Bổ chính QCD cho sinh cặp Squark trong quá trình hủy cặp e+e-
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.55 MB, 81 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Nguyễn Bá Linh
BỔ CHÍNH QCD CHO SINH CẶP SQUARK TRONG QUÁ TRÌNH
HỦY CẶP
+-
ee
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Nguyễn Bá Linh
BỔ CHÍNH QCD CHO SINH CẶP SQUARK TRONG QUÁ TRÌNH
HỦY CẶP
+-
ee
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán
Mã số: 60.44.01
Cán bộ hƣớng dẫn: TS. Toán lý Phạm Thúc Tuyền
Hà Nội – 2011
1
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU 4
CHƢƠNG I: SUSY VÀ LÝ THUYẾT CHUẨN SIÊU ĐỐI XỨNG
I.1. Sự cần thiết của siêu đối xứng 7
I.2. Susy 9
I.3. Tính chất cơ bản của biểu diễn nhóm Susy 13
I.4. Siêu không gian 17
I.5. Siêu trƣờng thuận tay 21
I.6. Siêu trƣờng vectơ 27
I.7. Lý thuyết chuẩn siêu đối xứng 32
CHƢƠNG II: MSSM TRONG CHUẨN ‟t HOOFT - FEYNMAN
II.1. Nội dung trƣờng trong MSSM 39
II.2. Lựa chọn chuẩn và Lagragean tƣơng tác 50
II.3. Kết luận về MSSM trong chuẩn ‟t HOOP -FEYNMAN 65
CHƢƠNG III : BỔ CHÍNH QCD CHO SQUARK TRONG QUÁ
TRÌNH HỦY CẶP ELECTRON - POSITRON
III.1. Các phƣơng trình cơ bản 69
III.2. Hủy cặp
ee
trong SM 73
III.3. Hủy cặp trong MSSM 76
KẾT LUẬN 85
TÀI LIỆU THAM KHẢO 86
2
MỞ ĐẦU
Việc đƣa giả thiết Siêu đối xứng
1
(viết tắt là SUSY) vào lý thuyết trƣờng
lƣợng tử [1] đã dẫn đến sự mở rộng Mô hình tiêu chuẩn
2
(viết tắt là SM) một
cách hấp dẫn nhất. Nó không những giữ ổn định [2] hệ thống thứ bậc giữa thang
tƣơng tác yếu với thang Planck của Mô hình Thống nhất lớn (viết tắt là GUT)
ngay cả khi xét đến các bổ chính bức xạ. Nếu xét vi phạm ở thang năng lƣợng
tƣơng đối lớn, ví dụ nhƣ trong trƣờng hợp của Siêu hấp dẫn (viết tắt là SUGRA
[3]) ta có thể tìm đƣợc nguồn gốc của sự phân chia thứ bậc thông qua những số
hạng vi phạm bức xạ của đối xứng chuẩn [4]. Thêm nữa, các mô hình SUSY cho
ta một trong những giải pháp tự nhiên đối với bài toán Vật chất Tối [5], và cho ta
một lý thuyết Thống nhất lớn tƣơng thích cho tất cả bốn loại tƣơng tác chứ
không bỏ sót tƣơng tác hấp dẫn nhƣ SM. Tất cả những đặc tính hấp dẫn nói trên
có thể tìm thấy trong Mô hình chuẩn siêu đối xứng tối thiểu (viết tắt là MSSM).
Hệ quả của tính siêu đối xứng là sự tồn tại của các siêu hạt đồng hành cho
tất cả các hạt đã biết với spin sai khác 1/2. Siêu hạt đồng hành của hạt chất sẽ là
các hạt vô hƣớng slepton và squark. Siêu hạt đồng hành của các hạt trƣờng sẽ là
các hạt spinơ Majorana photino, Yang-Millsino (do hạt có ký hiệu
0
W,Z
cho
nên chúng có thể đọc là Win và Zin và do đó, siêu hạt đồng hành sẽ là Wino và
Zino) và gluino. Siêu hạt đồng hành của các hạt Higgs là Higgsino. Nếu có hạt
graviton, truyền tƣơng tác hấp dẫn, siêu hạt đồng hành sẽ là gravitino.
Tuy vậy, cho đến nay chƣa có dấu hiệu trực tiếp nào chứng tỏ sự tồn tại
của siêu hạt đồng hành; Những tìm kiếm thực nghiệm chỉ cho ta giới hạn thấp
nhất của khối lƣợng của chúng (LEP [6],[7] và Tevatron [8]). Vì vậy, những
phép đo chính xác các bổ chính bức xạ có chứa siêu hạt đồng hành sẽ đóng vai
trò quan trọng. Những bổ chính quan trọng nhất là liên quan đến tƣơng tác mạnh,
tức là có xét những vòng của squark và gluino. Quá trình tốt nhất hiện nay để
thực hiện việc đo đạc đối với quá trình sinh cặp squark từ quá trình hủy cặp
1
Supersymmetry, viết tắt SUSY, là đối xứng mở rộng của không-thời gian. Nó đƣợc coi mở rộng nhƣ duy
nhất thỏa mãn định lý no-go của Sidney Coleman và Jeffrey Mandula.
2
Standard Model, viết tắt là SM
3
e+e−, bởi vì máy va chạm electron-positron đã đƣợc cải thiện và sẽ đƣợc vận
hành ở năng lƣợng cỡ
TeV
. Trong tƣơng lai, khi máy va chạm haron lớn, LHC,
vận hành trơn tru, ta mới đặt vấn đề xét chi tiết những quá trình hủy cặp quark.
Trong luận văn này, chúng tôi trình bày những tính toán bổ chính QCD
siêu đối xứng cho sự sinh cặp squark trong phản ứng hủy cặp e+e− trong đó có
xét đến việc pha trộn giữa squark tay đăm và tay chiêu (left-handed và right-
handed squark), đồng thời tính cả đến hiệu ứng khối lƣợng khác không của
quark.
Nội dung chính của Luận văn đƣợc trình bày trong ba chƣơng. Chƣơng
thứ nhất sẽ trình bày về SUSY và sự mở rộng SM thành lý thuyết chuẩn siêu đối
xứng SGFT (Supersymmetric Gauge Field Theory). Chƣơng thứ hai sẽ trình bày
một trong những mô hình của SGFT là MSSM khi nhóm chuẩn là tích của ba
nhóm chuẩn của SM trong chuẩn ‟t Hooft-Feynman. Chƣơng thứ ba sẽ tính các
công thức bổ chính vòng cho quá trình sinh cặp quark có tính đến đóng góp một
vòng kín của squark, gluino và thảo luận kết quả số với những kết quả thực
nghiệm thu đƣợc ở LEP. Các kết luận tóm tắt sẽ đƣợc trình bày ở phần kết luận.
Bổ chính SUSY QCD cho quá trình sinh cặp squark ở phản ứng hủy e+e−
đã đƣợc thảo luận trong [9], [10] trong đó đã bỏ qua hiệu ứng pha trộn squark và
ảnh hƣợng của khối lƣợng quark.
Trong [11] cũng đã xét đến hiệu ứng của pha trộn squark và thấy rằng nó
rất nhỏ và có thể bỏ qua. Tuy vậy, ở đó chỉ tính đến sơ đồ cây. Trong luận văn
này chúng ta xét đến cả bổ chính một vòng kín. Ta cũng chỉ tính cho đóng góp
của gaugino tƣơng tác điện yếu và Higgs boson vì đóng góp một vòng kín của K
và B meson đã đƣợc tính trong [9] và cũng đƣợc coi là nhỏ.
Trong giới hạn khối lƣợng quark bằng không và không tính đến sự pha
trộn squark kết quả của chúng tôi trùng với [10] và [11]. Kết quả thực nghiêm
trên LEP [12] đã đƣợc dùng và thang năng lƣợng cho quá trình hủy e+e− là
500 s GeV
.
Các tính toán số sẽ đƣợc thực hiện nhờ gói phần mềm FeynArts và
FormCalc do nhóm Hagen Eck and Sepp Küblbeck [13] thiết kế. Tuy nhiên, để
4
làm điều đó chúng ta phải tính bằng tay Lagrangian tƣơng tác trong một chuẩn
nhất định. Trong [1] đã làm điều đó cho chuẩn unitary và trong [4] đã làm điều
đó cho trƣờng thành phần nguyên thủy. Các kết quả trong những công trình trên
đã đƣợc dùng làm chuẩn để so sánh với kết quả mà chúng tôi thu đƣợc. Trong
luận văn này chuẩn đƣợc chọn là ‟t Hooft-Feynman và trƣờng trong lý thuyết là
trƣờng vật lý, nghĩa là đã xét đến sự pha trộn của các trƣờng nguyên thủy. Các
lựa chọn này có ƣu điểm là dễ so sánh với các kết quả thực nghiệm mà chúng tôi
có đƣợc.
CHƢƠNG I
SUSY VÀ LÝ THUYẾT CHUẨN SIÊU ĐỐI XỨNG
I . 1 Sự cần thiết của siêu đối xứng.
Một trong những nguyên nhân dẫn đến giả thiết siêu đối xứng của thế giới
vật chất là tìm cách khử những phân kì xuất hiện trong tính toán các đại lƣợng
vật lý của lý thuyết trƣờng lƣợng tử. Nếu lý thuyết trƣờng bất biến siêu đối xứng,
mỗi bậc tự do fermion sẽ tƣơng ứng với một bậc tự do boson và ngƣợc lại. Mặt
khác, vì sự đóng góp phân kỳ của hai bậc tự do này bằng nhau và trái dấu nhau,
cho nên, các phân kỳ đều tự khử, ít nhất là các phân kỳ bình phƣơng. Nhƣ vậy,
phân kỳ logarithm đƣợc khử nhờ đối xứng tƣơng đối tính, phân kỳ bình phƣơng
đƣợc khử nhờ siêu đối xứng [14].
Thêm vào nữa, trong mô hình tiêu chuẩn, ngoài vật chất thông thƣờng là
quark và lepton, ta còn cần đến trƣờng Higgs H để sinh khối cho các hạt và cho
boson chuẩn (gauge boson) truyền tƣơng tác yếu, thông qua cơ chế Higgs. Tuy
nhiên, cơ chế Higgs chỉ đƣợc vận hành và cho kết quả đúng đắn khi thừa số
2
H
m
trong thế Higgs :
24
2
H
U m H H
1.1
5
là âm và có độ lớn cỡ - 100 (GeV)
2
. Độ lớn này cũng giải thích sự phân cấp
tƣơng tác diễn ra ở thang năng lƣợng của tƣơng tác yếu. Tuy nhiên, vấn đề ở
chỗ, nếu xét đến bổ lƣợng tử cho
2
H
m
khi trƣờng Higgs liên kết với một số
trƣờng trung gian khác, thì giá trị của
2
H
m
sẽ trở lên lớn đến mức không thể chấp
nhận đƣợc. Khi xung lƣợng cắt ở vào cỡ khối lƣợng Plank,
2
H
m
sẽ có bậc 30
30
10
lần lớn hơn bậc giá trị cần có.
Tuy nhiên, nếu xét đến bổ chính năng lƣợng riêng với sơ đồ một vòng kín
(Hình 1.1a), trong đó hạt ảo là fermion f, tƣơng tác với trƣờng Higgs bằng
Lagrangian
f
- H f f
, thì đóng góp vào
2
H
m
sẽ có
2
f
2 2 2
H UV f UV f
2
m 2 6m ln / m
16
1.2
Nếu giả thiết tồn tại thêm một hạt bosson vô hƣớng s tƣơng tác với trƣờng Higgs
thông qua Lagrangian
22
S
HS
thì sơ đồ (Hình 1.1b) sẽ đóng góp vào
2
H
m
thêm một lƣợng:
2 2 2
S
H UV S UV S
2
m 2m ln /m
16
1.3
Hình 1.1. Sơ đồ năng lƣợng riêng của trƣờng Higgs
Nhƣ vậy, nếu cả hai hạt cùng tồn tại, tổng của (1.2) và (1.3) sẽ bằng
không nếu mỗi bậc tự do quark và lepton trong mô hình tiêu chuẩn có “các bạn
đồng hành” là hai vô hƣớng phức với
2
Sf
. Khi đó, sự rắc rối về phân kỳ sẽ
bị loại bỏ. Khối lƣợng trƣờng Higgs sẽ không bị phân kỳ khi tính đến bổ chính
bức xạ.
6
Xét trên khía cạnh nhận thức luận việc tồn tại đối xứng giữa các bậc tự do
spinơ và bậc tự do tensơ cũng là rất hợp lý. Rất khó giải thích vì sao trong tự
nhiên, một bậc tự do nào đó là ƣu tiên hơn so với bậc tự do khác. Hơn nữa,
ngƣời ta đã chứng minh rằng, siêu đối xứng là đối xứng cực đại của S - ma trận.
Khi đó, tự nhiên sẽ bị khống chế bởi nhiều sự ràng buộc hơn và do đó, ta có cơ
hội tìm lời giải thích hợp lí cho hiện tƣợng nhƣ giam cầm quark, lƣợng tử hóa
điện tích v.v….
Từ những lý do, mặc dù đến nay chƣa có bằng chứng nào về sự tồn tại của
các siêu hạt đồng hành, nhƣng lí thuyết trƣờng phải là tái chuẩn hóa và thực tế
về sự phân cấp tƣơng tác ở thang năng lƣợng của tƣơng tác yếu là những luận cứ
có tính chất thuyết phục để chúng ta tin rằng, thế giới tự nhiên thực sự là siêu đối
xứng.
I . 2 SUSY
Đối xứng ngoài của lý thuyết trƣờng tƣơng tác (S-ma trận) là nhóm
Poincaré, với 10 vi tử sinh boson là mômen góc tổng quát
M
và xung lƣợng
P
. Cho lý thuyết trƣờng các hạt không khối lƣợng, số vi tử sinh sẽ tăng lên 15
vì nhóm đối xứng ngoài là nhóm bảo giác (conformal group). Tuy nhiên, chúng
vẫn chỉ là vô hƣớng, vectơ hay tensơ, mà ta gọi chung là vi tử sinh boson hay vi
tử sinh chẵn.
Nhóm đối xứng trong gồm các phép biến đổi tác dụng lên hàm trƣờng.
Chúng là các nhóm unitary
1U
liên quan đến bảo toàn điện tích, số baryon hay
số lepton,
2SU
liên quan đến isospin hay isospin yếu,
3SU
liên quan đến
hƣơng của quark. Theo định lý no-go, vi tử sinh của đối xứng trong luôn là các
vô hƣớng đối với nhóm đối xứng ngoài.
SUSY giả thiết rằng, bên cạnh các vi tử sinh vô hƣớng của nhóm đối xứng
trong, ta còn có một số vi tử sinh spinơ
a
Q
, sao cho giao hoán tử của chúng với
vi tử sinh của nhóm đối xứng ngoài khác không. Chúng đƣợc gọi là vi tử sinh lẻ
7
hay fermion và là các spinơ Majorana. Phép toán Lie giữa chúng không phải là
giao hoán tử mà là phản giao hoán tử. Đại số giữa các vi tử sinh sẽ bao gồm các
giao hoán tử cho chẵn với chẵn, chẵn với lẻ, còn sẽ là phản giao hoán tử cho các
lẻ với lẻ, thỏa mãn quy tắc sau đây:
[chẵn, chẵn]
chẵn, [chẵn, lẻ]
lẻ, {lẻ, lẻ}
chẵn
1.4
Đồng nhất thức Jacobi cũng đƣợc tổng quát hóa một cách tƣơng ứng, chú ý thêm
đến tính phản giao hoán của spinơ:
1 2 3 2 3 1 3 1 2
, , , , , , 0B B B B B B B B B
1 2 2 1 1 2
, , , , , , 0B B F B F B F B B
1 2 1 2 2 1 1
, , , , , , 0B F F F F B F B F
1 2 3 2 3 1 3 1 2
, , , , , , 0F F F F F F F F F
1.5
trong đó, vi tử sinh boson đƣợc ký hiệu là
B
, còn fermion đƣợc ký hiệu là
F
.
Bằng quy tắc nói trên và sử dụng đồng nhất thức Jacobi, ta có thể chứng
minh đƣợc rằng, ngoài những giao hoán tử quen thuộc của đại số Poincaré:
P ,P 0,
M ,M i g M g M g M g M ,
M ,P i g P g P
1.6
đại số SUSY trong trƣờng hợp có một vi tử sinh lẻ
Q
sẽ có thêm những hệ thức
mới:
,0PQ
,Q M Q
,2Q Q P
1.7
8
trong đó,
, / 4i
là vi tử sinh của biểu diễn nhóm Lorentz. Trƣờng
hợp có một vi tử sinh lẻ, đối xứng đƣợc gọi là siêu đối xứng, còn trƣờng hợp có
2,3, N
vi tử sinh lẻ, siêu đối xứng đƣợc gọi là mở rộng. Trong luận án này ta
không xét đến siêu đối xứng mở rộng.
Để dễ kết hợp siêu đối xứng với đối xứng trong thông thƣờng, ta thƣờng
dùng không phải ngôn ngữ spinơ Dirac bốn chiều mà diễn đạt nó thông qua
spinơ Weyl hai chiều của nhóm
,2SL C
. Khi đó, thay cho vi tử sinh spinơ
Majorana
Q
bốn thành phần, ta sẽ có hai vi tử sinh spinơ Weyl hai thành phần
Q
và
Q
, trong đó, dấu gạch ngang không còn ý nghĩa của liên hợp Dirac.
Q
sẽ
là biểu diễn
(0,1/ 2)
, còn
Q
là biểu diễn
(0,1/ 2)
của nhóm
2,SL C
. Chỉ số của
Q
sẽ không có chấm, trong khi, chỉ số của
Q
sẽ có chấm. Thay cho vectơ ba
thành phần của ma trận Pauli, ta dùng vectơ bốn thành phần:
1, , 1,
1.8
Chúng có một chỉ số có chấm và một chỉ số không chấm. Khi đó, hai biểu diễn
cơ bản của nhóm
2,SL C
sẽ có vi tử sinh là:
/4i
,
/4i
1.9
Vởi cách lựa chọn nhƣ vậy, đại số siêu đối xứng sẽ có dạng:
, , 0
aa
P Q P Q
,
b
ab
a
Q M i Q
,
,
b
a
b
a
Q M i Q
, 2 , , , 0
a a b a
b ab b
Q Q P Q Q Q Q
1.10
Khi có đối xứng trong với vi tử sinh
k
T
thỏa mãn hệ thức giao hoán:
,
m
k l kl m
T T iC T
1.11
trong đó,
m
kl
C
là hằng số cấu trúc của nhóm đối xứng trong. Nếu ta có nhiều vi tử
sinh lẻ làm thành một biểu diễn của nhóm trong, khi đó:
9
,
a k k a
Q T iS Q
1.12
với
k
S
là ma trận biểu diễn.
Do
Q
là toán tử spinơ, cho nên, tham số biến đổi
cũng phải là spinơ.
Khi đó, phép biến đổi siêu đối xứng sẽ có dạng
exp iQ
, và phép biến đổi
siêu đối xứng vi phân sẽ là
1 iQ
. Với trƣờng vô hƣớng
A
, ta có:
,,A i QA i Q A i Q A
1.13
từ đó suy ra,
,QA
là một spinơ. Nhƣ vậy, vi tử sinh lẻ biến trƣờng boson thành
trƣờng fermion, và ngƣợc lại, nó biến trƣờng fermion thành trƣờng boson. Vì lẽ
đó, ta thƣờng nói, phép biến đổi siêu đối xứng biến trƣờng boson thành fermion
và ngƣợc lại. Nếu cho trƣớc một đa tuyến fermion, để nó đóng kín đối với phép
biến đổi siêu đối xứng, ta phải mở rộng đa tuyến sao cho nó chứa cả thành phần
boson. Đa tuyến thu đƣợc bằng cách siêu đối xứng hóa nhƣ vậy, đƣợc gọi là siêu
đa tuyến. Siêu đa tuyến thu đƣợc từ một đa tuyến fermion, sẽ chứa thêm thành
phần boson, chúng có thể coi là thành phần của hạt boson đồng hành với hạt
fermion ban đầu. Tƣơng tự, nếu siêu đối xứng hóa đa tuyến boson, ta sẽ đƣợc
siêu đa tuyến có chứa thêm thành phần fermion. Các thành phần fermion tạo nên
hạt siêu đồng hành của hạt boson ban đầu. Kết quả là, nếu tự nhiên là siêu đối
xứng, mỗi hạt boson sẽ có hạt fermion đồng hành, ngƣợc lại, mỗi hạt fermion sẽ
có hạt boson đồng hành.
Từ (1.13) suy ra, hạt siêu đồng hành của hạt có spinơ 1/2 là hạt vô hƣớng,
còn hạt siêu đồng hành của hạt vectơ là hạt fermion có spin 1/2. Nhƣ vậy, tƣơng
ứng với mỗi hạt chất ta có hạt siêu đồng hành vô hƣớng. Tên hạt đồng hành của
hạt chất đƣợc tạo nên từ tiếp đầu tố “s” và tên của hạt tƣơng ứng. Nhƣ vậy ta sẽ
có slepton, bao gồm selectron, smuon và stauon và squark, bao gồm sup, sdown,
sstrange, scharm, sbottom và stop. Tƣơng ứng với mỗi hạt lực, ta sẽ có hạt siêu
đồng hành là các fermion Majorana chứ không phải fermion Dirac. Tên hạt đồng
hành của hạt lực đƣợc tạo nên từ việc thay thế vĩ tố “on” bằng (nếu không có thì
10
thêm) “ino” ở tên hạt tƣơng ứng. Nhƣ vậy, ta sẽ có ba loại gaugino đồng hành
của ba loại hạt gauge. Photon có photino,
W,Z
có wino và zino, gluon có
gluino. Hạt siêu đồng hành của hạt Higgs là Higgsino. Trƣờng của Higgsino là
spinơ Majorana chứ không phải là spinơ Dirac.
Giống nhƣ đại số Poincaré, đại số siêu đối xứng cũng có
2
P P P
là toán
tử Casimir, tức là nó giao hoán với mọi vi tử sinh của biểu diễn, cho nên các hạt
trong một siêu đa tuyến có cùng một khối lƣợng. Tuy nhiên, khác với đại số
Poincaré, bình phƣơng toán tử Pauli-Lubanski:
1
W P M
2
không còn là toán tử Casimir, cho nên, các hạt trong cùng một siêu đa tuyến có
thể có spin khác nhau.
I . 3 Tính chất cơ bản của biểu diễn nhóm SUSY
Sử dụng đại số siêu đối xứng ở trên ta dễ dàng xác định đƣợc một số tính
chất cơ bản của lý thuyết siêu đối xứng [15]. Vì đại số siêu đối xứng đầy đủ chứa
đại số Poincaré nhƣ một đại số con, cho nên, mọi biểu diễn của đại số siêu đối
xứng đầy đủ đều chứa một biểu diễn của đại số Poincaré, mặc dù nói chung nó là
biểu diễn khả quy. Vì mỗi biểu diễn bất khả quy của đại số Poincaré tƣơng ứng
với một hạt, một biểu diễn bất khả quy của đại số siêu đối xứng nói chung sẽ
tƣơng ứng với nhiều hạt. Các trạng thái tƣơng ứng sẽ liên quan đến nhau thông
qua toán tử
a
Q
và
a
Q
và do đó sẽ có spin khác nhau nửa đơn vị. Đa tuyến gồm
hạt và siêu hạt đồng hành của nó đƣợc gọi là siêu đa tuyến. Để đơn giản, ta sẽ
coi mỗi biểu diễn bất khả quy của đại số siêu đối xứng đơn giản là một siêu đa
tuyến. Nhƣ vậy, ta có:
Tất cả các hạt thuộc biểu diễn bất khả quy của siêu đối xứng, nghĩa là
thuộc cùng một siêu đa tuyến, thì có cùng khối lƣợng. Nhƣ đã nói ở trên, điều
này suy từ tính Casimir của toán tử
2
P
.
11
Trong lý thuyết siêu đối xứng năng lƣợng P
0
luôn dƣơng. Để thấy đƣợc
điều này ta xét
là một trạng thái bất kỳ. Do tính xác định dƣơng của không
gian Hilbert ta có, theo (1.9):
22
a a a a b b
a
b ab
||0 Q | || || Q | || | Q Q Q Q
| Q ,Q | 2 P
1.14
vì
bb
. Lấy tổng theo
1,2b
và do
0
tr 2
, ta đƣợc
0
04 P
.
Trong một siêu đa tuyến, số bậc tự do boson và fermion phải bằng nhau.
Thực vậy, nếu định nghĩa toán tử số fermion N
F
, sao cho, nó bằng 1 ở trạng thái
fermion và bằng 0 ở trạng thái boson, khi đó,
F
N
sẽ bằng
1
ở trạng thái boson
và bằng
1
ở trạng thái fermion. Ta sẽ chứng minh rằng:
F
N
Tr = 0
1.15
đối với mọi biểu diễn với số chiều hữu hạn bất kì. Để chứng minh điều này, ta
chú ý rằng,
F
N
phản giao hoán với Q , sử dụng tính bất biến của vết đối với
hoán vị vòng quanh, ta thu đƣợc:
F F F
F
N N N
a a a
b b b
N
ab
0 Tr Q Q Q Q Tr Q ,Q
2 Tr P
1.16
Chọn moment
P
bất kì không bị triệt tiêu, ta sẽ có đƣợc kết quả mong muốn.
Siêu đa tuyến không khối lƣợng. Đầu tiên ta xét biểu diễn bằng hạt
không khối lƣợng. Khi đó, tất cả các
a
Q
và
a
Q
phản giao hoán nhau. Vì
2
0P
,
nên ta chọn hệ quy chiếu trong đó
1,0,0,1PE
sao cho
00
02
P
E
và do
vậy ta đƣợc :
b
a
ab
00
Q ,Q
0 4E
1.17
12
Nói riêng,
11
,0QQ
. Theo tính xác định dƣơng của không gian Hilbert (1.14):
2
2
11
11
0 Q ,Q Q ||Q ||
1.18
suy ra
11
0QQ
, nhƣ vậy, ta chỉ giữ lại
2
Q
và
2
Q
, nghĩa là một nửa trong số vi
tử sinh fermion. Nếu ta định nghĩa :
2
2
11
a Q , a Q
4E 4E
1.19
a
và
a
là các toán tử sinh huỷ phản giao hoán:
a,a 1, a,a a ,a 0
1.20
Ta chọn „trạng thái chân không‟, nghĩa là, trạng thái bị hủy bởi tất cả các toán
a
.
Trạng thái đó là một biểu diễn bất khả quy của đại số Poincaré, và do có khối
lƣợng bằng không, nó đƣợc đặc trƣng bằng độ xoắn
0
. Ký hiệu trạng thái này là
0
. Từ hệ thức giao hoán của
2
Q
và
2
Q
với toán tử độ xoắn mà trong hệ quy
chiếu hiện tại là
3 12
JM
, ngƣời ta sẽ thấy
2
Q
làm giảm độ xoắn xuống một nửa,
trong khi đó
2
Q
lại tăng độ xoắn lên một nửa. Do
2
0a
, siêu đa tuyến sẽ có
dạng:
0 0 0
, a 1 / 2
1.21
Ta sẽ ký hiệu nó là
00
, 1/ 2
. Nếu trạng thái đầu có độ xoắn bán nguyên
(fermion), trạng thái sau sẽ có độ xoắn nguyên (boson) và ngƣợc lại. Nhƣ vậy,
các siêu đa tuyến sẽ không thể bất biến CPT, bởi vì CPT là đảo dấu của độ xoắn.
Để thoả mãn bất biến CPT, ta cần phải gấp đôi những đa tuyến này bằng cách
thêm vào phần liên hợp CPT với độ xoắn ngƣợc lại và số lƣợng tử ngƣợc lại.
Nhƣ vậy, ta sẽ có:
Đa tuyến thuận tay (chiral multiplet) tạo bởi
1
0,
2
và liên hợp CPT của
nó
1
,0
2
, tƣơng ứng với một fermion Weyl và một vô hƣớng phức.
13
Đa tuyến vectơ tạo bởi
1
,1
2
và
1
1,
2
tƣơng ứng với một boson chuẩn
(vectơ không khối lƣợng) và một fermion Weyl , cả hai đều cần thiết trong biểu
diễn phó của nhóm chuẩn.
Đa tuyến gravitino tạo bởi
3
1,
2
và
3
,1
2
, nghĩa là một gravitino và
một boson chuẩn.
Đa tuyến graviton tạo bởi
3
,2
2
và
3
2,
2
, tƣơng ứng với graviton và
gravitino.
Nói chung đến nay không có hạt với độ xoắn lớn hơn 2. Thêm nữa,
gravitino chỉ có mặt trong một lý thuyết có hấp dẫn, cho nên, nó chỉ phải xuất
hiện một lần trong đa tuyến hấp dẫn. Vì vậy đa tuyến gravitino không thể xuất
hiện trong siêu đối xứng không mở rộng. Tuy nhiên nó lại xuất hiện trong siêu
đối xứng mở rộng khi phân tích các đa tuyến lớn hơn thành các đa tuyến có N=1.
Siêu đại số có khối lƣợng. Bây giờ ta sẽ xem xét trƣờng hợp
2
0P
. Sử
dụng hệ quy chiếu đứng yên
,0,0,0Pm
, đại số siêu đối xứng trở thành :
a b ab
Q , Q 2m
1.22
Nếu ta đặt:
a
a a a
11
c Q , c Q
22
1.23
Khi đó,
c
và liên hợp hermitian của chúng thoả mãn đại số của dao động tử
điều hoà :
a b ab
c ,c m
1.24
Nhƣ vậy, ta thu đƣợc 4 trạng thái, đƣợc đánh số thứ tự lại theo độ xoắn của nó
(hoặc theo thành phần z của moment góc), ví dụ nhƣ
1/ 2,0,0,1/ 2
(tƣơng tự
nhƣ là đa tuyến không khối lƣợng trong đó mở rộng CPT sẽ trùng với chính nó)
hoặc
1, 1/ 2, 1/2,0
mà chúng ta phải thêm vào thành phần liên hợp CPT
14
1,1/ 2,1/ 2,0
. Trƣờng hợp sau giống nhƣ trạng thái vectơ không khối lƣợng
cộng với một đa tuyến thuận tay và khối lƣợng sẽ thu đƣợc từ chúng thông qua
cơ chế Higgs. Theo cách biểu diễn trƣờng hợp khối lƣợng này thì đây là một
vectơ, một fermion Dirac và một vô hƣớng thực duy nhất.
I . 4 Siêu không gian
Để đƣa siêu đối xứng vào lý thuyết trƣờng lƣợng một cách tự nhiên ta sẽ
dùng khái niệm siêu không gian [16].
Siêu không gian là tập hợp bao gồm không gian “chẵn” Minkowski với
tọa độ “boson”
x
và không gian “lẻ” với tọa độ “fermion” Weyl
,
thỏa mãn
điều kiện phản giao hoán,
0
i k k i
. Tọa độ lẻ thƣờng đƣợc gọi là biến
Grassmann.
Phép tịnh tiến trong không gian lẻ sẽ cảm sinh một phép biến đổi lên siêu
trƣờng, tức là phép biến đổi “trong”, đồng thời, nó cũng cảm sinh ra một phép
biến đổi lên tọa độ không thời gian thông thƣờng, tức là phép biến đổi ngoài, bởi
vì với hai đại lƣợng fermion, tọa độ
và tham số biến đổi
, chúng sẽ tạo nên
một vectơ [17]. Nhƣ vậy, đối xứng trong và đối xứng ngoài đƣợc liên kết một
cách rất đơn giản thông qua tịnh tiến trong không gian lẻ.
Các toạ độ siêu không gian „lẻ‟
và
đƣợc xem nhƣ là các spinơ
không đổi (độc lập với
x
). Các chỉ số spinơ trong lƣỡng tuyến liên hệ với nhau
theo quy tắc thông thƣờng, nghĩa là:
12
12
2 1 1 2
2 2 2 , 2
1.25
và để dễ nhớ, ta gọi quy tắc cộng chỉ số không chấm là “tây bắc-đông nam” còn
chỉ số có chấm là “tây nam-đông bắc”. Ta dễ dàng chứng minh các đồng nhất
thức sau đây:
15
11
,
22
11
,
22
11
g ,
22
1.26
Ví dụ:
/ 2 / 2 / 2
Số hạng thứ nhất bằng không vì
là biến fermion. Số hạng thứ hai chứng tỏ
rằng biểu thức chỉ khác không khi
. Với
1, 2
và
2, 1
, áp dụng
công thức (1.25) ta có:
1 2 2 1
1 1 1
,
2 2 2
Các đạo hàm theo
,
đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
,
1.27
Vì đạo hàm của
phản giao hoán, nên bất kì tích nào liên quan đến từ hai
đạo hàm của
đều bị triệt tiêu. Vì vậy một siêu trƣờng vô hƣớng đều có thể
khai triển nhƣ sau:
Tích phân theo biến Grassmann trong siêu không gian đƣợc định nghĩa
nhƣ sau:
1 1 1 2 2 1
d a b b, d d 1
1.28
Vì
2 1 1 2
2 , 2
, ta có
21
2 1 2 2 2
11
,
22
d d d d d d d
và do đó:
22
d d 1
1.29
Dễ dàng kiểm tra lại:
22
11
d , d
44
1.30
16
Rõ ràng ta luôn có:
22
d d 1
1.31
Với cách định nghĩa nhƣ vậy ta dễ dàng thấy đƣợc tính chất Hermitian :
1.32
Nhƣ vậy, đối với biến Grassmann ta có dấu “+” chứ không phải dấu “
” nhƣ
trong trƣờng hợp biến boson
.
Bây giờ chúng ta có thể biểu diễn các vi tử sinh lẻ
Q
,
của đại
số siêu đối xứng bằng đạo hàm theo biến siêu không gian. Để đơn giản, ta xét
phép tịnh tiến vi phân lên
. Chúng ta muốn
i Q i Q
tạo ra sự tịnh tiến
trong
một tham số spinơ
. Phép tịnh tiến này cũng sẽ cảm ứng một phép
tịnh tiến trong không gian
x
với một lƣợng
x
. Ta thấy rằng
x
phải thực, phụ
thuộc tọa độ
và tham số
. Do
cự nhỏ, ta có thể thấy
x i i
.
Khi đó:
F i Q Q F x , ,
F x i i , , F x , ,
1.33
Khai triển Taylor và giữ lại số hạng tỷ lệ bậc nhất với
, ta có:
i Q Q F x, , i
i F x, ,
1.34
Từ đó suy ra:
a
a
a
Q i i
1.35
và liên hợp Hermitian của nó sẽ là :
17
a
a
a
Q i i
1.36
và phải thoả mãn đại số siêu đối xứng :
a
b ab ab
Q ,Q 2 P 2i
1.37
Nói chung, một siêu trƣờng chứa rất nhiều trƣờng thành phần tƣơng ứng
với những biểu diễn bất khả quy của nhóm siêu đối xứng, cho nên, ta thƣờng
phải đặt điều kiện để giảm bớt số trƣờng thành phần đó. Ta sẽ làm điều này bằng
cách dùng toán tử phụ trợ sau đây, gọi là đạo hàm hiệp biến. Một đạo hàm đƣợc
gọi là hiệp biến nếu đạo hàm của siêu trƣờng cũng là siêu trƣờng. Điều này
nghĩa là đạo hàm hiệp biến phản giao hoán với các vi tử sinh của đại số siêu đối
xứng
. Vì
,,
D F D F
điều này dẫn đến biểu thức sau đây cho đạo
hàm hiệp biến:
Di
Di
1.38
Từ đó suy ra:
D ,D 2i , D ,D D ,D 0
D ,Q D ,Q D ,Q D ,D 0
1.39
I . 5 Siêu trƣờng thuận tay (chiral superfield)
Trƣờng xác định trong siêu không gian sẽ đƣợc gọi là siêu trƣờng. Do tọa
độ lẻ là biến Grassmann, cho nên một siêu trƣờng
F
bất kỳ luôn có khai triển
Taylor sau đây:
F x, , f x x x m x n x
x x x d x
1.40
18
Nhƣ vậy, siêu trƣờng là tập hợp hữu hạn các trƣờng thành phần
, , , , fm
.
Số lƣợng trƣờng thành phần tuy hữu hạn, những cũng đủ lớn gây khó khăn cho
việc tính toán và đoán nhận ý nghĩa vật lý của chúng. Vì vậy, tùy theo việc tình
trạng cổ điển mà ta muốn mô tả, ta sẽ yêu cầu siêu trƣờng thỏa mãn những điều
kiện nhất định.
Do SM ta cần trƣờng thuận tay, chiral, cho nên, ta cũng sẽ đề ra tiêu
chuẩn để có siêu trƣờng thuận tay. Theo định nghĩa, siêu trƣờng thuận tay trái
(siêu trƣờng tay chiêu), nếu nó thỏa mãn điều kiện sau đây:
D0
1.41
và siêu trƣờng thuận tay phải
(siêu trƣờng tay đăm), nếu nó thỏa mãn điều
kiện sau đây:
D0
1.42
Các siêu trƣờng tay đăm và tay chiêu, theo (1.41) và (1.42) không chỉ phụ thuộc
vào một biến lẻ, bởi vì, đạo hàm trong đó đạo hàm không phải là đạo hàm riêng
theo biến lẻ mà là đạo hàm hiệp biến. Có thể thấy rằng:
D D D y D y 0
y x i , y x i
1.43
cho nên, siêu trƣờng thuận tay sẽ chỉ còn phụ thuộc tƣờng minh vào một biến lẻ
vả vào
y
hoặc
y
. Nếu là siêu trƣờng tay chiêu,
chỉ phụ thuộc vào
, y
(
chỉ có thể có mặt trong
y
). Còn siêu trƣờng tay đăm,
chỉ phụ thuộc vào
, y
(
chỉ có thể có mặt trong
n
y
). Ta thấy rằng, theo (1.40), siêu trƣờng tay chiêu
có dạng:
y, z y 2 y f y
1.44
hoặc khai triển tƣờng minh theo
,,x
ta đƣợc:
19
2
y, z x 2 x i z x f x
i1
x z x
4
2
1.45
Nhƣ vậy, siêu trƣờng tay chiêu chỉ chứa một trƣờng spinơ tay chiêu
, cho nên
nó thích hợp để mô tả trƣờng chất. Một siêu đa tuyến tay chiêu sẽ chứa trƣờng
chất mô tả bởi fermion Weyl
, trƣờng vô hƣớng phức
zx
mô tả hạt siêu đồng
hành và một trƣờng vô hƣớng phụ trợ
f
. Nó đƣợc gọi là trƣờng phụ trợ bởi vì
trong khai triển (1.45) không có số hạng đạo hàm của nó theo biến tọa độ chẵn.
Thêm vào nữa, theo (1.44), để
zx
có thứ nguyên bằng 1 và
có thứ nguyên
3/2 thì
có thứ nguyên
1/ 2
, do đó, thứ nguyên của
f
phải bằng 2. Điều này
chứng tỏ rằng
f
không phải là trƣờng vật chất. Tƣơng tự, với siêu trƣờng tay
đăm
ta có:
* * *
2*
y, z x 2 x i z x f x
i1
x z x
4
2
1.46
trong đó,
là spinơ Weyl tay đăm.
Ta có thể dẽ dàng tìm quy luật biến thiên của trƣờng thành phần khi siêu
trƣờng chịu một phép biến đổi siêu đối xứng. Đầu tiên, với các siêu trƣờng tay
chiêu việc thay biến
, , ,xy
ta thu đƣợc biểu thức của vi tử sinh siêu đối
xứng:
Q i , Q i 2
y
1.47
Nhƣ vậy, sử dụng hệ thức tái xắp xếp Fierz, ta có:
y, 2i z 2 f
2 2 f 2i z 2 2i
2 2 2 f 2i z 2i
1.48
20
So sánh lũy thừa của
ở hai vế, ta thu đƣợc quy luật biến đổi các trƣờng thành
phần nhƣ sau:
z2
2i z 2 f
f 2i
1.49
Các thừa số của
2
xuất hiện do việc tái chuẩn hoá các trƣờng và việc định
nghĩa
, ta có thể làm biến mất chúng bằng cách xác định lại tỉ lệ giữa
,
. Ta
thấy phần biến thiên của trƣờng vô hƣớng
z
trở thành trƣờng spinơ
, của
trƣờng spinơ
trở thành trƣờng vô hƣớng
z
và
f
, của trƣờng
f
là đạo hàm
toàn phần. Tính chất cuối cùng là đặc điểm chung của trƣờng thành phần có thứ
nguyên lớn nhất. Biến thiên của nó bao giờ cũng là đạo hàm toàn phần theo biến
tọa độ chẵn.
Để xây dựng hàm tác dụng bất biến siêu đối xứng chúng ta cần đƣa ra một
số nhận xét sau đây.
Nhận xét đầu tiên là: tích các siêu trƣờng hiển nhiên là một siêu trƣờng.
Tƣơng tự, tích của các siêu trƣờng thuận tay cũng là một siêu trƣờng thuận tay.
Do trƣờng vật chất là trƣờng tay chiêu, đa thức
W
của siêu trƣờng tay chiêu
cũng là siêu trƣờng tay chiêu. Nó thƣờng đƣợc gọi là siêu thế. Siêu thế
W
sẽ là
một “siêu đa tuyến” của các siêu trƣờng
i
khác nhau. Nếu khai triển Taylor theo
các biến
,y
, ta đƣợc:
2
i i i j
i i i j
W W 1 W
W W z y 2 y f y y y
z z 2 z z
1.50
trong đó, các hệ số
2
,
WW
z z z
chỉ là các hàm lấy tại z(y). Nhƣ vậy, mỗi siêu thế
là một siêu đa tuyến với thành phần là hàm đối với trƣờng vô hƣớng.
Nhận xét quan trọng thứ hai là: Lagrangian siêu đối xứng là một hàm bất
biến siêu đối xứng của các siêu trƣờng. Nếu siêu trƣờng là bất kì, Lagrangian sẽ
phụ thuộc vào cả
lẫn
, còn nếu siêu trƣờng là thuận tay, Lagrangian có gồm
21
những số hạng, mỗi số hạng chỉ phụ thuộc vào một “nửa” trong số các biến đó.
Lagrangian cổ điển sẽ phải là tích phân theo tất cả các biến không gian lẻ của
Lagrangian siêu đối xứng. Dạng tổng quát nhất của Lagrangian cổ điển sẽ là:
2 2 2 2
d d F x, , d W d W
1.51
trong đó, số hạng đầu tiên cho động năng của trƣờng vật chất, nó thƣờng phụ
thuộc vào tất cả các biến lẻ, còn số hạng sau là siêu thế, vốn chỉ gồm các số hạng
phụ thuộc vào một nửa trong số các biến đó. Lagrangian nhƣ trên là tự động bất
biến siêu đối xứng. Thực vậy, biến phân siêu đối xứng của siêu trƣờng cho bởi
công thức (1.49) và vì
,
là các spinơ hằng số,
là các toán tử vi phân trong
siêu không gian, ta có:
F F F i F
x
1.52
Với tích phân
22
dd
, chỉ có số hạng cuối cùng của khai triển (1.40) là khác
không. Nếu F là một siêu trƣờng thuận tay giống nhƣ
(1.51), ta có thu đƣợc:
y, i y,
y
1.53
Với tính tích phân
2
d
, số hạng cuối cùng trở thành
x
và là đạo hàm toàn
phần trong không thời gian. Kết quả tƣơng tự khi ta tính cho trƣờng siêu thế tay
đăm
WW
và tích phân
2
d
. Điều này chứng minh tác dụng của siêu
đối xứng thu đƣợc từ các tích phân không thời gian của Lagrangian (1.65).
Số hạng
2
.d W hc
trong Lagrangian phải có dạng của thế năng thông
thƣờng.
Số hạng động năng có đƣợc nhờ số hạng
22
d d F
. Lựa chọn đơn giản
nhất là
F
, trong đó
là siêu trƣờng tay chiêu. Sự lựa chọn này không cho
ta
F
là siêu trƣờng tay chiêu hay tay đăm những mà đảm bảo tính chất thực của
Lagrangian. Để tính toán
đầu tiên ta phải khai triển
y
theo
x
. Do phải lấy
22
tích phân theo toàn bộ biến không gian lẻ, chúng ta chỉ cần số hạng tỉ lệ với
, gọi là số hạng D. Theo công thức (1.59), ta có:
22
1 1 1
z z z z z z f f
4 4 2
1.54
Với cách lựa chọn nhƣ vậy, hàm tác dụng sẽ có dạng:
4 2 2 4 2
i
ii
S d xd d d xd W hc
1.55
Và sau khi lấy tích phân theo biến lẻ, nó trở thành:
2
42
i i i i i i i j
i i j
W 1 W
S d x | z | i f f f hc hc
z 2 z z
1.56
Nếu rộng hơn nữa, ta có thể thay thế
i
bằng một thế (thực) Kähler
3
,
ij
K
. Một trong các lý thuyết tổng quát này là mô hình
phi tuyến. Trong
trƣờng hợp bất kỳ, trƣờng f
i
không có số hạng động năng (đạo hàm theo biến
chẵn), do đó nó chỉ có vai trò của trƣờng phụ trợ, bù đắp để lý thuyết bất biến
siêu đối xứng. Đó là lý thuyết off-shell. Các trƣờng này sẽ đƣợc loại bỏ bằng
phƣơng trình chuyển động:
i
i
W
f
z
1.57
Nếu thay phƣơng trình này vào tác dụng, ta sẽ có lý thuyết on-shell:
2
22
42
i i i i j i j
i i j i j
W 1 W 1 W
S d x | z | i
z 2 z z 2 z z
1.58
Chúng ta nhận thấy rằng thế vô hƣớng V đƣợc xác định theo siêu thế W nhƣ sau:
2
i
i
W
V
z
1.59
3
Đa tạp Kähler có thể hiểu đơn giản nhƣ là đa tạp các hàm số sao cho mọi dạng vi phân với hệ số trong đa
tạp đó đều hoàn toàn khả tích.
23
Để minh họa, ta xem xét trƣờng hợp đơn giản nhất trong đó có một siêu
trƣờng tay chiêu duy nhất
, và siêu thế là đa thức đến bậc 3:
23
23
mg
W
.
Khi đó
2
W
mg
z
, và tác dụng sẽ trở thành :
[
]
2
4 2 2
WZ
2
4
22
m
S d x | z| i m z
2
mg z z z z g z g z z
1.60
Lƣu ý rằng các tƣơng tác Yukawa xuất hiện với hằng số liên kết g , hằng số này
liên quan đến hằng số liên kết boson mg và g
2
thông qua siêu đối xứng.
I . 6 Siêu trƣờng vectơ (vector superfield)
Để mô tả tƣơng tác chuẩn ta cần đến siêu đa tuyến có thành phần là
trƣờng vectơ (trƣờng chuẩn). Siêu trƣờng nhƣ vậy, đƣợc gọi là siêu trƣờng
vectơ, ký hiệu là
,,Vx
. Để có siêu trƣờng nhƣ vậy, ta sẽ đặt điều kiện
Hermitian (thực) cho siêu trƣờng tổng quát:
VV
. Thực vậy, khai triển siêu
trƣờng thực, ta có:
2
V x, , C i A
ii
M iN M iN
22
ii
i i
22
11
D C
22
1.61
Trong biểu thức trên có 8 trƣờng thành phần boson thực
, , , ,C D M N A
và 8
trƣờng thành phần fermion (
,
). Các hệ số bậc ba và bậc bốn của tọa độ lẻ đã
đƣợc lựa chọn một cách đặc biệt. Sự lựa chọn này là cố ý. Thực vậy, nếu chọn
một siêu trƣờng tay chiêu
, từ nó ta sẽ có một siêu trƣờng Hermitian
v
,
với khai triển, theo (1.61) là:
