Ảnh hưởng của sóng điện từ mạnh lên hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử có kể đến hiệu ứng giam cầm của phonon (trường hợp tán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.83 MB, 59 trang )
1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
LÊ VIỆT PHƢƠNG
ẢNH HƢỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH BIẾN ĐIỆU LÊN HỆ SỐ HẤP
THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG HỐ LƢỢNG
TỬ CÓ KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG GIAM CẦM CỦA PHONON
(TRƢỜNG HỢP TÁN XẠ ĐIỆN TỬ-PHONON ÂM)
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết & vật lý toán
Mã số: 60 44 01
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS ĐINH QUỐC VƢƠNG
Hà Nội – 2012
2
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu và khám phá các tính chất của các hệ
thấp chiều như: hố lượng tử, siêu mạng pha tạp, siêu mạng hợp phần, hố lượng tử,
chấm lượng tử ngày càng được chú trọng. Sự giam cầm điện tử và phonon trong các hệ
thấp chiều làm tăng độ linh động của điện tử và dẫn đến những các phản ứng khác biệt
đối với các tác nhân bên ngoài ( sóng điện từ, từ trường …).
Việc chuyển từ hệ bán dẫn khối sang các hệ bán dẫn thấp chiều đã làm thay đổi
hầu hết các tính chất của điện tử. Ở bán dẫn khối, các điện tử có thể chuyển động trong
toàn mạng tinh thể, nhưng ở các hệ thấp chiều chuyển động của điện tử sẽ bị giới hạn.
Tuỳ thuộc vào cấu trúc bán dẫn cụ thể mà chuyển động tự do của các hạt tải (điện tử,
lỗ trống,…) bị giới hạn mạnh theo một, hai, hoặc cả ba chiều trong không gian mạng
tinh thể. Hạt tải chỉ có thể chuyển động tự do theo hai chiều (hệ hai chiều, 2D) hoặc
một chiều (hệ một chiều, 1D), hoặc bị giới hạn theo cả 3 chiều (hệ không chiều,
0D).[1-6] Việc chuyển từ hệ vật liệu có cấu trúc ba chiều sang hệ vật liệu có cấu trúc
thấp chiều đã làm thay đổi đáng kể cả về mặt định tính cũng như định lượng các tính
chất vật lý của vật liệu như: tính chất quang, tính chất động (tán xạ điện tử-phonon, tán
xạ điện tử - tạp chất, tán xạ bề mặt, v.v…). Nghiên cứu cấu trúc cũng như các hiện
tượng vật lý trong hệ bán dẫn thấp chiều cho thấy, cấu trúc thấp chiều đã làm thay đổi
đáng kể nhiều đặc tính của vật liệu và làm xuất hiện nhiều đặc tính mới ưu việt hơn mà
các hệ điện tử chuẩn ba chiều không có. [7-14]
Hố lượng tử là hệ hai chiều khi mà điện tử và có thể cả phonon bị hạn chế theo
một chiều, chỉ chuyển động tự do theo một chiều. Chính sự hạn chế chuyển động này
đã làm cho các hiệu ứng vật lý, các tính chất vật lý trong hố lượng tử khác nhiều so với
bán dẫn khối.
Trong số các hiệu ứng vật lý gây bởi tương tác trường sóng điện từ mạnh cao tần
(laser) lên bán dẫn nói chung và bán dẫn thấp chiều nói riêng thì đáng chú ý trong đó
có hấp thụ phi tuyến sóng điện từ mạnh bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử. Bài
toán này đã được giải quyết đối với bán dẫn khối và một phần lý thuyết hấp thụ phi
tuyến trong hố lượng tử hình chữ nhật gần đây đã được nghiên cứu nhưng chưa tính
3
đến ảnh hưởng của phonon giam cầm mà mới chỉ để ý đến sự giam cầm của điện tử.
Khi tính lượng tử và sự giam cầm tăng lên thì không thể bỏ qua ảnh hưởng của phonon
giam cầm. Bởi vậy trong luận văn này, chúng tôi sẽ nghiên cứu lý thuyết hấp thụ phi
tuyến sóng điện từ mạnh biến điệu bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử có kể đến
ảnh hưởng của phonon giam cầm và tính toán cụ thể cho trường hợp hấp thụ gần
ngưỡng và khảo sát kết quả thu được đối với hố lượng tử AlAs/GaAs/AlAs.
2. Mục đích, đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Mục đích:
- Nghiên cứu ảnh hưởng của phonon giam cầm lên hấp thụ phi tuyến sóng điện từ
mạnh biến điệu biên độ bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử ( trường hợp tán xạ
điện tử - phonon âm).
- Tính toán số các kết quả lý thuyết cho hố lượng tử AlAs/GaAs/AlAs.
Đối tượng: hố lượng tử .
Phạm vi: Tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ yếu (hấp thụ gần ngưỡng)
3. Phƣơng pháp nghiên cứu.
- Để tính hệ số hấp thụ phi tuyến sóng điện từ yếu trong hố lượng tử có thể sử
dụng nhiều phương pháp khác nhau như phương pháp hàm Green, phương pháp tích
phân phiếm hàm, phương pháp phương trình động lượng tử…Trong luận văn này,
chúng tôi sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử cho điện tử để giải quyết.
Đây là phương pháp được sử dụng nhiều khi nghiên cứu các hệ thấp chiều và cho hiệu
quả cao.[7-14] Từ Hamilton của hệ điện tử - phonon trong biểu diễn lượng tử hóa lần
hai, ta xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử và phonon giam cầm trong hố
lượng tử, sau đó áp dụng phương trình động lượng tử để tính mật độ dòng hạt tải, cuối
cùng suy ra biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ.
- Sử dụng phần mềm Matlab để tính số và vẽ đồ thị.
4. Bố cục của luận văn.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn gồm có 3
chương:
4
Chƣơng 1: Giới thiệu tổng quan về hố lượng tử và bài toán về hệ số hấp thụ
sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong bán dẫn khối khi có mặt trường bức xạ
laser.
Chƣơng 2: Phương trình động lượng tử và biểu thức giải tích của hệ số hấp thụ
sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong hố lượng tử dưới ảnh hưởng của sóng
điện từ mạnh biến điệu có kể đến ảnh hưởng của phonon giam cầm (trường hợp tán xạ
điện tử – phonon âm).
Chƣơng 3: Tính toán số và biện luận kết quả cho hố lượng tử AlAs/GaAs/AlAs.
Kết quả chính của luận văn được trình bày trong chương 2 và chương 3. Kết quả
cho thấy hệ số hấp thụ α phụ thuộc phi tuyến vào cường độ sóng điện từ mạnh E
01
, tần
số sóng điện từ Ω
1 và
Ω
2
, phụ thuộc phức tạp và không tuyến tính vào nhiệt độ T, độ
rộng hố L và các chỉ số giam cầm.
5
Chƣơng 1
TỔNG QUAN VỀ HỐ LƢỢNG TỬ VÀ BÀI TOÁN HẤP THỤ SÓNG
ĐIỆN TỪ YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG BÁN DẪN
KHỐI KHI CÓ MẶT SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH
1.1 Tổng quan về hố lƣợng tử.
1.1.1 Khái niệm về hố lượng tử
Hố lượng tử (Quantum well) là một cấu trúc thuộc hệ điện tử chuẩn hai chiều,
được cấu tạo bởi các chất bán dẫn có hằng số mạng xấp xỉ bằng nhau, có cấu trúc tinh
thể tương đối giống nhau. Tuy nhiên, do các chất khác nhau sẽ xuất hiện độ lệch ở
vùng hóa trị và vùng dẫn. Sự khác biệt giữa cực tiểu vùng dẫn và cực đại vùng hóa trị
của các lớp bán dẫn đó đã tạo ra một giếng thế năng đối với các điện tử, làm cho chúng
không thể xuyên qua mặt phân cách để đi đến các lớp bán dẫn bên cạnh. Và do vậy
trong cấu trúc hố lượng tử, các hạt tải điện bị định xứ mạnh, chúng bị cách ly lẫn nhau
bởi các hố thế lượng tử hai chiều được tạo bởi mặt dị tiếp xúc giữa hai loại bán dẫn có
độ rộng vùng cấm khác nhau. Đặc điểm chung của các hệ điện tử trong cấu trúc hố
lượng tử là chuyển động của điện tử theo một hướng nào đó (thường trọn là hướng z)
bị giới hạn rất mạnh, phổ năng lượng của điện tử theo trục z khi đó bị lượng tử hoá,
chỉ còn thành phần xung lượng của điện tử theo hướng x và y biến đổi liên tục.
Một tính chất quan trọng xuất hiện trong hố lượng tử do sự giam giữ điện tử là
mật độ trạng thái đã thay đổi. Nếu như trong cấu trúc với hệ điện tử ba chiều, mật độ
trạng thái bắt đầu từ giá trị 0 và tăng theo quy luật
1/ 2
(với
là năng lượng của điện
tử), thì trong hố lượng tử cũng như các hệ thấp chiều khác, mật độ trạng thái bắt đầu
tại một giá trị khác 0 nào đó tại trạng thái có năng lượng thấp nhất và quy luật khác
1/ 2
.
Các hố thế có thể được xây dựng bằng nhiều phương pháp như epytaxy chùm
phân tử (MBE) hay kết tủa hơi kim loại hóa hữu cơ (MOCVD). Cặp bán dẫn trong hố
lượng tử phải phù hợp để có chất lượng cấu trúc hố lượng tử tốt. Khi xây dựng được
cấu trúc hố thế có chất lượng tốt, có thể coi hố thế được hình thành là hố thế vuông
góc.
6
1.1.2. Phổ năng lượng và hàm sóng của điện tử giam cầm trong hố lượng tử
Theo cơ học lượng tử, chuyển động của điện tử trong hố lượng tử bị giới hạn
theo trục của hố lượng tử (giả sử là trục z), do đó năng lượng của nó theo trục z sẽ bị
lượng tử hoá và được đặc trưng bởi một số lượng tử n nào đó
( 0,1,2)
n
n
.
Với giả thiết hố thế có thành cao vô hạn, giải phương trình Schrodinger cho
điện tử chuyển động trong hố thế này ta thu được hàm sóng và phổ năng lượng của
điện tử như sau:
,
0
( ) sin( )
i p r
n
n p z
r e p z
Với
( , )
xy
p p p
2
22
,
*
2
n
z
np
pp
m
Ở đây
n
z
n
p
L
Trong đó n = 1,2,3 là chỉ số lượng tử của phổ năng lượng theo phương z
z
p p p
là vectơ xung lượng của điện tử (chính xác là vectơ sóng của điện
tử ).
Với
Oxy
: Hệ số chuẩn hóa hàm sóng trên mặt phẳng Oxy
m: khối lượng hiệu dụng của điện tử;
L : Độ rộng của hố lượng tử.
p
: Hình chiếu của
p
trên mặt phẳng (x, y)
r
: Hình chiếu của
r
trên mặt phẳng (x, y)
z
n
n
p
L
: là các giá trị của vectơ sóng của điện tử theo chiều z.
Như vậy phổ năng lượng của điện tử bị giam cầm trong hố lượng tử chỉ nhận các
giá trị năng lượng gián đoạn theo phương điện tử bị giới hạn chuyển động, không
giống trong bán dẫn khối, phổ năng lượng là liên tục trong toàn bộ không gian. Sự
gián đoạn của phổ năng lượng điện tử là đặc trưng nhất của điện tử bị giam cầm trong
các hệ thấp chiều nói chung và trong hố lượng tử nói riêng. Sự biến đổi phổ năng
7
lượng như vậy gây ra những khác biệt đáng kể trong tất cả tính chất của điện tử trong
hố lượng tử so với các mẫu khối.
1.2 Ảnh hƣởng của sóng điện từ mạnh lên sự hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử
giam cầm trong bán dẫn khối (trƣờng hợp tán xạ điện tử - phonon âm).
1.2.1 Phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm trong bán dẫn khối.
Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong bán dẫn khối là:
e ph e ph
H H H H
(1.1)
Với:
+
p
pp
e
aatA
c
e
pH )(
+
q
qqq
ph
bbH
+
pq
qqpqpq
phe
bbaaCH
,
+
,
pp
aa
lần lượt là toán tử sinh và hủy điện tử ( kiểu hạt fecmi )
' ' , '
{ , } { , }=
p p p p p p
a a a a
;
''
[ , ]=[ , ] 0
p p p p
a a a a
+
,
bb
lần lượt là toán tử sinh và hủy phonon (kiểu hạt boson)
' , '
[ , ]
p p p p
bb
;
''
[ , ]=[ , ] 0
p p p p
b b b b
+
q
C
: hằng số tương tác điện tử - phonon.
+
()
e
p A t
c
là hàm năng lượng theo biến
()
e
p A t
c
Phương trình động lượng tử cho điện tử có dạng:
t
pp
p
Haa
t
tn
i
ˆ
,
)(
8
Hay
,
()
, ( ) ( )
p
p p p p q q q q p q p q q
p q q p
t
nt
e
i a a p A t a a b b C a a b b
tc
(1.2)
Vế phải của (1.2) có ba số hạng. Ta lần lượt tính từng số hạng.
- Số hạng thứ nhất:
''
'
1 ; ' ( ) 0
p p p p
t
p
t
e
st a a p A t a a
c
(1.3)
- Số hạng thứ hai:
2 ; 0
p p q q q
t
q
t
sh a a b b
(1.4)
( Do toán tử a, b là hai loại độc lập, chúng giao hoán với nhau).
- Số hạng thứ ba:
' ' ' '
, ' , '
3 ; ;
p p q p q p q q q p p p q p q q
t
q p q p
t
t
sh a a C a a b b C a a a a b b
Làm tương tự cách phân tích số hạng thứ nhất ta có:
3
t
sh
q p p q q p p q q p q p q p q p q
t t t t
q
C a a b a a b a a b a a b
**
, , , , , , , ,
( ) ( ) ( ) ( )
q p p q q p q p q p q p q p p q q
q
C F t F t F t F t
(1.5)
Với
1 2 1 2
,,
()
p p q p p q
t
F t a a b
Vậy phương trình (1.4) trở thành:
**
, , , , , , , ,
()
( ) ( ) ( ) ( )
p
q p p q q p q p q p q p q p p q q
q
nt
i C F t F t F t F t
t
Hay
**
, , , , , , , ,
()
( ) ( ) ( ) ( )
p
q p p q q p q p q p q p q p p q q
q
nt
i
C F t F t F t F t
t
(1.6)
9
Để giải (1.8) cần tính
)(
,,
21
tF
qpp
bằng cách sử dụng phương trình động lượng tử cho nó:
t
qpp
qpp
Hbaa
t
tF
i ;
)(
21
21
,,
Hay
12
1 2 3 3 1 1 1 3 1 3 1 1
1
3 1 1 3
,,
3
,
()
, ( )
p p q
p p q p p q q q q p q p q q
p q q p
t
t
Ft
e
i a a b p A t a a b b C a a b b
tc
(1.7)
Tính toán các số hạng trong vế phải của (1.7) rồi giải phương trình vi phân ta thu
được:
12
12
1 1 2 1 1 1 1 2 1 1
11
11
,,
2 1 2 1
*
,,
()
( ) ( ) ( ) ( )
p p q
q p p q
q p p q q q q q p q p q q q
tt
Ft
e
i p p p p A t F t
t m c
C a a b b b C a a b b b
(1.8)
(1.8) là phương trình vi phân không thuần nhất với điều kiện
0)(
,,
21
tF
qpp
.
Giải (1.8) bằng phương pháp biến thiên hằng số ta được:
1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1
22
1
12
2
,,
2 1 2 1 1
*
()
exp ( )
t
p p q q p q p q q q p p q q q q
tt
q
t
p p q
t
i
F t C a a b b b a a b b b
i ie
t t p p A t dt dt
mc
2
(1.9)
Thay (1.9) vào (1.2) và thực hiện một số biến đổi ta được:
2
1 1 2 2 1 2
2
, , ,
12
()
1
| | exp ( ) ( )
' ( ') ( ')( 1) exp '
( ')( 1)
p
l s m f
q
l s m f
q
t
p q q p q p p q q
p q q
nt
C J a q J a q J a q J a q i s l m f t
t
i
dt n t N n t N s m i t t
n t N
12
12
( ') exp '
( ') ( ')( 1) exp '
( ')( 1) ( ') exp
p q p p q q
p q p q q p q p q
p q p q q p q p
i
n t N s m i t t
i
n t N n t N s m i t t
i
n t N n t N
12
'
q
s m i t t
10
(1.10)
Với
2
2
2
2
2
1
1
1
;
m
Ee
a
m
Ee
a
oo
;
()
p p p
t
n t a a
;
q q q
t
N b b
;
1
q q q
t
N b b
(1.10) là phương trình động lượng tử cho hàm phân bố không cân bằng của điện tử
trong bán dẫn khối khi có mặt hai sóng điện từ
)(
1
tE
và
)(
2
tE
. Ta giải (1.10) bằng
phương pháp xấp xỉ gần đúng lặp, ta xem
p
p
ntn )(
ta được:
2
12
1 1 2 2
, , ,
12
exp ( ) ( )
1
( ) | |
( ) ( )
l s m f
pq
l s m f
q
i s l m f t
n t C J a q J a q J a q J a q
s l m f
1 2 1 2
( 1) ( 1)
p q p p q p
q q q q
p p q q p p q q
n N n N n N n N
s m i s m i
1 2 1 2
( 1) ( 1)
p p q p p q
q q q q
p q p q p q p q
n N n N n N n N
s m i s m i
(1.11)
2.2 Hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu
Mật độ dòng:
*
( ) ( ) ( )
p
p
ee
J t p A t n t
mc
hay:
2
2
* * * *
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
o
p p p
p p p
en
e e e
J t A t n t pn t A t pn t
m c m m c m
(1.12)
với
o
p
p
ntn
)(
Thực hiện các phép biến đổi và tính toán ta được:
2
2
12
, , ,
,
12
( 1)
( ) ( ) | |
p q p
o
sm
q
k s m r
qp
ee
n N n N
en
e
J t A t C q J a q J a q
m c m k r
12
1 2 1 2
12
cos ( )
k s r m s k m r
p q p q
k r t
J a q J a q J a q J a q
sm
1 2 1 2 1 2
sin ( )
k s r m s k m r
J a q J a q J a q J a q k r t
12
p q p q
sm
(1.13)
11
Ta có hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối với giả thiết
12
như sau:
t
o
o
tEtJ
Ec
2
2
2
2
sin)(
8
(1.14)
Thay (1.13) vào (1.14) ta được:
2
2
2
22
2
12
2
,
,
8
| | ( 1)
sm
o
p p q
q q q
sm
qp
C n N n N mJ a q J a q
cE
12
p q p q
sm
(1.15)
Xét tán xạ điện tử - phonon âm ta có:
2
2
q
a
q
C
V
và
1
a
kT
NN
q
Trong trường hợp hấp thụ 1 photon (
1m
) và hạn chế trong gần đúng bậc hai của
hàm Bessel ta thu được:
2
2
22
2
2
, ',
22
,
2
1
22
4
1
1 2 1 2
16
x
2
()
1- ( ) ( )
2
()
()
4
o
n p n p q
qp
a
p q p q p q p q
p q p q p q p q
kT
aq
nn
cE
aq
aq
1 2 1 2
( ) ( )
p q p q p q p q
(1.16)
Xét trường hợp hấp thụ gần ngưỡng tức thỏa mãn
12
q
sm
<<
Với:
, 1 2sm
q
sm
;
2
2
,,
2
s m s m
q
m
Hệ số hấp thụ có dạng:
12
2
2
22
2
2
, ',
22
,
16
x
2
o
n p n p q
qp
a
kT
aq
nn
cE
22
22
1
1
0,1 0, 1
1
24
a q a q
pq pq
mm
2 2 2 2
1,1 1, 1 1,1 1, 1
pq pq pq pq
m m m m
(1.17)
Ta xét tổng sau:
,
2
2
2
,,
2
p q p
s m s m
pq
a q pq
D n n
m
(1.18)
+ Thực hiện chuyển tổng thành tích phân và tính toán các số hạng của (1.18) ta được:
*
2
,,
0
2
, 1/ 2
62
||
1
exp
(2 ) 4 2 2
s m s m
sm
mn
a
DK
k T k T
(1.19)
+ Tính toán tương tự như trên ta được:
,
2
2
2
2
,1
*
,
2
q
sm
pp
sm
pq
a q pq
H a q
m
nn
12
*2 2
*
2
2
, , ,
0
2
1
3/ 2
6 2 4
4 | |
1
exp
(2 ) 4 2 2
s m s m s m
B
m
mn
a
aK
k T k T
(1.20)
+ Sử dụng (1.19) và (1.20) thay vào biểu thức của hệ số hấp thụ ta được:
2
22
2
0,1 0, 1 0,1 0, 1 1,1 1, 1 1,1 1, 1
22
16
11
24
o
a
kT
D D H H H H H H
cE
(1.21)
Biểu thức (1.21) là hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử trong bán dẫn khối. Kết
quả này sẽ được sử dụng để so sánh với hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử
giam cầm trong hố lượng tử được nghiên cứu trong các chương tiếp theo.
Chƣơng 2:
13
PHƢƠNG TRÌNH ĐỘNG LƢỢNG TỬ VÀ HỆ SỐ HẤP THỤ SÓNG ĐIỆN TỪ
YẾU BỞI ĐIỆN TỬ GIAM CẦM TRONG HỐ LƢỢNG TỬ DƢỚI ẢNH
HƢỞNG CỦA SÓNG ĐIỆN TỪ MẠNH BIẾN ĐIỆU CÓ KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG
GIAM CẦM CỦA PHONON
2.1. Phƣơng trình động lƣợng tử cho điện tử giam cầm trong hố lƣợng tử có kể
đến sự giam cầm của phonon.
Trong hố lượng tử, chuyển động của electron và phonon bị giới hạn theo một
chiều, các electron chỉ có thể chuyển động tự do theo 2 chiều còn lại. Giả sử chiều bị
giới hạn hướng theo trục z. Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong hố lượng tử là:
e ph e ph
H H H H
(2.1)
Trong đó:
Năng lượng của điện tử:
,
,,
()
en
np
n p n p
e
H p A t a a
c
Năng lượng của phonon:
,,
,
q
ph
m q m q
mq
H b b
Năng lượng tương tác của điện tử và phonon:
'
'
,
,
,'
, , ,
,
,,
()
np
n p q
m
e ph n n
m q m q m q
mq
n n p
m
L
H C I a a b b
Với:
+ n, m: các chỉ số lượng tử năng lượng của điện tử và phonon theo trục z.
+
,np
a
,
,np
a
: Toán tử sinh, hủy điện tử giam cầm ở trạng thái
,np
.
+
,mq
b
,
,mq
b
: Toán tử sinh hủy phonon giam cầm ở trạng thái
,mq
+
p
,
q
: Vec-tơ sóng của electron và phonon trong mặt phẳng (x,y).
14
+
( , )pn
và
( , ')p q n
là trạng thái của điện tử trước và sau khi tán xạ.
+
q
: Tần số của phonon âm.
+
()At
: Thế vectơ của trường điện từ trong trường hợp tồn tại hai sóng điện từ
1
()Et
và
2
()Et
.
1 2 01 02
12
1 ( )
( ) ( ) ( ) sin sin
At
E t E t E t E t E t
ct
Suy ra:
01 02
12
12
( ) os os
E c E c
A t c t c t
,'
0
2'
( ) os ( 1)sin sin sin
L
m
nn
m
L
m z m z n z n z
I m c m dz
L L L L L
:
là thừa số dạng điện tử trong hố lượng tử, L là độ rộng của hố, với
( ) 1m
nếu m
chẵn và
( ) 0m
nếu m lẻ.
+
,np
: Năng lượng của điện tử trong hố lượng tử.
+
2
2
2
2
,mq
sO
m
Cq
VL
: Hằng số tương tác điện tử - phonon cho trường hợp
tán xạ điện tử - phonon âm.
Trong đó
0
, , ,
a
V
lần lượt là độ rộng, tiết diện, mật độ tinh thể, vận tốc truyền âm
và hằng số điện biến dạng.
Phương trình động lượng tử cho điện tử trong hố lượng tử có dạng:
,
,,
()
,
np
n p n p
t
nt
i a a H
t
(2.2)
Đưa biểu thức của Hamiltonian vào (2.2) ta được:
15
Hay
' ' '
''
'
'
,
'
, , , ,
,,
,
,
()
, ( )
q
np
n p n p m q m q
n
n p n p
mq
np
nt
e
i a a p A t a a b b
tc
'
,
,
'
,'
, , ,
,
,,
()
np
n p q
m
nn
m q m q m q
mq
n n p
t
m
C I a a b b
L
(2.3)
Vế phải của (2.3) có 3 số hạng, ta lần lượt tính từng số hạng:
Số hạng thứ nhất:
' ' '
''
,,
'
'
'
,,
,
1 , ( )
n p n p
n
n p n p
np
t
e
sh a a p A t a a
c
Ta có:
' ' '
''
'
'
'
,,
,,
,
, ( )
n p n p
n
n p n p
np
e
a a p A t a a
c
' ' '
''
'
'
'
,,
,,
,
( ) ,
n p n p
n
n p n p
np
e
p A t a a a a
c
' ' ' ' ' '
''
'
'
'
'
,,
,,
, , , ,
,
()
n
n p n p
n n n n
n p p p n p p p
np
e
p A t a a a a
c
, , , ,
( ( )) ( ( )) 0
n n p n p n n p n p
ee
p A t a a p A t a a
cc
Vậy:
10
t
sh
(2.4)
Số hạng thứ 2:
, , , ,
,
2 , 0
q
n p n p m q m q
t
mq
t
sh a a b b
(2.5)
Số hạng thứ 3:
16
1 2 ' '
,,
21
'
12
,
, , , , ,
,
,,
3 , ( )
n p q n p
m
nn
n p n p m q m q m q
mq
n n p
t
m
sh a a C I a a b b
L
'
'
,
'
'
,
, , ' , ,
,,
,
', ,
,
, , ,
,
n p q
n p q
m
m q n n m q m q
n p n p
n p q
t
t
n q m
mq
n p m q n p
n p q
t
t
m
L
C I a a b a a b
a a b a a b
(2.6)
Thay (2.4), (2.5), (2.6) vào (2.3) ta được:
' ' ' '
,
, , '
', ,
, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,
()
( ) ( ) ( ) ( )
np
m
m q n n
n q m
n p q n p q m n p n p q q m n p n p q q m n p q n p q m
nt
m
i C I
tL
F t F t F t F t
Hay
'
' ' '
,
,'
,
, , , , ,
', ,
, , , , , , , , , , , , , , ,
()
()
( ) ( ) ( )
np
m
nn
mq
n p q n p q m
n q m
n p n p q q m n p n p q q m n p q n p q m
m
L
nt
i
C I F t
t
F t F t F t
(2.7)
Với :
1 2 1 2
1 2 1 2
, , , , , , , ,
()
n p n p q m n p n p m q
t
F t a a b
.
Ta đi xây dựng biểu thức tính hàm F(t) bằng cách viết phương trình động lượng tử cho
nó:
12
12
12
12
, , , , ,
, , ,
()
,
n p n p q m
n p n p m q
t
Ft
i a a b H
t
Hay
12
12
12
12
, , , , ,
, , , , ,
,
()
, ( )
n p n p q m
n
n p n p m q n p n p
np
Ft
e
i a a b p A t a a
tc
34
,
3
1 1 1 1 1
4
1
34
11
,
, , , , , ,
, , , , ,
()
q n p q
m
nn
m q m q m q n p m q m q
m q n n p q m
t
m
b b C I a a b b
L
(2.8)
Vế phải của (2.8) có 3 số hạng. Ta lần lượt tính từng số hạng:
- Số hạng thứ nhất:
17
12
12
, , , , ,
,
1 , ( )
n
n p n p m q n p n p
t
np
t
e
sht a a b p A t a a
c
21
12
1 2 2 1
,,
, , , , , , , ,
,
()
n n n n n
n p n p m q p p n p n p m q p p
np
t
e
p A t a a b a a b
c
21
12
12
, , ,
21
( ) ( )
nn
n p n p m q
t
ee
p A t p A t a a b
cc
Ta có
2 2 2
22
2
,
22
np
ee
pn
m m L
Nên :
2 1 1 2
12
21
, , , , , , ,
21
1 ( ) ( )
n p n p n p n p q m
t
e
e
sht p p A t F t
mc
(2.9)
- Số hạng thứ hai:
1 2 1 2
1 2 1 1 1 2 1 1
11
11
, , , , , , , , , ,
,,
2 , ,
n p n p m q m q m q n p n p m q m q m q
t
q m m q
t
t
sht a a b b b a a b b b
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
11
, , , , , , , , , , , , , , , ,
,,
,
m q m q m q m q m q m q m q m q m q q q m q m q m q m q m q m q
q q m q
b b b b b b b b b b b b b b b
b
Vậy:
12
12
, , , , ,
2 ( )
q
n p n p q m
t
sht F t
(2.10)
- Số hạng thứ ba:
34
,
1 2 3
1 2 1 1 1
4
34
1
,
, , , , , , ,
, , , ,
3 , ( )
n p q
m
nn
n p n p m q m q n p m q m q
t
n n p q m
t
m
sht a a b C I a a b b
L
23
13
1 1 2 1 1
3
1
,
, , , , , ,
,,
m
nn
m q n p n p q m q m q m q
t
n q m
m
C I a a b b b
L
14
42
1 2 1 1
1
4
1
,
, , , , , ,
,,
m
nn
m q n p q n p m q m q m q
t
n q m
m
C I a a b b b
L
(2.11)
Thay (2.9), (2.10), (2.11) vào (2.8) ta được:
12
12
2 1 1 2
2 1 2
1
, , , , ,
, , , , , , ,
21
()
( ) ( )
q
n p n p q m
n p n p n p n p q m
e
Ft
e
i p p A t F t
t m c
18
23
13
1 1 2 1 1
3
1
,
, , , , , ,
,,
m
nn
m q n p n p q m q m q m q
t
n q m
m
C I a a b b b
L
14
42
1 2 1 1
1
4
1
,
, , , , , ,
,,
m
nn
m q n p q n p m q m q m q
t
n q m
m
C I a a b b b
L
(2.12)
Trước hết ta đi giải phương trình vi phân thuần nhất sau:
12
12
2 1 1 2
2 1 2
1
0
, , , , ,
0
, , , , , , ,
21
()
( ) ( )
q
n p n p q m
n p n p n p n p q m
e
Ft
e
i p p A t F t
t m c
(2.13)
Sử dụng điều kiện đoạn nhiệt
12
12
, , , , ,
ln ( ) 0
t
n p n p q m
Ft
, dễ dàng tính được nghiệm của
phương trình thuần nhất trên có dạng:
1 2 2 1
1 2 2
1
0
11
, , , , , , ,
21
-i
( ) exp ( )
q
t
n p n p q m n p n p
e
e
F t p p A t dt
mc
(2.14)
Để giải phương trình vi phân không thuần nhất trên ta dùng phương pháp biến thiên
hằng số. Đặt:
1 2 1 2 2
1 2 1
0
, , , , , , , , , ,
( ) ( )
n p n p q m n p n p q m
F t M t F t
(2.15)
Suy ra:
1 2 1 2
1 2 1 2
12
12
0
, , , , , , , , , ,
0
, , , , ,
( ) ( )
()
( ) ( )
n p n p q m n p n p q m
n p n p q m
F t F t
Mt
i F t i M t i
t t t
(2.16)
Thay (2.11) vào (2.12), thay (2.13), (2.14) vào (2.16) và đồng nhất số hạng của (2.12)
và (2.16) ta được kết quả sau:
14
42
1 2 1 1
1
4
1
,
, , , , , ,
,,
( ) i
m
nn
m q n p q n p m q m q m q
t
n q m
M t m
C I a a b b b
tL
23
13
1 1 2 1 1
3
1
,
, , , , , ,
,,
m
nn
m q n p n p q m q m q m q
t
n q m
m
C I a a b b b
L
21
2
1
11
,,
21
i
exp ( )
q
t
n p n p
e
e
p p A t dt
mc
(2.17)
19
Tích phân 2 vế của phương trình (2.17) và thay kết quả vào phương trình (2.15) ta
được:
14
1 2 4 2
1 2 1 2 1 1
1
2
4
1
2,
, , , , , , , , , , ,
,,
i
()
t
m
nn
n p n p q m m q n p q n p m q m q m q
t
n q m
m
L
F t dt C I a a b b b
23
13
1 1 2 1 1
2
3
1
,
, , , , , ,
,,
x
m
nn
m q n p n p q m q m q m q
t
n q m
m
C I a a b b b
L
12
2
1
2
2 1 1
,,
12
i
exp ( )
q
t
n p n p
e
t
ie
t t p p A t dt
mc
(2.18)
Thay (2.18) vào (2.7) ta được:
'
,
,'
2
,
,,
()
1
x
np
m
nn
mq
n q m
nt
m
CI
tL
4
4
1 1 1 1
2
4
1
2 ',
, , , , , ,
,,
x
t
m
nn
m q n p q q n p m q m q m q
t
n q m
m
dt C I a a b b b
L
'
3
3
1 1 1 1
2
3
1
,
, , , , ,
,
,,
m
nn
m q n p q m q m q m q
n p q
t
n q m
m
C I a a b b b
L
'
2
2 1 1
,
,
i
exp ( )
q
t
np
n p q
e
t
ie
t t q A t dt
mc
'
4
4
1 1 1 1
2
4
1
,
, , , , ,
,
,,
( 1)
m
nn
m q n p q m q m q m q
n p q
t
n q m
m
C I a a b b b
L
13
3
1 1 1 1
2
3
1
',
, , , , , ,
,,
m
nn
m q n p q q n p m q m q m q
t
n q m
m
C I a a b b b
L
'
2
2 1 1
,
,
i
exp ( ) ( )
t
n p q
n p q
e
t
ie
t t q A t dt
mc
'
4
4
1 1 1 1
2
4
1
,
, , , , ,
,
,,
m
nn
m q n p q m q m q m q
n p q
t
n q m
m
C I a a b b b
L
3
1 1 1 1
2
3
1
',
, , , , , ,
,,
x
m
nn
m q n p n p q q m q m q m q
t
n q m
m
C I a a b b b
L
20
'
2
2 1 1
,
,
i
exp ( )
t
n p q
n p q
e
t
ie
t t q A t dt
mc
4
4
1 1 1 1
2
4
1
',
, , , , , ,
,,
( 1)
m
nn
m q n p n p q q m q m q m q
t
n q m
m
C I a a b b b
L
'
2
2 1 1
,
,
i
exp ( ) ( )
t
n p q
n p q
t
ie
t t q A t dt
mc
(2.19)
Đối với số hạng thứ nhất và thứ ba của (2.19) ta đổi chỉ số
1
, đối với số hạng
thứ hai và thứ tư của (2.19) ta đổi chỉ số
1
,
và
'
34
( , ) ( , )n n n n
ta
được:
'
2
2
2
,
, ' 2
2
, , , , , ,
,,
()
1
t
np
m
nn
m q n p n p m q m q m q
t
n q m
nt
m
C I dt a a b b b
tL
''
2
, , ,
,,
x
m q m q m q
n p q n p q
t
a a b b b
'
2
2 1 1
,
,
i
exp ( )
q
t
np
n p q
e
t
ie
t t q A t dt
mc
''
2
2
, , , , , , , ,
,,
n p n p m q m q m q m q m q m q
n p q n p q
t
t
a a b b b a a b b b
'
2
2 1 1
,
,
i
exp ( )
t
n p q
n p q
e
t
ie
t t q A t dt
mc
2
2
, , , , , , , , , ,n p q n p q m q m q m q n p n p m q m q m q
t
t
a a b b b a a b b b
'
2
2 1 1
,
,
i
exp ( )
t
n p q
n p q
e
t
ie
t t q A t dt
mc
''
2
2
, , , , , , , ,
,,
m q m q m q n p n p m q m q m q
n p q n p q
t
t
a a b b b a a b b b
'
2
2 1 1
,
,
i
exp ( )
t
n p q
n p q
e
t
ie
t t q A t dt
mc
(2.20)
Toán tử số hạt của điện tử:
2
2
, , ,
()
n p n p n p
t
n t a a
;
' ' '
2
2
, , ,
()
n p q n p q n p q
t
n t a a
21
Toán tử số hạt của phonon:
q q q
t
N b b
;
1
q q q
t
N b b
Do tính đối xứng mạng tinh thể nên ta có thể thay
qq
và
Bỏ qua số hạng chứa
t
bb
và
t
bb
Khi đó phương trình (2.20) được viết lại dưới dạng:
'
'
2
2
,
, ' 2 2 2
2
,,
,
,,
()
1
( ) ( ) 1
t
np
m
nn
m q n p q q
n p q
n q m
nt
m
C I dt n t N n t N
tL
'
2
2 1 1
,
,
i
exp ( )
t
n p q
n p q
e
t
ie
t t q A t dt
mc
''
2
2 2 2 1 1
,,
,,
i
( ) 1 ( ) exp ( )
t
n p q q n p q
n p q n p q
e
t
ie
n t N n t N t t q A t dt
mc
''
2
2 2 2 1 1
,,
,,
i
( ) ( ) 1 exp ( )
t
q n p q n p q
n p q n p q
e
t
ie
n t N n t N t t q A t dt
mc
''
2
2 2 2 1 1
,,
,,
i
( ) 1 ( ) exp ( )
t
q n p q n p q
n p q n p q
e
t
ie
n t N n t N t t q A t dt
mc
(2.21)
Ta xét thế véc tơ của trường điện từ trong trường hợp tồn tại hai sóng điện từ : Sóng
điện từ mạnh biến điệu
1
()Et
và sóng điện từ yếu
2
()Et
.
1 2 2 2
1
sin sin sin
ls
At
e e E t
ct
trong đó
1 2 1
2 2 2
1
2
ls
e e E
với
1
<<
1
, còn
2
là tần số của sóng điện từ yếu.
Do
1
<<
1
nên trong các tích phân theo thời gian khoảng một vài chu kì
sóng điện từ yếu, có thể coi
1
cos( )t
là hằng số trong tích phân này và có thể đưa ra
ngoài tích phân.
Ta kí hiệu
01 1 01 1 01
os( ) os( ) ( )E c t E c E
.
22
Khi đó:
01 02
12
12
()
( ) os os
E c E c
A t c t c t
Áp dụng khai triển:
exp izsin ( )
in
n
n
J z e
Ta có:
2
11
e
ie
exp - ( )
m
t
t
q A t dt
c
01 02
1 2 1 2 2 2
22
e 1 e 2
ie ( )
exp sin sin sin sin
mm
q E ieq E
t t t t
01 01
1 2 1
22
,
e 1 e 1
02 02
2 2 1
22
,
e 2 e 2
e ( ) e ( )
exp is exp -il
mm
ee
exp ik exp -if
mm
ls
ls
fm
fk
q E q E
J J t t
q E q E
J J t t
Đặt:
01 01
1
1
22
e 1 e 1
e ( ) e os( )
()
mm
E E c
a
và
02
2
2
e2
e
m
E
a
Thay vào trên ta được:
2
1 1 2 2
11
, , ,
e
1 2 1 2 2
ie
exp - ( ) ( ) ( ) x
m
xexp i s-l exp -i s
t
l s k f
l s k f
t
q A t dt J a q J a q J a q J a q
c
k f t k t t
Thay vào biểu thức (2.21) ta được:
'
2
2
,
,'
2
,
,,
()
1
x
np
m
nn
mq
n q m
nt
m
CI
tL
1 1 2 2
12
, , ,
( ) ( ) exp i s-l
l s k f
l s k f
J a q J a q J a q J a q k f t
'
2 2 2
,
,
( ) ( ) 1 x
t
n p q q
n p q
dt n t N n t N
'
1 2 2
,
,
i
exp
n p q
n p q
s k t t
23
'
22
,
,
( ) 1 ( ) x
n p q q
n p q
n t N n t N
'
1 2 2
,
,
i
exp
n p q
n p q
s k t t
'
1 2 2
,
,
i
exp
n p q
n p q
s k t t
'
1 2 2
,
,
i
exp
n p q
n p q
s k t t
(2.22)
Ta thêm vào thừa số
2
()tt
e
với
0
xuất hiện do giả thiết đoạn nhiệt của tương tác.
Khi đó phương trình (2.22) được viết lại như sau:
'
2
2
,
,'
2
,
,,
()
1
x
np
m
nn
mq
n q m
nt
m
CI
tL
1 1 2 2
12
, , ,
( ) ( ) exp i s-l
l s k f
l s k f
J a q J a q J a q J a q k f t
'
2 2 2
,
,
( ) ( ) 1 x
t
n p q q
n p q
dt n t N n t N
'
1 2 2
,
,
i
exp
n p q
n p q
s k i t t
'
22
,
,
( ) 1 ( ) x
n p q q
n p q
n t N n t N
'
1 2 2
,
,
i
exp
n p q
n p q
s k i t t
'
22
,
,
( ) ( ) 1 x
q n p q
n p q
n t N n t N
'
1 2 2
,
,
i
exp
n p q
n p q
s k i t t
'
22
,
,
( ) 1 ( ) x
q n p q
n p q
n t N n t N
'
1 2 2
,
,
i
exp
n p q
n p q
s k i t t
(2.23)
Biểu thức (2.23) là phương trình động lượng tử trong hố lượng tử trong trường hợp
điện tử và phonon bị giam cầm khi có mặt của hai sóng điện từ: sóng điện từ biến điệu
1
()Et
và sóng điện từ yếu
2
()Et
.
24
Để giải phương trình (2.23) một cách tổng quát rất khó khăn nên ta sử dụng phương
pháp xấp xỉ gần đúng lặp bằng cách cho:
,
2
,
()
np
np
n t n
và
'
'
,
2
,
()
n p q
n p q
n t n
Đặt:
u l s l u s
với
:u
r f k f k r
với
:r
Tích phân hai vế của phương trình (2.23) và chú ý tới các tích phân sau:
1 ' 1 2 2 2
i
exp
,
,
t
q
K s k i t t dt
np
n p q
'
12
,
,
n p q
n p q
i
s k i
12
2 1 2
12
-iexp i s-l
exp i s-l
s-l
t
k f t
K k f t dt
kf
Khi đó ta có:
'
2
2
,'
,,
,,
1
()
m
nn
n p m q
n q m
m
n t C I
L
1 1 2 2
, , ,
s u s k r k
u s k r
J a q J a q J a q J a q
'
'
,,
12
1 2 1 2
,
,
1
exp -i
n p q n p
n p q
n p q
n N n N
u r t
u r s k i
''
''
, , , ,
1 2 1 2
,,
,,
11
n p q n p n p n p q
q q q q
n p q n p q
n p q n p q
n N n N n N n N
s k i s k i
'
'
,,
12
,
,
1
n p n p q
n p q
n p q
n N n N
s k i
(2.24)
2.2 Tính hệ số hấp thụ sóng điện từ yếu bởi điện tử giam cầm trong hố lƣợng tử
khi có mặt trƣờng bức xạ Laser.
25
Vì điện tử bị giam cầm dọc theo trục z trong hố lượng tử nên ta chỉ xét vectơ
dòng hạt tải trong mặt phẳng (x,y) là
Jt
2
, , ,
, , ,
( ) ( ) ( )
n p n p n p
n p n p n p
e e e
e e e e
J t p A t n t A t n t p n t
m c m c m
22
0 01 0 02
1 2 ,
,
12
()
os os ( )
np
np
e e e
n e E n e E
e
c t c t p n t
m m m
(2.25)
Nồng độ hạt tải trong hố lượng tử là:
0
,
,
()
np
np
n n t
Xét số hạng cuối của (2.25):
'
'
,
2
2
,,
,
,
, , ,
12
1 1 2 2
, , ,
12
()
exp -i
()
m
n p m q
nn
np
n n m p q
ee
s u s k r k
u s k r
e e m
p n t C I
m m L
u r t
J a q J a q J a q J a q p
ur
''
''
, , , ,
1 2 1 2
,,
,,
11
n p q n p n p q n p
q q q q
n p q n p q
n p q n p q
n N n N n N n N
s k i s k i
''
''
, , , ,
1 2 1 2
,,
,,
11
n p n p q n p n p q
q q q q
n p q n p q
n p q n p q
n N n N n N n N
s k i s k i
(2.26)
Trong biểu thức (2.26) ta đổi
,
ss
,
kk
cho số hạng thứ
nhất và thứ hai ta được:
'
,
2
2
12
,'
,,
, , ,
,
, , ,
12
exp -i
()
m
nn
n p m q
u s k r
np
n n p q m
ee
u r t
e e m
p n t C I p
m m L u r
1 1 2 2
x
s u s k r k
J a q J a q J a q J a q
'
'
,,
12
,
,
1
n p q n p
n p q
n p q
n N n N
s k i
'
'
,,
1 1 2 2
12
,
,
1
n p q n p
s u s k r k
n p q
n p q
n N n N
J a q J a q J a q J a q
s k i
