sline bài giảng quản trị rủi ro tài chính chương 12

Options, Futures, and Other Derivatives, 6
th
Edition, Copyright © John C. Hull 2005
Wiener Process và Itô
Lemma
Chương 12
Options, Futures, and Other Derivatives, 6
th
Edition, Copyright © John C. Hull 2005
Các loại phân tích số liệu theo phương
pháp ngẫu nhiên (Stochastic)

Thời gian rời rạc; Biến rời rạc

Thời gian rời rạc; Biến liên tục

Thời gian liên tục; Biến rời rạc

Thời gian liên tục; Biến liên tục
Options, Futures, and Other Derivatives, 6
th
Edition, Copyright © John C. Hull 2005
Lập mô hình giá cổ phiếu

Chúng ta có thể sử dụng bất kỳ loại nào trong 4
loại phân tích số liệu theo phương pháp ngẫu
nhiên kể trên để lập mô hình giá cổ phiếu.

Phương pháp thời gian liên tục, biến liên tục sẽ
chứng minh là phương pháp hữu ích nhất đối với
mục đích định giá các sản phẩm phái sinh.

Options, Futures, and Other Derivatives, 6
th
Edition, Copyright © John C. Hull 2005
Phương pháp Markov (Xem trang 263-
64)

Trong phương pháp Markov những biến
động tương lai trong một biến chỉ phụ
thuộc vào việc chúng ta đang ở đâu chứ
không phải việc làm thế nào chúng ta
đến được nơi chúng ta đang đứng.

Chúng ta giả định rằng giá cổ phiếu
tuân theo phương pháp Markov
Options, Futures, and Other Derivatives, 6
th
Edition, Copyright © John C. Hull 2005
Thị trường hiệu quả dạng yếu

Thị trường hiệu quả dạng yếu khẳng định
rằng không thể đạt được mức sinh lợi cao
bất thường nếu giao dịch chỉ dựa trên lịch
sử giá cổ phiếu trong quá khứ. Nói cách
khác, phân tích kỹ thuật là không có tác
dụng.

Phương pháp Markov về giá cổ phiếu rõ
ràng phù hợp với thị trường hiệu quả dạng
yếu.
Options, Futures, and Other Derivatives, 6

th
Edition, Copyright © John C. Hull 2005
Ví dụ về một mô hình có thời gian rời
rạc, biến liên tục

Giá cổ phiếu hiện nay là $40

Sau một năm, giá cổ phiếu sẽ có phân
phối xác suất φ(40,10) với φ(µ,σ) là một
phân phối chuẩn với trung bình là µ và độ
lệch chuẩn là σ.
Options, Futures, and Other Derivatives, 6
th
Edition, Copyright © John C. Hull 2005
Câu hỏi

Phân phối xác suất của giá cổ phiếu vào
cuối năm 2 sẽ là phân phối gì?

½ năm?

¼ năm?

∆t năm?
với giới hạn chúng ta đã quy định là theo
phương pháp thời gian liên tục, biến liên
tục
Options, Futures, and Other Derivatives, 6
th
Edition, Copyright © John C. Hull 2005

Phương sai và độ lệch chuẩn

Trong phương pháp Markov những thay
đổi trong những giai đoạn sau là độc lập
với nhau

Điều này có nghĩa phương sai là được
cộng thêm vào

Độ lệch chuẩn không được cộng thêm
vào
Options, Futures, and Other Derivatives, 6
th
Edition, Copyright © John C. Hull 2005
Phương sai và độ lệch chuẩn (tiếp theo)

Trong ví dụ của chúng ta, nói rằng
phương sai là 100 một năm là đúng

Nói rằng độ lệch chuẩn là 10 một năm
là hoàn toàn sai.
Options, Futures, and Other Derivatives, 6
th
Edition, Copyright © John C. Hull 2005
Wiener Process
(Xem trang 265-67)

Chúng ta xét biến z là biến có giá trị thay đổi liên
tục


Thay đổi trong một khoảng thời gian nhỏ ∆t là ∆z

Biến này sẽ tuân theo Wiener process nếu
1.
2. Giá trị ∆z của hai giai đoạn bất kỳ khác nhau
(không trùng nhau) là độc lập với nhau
tz
∆=∆
ε
Với ε là φ (o,1)
Options, Futures, and Other Derivatives, 6
th
Edition, Copyright © John C. Hull 2005
Các đặc tính của Process Wiener

Trung bình của [z (T ) – z (0)] là 0

Phương sai của [z (T ) – z (0)] là T

Độ lệch chuẩn của [z (T ) – z (0)] là
T
Options, Futures, and Other Derivatives, 6
th
Edition, Copyright © John C. Hull 2005
Giới hạn. . .

Một biểu thức liên quan đến dz và dt có ý nghĩa gì?

Nó có ý nghĩa là biểu thức tương ứng liên quan đến
∆z và ∆t là đúng khi ∆t có xu hướng tiến về 0.


Ở khía cạnh này, phép tính ngẫu nhiên (stochastic)
cho kết quả giống với phép tính bình thường.
Options, Futures, and Other Derivatives, 6
th
Edition, Copyright © John C. Hull 2005
Wiener Process tổng quát
(Xem trang 267-69)

Wiener Process có một tỷ lệ dịch
chuyển (drift rate) (cụ thể là thay đổi
trung bình trên một đơn vị thời gian)
giữa 0 và tỷ lệ biến thiên 1.

Trong Wiener Process tổng quát, tỷ lệ
dịch chuyển và tỷ lệ biến thiên có thể
được chọn cho bằng một con số cố
định nào đó.
Options, Futures, and Other Derivatives, 6
th
Edition, Copyright © John C. Hull 2005
Wiener Process tổng quát
(tiếp theo)
Biến x sẽ tuân theo Wiener Process
tổng quát có tỷ lệ dịch chuyển a và tỷ
lệ biến thiên b
2
nếu
dx=a dt+b dz
Options, Futures, and Other Derivatives, 6

th
Edition, Copyright © John C. Hull 2005
Wiener Process tổng quát
(Tiếp theo)

Thay đổi trung bình của x tại thời điểm T là aT

Phương sai của thay đổi của x tại thời điểm T
là b
2
T

Độ lệch chuẩn của thay đổi của x tại thời điểm
T là
tbtax
∆ε+∆=∆

b T
Options, Futures, and Other Derivatives, 6
th
Edition, Copyright © John C. Hull 2005
Xem lại ví dụ

Một cổ phiếu có giá ban đầu là 40 và phân phối
xác xuất φ(40,10) vào cuối năm

Nếu chúng ta giả định rằng phương pháp phân
tích số liệu ngẫu nhiên là Markov nhưng không
có tỷ lệ dịch chuyển thì phương pháp này sẽ là
dS = 10dz


Nếu kỳ vọng giá cổ phiếu sẽ tăng trung bình
thêm $8 trong năm, thì phân phối xác suất vào
cuối năm sẽ là φ(48,10), lúc đó phương pháp
này sẽ là
dS = 8dt + 10dz
Options, Futures, and Other Derivatives, 6
th
Edition, Copyright © John C. Hull 2005
Phương pháp Itô (Xem trang 269)

Trong phương pháp Itô tỷ lệ dịch chuyển
và tỷ lệ biến thiên là hàm số theo thời
gian
dx=a(x,t) dt+b(x,t) dz

Tương đương thời gian rời rạc
chỉ đúng khi ∆t có xu hướng tiến về 0
ttxbttxax
∆ε+∆=∆
),(),(
Options, Futures, and Other Derivatives, 6
th
Edition, Copyright © John C. Hull 2005
Tại sao Wiener Process tổng quát lại
không phù hợp với cổ phiếu

Đối với giá cổ phiếu trong ngắn hạn, chúng ta
có thể cho rằng giá cổ phiếu kỳ vọng có thể
thay đổi giá trị tuyệt đối mà không thay đổi tỷ lệ

phần trăm.

Chúng ta cũng không thể chắc rằng mức biến
động giá cổ phiếu trong tương lai sẽ tỷ lệ thuận
với mức giá cổ phiếu.
Options, Futures, and Other Derivatives, 6
th
Edition, Copyright © John C. Hull 2005
Phương pháp Ito đối với giá cổ phiếu
(Xem trang 269-71)
với µ là lợi nhuận kỳ vọng
σ là độ biến động.
Tương đương thời gian rời rạc là
dzSdtSdS
σ+µ=
tStSS
∆εσ+∆µ=∆
Options, Futures, and Other Derivatives, 6
th
Edition, Copyright © John C. Hull 2005
Mô phỏng Monte Carlo

Chúng ta có thể thử các chuỗi giá cổ
phiếu ngẫu nhiên bằng cách chọn mẫu
các giá trị ε

Giả sử µ= 0.14, σ= 0.20, và ∆t = 0.01, thì
ε+=∆
SSS 02.00014.0
Options, Futures, and Other Derivatives, 6

th
Edition, Copyright © John C. Hull 2005
Mô phỏng Monte Carlo – Một chuỗi giá
(One Path) (Xem Bảng 12.1, trang 272)

Options, Futures, and Other Derivatives, 6
th
Edition, Copyright © John C. Hull 2005
Itô Lemma (Xem các trang 273-274)

Nếu chúng ta biết phương pháp phân tích ngẫu
nhiên (stochastic) tính theo x, thì Itô Lemma cho
biết phương pháp ngẫu nhiên theo hàm G (x, t )
bất kỳ

Vì chứng khoán phái sinh là một hàm phụ thuộc
vào thời gian và giá của sản phẩm cơ sở, nên bổ
đề Itô đóng một phần quan trọng trong phân tích
chứng khoán phái sinh.
Options, Futures, and Other Derivatives, 6
th
Edition, Copyright © John C. Hull 2005
Khai triển chuỗi Taylor

Khai triển chuỗi Taylor của hàm G(x, t)
cho

+∆
∂
∂

+∆∆
∂∂
∂
+
∆
∂
∂
+∆
∂
∂
+∆
∂
∂
=∆
2
2
22
2
2
2
t
t
G
tx
tx
G
x
x
G
t

t
G
x
x
G
G
½
½
Options, Futures, and Other Derivatives, 6
th
Edition, Copyright © John C. Hull 2005
Bỏ qua các điều kiện về bậc cao hơn
∆t
x
∆
2
2
2
½


x
x
G
t
t
G
x
x
G

G
t
t
G
x
x
G
G
∆+∆+∆=∆
∆+∆=∆
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
Theo cách tính bình thường chúng ta có
Theo cách tính ngẫu nhiên thì kết quả là
Bởi vì có một thành phần có bậc
t
∆
Options, Futures, and Other Derivatives, 6
th
Edition, Copyright © John C. Hull 2005
Thay thế ∆x
tb

x
G
t
t
G
x
x
G
G
tbtax
dztxbdttxadx
∆+∆+∆=∆
∆∆∆
+=
22
2
2
½
+ =
),(),(
ε
∂
∂
∂
∂
∂
∂
ε
Giả sử
Để

Sau đó bỏ qua điều kiện về bậc cao hơn ∆t