? mà chỉ thụ động trong việc tìm ra kết quả dẫn đến không
biết trình bày một bài toán.
Đại số là một môn không giản đơn chỉ giải ra kết quả là xong và kết luận
ngay mà nó đòi hỏi cần phải có suy luận, phân tích tổng hợp, tái hiện lại các
kiến thức cần có của một người làm toán. Đã ai tự hỏi tại sao nhiều người tự
mình sáng tạo ra được nhiều bài toán trong lĩnh vực về đại số và số học nhưng
Người thực hiện: Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao 1
1
Một số vấn đề về phương pháp hướng dẫn học sinh khai thác một số dạng toán về …
cũng phải đòi hỏi một cách sáng tạo như thế nào, có phù hợp với kiến thức đã
học không. Có phù hợp với khả năng nhận thức của học sinh không ?. Nếu xem
xét một cách nghiêm túc thì trong hình học không phải là khó tìm ra sự sáng tạo
mà vấn đề là chúng ta dành cho môn hình ở mức độ quan tâm như thế nào.

Trong quá trình dạy toán và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi nhận thấy rằng
việc tìm tòi và mở rộng các bài toán quen thuộc thành các bài toán mới. Phân
biệt các dạng toán theo từng chương và móc nối từng phần của các chương có
dạng toán lại với nhau. tìm được cách cách giải khác nhau cho một bài toán để
từ đó khắc sâu kiến thức cho học sinh là một phương pháp khoa học và có hiệu
quả. Tất cả quá trình này bắt đầu từ một bài toán đơn giản đến bài toán khó là
bước đi phù hợp để rèn luyện năng lực tư duy cho học sinh.
Một điều chắc chắn rằng việc tìm tòi và mở rộng bài toán sẽ kích thích
hứng thú học tập và óc sáng tạo cho học sinh. Từ đó giúp học sinh có cơ sở khoa
học khi phân tích và bắt đầu phải đi từ đâu, định hướng tìm tòi lời giải cho bài
toán khác. Hơn nữa là củng cố cho học sinh niềm tin vào khả năng giải toán của
mình.
Để các em học sinh tự mình nâng cao chất lượng học tập, mở rộng kiến
thức nhằm củng cố bồi dưỡng và phát triển năng lực tư duy toán học cho học
sinh yêu thích môn hình. Nên tôi quyết định nghiên cứu đề tài: “Một số vấn đề
về phương pháp hướng dẫn học sinh khai thác một số dạng toán về đồ thị
và đường thẳng - Toán 9 - Trường THCS Võ Lao”
Người thực hiện: Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao 2
2
Một số vấn đề về phương pháp hướng dẫn học sinh khai thác một số dạng toán về …
Chính vì tôi được phân công giảng dạy ở lớp 9 trong các lớp tôi dạy đa số
các em có học lực khá vì thế các bài toán tôi đưa ra ở đây có một số bài dành
cho học sinh có lực trung bình và yếu, kém còn phần lớn các bài toán nâng cao
đưa thêm vào trong các tiết luyên tập dành cho học sinh có lực học khá. Nhằm
nâng cao khả năng tư duy mở rộng kiến thức cho học sinh giúp các em hiểu sâu
sắc hơn phương pháp giải dạng toán này. Để các em tự mình nâng cao chất
lượng học tập, bồi dưỡng và phát triển tư duy toán học cho học sinh yêu thích
môn toán, giúp các em đạt được kết quả tốt nhất trong các kỳ thi.
Người thực hiện: Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao 3
3

Một số vấn đề về phương pháp hướng dẫn học sinh khai thác một số dạng toán về …
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
CHƯƠNG I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
Quá trình dạy học môn toán phải nhằm mục đích đào tạo còn người mà xã hội
cần. Vì vậy môn toán phải góp phần cùng các môn học khác thực hiện mục tiêu chung
của giáo dục THCS thể hiện trên các mặt:
Làm cho học sinh nắm vững tri thức toán phổ thông, cơ bản thiết thực.
Có kĩ năng thực hành giải toán toán. có ký năng phát hiện và thực được vấn đề
Hình thành ở học sinh các phẩm chất đạo đức và năng lực cần thiết như mục
tiêu giáo dục THCS đã đề ra.
Ở trường phổ thông, việc dạy toán là hoạt động học. Với học sinh có thể xem
việc giải toán là hình thức chủ yếu của môn toán.
Trong dạy học toán, mỗi bài tập toán được sử dụng với những dụng ý khác
nhau, có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, có thể phát triển thành bài
toán mới trên cơ sở của bài toán xuất phát, để củng cố hoặc kiểm tra phát huy sự sáng
tạo trong học toán. Không để bài toán chỉ dừng ở mức tìm ra kết quả là song mà còn
phải khai thác với nhiều chiều hướng khác nhau làm cho giờ giải toán được thêm sinh
động từ đó phát huy được năng lực và trí tuệ của học sinh.
Ở thời điểm nào đó mỗi bài tập chứa đựng tường minh, hay ẩn tàng những chức
năng khác nhau (Chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng phát triển, chức
năng kiểm tra, chức năng khai thác, chức năng tìm tòi), là những chức năng để hướng
tới việc thực hiện các mục đích dạy học toán.
Tuy nhiên trên thực tế đối với việc giải các dạng bài toán và khai thác tìm tòi
lời giải cho từng dạng bài toán cần phải tường minh và chặt chẽ cho dù có nhiều
hướng khai thác khác nhau thì.
Yêu cầu đối với lời giải:
- Lời giải không có sai lầm
- Lập luận phải có căn cứ chính xác.
- Lời giải phải đầy đủ.
Ngoài yêu cầu nói trên dạy học luyện tập còn yêu cầu lời giải phải ngắn gọn,

đơn giản nhất, cách trình bày phải rõ ràng và hợp lý.Từ những yêu cầu trên đã đạt
Người thực hiện: Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao 4
4
Một số vấn đề về phương pháp hướng dẫn học sinh khai thác một số dạng toán về …
được ta mới chuyển sang hướng khai thác bài toán sâu hơn cả về hình vẽ lẫn các cách
giải để tìm ra phương án tối ưu cho bài toán được hay hơn.
Sau đây tôi xin đưa ra phương pháp tìm tòi lời giải của một bài toán:
+ Tìm hiểu nội dung:
- Bài toán cho biết gì ? Yêu cầu gì?
- Dạng toán nào?
- Kiến thức cơ bản cần có là gì?
+ Xây dựng chương trình giải:
Tức là chỉ rõ các bước cần tiến hành. Bước 1 là gì? Bước 2 giải quyết vấn đề
gì?
+ Thực hiện chương trình giải:
Trình bày theo đúng các bước đã chỉ ra. Chú ý sai lầm thường gặp trong tính
toán
+ Kiểm tra và nghiên cứu lời giải:
+ Sau đó tiến hành khai thác bài toán từ bài toán xuất phát để được bài toán
tương tự.
Trong chương trình hình học lớp 9 các bài toán chứng minh đường tròn rất quan
trọng. Vậy làm thế nào để học sinh nắm chắc được cách giải dạng bài tập và khai thác
được những bài tập đó là nhiệm vụ của người giáo viên giảng dạy.
Để khai thác được những bài toán xuất phát đòi hỏi mỗi học sinh phải tự mình
giải được các bài toán này, do đó học sinh cần đọc kĩ đề bài, vẽ hình chính xác, tìm
hiểu yêu cầu của đề, vận dụng kiến thức đã học từ lớp dưới sao cho phù hợp với từng
bài để giải. Để đạt được điều đó các em phải nắm vững định nghĩa, tính chất, dấu hiệu
nhận biết, kết hợp với việc vẽ hình khoa học chính xác, trình bày lời giải logíc để có
được lời giải nhanh và ngắn gọn nhất mới có đủ thời gian khai thác được bài toán mới
sâu hơn. Chính vì vậy trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán chứng minh thì học

sinh phải đóng vai trò chủ đạo trong quá trình làm bài, từ đó mới phân tích được các
cách giải khác nhau tìm hướng đi cho bài toán được sinh động hơn. Khi hướng dẫn
học sinh giải dạng bài tập này tôi tách ra các phần:
1. Nội dung bài toán và phương pháp giải.
2. Ví dụ minh hoạ cho phương pháp giải đó.
3. Khai thác các cách giải để chọn phương án tối ưu.
Người thực hiện: Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao 5
5
Một số vấn đề về phương pháp hướng dẫn học sinh khai thác một số dạng toán về …
CHƯƠNG II
THỰC TRẠNG VỀ VẤN ĐỀ HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHAI THÁC
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐỒ THỊ VÀ ĐƯỜNG THẲNG TOÁN 9 Ở
TRƯỜNG THCS VÕ LAO.
I. MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHUNG.
1. Thuận lợi.
Giáo viên được trang bị đầy đủ về kiến thức và phương pháp giảng dạy. Được
sự quan tâm giúp đỡ của BGH nhà trường, các tổ khối chuyên môn đã tạo điều kiện và
luôn giúp đỡ chỉ bảo để bản thân tôi được nâng cao tay nghề. Hàng tháng tổ thường
xuyên mở các chuyên đề và triển khai thực hiện đến các giáo viên trong tổ. Đặc biệt là
tôi được trực tiếp dạy và chủ nhiệm các em nên tôi có điều kiện tiếp xúc và trao đổi
với các em. Qua đó tôi thấy đa số các em có khả năng chứng minh và khai thác được
một số bài toán dạng toán liên đến đường thẳng và đồ thị.
Về phía nhà trường có khá đầy đủ cơ sở vật chất phục vụ cho việc dạy và học,
có phòng học để phù đạo cho học sinh yếu kém,bồi dưỡn học sinh giỏi giúp các em
luyện tập nhiều hơn các dạng toán để nhớ được kiến thức một cách có hệ thống.
Học sinh phần đa có ý thức học tập. Phụ huynh đã quan tâm đến việc học tập
của con em mình, đã có tổ chức giúp đỡ những học sinh nghèo, học sinh có hoàn cảch
đặc biệt khó khăn.
b. Khó khăn.
Bên cạnh những thuận lợi còn không ít những khó khăn:

Đội ngũ giáo viên trong tổ có tuổi đời công tác còn trẻ nên phương pháp giảng dạy
còn nhiều hạn chế, còn ít kinh nghiệm trong công tác giảng dạy và giáo dục học sinh.
Các em học sinh chủ yếu là con em người dân tộc thiểu số. Điều kiện kinh tế
còn gặp nhiều khó khăn, chưa quan tâm nhiều đến các em trong việc học ở nhà do đó
các em lười học bài đặc biệt là việc làm bài tập ở nhà chưa đầy đủ. Mặt khác một số
học sinh chưa thấy được tầm quan trọng của việc học dẫn đến ý thức học của các em
chưa cao. Khả năng nhận thức của học sinh còn hạn chế chưa đồng đều. Một số em
còn nghỉ học nhiều, lười học dẫn đến bị rỗng kiến thức từ lớp dưới.
Người thực hiện: Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao 6
6
Một số vấn đề về phương pháp hướng dẫn học sinh khai thác một số dạng toán về …
Trong một lớp học có nhiều đối tượng học sinh khác nhau nên việc truyền thụ
đầy đủ kiến thức trong từng tiết dạy của giáo viên đến học sinh rất khó khăn.
II. THỰC TRẠNG CỤ THỂ.
Trong quá trình giảng dạy một số dạng toán về đường thẳng và đồ thị ở lớp 9
tôi thấy khả năng ghi nhớ kiến thức của học sinh còn hạn chế, chưa có hệ thống, chưa
biết trình bày chứng minh, phân tích lời giải, khai thác hình học cho một bài toán dẫn
đến việc vận dụng kiến thức vào làm bài tập còn chậm,
Trình bày không có logíc, kĩ năng lập luận chứng minh còn hạn chế, hay sai sót
nhầm lẫn, diễn đạt thiếu mạch lạc, lập luận thiếu căn cứ, trình bày bài toán không biết
xuất phất từ đâu, đặc biệt là trong tiết luyện tập .
Quá trình giảng dạy trên lớp sau phần lí thuyết là phần các ví dụ được trình bày
phân tích chi tiết nhằm giúp các em học sinh hiểu được ý tưởng cũng như bản chất bài
toán, trên cơ sở này các em có thể hoàn toàn vận dụng sáng tạo vào các bài toán có nội
dung tương tự.
Thế nhưng qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy phần lớn cá em không nắm
vững tính chất, dấu hiệu nhận biết hoặc thuộc lí thuyết nhưng không biết vận dụng
vào bài tập đặc biệt vận dụng kiến thức liên quan còn rất yếu, nhất là trình bày lời giải
còn hạn chế, chưa logic khoa học, chính xác.
Trước khi đưa ra phương pháp hướn dẫn học sinh giải một số dạng toán này tôi

tiến hành khảo sát học sinh thu được kết quả như sau:
Năm học
TS
H
S
Giỏi Khá TB Yếu Kém
TS % TS % TS % TS % TS %
2011 - 2013 32 0 0 7 22 10 32 10 32 5 14
Qua kết quả khảo sát học sinh năm học tôi nhận thấy 46% học sinh có điểm yếu
kém khi giải dạng bài tập này. Nên tôi thiết nghĩ nếu để kết quả này duy trì ở cuối năm
thì chất lượng học sinh sẽ rất thấp không đảm bảo . Hơn nữa các dạng toán về đồ thị
và đường thẳng các em sử dụng thường xuyên trong suốt quá trình học tập. Để chất
lượng học sinh được nâng lên đó là trách nhiệm của người giáo viên trực tiếp giảng
dạy. Từ đó bản thân tôi tìm ra những nguyên nhân tại sao học sinh lại học yếu đến
vậy? Yếu ở chỗ nào? Yếu ở dạng toán nào? Vì sao lại yếu? Thường xuyên quan tâm
Người thực hiện: Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao 7
7
Một số vấn đề về phương pháp hướng dẫn học sinh khai thác một số dạng toán về …
đến điều kiện học tâp của các em, tác động đồng đều đến các đối tượng học sinh trong
lớp. Thì mới có cơ sở để phụ đạo và bồi dưỡng học sinh cho phù hợp. Bên cạnh đó học
sinh phải xác định đúng động cơ học tập, chăm chỉ thường xuyên học và làm bài ở
nhà. Mặt khác cần có sự ủng hộ nhiệt tình của phụ huynh học sinh, sự quan tâm sát sao
hơn nữa của nhà trường.
III. NGUYÊN NHÂN DẪN ĐẾN HỌC SINH KHÔNG KHAI THÁC
ĐƯỢC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ĐỒ THỊ VÀ ĐƯỜNG THẲNG.
Giáo viên giảng dạy truyền thụ đủ nội dung kiến thức, vận dụng đúng phương
pháp. Tuy nhiên việc kết hợp các phương pháp chưa phù hợp đến từng đối tượng học
sinh.
Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy lớp 9 nhiều năm tại trường tôi nhận thấy
phần đông học sinh không khai thác được một số dạng toán về đồ thị và đường thẳng

với nhiều những lí do khác nhau:
- Học sinh không nắm được hoặc không vận dụng được những tính chất, dấu
hiệu nhận biết của đường thẳng và đồ thị và kiến thức ở lớp dưới.
- Kỹ năng vận dụng lý thuyết vào giải bài tập, vận dụng kiến thức liên quan,
cách trình bầy lời giải bài toán còn hạn chế.
Để giúp 46% học sinh chưa đạt mức trung bình này có được kết quả như mong
muốn bằng những kinh nghiệm đã tích luỹ được tôi xin đưa ra một số giải pháp hướng
dẫn học sinh giải và khai thác một số dạng toán về đồ thị và đường thẳng nàynhư sau.
Người thực hiện: Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao 8
8
Một số vấn đề về phương pháp hướng dẫn học sinh khai thác một số dạng toán về …
CHƯƠNG III. BIỆN PHÁP VÀ GIẢI PHÁP
- Để một tiết dạy trở nên nhẹ nhàng thoải mải cho học sinh giúp các em nắm bài
học tốt khi khai thác các dạng toán về đồ thị và đường thẳng.
- Thì trước hết các em phải có kiến thức, phải nắm vững được các phương pháp
giải từng dạng toán một .
- Phải nắm được mục đích yêu cầu của đề bài.
Tôi thử kiểm tra hai tiết dạy của hai lớp:
Lớp có tinh thần tự giác cao biết hiểu học hỏi coi bài trước tiếp thu bài học mới
thì các em cảm nhận tiết học tốt hơn, hiểu bài và nắm rõ bài học hơn.
Còn lớp có tinh thần học tập yếu, thì việc các em tiếp thu bài rất khó khăn, mơ
hồ.
Nên quan điểm của tôi là việc truyền thụ kiến thức cho các em là một vấn đề rất
quan trọng và việc các em nắm kiến thức đó lại là quan trọng hơn. Kiến thức các em
vừa được nghe có hiểu không và việc áp dụng nó như thế nào?
Khi đưa ra một bài toán mà giáo viên cần vạch ra được hướng đi đúng đắn cho
học sinh.
Đa số giáo viên chỉ dạy theo số lượng bài tập,tìm ra kết quả là song, không chỉ
ra và phân biệt các dạng toán cho các em, không khai thác xem bài toán này có bao
nhiêu cách giải, không hiểu được học sinh của mình có nắm được bài hay không.

Giáo viên phải vạch rõ nội dung chính của bài học giúp học sinh hiểu sâu bài,
từng chi tiết nhỏ, thông qua việc phân tích đề bài và đưa đến hướng giải một cách
đúng đắn hơn.
Mục tiêu dạy các dạng toán này là củng cố lí thuyết và rèn luyện kỹ năng cho
học sinh. Qua thực tế giảng dạy và khảo sát học sinh kết quả thu được là học sinh còn
mắc nhiều trong khi vận dụng lí thuyết vào giải bài tập và cách trình bầy lời giải. Để
giải được dạng bài tập này đòi hỏi học sinh cần phải theo trình tự các bước sau:
- Tìm hiểu nội dung bài toán.
- Chỉ rõ các bước cần tiến hành.
- Trình bày theo đúng các bước đã chỉ ra. Chú ý sai lầm thường gặp trong tính
toán.
- Kiểm xem lời giải có sai lầm không.
Sau đây tôi xin đưa ra một số ví dụ cụ thể:
Người thực hiện: Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao 9
9
Một số vấn đề về phương pháp hướng dẫn học sinh khai thác một số dạng toán về …
`1. Dạng1: Xét tính chất biến thiên của hàm số.
Để xét tính chất biến thiên của hàm số y=f(x) trong (a;b) ta lựa chọ một trong
hai phương pháp sau.
Phương pháp 1: sử dụng định nghĩa
Phương pháp 2: thực hiện theo bước sau
Bước 1: lấy
1 2
; ( ; )x x a b
∈
với
1 2
x x
≠
ta thiết lập tỉ số:

1 2
1 2
( ) ( )f x f x
A
x x
−
=
−
Bước 2: Khi đó
- Nếu A>0 với mọi
1 2
; ( ; )x x a b
∈
và
1 2
x x
≠
thì hàm số đồng biến trong (a;b).
- Nếu A<0 với mọi
1 2
; ( ; )x x a b
∈
và
1 2
x x
≠
thì hàm số nghịch biến trong (a;b).
Bài tập 1: Xét sự biến thiên của hàm số sau.
y = f(x) = x-2

Bài giải.
? Nêu cách làm
Yêu cầu học sinh lên làm.
?Nhận xét.
? Còn các nào khác không.
Yêu cầu học sinh lên làm.
? Nhận xét
Cách 1: (sử dụng định nghĩa).
Xét sự biến thiên của hàm số sau.
y = f(x) = x-2
- Hàm số xác định với mọi x thuộc vào R.
Cho
1 2
;x x R
∈
bất kỳ sao cho
1 2
x x
<
hay
1 2
0x x
− <
.
- Xét
1 2
( ) ( )f x f x
−
=
1 2

( 2) ( 2)x x
− − −
=
1 2
0x x
− <
Do đó:
1 2
( ) ( )f x f x
<
hàm số đồng biến trên R.
Cách 2:
- Hàm số xác định với mọi x thuộc vào R.
Với
1 2
;x x R
∈
và
1 2
x x
≠
ta có:
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
( ) ( ) ( 2) ( 2)
= 1 0
f x f x x x
A

x x x x
x x
x x
− − − −
= =
− −
−
= >
−
Vậy hàm số đồng biến trên R
Người thực hiện: Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao 10
10
Một số vấn đề về phương pháp hướng dẫn học sinh khai thác một số dạng toán về …
Tổng quát: Để xét sự biến thiên của hàm số y=f(x)= ax+b, với a
0≠
ta làm như sau:
Hàm số xác định với mọi x thuộc R.
Với
1 2
;x x R
∈
và
1 2
x x
≠
ta có:

1 2 1 2
1 2 1 2
1 2

1 2
( ) ( ) ( ) ( )
( )
=
f x f x ax b ax b
A
x x x x
a x x
a
x x
− + − +
= =
− −
−
=
−
Khi đó: a>0 thì hàm số đồng biến trên R.
a<0 thì hàm số nghịch biến trên R.
Bài toán trên còn được mở rộng sang cả hàm số
2
y ax=
( a
0≠
). Để xét sự biến thiên
của nó:
Bài tập 2: Xét sự biến thiên của hàm số sau. y=f(x)=
2
x
Bài giải:
? Nêu cách làm.

? Ta phải xét mấy trường hợp.
?
1 2
( ) ( ) 0f x f x
− <
ta kết luận
được điều gì.
?
1 2
( ) ( ) 0f x f x
− >
ta kết luận
được gi.
Còn cách nào khác không ?
Cách 1:(sử dụng định nghĩa)
- Hàm số xác định với mọi x thuộc vào R.
Cho
1 2
;x x R
∈
bất kỳ sao cho
1 2
x x
<
hay
1 2
0x x
− <
- Xét
1 2

( ) ( )f x f x−
=
2 2
1 2 1 2 1 2
( )( )x x x x x x− = − +
Khi đó:
+ Nếu
1 2
; 0x x
>
(tức là
(0, )x ∈ +∞
)thì:
1 2
0x x
+ > ⇒
1 2 1 2
( )( ) 0x x x x− + <
Hay
1 2
( ) ( ) 0f x f x
− <
hàm số đồng biến trên
(0, )+∞
.
+ Nếu
1 2
; 0x x
<
(tức là

( ,0)x ∈ −∞
)thì:
1 2
0x x
+ < ⇒
1 2 1 2
( )( ) 0x x x x− + >
Hay
1 2
( ) ( ) 0f x f x
− >
hàm số nghịch biến trên
( ,0)−∞
.
Cách 2:
- Hàm số xác định với mọi x thuộc vào R.
Với
1 2
;x x R
∈
và
1 2
x x
≠
ta có:
Người thực hiện: Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao 11
11
Một số vấn đề về phương pháp hướng dẫn học sinh khai thác một số dạng toán về …
? Yêu cầu học sinh lên làm cách hai.
? Nhận xét và so sánh giữa hai cách làm.

2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
( ) ( )
( )( )
=
=
f x f x x x
A
x x x x
x x x x
x x
x x
− −
= =
− −
− +
−
+
Khi đó:
1 2
; 0x x
>
thì A >0 hàm số đồng biến trên
(0, )+∞
.
1 2

; 0x x
<
thì A <0hàm số Nghịch biến trên
( ,0)−∞
.
Tổng quát: Để xét sự biến thiên của hàm số: y=f(x)=
2
( 0)ax a ≠
ta làm như sau:
Hàm số xác định với mọi x thuộc R.
Với
1 2
;x x R
∈
và
1 2
x x
≠
ta có:

2 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
( ) ( )
( )( )
= ( )
f x f x ax ax

A
x x x x
a x x x x
a x x
x x
− −
= =
− −
− +
= +
−
Khi đó: a > 0 nếu
1 2
; 0x x
>
thì A >0 suy ra hàm số đồng biến trên
(0, )+∞
.
A <0 nếu
1 2
; 0x x
<
thì A <0 suy ra hàm số nghịch biến trên
( ,0)−∞
.
2. Dạng 2: Tìm điều kiện m nào đó thỏa mãn điều kiên của hàm số y=ax+b (a
0≠
)
Bài tập 1: Cho hàm số: y= mx- m - x+1.
a,Tìm m để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất.

b, Tìm m để hàm số nghịch biến trên R.
c, Tìm m để hàm số đi qua gốc tọa độ.
d, Tìm m để hàm số luôn đi qua A(0 ;5).
Bài giải :
Cho hàm số: y= mx- m - x+1.
a,Tìm m để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất.
b, Tìm m để hàm số nghịch biến trên R.
c, Tìm m để hàm số đi qua gốc tọa độ.
Người thực hiện: Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao 12
12
Một số vấn đề về phương pháp hướng dẫn học sinh khai thác một số dạng toán về …
? Hàm số trên là hàm số bậc nhất khi
nào.
? Với m = ? thì hàm số nghịc biến
trên R.
? Để hàm số đi qua O(0;0) thì ta làm
như thế nào.
? Nêu cách tìm m để hàm số luôn qua
A(0;5).
Giải :
a) Ta có : y= (m-1)x-
2
1m +
Để hàm số trên là hàm số bâc nhất khi :
m -1
≠
0 hay m
≠
1.
Vậy với m

≠
1 hàm số đã cho là hàm số bậc nhất.
b) Hàm số trên nghịch biến trên R khi :
m -1<0 hay m <1.
Vậy m <1 hàm số nghịch biến trên R.
c) Để hàm số đi qua O(0;0) có nghĩa x=0; y=0 ta có:
0 =(m-1).0-
2
1m +
⇔
2
1 1m m= ⇔ = ±
.
Vậy : m =-1 hàm số luôn đi qua gốc tọa độ.
d, Để hàm số luôn qua A(0 ;5) ta có.
5 =(m-1).0-
2
1m +
⇔
2
4 2m m
= ⇔ = ±
.
Vậy : m =-2 ; m =2 là giá trị cần tìm.
Lưu ý: Bài toán trên học sinh dễ mắc sai lầm ở phần c nếu không đối chiếu
điều kiện thì kết luận m =1 hàm số cũng đi qua gốc tọa độ.
Bài tập 2 : Cho hàm số :
1y mx m= − −
a, Tìm m để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất.
b, Tìm m để hàm số đồng biến R.

Bài giải :
? Nêu cách làm.
? Yêu cầu học sinh hoạt động nhóm 8
phần a (5 phút).
?Yêu cầu HS hoạt động nhóm 4 phần b
trong (3 phút)
Cho hàm số :
1y mx m= − −
a, Tìm m để hàm số đã cho là hàm số bậc nhất.
b, Tìm m để hàm số đồng biến R.
Giải
a) Hàm số trên là hàm số bậc nhất khi :
0 0
0 1 (*)
1 0 1
m m
m
m m
≠ ≠
 
⇔ ⇔ ≠ ≤
 
− ≥ ≤
 
Vậy:
0 1m≠ ≤
hàm số đã cho là hàm số bậc nhất.
b) Hàm số đồng biến trên R khi m >0.
Kết hợp điều kiện(*) ta được
0 1m< ≤

hàm số đồng biến trên R.
Trong lời giải trên:
Câu a: Học sinh dễ mắc sai lầm khi chỉ thiết lập điều kiện
0m ≠
nên kết quả bị sai.
Câu b: Nhiều em học sinh mắc sai lầm khi thiết lập điều kiện m >0 nhưng lai không
kết hợp với điều kiện (*) dẫn đến kết quả sai.
Người thực hiện: Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao 13
13
Một số vấn đề về phương pháp hướng dẫn học sinh khai thác một số dạng toán về …
3. Dạng 3: Tìm m để hàm số luôn qua một điểm cố định.
Giả sử điểm cố định là M (x
0
;y
0
) khi đó thay toạ độ M vào PT đường thẳng đưa
về PT có 1 ẩn rồi sử dụng phương pháp đồng nhất thức.
Bài tập 1 : Chứng minh rằng với mọi m thay đổi thì đường thẳng (d)có PT: (m+2)x+
(m-3)y - m + 8 = 0 luôn đi qua 1 điểm cố định. Tìm điểm ấy?
Bài giải :
? Để làm bài toaans trên ta làm như thế
nào.
? Yêu cầu học sinh lên bảng giải.
? Nhận xét và trả lời.
Giả sử điểm M (x
0
;y
0
) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn
đi qua với mọi m do đó ta có:

(m+2)x
0
+(m-3)y
0
- m +8 = 0 với mọi m
( )
08321
0000
=+−+−+⇔ yxmyx
với mọi m (*)
0 0
0 0
0 0
0 0
0
0
x +y -1=0
2x -3y +8=0
3x +3y =3
2x -3y =8
x =-1
y =2

⇔



⇔




⇔


Vậy với mọi m thì đường thẳng đã cho luôn đi qua điểm cố định
M(-1;2)
Lưu ý: Không phải lúc nào đường thẳng cũng có dạng như trên mà đòi hỏi phải
biến đổi để đưa về dạng trên. Sau đó ta nhóm các số hạng theo biến mà bài toán cho có
dạng (*) sau đó ta đi đến đồng nhất các hệ số cho bằng 0.
Bài tập 2: Cho họ đường thẳng có phương trình sau:

1 1
2 3 2 3
m m
y x
m m
− +
= − +
− −
Tìm điểm cố định mà đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định.
Bài giải:
? Yêu học sinh đọc đề bài.
? Hoạt động nhóm 8 trong (5 phút).
Nhận xét và trả lời.
Giả sử điểm M (x
0
;y
0
) là điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi
qua với mọi m do đó ta có:

0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0
( 1) (2 3) 1 0
( 2 1) 3 1 0
2 1 5
3 1 2
m x m y m
x y m x y
x y x
x y y
− + − − − =
⇔ + − − − − =
+ − =
 
⇔ ⇔
 
− − − = −
 
Vậy với mọi m thì đường thẳng đã cho luôn đi qua điểm cố định
M(5;-2).
Người thực hiện: Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao 14
14
Một số vấn đề về phương pháp hướng dẫn học sinh khai thác một số dạng toán về …
4. Dạng 4 : Lập phương trình đường thẳng.
1.Dạng 4.1: Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc k cho trước và đi qua điểm
M (x
0
; y

0
):
Phương pháp giải:
- Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b
- Thay a = k và toạ độ điểm M (x
0
; y
0
) vào phương trình đường thẳng để tìm b
 Phương trình đường thẳng cần lập.
Bài tập 1:
a, Lập phương trình đường thẳng đi qua M (2;-3) và song song với đường thẳng y = 4x
b, Lập phương trình đường thẳng đi qua A(1;3) và có hệ số góc là -4.
c, Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm B(-3;2) và tạo với tia ox một góc
0
45
.
d, Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm C(1;2) và chắn trên hai trục tọa độ
những đoạn thẳng bằng nhau.
Bài giải:
? Nêu cách làm.
Hoạt động nhóm 2 phàn a trong 3 phút.
? Nêu cách làm phần b.
Yêu cầu học sinh lên bảng làm.
? Nêu cách làm phần c.

Yêu cầu học sinh lên bảng giải.
? Nêu hướng giải quyết phần d.
Yêu cầu hoạt động nhóm 8 trong (7 phút).
a)- Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng : y = ax

+ b
song song với đường thẳng y = 4x  a = 4.
-Vì đường thẳng y= ax + b qua M( 2;-3)nên
ta có : -3 = 4.2 + b  b = -11
Vậy phương trình đường thẳng cần lập là:
y = 4x - 11
b) - Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng: y =
ax + b.
Vì đường thẳng đi qua A(1;3) nên ta có:
a+b=3 (1)
Mà đường thẳng này có hệ số góc bằng -4
nên ta có: a=-4 (2)
Từ (1)và (2) ta có hệ phương trình.
3 4
4 7
a b a
a b
+ = = −
 
⇔
 
= − =
 
Vậy đường thẳng cần lập là: y=-4x+7.
c) - Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng: y = ax
+ b.
Vì đường thẳng này tạo với trục ox một góc
0
45
nên ta có:

a=tan
0
45
=1
Nên đường thẳng có dạng y=x+b mà đi qua
B(-3;2) nên ta có: 2=-3+b hay b=5
Vậy đường thẳng cần lập là: y=x+5.
d) - Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng : y = ax
+ b.
Vì đường thẳng này đi qua C(1;2) nên ta có:
a+b=2
⇒
a=b-2 (1)
Gọi A, B theo thứ tự là giao điểm của đường thẳng với trục
oy và ox ta có A(0;b) và B(
b
a
−
;0)
Người thực hiện: Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao 15
15
Một số vấn đề về phương pháp hướng dẫn học sinh khai thác một số dạng toán về …
Báo cáo kết quả và rút ra kết luận.
Ví điều kiện OA= OB từ đó ta có:
2 2
2 2
2
( 2)
2 3 0
2 0

0
3
1
b b
b b
a b
b b b
b b b b b
b b b b b
b
b
b
−
= ⇔ =
−
⇔ − =
 
− = − =
⇔ ⇔
 
− = − − =
 
=


⇔ =


=


Khi đó:
- với b=0 thì a =2 ta có phương trình: y=2x.
- Với b=1 thì a =1 ta có phương trình đường thẳng là: y =x+1
- Với b =3 thì a =-1 ta có phương trình đường thẳng là: y =
-x+3
Qua bài tập trên ta luôn ghi nhận kết quả “ Mọi đường thẳng có hệ số góc k
luôn có phương trình y=kx+b”. khi đó để xác định phương trình đường thẳng chúng ta
chỉ cần xác định b.
2.Dạng 4.2: Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(x
1
;y
1
)và B (x
2
; y
2
):
Cách giải:
+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b
+ Thay toạ độ điểm A và B vào phương trình đường thẳng :



+=
+=
baxy
baxy
22
11

+ Giải hệ phương trình tìm a và b
⇒
Phương trình đường thẳng cần lập
Bài tập 2: Lập phương trình đường thảng đi qua A (2; 1) và B(-3; - 4).
Bài giải:
? Nêu cách làm.
Yêu cầu học sinh lên bảng giải.
?Còn cách nào khác không
Yêu cầu hoc sinh lên giải.
Nhận xét và rút ra kết luận.
Cách 1:
Giả sử phương trình đường thẳng cần lập có dạng:
y = ax + b
Vì đường thẳng đi qua A(2; 1) nên : 1 = a.2 + b (1)
Vì đường thẳng đi qua B (-3; -4) nên : -4 = a.(-3) + b (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
2 1 1
3 4 1
a b a
a b b
+ = =
 
⇔
 
− + = − = −
 
Vậy phương trình đường thẳng cần lập là y = x -1
Cách 2:
Phương trình đường thẳng cần lập là:
Người thực hiện: Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao 16

16
Một số vấn đề về phương pháp hướng dẫn học sinh khai thác một số dạng toán về …
1 2 1
1 2 1
1 5
1
2 5
1 2
1
y y y y
x x x x
y
x
y x
y x
− −
=
− −
− −
⇔ = =
− −
⇔ − = −
⇔ = −
Tổng quát: Cho hai điểm A(x
1
;y
1
)và B (x
2
; y

2
) thuộc đường thẳng (d) trong đó
1 2
x x
≠
ta dễ dàng chứng minh được:
+ Hệ số góc của đường thẳng (d) là:
2 1
2 1
y y
a
x x
−
=
−
+ Phương trình đường thẳng xác định bởi công thức:
1 2 1
1 2 1
y y y y
x x x x
− −
=
− −
Việc sử dụng công thức này có nhiều thuận lợi hơn, hoc sinh lập được dề dàng hơn.

5. Dạng 5: Tim điều kiện của tham số để xét vị trí tương đối giữa hai đường
thẳng.
Ta cũng cần nhớ lại vị trí tương đối của hai đường thẳng:Cho hai đường thẳng y =
ax + b (a
0

≠
) (d), y =
( 0)a x b a
′ ′ ′
+ ≠
(d’).
Ta cũng chú ý: Muốn hai đường thẳng thoả mãn vị trí tương đối cho trước thì hàm
số của các đường thẳng này phải là hàm số bậc nhất. Do vậy yêu cầu học sinh ghi nhớ
công thức sau để khi làm, tránh được lỗi bỏ quên không kết hợp điều kiện a
0≠
, a’
0≠
.
(d) // (d’)
⇔
'
'
a a
b b
=


≠

(d)
≡
(d’)
⇔
'
'

a a
b b
=


=

(d)
∩
(d’)
⇔
'a a
≠


(d)
⊥
(d’)
⇔
. ' 1a a
= −

Người thực hiện: Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao 17
17
Một số vấn đề về phương pháp hướng dẫn học sinh khai thác một số dạng toán về …
(d) cắt (d’) nhau tại một điểm trên trục tung
'
'
a a
b b

≠

⇔

=

Bài tập 1: Cho 2 đường thẳng lần lượt có phương trình:
y = (m-1)x + 2 (d)
y = 2x - n (d’)
a,Tìm m để đường thẳng (d) và đường thẳng (d’) cắt nhau.
b, Tìm m,n để (d) và (d’) trùng nhau.
c, Tìm m,n để (d) và (d’) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
d, Tìm m,n để (d) và (d’) song song vói nhau.
e, Tìm m để (d) và (d’) vuông góc với nhau.
Bài giải :
? Áp dụng kiến thức nào để làm phần
a.
? áp dụng kiến thức nào làm phần b.
? Nêu cách làm phần c.
? Nêu cách làm phần d.
? m =3 ; n =-2 hai đường thẳng có song
song không.
? Hai đường thẳng vuông góc khi nào.
a)Để đường thẳng (d) là hàm số bậc nhât khi:
1 0 1m m− ≠ ⇔ ≠
a) Để (d) và (d’) cắt nhau khi:
1 2 3m m
− ≠ ⇔ ≠
Vậy
1; 3m m

≠ ≠
thì (d) cắt (d’).
b) Để (d) và (d’) trùng nhau khi:
1 2 3
2 2
m m
n n
− = =
 
⇔
 
= − = −
 
Vậy m =3; n =-2 thì (d) và (d’) trùng nhau.
c) Để (d) và (d’) cắt nhau tại một điểm trên trục tung khi.
1 2 3
2 2
m m
n n
− ≠ ≠
 
⇔
 
= − = −
 
Vậy
3; 2m n
≠ = −
thì (d) và (d’) cắt nhau một điểm trên trục
tung.

d) Để (d) và (d’) song song với nhau khi.
1 2 3
2 2
m m
n n
− = =
 
⇔
 
≠ − ≠ −
 
Vậy
3; 2m n
= ≠ −
thì (d) và (d’) song song với nhau.
e) Để (d) và (d’) vuông góc với nhau khi:
Người thực hiện: Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao 18
18
Một số vấn đề về phương pháp hướng dẫn học sinh khai thác một số dạng toán về …
1
( 1).2 1 1
2
1

2
m m
m
−
− = − ⇔ − =
⇔ =

Vậy
1
2
m =
thì (d) và (d’) vuông góc với nhau.
6. Dạng 6: Tìm tọa độ giao điểm giữa hai đường thẳng, tính độ dài, chu vi, diện
tích…
Ta cần nhớ lại những kiến thức cơ bản về sự tương giao của hai đường thẳng:
- Trước hết, các đường thẳng phải là đồ thị của hàm số bậc nhất: Tức là a ≠ 0
- Cho (d) là đồ thị của hàm số y = f(x) và một điểm A(x
A;
y
A
) ta sẽ có:
A
( ) ( )
A A
d y f x
∈ ⇔ =
A
( ) ( )
A A
d y f x
∉ ⇔ ≠
Muốn tìm toạ độ điểm chung của đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) ta tìm nghiệm của
hệ phương trình:
y = f(x)
y = g(x)




Vì vậy hoành độ giao điểm chung của hai đồ thị chính là nghiệm của hệ phương
trình trên.
Bài tập 1: Cho hai hàm số y = x + 3 (d) và hàm số y = 2x + 1 (d’)
a,Vẽ đồ thị hai hàm số trên cùng một hệ trục toạ độ.
b,Tìm toạ độ giao điểm A nếu có của hai đồ thị.
c, Gọi B và C lần lượt là giao điểm của đồ thi y=x+3 và y=2x+1 voi trục ox.Tìm tọa độ
B,C và tính độ dài AB, AC, BC ra đơn vi là centimet.
d,Tính chu vi tam giác ABC, các góc của tam giác ABC làm tròn đến độ.
e,Tính diện tích tam giác ABC.
Bài giải:
? Yêu cầu học sinh đọc đề bài.
Hoạt động nhóm 8 làm phần a trong 5
phút .
a) Vẽ đồ thị hàm số:
+ y=x+3
Cho x=0 thì y=3 suy ra: TD(0;3)
Người thực hiện: Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao 19
19
Một số vấn đề về phương pháp hướng dẫn học sinh khai thác một số dạng toán về …
Các nhóm báo cáo và nhận xét.
? Nêu cách giải phần b
? Yêu cầu học sinh lên bảng giải.
? áp dụng kiến thức nào để làm phần c.
? Hoạt động nhóm 4 trong 3 phút.
? áp dụng kiến thức nào để làm phần d,e.
? Hoạt động nhóm 8 phần d,e trong 7
phút.
Nhận xét và rút ra kết luận
Cho y=0

3 0 3 ( 3;0)x x TD⇔ + = ⇔ = − ⇒ −
+ y=2x+1
Cho x=0 thì y=1 suy ra: TD(0;1)
cho y=0
1 1
2 1 0 ( ;0)
2 2
x x TD
− −
⇔ + = ⇔ = ⇒
b) Gọi A(x;y) là giao điểm của hai đồ thị y=x+3 và y=2x+1 ta có
hệ phương trình sau:
3 2
2 1 5
x y x
x y y
− = − =
 
⇔
 
− = − =
 
Vậy A(2;5) là giao điểm cần tìm của hai đồ thị.
c) Ta có: B(-3;0); C(
1
2
−
;0); A(2;5)
Độ dài cạnh AB là:
2 2

(2 3) (5 0)
= 50
= 5 2 (cm)
AB
= + + −
Độ dài cạnh AC là:
2 2
1
(2 ) (5 0)
2
25
= 25
4
= 2.5 5 (cm)
AC = + + −
+
Độ dài cạnh BC là: BC=2.5 (cm)
Người thực hiện: Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao 20
20
Một số vấn đề về phương pháp hướng dẫn học sinh khai thác một số dạng toán về …
d) Chu vi cua r tam giác ABC là:
p =AB+AC+BC
p =
5 2 2.5 5 2.5 15.1612 (cm)
+ + ≈
Xét tam giác ABC ta có:
µ µ
0 '
tan 2 63 26C C= ⇒ ≈
µ µ

0 '
tan3 71 34B B= ⇒ ≈
Do đó:
µ
µ
µ
0 0 0
0
A 180 ( ) 180 135
= 45
B C= − + = −
e) Diện tích tam giác ABC là:
2
1 1
2.5 5 13( )
2 2
S BC AH cm
= × × = × × =
Nhận xét: Gặp dạng toán này học sinh thường vẽ đồ thị hai hàm số trên rồi tìm toạ độ
giao điểm (x;y), tuy nhiên gặp những bài khi x và y không là số nguyên thì tìm toạ độ
bằng đồ thị sẽ khó tìm chính xác giá trị của x; y.
7. Dạng 7: Chứng minh ba
( ; ); ( ; ); ( ; )
A A B B C C
A x y B x y C x y
điểm thẳng hàng.
Phương pháp giải:
Bước 1: Lập PT đường thẳng đi qua hai điểm (tọa độ dơn giản).
Bước 2: Chứng tỏ rằng điểm còn lại thuộc vào đường thẳng vừa lập được
Bước3: Kết luận

( Nếu bài toán Tìm ĐK thì Bước2: Để 3 điểm thẳng hàng thì điểm còn lại phải thuộc
vào PT đường thẳng vừa lập).
Bài tập 1: Cho ba điểm A(3,5); B(-1; -7); C(1;-1). Chứng minh ba điểm A,B,C thẳng
hàng.
Bài giải:
Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta
làm như thế nào?
? áp dung phương pháp trên
Yêu cầu học sinh lên bảng giải.
Phương trình đường thẳng đi qua AC là:
1 1
2 6
3( 1) 1
3 4
3x-y=4 (1)
x y
x y
y x
− +
=
− −
− = +
= −
Để ba điểm A,B,C thẳng hàng thì điểm B(-1;-7) phải thuộc vào
đường thẳng AC hay cặp điểm(-1;-7) là nghiệm của phương trình
(1)
Người thực hiện: Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao 21
21
Một số vấn đề về phương pháp hướng dẫn học sinh khai thác một số dạng toán về …
VT=3x-y =-3+7 =4 =VP

Vậy điểm B(-1;-7) thược vào đường thẳng AC
Do đó ba điểm A,B,C thẳng hàng.
8. Dạng 8: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy.
Để 3 đường thẳng đồng quy
(d1): a
1
x+b
1
y=c
1
(d2): a
2
x+b
2
y=c
2
(d3): a
3
x+b
3
y=c
3
Phương pháp giải:
Bước 1:+ Tìm giao điểm của hai đường thẳng giả sử (d1) và (d2) là M(x
0
;y
0
)
Bước 2:+ Chứng tỏ rằng M
∈

(d3)
Bước 3: + Kết luận 3 đường thẳng đồng quy tại M.
( Nếu bài toán Tìm ĐK thì Bước2 : Để 3 đt đồng quy thì M
∈
(d3); B3: KL theo yêu
cầu bài toán)
Bài tập 1: Cho ba đường thẳng: (d): y=2x-1; (d’): y=-x+2; (d”): y=ax+3. Xác định a
để ba đường thẳng đồng quy.
Bài giải:
?Nêu cách làm chứng minh ba
đường thẳng đồng quy.
? Yêu cầu học sinh lên bảng làm
Nhân xét và rút ra kết luận.
Giả sử điểm I(
0 0
; )x y
là giao điểm của hai đường thẳng (d) và (d’) khi
đó:
I thuộc vào (d) nên:
0 0
2 1 (1)y x= −
I thuộc vào đường thẳng (d’) nên:
0 0
2 (2)y x
= − +
Từ (1) và (2) ta có:
0 0
0
0
2 1 2

3 3
1
x x
x
x
− = − +
⇔ =
⇔ =
Với
0 0
1 y 1x
= ⇒ =
do đó: I(1;1)
Để (d), (d’), (d”) đồng quy thì I(1;1) phải thuộc vào (d”)
hay:
1 3 2a a= + ⇔ = −
Vậy a =-2 thì (d), (d’), (d”) đồng quy tại I.
9. Dạng 9: Vị trí tương đối của Parabol (P) và đường thẳng (d).
Phương pháp giải:
Người thực hiện: Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao 22
22
Một số vấn đề về phương pháp hướng dẫn học sinh khai thác một số dạng toán về …
Hoành độ giao điểm của parabol y = ax
2
(a
≠
0) và đường thẳng y = mx + n l
nghiệm của phương trình : ax
2
= mx + n

⇔
ax
2
- mx - n = 0 (1)
1. Nếu phương trình (1) có
, ' 0
∆ ∆ >
thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt,
đường thẳng cắt parabol tại hai điểm phân biệt (hình 1).
2. Nếu phương trình (1) có
, ' 0
∆ ∆ <
thì phương trình (1) vô nghiệm, đường thẳng
không cắt parabol (hình 2).
3 Nếu phương trình (1) có
, ' 0
∆ ∆ =
thì phương trình (1) có nghiệm kép, đường thẳng
tiếp xúc với parabol (hình 3).
* Chú ý: Một đường thẳng được gọi là tiếp xuc với parabol nếu có một điểm
chung duy nhất với parabol và parabol nằm về một phía của đường thẳng.
Trường hợp đường thẳng x = m cũng chỉ có một điểm chung duy nhất với
parabol nhưng ta không gọi là tiếp xúc với parabol (hình 4).
Hình 1 Hình 2 Hình 3 Hình 4
Bài tập 1: Cho parabol y =
1
2
x
2

và đường thẳng y =
−
1
2
x + n
a, Tìm n để đường thẳng tiếp xúc với parabol.
b, Tìm n để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm.
c, Tìm tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng khi n = 1.
Bài giải:
? Nêu cách làm phần a.
? Khi nào phương trình (1) có nghiệm
kép.
? Yêu cầu học sinh lên làm.
? Khi nào đường thẳng này cắt (P).
a) Phương trình hoành độ giao điểm là:
2
2
1 1
2 2
2 0 (1)
x x n
x x n
−
= +
⇔ + − =
Để đường thẳng tiếp xúc với parabol thì phương trình (1) phải có
nghiệm kép
Có nghĩa:
1 8 0n
∆ = + =

Người thực hiện: Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao 23
10
8
6
4
2
-2
-5 5
10
8
6
4
2
-2
-5 5
10
8
6
4
2
-2
-5 5
x=m
10
8
6
4
2
-2
-5 5

f x
( )
= x
2
A
23
Một số vấn đề về phương pháp hướng dẫn học sinh khai thác một số dạng toán về …
? Yêu cầu học sinh lên làm.
? Nêu cách làm phần c
? Yêu câu fhoatj động nhóm 4 trong 5
phút.
Nhận xét và rút ra kết luận.
8 1
1
8
n
n
⇔ = −
−
⇔ =
Vậy với
1
8
n
−
=
thì đường thẳng và đồ thị tiếp xúc nhau.
b) Để đường thẳng cắt parabol tại hai điểm thì (1) phải có hai
nghiệm phân biệt.
Có nghĩa:

1 8 0
8 1
1
8
n
n
n
∆ = + >
⇔ > −
−
⇔ >
Vậy với
1
8
n
−
>
thì đường thẳng và đồ thị cắt nhau tại hai điểm.
c) Giả sử
1 1 2 2
( ; ); ( ; )A x y B x y
là phương trình hoành độ giao
điểm của đường thẳng và parabol:
2
2
1 1
2 2
2 0 (2)
x x n
x x n

−
= +
⇔ + − =
Với n=1 thì phương trình (2) có dạng:
2
2 0x x+ − =
Vì a+b+c =1+1-2=0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
1 2
1; 2x x= = −
Với
1
1x =
thì
1
1
2
y =
nên
1
(1; )
2
A
Với
2
2x = −
thì
2
2y =
nên

( 2;2)B −
11. Dạng 10: Tìm các điểm thuộc vào (P) thỏa mãn một tính chất cho trước.
Bài tập 1: Cho hàm số
2
( 1)y m x= −
(P).
a, Xác định m để đồ thị hàm số đi qua A(1;-1) và vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được.
b, Tìm điểm thuộc (P) nói trên có hoành độ bằng 5.
c, Tìm điểm thuộc (P) nói trên có tung độ bằng -4.
d, Tìm điểm thuộc (P) có tung độ gấp đôi hoành độ.
Bài giải:
? Nêu cách làm phần a a) Vì đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;-1)nên.
Người thực hiện: Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao 24
24
Một số vấn đề về phương pháp hướng dẫn học sinh khai thác một số dạng toán về …
? Yêu cầu học sinh lên làm.
Nhận xét.
? áp dụng kiến thức nào để làm phần b.
? Nêu cách làm phần c.
? Nêu cách làm phần d.
Nhận xét và rút ra kết luận.
1 ( 1).1 1 1 0m m m− = − ⇔ − = − ⇒ =
Vậy m =0 thì hàm số có dạng:
2
(P)y x= −
Lập bảng giá trị của hàm số:
x -2 -1 0 1
2
y x= −
-4 -1 0 -1

Đồ thị:
b) Gọi điểm B(x;y) thuộc (P) có hoành độ bằng 5 nên
B(5;b) suy ra:
2
5 25b b= − ⇔ = −
Vậy điểm B(5;-25) là điểm cần tìm.
c) Gọi điểm
1 1
( ; )C x y
thuộc vào (P) có tung độ
bằng -4 nên C(a;-4) nên:
2
4 2a a− = − ⇔ = ±
Vậy ta nhận được hai điểm cần tìm:
1 2
( 2; 4); (2; 4)C C− − −
.
d) Gọi
2 2
( ; )M x y
là điểm thuộc vào (P) có tung độ
gấp đôi hoành độ. Do đó : M(n ;2n) nên.
2 2
2 2 0 ( 2) 0
0
2
n n n n n n
n
n
= − ⇔ + = ⇔ + =

=

⇔

= −

Với n=0 ta được O(0 ;0)
Với n=-2 ta được điểm M(-2 ;-4)
Vậy có hai điểm thỏa mẫn yêu cầu đề bài.
12. Dạng 11: Lập phương trình đường thẳng có một điểm chung với (P) khi biết
hệ số góc hoặc biết một điểm thuộc đường thẳng đó.
1. Dạng toán11.1: Lập phương trình đường thẳng có hệ số góc k và tiếp xúc với
đường cong y = a’x
2
(P).
Cách giải :
+ Nêu dạng phương trình đường thẳng : y = ax + b (d)
+ Theo bài ra a = k
Người thực hiện: Vũ Xuân Tú trường THCS Võ Lao 25
-2
-4
-1
y
x
2
-2
1
-1
0
g x

( )
= -x
×
x
25